Αρχείο αρχείου. StudFiles
Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου ένα εκτενές και πολυαναμενόμενο θέμα αναλυτική γεωμετρία. Πρώτα, λίγα λόγια για αυτήν την ενότητα ανώτερα μαθηματικά…. Σίγουρα θυμηθήκατε τώρα το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο σφραγισμένες μαθηματικές στροφές έρχονται αμέσως στο μυαλό: «γραφική μέθοδος λύσης» και «αναλυτική μέθοδος λύσης». Γραφική μέθοδος, φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων, σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων της αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής, συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε με ακρίβεια τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα κάνει καθόλου χωρίς σχέδια, επιπλέον, για καλύτερη κατανόησηυλικό, θα προσπαθήσω να τους δώσω πέρα από την ανάγκη.
Το ανοιχτό μάθημα των μαθημάτων στη γεωμετρία δεν ισχυρίζεται ότι είναι θεωρητική πληρότητα, επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε μια πληρέστερη αναφορά σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσβάσιμη βιβλιογραφία:
1) Κάτι που, χωρίς αστείο, είναι γνωστό σε πολλές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, οι συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη αντέξει 20 (!) επανεκδόσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.
2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Οι συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που εμφανίζονται σπάνια μπορεί να ξεφύγουν από το οπτικό μου πεδίο και το σεμινάριο θα είναι πολύτιμη βοήθεια.
Και τα δύο βιβλία είναι δωρεάν για λήψη διαδικτυακά. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, που μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα ανώτερων μαθηματικών.
Από τα εργαλεία, προσφέρω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει σημαντικά τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.
Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια σας επαναλήπτες)
Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Περαιτέρω προτείνω να διαβάσετε το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, καθώς Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Η τοπική εργασία δεν θα είναι περιττή - Διαίρεση του τμήματος από αυτή την άποψη. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε εξίσωση ευθείας σε επίπεδοΜε τα πιο απλά παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν πώς να λύνουν προβλήματα στη γεωμετρία. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα στη γραμμή και στο επίπεδο , άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.
Η έννοια του διανύσματος. ελεύθερο διάνυσμα
Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:
Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, εάν αναδιατάξετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να παραδεχτείτε ότι η είσοδος στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή η έξοδος από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.
Είναι βολικό να ληφθούν υπόψη μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου, το διάστημα ως το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα. Ένα τέτοιο διάνυσμα έχει το ίδιο τέλος και αρχή.
!!! Σημείωση: Εδώ και παρακάτω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.
Ονομασίες:Πολλοί τράβηξαν αμέσως την προσοχή σε ένα ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν ότι έβαλαν και ένα βέλος στην κορυφή! Αυτό είναι σωστό, μπορείτε να γράψετε με ένα βέλος: , αλλά παραδεκτό και εγγραφή που θα χρησιμοποιήσω αργότερα. Γιατί; Προφανώς, μια τέτοια συνήθεια έχει αναπτυχθεί από πρακτικούς λόγους, οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχθηκαν πολύ διαφορετικοί και δασύτριχοι. Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, μερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά ξεχωρίζουν τα γράμματα με έντονους: , υπονοώντας ότι είναι διάνυσμα.
Αυτό ήταν το στυλ, και τώρα για τους τρόπους γραφής των διανυσμάτων:
1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα: και ούτω καθεξής. Ενώ το πρώτο γράμμα αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το τελικό σημείο του διανύσματος.
2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να επανασχεδιαστεί για συντομία με ένα μικρό λατινικό γράμμα .
Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικά.
Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το πρόσημο του modulo: ,
Πώς να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα μάθουμε (ή θα επαναλάβουμε, για ποιον πώς) λίγο αργότερα.
Αυτή ήταν στοιχειώδης πληροφορία για το διάνυσμα, γνωστή σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.
Αν είναι πολύ απλό - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:
Παλαιότερα ονομάζαμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Επειδή κατά την επίλυση προβλημάτων, μπορείτε να «προσαρτήσετε» ένα ή άλλο διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο ακίνητο! Φανταστείτε ένα διάνυσμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει μια τέτοια παροιμία μαθητή: Κάθε λέκτορας στο f ** u στο διάνυσμα. Άλλωστε, όχι μόνο μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι μαθηματικά σωστά - ένα διάνυσμα μπορεί επίσης να προσαρτηθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, οι ίδιοι οι μαθητές υποφέρουν πιο συχνά =)
Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- αυτό είναι πολλά πανομοιότυπα κατευθυντικά τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα ...», υποδηλώνει ειδικόςκατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από το δεδομένο σύνολο, το οποίο συνδέεται με συγκεκριμένο σημείοαεροπλάνα ή χώρους.
Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά λανθασμένη και το σημείο εφαρμογής του διανύσματος έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο είναι αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, όχι δωρεάνδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).
Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων
Στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας εξετάζονται διάφορες ενέργειες και κανόνες με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ο κανόνας της διαφοράς των διανυσμάτων, ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων κ.λπ.Ως σπόρος, επαναλαμβάνουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.
Κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων
Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :
Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, αναβάλλουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:
Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα . Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, καλό είναι να επενδύσετε σε αυτόν φυσική έννοια: αφήστε κάποιο σώμα να κάνει μια διαδρομή κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος . Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει που ξεκινά από το σημείο αναχώρησης και τελειώνει στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να ακολουθήσει τον δρόμο του έντονα ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως με αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος αθροίσματος που προκύπτει.
Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από αρχήδιάνυσμα , τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.
Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, είναι παράλληλα διανύσματα. Σε σχέση όμως με αυτά χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο «συγγραμμικό».
Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συνκατευθυντική. Αν τα βέλη δείχνουν σε διαφορετικές πλευρές, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετα κατευθυνόμενη.
Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο εικονίδιο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).
δουλειάενός μη μηδενικού διανύσματος από έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .
Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με μια εικόνα:
Καταλαβαίνουμε αναλυτικότερα:
1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.
2) Μήκος. Εάν ο παράγοντας περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι δύο φορές μικρότερο από το μήκος του διανύσματος. Αν ο πολλαπλασιαστής modulo είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.
3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως ένα άλλο, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Με αυτόν τον τρόπο: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.
4) Τα διανύσματα είναι συμκατευθυντικά. Τα διανύσματα και είναι επίσης συμκατευθυντικά. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας είναι αντίθετο με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.
Ποια διανύσματα είναι ίσα;
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συν-κατεύθυνση υποδηλώνει ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Ο ορισμός θα είναι ανακριβής (περιττός) αν πείτε: "Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συνκατευθυνόμενα και έχουν το ίδιο μήκος."
Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, το οποίο συζητήθηκε ήδη στην προηγούμενη παράγραφο.
Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα
Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα σε ένα επίπεδο. Ας απεικονίσουμε το Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες και από την προέλευση παραμερίζουμε μονόκλινοφορείς και:
Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Συνιστώ σιγά σιγά να συνηθίσουμε τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότητακαι ορθογωνικότητα.
Ονομασία:η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο κάθετο πρόσημο, για παράδειγμα: .
Τα θεωρούμενα διανύσματα ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Ποια είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς, πιο λεπτομερείς πληροφορίες μπορούν να βρεθούν στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση.Με απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίωσης πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.
Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: "ορθό" - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο "κανονικοποιημένο" σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.
Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟανταλλάξουμε θέσεις.
Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς: , όπου - αριθμοί, που ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Αλλά η ίδια η έκφραση
που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάση .
Δείπνο που σερβίρεται:
Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση του διανύσματος ως προς τη βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις εξετάστηκαν:
1) ο κανόνας του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .
Τώρα παραμερίστε διανοητικά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο στο επίπεδο. Είναι αρκετά προφανές ότι η διαφθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα «κουβαλάει τα πάντα μαζί σου». Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να παραμερίζονται από την προέλευση, το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει από αυτό! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, γιατί ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας βγάλει ένα "πάσο" σε ένα απροσδόκητο μέρος.
Τα διανύσματα , απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα συν-κατευθύνεται με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν, μπορεί να γραφτεί σχολαστικά ως εξής:
Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).
Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν σας είπα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι που, παρατήρησα ότι η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται ήρεμα ως άθροισμα: . Αναδιάταξη των όρων σε θέσεις και ακολουθήστε το σχέδιο πόσο ξεκάθαρα λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις καταστάσεις.
Θεωρείται αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή στο σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα, η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:
Ή με σύμβολο ίσον:
Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και
Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικές εργασίες, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές εγγραφής.
Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά και πάλι θα πω: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα . Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.
Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα σκεφτείτε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, όλα είναι σχεδόν ίδια εδώ! Θα προστεθεί μόνο μία ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να εκτελέσω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα αναβάλω από την αρχή:
Οποιοςτρισδιάστατο διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται σε ορθοκανονική βάση: , όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) στη δεδομένη βάση.
Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι κανόνες διανυσματικών ενεργειών εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (ματζέντα βέλος). Δεύτερον, πριν από εσάς είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτό περίπτωση τριών, διανύσματα: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το σημείο εκκίνησης (η αρχή του διανύσματος) και καταλήγει στο τελικό σημείο άφιξης (το τέλος του διανύσματος).
Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα, προσπαθήστε να αναβάλετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η επέκτασή του «μένει μαζί του».
Ομοίως με την θήκη του αεροπλάνου, εκτός από τη γραφή εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .
Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην επέκταση, τότε τοποθετούνται μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε .
Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:
Εδώ, ίσως, βρίσκονται όλες οι ελάχιστες θεωρητικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Ίσως υπάρχουν πάρα πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό προτείνω τα ανδρείκελα να τα ξαναδιαβάσετε και να τα κατανοήσετε αυτή η πληροφορίαπάλι. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη κατά καιρούς να αναφέρεται βασικό μάθημαγια καλύτερη κατανόηση του υλικού. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιηθούν συχνά σε όσα ακολουθούν. Σημειώνω ότι τα υλικά του ιστότοπου δεν επαρκούν για να περάσετε ένα θεωρητικό τεστ, ένα συνέδριο για τη γεωμετρία, αφού κωδικοποιώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (εκτός από αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας του θέματος. Για λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, σας ζητώ να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.
Τώρα ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος:
Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες
Οι εργασίες που θα εξεταστούν, είναι πολύ επιθυμητό να μάθετε πώς να τις επιλύετε πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, μην το θυμάστε καν επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, γιατί στο πιο απλό στοιχειώδη παραδείγματαβασίζονται άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας και θα ήταν ενοχλητικό να ξοδεύουμε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια. Δεν χρειάζεται να κουμπώσεις τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σου, πολλά πράγματα σου είναι γνωστά από το σχολείο.
Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες ...θα το δείτε μόνοι σας.
Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα με δύο σημεία;
Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:
Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:
Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες διανυσματική έναρξη.
Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.
Παράδειγμα 1
Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες
Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος συμβολισμός:
Οι αισθητικοί θα αποφασίσουν ως εξής:
Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση του δίσκου.
Απάντηση:
Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν χρειαζόταν να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να εξηγήσω ορισμένα σημεία στα ανδρείκελα, δεν θα είμαι πολύ τεμπέλης:
Πρέπει να γίνει κατανοητό διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:
Συντεταγμένες σημείωνείναι οι συνήθεις συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων από τον βαθμό 5-6. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.
Οι συντεταγμένες του ίδιου διανύσματοςείναι η επέκτασή του ως προς τη βάση , στην προκειμένη περίπτωση . Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, αν χρειαστεί, μπορούμε εύκολα να το αναβάλουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα, δεν μπορείτε να δημιουργήσετε καθόλου άξονες, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση, μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.
Οι εγγραφές των σημειακών συντεταγμένων και των διανυσματικών συντεταγμένων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και αίσθηση των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το χώρο.
Κυρίες και κύριοι, γεμίζουμε τα χέρια μας:
Παράδειγμα 2
α) Δίνονται σημεία και . Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .
Ίσως αρκετά. Αυτά είναι παραδείγματα για ανεξάρτητη λύση, προσπαθήστε να μην τα αμελήσετε, θα σας αποδώσει ;-). Δεν απαιτούνται σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.
Τι είναι σημαντικό για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε το αριστοτεχνικό σφάλμα «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη αν έκανα λάθος =)
Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;
Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.
Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο
Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο
Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική
Παράδειγμα 3
Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση:
Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο
Ευθύγραμμο τμήμα - δεν είναι διάνυσμα, και δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά, φυσικά. Επιπλέον, εάν ολοκληρώσετε το σχέδιο σε κλίμακα: 1 μονάδα. \u003d 1 cm (δύο τετραδικά κελιά), τότε η απάντηση μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.
Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά έχει και δυο ακόμα σημαντικά σημείαΘα ήθελα να διευκρινίσω:
Αρχικά, στην απάντηση ορίσαμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, η γενική διατύπωση θα είναι μια μαθηματικά ικανή λύση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".
Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για το εξεταζόμενο πρόβλημα:
δώσε προσοχή στο σπουδαίος τεχνική
– βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, πήραμε το αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Η διαδικασία φαίνεται πιο αναλυτικά ως εξής: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση στη φόρμα δεν θα είναι λάθος - αλλά είναι σίγουρα ένα ελάττωμα και ένα βαρύ επιχείρημα για τσιμπήματα από την πλευρά του δασκάλου.
Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:
Συχνά ένας αρκετά μεγάλος αριθμός λαμβάνεται κάτω από τη ρίζα, για παράδειγμα. Πώς να είσαι σε τέτοιες περιπτώσεις; Στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4:. Ναι, χωρίστε εντελώς, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Με αυτόν τον τρόπο:
. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά είναι σαφώς αδύνατη. Προσπαθώντας να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.
Συμπέρασμα:αν κάτω από τη ρίζα λάβουμε έναν εντελώς μη εξαγόμενο αριθμό, τότε προσπαθούμε να βγάλουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, και τα λοιπά.
Κατά την επίλυση διάφορων προβλημάτων, συχνά βρίσκονται ρίζες, προσπαθείτε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερη βαθμολογία και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας σύμφωνα με την παρατήρηση του δασκάλου.
Ας επαναλάβουμε τον τετραγωνισμό των ριζών και άλλων δυνάμεων ταυτόχρονα:
Οι κανόνες για ενέργειες με πτυχία σε γενική μορφή μπορούν να βρεθούν σε ένα σχολικό εγχειρίδιο για την άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα από τα παραδείγματα που δίνονται.
Εργασία για μια ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:
Παράδειγμα 4
Δεδομένα σημεία και . Βρείτε το μήκος του τμήματος.
Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;
Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.
Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .
Όλα τα βιβλία μπορούν να τα κατεβάσετε δωρεάν και χωρίς εγγραφή.
ΝΕΟΣ. Η/Υ. Ρασέφσκι. Γεωμετρία Riemann και ανάλυση τανυστών. 3η έκδ. 1967 664 σελ. djvu. 5,7 MB.
Στη μονογραφία αυτή, σε αναλυτική παρουσίαση και με ολοκληρωμένη κάλυψη του θέματος, ο συγγραφέας παρουσιάζει υλικό που περιλαμβάνει ό,τι βασικότερο και σημαντικότερο στον τομέα της ανάλυσης τανυστών και της γεωμετρίας του Ρίμαν.
Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του βιβλίου είναι η έξοδος από το πεδίο της καθαρής ανάλυσης τανυστών και της γεωμετρίας του Ρίμαν στη μηχανική και τη φυσική (ιδιαίτερη προσοχή από αυτή την άποψη δίνεται στη θεωρία της σχετικότητας). Ψευδοευκλείδειοι και ψευδο-ριμαννικοί χώροι, θεωρούνται χώροι συγγενικής σύνδεσης. Ορισμένα παραδείγματα δίνουν τις βασικές ιδέες της θεωρίας των γεωμετρικών αντικειμένων, συμπεριλαμβανομένης της θεωρίας των σπινορ τετραδιάστατο χώρο. Η έκθεση συμπληρώνεται επίσης από μια σειρά από συγκεκριμένα ερωτήματα θεμελιώδους σημασίας (η θεωρία των καμπυλών και των υπερεπιφανειών σε έναν χώρο Riemann κ.λπ.).
Το βιβλίο προορίζεται για ειδικούς στον τομέα της ανάλυσης τανυστών και της γεωμετρίας του Ρίμαν, μηχανικούς και μπορεί επίσης να χρησιμεύσει ως εγχειρίδιο για φοιτητές πανεπιστημίου.
Από τη φύση του, αυτό το βιβλίο είναι πολύ πιο κοντά σε ένα εγχειρίδιο παρά σε μια μονογραφία που προορίζεται για ειδικούς. Το υλικό είναι αρκετά προσιτό σε τριτοετή φοιτητή του πανεπιστημίου.
Κατεβάστε
ΝΕΟΣ. ΣΕ ΚΑΙ. Φιλιππένκο. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΕΔΙΟΥ. έτος 2009. 27 σελ. PDF. 333 Kb.
Το εγχειρίδιο εξετάζει τις βασικές έννοιες της θεωρίας πεδίου: gradient, divergence, curl, circulation. Δίνονται εφαρμογές των θεωρημάτων Gauss–Ostrogradsky και Stokes. Υποδεικνύονται οι συνθήκες δυναμικότητας και σωληνοειδής διανυσματικών πεδίων. Δίνονται αναλυτικές λύσεις τυπικών παραδειγμάτων για υπολογισμό. αριθμητικά χαρακτηριστικάδιανυσματικό πεδίο. Έχει επιλεγεί επαρκής αριθμός παραδειγμάτων για ανεξάρτητη λύση από τους μαθητές.
Το εγχειρίδιο προορίζεται για φοιτητές μερικής φοίτησης YURGUES.
Συνιστώ να διαβάσετε στη μελέτη του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού στη γενική φυσική.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
Akivis M. A., Goldberg V. V. Λογισμός Tensor: Proc. επίδομα. 3η έκδ., αναθεωρημένη. 2003 304 σελ. djvu. 2,0 Mb.
Τα θεμέλια του λογισμού τανυστών και ορισμένες από τις εφαρμογές του στη γεωμετρία, τη μηχανική και τη φυσική περιγράφονται. Κατασκευασμένο ως εφαρμογές γενική θεωρίαΕπιφάνειες δεύτερης τάξης, μελετώνται οι τανυστές αδράνειας, οι τάσεις, οι παραμορφώσεις και εξετάζονται ορισμένα ερωτήματα της κρυσταλλικής φυσικής. Τελικό κεφάλαιοεισάγει τα στοιχεία της ανάλυσης τανυστών.
Για φοιτητές ανώτερων τεχνικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.
Κατεβάστε
Yu.A. Ο Αμίνοφ. Διανυσματική γεωμετρία πεδίου. 1990 215 σελ. djvu. 5,1 MB.
Παρουσιάζονται αποτελέσματα σχετικά με τη γεωμετρία των διανυσματικών πεδίων στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, ξεκινώντας από την εργασία των Foss, Sintsov, Lilienthal και άλλων. Εξετάζονται διανυσματικά πεδία στον r-διάστατο χώρο, συστήματα εξισώσεων Pfaff και εξωτερικές μορφές. Ορισμένες τοπολογικές έννοιες περιγράφονται εν συντομία και διατυπώνεται το θεώρημα του de Rham. Εισάγεται η αναλλοίωτη Godbillon-Wey του φυλλώματος και αποδεικνύεται ο τύπος του Whitehead. .
Για φοιτητές, μεταπτυχιακούς φοιτητές και ερευνητές στην ειδικότητα «γεωμετρία και τοπολογία». ένα).
. . . . Κατεβάστε
Anchikov AM Βασικές αρχές ανάλυσης διανυσμάτων και τανυστών. 1988 140 σελίδες djv. 1,5 MB.
Για φοιτητές φυσικών και ραδιοφυσικών ειδικοτήτων ΑΕΙ και ΤΕΙ που θέλουν να μάθουν μόνοι τους το μάθημα.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
Μ.Α. Ακίβης, V.V. Γκόλντμπεργκ. Λογισμός τανυστήρα. 1969 352 σελ. tdjvu. 3,4 MB.
Περιγράφονται τα θεμέλια του λογισμού τανυστών και ορισμένες από τις εφαρμογές του στη γεωμετρία, τη μηχανική και τη φυσική. Ως εφαρμογές κατασκευάζεται μια γενική θεωρία επιφανειών δεύτερης τάξης, μελετώνται οι τανυστές της αδράνειας, οι τάσεις και η απόκλιση, ενώ στο τελευταίο κεφάλαιο εισάγονται τα στοιχεία της ανάλυσης τανυστών.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
Averu J. et al. ΤΕΤΡΑΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ PIMAHOVA. 175 σελ. djvu. 3,9 MB.
Συλλογική μονογραφία γραμμένη από μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών, που επιμελήθηκε ο Arthur Besse. Το βιβλίο παρουσιάζει συστηματικά αποτελέσματα από τον τομέα της γεωμετρίας και της ανάλυσης, αντικατοπτρίζει τις συνδέσεις τους με σύγχρονα θέματαη φυσικη. Για μαθηματικούς διαφόρων ειδικοτήτων, θεωρητικούς φυσικούς, μεταπτυχιακούς φοιτητές και πανεπιστημιακούς.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
3.Τ. ΜΠΑΖΙΛΕΦ, Κ.Ι. ΝΤΟΥΝΙΤΣΙΦ. Γεωμετρία 2. σε 2 τόμους. Uch. επίδομα 1975 368 σελ. djvu. 5,4 MB.
Περιεχόμενα: ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΙΚΟΝΑΣ. ΘΕΜΕΛΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ. ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΗΔΕΙΟ ΧΩΡΟ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
3. T. BAZYLEV, K. I. DUNICHEV, and V. P. IVANITSKA. Γεωμετρία. σε 2 τόμους. Uch. επίδομα για το 1ο μάθημα. 1974 353 σελ. djvu. 5,1 MB.
Αυτό το μάθημα γεωμετρίας, που δημοσιεύτηκε σε δύο βιβλία, συντάχθηκε με βάση διαλέξεις που έδωσαν οι συγγραφείς στη Μαθηματική Σχολή του Περιφερειακού Παιδαγωγικού Ινστιτούτου της Μόσχας που ονομάστηκε V.I. N. K. Krupskaya. Αντιστοιχεί στο νέο πρόγραμμα που υιοθετήθηκε στα παιδαγωγικά ινστιτούτα το 1970. Η παρουσίαση αυτού του μαθήματος συνάδει πλήρως με το νέο πρόγραμμα στην άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών. Το μάθημα είναι δομημένο με τέτοιο τρόπο ώστε σημαντικές έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών όπως οι έννοιες του συνόλου, του διανυσματικού χώρου, της χαρτογράφησης, του μετασχηματισμού, της μαθηματικής δομής, να αποτελούν εργαλείο εργασίας στη μελέτη της γεωμετρίας. Η αξιωματική μέθοδος αρχίζει να εφαρμόζεται μόνο στο κεφάλαιο για τους ν-διάστατους συγγενείς και Ευκλείδειους χώρους. Πριν από αυτό, το υλικό παρουσιάζεται με βάση εκείνες τις γεωμετρικές ιδέες που έχουν αναπτύξει οι μαθητές κατά τη μελέτη του μαθήματος της σχολικής γεωμετρίας. Τα αξιωματικά του σχολικού μαθήματος της γεωμετρίας και οι συνδέσεις του με άλλα αξιωματικά της γεωμετρίας εξετάζονται στην ενότητα για τα θεμέλια της γεωμετρίας (στο δεύτερο μέρος του προτεινόμενου μαθήματος).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
Μπορισένκο, Ταράποφ. Διανυσματική ανάλυση και οι απαρχές του λογισμού τανυστών. Ίσως το καλύτερο βιβλίο για το θέμα. Το υλικό που παρουσιάζεται είναι αρκετό για την κατανόηση των ενοτήτων της φυσικής (ιδιαίτερα χρήσιμο για τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό). Υπάρχουν πολλά χρήσιμα παραδείγματα στο τέλος του βιβλίου. Μέγεθος 2,1 Mb.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
Wolf J. Spaces σταθερή καμπυλότητα. 1982 480 σελίδες djvu. 6,5 MB.
Το βιβλίο είναι αφιερωμένο σε προβλήματα ταξινόμησης της θεωρίας χώρων σταθερής καμπυλότητας-κυρτότητας και συμμετρικών χώρων. Εξέχουσα θέση στο kei κατέχει η πλήρης λύση του συγγραφέα του κλασικού προβλήματος των σφαιρικών χωρικών μορφών. Καλύπτεται όμως ένα πολύ ευρύτερο φάσμα προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένης μιας μερικής ταξινόμησης ψευδο-Ριμαννικών χώρων σταθερής καμπυλότητας. Τα δύο πρώτα κεφάλαια είναι μια εισαγωγή στη σύγχρονη γεωμετρία του Ρίμαν.
Για επιστήμονες και μεταπτυχιακούς φοιτητές με ειδίκευση στη γεωμετρία, την τοπολογία, τη θεωρία των ομάδων Lie, καθώς και για θεωρητικούς φυσικούς και ειδικούς στη μαθηματική κρυσταλλογραφία. Μπορεί να είναι χρήσιμο για προπτυχιακούς φοιτητές.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
P.B. Gusyatnikov, S.V. Ρεζνίτσενκο. Διανυσματική άλγεβρα σε παραδείγματα και προβλήματα. Σχολικό βιβλίο. 1985 233 σελίδες djvu. 4,1 MB.
Το βιβλίο είναι αφιερωμένο στην εποχή του λογισμού εξόρυξης και στην εφαρμογή του στην επίλυση προβλημάτων. γεωμετρικά προβλήματαΔίνονται οι απαραίτητες πληροφορίες από τη στοιχειώδη γεωμετρία, εξετάζονται διανύσματα και γραμμικές πράξεις σε αυτά, βαθμωτές, διανυσματικές και μικτά γινόμενα διανυσμάτων.
Ένα αρκετά απλό εγχειρίδιο, αλλά το υλικό που περιέχεται σε αυτό θα πρέπει να είναι γνωστό σε κάθε φοιτητή μηχανικού.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
Dimitrienko Yu.I. Λογισμός τανυστή. Σχολικό βιβλίο. 2001 575 σελίδες djvu. 5,1 MB.
Το εγχειρίδιο καλύπτει τις κύριες ενότητες του λογισμού τανυστών που χρησιμοποιούνται στη μηχανική και ηλεκτροδυναμική συνεχών μέσων, σύνθετη μηχανική, κρυσταλλική φυσική, κβαντική χημεία: άλγεβρα τανυστών, ανάλυση τανυστών, περιγραφή καμπυλών και επιφανειών τανυστών, τα βασικά του ολοκληρωτικού λογισμού τανυστών. Η θεωρία των αναλλοίωτων, η θεωρία των αδιάφορων τανυστών που ορίζουν φυσικές ιδιότητεςπεριβάλλοντα, τη θεωρία των ανισότροπων συναρτήσεων τανυστή, καθώς και τα θεμέλια του λογισμού τανυστών σε χώρους Riemann και χώρους με συγγενική σύνδεση.
Για φοιτητές και μεταπτυχιακούς φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων που σπουδάζουν σε ειδικότητες φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
V.A. Ζελνόροβιτς. Η θεωρία Spinor και οι εφαρμογές της. έτος 2001. 401 p.djvu. 3,1 MB
Το βιβλίο περιέχει μια συστηματική έκθεση της θεωρίας των σπινορών σε πεπερασμένες διαστάσεις Ευκλείδειους και Ριμαννιακούς χώρους. εξετάζει τη χρήση των spinors στη θεωρία πεδίου και σχετικιστική μηχανικήσυνέχεια. Το κύριο μαθηματικό μέρος συνδέεται με τη μελέτη των αμετάβλητων αλγεβρικών και γεωμετρικών σχέσεων μεταξύ σπινορών και τανυστών. Με ιδιαίτερο και αναλυτικό τρόπο παρουσιάζονται η θεωρία των σπινορ και οι μέθοδοι αναπαράστασης τανυστών σπινορ και εξισώσεων σπινορ σε τετραδιάστατους και τρισδιάστατους χώρους. Ως εφαρμογή, εξετάζουμε μια διατύπωση αμετάβλητου τανυστή ορισμένων κατηγοριών διαφορικών εξισώσεων σπινορ που περιέχουν, ειδικότερα, τις πιο σημαντικές εξισώσεις σπινορ της θεωρίας πεδίου και της κβαντικής μηχανικής. Δίνονται ακριβείς λύσεις εξισώσεων για σχετικιστικά σπιν υγρά, εξισώσεις Einstein-Dirac και μερικές μη γραμμικές εξισώσεις θεωρίας πεδίου σπινορ. Το βιβλίο περιέχει πολύ τεκμηριωμένο υλικό και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αναφορά. Το βιβλίο απευθύνεται σε ειδικούς στον τομέα της θεωρίας πεδίου, καθώς και σε φοιτητές και μεταπτυχιακούς φοιτητές φυσικών και μαθηματικών ειδικοτήτων.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
P.A. Ζιλίν. Διανύσματα και τανυστές δεύτερης βαθμίδας. >1996. 275 σελ. djvu. 1,5 MB.
Το βιβλίο είναι το πρώτο μέρος μιας ελαφρώς αναθεωρημένης διάλεξης για το μάθημα της θεωρητικής μηχανικής, που διαβάζεται από τον συγγραφέα σε φοιτητές της Σχολής Φυσικής και Μηχανικής. Ο συγγραφέας έπρεπε να λάβει υπόψη του αντικρουόμενες απαιτήσεις. Από τη μια αυτό σύγχρονη πορείαπροχωρημένου τύπου, διαβάστε σε μελλοντικούς μηχανολόγους-ερευνητές κατά το τρίτο, τρίτο και τέταρτο εξάμηνο. Από την άλλη πλευρά, κατά την ανάγνωση του μαθήματος, ο συγγραφέας μπορούσε να υπολογίζει μόνο στο γεγονός ότι οι μαθητές είχαν γνώση των μαθηματικών στο πλαίσιο του σχολικού προγράμματος σπουδών.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
Ο Ο.Ε. Ζουμπέλεβιτς. Διαλέξεις για την ανάλυση τανυστών. 51 σελ. PDF. 281 Kb.
Υπάρχουν δύο κεφάλαια στις διαλέξεις: 1. Πολυγραμμική άλγεβρα, 2. Διαφορικός λογισμός τανυστών.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
M.L. Krasnov, A.I. Kiselev, G.I. Μακαρένκο. Διανυσματική ανάλυση. Προβλήματα και παραδείγματα με αναλυτικές λύσεις. Σχολικό βιβλίο. 2007 158 σελίδες djvu. 944 Kb.
Η προτεινόμενη συλλογή προβλημάτων μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύντομο μάθημα στη διανυσματική ανάλυση, στο οποίο τα κύρια γεγονότα αναφέρονται χωρίς απόδειξη και επεξηγούνται με συγκεκριμένα παραδείγματα. Επομένως, το προτεινόμενο βιβλίο προβλημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αφενός, για να επαναλάβει τα βασικά της διανυσματικής ανάλυσης και, αφετέρου, ως εγχειρίδιο για άτομα που, χωρίς να μπουν στις αποδείξεις ορισμένων προτάσεων και θεωρημάτων, θέλουν να κατακτήσουν η τεχνική των πράξεων διανυσματικής ανάλυσης. Κατά τη σύνταξη του βιβλίου προβλημάτων, οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν το υλικό που περιέχεται στα διαθέσιμα διανυσματικά μαθήματα λογισμού και συλλογές προβλημάτων. Σημαντικό μέρος των προβλημάτων συντάχθηκε από τους ίδιους τους συγγραφείς.Στην αρχή κάθε ενότητας δίνεται περίληψη των βασικών θεωρητικών διατάξεων, ορισμών και τύπων, καθώς και αναλυτική λύση 100 παραδειγμάτων. Το βιβλίο περιέχει περισσότερες από 300 εργασίες και παραδείγματα για αυτολύσεις. Σε όλους τους παρέχονται απαντήσεις ή οδηγίες για τη λύση. Υπάρχει μια σειρά από προβλήματα εφαρμοσμένης φύσης, τα οποία επιλέγονται έτσι ώστε η ανάλυσή τους να μην απαιτεί πρόσθετες πληροφορίες από τον αναγνώστη από ειδικούς κλάδους. Το υλικό του έκτου κεφαλαίου, αφιερωμένο στις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες και τις βασικές πράξεις της διανυσματικής ανάλυσης σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, συμπεριλήφθηκε στο βιβλίο για να δώσει στον αναγνώστη τουλάχιστον έναν ελάχιστο αριθμό εργασιών για να αποκτήσει τις απαραίτητες δεξιότητες.
Η συλλογή εργασιών έχει σχεδιαστεί για μαθητές ημερήσιων και βραδινών τμημάτων τεχνικών πανεπιστημίων, μηχανικοί, καθώς και φοιτητές μερικής φοίτησης εξοικειωμένοι με τη διανυσματική άλγεβρα και τη μαθηματική ανάλυση στα δύο πρώτα μαθήματα.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κατεβάστε
V.F. Κάγκαν. Βασικές αρχές της θεωρίας των επιφανειών στην παρουσίαση τανυστών. Σε 2 μέρη. 1947-1948 χρόνια. djvu.
Μέρος 1. Ερευνητικός μηχανισμός. Γενικά θεμέλια της θεωρίας και εσωτερική γεωμετρία της επιφάνειας. 514 σελίδες 16,4 Mb.
Μέρος 2. Επιφάνειες στο διάστημα. Χαρτογράφηση και κάμψη επιφανειών. Ειδικές ερωτήσεις. 410 σελίδες 14,8 Mb.
Ένα βιβλίο για όσους θέλουν να κατανοήσουν διεξοδικά την ανάλυση τανυστών.
αντίγραφο
1 θεωρητικής φυσικής «Εγκρίνω» Κοσμήτορας Φυσικής F. V. Titov 2012 Πρόγραμμα εργασιών του κλάδου Vector and tensor analysis για την ειδικότητα Φυσική, ΕΝ.Φ.3.4 Μάθημα: 1 Εξάμηνο: 2 Διαλέξεις: 16 ώρες. Πρακτικά μαθήματα: 18 ώρες. Ανεξάρτητη εργασία: 36 ώρες. Σύνολο: 70 ώρες. Συντάκτης: Ph.D., Αναπλ. KTF KemSU Kravchenko N.G. Εξετάσεις: 2ο εξάμηνο Kemerovo 2013
3 1. Επεξηγηματικό σημείωμαΤο πρόγραμμα εργασίας καταρτίστηκε με βάση το τυπικό πρόγραμμα του μαθήματος "Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών" για την ειδικότητα "Φυσική", την κατεύθυνση "Φυσική", εγκεκριμένο από το UMC στη Φυσική του UMO των κλασικών πανεπιστημίων (Μόσχα, 2001 ) και συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις του Κρατικού Εκπαιδευτικού Προτύπου για την ειδικότητα "Φυσική" (κατεύθυνση "Φυσική"), που εγκρίθηκε το 2000. Συνάφεια και σημασία του μαθήματος. Στοιχεία ανάλυσης διανυσμάτων και τανυστών χρησιμοποιούνται ευρέως σε όλους τους κλάδους της φυσικής. Το μάθημα στοχεύει στην ανάπτυξη ιδεών και δεξιοτήτων εργασίας με μαθηματικά αντικείμενα τανυστικής φύσης, τα οποία αποτελούν τη βάση μιας αμετάβλητης μαθηματικής συσκευής, που χρησιμοποιείται ευρέως τόσο γενικά (ηλεκτρισμός και μαγνητισμός) όσο και στη θεωρητική φυσική (θεωρητική μηχανική, ηλεκτροδυναμική, θεμελιώδεις αρχές της μηχανικής του συνεχούς, της κβαντικής μηχανικής) κ.λπ.). Αυτό το μάθημα είναι επίσης η βάση για τα περισσότερα από τα ειδικά μαθήματα κατάρτισης. Σκοπός και στόχοι του μαθήματος. Συστηματοποίηση προηγούμενων γνώσεων μαθηματική ανάλυσηκαι αναλυτική γεωμετρία (έννοιες βαθμωτής, διανύσματος, μετάβαση από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο, ολοκληρωτικά θεωρήματα των Gauss-Ostrogradsky και Stokes, η έννοια μιας διανυσματικής ροής και κυκλοφορίας ενός διανυσματικού πεδίου κ.λπ.). αποκτήσουν νέες γνώσεις (η έννοια του τανυστή, η εργασία με δείκτες, η ικανότητα εργασίας σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, οι διαφορικοί τελεστές rot, dv και grad, γενικευμένα ολοκληρωτικά θεωρήματα κ.λπ.) να είναι σε θέση να εφαρμόζει μορφές δεικτών για την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων (επίλυση των απλούστερων προβλημάτων ηλεκτροδυναμικής, θεωρητική μηχανικήκαι μηχανική συνεχούς). Η θέση της πειθαρχίας στην επαγγελματική κατάρτιση των ειδικών. Ο κλάδος εντάσσεται στον επαγγελματικό κύκλο των γενικών μαθηματικών και φυσικών επιστημών (ΕΝ.Φ.3.4). Αυτός ο κλάδος σχετίζεται λογικά και ουσιαστικά με κλάδους και ενότητες OOP όπως: "Αναλυτική Γεωμετρία", "Γραμμική Άλγεβρα", "Μαθηματική Ανάλυση" και είναι απαραίτητο κατά τη μελέτη του μαθήματος γενική φυσική«Ηλεκτρισμός και μαγνητισμός», όλα τα μαθήματα θεωρητικής φυσικής. Δομή ακαδημαϊκή πειθαρχία. Αυτό το μάθημα αποτελείται από δύο μέρη: Ανάλυση διανυσμάτων και Ανάλυση τανυστή. Τα θέματα που συνθέτουν το κύριο περιεχόμενο του μαθήματος περιλαμβάνουν: βαθμωτά και διανυσματικά πεδία, Green's, Ostrogradsky-Gauss, θεωρήματα Stokes, διαφορικό τελεστή κλίση, απόκλιση, δρομέας, τελεστής Laplace, βασικές πράξεις διανυσματικής ανάλυσης σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, δυναμικό και ηλεκτρομαγνητικά πεδία, διάνυσμα πολυγραμμικών συναρτήσεων
4 ορίσματα, μετασχηματισμός συντεταγμένων τανυστών κατά την αλλαγή της βάσης του γραμμικού χώρου. Χαρακτηριστικά της μελέτης της πειθαρχίας. Αυτό το μάθημα αποτελεί μέρος μιας μεγάλης ενότητας μαθηματικών «Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών», αλλά έχει σχεδιαστεί για φοιτητές φυσικής και διατίθεται μικρός αριθμός ωρών για τη μελέτη του. Επομένως, από αυτή την τεράστια ενότητα των μαθηματικών επιλέχθηκε η ύλη που είναι απαραίτητη στη μελέτη των θεωρητικών μαθημάτων της φυσικής. Με βάση το επίπεδο εκπαίδευσης των φοιτητών που σπουδάζουν στη Σχολή Φυσικής του KemSU, οι παραδόσεις διδασκαλίας αυτού του μαθήματος στο πανεπιστήμιο δεν υπάρχει ενότητα "Στοιχεία θεωρίας ομάδων". Αυτό σχετίζεται με την επιλογή αυτός ο τομέαςσε αυτοτελή μαθήματα «Θεωρία Ομάδων» και «Θεωρία Συμμετρίας». Παράλληλα, έγινε προσπάθεια να επιστηθεί η προσοχή των μαθητών στο φυσικό περιεχόμενο του λογισμού τανυστών. Μορφή οργάνωσης μαθημάτων στο μάθημα. Η οργάνωση των μαθημάτων είναι παραδοσιακή, για το μάθημα «Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών» κατά τη διάρκεια ενός εξαμήνου γίνονται διαλέξεις και πραγματοποιούνται πρακτικά μαθήματα. Ωστόσο, τα μαθήματα γίνονται κάθε δεύτερη εβδομάδα, γεγονός που απαιτεί από τους μαθητές να καταβάλουν ορισμένες προσπάθειες για την επιτυχή οργάνωση των πρακτικών μαθημάτων και την αφομοίωση της ύλης από τους μαθητές. Η σχέση της τάξης με την ανεξάρτητη εργασία των μαθητών. Τα μαθήματα στην τάξη, οι διαλέξεις και η πρακτική περιλαμβάνουν ανεξάρτητη εργασία των φοιτητών σε αυτό το μάθημα. Στις διαλέξεις προσφέρονται επιπλέον θέματα για ανεξάρτητη μελέτη και ορισμένοι υπολογισμοί πραγματοποιούνται ανεξάρτητα. Στα πρακτικά μαθήματα δίνονται εργασίες για ανεξάρτητη επίλυση προβλημάτων και ασκήσεις. Απαιτήσεις για το επίπεδο γνώσης του περιεχομένου του μαθήματος. Ελεύθερος να λειτουργήσει τέτοια μαθηματικές έννοιεςόπως τανυστής, διάνυσμα και βαθμωτός. διανυσματικό πεδίο μπούκλα και απόκλιση, κλιμακωτή κλίση πεδίου. Να έχουν τις δεξιότητες να εργάζονται σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων. Να είναι σε θέση να εφαρμόσει τη γνώση της ανάλυσης τανυστών και διανυσμάτων σε σωματικές εργασίες. Πεδίο εφαρμογής και χρονοδιάγραμμα του μαθήματος. Το μάθημα «Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών» διδάσκεται στο πρώτο έτος (2ο εξάμηνο): διαλέξεις 1 ώρα την εβδομάδα (16 ώρες), πρακτικά μαθήματα 1 ώρα την εβδομάδα (18 ώρες), ανεξάρτητη εργασία φοιτητών (36 ώρες). Είδη ελέγχου γνώσης και αναφορά τους. Η αφομοίωση του υλικού που παρουσιάζεται στις διαλέξεις ελέγχεται με την πραγματοποίηση πεντάλεπτων «υπαγορεύσεων διαλέξεων» σχετικά με τις βασικές έννοιες προηγούμενων διαλέξεων. Η αφομοίωση κάθε θέματος που καλύπτεται στο πρακτικό μάθημα ελέγχεται με τη διεξαγωγή ενός τεστ πέντε επτά λεπτών. Κατά τη διάρκεια του εξαμήνου υπάρχουν οκτώ εργασίες ελέγχουκαι επτά υπαγορεύσεις διαλέξεων. Τα θέματα που υποβάλλονται για ανεξάρτητη μελέτη περιλαμβάνουν τη συγγραφή δοκιμίων.
5 Κριτήρια αξιολόγησης των γνώσεων των μαθητών για το μάθημα. Για να αποκτήσετε είσοδο στις εξετάσεις για το μάθημα "Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών", πρέπει να παρακολουθήσετε μαθήματα στην τάξη και να ολοκληρώσετε εργασίες ελέγχου για ένα πρακτικό και θεωρητικό μάθημα. Το σύστημα αξιολόγησης της εργασίας των μαθητών είναι μοριοδότηση, επιτρέπεται να συμμετάσχουν στις εξετάσεις μαθητές που βαθμολογούν τουλάχιστον το 25% της μέγιστης δυνατής βαθμολογίας. Ο βαθμός "καλό" δίνεται κατά την επίλυση δύο προβλημάτων του εξεταστικού χαρτιού. Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο εάν δοθεί η πλήρης, σωστή, βήμα προς βήμα επίλυσή του με προφορική εξήγηση. Για να πάρεις βαθμό «άριστα», εκτός από την επίλυση του προβλήματος, είναι απαραίτητο να απαντηθούν πλήρως και κατανοητά δύο θεωρητικές ερωτήσεις του εισιτηρίου. Η εξέταση διεξάγεται προφορικά. 2. Θεματικό σχέδιο. Όγκος ωρών Τίτλος και περιεχόμενο ενοτήτων, θεμάτων, ενοτήτων Γενικές Εργασίες στην τάξη Διαλέξεις Πρακτικό Εργαστήριο Αυτοδιδασκαλία Μορφές ελέγχου Στοιχεία διανυσματικής άλγεβρας Υπαγόρευση διάλεξης, εργασία επαλήθευσης 2 Άλγεβρα τανυστών Υπαγόρευση διάλεξης, εργασία επαλήθευσης 3 Διανυσματική ανάλυση - βασικοί ορισμοί 4 ολοκληρωτικά θεωρήματα διανυσματικής ανάλυσης, διαφορικά χαρακτηριστικά διανυσματικών πεδίων Διάλεξη υπαγόρευση, δοκιμαστική εργασία Διάλεξη υπαγόρευση, δοκιμή
6η εργασία 5 Βασικές πράξεις διαφοροποίησης διανυσμάτων 6 Τύποι Green και το κύριο θεώρημα της διανυσματικής ανάλυσης Υπαγόρευση διάλεξης, δοκιμαστική εργασία Υπαγόρευση διάλεξης 7 Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Περίληψη 8 Στοιχεία θεωρίας ομάδων Περίληψη Σύνολο: Το περιεχόμενο του κλάδου. Θεωρητικό μάθημα. Στοιχεία διανυσματικής άλγεβρας. Σκαλαράκια. Διανύσματα - ορισμός, κανόνας προσθήκης. Αντίθετο διάνυσμα. Μηδενικό διάνυσμα. Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα. Γραμμική εξάρτησηφορείς. Συνθήκη γραμμικής ανεξαρτησίας τριών διανυσμάτων. Αποσύνθεση φορέων. Διανυσματική βάση. Καρτεσιανή βάση. Κλιμακωτό, διανυσματικό, μικτό, διπλό διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων - ορισμός, υπολογισμός σε Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες. Μετασχηματισμός orts δύο ορθογώνιων βάσεων. Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί. Ορθογώνιες μήτρες. Άλγεβρα τανυστή. Γενικός ορισμός τανυστή. Νόμος μετασχηματισμού για ορθογώνιους μετασχηματισμούς συστημάτων συντεταγμένων. Συνδιακύμανση εξισώσεων τανυστών. Παραδείγματα. Άλγεβρα τανυστών: πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, συνέλιξη τανυστών. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί τανυστές. είναι το σύμβολο Kronecker. Ένα σημάδι της έντασης μιας ποσότητας. Δικό και όχι δικό του ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Ψευδοεντατήρες. Ψευδοταστήρας Levi-Civita. Διανυσματική ανάλυση - βασικοί ορισμοί. Διανυσματική συνάρτηση βαθμωτών ορίσματος. Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης βαθμωτού ορίσματος. τανυστικό πεδίο. Διαφοροποίηση του τανυστικού πεδίου ως προς τη συντεταγμένη. κλιμακωτό πεδίο. Κατευθυντική παράγωγος. Βαθμίδα. Διανυσματικό πεδίο. Διανυσματικές γραμμές. Διάνυσμα εξίσωση γραμμής. Ολοκληρωτικά θεωρήματα διανυσματικής ανάλυσης, διαφορικά χαρακτηριστικά διανυσμάτων. Διανυσματική ροή πεδίου. Το θεώρημα του Ostrogradsky
7 Gauss για διανυσματικά πεδία. Απόκλιση διανυσματικού πεδίου. Κυκλοφορία διανυσματικού πεδίου. Θεώρημα Stokes για διανυσματικά πεδία. Διάνυσμα ρότορα πεδίου. Βασικές πράξεις διαφοροποίησης διανυσμάτων. Χάμιλτον χειριστή (). Καταγραφή των βασικών πράξεων διαφοροποίησης διανυσμάτων σε διανυσματική μορφή με τελεστή και σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Καταγραφή των βασικών πράξεων διαφοροποίησης διανυσμάτων σε μορφή τανυστή. Διανυσματικές διαφορικές πράξεις δεύτερης τάξης. Χειριστής Laplace. Οι τύποι του Green και το κύριο θεώρημα της διανυσματικής ανάλυσης. Συνέπειες από ολοκληρωτικά θεωρήματα: 1ος και 2ος τύπος του Green. Το κύριο θεώρημα της διανυσματικής ανάλυσης είναι η κατασκευή δυναμικών και σωληνοειδών διανυσματικών πεδίων. Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. Ορισμός. Λαμέ συντελεστές. τοπική βάση. Κυλινδρικά, σφαιρικά συστήματα συντεταγμένων. Κλίση, απόκλιση, δρομέας, τελεστής Laplace σε καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. Στοιχεία θεωρίας ομάδων. αφηρημένες ομάδες. Αξιώματα ομαδικής θεωρίας. Υποομάδα, συζευγμένα σύνολα. Τάξεις. Ισομορφισμός και ομομορφισμός ομάδων. Άμεσο προϊόν ομάδων. Ομαδικοί πίνακες πολλαπλασιασμού. Πρακτικές ασκήσεις 1. Διανυσματική άλγεβρα (διανύσματα, βαθμωτές, βασικές πράξεις με διανύσματα: βαθμωτό, διάνυσμα, μικτό γινόμενο διανυσμάτων). 2. Άλγεβρα τανυστή. -Σύμβολο Kronecker, κανόνας άθροισης Αϊνστάιν, διαφοροποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών με χρήση σημειογραφίας δείκτη (j, x,) x 3. Άλγεβρα τανυστών. Τενυστές: ορισμός, νόμος μετασχηματισμού (προβλήματα στον νόμο μετασχηματισμού, αμετάβλητοι τανυστές στο παράδειγμα ενός συμβόλου). Προαιρετικά: διαφοροποίηση (μάθημα 2). 4. Άλγεβρα τανυστή. Μετελαγές ψευδοτενότη Levi-Civita, άρτιες και περιττές, σημειογραφία διανυσματικών εκφράσεων σε μορφή τανυστή. 5. Διανυσματική ανάλυση. Κλίση: ορισμός (καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων). 1 Εξέταση βασικών παραδειγμάτων: r, (a, r), (, a) r στο καρτεσιανό σύστημα r Διαφοροποίηση χωρίς συντεταγμένες ((r) r,) r 6. Διανυσματική ανάλυση. Απόκλιση διανυσματικού πεδίου: ορισμός (καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων), φυσική σημασία με παραδείγματα. Κύριες εργασίες dv r 3,
8 dv[a, r] 0, διανυσματικές γραμμές. Μη συντεταγμένη «διανυσματική» διαφοροποίηση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της απόκλισης: (dv(A B) dva dvb, dv A dva (, A),) 7. Διανυσματική ανάλυση. Διανυσματικός ρότορας πεδίου: ορισμός (καρτεσιανό σύστημα), φυσική έννοια με παραδείγματα. Κύρια καθήκοντα: rotr 0, rot[ a, r] 2a. Παραδείγματα διαφοροποίησης μη συντεταγμένων "διανύσματος" χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του δρομέα (rot(A B) rota rotb, rot A rota [, A],). 8. Επίλυση προβλημάτων διαφοροποίησης διανυσμάτων 1 9. Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. Εξέταση βασικών παραδειγμάτων (r, r dvr r, dv, rotr) σε κυλινδρικά και σφαιρικά συστήματα συντεταγμένων. n r 4. Κατάλογος βασικής εκπαιδευτικής βιβλιογραφίας 1. Gordienko A.B., Zolotarev M.L., Kravchenko N.G. Βασικές αρχές ανάλυσης διανυσμάτων και τανυστών: ένα σεμινάριο. Τομσκ: από TSPU, σελ. 2. Zhuravlev Yu.N., Kravchenko N.G. Εισαγωγή στη θεωρία της συμμετρίας: διδακτικό βοήθημα / GOU VPO "Kemerovo State University". Kemerovo: Kuzbassvuzizdat, σελ. 3. Keller I. E. Λογισμός τανυστή. / Αγία Πετρούπολη: Lan, 2012, 176 σελ. (πρόσβαση από 4. Fikhtengolts G.M. Course of differential and integral calculus: Textbook. In 3 vols. Volume 3. 9th ed. / St. Petersburg: Lan, 2009, 656 p. (πρόσβαση από Πρόσθετη βιβλιογραφία. 1. A. B. Gordien. Zolotarev και Yu. I. Polygalov, Fundamentals of Vector and Tensor Analysis, Part I, Vector Algebra, Guidelines for Independent Work of Students, Kemerovo, KemSU, G. M. Fikhtengol'ts, Course of Differential and Integral Calculus, M.: Fizmatlit, 2003, vol.3, 723 σελ. 3. Polygalov, Yu.I., Guidelines for the course Fundamentals of vector and tensor analysis, Kemerovo, KemGU, 1988, 82 σελ. 4. Gordienko A.B., Zolotarev M.L., Polygalov Fundamentals of Y. Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών Μέρος 2. Βασικές αρχές διανυσματικής ανάλυσης Οδηγίες για ανεξάρτητη εργασία μαθητών Kemerovo, KemSU, Μορφές τρέχοντος, ενδιάμεσου και συνοριακού ελέγχου Α) Ερωτήσεις για την εξέταση 1. Βαθμίδες.Διανύσματα - ορισμός, κανόνας πρόσθεσης. Αντίθετο διάνυσμα. Μηδενικό διάνυσμα. Προβολή στον άξονα.
9 2. Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων. Συνθήκη γραμμικής ανεξαρτησίας τριών διανυσμάτων. Αποσύνθεση φορέων. Διανυσματική βάση. Καρτεσιανή βάση. 3. Scalar, vector, mixed, double vector product διανύσματα - ορισμός, υπολογισμός σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. 4. Μετασχηματισμός orts δύο ορθογώνιων βάσεων. Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί. Ορθογώνιες μήτρες. 5. Γενικός ορισμός τανυστή. Νόμος μετασχηματισμού για ορθογώνιους μετασχηματισμούς συστημάτων συντεταγμένων. 6. Συνδιακύμανση εξισώσεων τανυστών. Παραδείγματα. 7. Άλγεβρα τανυστών: πρόσθεση και πολλαπλασιασμός τανυστών. 8. Άλγεβρα τανυστών: συνέλιξη τανυστών. 9. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί τανυστές. -Σύμβολο Kronecker (ορισμός, νόμος μετασχηματισμού, κατάταξη). 10. Σημάδι της έντασης μιας ποσότητας. 11. Ίδιοι και ακατάλληλοι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί. Ψευδοεντατήρες. 12. Ψευδοταστήρας Levi-Civita. Γράψιμο ενός διανυσματικού γινομένου σε μορφή τανυστήρα. 13.Διάνυσμα-συνάρτηση βαθμωτού ορίσματος. Παράγωγο. 14. Τανυστικό πεδίο. Διαφοροποίηση του τανυστικού πεδίου ως προς τη συντεταγμένη. 15. Κλιμακωτό πεδίο. Κατευθυντική παράγωγος. Βαθμίδα. 16.Διανυσματικό πεδίο. Διανυσματικές γραμμές. Διάνυσμα εξίσωση γραμμής. 17. Ροή διανυσματικού πεδίου. 18. Θεώρημα Ostrogradsky-Gauss για διανυσματικά πεδία (δήλωση). Απόκλιση διανυσματικού πεδίου. 19. Κυκλοφορία διανυσματικού πεδίου. Θεώρημα Stokes για διανυσματικά πεδία. Διάνυσμα ρότορα πεδίου. 20. Καταγραφή των βασικών πράξεων διαφοροποίησης διανυσμάτων σε διανυσματική μορφή με τελεστή και σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. 21. Καταγραφή των βασικών πράξεων διανυσματικής άλγεβρας και διαφοροποίησης βέκτονων σε μορφή τανυστού: A, B, A B, A, B, C, dva, rota. 22.Διανυσματικές διαφορικές πράξεις δεύτερης τάξης. 23. Συνέπειες από ολοκληρωτικά θεωρήματα: Ο πρώτος τύπος του Green. 24. Συνέπειες από ολοκληρωτικά θεωρήματα: Δεύτερος τύπος του Green. 25. Κύριο θεώρημα διανυσματικής ανάλυσης. Κατασκευή σωληνοειδούς διανυσματικού πεδίου. 26. Κύριο θεώρημα διανυσματικής ανάλυσης. Κατασκευή δυναμικού διανυσματικού πεδίου. 27. Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. 28. Βαθμωτή κλίση πεδίου σε ορθογώνια καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. 29. Απόκλιση διανυσματικού πεδίου σε ορθογώνια καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων.
10 30. Διανυσματικός ρότορας πεδίου σε ορθογώνια καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. 31. Τελιστής Laplace σε ορθογώνια καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. 32.Αξιώματα θεωρίας ομάδων. 33. Υποομάδα, συζυγή σύνολα. Ευρετήριο υποομάδας. 34. Τάξεις. 35. Άμεσο γινόμενο ομάδων. Μια κατά προσέγγιση λίστα εργασιών που υποβλήθηκαν για την εξέταση 1. Πράξεις με διανύσματα. 1.1 Υπολογίστε [ A, B ] και A, B) για διανύσματα: A 5 6 j 3 and A 1 1j A 5 4 j 3 and A 3 j Υπολογίστε (C,[ A, B]) για διανύσματα: (1) A 11 6 j 2, B 10 7 και C A j 2, B 10 7 και C 3 2 j 1.3 Δείξτε με άμεσο υπολογισμό ότι [ A,[ B, C]] [[ A, B], C] : (1) A 11 6 j 2, B 10 7 και C A j 2, B 10 7 και C 3 2 j 1.4 Δείξτε με άμεσο υπολογισμό ότι [ A,[ B, C]] B(A, C) C(A, B) : ( 1) A 11 6 j 2, B 10 7 και C 2 3 j A j, B 10 7 και C 2 j 1.5 Υπολογίστε τον όγκο της πυραμίδας ABCD, της οποίας οι κορυφές έχουν συντεταγμένες: (2) A(1,-1, 0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5) A(2,0,3), B(1,1,1), C (4, 6,6), D(-1,2,3) 2. Άθροισμα της έκφρασης με -σύμβολο: 2,1 Al m mj n 2,2 A B l lm l n mp 2,4 l lj j 2,4 Cm ml 2,27 j m jm m n jn n 2,28 n m nm mm m nn n mn
11 Όλα lm 3,6 B x x x 2 A x x m A x x m 2 Bm x x l 2 T x x l 3,8 B l 4,20 x m A m exp x r] (a, r) 5,5 grad 3 r 5,4 rot[ a, r] [ a, r ] 5,6 rot 3 r 5,7 dv ar 5,8 rot ar 5,9 dv r ln 2 (a, r) 5,10 grad r ln 2 (a , r) ln(a, r) 5,12 (b,)[ a, r ] 5.13 (r,)[ r, rb] 5.14 dv r ln r 2. ορίστε έναν τανυστή της n-ης τάξης 3. σημειώστε τον κανόνα για την πρόσθεση τανυστών 4. σημειώστε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό τανυστών 5. δώστε έναν ορισμό ενός ψευδοτενότη 6. δώστε έναν ορισμό του ψευδοτενότη του Levi Civita. 7. υποδείξτε πώς αλλάζει η κατάταξη του τανυστή όταν διαφοροποιείται με ένα βαθμωτό όρισμα 8. υποδείξτε πώς αλλάζει η κατάταξη του τανυστή όταν διαφοροποιείται από τις συντεταγμένες του διανύσματος ακτίνας m
12 9. γράψτε τον τελεστή σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 10. ορίστε τη ροή ενός διανυσματικού πεδίου 11. φυσική σημασία της απόκλισης 12. διατυπώστε το θεώρημα Stokes για διανυσματικά πεδία 13. φυσική σημασία του δρομέα 14. υπολογίστε το dv grad 15. dv rota 16. υπολογίστε το rot grad a , b, c 17. γράψτε σε μορφή τανυστή d) Δείγματα θεμάτωνπεριλήψεις. 1. Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. 2. Σπειροειδές σύστημα συντεταγμένων. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 3. Τρισδιάστατες παραβολικές συντεταγμένες. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 4. Ελλειψοειδείς συντεταγμένες. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 5. Παραβολοειδείς συντεταγμένες. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 6. Δικυλινδρικές συντεταγμένες. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 7. Διπολικές συντεταγμένες. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 8. Παραβολικές συντεταγμένες. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 9. Κωνικές συντεταγμένες. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 10. Συντεταγμένες ελλειπτικού κυλίνδρου. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 11. Συντεταγμένες παραβολικού κυλίνδρου. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 12. Σπειροειδές σύστημα συντεταγμένων. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 13. Τρισδιάστατες παραβολικές συντεταγμένες. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 14. Ελλειψοειδείς συντεταγμένες. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 15. Παραβολοειδείς συντεταγμένες. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 16. Δικυλινδρικές συντεταγμένες. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 17. Διπολικές συντεταγμένες. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 18. Παραβολικές συντεταγμένες. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 19. Κωνικές συντεταγμένες. Βαθμωτή κλίση συνάρτησης. 20. Συντεταγμένες ελλειπτικού κυλίνδρου. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 21. Συντεταγμένες παραβολικού κυλίνδρου. Λαπλασία μιας βαθμωτής συνάρτησης. 22. Ομάδα μετάθεσης. 23. Ομάδα Mathieu. 24. Μεταμορφώσεις του χώρου. 25. Ομάδες συμμετρίας σημείου. 26. Αναγώγιμες και μη αναγώγιμες παραστάσεις 27. Πολλαπλασιασμός πράξεων συμμετρίας 28. Γεννήτριες σημειακών ομάδων.
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης Τμήμα "Κρατικό Πανεπιστήμιο του Κεμέροβο"
Ι. Περίληψη. Το πρόγραμμα εργασίας καταρτίζεται με βάση το κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο της τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης για το μάθημα "Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών" και το πρόγραμμα σπουδών για την ειδικότητα
σχόλιο πρόγραμμα εργασίαςπειθαρχία (ενότητα) "Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών" στην κατεύθυνση 14.03.02 Πυρηνική φυσικήκαι τεχνολογία (προφίλ Ακτινοασφάλεια ανθρώπου και περιβάλλοντος) 1. Στόχοι
Belarusian State University of the Faculty of Belarusian State University -;r.:~at~~ni- V.M. Anishchik ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΤΑΝΟΤΗΤΩΝ Πρόγραμμα σπουδών για την ειδικότητα: 1-31 04 01 «Φυσική (κατά κατευθύνσεις))) Σχολή
2 ΣΥΝΤΑΚΤΕΣ: Ν.Γ. Abrashina-Zhadayeva - Επικεφαλής του Τμήματος Ανωτάτων Μαθηματικών και Μαθηματικής Φυσικής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Λευκορωσίας, Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας,
1 Σχολιασμός του προγράμματος εργασίας του κλάδου Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών (όνομα του κλάδου) Κατεύθυνση εκπαίδευσης 03.03.02 φυσική Προφίλ εκπαίδευσης "Θεμελιώδης φυσική", "Φυσική ατομικό πυρήνα
Μεθοδολογικά υλικά του προγράμματος εργασίας του κλάδου «Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών» Κατεύθυνση εκπαίδευσης (ειδικότητα) 14.03.02 «Πυρηνική φυσική και τεχνολογία» Προσανατολισμός (προφίλ) εκπαιδευτικού
Το πρόγραμμα εργασιών του κλάδου «Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών» απευθύνεται σε φοιτητές του 2ου έτους του 3ου εξαμήνου στην ειδικότητα: 010801.65 - ΡΑΔΙΟΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ
Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης της Περιφέρειας της Μόσχας "Διεθνές Πανεπιστήμιο Φύσης, Κοινωνίας και Ανθρώπου "Dubna" (Πανεπιστήμιο "Dubna") Σχολή Φυσικών Επιστημών
Σχολιασμός του προγράμματος εργασίας του κλάδου Κώδικας του κλάδου στο πρόγραμμα σπουδών Όνομα του κλάδου Κώδικας και κατεύθυνση εκπαίδευσης Προφίλ (α) εκπαίδευσης 1. Στόχοι και στόχοι του κλάδου Β.Β.1.4 Ανάλυση διανυσμάτων και τανυστών
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης Τμήμα "Κρατικό Πανεπιστήμιο του Κεμέροβο"
1. Στόχοι και στόχοι του κλάδου: Στόχος: ανάπτυξη της λογικής σκέψης των μαθητών, η διαμόρφωση γενικών επιστημονικών ικανοτήτων και δεξιοτήτων για ανεξάρτητη απόκτηση μαθηματικών γνώσεων, διδασκαλία βασικών μαθηματικών
8. ΤΑΜΕΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΙΘΑΡΧΟ (ΕΝΟΤΗΤΑ). Γενικές πληροφορίες 1. Τμήμα 2. Κατεύθυνση εκπαίδευσης 3. Πειθαρχία (ενότητα) Πληροφορική, υπολογιστική
1. Ο κατάλογος των προγραμματισμένων μαθησιακών αποτελεσμάτων για τον κλάδο (ενότητα), που συσχετίζεται με τα προγραμματισμένα αποτελέσματα κατάκτησης του εκπαιδευτικού προγράμματος Κώδικες ικανοτήτων GPC-2 Προγραμματισμένα αποτελέσματα κατάκτησης του εκπαιδευτικού
3. Στοιχεία ανάλυσης τανυστή 3.1. Συμμεταβλητή παράγωγος Ας αναρωτηθούμε πώς να ορίσουμε τις παραγώγους ενός διανύσματος. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι για το διάνυσμα w w g είναι αληθές: w w g; (3.1) Αποδεικνύεται ότι,
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης Τμήμα "Κρατικό Πανεπιστήμιο του Κεμέροβο"
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΑΣ Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "Irkutsk State University" (FGBOU VPO "IGU") Τμήμα Φυσικής
10201.65 Γεωφυσικές μέθοδοι αναζήτησης και εξερεύνησης χρήσιμων κοιτασμάτων 10202.65 Γεωφυσικές μέθοδοι εξερεύνησης γεωτρήσεων πλήρους απασχόλησης 1 2
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό Δημοσιονομικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "Kemerovo State University"
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης Τμήμα "Κρατικό Πανεπιστήμιο του Κεμέροβο"
Κατεύθυνση: «Κατασκευή» Ερωτήσεις και εργασίες για το εξεταστικό εξάμηνο. Πίνακες: ορισμός, τύποι. Ενέργειες με πίνακες: μετάθεση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό, πολλαπλασιασμός πίνακα. 2. Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης Τμήμα "Κρατικό Πανεπιστήμιο του Κεμέροβο"
Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Αλιείας Κρατικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο Καμτσάτκα Σχολή Πληροφορικής Τμήμα Ανώτερων Μαθηματικών «ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ» Κοσμήτορας της FEU Rychka I.A. "" 007 ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟΣ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΟΥ ΚΑΖΑΚΣΤΑΝ Κρατικό Πανεπιστήμιο Δυτικού Καζακστάν με το όνομα m.utemisov WORKING SURICURITY UT4305 Θεωρία πεδίου 050109 - Μαθηματικά 2 μονάδες Uralsk
Διάλεξη 1 Κεφάλαιο V. Διαφορικός λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (συνέχεια) 6. Θεώρημα για αντίστροφη συνάρτησηΠαρατήρηση επίλυσης συστήματος γραμμικές εξισώσεις Ax = y, m = n, m > n, m< n. Теорема
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "Kemerovo State University" Novokuznetsk
3.2 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ Εξάμηνο Ι Ενότητα 1. Διανυσματική και γραμμική άλγεβρα. Πρακτικό μάθημα 1 1. Σκοπός: Να εξεταστούν εργασίες για τον υπολογισμό των οριζόντων του δεύτερου
Συγγραφείς: Υποψήφιος Φυσικομαθηματικών Επιστημών, Καθηγητής Α.Α. Αρσενική χήνα; Υποψήφιος Φυσικομαθηματικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής Γ.Μ. Αρσενική χήνα; Ο Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Α. Brichikova Επιστημονική Συντάκτρια Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών, Καθηγητής
Οι τανυστές συνδυάζουν μια σειρά από έννοιες που χρησιμοποιούνται στη φυσική και στα μαθηματικά, ειδικότερα στην αναλυτική γεωμετρία Ιδιαίτερες περιπτώσεις τανυστών είναι διανύσματα, γραμμικοί τελεστές, τετραγωνικοί
Περιεχόμενα Συμβάσεις που χρησιμοποιούνται... 12 1. Αριθμητικά σύνολακαι πράξεις με αριθμούς... 14 1.1. Αριθμητικά σύνολα................................14 1.2. Αριθμητικά διαστήματα...16 1.3. Σημάδια διαιρετότητας ... 17
Τρισδιάστατη ορθογώνια ομάδα 2 1 Σκεφτείτε ένα πολύ σημαντικό παράδειγμα space R Σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων, τα σημεία του προσδιορίζονται με την ακτίνα-διανύσματά τους X, των οποίων τα συστατικά θα τακτοποιήσουμε
2 1. Στόχοι και στόχοι του κλάδου Τα Μαθηματικά αποτελούν ομοσπονδιακό συστατικό του εκπαιδευτικού προτύπου. Είναι ο βασικός κλάδος στον οποίο η μελέτη όλων των θεμελιωδών και τεχνικών
ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 1 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΧΕΙΡΙΣΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Σχολιασμός Συζητούνται καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. Εισάγονται διανύσματα εφαπτομένης και μονάδας
Πρόλογος Κεφάλαιο Ι. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Πίνακες 1.1. Βασικές έννοιες 1.2. Ενέργειες σε πίνακες 2. Ορίζοντες 2.1. Βασικές έννοιες 2.2. Ιδιότητες οριζόντων 3. Μη εκφυλισμένοι πίνακες 3.1.
Εισιτήριο 1. 1. Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες στο R 3. Βάση. Cobasis (αμοιβαία βάση). 2. Ο νόμος διατήρησης της ολικής ενέργειας ρ de dt + div q = P D, P D = 1 2 φέρνει στην αποκλίνουσα μορφή i,j p ji (v i x j + v j x
2 1. Στόχοι και στόχοι του κλάδου Ο κλάδος «Πολλαπλά ολοκληρώματα και σειρές» έχει σχεδιαστεί για να διευρύνει τις γνώσεις των μαθητών στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης. Αυτή η γνώση είναι απαραίτητη τόσο για τη διεξαγωγή θεωρητικών
Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Εκπαιδευτική και Μεθοδολογική Ένωση Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας για την Παιδαγωγική Εκπαίδευση ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πρότυπο πρόγραμμα σπουδών
1. Στόχοι και στόχοι του κλάδου Η Γραμμική άλγεβρα είναι ένα μέρος της άλγεβρας που μελετά διανύσματα, διανυσματικά ή γραμμικούς χώρους, γραμμικές αντιστοιχίσεις και συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Διανυσματικοί χώροισυναντώ
Το πρόγραμμα του κλάδου "Γραμμική Άλγεβρα" καταρτίζεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις του Ομοσπονδιακού Κρατικού Εκπαιδευτικού Προτύπου Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης για τη δομή και τα αποτελέσματα της εκμάθησης των κύριων εκπαιδευτικών προγραμμάτων ενός ειδικού στον επαγγελματικό κύκλο
Πειθαρχία: Μαθηματικά Κατεύθυνση: παιδαγωγική εκπαίδευση Προσόντα (πτυχίο): πτυχίο Όγκος έντασης εργασίας 8 μονάδες (288 ώρες, εκ των οποίων: 144 ώρες εργασία στην τάξη, 144 ώρες αυτοδιδασκαλία
Εξάμηνο «Διοίκηση σε τεχνικά συστήματα». Πλήρης απασχόλησηεκπαίδευσης Πτυχίο I έτος, εξάμηνο Κατεύθυνση "Έλεγχος σε τεχνικά συστήματα" Πειθαρχία - "Μαθηματικά" Περιεχόμενο Βαθμολογία Περιεχομένου - βαθμολογία
2 3 1. ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ Σε σχέση με τον αυξημένο ρόλο των μαθηματικών στην σύγχρονη επιστήμηκαι την τεχνολογία, οι μελλοντικοί οικολόγοι και μηχανικοί χρειάζονται σοβαρή μαθηματική κατάρτιση. Η μελέτη των μαθηματικών αναπτύσσεται λογικά
Σχολιασμός του κλάδου "Αναλυτική Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα" Ο όγκος της έντασης εργασίας: 3 πιστωτικές μονάδες (108 ώρες, εκ των οποίων 73 ώρες είναι μαθήματα στην τάξη: 36 ώρες διαλέξεις, 36 ώρες πρακτικά μαθήματα, 8 ώρες αυτοδιδασκαλία
ΤΑΜΕΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΟ ΕΙΔΗ (ΕΝΟΤΗΤΑ). 1. Τμήμα Γενικές πληροφορίες 2. Κατεύθυνση εκπαίδευσης 3. Πειθαρχία (ενότητα) 4. Αριθμός σταδίων σχηματισμού
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ αυτόνομο ίδρυμαΙνστιτούτο τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο του Καζάν (Περιφέρεια Βόλγα).
Περιεχόμενα 1. Επεξηγηματική σημείωση ... 3 2. Κατάλογος προγραμματισμένων μαθησιακών αποτελεσμάτων για τον κλάδο 4 3. Θέση του κλάδου στη δομή του BEP .. 5 4. Όγκος του κλάδου σε πιστωτικές μονάδες και ακαδημαϊκές ώρες
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 15 Κεφάλαιο Ι. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Πίνακες... 16 1.1. Βασικές έννοιες... 16 1.2. Ενέργειες σε πίνακες... 17 2. Ορίζουσες... 20 2.1. Βασικές έννοιες... 20 2.2. Ιδιότητες
LA Svirkina Υποψήφια Φυσικομαθηματικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Ανώτατων Μαθηματικών, Διευθυντής του Κέντρου Πρόσθετων Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων, Κρατικό Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης
1 Σχολιασμός του προγράμματος εργασίας του κλάδου Μαθηματικό εργαστήριο (όνομα του κλάδου) Κατεύθυνση εκπαίδευσης 03.03.02 φυσική Προφίλ εκπαίδευσης "Θεμελιώδης φυσική", "Φυσική του ατομικού πυρήνα και σωματιδίων"
ΠΕΡΙΛΗΨΗ του προγράμματος του μαθήματος Άλγεβρα και αναλυτική γεωμετρία κατεύθυνσης 01.03.02 Εφαρμοσμένα μαθηματικάκαι πληροφορικής. 1. Οι στόχοι της κατάκτησης της πειθαρχίας Οι στόχοι της κατάκτησης της πειθαρχίας Άλγεβρα και αναλυτική
Η θέση του κλάδου στη δομή του εκπαιδευτικού προγράμματος Το γνωστικό αντικείμενο «Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία» είναι το γνωστικό αντικείμενο της ενότητας «Μαθηματικά» Β1.Β.6 του βασικού μέρους του Ο.Π.Ο.Π. στην κατεύθυνση επιμόρφωσης 02.03.03.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΤΥΠΟΣ 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Ένα κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα Το μήκος ενός τμήματος στην καθορισμένη κλίμακα ονομάζεται ενότητα του διανύσματος Θεωρούνται διανύσματα
1. Σκοπός της μελέτης του κλάδου είναι: η εκπαίδευση ενός υψηλού επαγγελματία ειδικού που έχει μαθηματικές γνώσεις, δεξιότητες και ικανότητες να εφαρμόζει τα μαθηματικά ως εργαλείο λογικής ανάλυσης, αριθμητικής
Υ.Π. Samarin, G.A. Sakhabiev, V.A. Ñàõàáèåâ ÂÛÑØÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ДЛЯ ВУЗОВ Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè â êà åñòâå ó åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó åáíûõ çàâåäåíèé, îáó àþùèõñÿ
4. Ουσιαστικά χρονικά παράγωγα (Substantal tm dats) για τον τανυστή τάσης Ουσιαστική ή μεμονωμένη παράγωγος για μια βαθμωτή ή διανυσματική συνάρτηση που εξαρτάται μόνο από συντεταγμένες
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΑΜΑΡΑ" Σχολή Μηχανολόγων και Μαθηματικών
Ticket 1 1. Ορισμός διανυσματικής συνάρτησης μιας και πολλών μεταβλητών. 2. Αμετάβλητος ορισμός της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου. Υπολογίστε το επιφανειακό ολοκλήρωμα του 1ου είδους: I = (x 2 + y 2) ds, όπου S είναι το όριο
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Παράρτημα του Ομοσπονδιακού Κρατικού Προϋπολογισμού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Ανώτατης Εκπαίδευσης "Murmansk Arctic State University" στο Apatity
ΥΠ.
Εκπαιδευτικό Ίδρυμα "Gomel State University με το όνομα Francysk Skaryna" ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ από τον Αντιπρύτανη ακαδημαϊκή εργασίαΕΕ «ΓΣΟΥ τους. Φ. Σκορίνα «Ι.Β. Semchenko Εγγραφή UD- /r. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακός Κρατικός Προϋπολογισμός εκπαιδευτικό ίδρυματριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης «Κρατικό Πανεπιστήμιο του Κεμέροβο» Τμήμα Διαφορικής
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος ................................................ ................. ........... 5 1. Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας .............. ................ ........... 6 IDZ 1. Προκριματικά .................. .....................................
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΟΥ ΚΑΖΑΚΣΤΑΝ Κρατικό Πανεπιστήμιο Δυτικού Καζακστάν με το όνομα m.utemisov ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επίκαιρα θέματα μαθηματικής ανάλυσης 6M060100 Μαθηματικά
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "Kemerovo State University" Μαθηματικό
7. Συμμεταβλητή διατύπωση εξισώσεων Maxwell και δυναμικές εξισώσεις δυναμικών. Δυναμικές (διαφορικές) εξισώσεις δυναμικών ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Αντικαθιστούμε τον ορισμό των δυνατοτήτων
Σχολιασμός προγράμματος εργασιών του κλάδου «Άλγεβρα και Γεωμετρία» της κατεύθυνσης προετοιμασίας 01.03.02. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και Πληροφορική» στο προφίλ «Μαθηματική και πληροφοριακή υποστήριξη οικονομικών
Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση
GOU VPO ½Syktyvkar State University\
Yu.N. ΜΠΕΛΙΑΕΦ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
Φροντιστήριο
Syktyvkar 2008
ÓÄÊ 514.742.4(075) ÁÁÊ 22.14
Εκδόθηκε με εντολή του συντακτικού και εκδοτικού συμβουλίου του κρατικού πανεπιστημίου Syktyvkar
Ðå ö å í ç å í ò û:
Τμήμα Μαθηματικής Ανάλυσης, Κρατικό Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κώμης,
G.V. Ufimtsev, Ph.D. Φυσικ.-Μαθηματ. Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής, Syktyvkar Forest Institute
Belyaev Yu.N.
Á 43 Εισαγωγή στη Διανυσματική Ανάλυση: Φροντιστήριο. Syktyvkar: Iz-vo SyktGU, 2008. 215 σελ.: ill.
ISBN 978-5-87237-601-1
Αυτό το εγχειρίδιο περιέχει βασικές πληροφορίες από την άλγεβρα των διανυσμάτων.
Οι κανόνες για τη διαφοροποίηση μιας διανυσματικής συνάρτησης σε σχέση με ένα βαθμωτό όρισμα αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας παραδείγματα από τη μηχανική, ιδιαίτερα από την κινηματική ενός υλικού σημείου και ενός απολύτως άκαμπτου σώματος.
Οι κύριες συναρτήσεις του σημείου είναι η κλίση του βαθμωτού πεδίου, η απόκλιση και η δίνη του διανυσματικού πεδίου δίνονται σε μορφή αμετάβλητη ως προς την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων. Η ολοκληρωτική αναπαράσταση της δίνης και η απόκλιση του διανυσματικού πεδίου χρησιμοποιούνται για την απόδειξη των θεωρημάτων Ostrogradsky και Stokes. Δίνεται μια επιλογή τύπων για τον τελεστή διαβάθμισης, απόκλισης, curl και Laplace σε ορισμένα ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων, καθώς και εργασίες για ανεξάρτητη εργασία μαθητών με παραδείγματα επίλυσης τυπικών προβλημάτων που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της αφομοίωσης του υλικού.
Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές φυσικών ειδικοτήτων.
c Belyaev Yu.N., 2008
c Syktyvkar State University, 2008
ISBN 978-5-87237-601-1
1.5. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό. . . . . . . . . . . . . δέκα
1.6. Προσθήκη διανυσμάτων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . έντεκα
1.7. Βασικές ιδιότητες των διανυσμάτων. . . . . . . . . . . . . . έντεκα
1.8. κανόνας πολυγώνου. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9. Διαφορά διανυσμάτων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . δεκατέσσερα
Ÿ 2. Παραδείγματα διανυσμάτων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Το διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Κίνηση, ταχύτητα και επιτάχυνση. . . . . . . . . 22
2.3. Η έννοια της δύναμης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ÿ 3. Γραμμικός χώρος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Παραδείγματα γραμμικών χώρων. . . . . . . . . . . 29
3.2. Διάσταση και βάση γραμμικού χώρου. . . . 34
4.1. Διανυσματική βάση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2. Διανυσματικές ιδιότητες συντεταγμένων. . . . . . . . . . . . . . 39
4.3. Η διάσταση του διανυσματικού συνόλου. . . . . . . . . . 40
Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ÿ 5. Διανυσματικές προβολές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1. Προβολή ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο. . . . . . . . . . . . 43
5.2. Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα. . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Ιδιότητες της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα. . . . . . . . . . 45
Ÿ 6. Εφαρμογή στην τριγωνομετρία. . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1. προβολές μονάδα διάνυσμα. . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Η τριγωνομετρική μορφή της προβολής. . . . 46
6.3. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. . . . . . 47
6.4. Φόρμουλες χύτευσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.5. Θεώρημα ημιτόνου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
Ÿ 7. Διάνυσμα σε ορθοκανονική βάση. . . . . . . . . . . |
7.1. Διανυσματικές συντεταγμένες σε ορθοκανονική βάση. πενήντα
7.2. Το μήκος του διανύσματος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3. Συνημίτονα κατεύθυνσης. . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4. Γωνία μεταξύ των κατευθύνσεων. . . . . . . . . . . . . . 52
7.5. Διάνυσμα ακτίνας σε καρτεσιανές συντεταγμένες. . 53
7.6. Προσδιορισμός του διανυσματικού αθροίσματος με τη μέθοδο της προβολής. 55
Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Ÿ 8. Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. . . . . . . . . . . . . 59
8.1. Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. . . . . . . . . . 60
8.2. Ευκλείδειος χώρος. . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3. Θεώρημα συνημιτονίου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.4. Το κλιμακωτό προϊόν σε ορθοκανονική βάση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ÿ 9. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. . . . . . . . . . . . . 68
9.1. Διανυσματικές ιδιότητες προϊόντος. . . . . . . . . . 69
9.2. Διανυσματικό προϊόν σε ορθοκανονική βάση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.3. Διασταυρούμενη έκφραση προϊόντων από την άποψη του
ορίζοντες της δεύτερης και τρίτης τάξης. . . . . . | ||
Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
Ÿ 10. Προϊόντα τριών διανυσμάτων. . . . . . . . . . . . . . . . | ||
10.1. Μικτή εργασία. . . . . . . . . . . . . . . | ||
10.2. Διπλό διανυσματικό προϊόν. . . . . . . . . . | ||
2. Διάνυσμα-συνάρτηση βαθμωτού ορίσματος | ||
Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης σε σχέση με βαθμωτό όρισμα |
1.1. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου. . . . . . . . . 79
1.2. Βασικές ιδιότητες παραγώγων. . . . . . . . . . . 82
Ÿ 2. Ολοκλήρωμα διανύσματος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Ÿ 3. Άξονες φυσικού τριέδρου. . . . . . . . . . . . . . 91
3.1. Φόρμουλες Frenet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. Ταχύτητα και επιτάχυνση στους άξονες του φυσικού τριέδρου. 96
3.3. Υπολογισμός καμπυλότητας χωρικής καμπύλης. . 99
3.4. Στρέψη χωρικής καμπύλης. . . . . . . . . 103 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Ÿ 4. Καμπυλόγραμμα ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων. . . 104
4.1. Διανύσματα βάσης και συντελεστές Lame. . . . . . 107
4.2. Ταχύτητα και επιτάχυνση υλικού σημείου σε καμπυλόγραμμο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. 108
Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Ÿ 5. Προσθήκη κινήσεων. Εφαρμογή στην κινηματική. . . . . 112
5.1. Κίνηση του συστήματος αναφοράς. Γωνιακή ταχύτητα. 113
5.2. Ταχύτητες σημείων ενός άκαμπτου σώματος. . . . . . . . . . . . . 116
5.3. Άκαμπτες επιταχύνσεις αμαξώματος. . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4. Απόλυτη ταχύτητα κίνησης υλικού σημείου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5. Προσθήκη επιταχύνσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Κεφάλαιο 3. Συναρτήσεις σημείου |
Ÿ 1. Κλιμακωτό πεδίο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.1. Επίπεδη επιφάνεια ενός βαθμωτού πεδίου. . . . . . . . 133
1.2. Διαφοροποιήσιμο βαθμωτό πεδίο. . . . . . . . . 134
1.3. Κατευθυντική παράγωγος. . . . . . . . . . . . . 135
1.4. Η γεωμετρική έννοια της κλίσης. . . . . . . . . . . 136
1.5. αθροιστική κλίση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.6. Κλίση σύνθετης συνάρτησης. . . . . . . . . . . . . . 141
1.7. Κλίση σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. . . . 143 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ÿ 2. Διανυσματικό πεδίο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.1. Διάνυσμα εξίσωση γραμμής. . . . . . . . . . . . . . 148
2.2. Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα διανυσματικού πεδίου. . . . 151
2.3. Υπολογισμός του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος. . . . . . . 153
2.4. Δίνη του διανυσματικού πεδίου. . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.1. Ταχύτητα ροής. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.2. Διανυσματική ροή πεδίου. . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.3. Κανονικό στην επιφάνεια. . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.4. Υπολογισμός ροής. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.5. ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια. . . . . . . . . 170 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Ÿ 4. Απόκλιση του διανυσματικού πεδίου. . . . . . . . . . . . . . . 171
4.1. Ασυμφωνία στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. 172
4.2. Διανυσματικό πεδίο σωληνοειδούς. Διανυσματικό δυναμικό. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3. Διανυσματικό πεδίο Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 175 Καθήκοντα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Ÿ 5. Συμβολικοί προσδιορισμοί των κύριων διαφορικών
κοινωνικές λειτουργίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.1. Σύμβολο διάνυσμα nabla. . . . . . . . . . . . . 177
5.2. Χειριστής Laplace, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3. Η παράγωγος ενός διανύσματος σε σχέση με ένα άλλο διάνυσμα. . . . . 179
5.4. Διαφορικές πράξεις από προϊόντα συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5. Διαφορικές πράξεις δεύτερης τάξης. . 183 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Ÿ 6. Μερικά ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων. . . . . . 184
6.1. Σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων. . . . . . . . . 185
6.2. Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. . . . . . . . . . . 186
6.3. Σύστημα παραβολικών κυλινδρικών συντεταγμένων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4. Σύστημα παραβολοειδών συντεταγμένων. . . . . . . . 188
6.5. Σύστημα ελλειπτικών κυλινδρικών συντεταγμένων. 189
6.6. Σύστημα προστατικών ελλειψοειδών συντεταγμένων. 190 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Ÿ 7. Θεώρημα Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Ÿ 8. Θεώρημα Ostrogradsky και σχετικοί τύποι. 195
8.1. Το θεώρημα του Ostrogradsky. . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2. Ο τύπος για την κλίση. . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3. Ο τύπος για τη δίνη. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4. Οι τύποι του Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Εργασίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Βιβλιογραφικός κατάλογος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Απαντήσεις και λύσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Ÿ 1. Η γεωμετρική έννοια ενός διανύσματος
1.1. Εισαγωγή. Μία από τις βασικές γεωμετρικές έννοιες, το διάνυσμα, προέκυψε ως μια μαθηματική αφαίρεση αντικειμένων που χαρακτηρίζονται από μέγεθος και κατεύθυνση, στα έργα πολλών επιστημόνων σχεδόν ταυτόχρονα στα μέσα του 19ου αιώνα. Ο πρώτος διανυσματικός λογισμός σε ένα αεροπλάνο αναπτύχθηκε το 1835 από τον Ιταλό επιστήμονα Bellavitis (Guito Bellavitis, 1835-1880). Την ίδια εποχή, το έργο του Argan (Jean Robert Argand, 1768-1822) και του Wessel (Caspar Wessel, 17451818) για τη γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών κέρδισε φήμη. Η τελική διατύπωση της διανυσματικής άλγεβρας πραγματοποιήθηκε από τους Hermann Grassmann (18091877), William Rowen Hamilton (18051865) και J.W. Γκιμπς (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903).
Η έννοια του διανύσματος παίζει σημαντικό ρόλο στα σύγχρονα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους, για παράδειγμα, στη μηχανική, τη θεωρία της σχετικότητας, την ηλεκτροδυναμική, την κβαντική φυσική και άλλους κλάδους της φυσικής επιστήμης.
1.2. Κλιμακωτά και διανύσματα.Τα μεγέθη ονομάζονται κλιμακωτές (βαθμωτές) εάν μετά την επιλογή μιας μονάδας μέτρησης χαρακτηρίζονται πλήρως από έναν αριθμό. Παραδείγματα βαθμωτών είναι ο χρόνος t, ο όγκος V, η μάζα m, η θερμοκρασία T, το έργο που εκτελείται από μια δύναμη A, το ηλεκτρικό φορτίο q κ.λπ.
Δύο βαθμοί ίδιας διάστασης είναι ίσοι εάν, όταν μετρώνται με την ίδια μονάδα μέτρησης, είναι οι ίδιοι
κακούς αριθμούς.
Μεγέθη όπως ταχύτητα ~v, επιτάχυνση ~a, δύναμη F, επί-
ένταση ηλεκτρικό πεδίοΕ, που απαιτούν για τους
δίνοντας όχι μόνο μια ένδειξη μιας αριθμητικής τιμής, αλλά και μια κατεύθυνση στο χώρο, ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη ή
φορείς.
Οι όροι βαθμωτός (1843) και διάνυσμα (1845) επινοήθηκαν από τον Χάμιλτον, ο οποίος τους παρήγαγε αντίστοιχα από Λατινικές λέξειςκλίμακα κλίμακας και φορέας φορέα.
Ο απλούστερος βαθμωτός είναι ένας αφηρημένος αριθμός και το απλούστερο διάνυσμα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει ορισμένο μήκος και συγκεκριμένη κατεύθυνση από το σημείο εκκίνησης του τμήματος έως το τελικό του σημείο.
1.3. Εικόνα και σημειογραφία διανυσματικών μεγεθών. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές μορφές σημειογραφίας για διανυσματικά μεγέθη. Μια από τις παλαιότερες παύλες πάνω από το γράμμα. Έτσι ο Argan όρισε το σκηνοθετημένο τμήμα. Maxwell (James Clerk Maxwell, 1831-1879) υποδηλώνει διανύσματα με γοτθικά γράμματα, Hamilton και Gibbs με ελληνικά γράμματα. Ο ορισμός των διανυσμάτων με έντονα γράμματα προτάθηκε από τον Oliver Heaviside, 1850-1925).
Σε εκείνο το έργο γεωμετρικά διανύσματασημειώνονται με γράμματα
εσείς με ένα βέλος στην κορυφή: ~a, b, ~c, κ.λπ. Μερικές φορές θα το κάνουμε
να είναι ένα διάνυσμα του οποίου το σημείο έναρξης είναι το Α και το τελικό σημείο
Β, σύμβολο ΑΒ. Στα σχήματα, τα διανύσματα απεικονίζονται ως ευθύγραμμα τμήματα, που έχουν όχι μόνο ένα ορισμένο μήκος, αλλά και μια συγκεκριμένη κατεύθυνση, που υποδεικνύεται με ένα βέλος στο τέλος του τμήματος.
Το μήκος ενός διανύσματος, αλλιώς γνωστό ως μέτρο του διανύσματος, συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το διάνυσμα, αλλά χωρίς το βέλος. Μερικές φορές, για να δηλώσουμε τη μονάδα ενός διανύσματος, λαμβάνεται ο προσδιορισμός του ίδιου του διανύσματος, τοποθετημένος σε ευθείες αγκύλες. Για παράδειγμα, το p = jp~j είναι το μέτρο του διανύσματος p~.
Το διάνυσμα μηδενικού διανύσματος 0, του οποίου το μήκος είναι μηδέν, μπορεί να έχει οποιαδήποτε κατεύθυνση στο διάστημα.
Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων p~ και q~ είναι η μικρότερη γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί το ένα διάνυσμα έτσι ώστε να συμπίπτει στην κατεύθυνση με το άλλο (Εικ. 1). Θα ονομάσουμε αυτή τη γωνία ως
βόδι (p;~ q~).
Ÿ 1. Η γεωμετρική έννοια ενός διανύσματος |
1.4. Διανυσματική ισότητα.Όταν συγκρίνουμε διανυσματικά φυσικά μεγέθη, υποτίθεται ότι έχουν την ίδια φυσική διάσταση.
Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τύποι διανυσμάτων. Καθένα από αυτά συνδυάζει ένα σύνολο διανυσμάτων με τις ίδιες ιδιότητες.
Τα ελεύθερα διανύσματα καθορίζονται από την κατεύθυνση της γραμμής δράσης και το μέτρο. Τέτοια διανύσματα είναι ίσα αν είναι ίσα σε μέγεθος.
f = g και είναι εξίσου κατευθυνόμενες, δηλ. (f; ~g) = 0: Άλλο
Με άλλα λόγια, δεν κάνουμε διάκριση μεταξύ δύο ελεύθερων διανυσμάτων f και ~g, τα οποία έχουν διαφορετικά σημεία εφαρμογής και λαμβάνονται το ένα από το άλλο με παράλληλη μετάφραση.
Η ισότητα δύο διανυσμάτων f και ~g γράφεται συμβολικά ως εξής:
Συνδεδεμένο διάνυσμα. Για να προσδιορίσετε το συσχετισμένο διάνυσμα AB, πρέπει να καθορίσετε τη γραμμή δράσης του (στο Σχ. 2α αυτή είναι η γραμμή xx0 ), την κατεύθυνση κατά μήκος αυτής της γραμμής (από x έως x0 ), την αρχή του (Α) και το μήκος του διανύσματος . Τα συνδεδεμένα διανύσματα είναι διανύσματα για τα οποία πρέπει να είναι ίσα σε μήκος, να έχουν την ίδια κατεύθυνση και κοινή αρχή. Ένα παράδειγμα τέτοιου διανύσματος είναι η δύναμη που εφαρμόζεται σε κάποιο σημείο του ελαστικού
) (p;~ q~) | |||||
Συρόμενο διάνυσμα. Ο ορισμός παραμένει ο ίδιος όπως στην προηγούμενη περίπτωση, αν εξαιρέσουμε την απαίτηση να καθορίσουμε την αρχή του διανύσματος. Μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε στον άξονα xx0. Τα ολισθαίνοντα διανύσματα είναι αυτά που λαμβάνονται υπόψη
είναι ισοδύναμα αν είναι ίσα σε απόλυτη τιμή, εξίσου
κατευθύνονται και βρίσκονται στην ίδια ευθεία (για παράδειγμα, AB = A B στο (Εικ. 2β)). Παραδείγματα τέτοιων διανυσμάτων είναι οι δυνάμεις που εξαπλώνονται
παρατηρείται στη στατική μηχανική.
Δεδομένου ότι η κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος δεν έχει καθοριστεί, όλα τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα.
Όλοι οι ακόλουθοι κανόνες, ιδιαίτερα ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με σκαλοπάτιακαι ο κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων θα δοθεί σε σχέση με ελεύθερα διανύσματα. Δεν είναι δύσκολο να επεκταθούν αυτοί οι ορισμοί σε συζευγμένα και ολισθαίνοντα διανύσματα.
1.5. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό. Πολλαπλασιάζοντας το διάνυσμα ~a με έναν πραγματικό αριθμό έχει ως αποτέλεσμα ένα διάνυσμα ~c, έτσι ώστε ο συντελεστής του να είναι ίσος με j ja, και να κατευθύνεται στην ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα ~a για > 0, και στην αντίθετη κατεύθυνση αν< 0. Умножение любого вектора ~a на нуль дает нулевой вектор. Таким образом,
~c; c = a; (~c;~a) = 0; Εάν > 0; | |||||
0; Αν = 0:δ | |||||
ένα; (~c;~a) = ; Αν< 0; |
|||||
Τα διανύσματα ~c και ~a που σχετίζονται με την ισότητα (1.1) είναι παράλληλα μεταξύ τους ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά 1 .
Στο σχ. Για παράδειγμα, το σχήμα 3 δείχνει το διάνυσμα ~a και τα διανύσματα 2~a και 0:5~a που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό με τους αριθμούς 2 και 0:5.
Σύμφωνα με τον δεδομένο ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, οποιοδήποτε διάνυσμα ~a μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο
~a = a~ea ; |
1 Ο όρος προέρχεται από το λατινικό co together èlinearis linear και κυριολεκτικά σημαίνει ½ συγγραμμικότητα. Ο Χάμιλτον στον διανυσματικό λογισμό του
Επιπλέον, εισήγαγε το όνομα termino-collinear για διανύσματα που έχουν κοινή αρχή και των οποίων τα άκρα βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτό το όνομα απλοποιήθηκε από τον Gibbs, χάρη στον οποίο ο όρος ½ συγγραμμικότητα \ μπήκε στο διάνυσμα