Πώς να βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Κατά προσέγγιση μέθοδοι εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας (χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής)

Πριν από την εμφάνιση των αριθμομηχανών, οι μαθητές και οι δάσκαλοι υπολόγιζαν τις τετραγωνικές ρίζες με το χέρι. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού τετραγωνική ρίζααριθμοί χειροκίνητα. Μερικά από αυτά προσφέρουν μόνο μια κατά προσέγγιση λύση, άλλα δίνουν μια ακριβή απάντηση.

Βήματα

Πρωταρχική παραγοντοποίηση

Παράγοντες τον αριθμό της ρίζας σε παράγοντες που είναι τετράγωνοι αριθμοί.Ανάλογα με τον ριζικό αριθμό, θα λάβετε μια κατά προσέγγιση ή ακριβή απάντηση. Οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι αριθμοί από τους οποίους μπορεί να ληφθεί ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα. Οι συντελεστές είναι αριθμοί που, όταν πολλαπλασιαστούν, δίνουν τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι συντελεστές του αριθμού 8 είναι 2 και 4, αφού 2 x 4 = 8, οι αριθμοί 25, 36, 49 είναι τετράγωνοι αριθμοί, αφού √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Τετράγωνοι συντελεστές είναι παράγοντες , οι οποίοι είναι τετράγωνοι αριθμοί. Αρχικά, προσπαθήστε να παραγοντοποιήσετε τον αριθμό της ρίζας σε τετράγωνους παράγοντες.

• Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του 400 (με το χέρι). Πρώτα δοκιμάστε να συνυπολογίσετε το 400 σε τετράγωνους συντελεστές. Το 400 είναι πολλαπλάσιο του 100, δηλαδή διαιρείται με το 25 - αυτός είναι ένας τετράγωνος αριθμός. Η διαίρεση του 400 με το 25 δίνει 16. Ο αριθμός 16 είναι επίσης τετράγωνος αριθμός. Έτσι, το 400 μπορεί να συντελεστεί σε τετράγωνους συντελεστές 25 και 16, δηλαδή 25 x 16 = 400.
• Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: √400 = √(25 x 16).

1. Τετραγωνική ρίζα του προϊόντος ορισμένων όρων είναι ίσο με το γινόμενο τετραγωνικές ρίζεςαπό κάθε όρο, δηλ. √(a x b) = √a x √b. Χρησιμοποιήστε αυτόν τον κανόνα και πάρτε την τετραγωνική ρίζα κάθε τετραγωνικού παράγοντα και πολλαπλασιάστε τα αποτελέσματα για να βρείτε την απάντηση.

   • Στο παράδειγμά μας, πάρτε την τετραγωνική ρίζα του 25 και του 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Αν ο ριζικός αριθμός δεν διασπαστεί σε δύο τετραγωνικός πολλαπλασιαστής(που συμβαίνει τις περισσότερες φορές), δεν θα μπορείτε να βρείτε την ακριβή απάντηση ως ακέραιος. Αλλά μπορείτε να απλοποιήσετε το πρόβλημα αποσυνθέτοντας τον αριθμό της ρίζας σε έναν τετραγωνικό παράγοντα και έναν συνηθισμένο παράγοντα (έναν αριθμό από τον οποίο δεν μπορεί να ληφθεί ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα). Τότε θα πάρετε την τετραγωνική ρίζα του τετραγωνικού παράγοντα και θα πάρετε τη ρίζα του συνηθισμένου παράγοντα.

   • Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 147. Ο αριθμός 147 δεν μπορεί να συντελεστεί σε δύο τετράγωνους συντελεστές, αλλά μπορεί να συντελεστεί στους ακόλουθους παράγοντες: 49 και 3. Λύστε το πρόβλημα ως εξής:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Εάν είναι απαραίτητο, αξιολογήστε την αξία της ρίζας.Τώρα μπορείτε να αξιολογήσετε την τιμή της ρίζας (να βρείτε μια κατά προσέγγιση τιμή) συγκρίνοντάς την με τις τιμές των ριζών τετραγωνικών αριθμών που είναι πιο κοντά (και στις δύο πλευρές της αριθμητικής γραμμής) στον αριθμό της ρίζας. Θα λάβετε την τιμή της ρίζας ως δεκαδικό κλάσμα, το οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό πίσω από το σύμβολο της ρίζας.

   • Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας. Ο ριζικός αριθμός είναι 3. Οι πλησιέστεροι τετράγωνοι αριθμοί σε αυτόν είναι οι αριθμοί 1 (√1 = 1) και 4 (√4 = 2). Έτσι, η τιμή του √3 βρίσκεται μεταξύ 1 και 2. Εφόσον η τιμή του √3 είναι πιθανώς πιο κοντά στο 2 παρά στο 1, η εκτίμησή μας είναι: √3 = 1,7. Πολλαπλασιάζουμε αυτήν την τιμή με τον αριθμό στο ριζικό σύμβολο: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Εάν κάνετε τους υπολογισμούς σε μια αριθμομηχανή, θα λάβετε 12,13, που είναι πολύ κοντά στην απάντησή μας.
     • Αυτή η μέθοδος λειτουργεί επίσης με μεγάλα νούμερα. Για παράδειγμα, εξετάστε το √35. Ο ριζικός αριθμός είναι 35. Οι πλησιέστεροι τετράγωνοι αριθμοί σε αυτόν είναι οι αριθμοί 25 (√25 = 5) και 36 (√36 = 6). Έτσι, η τιμή του √35 βρίσκεται μεταξύ 5 και 6. Επειδή η τιμή του √35 είναι πολύ πιο κοντά στο 6 παρά στο 5 (επειδή το 35 είναι μόνο 1 μικρότερο από το 36), μπορούμε να δηλώσουμε ότι το √35 είναι ελαφρώς μικρότερο από 6. Ο έλεγχος με μια αριθμομηχανή μας δίνει την απάντηση 5,92 - είχαμε δίκιο.

4. Ένας άλλος τρόπος είναι να αποσυντεθεί ο ριζικός αριθμός σε πρώτους παράγοντες.Οι πρώτοι παράγοντες είναι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους. Γράψτε πρώτους παράγοντες σε σειρά και βρείτε ζεύγη ίδιοι πολλαπλασιαστές. Τέτοιοι παράγοντες μπορούν να αφαιρεθούν από το σημάδι της ρίζας.

   • Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του 45. Αποσυνθέτουμε τον ριζικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες: 45 \u003d 9 x 5 και 9 \u003d 3 x 3. Έτσι, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). Το 3 μπορεί να αφαιρεθεί από το σύμβολο της ρίζας: √45 = 3√5. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε √5.
   • Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Έχετε τρεις πολλαπλασιαστές 2. πάρτε ένα-δυο και βγάλτε τα από το σημάδι της ρίζας.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Τώρα μπορούμε να αξιολογήσουμε τα √2 και √11 και να βρούμε μια κατά προσέγγιση απάντηση.

   Χειροκίνητος υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας

   Χρήση διαίρεσης στηλών

   1. Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει μια διαδικασία παρόμοια με τη μακροχρόνια διαίρεση και δίνει μια ακριβή απάντηση.Αρχικά, σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή που χωρίζει το φύλλο σε δύο μισά και, στη συνέχεια, σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή προς τα δεξιά και ελαφρώς κάτω από την επάνω άκρη του φύλλου στην κατακόρυφη γραμμή. Τώρα διαιρέστε τον ριζικό αριθμό σε ζεύγη αριθμών, ξεκινώντας από το κλασματικό μέρος μετά την υποδιαστολή. Έτσι, ο αριθμός 79520789182.47897 γράφεται ως "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 780,14. Σχεδιάστε δύο γραμμές (όπως φαίνεται στην εικόνα) και γράψτε τον αριθμό πάνω αριστερά ως "7 80, 14". Είναι φυσιολογικό το πρώτο ψηφίο από τα αριστερά να είναι μη ζευγαρωμένο ψηφίο. Απάντηση (ρίζα του δεδομένου αριθμού) θα αναγράφεται πάνω δεξιά.

   2. Δεδομένου του πρώτου ζεύγους αριθμών (ή ενός αριθμού) από τα αριστερά, βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο n του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με το εν λόγω ζεύγος αριθμών (ή έναν αριθμό). Με άλλα λόγια, βρείτε τον τετράγωνο αριθμό που είναι πιο κοντά, αλλά μικρότερος από, στο πρώτο ζεύγος αριθμών (ή μεμονωμένο αριθμό) από τα αριστερά και πάρτε την τετραγωνική ρίζα αυτού τετραγωνικός αριθμός; θα πάρετε τον αριθμό n. Γράψτε το n που βρέθηκε επάνω δεξιά και γράψτε το τετράγωνο n κάτω δεξιά.

      • Στην περίπτωσή μας, ο πρώτος αριθμός στα αριστερά θα είναι ο αριθμός 7. Στη συνέχεια, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Αφαιρέστε το τετράγωνο του αριθμού n που μόλις βρήκατε από το πρώτο ζεύγος αριθμών (ή έναν αριθμό) από τα αριστερά.Γράψτε το αποτέλεσμα του υπολογισμού κάτω από το υπόστρωμα (το τετράγωνο του αριθμού n).

      • Στο παράδειγμά μας, αφαιρέστε το 4 από το 7 για να πάρετε το 3.

   4. Αφαιρέστε το δεύτερο ζεύγος αριθμών και σημειώστε το δίπλα στην τιμή που λάβατε στο προηγούμενο βήμα.Στη συνέχεια, διπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω δεξιά με το "_×_=" προσαρτημένο.

      • Στο παράδειγμά μας, το δεύτερο ζεύγος αριθμών είναι "80". Γράψε "80" μετά το 3. Στη συνέχεια, διπλασιάζοντας τον αριθμό από πάνω δεξιά δίνει 4. Γράψε "4_×_=" από κάτω δεξιά.

   5. Συμπληρώστε τα κενά στα δεξιά.

      • Στην περίπτωσή μας, αν αντί για παύλες βάλουμε τον αριθμό 8, τότε 48 x 8 \u003d 384, που είναι περισσότερο από 380. Επομένως, το 8 είναι πολύ μεγάλος αριθμός, αλλά το 7 είναι εντάξει. Γράψτε 7 αντί για παύλες και λάβετε: 47 x 7 \u003d 329. Γράψτε 7 από πάνω δεξιά - αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο στην επιθυμητή τετραγωνική ρίζα του αριθμού 780,14.

   6. Αφαιρέστε τον αριθμό που προκύπτει από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.Γράψτε το αποτέλεσμα από το προηγούμενο βήμα κάτω από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά, βρείτε τη διαφορά και γράψτε το κάτω από τον αφαιρεμένο.

      • Στο παράδειγμά μας, αφαιρέστε το 329 από το 380, το οποίο ισούται με 51.

   7. Επαναλάβετε το βήμα 4.Εάν το κατεδαφισμένο ζεύγος αριθμών είναι το κλασματικό μέρος του αρχικού αριθμού, τότε βάλτε το διαχωριστικό (κόμμα) του ακέραιου και των κλασματικών μερών στην επιθυμητή τετραγωνική ρίζα από πάνω δεξιά. Στα αριστερά, μεταφέρετε το επόμενο ζεύγος αριθμών. Διπλασιάστε τον αριθμό επάνω δεξιά και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω δεξιά με το "_×_=" προσαρτημένο.

      • Στο παράδειγμά μας, το επόμενο ζεύγος αριθμών που θα κατεδαφιστεί θα είναι το κλασματικό μέρος του αριθμού 780.14, οπότε βάλτε το διαχωριστικό του ακέραιου και των κλασματικών μερών στην επιθυμητή τετραγωνική ρίζα από πάνω δεξιά. Κατεδάφισε το 14 και γράψε κάτω αριστερά. Το διπλάσιο πάνω δεξιά (27) είναι 54, οπότε γράψτε "54_×_=" κάτω δεξιά.

   8. Επαναλάβετε τα βήματα 5 και 6.Βρες το μεγαλύτερος αριθμόςστη θέση των παύλων στα δεξιά (αντί για παύλες, πρέπει να αντικαταστήσετε τον ίδιο αριθμό) έτσι ώστε το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού να είναι μικρότερο ή ίσο με τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.

      • Στο παράδειγμά μας, 549 x 9 = 4941, που είναι μικρότερο από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά (5114). Γράψτε το 9 πάνω δεξιά και αφαιρέστε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά: 5114 - 4941 = 173.

   9. Εάν θέλετε να βρείτε περισσότερα δεκαδικά ψηφία για την τετραγωνική ρίζα, γράψτε ένα ζεύγος μηδενικών δίπλα στον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά και επαναλάβετε τα βήματα 4, 5 και 6. Επαναλάβετε τα βήματα μέχρι να λάβετε την ακρίβεια της απάντησης που χρειάζεστε (αριθμός δεκαδικά ψηφία).

      Κατανόηση της διαδικασίας

      1. Για αφομοίωση αυτή τη μέθοδοΣκεφτείτε τον αριθμό του οποίου η τετραγωνική ρίζα θέλετε να βρείτε ως το εμβαδόν ενός τετραγώνου S. Σε αυτήν την περίπτωση, θα αναζητήσετε το μήκος της πλευράς L ενός τέτοιου τετραγώνου. Υπολογίστε την τιμή του L για την οποία L² = S.

         Εισαγάγετε ένα γράμμα για κάθε ψηφίο στην απάντησή σας.Σημειώστε με Α το πρώτο ψηφίο στην τιμή του L (την επιθυμητή τετραγωνική ρίζα). Το B θα είναι το δεύτερο ψηφίο, το C το τρίτο και ούτω καθεξής.

         Καθορίστε ένα γράμμα για κάθε ζεύγος αρχικών ψηφίων.Δηλώστε με S a το πρώτο ζεύγος ψηφίων στην τιμή S, με S b το δεύτερο ζεύγος ψηφίων κ.ο.κ.

         Εξηγήστε τη σύνδεση αυτής της μεθόδου με τη μεγάλη διαίρεση.Όπως και στην πράξη διαίρεσης, όπου κάθε φορά που μας ενδιαφέρει μόνο ένα επόμενο ψηφίο του διαιρετέου αριθμού, κατά τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας, εργαζόμαστε με ένα ζεύγος ψηφίων στη σειρά (για να λάβουμε το επόμενο ένα ψηφίο στην τιμή της τετραγωνικής ρίζας) .

      2. Θεωρήστε το πρώτο ζεύγος ψηφίων Sa του αριθμού S (Sa = 7 στο παράδειγμά μας) και βρείτε την τετραγωνική του ρίζα.Σε αυτήν την περίπτωση, το πρώτο ψηφίο Α της αναζητούμενης τιμής της τετραγωνικής ρίζας θα είναι ένα τέτοιο ψηφίο, το τετράγωνο του οποίου είναι μικρότερο ή ίσο με S a (δηλαδή, αναζητούμε ένα τέτοιο Α που να ικανοποιεί την ανισότητα A² ≤ Σα< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 88962 με το 7. εδώ το πρώτο βήμα θα είναι παρόμοιο: θεωρούμε το πρώτο ψηφίο του διαιρετέου αριθμού 88962 (8) και επιλέγουμε τον μεγαλύτερο αριθμό που, πολλαπλασιαζόμενος με το 7, δίνει τιμή μικρότερη ή ίση με 8. Δηλαδή, αναζητούμε έναν αριθμό d για τον οποίο είναι αληθής η ανίσωση: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Φανταστείτε νοερά το τετράγωνο του οποίου η περιοχή πρέπει να υπολογίσετε.Αναζητάτε το L, δηλαδή το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν είναι S. A, B, C είναι αριθμοί στον αριθμό L. Μπορείτε να το γράψετε διαφορετικά: 10A + B \u003d L (για διψήφιος αριθμός) ή 100A + 10V + C = L (για τριψήφιο αριθμό) και ούτω καθεξής.

         • Αφήνω (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Θυμηθείτε ότι το 10A+B είναι ένας αριθμός του οποίου το B αντιστοιχεί σε ένα και το A σημαίνει δεκάδες. Για παράδειγμα, αν A=1 και B=2, τότε 10A+B ισούται με τον αριθμό 12. (10A+B)²είναι το εμβαδόν ολόκληρης της πλατείας, 100A²είναι η περιοχή της μεγάλης εσωτερικής πλατείας, B²είναι η περιοχή της μικρής εσωτερικής πλατείας, 10A×Bείναι το εμβαδόν καθενός από τα δύο ορθογώνια. Προσθέτοντας τις περιοχές των σχημάτων που περιγράφονται, θα βρείτε την περιοχή του αρχικού τετραγώνου.

Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας με το χέρι

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τον αριθμό 223729. Για να εξαγάγουμε τη ρίζα, πρέπει να κάνουμε τις ακόλουθες πράξεις:

ΑΛΛΑ)χωρίστε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά σε ψηφία των δύο ψηφίων ανά ψηφίο, βάζοντας πινελιές στην κορυφή - 223729 → 22 "37" 29". μηδέν, δηλ. 4765983→04"76"59"83".

ΣΙ)Βάλτε μια ρίζα στον αριθμό και γράψτε ένα σύμβολο ίσου:

22"37"29"→=… .

Μετά από αυτό, αρχίζουμε, στην πραγματικότητα, να υπολογίζουμε τη ρίζα. Αυτό γίνεται σε βήματα και σε κάθε βήμα επεξεργάζεται ένα ψηφίο του αρχικού αριθμού, δηλ. δύο διαδοχικά ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά και προκύπτει ένα ψηφίο του αποτελέσματος.

Βήμα 1— εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας με μειονέκτημα από το πρώτο ψηφίο:

\u003d 4 ... (με ένα μειονέκτημα)

Το αποτέλεσμα του βήματος 1 είναι το πρώτο ψηφίο του επιθυμητού αριθμού:

Βήμα 2- τετραγωνίζουμε το πρώτο ψηφίο που λάβαμε, το αποδίδουμε κάτω από το πρώτο ψηφίο και βάζουμε ένα σύμβολο μείον όπως αυτό:

Και κάνουμε τον υπολογισμό όπως είναι ήδη γραμμένο.

Βήμα 3- εκχωρούμε δύο ψηφία του επόμενου ψηφίου στα δεξιά του αποτελέσματος της αφαίρεσης και βάζουμε μια κάθετη γραμμή στα αριστερά του αριθμού που προκύπτει ως εξής:

Μετά από αυτό, αντιλαμβανόμενοι τους αριθμούς μετά το σύμβολο = ως συνηθισμένο αριθμό, πολλαπλασιάστε τον με το 2 και αντιστοιχίστε ένα κενό στα αριστερά της κάθετης γραμμής, στο οποίο βάζουμε ένα σημείο και επίσης βάζουμε ένα σημείο κάτω από αυτό το σημείο:

Μια τελεία υποδηλώνει την αναζήτηση ενός ψηφίου. Αυτό το νούμερο θα είναι το δεύτερο στον τελικό αριθμό, δηλ. θα εμφανιστεί μετά τον αριθμό 4. Η αναζήτηση γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Αυτός είναι ο υψηλότερος αριθμόςκ έτσι ώστε ο αριθμός 8κ , δηλ. ο αριθμός που προκύπτει από το 8 προσθέτοντας ένα ψηφίοκ πολλαπλασιάζεται επίκ , δεν υπερβαίνει τα 637.

ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηαυτός είναι ο αριθμός 7, γιατί 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Άρα έχουμε:

Βήμα 4— ας σχεδιάσουμε μια οριζόντια γραμμή και ας γράψουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης κάτω από αυτήν:

637 - 609 \u003d 28. Αποδίδουμε το τελευταίο ψηφίο του αρχικού αριθμού ρίζας στον αριθμό 28 και παίρνουμε τον αριθμό 2829. Σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή στα αριστερά της, τώρα πολλαπλασιάστε το 47 με 2 και αποδίδετε τον αριθμό 94 που προκύπτει στο αριστερά από την κάθετη γραμμή, αφήνοντας μια θέση με τη μορφή κουκκίδας για αναζήτηση τελευταίο ψηφίο. Ο αριθμός 3 ταιριάζει ακριβώς χωρίς υπόλοιπο, αφού το 943 ∙ 3 \u003d 2829, που σημαίνει ότι αυτό είναι το τελευταίο ψηφίο του επιθυμητού αριθμού, δηλ. = 473.

943 2829

Κατ 'αρχήν, εάν το υπόλοιπο αποδειχτεί μη μηδενικό, θα ήταν δυνατό να βάλετε κόμμα μετά τα ψηφία που βρέθηκαν του αριθμού, να διαγράψετε δύο δεκαδικά ψηφία του αριθμού ως επόμενο ψηφίο ή δύο μηδενικά, εάν υπάρχουν κανένα, και συνεχίστε να εξάγετε την τετραγωνική ρίζα όλο και με μεγαλύτερη ακρίβεια. Για παράδειγμα:

= 4,123…

Κατά προσέγγιση μέθοδοι εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας

(χωρίς χρήση αριθμομηχανής).

1 μέθοδος.

Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν με τον εξής τρόποβρίσκοντας την κατά προσέγγιση τιμή της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού τους x. Παρίστασαν τον αριθμό x ως άθροισμα a 2 + b, όπου το a 2 είναι το πλησιέστερο στο x το ακριβές τετράγωνο του φυσικού αριθμού a (a 2 ? x) και χρησιμοποίησαν τον τύπο . (1)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα, για παράδειγμα, από τον αριθμό 28:

Το αποτέλεσμα της λήψης της ρίζας του 28 χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή είναι 5,2915026. Όπως μπορείτε να δείτε, η Βαβυλωνιακή μέθοδος δίνει μια καλή προσέγγιση στην ακριβή τιμή της ρίζας.

2 μέθοδος.

Ο Ισαάκ Νεύτων ανέπτυξε μια μέθοδο για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας, η οποία χρονολογείται από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας (περίπου 100 μ.Χ.). Αυτή η μέθοδος (γνωστή ως μέθοδος του Νεύτωνα) είναι η εξής.

Αφήνω ένα 1 - η πρώτη προσέγγιση ενός αριθμού (ως 1, μπορείτε να πάρετε τις τιμές της τετραγωνικής ρίζας ενός φυσικού αριθμού - ένα ακριβές τετράγωνο που δεν υπερβαίνει Χ) .

Ήρθε η ώρα να αποσυναρμολογηθεί μέθοδοι εξαγωγής ριζών. Βασίζονται στις ιδιότητες των ριζών, ιδίως στην ισότητα, η οποία ισχύει για κάθε μη αρνητικός αριθμόςσι.

Παρακάτω θα εξετάσουμε με τη σειρά μας τις κύριες μεθόδους εξαγωγής ριζών.

Ας ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση - εξαγωγή ριζών από φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας έναν πίνακα τετραγώνων, έναν πίνακα με κύβους κ.λπ.

Αν οι πίνακες των τετραγώνων, των κύβων κ.λπ. δεν είναι διαθέσιμο, είναι λογικό να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος εξαγωγής της ρίζας, η οποία περιλαμβάνει την αποσύνθεση του αριθμού ρίζας σε απλούς παράγοντες.

Ξεχωριστά, αξίζει να σταθούμε στο τι είναι δυνατό για ρίζες με περιττούς εκθέτες.

Τέλος, εξετάστε μια μέθοδο που σας επιτρέπει να βρίσκετε διαδοχικά τα ψηφία της τιμής της ρίζας.

Ας αρχίσουμε.

Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα με τετράγωνα, έναν πίνακα με κύβους κ.λπ.

Στα περισσότερα απλές περιπτώσειςπίνακες τετραγώνων, κύβων κ.λπ. επιτρέπουν την εξαγωγή ριζών. Τι είναι αυτοί οι πίνακες;

Ο πίνακας των τετραγώνων των ακεραίων αριθμών από το 0 έως το 99 (εμφανίζεται παρακάτω) αποτελείται από δύο ζώνες. Η πρώτη ζώνη του πίνακα βρίσκεται σε γκρι φόντο, επιλέγοντας μια συγκεκριμένη γραμμή και μια συγκεκριμένη στήλη, σας επιτρέπει να δημιουργήσετε έναν αριθμό από το 0 έως το 99. Για παράδειγμα, ας επιλέξουμε μια γραμμή 8 δεκάδων και μια στήλη 3 μονάδων, με αυτό διορθώσαμε τον αριθμό 83. Η δεύτερη ζώνη καταλαμβάνει το υπόλοιπο του πίνακα. Κάθε ένα από τα κελιά του βρίσκεται στην τομή μιας συγκεκριμένης σειράς και μιας συγκεκριμένης στήλης και περιέχει το τετράγωνο του αντίστοιχου αριθμού από το 0 έως το 99 . Στη διασταύρωση της επιλεγμένης σειράς των 8 δεκάδων και της στήλης 3 του ενός, υπάρχει ένα κελί με τον αριθμό 6889, που είναι το τετράγωνο του αριθμού 83.

Οι πίνακες των κύβων, οι πίνακες των τέταρτων δυνάμεων των αριθμών από το 0 έως το 99 και ούτω καθεξής είναι παρόμοιοι με τον πίνακα των τετραγώνων, μόνο που περιέχουν κύβους, τέταρτες δυνάμεις κ.λπ. στη δεύτερη ζώνη. αντίστοιχους αριθμούς.

Πίνακες τετραγώνων, κύβων, τέταρτων δυνάμεων κ.λπ. σας επιτρέπει να εξαγάγετε τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες, τέταρτες ρίζες κ.λπ. αντίστοιχα από τους αριθμούς σε αυτούς τους πίνακες. Ας εξηγήσουμε την αρχή της εφαρμογής τους στην εξαγωγή ριζών.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εξαγάγουμε τη ρίζα του nου βαθμού από τον αριθμό a, ενώ ο αριθμός a περιέχεται στον πίνακα των ντων βαθμών. Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα, βρίσκουμε τον αριθμό b τέτοιο ώστε a=b n . Επειτα , επομένως, ο αριθμός b θα είναι η επιθυμητή ρίζα του nου βαθμού.

Για παράδειγμα, ας δείξουμε πώς εξάγεται η κυβική ρίζα του 19683 χρησιμοποιώντας τον πίνακα κύβου. Βρίσκουμε τον αριθμό 19 683 στον πίνακα των κύβων, από αυτόν βρίσκουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι ένας κύβος του αριθμού 27, επομένως, .

Είναι σαφές ότι οι πίνακες των ν-ου βαθμών είναι πολύ βολικοί κατά την εξαγωγή ριζών. Ωστόσο, συχνά δεν είναι στη διάθεσή τους και η σύνταξη τους απαιτεί συγκεκριμένο χρόνο. Επιπλέον, είναι συχνά απαραίτητο να εξαχθούν ρίζες από αριθμούς που δεν περιέχονται στους αντίστοιχους πίνακες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να καταφύγει κανείς σε άλλες μεθόδους εξαγωγής των ριζών.

Αποσύνθεση του ριζικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Ένας αρκετά βολικός τρόπος για να εξαγάγετε τη ρίζα από έναν φυσικό αριθμό (αν, φυσικά, εξάγεται η ρίζα) είναι η αποσύνθεση του ριζικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Του η ουσία είναι η εξής: αφού είναι αρκετά εύκολο να το αναπαραστήσετε ως βαθμό με τον επιθυμητό δείκτη, που σας επιτρέπει να λάβετε την τιμή της ρίζας. Ας εξηγήσουμε αυτό το σημείο.

Έστω η ρίζα του nου βαθμού να εξαχθεί από έναν φυσικό αριθμό a και η τιμή του είναι ίση με b. Στην περίπτωση αυτή, η ισότητα a=b n είναι αληθής. Αριθμός β ως οποιοσδήποτε φυσικός αριθμόςμπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων του p 1 , p 2 , ..., p m με τη μορφή p 1 p 2 ... p m , και ο αριθμός ρίζας a σε αυτή την περίπτωση αναπαρίσταται ως (p 1 p 2 ... p m) n. Δεδομένου ότι η αποσύνθεση του αριθμού σε πρώτους παράγοντες είναι μοναδική, η αποσύνθεση του ριζικού αριθμού a σε πρώτους παράγοντες θα μοιάζει με (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , γεγονός που καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της τιμής της ρίζας ως .

Σημειώστε ότι αν η παραγοντοποίηση του ριζικού αριθμού a δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , τότε η ρίζα του nου βαθμού από έναν τέτοιο αριθμό a δεν εξάγεται πλήρως.

Ας ασχοληθούμε με αυτό κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Πάρτε την τετραγωνική ρίζα του 144 .

Λύση.

Αν στραφούμε στον πίνακα των τετραγώνων που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, φαίνεται καθαρά ότι 144=12 2 , από τον οποίο είναι σαφές ότι η τετραγωνική ρίζα του 144 είναι 12 .

Αλλά στο φως αυτή την παράγραφομας ενδιαφέρει πώς εξάγεται η ρίζα αποσυνθέτοντας τον αριθμό ρίζας 144 σε πρώτους παράγοντες. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτή τη λύση.

Ας αποσυντεθεί 144 στους πρώτους παράγοντες:

Δηλαδή 144=2 2 2 2 3 3 . Με βάση την προκύπτουσα αποσύνθεση, μπορούν να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Συνεπώς, .

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού και τις ιδιότητες των ριζών, το διάλυμα θα μπορούσε να διαμορφωθεί λίγο διαφορετικά: .

Απάντηση:

Για να εμπεδώσετε το υλικό, εξετάστε τις λύσεις δύο ακόμη παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τη ρίζα.

Λύση.

Η πρώτη παραγοντοποίηση του ριζικού αριθμού 243 είναι 243=3 5 . Με αυτόν τον τρόπο, .

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Η τιμή της ρίζας είναι ακέραιος;

Λύση.

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας αποσυνθέσουμε τον ριζικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες και ας δούμε αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως κύβος ενός ακέραιου αριθμού.

Έχουμε 285 768=2 3 3 6 7 2 . Η προκύπτουσα αποσύνθεση δεν αναπαρίσταται ως κύβος ακέραιου αριθμού, αφού ο βαθμός πρωταρχικός παράγονταςΤο 7 δεν είναι πολλαπλάσιο του τριών. Επομένως, η κυβική ρίζα του 285.768 δεν λαμβάνεται πλήρως.

Απάντηση:

Οχι.

Εξαγωγή ριζών από κλασματικούς αριθμούς

Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς εξάγεται η ρίζα κλασματικός αριθμός. Έστω ο κλασματικός ριζικός αριθμός γραμμένος ως p/q . Σύμφωνα με την ιδιότητα της ρίζας του πηλίκου, ισχύει η παρακάτω ισότητα. Από αυτή την ισότητα προκύπτει κανόνας ρίζας κλάσματος: Η ρίζα ενός κλάσματος είναι ίση με το πηλίκο της διαίρεσης της ρίζας του αριθμητή με τη ρίζα του παρονομαστή.

Ας δούμε ένα παράδειγμα εξαγωγής ρίζας από κλάσμα.

Παράδειγμα.

Τι είναι η τετραγωνική ρίζα του κοινό κλάσμα 25/169 .

Λύση.

Σύμφωνα με τον πίνακα των τετραγώνων, βρίσκουμε ότι η τετραγωνική ρίζα του αριθμητή του αρχικού κλάσματος είναι 5 και η τετραγωνική ρίζα του παρονομαστή είναι 13. Επειτα . Αυτό ολοκληρώνει την εξαγωγή της ρίζας από ένα συνηθισμένο κλάσμα 25/169.

Απάντηση:

Η ρίζα ενός δεκαδικού κλάσματος ή ενός μικτού αριθμού εξάγεται μετά την αντικατάσταση των ριζικών αριθμών με συνηθισμένα κλάσματα.

Παράδειγμα.

Πάρτε την κυβική ρίζα του δεκαδικού 474.552.

Λύση.

Φανταστείτε το πρωτότυπο δεκαδικόςμε τη μορφή συνηθισμένου κλάσματος: 474.552=474552/1000. Επειτα . Απομένει να εξαγάγουμε τις κυβικές ρίζες που βρίσκονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος που προκύπτει. Επειδή 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 και 1 000=10 3 , τότε και . Απομένει μόνο να ολοκληρωθούν οι υπολογισμοί .

Απάντηση:

.

Εξαγωγή της ρίζας ενός αρνητικού αριθμού

Ξεχωριστά, αξίζει να σταθούμε στην εξαγωγή ριζών από αρνητικούς αριθμούς. Κατά τη μελέτη των ριζών, είπαμε ότι όταν ο εκθέτης της ρίζας είναι περιττός αριθμός, τότε ένας αρνητικός αριθμός μπορεί να είναι κάτω από το πρόσημο της ρίζας. Δώσαμε σε τέτοιους συμβολισμούς την εξής σημασία: για έναν αρνητικό αριθμό −a και έναν περιττό εκθέτη της ρίζας 2 n−1, έχουμε . Αυτή η ισότητα δίνει κανόνας εξαγωγής περιττών ριζών από αρνητικούς αριθμούς: για να εξαγάγετε τη ρίζα από έναν αρνητικό αριθμό, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από τον αντίθετο θετικό αριθμό και να βάλετε ένα σύμβολο μείον μπροστά από το αποτέλεσμα.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή ρίζας.

Λύση.

Μεταμορφώνουμε την αρχική έκφραση έτσι ώστε κάτω από το πρόσημο της ρίζας να προκύπτει θετικός αριθμός: . Τώρα μικτός αριθμόςαντικαταστήστε με ένα συνηθισμένο κλάσμα: . Εφαρμόζουμε τον κανόνα της εξαγωγής της ρίζας από ένα συνηθισμένο κλάσμα: . Απομένει να υπολογίσουμε τις ρίζες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος που προκύπτει: .

Ας φέρουμε σύντομη σημείωσηλύσεις: .

Απάντηση:

.

Bitwise Εύρεση της τιμής ρίζας

ΣΤΟ γενική περίπτωσηκάτω από τη ρίζα είναι ένας αριθμός που, χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που συζητήθηκαν παραπάνω, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως η nη δύναμη οποιουδήποτε αριθμού. Αλλά ταυτόχρονα, υπάρχει ανάγκη να γνωρίζουμε την αξία μιας δεδομένης ρίζας, τουλάχιστον μέχρι ένα συγκεκριμένο ζώδιο. Σε αυτήν την περίπτωση, για να εξαγάγετε τη ρίζα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν αλγόριθμο που σας επιτρέπει να λαμβάνετε με συνέπεια έναν επαρκή αριθμό τιμών των ψηφίων του επιθυμητού αριθμού.

Στο πρώτο σκαλοπάτι αυτόν τον αλγόριθμοπρέπει να μάθετε ποιο είναι το πιο σημαντικό κομμάτι της αξίας της ρίζας. Για να γίνει αυτό, οι αριθμοί 0, 10, 100, ... αυξάνονται διαδοχικά στην ισχύ n έως ότου ληφθεί ένας αριθμός που υπερβαίνει τον αριθμό ρίζας. Τότε ο αριθμός που αυξήσαμε στη δύναμη του n στο προηγούμενο βήμα θα υποδηλώνει την αντίστοιχη υψηλή σειρά.

Για παράδειγμα, εξετάστε αυτό το βήμα του αλγορίθμου όταν εξάγετε την τετραγωνική ρίζα του πέντε. Παίρνουμε τους αριθμούς 0, 10, 100, ... και τους τετραγωνίζουμε μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο του 5 . Έχουμε 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, που σημαίνει ότι το πιο σημαντικό ψηφίο θα είναι το ψηφίο των μονάδων. Η τιμή αυτού του bit, καθώς και των χαμηλότερων, θα βρεθεί στα επόμενα βήματα του αλγόριθμου εξαγωγής ρίζας.

Όλα τα ακόλουθα βήματα του αλγορίθμου στοχεύουν στη διαδοχική βελτίωση της τιμής της ρίζας λόγω του γεγονότος ότι βρίσκονται οι τιμές των επόμενων ψηφίων της επιθυμητής τιμής της ρίζας, ξεκινώντας από το υψηλότερο και μεταβαίνοντας στο χαμηλότερο . Για παράδειγμα, η τιμή της ρίζας στο πρώτο βήμα είναι 2, στο δεύτερο - 2,2 , στο τρίτο - 2,23 και ούτω καθεξής 2,236067977 ... . Ας περιγράψουμε πώς βρίσκονται οι τιμές των bit.

Η εύρεση bits πραγματοποιείται με την απαρίθμηση των πιθανών τιμών τους 0, 1, 2, ..., 9. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ν. δυνάμεις των αντίστοιχων αριθμών υπολογίζονται παράλληλα και συγκρίνονται με τον ριζικό αριθμό. Εάν σε κάποιο στάδιο η τιμή του βαθμού υπερβαίνει τον ριζικό αριθμό, τότε θεωρείται ότι βρέθηκε η τιμή του ψηφίου που αντιστοιχεί στην προηγούμενη τιμή και γίνεται η μετάβαση στο επόμενο βήμα του αλγορίθμου εξαγωγής ρίζας, εάν αυτό δεν συμβεί, τότε η τιμή αυτού του ψηφίου είναι 9 .

Ας εξηγήσουμε όλα αυτά τα σημεία χρησιμοποιώντας το ίδιο παράδειγμα εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας του πέντε.

Αρχικά, βρείτε την τιμή του ψηφίου των μονάδων. Θα επαναλάβουμε τις τιμές 0, 1, 2, …, 9, υπολογίζοντας αντίστοιχα 0 2, 1 2, …, 9 2 μέχρι να πάρουμε μια τιμή μεγαλύτερη από τον ριζικό αριθμό 5. Όλοι αυτοί οι υπολογισμοί παρουσιάζονται εύκολα με τη μορφή πίνακα:

Άρα η τιμή του ψηφίου των μονάδων είναι 2 (γιατί 2 2<5 , а 2 3 >5). Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της αξίας της δέκατης θέσης. Σε αυτή την περίπτωση, θα τετραγωνίσουμε τους αριθμούς 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, συγκρίνοντας τις λαμβανόμενες τιμές με τον αριθμό ρίζας 5:

Από 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , τότε η τιμή της δέκατης θέσης είναι 2 . Μπορείτε να προχωρήσετε στην εύρεση της τιμής των εκατοστών θέσης:

Βρέθηκε λοιπόν επόμενη τιμήρίζα του πέντε, ισούται με 2,23. Και έτσι μπορείτε να συνεχίσετε να βρίσκετε τιμές περαιτέρω: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα αναλύσουμε την εξαγωγή της ρίζας με ακρίβεια εκατοστών χρησιμοποιώντας τον εξεταζόμενο αλγόριθμο.

Αρχικά, ορίζουμε το ανώτερο ψηφίο. Για να γίνει αυτό, κύβουμε τους αριθμούς 0, 10, 100 κ.λπ. μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από 2.151.186. Έχουμε 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , άρα το πιο σημαντικό ψηφίο είναι το ψηφίο των δεκάδων.

Ας ορίσουμε την αξία του.

Από το 103<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186, τότε η τιμή του ψηφίου των δεκάδων είναι 1. Ας περάσουμε στις μονάδες.

Έτσι, η τιμή της θέσης ενός είναι 2 . Ας προχωρήσουμε στα δέκα.

Εφόσον ακόμη και το 12,9 3 είναι μικρότερο από τον ριζικό αριθμό 2 151,186 , η τιμή της δέκατης θέσης είναι 9 . Μένει να εκτελέσουμε το τελευταίο βήμα του αλγορίθμου, θα μας δώσει την τιμή της ρίζας με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Σε αυτό το στάδιο, η τιμή της ρίζας βρίσκεται μέχρι τα εκατοστά: .

Ολοκληρώνοντας αυτό το άρθρο, θα ήθελα να πω ότι υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι εξαγωγής ριζών. Αλλά για τις περισσότερες εργασίες, αυτές που μελετήσαμε παραπάνω είναι αρκετές.

Βιβλιογραφία.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για 8 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων από το μάθημα των μαθηματικών και της φυσικής, οι μαθητές και οι φοιτητές αντιμετωπίζουν συχνά την ανάγκη να εξάγουν ρίζες του δεύτερου, του τρίτου ή του nου βαθμού. Φυσικά, στην εποχή της πληροφορικής, δεν θα είναι δύσκολο να λυθεί ένα τέτοιο πρόβλημα με μια αριθμομηχανή. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι αδύνατο να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονικό βοηθό.

Για παράδειγμα, απαγορεύεται να φέρνεις ηλεκτρονικά σε πολλές εξετάσεις. Επιπλέον, η αριθμομηχανή μπορεί να μην είναι διαθέσιμη. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι χρήσιμο να γνωρίζετε τουλάχιστον μερικές μεθόδους για τον χειροκίνητο υπολογισμό των ριζών.

Ένας από τους απλούστερους τρόπους υπολογισμού των ριζών είναι να χρησιμοποιώντας ειδικό τραπέζι. Τι είναι και πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά;

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, μπορείτε να βρείτε το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού από το 10 έως το 99. Ταυτόχρονα, οι σειρές του πίνακα περιέχουν τιμές δεκάδων και οι στήλες περιέχουν τιμές μονάδας. Το κελί στην τομή μιας γραμμής και μιας στήλης περιέχει το τετράγωνο ενός διψήφιου αριθμού. Για να υπολογίσετε το τετράγωνο του 63, πρέπει να βρείτε μια γραμμή με τιμή 6 και μια στήλη με τιμή 3. Στη διασταύρωση, βρίσκουμε ένα κελί με τον αριθμό 3969.

Δεδομένου ότι η εξαγωγή της ρίζας είναι η αντίστροφη πράξη του τετραγωνισμού, για να εκτελέσετε αυτήν την ενέργεια, πρέπει να κάνετε το αντίθετο: πρώτα βρείτε το κελί με τον αριθμό του οποίου η ρίζα θέλετε να υπολογίσετε και, στη συνέχεια, καθορίστε την απάντηση από τις τιμές της στήλης και της γραμμής. Για παράδειγμα, θεωρήστε τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του 169.

Βρίσκουμε ένα κελί με αυτόν τον αριθμό στον πίνακα, οριζόντια προσδιορίζουμε τις δεκάδες - 1, κάθετα βρίσκουμε τις μονάδες - 3. Απάντηση: √169 = 13.

Ομοίως, μπορείτε να υπολογίσετε τις ρίζες του κυβικού και του ν-ου βαθμού, χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους πίνακες.

Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι η απλότητά της και η απουσία πρόσθετων υπολογισμών. Τα μειονεκτήματα είναι προφανή: η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για περιορισμένο εύρος αριθμών (ο αριθμός για τον οποίο βρίσκεται η ρίζα πρέπει να είναι μεταξύ 100 και 9801). Επιπλέον, δεν θα λειτουργήσει εάν ο δεδομένος αριθμός δεν βρίσκεται στον πίνακα.

Πρωταρχική παραγοντοποίηση

Εάν ο πίνακας των τετραγώνων δεν είναι διαθέσιμος ή με τη βοήθειά του ήταν αδύνατο να βρείτε τη ρίζα, μπορείτε να δοκιμάσετε να αποσυνθέσετε τον αριθμό κάτω από τη ρίζα σε πρώτους παράγοντες. Οι πρώτοι παράγοντες είναι εκείνοι που μπορούν να διαιρεθούν πλήρως (χωρίς υπόλοιπο) μόνο από τον εαυτό τους ή από έναν. Τα παραδείγματα θα ήταν 2, 3, 5, 7, 11, 13 κ.λπ.

Εξετάστε τον υπολογισμό της ρίζας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα √576. Ας το αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες. Λαμβάνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Χρησιμοποιώντας την κύρια ιδιότητα των ριζών √a² = a, απαλλαγούμε από τις ρίζες και τα τετράγωνα, μετά την οποία υπολογίζουμε την απάντηση: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Τι να κάνετε εάν κάποιος από τους παράγοντες δεν έχει το δικό του ζεύγος; Για παράδειγμα, θεωρήστε τον υπολογισμό του √54. Μετά την παραγοντοποίηση, παίρνουμε το αποτέλεσμα με την ακόλουθη μορφή: Το μη αφαιρούμενο τμήμα μπορεί να μείνει κάτω από τη ρίζα. Για τα περισσότερα προβλήματα γεωμετρίας και άλγεβρας, μια τέτοια απάντηση θα μετρηθεί ως η τελική. Αλλά εάν υπάρχει ανάγκη να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τιμές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις μεθόδους που θα συζητηθούν αργότερα.

Η μέθοδος του Heron

Τι να κάνετε όταν πρέπει να γνωρίζετε τουλάχιστον περίπου ποια είναι η εξαγόμενη ρίζα (αν είναι αδύνατο να λάβετε μια ακέραια τιμή); Ένα γρήγορο και αρκετά ακριβές αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου Heron.. Η ουσία του έγκειται στη χρήση ενός κατά προσέγγιση τύπου:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

όπου R είναι ο αριθμός του οποίου η ρίζα πρόκειται να υπολογιστεί, a είναι ο πλησιέστερος αριθμός του οποίου η ρίζα είναι γνωστή.

Ας δούμε πώς λειτουργεί η μέθοδος στην πράξη και ας αξιολογήσουμε πόσο ακριβής είναι. Ας υπολογίσουμε με τι ισούται το √111. Ο πλησιέστερος αριθμός στο 111, η ρίζα του οποίου είναι γνωστή, είναι 121. Έτσι, R = 111, a = 121. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Τώρα ας ελέγξουμε την ακρίβεια της μεθόδου:

10,55² = 111,3025.

Το σφάλμα της μεθόδου ήταν περίπου 0,3. Εάν πρέπει να βελτιωθεί η ακρίβεια της μεθόδου, μπορείτε να επαναλάβετε τα βήματα που περιγράφηκαν προηγουμένως:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Ας ελέγξουμε την ακρίβεια του υπολογισμού:

10.536² = 111.0073.

Μετά από επανειλημμένη εφαρμογή του τύπου, το σφάλμα έγινε αρκετά ασήμαντο.

Υπολογισμός της ρίζας με διαίρεση σε στήλη

Αυτή η μέθοδος εύρεσης της τιμής της τετραγωνικής ρίζας είναι λίγο πιο περίπλοκη από τις προηγούμενες. Ωστόσο, είναι η πιο ακριβής μεταξύ άλλων μεθόδων υπολογισμού χωρίς αριθμομηχανή..

Ας πούμε ότι πρέπει να βρείτε την τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων. Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο υπολογισμού χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός αυθαίρετου αριθμού 1308.1912.

1. Διαχωρίστε το φύλλο χαρτιού σε 2 μέρη με μια κάθετη γραμμή και, στη συνέχεια, τραβήξτε μια άλλη γραμμή από αυτό προς τα δεξιά, λίγο κάτω από την επάνω άκρη. Γράφουμε τον αριθμό στην αριστερή πλευρά, χωρίζοντάς τον σε ομάδες των 2 ψηφίων, κινούμενοι δεξιά και αριστερά της υποδιαστολής. Το πρώτο ψηφίο στα αριστερά μπορεί να είναι χωρίς ζεύγος. Εάν το σύμβολο λείπει στη δεξιά πλευρά του αριθμού, τότε θα πρέπει να προστεθεί το 0. Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε 13 08.19 12.
2. Ας επιλέξουμε τον μεγαλύτερο αριθμό του οποίου το τετράγωνο θα είναι μικρότερο ή ίσο με την πρώτη ομάδα ψηφίων. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι 3. Ας το γράψουμε πάνω δεξιά. Το 3 είναι το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος. Κάτω δεξιά, υποδεικνύουμε 3 × 3 = 9. αυτό θα χρειαστεί για μεταγενέστερους υπολογισμούς. Αφαιρούμε το 9 από το 13 σε μια στήλη, παίρνουμε το υπόλοιπο 4.
3. Ας προσθέσουμε το επόμενο ζεύγος αριθμών στο υπόλοιπο 4. παίρνουμε 408.
4. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά με το 2 και γράψτε τον κάτω δεξιά, προσθέτοντας _ x _ = σε αυτόν. Παίρνουμε 6_ x _ =.
5. Αντί για παύλες, πρέπει να αντικαταστήσετε τον ίδιο αριθμό, μικρότερο ή ίσο με 408. Παίρνουμε 66 × 6 \u003d 396. Ας γράψουμε 6 επάνω δεξιά, αφού αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος. Αφαιρούμε το 396 από το 408, παίρνουμε 12.
6. Ας επαναλάβουμε τα βήματα 3-6. Δεδομένου ότι οι αριθμοί που μεταφέρονται βρίσκονται στο κλασματικό μέρος του αριθμού, είναι απαραίτητο να βάλετε μια υποδιαστολή πάνω δεξιά μετά το 6. Ας γράψουμε το διπλασιασμένο αποτέλεσμα με παύλες: 72_ x _ =. Ένας κατάλληλος αριθμός θα ήταν 1: 721 × 1 = 721. Ας τον γράψουμε ως απάντηση. Ας αφαιρέσουμε 1219 - 721 = 498.
7. Ας εκτελέσουμε την ακολουθία ενεργειών που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο άλλες τρεις φορές για να λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια για περαιτέρω υπολογισμούς, πρέπει να προστεθούν δύο μηδενικά στον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την απάντηση: √1308.1912 ≈ 36.1689. Εάν ελέγξετε τη δράση με μια αριθμομηχανή, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι όλοι οι χαρακτήρες καθορίστηκαν σωστά.

Υπολογισμός δυαδικών ψηφίων της τιμής της τετραγωνικής ρίζας

Η μέθοδος είναι εξαιρετικά ακριβής. Επιπλέον, είναι αρκετά κατανοητό και δεν απαιτεί απομνημόνευση τύπων ή πολύπλοκο αλγόριθμο ενεργειών, καθώς η ουσία της μεθόδου είναι να επιλέξετε το σωστό αποτέλεσμα.

Ας εξαγάγουμε τη ρίζα από τον αριθμό 781. Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τη σειρά των ενεργειών.

1. Μάθετε ποιο ψηφίο της τιμής της τετραγωνικής ρίζας θα είναι το υψηλότερο. Για να το κάνουμε αυτό, ας τετραγωνίσουμε τα 0, 10, 100, 1000 κ.λπ. και ας μάθουμε ανάμεσα σε ποια από αυτά βρίσκεται ο ριζικός αριθμός. Παίρνουμε αυτό το 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Ας πάρουμε την τιμή των δεκάδων. Για να το κάνουμε αυτό, θα αυξήσουμε εναλλάξ στη δύναμη των 10, 20, ..., 90, μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το 781. Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Η τιμή του αποτελέσματος n θα είναι εντός 20< n <30.
3. Ομοίως με το προηγούμενο βήμα, επιλέγεται η τιμή του ψηφίου των μονάδων. Τετράγωνουμε εναλλάξ 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Παίρνουμε αυτό το 724< n < 28.
4. Κάθε επόμενο ψηφίο (δέκατα, εκατοστά, κ.λπ.) υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως φαίνεται παραπάνω. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται μέχρι να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.