Να βρείτε την παράγωγο μιας παραμετρικής συνάρτησης. Παράγωγος συνάρτησης που ορίζεται με παραμετρικό τρόπο

Μην πιέζεστε, και σε αυτήν την παράγραφο, όλα είναι πολύ απλά. Μπορεί να γραφτεί γενικός τύποςπαραμετρικά δεδομένη λειτουργία, αλλά, για να το ξεκαθαρίσω, θα γράψω αμέσως συγκεκριμένο παράδειγμα. Σε παραμετρική μορφή, η συνάρτηση δίνεται από δύο εξισώσεις: . Συχνά, οι εξισώσεις δεν γράφονται κάτω από σγουρά άγκιστρα, αλλά διαδοχικά:,.

Μια μεταβλητή ονομάζεται παράμετρος και μπορεί να πάρει τιμές από "μείον άπειρο" έως "συν άπειρο". Εξετάστε, για παράδειγμα, την τιμή και αντικαταστήστε την και στις δύο εξισώσεις: . Ή ανθρώπινα: «αν το x είναι ίσο με τέσσερα, τότε το y είναι ίσο με ένα». Στο επίπεδο συντεταγμένωνμπορείτε να επισημάνετε ένα σημείο και αυτό το σημείο θα αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου. Ομοίως, μπορείτε να βρείτε ένα σημείο για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου "te". Όσον αφορά τη "συνήθη" συνάρτηση, για τους Ινδιάνους της Αμερικής μιας παραμετρικά δεδομένης συνάρτησης, όλα τα δικαιώματα είναι επίσης σεβαστά: μπορείτε να σχεδιάσετε ένα γράφημα, να βρείτε παράγωγα κ.λπ. Παρεμπιπτόντως, εάν χρειάζεται να δημιουργηθεί ένα γράφημα μιας παραμετρικά δεδομένης συνάρτησης, κατεβάστε το γεωμετρικό μου πρόγραμμα στη σελίδα Μαθηματικοί τύποικαι τραπέζια.

Στις απλούστερες περιπτώσεις, είναι δυνατή η ρητή αναπαράσταση της συνάρτησης. Εκφράζουμε την παράμετρο από την πρώτη εξίσωση: και αντικαταστήστε το στη δεύτερη εξίσωση: . Το αποτέλεσμα είναι μια συνηθισμένη κυβική συνάρτηση.

Σε πιο «βαριές» περιπτώσεις, ένα τέτοιο κόλπο δεν λειτουργεί. Αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα, γιατί για να βρεθεί η παράγωγος παραμετρική συνάρτησηυπάρχει μια φόρμουλα:

Βρίσκουμε την παράγωγο του "ο παίκτης σε σχέση με τη μεταβλητή te":

Όλοι οι κανόνες διαφοροποίησης και ο πίνακας παραγώγων ισχύουν φυσικά για το γράμμα, επομένως, δεν υπάρχει καινοτομία στη διαδικασία εύρεσης παραγώγων. Απλώς αντικαταστήστε νοερά όλα τα "x" του πίνακα με το γράμμα "te".

Βρίσκουμε την παράγωγο του "x σε σχέση με τη μεταβλητή te":

Τώρα μένει μόνο να αντικαταστήσουμε τα παράγωγα που βρέθηκαν στον τύπο μας:

Ετοιμος. Η παράγωγος, όπως και η ίδια η συνάρτηση, εξαρτάται επίσης από την παράμετρο.

Όσον αφορά τη σημείωση, αντί να γράφει κανείς στον τύπο, θα μπορούσε απλώς να τον γράψει χωρίς δείκτη, αφού πρόκειται για τη «συνηθισμένη» παράγωγο «κατά x». Αλλά υπάρχει πάντα μια παραλλαγή στη βιβλιογραφία, οπότε δεν θα παρεκκλίνω από τα πρότυπα.

Παράδειγμα 6

Χρησιμοποιούμε τον τύπο

ΣΤΟ αυτή η υπόθεση:

Με αυτόν τον τρόπο:

Χαρακτηριστικό της εύρεσης της παραγώγου μιας παραμετρικής συνάρτησης είναι το γεγονός ότι σε κάθε βήμα, είναι πλεονεκτικό να απλοποιηθεί το αποτέλεσμα όσο το δυνατόν περισσότερο. Έτσι, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, κατά την εύρεση, άνοιξα τις αγκύλες κάτω από τη ρίζα (αν και μπορεί να μην το έκανα αυτό). Υπάρχει μεγάλη πιθανότητα κατά την αντικατάσταση και στη φόρμουλα, πολλά πράγματα να μειωθούν καλά. Αν και υπάρχουν φυσικά παραδείγματα με αδέξιες απαντήσεις.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Στο άρθρο Πρωτόζωα τυπικές εργασίεςμε παράγωγο εξετάσαμε παραδείγματα στα οποία έπρεπε να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης. Για μια παραμετρικά δεδομένη συνάρτηση, μπορείτε επίσης να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, η οποία βρίσκεται με τον ακόλουθο τύπο: . Είναι προφανές ότι για να βρει κανείς τη δεύτερη παράγωγο, πρέπει πρώτα να βρει την πρώτη παράγωγο.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά

Ας βρούμε πρώτα την πρώτη παράγωγο.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο

Σε αυτήν την περίπτωση:

Αντικαθιστά τα παράγωγα που βρέθηκαν στον τύπο. Για λόγους απλότητας, χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο:

Παρατήρησα ότι στο πρόβλημα της εύρεσης της παραγώγου μιας παραμετρικής συνάρτησης, αρκετά συχνά, για να απλοποιήσουμε, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικούς τύπους . Θυμηθείτε τα ή κρατήστε τα στη διάθεσή σας και μην χάσετε την ευκαιρία να απλοποιήσετε το καθένα. ενδιάμεσο αποτέλεσμακαι απαντήσεις. Για ποιο λόγο? Τώρα πρέπει να πάρουμε την παράγωγο του , και αυτό είναι σαφώς καλύτερο από το να βρούμε την παράγωγο του .

Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο: .

Ας δούμε τη φόρμουλα μας. Ο παρονομαστής έχει ήδη βρεθεί στο προηγούμενο βήμα. Απομένει να βρούμε τον αριθμητή - την παράγωγο της πρώτης παραγώγου σε σχέση με τη μεταβλητή "te":

Απομένει να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

Για να εμπεδώσω το υλικό, προσφέρω μερικά ακόμη παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση.

Παράδειγμα 9

Παράδειγμα 10

Βρείτε και για μια συνάρτηση που ορίζεται παραμετρικά

Σου εύχομαι επιτυχία!

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα ήταν χρήσιμο και τώρα μπορείτε εύκολα να βρείτε παράγωγα σιωπηρών συναρτήσεων και παραμετρικών συναρτήσεων

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3: Λύση:






Με αυτόν τον τρόπο:

Ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης που ορίζεται με παραμετρικό τρόπο. Απόδειξη και παραδείγματα εφαρμογής αυτού του τύπου. Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων πρώτης, δεύτερης και τρίτης τάξης.

Ας δοθεί η συνάρτηση με παραμετρικό τρόπο:
(1)
όπου είναι κάποια μεταβλητή που ονομάζεται παράμετρος. Και αφήστε τις συναρτήσεις και να έχουν παραγώγους σε κάποια τιμή της μεταβλητής . Επιπλέον, η λειτουργία έχει αντίστροφη συνάρτησησε κάποια γειτονιά του σημείου . Τότε η συνάρτηση (1) έχει μια παράγωγο στο σημείο, η οποία, σε παραμετρική μορφή, προσδιορίζεται από τους τύπους:
(2)

Εδώ και είναι παράγωγοι των συναρτήσεων και σε σχέση με τη μεταβλητή (παράμετρος) . Συχνά γράφονται με την ακόλουθη μορφή:
;
.

Τότε το σύστημα (2) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απόδειξη

Κατά συνθήκη, η συνάρτηση έχει αντίστροφη συνάρτηση. Ας το χαρακτηρίσουμε ως
.
Τότε η αρχική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετη συνάρτηση:
.
Ας βρούμε την παράγωγό του εφαρμόζοντας τους κανόνες διαφοροποίησης μιγαδικών και αντίστροφων συναρτήσεων:
.

Ο κανόνας έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη με τον δεύτερο τρόπο

Ας βρούμε την παράγωγο με τον δεύτερο τρόπο, με βάση τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο :
.
Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:
.
Τότε ο προηγούμενος τύπος παίρνει τη μορφή:
.

Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η συνάρτηση έχει αντίστροφη συνάρτηση , κοντά στο σημείο .
Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:
; ;
; .
Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με:
.
Στο , . Επειτα
.

Ο κανόνας έχει αποδειχθεί.

Παράγωγα υψηλότερων τάξεων

Για να βρείτε παράγωγα υψηλότερων τάξεων, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε διαφοροποίηση αρκετές φορές. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται με παραμετρικό τρόπο, της παρακάτω μορφής:
(1)

Σύμφωνα με τον τύπο (2), βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο, η οποία προσδιορίζεται επίσης παραμετρικά:
(2)

Να συμβολίσετε την πρώτη παράγωγο με μια μεταβλητή:
.
Στη συνέχεια, για να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης σε σχέση με τη μεταβλητή, πρέπει να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης σε σχέση με τη μεταβλητή. Η εξάρτηση μιας μεταβλητής από μια μεταβλητή προσδιορίζεται επίσης με παραμετρικό τρόπο:
(3)
Συγκρίνοντας το (3) με τους τύπους (1) και (2), βρίσκουμε:

Τώρα ας εκφράσουμε το αποτέλεσμα ως προς τις συναρτήσεις και . Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε και εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο ενός κλάσματος:
.
Επειτα
.

Από εδώ λαμβάνουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή:

Δίνεται και σε παραμετρική μορφή. Σημειώστε ότι η πρώτη γραμμή μπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής:
.

Συνεχίζοντας τη διαδικασία, είναι δυνατή η λήψη παραγώγων συναρτήσεων από μια μεταβλητή τρίτης και ανώτερης τάξης.

Σημειώστε ότι είναι δυνατό να μην εισαχθεί ο συμβολισμός για την παράγωγο. Μπορεί να γραφτεί ως εξής:
;
.

Παράδειγμα 1

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται με παραμετρικό τρόπο:

Λύση

Βρίσκουμε παράγωγα του και σε σχέση με .
Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
;
.
Εφαρμόζουμε:

.
Εδώ .

.
Εδώ .

Επιθυμητό παράγωγο:
.

Απάντηση

Παράδειγμα 2

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης που εκφράζεται μέσω της παραμέτρου:

Λύση

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες χρησιμοποιώντας τύπους για συναρτήσεις ισχύος και ρίζες:
.

Βρίσκουμε την παράγωγο:

.

Βρίσκουμε την παράγωγο. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε μια μεταβλητή και εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

.

Βρίσκουμε την επιθυμητή παράγωγο:
.

Απάντηση

Παράδειγμα 3

Βρείτε τη δεύτερη και την τρίτη παράγωγο της συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά στο παράδειγμα 1:

Λύση

Στο παράδειγμα 1, βρήκαμε την παράγωγο πρώτης τάξης:

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία. Τότε η συνάρτηση είναι η παράγωγος ως προς το . Ρυθμίζεται παραμετρικά:

Για να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο σε σχέση με , πρέπει να βρούμε την πρώτη παράγωγο σε σχέση με .

Διαφοροποιούμε σε σχέση με .
.
Βρήκαμε την παράγωγο στο παράδειγμα 1:
.
Η παράγωγος δεύτερης τάξης σε σχέση με είναι ίση με την παράγωγο πρώτης τάξης ως προς:
.

Έτσι, βρήκαμε την παράγωγο δεύτερης τάξης σε σχέση με την παραμετρική μορφή:

Τώρα βρίσκουμε την παράγωγο τρίτης τάξης. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία. Τότε πρέπει να βρούμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης , η οποία δίνεται με παραμετρικό τρόπο:

Βρίσκουμε την παράγωγο ως προς το . Για να γίνει αυτό, ξαναγράφουμε σε ισοδύναμη μορφή:
.
Από

.

Η παράγωγος τρίτης τάξης σε σχέση με είναι ίση με την παράγωγο πρώτης τάξης ως προς:
.

Σχόλιο

Είναι δυνατόν να μην εισαχθούν μεταβλητές και , που είναι παράγωγα του και , αντίστοιχα. Τότε μπορείτε να το γράψετε ως εξής:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Απάντηση

Στην παραμετρική παράσταση, η παράγωγος δεύτερης τάξης έχει επόμενη προβολή:

Παράγωγο τρίτης τάξης:

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει τις εξισώσεις των γραμμών στο επίπεδο, οι οποίες συσχετίζουν άμεσα τις τρέχουσες συντεταγμένες των σημείων αυτών των ευθειών. Ωστόσο, χρησιμοποιείται συχνά ένας άλλος τρόπος καθορισμού της γραμμής, στον οποίο οι τρέχουσες συντεταγμένες θεωρούνται ως συναρτήσεις μιας τρίτης μεταβλητής.

Έστω δύο συναρτήσεις μιας μεταβλητής

θεωρούνται για τις ίδιες τιμές του t. Τότε οποιαδήποτε από αυτές τις τιμές του t αντιστοιχεί σε ορισμένη αξίακαι μια ορισμένη τιμή του y, και κατά συνέπεια, και συγκεκριμένο σημείο. Όταν η μεταβλητή t διατρέχει όλες τις τιμές από τον τομέα συνάρτησης (73), το σημείο περιγράφει κάποια γραμμή C στο επίπεδο. Οι εξισώσεις (73) ονομάζονται παραμετρικές εξισώσειςαυτή η γραμμή και η μεταβλητή είναι μια παράμετρος.

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση έχει αντίστροφη συνάρτηση Αντικαθιστώντας αυτή τη συνάρτηση με τη δεύτερη από τις εξισώσεις (73), λαμβάνουμε την εξίσωση

εκφράζοντας το y ως συνάρτηση

Ας συμφωνήσουμε να πούμε ότι αυτή η συνάρτηση δίνεται παραμετρικά από τις εξισώσεις (73). Η μετάβαση από αυτές τις εξισώσεις στην εξίσωση (74) ονομάζεται εξάλειψη της παραμέτρου. Όταν εξετάζουμε συναρτήσεις που ορίζονται παραμετρικά, ο αποκλεισμός της παραμέτρου όχι μόνο δεν είναι απαραίτητος, αλλά δεν είναι πάντα πρακτικά δυνατός.

Σε πολλές περιπτώσεις είναι πολύ πιο βολικό να ρωτάς διαφορετικές έννοιεςπαράμετρος, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους τύπους (73), υπολογίστε τις αντίστοιχες τιμές του ορίσματος και της συνάρτησης y.

Εξετάστε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Έστω - αυθαίρετο σημείοκύκλος με κέντρο την αρχή και την ακτίνα R. Καρτεσιανές συντεταγμένεςΤα x και y αυτού του σημείου εκφράζονται ως προς την πολική ακτίνα και την πολική του γωνία, που συμβολίζουμε εδώ με t, ως εξής (βλ. Κεφ. I, § 3, στοιχείο 3):

Οι εξισώσεις (75) ονομάζονται παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου. Η παράμετρος σε αυτά είναι η πολική γωνία, η οποία ποικίλλει από 0 έως.

Εάν οι εξισώσεις (75) τετραγωνιστούν και προστεθούν ανά όρο, τότε, λόγω της ταυτότητας, η παράμετρος θα εξαλειφθεί και η εξίσωση του κύκλου θα ληφθεί σε Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες που ορίζουν δύο στοιχειώδεις συναρτήσεις:

Κάθε μία από αυτές τις συναρτήσεις καθορίζεται παραμετρικά από τις εξισώσεις (75), αλλά τα εύρη διακύμανσης των παραμέτρων για αυτές τις συναρτήσεις είναι διαφορετικά. Για το πρώτο ? η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι το πάνω ημικύκλιο. Για τη δεύτερη συνάρτηση, η γραφική παράσταση της είναι το κάτω ημικύκλιο.

Παράδειγμα 2. Θεωρήστε μια έλλειψη ταυτόχρονα

και ένας κύκλος με κέντρο την αρχή και την ακτίνα a (Εικ. 138).

Σε κάθε σημείο Μ της έλλειψης, συσχετίζουμε ένα σημείο Ν του κύκλου, το οποίο έχει την ίδια τετμημένη με το σημείο Μ και βρίσκεται μαζί του στην ίδια πλευρά του άξονα Ox. Η θέση του σημείου N, και επομένως το σημείο M, καθορίζεται πλήρως από την πολική γωνία t του σημείου. Στην περίπτωση αυτή, για την κοινή τους τετμημένη, λαμβάνουμε παρακάτω έκφραση: x = α. Βρίσκουμε την τεταγμένη στο σημείο Μ από την εξίσωση έλλειψης:

Το πρόσημο επιλέγεται επειδή η τεταγμένη στο σημείο Μ και η τεταγμένη στο σημείο Ν πρέπει να έχουν τα ίδια πρόσημα.

Έτσι, προκύπτουν οι ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις για την έλλειψη:

Εδώ η παράμετρος t αλλάζει από 0 σε .

Παράδειγμα 3. Θεωρήστε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο α) και ακτίνα α, ο οποίος, προφανώς, αγγίζει τον άξονα x στην αρχή (Εικ. 139). Ας υποθέσουμε ότι είναι αυτός ο κύκλος που κυλά χωρίς να γλιστρά κατά μήκος του άξονα x. Στη συνέχεια, το σημείο Μ του κύκλου, το οποίο συνέπιπτε σε αρχική στιγμήμε την αρχή περιγράφει μια γραμμή που ονομάζεται κυκλοειδής.

Εξάγουμε τις παραμετρικές εξισώσεις του κυκλοειδούς, λαμβάνοντας ως παράμετρο t τη γωνία περιστροφής του κύκλου MSW όταν μετακινούμε το σταθερό σημείο του από τη θέση O στη θέση M. Στη συνέχεια, για τις συντεταγμένες και y του σημείου M λαμβάνουμε τις ακόλουθες εκφράσεις:

Λόγω του γεγονότος ότι ο κύκλος κυλά κατά μήκος του άξονα χωρίς να ολισθαίνει, το μήκος του τμήματος OB είναι ίσο με το μήκος του τόξου VM. Δεδομένου ότι το μήκος του τόξου VM είναι ίσο με το γινόμενο της ακτίνας a by κεντρική γωνία t, τότε. Να γιατί . Όμως, επομένως,

Αυτές οι εξισώσεις είναι οι παραμετρικές εξισώσεις του κυκλοειδούς. Όταν αλλάζετε την παράμετρο t από 0 στον κύκλο θα γίνει ένα πλήρης στροφή. Το σημείο Μ θα περιγράψει ένα τόξο του κυκλοειδούς.

Ο αποκλεισμός της παραμέτρου t οδηγεί εδώ σε δυσκίνητες εκφράσεις και είναι πρακτικά ανέφικτος.

Ο παραμετρικός ορισμός των γραμμών χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά στη μηχανική και ο χρόνος παίζει το ρόλο μιας παραμέτρου.

Παράδειγμα 4. Προσδιορίστε την τροχιά ενός βλήματος που εκτοξεύτηκε από όπλο με αρχική ταχύτητασε γωνία α ως προς τον ορίζοντα. Αντίσταση αέρα και το μέγεθος του βλήματος, λαμβάνοντας υπόψη το υλικό σημείο, παραμελούμε.

Ας επιλέξουμε ένα σύστημα συντεταγμένων. Για την προέλευση των συντεταγμένων παίρνουμε το σημείο εκκίνησης του βλήματος από το ρύγχος. Ας κατευθύνουμε τον άξονα Ox οριζόντια και τον άξονα Oy - κάθετα, τοποθετώντας τα στο ίδιο επίπεδο με το ρύγχος του όπλου. Αν δεν υπήρχε βαρυτική δύναμη, τότε το βλήμα θα κινούνταν κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής σχηματίζοντας γωνία a με τον άξονα Ox και μέχρι τη στιγμή t θα είχε διανύσει τη διαδρομή. Οι συντεταγμένες του βλήματος τη στιγμή t θα ήταν αντίστοιχα ίσες: . Λόγω της βαρύτητας της γης, το βλήμα πρέπει μέχρι αυτή τη στιγμή να κατέβει κατακόρυφα κατά μια τιμή. Επομένως, στην πραγματικότητα, τη στιγμή t, οι συντεταγμένες του βλήματος καθορίζονται από τους τύπους:

Σε αυτές τις εξισώσεις - σταθερές. Όταν το t αλλάξει, θα αλλάξουν και οι συντεταγμένες του σημείου τροχιάς του βλήματος. Οι εξισώσεις είναι παραμετρικές εξισώσεις της τροχιάς του βλήματος, στις οποίες η παράμετρος είναι ο χρόνος

Έκφραση από την πρώτη εξίσωση και αντικατάστασή της σε

η δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε την εξίσωση της τροχιάς του βλήματος με τη μορφή Αυτή είναι η εξίσωση μιας παραβολής.