Ισούται με τη σταθερά ε. Μαθηματικά μου αρέσουν

Ολοι γνωρίζουν γεωμετρική σημασίααριθμοί π είναι το μήκος ενός κύκλου με μονάδα διαμέτρου:

Αλλά εδώ είναι το νόημα μιας άλλης σημαντικής σταθεράς, μι, τείνει να ξεχνιέται γρήγορα. Δηλαδή, δεν ξέρω για εσάς, αλλά κάθε φορά μου κοστίζει μια προσπάθεια να θυμάμαι γιατί αυτός ο αριθμός ίσος με 2,7182818284590 είναι τόσο αξιοσημείωτος... (Εγώ, όμως, έγραψα την τιμή από μνήμης). Αποφάσισα λοιπόν να γράψω ένα σημείωμα για να μην ξεφύγει τίποτα άλλο από τη μνήμη μου.

Αριθμός μιεξ ορισμού - το όριο μιας συνάρτησης y = (1 + 1 / Χ) Χστο Χ → ∞:

Χ	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim× → ∞	= 2,7182818284590...

Αυτός ο ορισμός, δυστυχώς, δεν είναι σαφής. Δεν είναι σαφές γιατί αυτό το όριο είναι αξιοσημείωτο (παρά το γεγονός ότι ονομάζεται «δεύτερο αξιόλογο»). Σκεφτείτε, πήραν κάποια αδέξια συνάρτηση και υπολόγισαν το όριο. Μια διαφορετική λειτουργία θα έχει διαφορετική.

Αλλά ο αριθμός μιγια κάποιο λόγο εμφανίζεται σε ένα σωρό από τα περισσότερα διαφορετικές καταστάσειςστα μαθηματικά.

Για μένα κύριο νόημααριθμοί μιαποκαλύπτεται στη συμπεριφορά μιας άλλης, πολύ πιο ενδιαφέρουσας λειτουργίας, y = κ Χ. Αυτό το χαρακτηριστικό έχει μοναδική ιδιοκτησίαστο κ = μι, το οποίο μπορεί να παρουσιαστεί γραφικά ως εξής:

Στο σημείο 0 η συνάρτηση παίρνει την τιμή μι 0 = 1. Αν σχεδιάσετε μια εφαπτομένη στο σημείο Χ= 0, τότε θα περάσει στον άξονα x υπό γωνία με την εφαπτομένη 1 (in κίτρινο τρίγωνοο λόγος της απέναντι πλευράς 1 προς τη διπλανή πλευρά 1 είναι 1). Στο σημείο 1 η συνάρτηση παίρνει την τιμή μι 1 = μι. Αν σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα σημείο Χ= 1, τότε θα περάσει υπό γωνία με μια εφαπτομένη μι(V πράσινο τρίγωνοαναλογία απέναντι πλευράς μιστο διπλανό 1 είναι ίσο μι). Στο σημείο 2 η τιμή μι 2 της συνάρτησης συμπίπτει πάλι με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης σε αυτήν. Εξαιτίας αυτού, την ίδια στιγμή, οι ίδιες οι εφαπτομένες τέμνουν τον άξονα x ακριβώς στα σημεία −1, 0, 1, 2, κ.λπ.

Ανάμεσα σε όλες τις λειτουργίες y = κ Χ(για παράδειγμα 2 Χ , 10 Χ , π Χκ.λπ.), λειτουργία μι Χ- το μόνο που έχει τέτοια ομορφιά που η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης του σε κάθε σημείο του συμπίπτει με την τιμή της ίδιας της συνάρτησης. Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, η τιμή αυτής της συνάρτησης σε κάθε σημείο συμπίπτει με την τιμή της παραγώγου της σε αυτό το σημείο: ( μι Χ)´ = μι Χ. Για κάποιο λόγο ο αριθμός μι= 2,7182818284590... πρέπει να αυξηθεί σε διαφορετικούς βαθμούςγια να πάρετε μια τέτοια εικόνα.

Αυτό είναι, κατά τη γνώμη μου, το νόημά του.

Αριθμοί π Και μιπεριλαμβάνονται στον αγαπημένο μου τύπο - ο τύπος του Euler, ο οποίος συνδέει τις 5 πιο σημαντικές σταθερές - μηδέν, μία, φανταστική μονάδα Εγώκαι μάλιστα αριθμούς π Και μι:

e iπ + 1 = 0

Γιατί ο αριθμός 2.7182818284590 είναι... μέσα σύνθετο βαθμό 3,1415926535...Εγώξαφνικά ίσο με μείον ένα; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα ξεφεύγει από το πεδίο εφαρμογής αυτού του σημείωσης και θα μπορούσε να αποτελέσει το περιεχόμενο ενός σύντομου βιβλίου, το οποίο θα απαιτούσε κάποια βασική κατανόηση της τριγωνομετρίας, των ορίων και των σειρών.

Πάντα με εκπλήσσει η ομορφιά αυτής της φόρμουλας. Ίσως υπάρχουν περισσότερα στα μαθηματικά καταπληκτικά γεγονότα, αλλά για το επίπεδό μου (ένα Γ στο Φυσικομαθηματικό Λύκειο και ένα Α σε ολοκληρωμένη ανάλυσηστο πανεπιστήμιο) αυτό είναι το πιο σημαντικό θαύμα.

ΑΡΙΘΜΟΣ ε
Ένας αριθμός περίπου ίσος με 2.718, που απαντάται συχνά στα μαθηματικά και φυσικές επιστήμες. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια της κατάρρευσης ραδιενεργή ουσίαμετά το χρόνο t, ένα κλάσμα ίσο με e-kt παραμένει από την αρχική ποσότητα της ουσίας, όπου k είναι ένας αριθμός που χαρακτηρίζει το ρυθμό διάσπασης αυτής της ουσίας. Η αμοιβαία τιμή 1/k ονομάζεται μέση διάρκεια ζωής ενός ατόμου μιας δεδομένης ουσίας, αφού κατά μέσο όρο ένα άτομο υπάρχει για χρόνο 1/k πριν από τη διάσπαση. Η τιμή 0,693/k ονομάζεται χρόνος ημιζωής μιας ραδιενεργής ουσίας, δηλ. ο χρόνος κατά τον οποίο αποσυντίθεται το ήμισυ της αρχικής ποσότητας μιας ουσίας· ο αριθμός 0,693 είναι περίπου ίσος με το λογότυπο 2, δηλ. λογάριθμος του αριθμού 2 στη βάση e. Ομοίως, εάν τα βακτήρια σε ένα θρεπτικό μέσο πολλαπλασιάζονται με ρυθμό ανάλογο με τον αριθμό τους μέσα επί του παρόντος, τότε μετά από χρόνο t αρχική ποσότητατα βακτήρια N μετατρέπονται σε Nekt. Απόσβεση ηλεκτρικό ρεύμαΕγώ σε ένα απλό κύκλωμα με σειριακή σύνδεση, η αντίσταση R και η επαγωγή L εμφανίζονται σύμφωνα με το νόμο I = I0e-kt, όπου k = R/L, I0 είναι η ένταση ρεύματος τη στιγμή t = 0. Παρόμοιοι τύποι περιγράφουν τη χαλάρωση της τάσης σε ένα παχύρρευστο ρευστό και την εξασθένηση μαγνητικό πεδίο. Ο αριθμός 1/k ονομάζεται συχνά χρόνος χαλάρωσης. Στις στατιστικές, η τιμή e-kt εμφανίζεται ως η πιθανότητα ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου t δεν συνέβησαν γεγονότα που συνέβησαν τυχαία με μέση συχνότητα k συμβάντων ανά μονάδα χρόνου. Εάν S είναι το ποσό των χρημάτων που επενδύονται με τόκους r με συνεχή ανατοκισμό αντί για ανατοκισμό σε διακριτά διαστήματα, τότε με το χρόνο t το αρχικό ποσό θα έχει αυξηθεί σε Setr/100. Ο λόγος για την «πανταχού παρουσία» του αριθμού ε είναι ότι οι τύποι μαθηματική ανάλυση, που περιέχουν εκθετικές συναρτήσεις ή λογάριθμους, γράφονται πιο απλά εάν οι λογάριθμοι ληφθούν στη βάση e παρά στο 10 ή σε κάποια άλλη βάση. Για παράδειγμα, η παράγωγος του log10 x είναι (1/x)log10 e, ενώ η παράγωγος του log x είναι απλώς 1/x. Ομοίως, η παράγωγος του 2x είναι 2xloge 2, ενώ η παράγωγος του ex είναι απλώς ex. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός e μπορεί να οριστεί ως η βάση b για την οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = logb x έχει μια εφαπτομένη c στο σημείο x = 1 κλίσηίση με 1, ή για την οποία η καμπύλη y = bx έχει εφαπτομένη στο x = 0 με κλίση ίση με 1. Οι λογάριθμοι στη βάση e ονομάζονται «φυσικοί» και συμβολίζονται με ln x. Μερικές φορές ονομάζονται και «non-Pierre», κάτι που είναι λάθος, αφού στην πραγματικότητα ο J. Napier (1550-1617) επινόησε λογάριθμους με διαφορετική βάση: ο λογάριθμος του Νεπιέριου του αριθμού x είναι ίσος με 107 log1/e (x/ 107) (βλ. και ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ). Διάφοροι συνδυασμοί δυνάμεων του e εμφανίζονται τόσο συχνά στα μαθηματικά που έχουν ειδικά ονόματα. Αυτά είναι, για παράδειγμα, υπερβολικές συναρτήσεις

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cosh x ονομάζεται αλυσιδωτή γραμμή. Αυτό είναι το σχήμα μιας βαριάς μη εκτάσιμης κλωστής ή αλυσίδας που κρέμεται από τα άκρα. Οι τύποι του Euler

όπου i2 = -1, συνδέστε τον αριθμό e με την τριγωνομετρία. Ειδική περίπτωσηΤο x = p οδηγεί στην περίφημη σχέση eip + 1 = 0, συνδέοντας τους 5 πιο γνωστούς αριθμούς στα μαθηματικά. Κατά τον υπολογισμό της τιμής του e, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ορισμένοι άλλοι τύποι (ο πρώτος από αυτούς χρησιμοποιείται συχνότερα):

Η τιμή του e με 15 δεκαδικά ψηφία είναι 2,718281828459045. Το 1953, η τιμή του e υπολογίστηκε με 3333 δεκαδικά ψηφία. Το σύμβολο e για να δηλώσει αυτόν τον αριθμό εισήχθη το 1731 από τον L. Euler (1707-1783). Η δεκαδική επέκταση του αριθμού e είναι μη περιοδική (e είναι ένας παράλογος αριθμός). Επιπλέον, το e, όπως το p, είναι ένας υπερβατικός αριθμός (δεν είναι η ρίζα κανενός αλγεβρική εξίσωσημε ορθολογικούς συντελεστές). Αυτό απέδειξε το 1873 ο S. Hermit. Για πρώτη φορά αποδείχθηκε ότι ένας αριθμός που προκύπτει τόσο φυσικά στα μαθηματικά είναι υπερβατικός.
δείτε επίσης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ;
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ;
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ;
ΑΡΙΘΜΟΣ p;
ΚΑΤΑΤΑΞΕΙΣ.

Εγκυκλοπαίδεια Collier. - Ανοικτή Κοινωνία. 2000 .

Δείτε τι είναι το "NUMBER e" σε άλλα λεξικά:

αριθμός- Πηγή λήψης: GOST 111 90: Λαμαρίνα. Τεχνικές προδιαγραφές πρωτότυπο έγγραφο Δείτε επίσης σχετικούς όρους: 109. Ο αριθμός των ταλαντώσεων βήτατρον ... Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης

Noun, s., used. πολύ συχνά Μορφολογία: (όχι) τι; αριθμοί, τι; αριθμός, (δείτε) τι; αριθμός, τι; αριθμός, για τι; Σχετικά με τον αριθμό? pl. Τι? αριθμοί, (όχι) τι; αριθμοί, γιατί; αριθμοί, (δείτε) τι; αριθμοί, τι; αριθμοί, για τι; για τους αριθμούς μαθηματικά 1. Κατά αριθμό... ... ΛεξικόΝτμίτριεβα

ΑΡΙΘΜΟΣ, αριθμοί, πληθυντικός. αριθμοί, αριθμοί, αριθμοί, βλ. 1. Έννοια, εκφραστικόςποσότητα, αυτή με την οποία μετρώνται τα αντικείμενα και τα φαινόμενα (ματ.). Ακέραιος αριθμός. Ένας κλασματικός αριθμός. Επώνυμος αριθμός. Πρώτος αριθμός. (δείτε απλή τιμή 1 σε 1).…… Επεξηγηματικό Λεξικό του Ουσάκοφ

Μια αφηρημένη ονομασία χωρίς ειδικό περιεχόμενο για οποιοδήποτε μέλος μιας συγκεκριμένης σειράς, στην οποία αυτό το μέλος προηγείται ή ακολουθεί κάποιο άλλο συγκεκριμένο μέλος. αφηρημένο ατομικό χαρακτηριστικό που διακρίνει ένα σύνολο από... ... Φιλοσοφική Εγκυκλοπαίδεια

Αριθμός- Αριθμός γραμματική κατηγορία, εκφράζοντας ποσοτικά χαρακτηριστικάαντικείμενα σκέψης. Γραμματικός αριθμόςμια από τις εκδηλώσεις μιας γενικότερης κατηγορία γλώσσαςποσότητες (βλ. Κατηγορία Γλώσσας) μαζί με λεξιλογική εκδήλωση(«λεξικό…… Γλωσσολογικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΕΝΑ; pl. νούμερα, κάθισε, slam? Νυμφεύομαι 1. Λογιστική μονάδα που εκφράζει μια συγκεκριμένη ποσότητα. Κλασματικές, ακέραιες, πρώτες ώρες Ζυγές, περιττές ώρες Μετρήστε σε στρογγυλούς αριθμούς (κατά προσέγγιση, μετρώντας σε ολόκληρες μονάδες ή δεκάδες). Φυσικό h. (θετικός ακέραιος... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Νυμφεύομαι. ποσότητα, με μέτρηση, στην ερώτηση: πόσο; και το ίδιο το σημάδι που εκφράζει ποσότητα, αριθμό. Αναρίθμητος; δεν υπάρχει αριθμός, χωρίς μέτρηση, πολλοί, πολλοί. Τοποθετήστε τα μαχαιροπίρουνα ανάλογα με τον αριθμό των επισκεπτών. Ρωμαϊκοί, αραβικοί ή εκκλησιαστικοί αριθμοί. Ακέραιος, αντίθετος. κλάσμα...... Επεξηγηματικό Λεξικό Dahl

ΑΡΙΘΜΟΣ, α, πληθυντικός. αριθμοί, σατ, σλαμ, βλ. 1. Η βασική έννοια των μαθηματικών είναι η ποσότητα, με τη βοήθεια της οποίας γίνεται ο υπολογισμός. Ακέραιος h. Κλασματικό h. Πραγματικό h. Μιγαδικό h. Φυσικό h. (ακέραιος αριθμός θετικός αριθμός). Απλό μέρος ( φυσικός αριθμός, Δεν… … Επεξηγηματικό Λεξικό Ozhegov

ΑΡΙΘΜΟΣ «Ε» (ΛΗΞΗ), ένας παράλογος αριθμός που χρησιμεύει ως βάση των φυσικών ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ. Αυτό ισχύει δεκαδικός αριθμός, ένα άπειρο κλάσμα ίσο με 2,7182818284590...., είναι το όριο της έκφρασης (1/) καθώς το n τείνει στο άπειρο. Στην πραγματικότητα,… … Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Ποσότητα, διαθεσιμότητα, σύνθεση, δύναμη, ενδεχόμενο, ποσό, αριθμός. ημέρα.. Τετ. . Δείτε την ημέρα, την ποσότητα. Δεν μεγάλος αριθμός, δεν υπάρχουν αριθμοί, για να αυξηθεί ο αριθμός... Λεξικό ρωσικών συνωνύμων και εκφράσεων παρόμοιας σημασίας. κάτω από. εκδ. N. Abramova, M.: Ρώσοι... ... Συνώνυμο λεξικό

Βιβλία

Αριθμός ονόματος. Τα μυστικά της αριθμολογίας. Εξωσωματική απόδραση για τεμπέληδες. Εγχειρίδιο εξωαισθητηριακής αντίληψης (αριθμός τόμων: 3)
Αριθμός ονόματος. Μια νέα ματιά στους αριθμούς. Αριθμολογία - το μονοπάτι της γνώσης (αριθμός τόμων: 3), Lawrence Shirley. Αριθμός ονόματος. Τα μυστικά της αριθμολογίας. Το βιβλίο της Shirley B. Lawrence είναι μια ολοκληρωμένη μελέτη του αρχαίου εσωτερικού συστήματος αριθμολογίας. Για να μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε τις δονήσεις αριθμών για...

Η περιγραφή του e ως "μια σταθερά περίπου ίση με 2,71828..." είναι σαν να καλούμε τον αριθμό pi " παράλογος αριθμός, περίπου ίσο με 3,1415...». Αυτό είναι αναμφίβολα αλήθεια, αλλά το θέμα εξακολουθεί να μας διαφεύγει.

Pi είναι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο, ο ίδιος για όλους τους κύκλους. Είναι μια θεμελιώδης αναλογία κοινή σε όλους τους κύκλους και ως εκ τούτου εμπλέκεται στον υπολογισμό της περιφέρειας, του εμβαδού, του όγκου και της επιφάνειας για κύκλους, σφαίρες, κυλίνδρους κ.λπ. Το Pi δείχνει ότι όλοι οι κύκλοι είναι συνδεδεμένοι, για να μην αναφέρουμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που προέρχεται από κύκλους (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη).

Ο αριθμός e είναι ο βασικός λόγος ανάπτυξης για όλες τις συνεχώς αναπτυσσόμενες διαδικασίες.Ο αριθμός e σάς επιτρέπει να πάρετε έναν απλό ρυθμό ανάπτυξης (όπου η διαφορά είναι ορατή μόνο στο τέλος του έτους) και να υπολογίσετε τις συνιστώσες αυτού του δείκτη, την κανονική ανάπτυξη, στην οποία με κάθε νανοδευτερόλεπτο (ή ακόμα πιο γρήγορα) όλα μεγαλώνουν λίγο περισσότερο.

Ο αριθμός e εμπλέκεται και στα δύο συστήματα με εκθετική και σταθερή ανάπτυξη: πληθυσμός, ραδιενεργή διάσπαση, υπολογισμός τόκων, και πολλά, πολλά άλλα. Ακόμη και συστήματα βημάτων που δεν αναπτύσσονται ομοιόμορφα μπορούν να προσεγγιστούν χρησιμοποιώντας τον αριθμό e.

Ακριβώς όπως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως μια "κλιμακούμενη" έκδοση του 1 (η βασική μονάδα), οποιοσδήποτε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως "κλιμακούμενη" έκδοση κύκλος μονάδας(με ακτίνα 1). Και οποιοσδήποτε αυξητικός παράγοντας μπορεί να θεωρηθεί ως μια "κλιμακούμενη" έκδοση του e (ο παράγοντας ανάπτυξης "μονάδας").

Άρα ο αριθμός e δεν είναι ένας τυχαίος αριθμός που λαμβάνεται τυχαία. Ο αριθμός e ενσωματώνει την ιδέα ότι όλα τα συνεχώς αναπτυσσόμενα συστήματα είναι κλιμακωμένες εκδόσεις της ίδιας μέτρησης.

Έννοια της εκθετικής ανάπτυξης

Ας ξεκινήσουμε εξετάζοντας το βασικό σύστημα που διπλασιάζεταιπίσω συγκεκριμένη περίοδοςχρόνος. Για παράδειγμα:

Τα βακτήρια διαιρούνται και «διπλασιάζονται» σε αριθμό κάθε 24 ώρες
Παίρνουμε διπλάσια noodles αν τα σπάσουμε στη μέση
Τα χρήματά σας διπλασιάζονται κάθε χρόνο αν έχετε 100% κέρδος (τυχερός!)

Και μοιάζει κάπως έτσι:

Η διαίρεση με δύο ή ο διπλασιασμός είναι μια πολύ απλή εξέλιξη. Φυσικά, μπορούμε να τριπλασιάσουμε ή να τετραπλασιάσουμε, αλλά ο διπλασιασμός είναι πιο βολικός για εξήγηση.

Μαθηματικά, αν έχουμε x διαιρέσεις, καταλήγουμε με 2^x φορές περισσότερες καλές από ό,τι ξεκινήσαμε. Αν γίνει μόνο 1 κατάτμηση, παίρνουμε 2^1 φορές περισσότερο. Αν υπάρχουν 4 κατατμήσεις, παίρνουμε 2^4=16 μέρη. Γενικός τύποςμοιάζει με αυτό:

ύψος= 2 x

Με άλλα λόγια, ο διπλασιασμός είναι 100% αύξηση. Μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτόν τον τύπο ως εξής:

ύψος= (1+100%) x

Αυτή είναι η ίδια ισότητα, απλώς χωρίσαμε το "2" στα συστατικά μέρη του, που στην ουσία είναι αυτός ο αριθμός: αρχική τιμή(1) συν 100%. Έξυπνο, σωστά;

Φυσικά, μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιονδήποτε άλλο αριθμό (50%, 25%, 200%) αντί για 100% και να πάρουμε τον τύπο ανάπτυξης για αυτόν τον νέο συντελεστή. Ο γενικός τύπος για x περιόδους της χρονοσειράς θα είναι:

ύψος = (1+ανάπτυξη)Χ

Αυτό σημαίνει απλά ότι χρησιμοποιούμε το ποσοστό επιστροφής, (1 + κέρδος), "x" φορές στη σειρά.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά

Ο τύπος μας υποθέτει ότι η ανάπτυξη συμβαίνει σε διακριτά βήματα. Τα βακτήρια μας περιμένουν και περιμένουν, και μετά μπαμ! της τελευταίας στιγμήςδιπλασιάζονται σε αριθμό. Το κέρδος μας από τους τόκους της κατάθεσης εμφανίζεται ως δια μαγείας ακριβώς μετά από 1 χρόνο. Με βάση τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, τα κέρδη αυξάνονται σταδιακά. Οι πράσινες κουκκίδες εμφανίζονται ξαφνικά.

Όμως ο κόσμος δεν είναι πάντα έτσι. Εάν κάνουμε μεγέθυνση, μπορούμε να δούμε ότι οι βακτηριδακοί φίλοι μας διαιρούνται συνεχώς:

Ο πράσινος τύπος δεν προκύπτει από το τίποτα: μεγαλώνει σιγά σιγά από τον μπλε γονιό. Μετά από 1 χρονικό διάστημα (24 ώρες στην περίπτωσή μας), ο πράσινος φίλος είναι ήδη πλήρως ώριμος. Έχοντας ωριμάσει, γίνεται ένα πλήρες μπλε μέλος της αγέλης και μπορεί να δημιουργήσει ο ίδιος νέα πράσινα κύτταρα.

Θα αλλάξει αυτή η πληροφορία την εξίσωσή μας με οποιονδήποτε τρόπο;

Οχι. Στην περίπτωση των βακτηρίων, τα μισοσχηματισμένα πράσινα κύτταρα εξακολουθούν να μην μπορούν να κάνουν τίποτα μέχρι να μεγαλώσουν και να χωριστούν εντελώς από τους μπλε γονείς τους. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

ΑΡΙΘΜΟΣ μι. Ένας αριθμός περίπου ίσος με 2.718, ο οποίος συναντάται συχνά στα μαθηματικά και τις επιστήμες. Για παράδειγμα, όταν μια ραδιενεργή ουσία διασπάται με την πάροδο του χρόνου tτης αρχικής ποσότητας της ουσίας παραμένει ένα κλάσμα ίσο με ε–κτ, Οπου κ– ένας αριθμός που χαρακτηρίζει το ρυθμό αποσύνθεσης μιας δεδομένης ουσίας. Αμοιβαία του 1/ κονομάζεται μέση διάρκεια ζωής ενός ατόμου μιας δεδομένης ουσίας, αφού κατά μέσο όρο ένα άτομο υπάρχει για χρόνο 1/ πριν από τη διάσπαση κ. Αξία 0,693/ κονομάζεται χρόνος ημιζωής μιας ραδιενεργής ουσίας, δηλ. ο χρόνος κατά τον οποίο αποσυντίθεται το ήμισυ της αρχικής ποσότητας μιας ουσίας· ο αριθμός 0,693 είναι περίπου ίσος με το log μι 2, δηλ. λογάριθμος του αριθμού 2 στη βάση μι. Ομοίως, εάν τα βακτήρια σε ένα θρεπτικό μέσο πολλαπλασιάζονται με ρυθμό ανάλογο με τον αριθμό τους τη δεδομένη στιγμή, τότε με την πάροδο του χρόνου tαρχικός αριθμός βακτηρίων Νμετατρέπεται σε Ne kt. Εξασθένηση του ηλεκτρικού ρεύματος Εγώσε απλό κύκλωμα με σειριακή σύνδεση, αντίσταση Rκαι επαγωγή μεγάλοσυμβαίνει σύμφωνα με το νόμο εγώ = εγώ 0 ε–κτ, Οπου k = R/L, Εγώ 0 – τρέχουσα ισχύς τη στιγμή t= 0. Παρόμοιοι τύποι περιγράφουν τη χαλάρωση της τάσης σε ένα παχύρρευστο ρευστό και την απόσβεση του μαγνητικού πεδίου. Νούμερο 1/ κσυχνά ονομάζεται χρόνος χαλάρωσης. Στα στατιστικά, η αξία ε–κτεμφανίζεται ως η πιθανότητα ότι με την πάροδο του χρόνου tΔεν υπήρχαν τυχαία γεγονότα με μέση συχνότητα κγεγονότα ανά μονάδα χρόνου. Αν μικρό- το χρηματικό ποσό που επενδύεται βάσει rτόκους με συνεχή δεδουλευμένη αντί για δεδουλευμένη σε διακριτά χρονικά διαστήματα, στη συνέχεια με το χρόνο tτο αρχικό ποσό θα αυξηθεί σε Setr/100.

Ο λόγος για την «πανταχού παρουσία» του αριθμού μιέγκειται στο γεγονός ότι οι τύποι μαθηματικής ανάλυσης που περιέχουν εκθετικές συναρτήσεις ή λογάριθμους γράφονται πιο απλά εάν οι λογάριθμοι ληφθούν στη βάση μι, και όχι 10 ή οποιαδήποτε άλλη βάση. Για παράδειγμα, η παράγωγος του log 10 Χίσο με (1/ Χ) ημερολόγιο 10 μι, ενώ το παράγωγο του λογ e xείναι απλά ίσο με 1/ Χ. Ομοίως, η παράγωγος του 2 Χισούται με 2 Χκούτσουρο μι 2, ενώ η παράγωγος του e xισοδυναμεί απλά e x. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός μιμπορεί να οριστεί ως βάση σι, στο οποίο εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y =κούτσουρο β xέχει στο σημείο Χ= 1 εφαπτομένη με κλίση ίση με 1, ή στην οποία η καμπύλη y = b xέχει μέσα Χ= 0 εφαπτομένη με κλίση ίση με 1. Λογάριθμοι στη βάση μιονομάζονται «φυσικά» και ονομάζονται ln Χ. Μερικές φορές ονομάζονται και «Nepier», κάτι που είναι λάθος, αφού στην πραγματικότητα ο J. Napier (1550–1617) επινόησε λογάριθμους με διαφορετική βάση: τον λογάριθμο Nepier του αριθμού Χισούται με 10 7 log 1/ μι (Χ/10 7) .

Διάφοροι συνδυασμοί βαθμών μιΕμφανίζονται τόσο συχνά στα μαθηματικά που έχουν ειδικά ονόματα. Αυτές είναι, για παράδειγμα, υπερβολικές συναρτήσεις

Γράφημα μιας συνάρτησης y= κεφ Χονομάζεται αλυσοειδές γραμμή? Αυτό είναι το σχήμα μιας βαριάς μη εκτάσιμης κλωστής ή αλυσίδας που κρέμεται από τα άκρα. Οι τύποι του Euler

Οπου Εγώ 2 = –1, αριθμός δεσμού μιμε τριγωνομετρία. Ειδική περίπτωση x = pοδηγεί στην περίφημη σχέση e ip+ 1 = 0, συνδέοντας τους 5 πιο γνωστούς αριθμούς στα μαθηματικά.

| Αριθμός Euler (E)

μι - η βάση του φυσικού λογάριθμου, μια μαθηματική σταθερά, ένας παράλογος και υπερβατικός αριθμός. Περίπου ίσο με 2,71828. Μερικές φορές καλείται ο αριθμός Αριθμός Eulerή Αριθμός Napier. Υποδεικνύεται με πεζά Λατινικό γράμμα « μι».

Ιστορία

Αριθμός μι πρωτοεμφανίστηκε στα μαθηματικά ως κάτι ασήμαντο. Αυτό συνέβη το 1618. Στο παράρτημα της εργασίας του John Napier για τους λογάριθμους, δόθηκε ένας πίνακας φυσικών λογαρίθμων διαφορετικούς αριθμούς. Ωστόσο, κανείς δεν συνειδητοποίησε ότι πρόκειται για λογάριθμους προς τη βάση μι , αφού η έννοια του λογάριθμου εκείνης της εποχής δεν περιλάμβανε κάτι τέτοιο ως βάση. Αυτό είναι αυτό που τώρα ονομάζουμε λογάριθμο, την ισχύ στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο απαιτούμενος αριθμός. Θα επανέλθουμε σε αυτό αργότερα. Ο πίνακας στο παράρτημα έγινε πιθανότατα από τον Augthred, αν και ο συγγραφέας δεν ταυτοποιήθηκε. Λίγα χρόνια αργότερα, το 1624, εμφανίζεται ξανά στη μαθηματική βιβλιογραφία. μι , αλλά και πάλι με πέπλο. Φέτος ο Briggs έδωσε μια αριθμητική προσέγγιση στον δεκαδικό λογάριθμο μι , αλλά ο ίδιος ο αριθμός μι δεν αναφέρεται στο έργο του.

Επόμενη εμφάνιση του αριθμού μι και πάλι αμφίβολο. Το 1647, ο Saint-Vincent υπολόγισε την περιοχή του τομέα της υπερβολής. Το αν κατάλαβε τη σύνδεση με τους λογάριθμους μπορεί μόνο να μαντέψει, αλλά ακόμα κι αν το έκανε, είναι απίθανο να είχε φτάσει στον ίδιο τον αριθμό μι . Μόλις το 1661 ο Huygens κατάλαβε τη σύνδεση μεταξύ της ισόπλευρης υπερβολής και των λογαρίθμων. Απέδειξε ότι η περιοχή κάτω από τη γραφική παράσταση μιας ισόπλευρης υπερβολής xy = 1 ισόπλευρη υπερβολή στο διάστημα από 1 έως μι ισούται με 1. Αυτή η ιδιότητα κάνει μι τη βάση των φυσικών λογαρίθμων, αλλά αυτό δεν ήταν κατανοητό από τους μαθηματικούς εκείνης της εποχής, αλλά σιγά σιγά πλησίαζαν αυτή την κατανόηση.

Ο Huygens έκανε το επόμενο βήμα το 1661. Καθόρισε μια καμπύλη που ονόμασε λογαριθμική (στην ορολογία μας θα την ονομάσουμε εκθετική). Αυτή είναι μια καμπύλη της φόρμας y = ka x . Και ο δεκαδικός λογάριθμος εμφανίζεται ξανά μι , το οποίο ο Huygens βρίσκει ακριβές με 17 δεκαδικά ψηφία. Ωστόσο, προέκυψε από τον Huygens ως ένα είδος σταθεράς και δεν συσχετίστηκε με τον λογάριθμο ενός αριθμού (έτσι, πάλι πλησιάσαμε μι , αλλά ο ίδιος ο αριθμός μι παραμένει μη αναγνωρισμένη).

Σε περαιτέρω εργασία στους λογάριθμους, πάλι ο αριθμός μι δεν εμφανίζεται ρητά. Ωστόσο, η μελέτη των λογαρίθμων συνεχίζεται. Το 1668, ο Nicolaus Mercator δημοσίευσε ένα έργο Λογαριθμοτεχνία, το οποίο περιέχει μια επέκταση σειράς ημερολόγιο (1 + x) . Σε αυτό το έργο, ο Mercator χρησιμοποιεί πρώτα το όνομα " φυσικός λογάριθμος” για λογάριθμο στη βάση μι . Αριθμός μι σαφώς δεν εμφανίζεται ξανά, αλλά παραμένει άπιαστο κάπου στο πλάι.

Είναι εκπληκτικό ότι ο αριθμός μι Εμφανίζεται ρητά για πρώτη φορά όχι σε σχέση με λογάριθμους, αλλά σε σχέση με άπειρα γινόμενα. Το 1683, ο Jacob Bernoulli προσπαθεί να βρει

Χρησιμοποιεί το διωνυμικό θεώρημα για να αποδείξει ότι αυτό το όριο είναι μεταξύ 2 και 3, το οποίο μπορούμε να σκεφτούμε ως μια πρώτη προσέγγιση του αριθμού μι . Αν και το παίρνουμε αυτό ως ορισμό μι , αυτή είναι η πρώτη φορά που ένας αριθμός ορίζεται ως όριο. Ο Μπερνούλι, φυσικά, δεν κατάλαβε τη σχέση μεταξύ του έργου του και της εργασίας για τους λογαρίθμους.

Αναφέρθηκε προηγουμένως ότι οι λογάριθμοι στην αρχή της μελέτης τους δεν συνδέονταν με κανέναν τρόπο με εκθέτες. Φυσικά, από την εξίσωση x = a t το βρίσκουμε t = κούτσουρο τσεκούρι , αλλά αυτός είναι ένας πολύ μεταγενέστερος τρόπος αντίληψης. Εδώ στην πραγματικότητα εννοούμε μια συνάρτηση με λογάριθμο, ενώ αρχικά ο λογάριθμος θεωρούνταν μόνο ως ένας αριθμός που βοηθούσε στους υπολογισμούς. Ίσως ο Jacob Bernoulli ήταν ο πρώτος που το κατάλαβε λογαριθμική συνάρτησηείναι η αντίστροφη εκθετική. Από την άλλη πλευρά, το πρώτο άτομο που συνέδεσε λογάριθμους και δυνάμεις μπορεί να ήταν ο James Gregory. Το 1684 αναγνώρισε σίγουρα τη σύνδεση μεταξύ λογαρίθμων και δυνάμεων, αλλά μπορεί να μην ήταν ο πρώτος.

Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός μι εμφανίστηκε στη σημερινή του μορφή το 1690. Ο Leibniz, σε μια επιστολή του προς τον Huygens, χρησιμοποίησε την ονομασία για αυτό σι . Τελικά μι εμφανίστηκε μια ονομασία (αν και δεν συνέπεσε με τη σύγχρονη) και αυτή η ονομασία αναγνωρίστηκε.

Το 1697, ο Johann Bernoulli άρχισε να μελετά την εκθετική συνάρτηση και δημοσίευσε Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Σε αυτή την εργασία, υπολογίζονται τα αθροίσματα διαφόρων εκθετικών σειρών και προκύπτουν ορισμένα αποτελέσματα με την ολοκλήρωσή τους ανά όρο.

Ο Leonhard Euler εισήγαγε τόσα πολλά μαθηματική σημειογραφία, κάτι που δεν προκαλεί έκπληξη, ότι ο προσδιορισμός μι ανήκει επίσης σε αυτόν. Φαίνεται γελοίο να πούμε ότι χρησιμοποίησε το γράμμα μι λόγω του ότι είναι το πρώτο γράμμα του ονόματός του. Μάλλον δεν είναι καν επειδή μι παρμένο από τη λέξη "εκθετικό", είναι απλώς το επόμενο φωνήεν μετά το "a" και ο Euler είχε ήδη χρησιμοποιήσει τη σημειογραφία "a" στο έργο του. Ανεξάρτητα από τον λόγο, η σημείωση εμφανίζεται για πρώτη φορά σε μια επιστολή του Euler προς τον Goldbach το 1731. Έκανε πολλές ανακαλύψεις ενώ μελετούσε μι αργότερα, αλλά μόνο το 1748 Εισαγωγή στο Analysin infinitorumέδωσε πλήρη αιτιολόγηση για όλες τις ιδέες που σχετίζονται με μι . Το έδειξε

Ο Euler βρήκε επίσης τα πρώτα 18 δεκαδικά ψηφία του αριθμού μι :

Αλήθεια, χωρίς να εξηγήσει πώς τα πήρε. Φαίνεται ότι υπολόγισε μόνος του αυτή την τιμή. Στην πραγματικότητα, αν πάρουμε περίπου 20 όρους της σειράς (1), παίρνουμε την ακρίβεια που απέκτησε ο Euler. Μεταξύ των άλλων ενδιαφέροντα αποτελέσματαΤο έργο του δείχνει τη σύνδεση μεταξύ των συναρτήσεων ημιτόνου και συνημίτονου και μιγαδικού εκθετικη συναρτηση, το οποίο ο Euler εξήγαγε από τον τύπο του Moivre.

Είναι ενδιαφέρον ότι ο Euler βρήκε ακόμη και μια αποσύνθεση του αριθμού μι σε συνεχή κλάσματα και έδωσε παραδείγματα τέτοιας αποσύνθεσης. Συγκεκριμένα, έλαβε

Ο Euler δεν παρείχε απόδειξη ότι αυτά τα κλάσματα συνεχίζουν με τον ίδιο τρόπο, αλλά ήξερε ότι αν υπήρχε μια τέτοια απόδειξη, θα αποδείκνυε παράλογο μι . Πράγματι, αν το συνεχιζόμενο κλάσμα για (e - 1) / 2 , συνεχίστηκε με τον ίδιο τρόπο όπως στο παραπάνω παράδειγμα, 6,10,14,18,22,26, (προσθέτουμε 4 κάθε φορά), τότε δεν θα είχε διακοπεί ποτέ και (ε -1) / 2 (και ως εκ τούτου μι ) δεν θα μπορούσε να είναι λογική. Προφανώς, αυτή είναι η πρώτη προσπάθεια απόδειξης του παραλογισμού μι .

Ο πρώτος που υπολόγισε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δεκαδικών ψηφίων ενός αριθμού μι , ήταν ο Shanks το 1854. Ο Glaisher έδειξε ότι οι πρώτοι 137 χαρακτήρες που υπολόγισε ο Shanks ήταν σωστοί, αλλά στη συνέχεια βρήκε ένα σφάλμα. Ο Σανκς το διόρθωσε και λήφθηκαν 205 δεκαδικά ψηφία του αριθμού μι . Στην πραγματικότητα, χρειάζονται περίπου 120 όροι επέκτασης (1) για να ληφθούν 200 σωστά ψηφία του αριθμού μι .

Το 1864, ο Benjamin Peirce στάθηκε σε έναν πίνακα στον οποίο ήταν γραμμένο

Στις διαλέξεις του θα μπορούσε να πει στους μαθητές του: «Κύριοι, δεν έχουμε την παραμικρή ιδέα τι σημαίνει αυτό, αλλά μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι σημαίνει κάτι πολύ σημαντικό».

Οι περισσότεροι πιστεύουν ότι ο Euler απέδειξε τον παραλογισμό του αριθμού μι . Ωστόσο, αυτό έγινε από τον Ερμίτη το 1873. Παραμένει ακόμη ανοιχτή ερώτηση, είναι ο αριθμός e e αλγεβρικός. Το τελικό αποτέλεσμα προς αυτή την κατεύθυνση είναι ότι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς e e Και ε ε 2 είναι υπερβατικό.

Στη συνέχεια, υπολογίστηκαν τα ακόλουθα δεκαδικά ψηφία του αριθμού μι . Το 1884, ο Boorman υπολόγισε 346 ψηφία μι , από τα οποία τα πρώτα 187 συνέπεσαν με τα σημάδια του Shanks, αλλά τα επόμενα διέφεραν. Το 1887, ο Adams υπολόγισε 272 ψηφία δεκαδικός λογάριθμος μι .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Ο αριθμός μι.