Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο της απλής επανάληψης. Επίλυση λάσπης με απλή μέθοδο επανάληψης

Θέμα 3. Λύση γραμμικών συστημάτων αλγεβρικές εξισώσειςεπαναληπτικές μεθόδους.

Οι άμεσες μέθοδοι για την επίλυση SLAE που περιγράφονται παραπάνω δεν είναι πολύ αποτελεσματικές κατά την επίλυση συστημάτων μεγάλων διαστάσεων (δηλ. όταν η τιμή n αρκετά μεγάλο). Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι επαναληπτικές μέθοδοι είναι πιο κατάλληλες για την επίλυση SLAE.

Επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης SLAE(το δεύτερο όνομά τους είναι μέθοδοι διαδοχική προσέγγισηστη λύση) δεν δίνουν μια ακριβή λύση του SLAE, αλλά μόνο μια προσέγγιση στη λύση, και κάθε επόμενη προσέγγισηλαμβάνεται από την προηγούμενη και είναι πιο ακριβής από την προηγούμενη (υπό την προϋπόθεση ότι σύγκλισηεπαναλήψεις). Η αρχική (ή η λεγόμενη μηδενική) προσέγγιση επιλέγεται κοντά στην αναμενόμενη λύση ή αυθαίρετα (το διάνυσμα της δεξιάς πλευράς του συστήματος μπορεί να ληφθεί ως αυτό). Η ακριβής λύση βρίσκεται ως το όριο τέτοιων προσεγγίσεων καθώς ο αριθμός τους τείνει στο άπειρο. Κατά κανόνα, για τελικός αριθμόςβήματα (δηλαδή επαναλήψεις) δεν επιτυγχάνεται αυτό το όριο. Επομένως, στην πράξη, εισάγεται η έννοια ακρίβεια λύσης, δηλαδή, δίνεται κάποιος θετικός και αρκετά μικρός αριθμός μικαι η διαδικασία των υπολογισμών (επαναλήψεις) πραγματοποιείται μέχρι να ικανοποιηθεί η σχέση .

Εδώ είναι η προσέγγιση στη λύση που προκύπτει μετά τον αριθμό επανάληψης n , το α είναι η ακριβής λύση του SLAE (που είναι άγνωστο εκ των προτέρων). Αριθμός επαναλήψεων n = n (μι ) , απαραίτητο για την επίτευξη μιας δεδομένης ακρίβειας για συγκεκριμένες μεθόδουςμπορεί να ληφθεί από θεωρητικές σκέψεις (δηλ. υπάρχουν τύποι υπολογισμού). Η ποιότητα των διαφορετικών επαναληπτικών μεθόδων μπορεί να συγκριθεί με τον αριθμό των επαναλήψεων που απαιτούνται για την επίτευξη της ίδιας ακρίβειας.

Να μελετήσει τις επαναληπτικές μεθόδους για σύγκλισηπρέπει να είστε σε θέση να υπολογίσετε τα πρότυπα των πινάκων. Κανόνας μήτρας- αυτό είναι σίγουρο αριθμητική αξία, χαρακτηρίζοντας το μέγεθος των στοιχείων του πίνακα σε απόλυτη τιμή. ΣΕ ανώτερα μαθηματικάυπάρχουν αρκετές διάφοροι τύποινόρμες πινάκων, οι οποίοι είναι συνήθως ισοδύναμοι. Στην πορεία μας θα χρησιμοποιήσουμε μόνο ένα από αυτά. Δηλαδή, κάτω από κανόνας μήτραςθα καταλάβουμε η μέγιστη τιμή μεταξύ των αθροισμάτων των απόλυτων τιμών των στοιχείων των μεμονωμένων σειρών του πίνακα. Για να υποδείξει τον κανόνα του πίνακα, το όνομά του περικλείεται σε δύο ζεύγη κάθετων ράβδων. Έτσι, για το matrix ΕΝΑ με τον κανόνα του εννοούμε την ποσότητα

. (3.1)

Έτσι, για παράδειγμα, ο κανόνας του πίνακα Α από το Παράδειγμα 1 βρίσκεται ως εξής:

Τρεις επαναληπτικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση SLAE:

Απλή μέθοδος επανάληψης

Μέθοδος Jacobi

Μέθοδος Guass-Seidel.

Απλή μέθοδος επανάληψης περιλαμβάνει μια μετάβαση από τη σύνταξη του SLAE στην αρχική του μορφή (2.1) στη σύνταξη του στη μορφή

(3.2)

ή, τι είναι επίσης, σε μορφή μήτρας,

Χ = ΜΕ × Χ + ρε , (3.3)

ντο - μήτρα συντελεστών του μετασχηματισμένου συστήματος διαστάσεων n ´ n

Χ - διάνυσμα αγνώστων που αποτελείται από n συστατικό

ρε - διάνυσμα των δεξιών μερών του μετασχηματισμένου συστήματος, που αποτελείται από n συστατικό.

Το σύστημα στη μορφή (3.2) μπορεί να αναπαρασταθεί σε μειωμένη μορφή

Με βάση αυτή την άποψη απλός τύπος επανάληψηςθα μοιάζει

Οπου Μ - αριθμός επανάληψης και - τιμή x j επί Μ -ο βήμα επανάληψης. Επειτα, εάν η διαδικασία επανάληψης συγκλίνει,με αυξανόμενο αριθμό επαναλήψεων θα παρατηρηθεί

Έχει αποδειχθεί ότι η διαδικασία επανάληψης συγκλίνει,Αν κανόναςμήτρες ρε θα λιγότερες μονάδεςμικρό.

Αν πάρουμε το διάνυσμα των ελεύθερων όρων ως αρχική (μηδενική) προσέγγιση, δηλ. Χ (0) = ρε , Οτι το μέγεθος του σφάλματοςμοιάζει με

(3.5)

παρακάτω Χ * η ακριβής λύση του συστήματος είναι κατανοητή. Ως εκ τούτου,

Αν , τότε σύμφωνα καθορισμένη ακρίβειαμι μπορεί να υπολογιστεί εκ των προτέρων απαιτούμενος αριθμός επαναλήψεων. Δηλαδή από τη σχέση

μετά από μικρές μεταμορφώσεις παίρνουμε

. (3.6)

Όταν εκτελείτε έναν τέτοιο αριθμό επαναλήψεων, είναι εγγυημένη η καθορισμένη ακρίβεια εύρεσης της λύσης στο σύστημα. Αυτή η θεωρητική εκτίμηση απαιτούμενη ποσότητατα βήματα επανάληψης είναι κάπως υπερεκτιμημένα. Στην πράξη, η απαιτούμενη ακρίβεια μπορεί να επιτευχθεί σε λιγότερες επαναλήψεις.

Είναι βολικό να αναζητήσετε λύσεις σε ένα δεδομένο SLAE χρησιμοποιώντας μια απλή μέθοδο επανάληψης εισάγοντας τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε έναν πίνακα της ακόλουθης μορφής:

	Χ 1	Χ 2		x n

Θα πρέπει να σημειωθεί ιδιαίτερα ότι στην επίλυση SLAE με τη χρήση αυτής της μεθόδου το πιο περίπλοκο και χρονοβόροείναι η εκτέλεση ενός μετασχηματισμού του συστήματος από τη μορφή (2.1) στη μορφή (3.2). Αυτοί οι μετασχηματισμοί πρέπει να είναι ισοδύναμοι, δηλ. μη αλλαγή της λύσης του αρχικού συστήματος και διασφάλιση της τιμής του κανόνα του πίνακα ντο (μετά την ολοκλήρωσή τους) μικρότερη μονάδα. Δεν υπάρχει ενιαία συνταγή για την εκτέλεση τέτοιων μετασχηματισμών. Εδώ, σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση, είναι απαραίτητο να είσαι δημιουργικός. Ας σκεφτούμε παραδείγματα, το οποίο θα παρέχει ορισμένους τρόπους μετατροπής του συστήματος στην απαιτούμενη μορφή.

Παράδειγμα 1.Ας βρούμε μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την απλή μέθοδο επανάληψης (με ακρίβεια μι= 0.001)

Αυτό το σύστημα φέρεται στην απαιτούμενη μορφή με τον απλούστερο τρόπο. Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους από την αριστερή πλευρά προς τα δεξιά και, στη συνέχεια, ας προσθέσουμε και στις δύο πλευρές κάθε εξίσωσης x i (Εγώ =1, 2, 3, 4). Λαμβάνουμε ένα μετασχηματισμένο σύστημα της παρακάτω μορφής

.

Μήτρα ντο και διάνυσμα ρε σε αυτή την περίπτωση θα είναι ως εξής

ντο = , ρε = .

Ας υπολογίσουμε τον κανόνα του πίνακα ντο . Παίρνουμε

Δεδομένου ότι ο κανόνας αποδείχθηκε μικρότερος από τη μονάδα, διασφαλίζεται η σύγκλιση της μεθόδου της απλής επανάληψης. Ως αρχική (μηδενική) προσέγγιση παίρνουμε τα συστατικά του διανύσματος ρε . Παίρνουμε

, , , .

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (3.6), υπολογίζουμε τον απαιτούμενο αριθμό βημάτων επανάληψης. Ας προσδιορίσουμε πρώτα τον κανόνα του διανύσματος ρε . Παίρνουμε

.

Επομένως, για να επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε τουλάχιστον 17 επαναλήψεις. Ας κάνουμε την πρώτη επανάληψη. Παίρνουμε

Έχοντας εκτελέσει όλες τις αριθμητικές πράξεις, παίρνουμε

.

Συνεχίζοντας παρόμοια, θα εκτελέσουμε περαιτέρω βήματα επανάληψης. Συνοψίζουμε τα αποτελέσματά τους στον παρακάτω πίνακα ( ρε - μεγαλύτερη αξίααλλαγές στα συστατικά της λύσης μεταξύ του τρέχοντος και των προηγούμενων βημάτων)

Μ

Δεδομένου ότι μετά το δέκατο βήμα η διαφορά μεταξύ των τιμών στις δύο τελευταίες επαναλήψεις έγινε μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια, θα σταματήσουμε τη διαδικασία επανάληψης. Ως λύση που βρέθηκε, θα πάρουμε τις τιμές που αποκτήθηκαν στο τελευταίο βήμα.

Παράδειγμα 2.

Ας κάνουμε το ίδιο με το προηγούμενο παράδειγμα. Παίρνουμε

Μήτρα ντο θα υπάρχει ένα τέτοιο σύστημα

ντο =.

Ας υπολογίσουμε τον κανόνα του. Παίρνουμε

Προφανώς, η διαδικασία επανάληψης για έναν τέτοιο πίνακα δεν θα είναι συγκλίνουσα. Είναι απαραίτητο να βρούμε έναν άλλο τρόπο για να μετασχηματίσουμε το δεδομένο σύστημα εξισώσεων.

Ας αναδιατάξουμε τις επιμέρους εξισώσεις του στο αρχικό σύστημα εξισώσεων έτσι ώστε η τρίτη γραμμή να γίνει η πρώτη, η πρώτη - η δεύτερη, η δεύτερη - η τρίτη. Στη συνέχεια, μεταμορφώνοντάς το με τον ίδιο τρόπο, παίρνουμε

Μήτρα ντο θα υπάρχει ένα τέτοιο σύστημα

ντο =.

Ας υπολογίσουμε τον κανόνα του. Παίρνουμε

Από τον κανόνα της μήτρας ντο αποδείχθηκε ότι ήταν λιγότερο από τη μονάδα, το σύστημα που μετασχηματίστηκε με αυτόν τον τρόπο είναι κατάλληλο για λύση με τη μέθοδο της απλής επανάληψης.

Παράδειγμα 3.Ας μετατρέψουμε το σύστημα των εξισώσεων

σε μια μορφή που θα επέτρεπε τη χρήση της απλής μεθόδου επανάληψης για την επίλυσή της.

Ας προχωρήσουμε πρώτα παρόμοια με το παράδειγμα 1. Λαμβάνουμε

Μήτρα ντο θα υπάρχει ένα τέτοιο σύστημα

ντο =.

Ας υπολογίσουμε τον κανόνα του. Παίρνουμε

Προφανώς, η διαδικασία επανάληψης για έναν τέτοιο πίνακα δεν θα είναι συγκλίνουσα.

Για να μετατρέψουμε τον αρχικό πίνακα σε μια φόρμα κατάλληλη για την εφαρμογή της μεθόδου απλής επανάληψης, προχωράμε ως εξής. Αρχικά, σχηματίζουμε ένα «ενδιάμεσο» σύστημα εξισώσεων στο οποίο

- πρώτη εξίσωσηείναι το άθροισμα της πρώτης και της δεύτερης εξίσωσης του αρχικού συστήματος

- δεύτερη εξίσωση- το άθροισμα του διπλάσιου της τρίτης εξίσωσης με τη δεύτερη μείον την πρώτη

- τρίτη εξίσωση- η διαφορά μεταξύ της τρίτης και της δεύτερης εξίσωσης του αρχικού συστήματος.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα «ενδιάμεσο» σύστημα εξισώσεων ισοδύναμο με το αρχικό

Από αυτό είναι εύκολο να αποκτήσετε ένα άλλο σύστημα, ένα «ενδιάμεσο» σύστημα

,

και από αυτό μεταμορφώθηκε

.

Μήτρα ντο θα υπάρχει ένα τέτοιο σύστημα

ντο =.

Ας υπολογίσουμε τον κανόνα του. Παίρνουμε

Η διαδικασία επανάληψης για έναν τέτοιο πίνακα θα είναι συγκλίνουσα.

Μέθοδος Jacobi υποθέτει ότι όλα τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα ΕΝΑ του αρχικού συστήματος (2.2) δεν ισούνται με μηδέν. Στη συνέχεια, το αρχικό σύστημα μπορεί να ξαναγραφτεί ως

(3.7)

Από μια τέτοια εγγραφή σχηματίζεται το σύστημα τύπος επανάληψηςΜέθοδος Jacobi

Η προϋπόθεση για τη σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας της μεθόδου Jacobi είναι η λεγόμενη συνθήκη κυριαρχία της διαγώνιουστο αρχικό σύστημα (τύπος (2,1)). Αναλυτικά, αυτή η συνθήκη γράφεται ως

. (3.9)

Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν σε δεδομένο σύστημαεξισώσεις, η συνθήκη σύγκλισης της μεθόδου Jacobi (δηλ. η συνθήκη κυριαρχίας της διαγωνίου) δεν ικανοποιείται, σε πολλές περιπτώσεις είναι δυνατό με ισοδύναμους μετασχηματισμούςφέρτε το αρχικό διάλυμα SLAE στη λύση ενός ισοδύναμου SLAE στο οποίο αυτή η συνθήκη ικανοποιείται.

Παράδειγμα 4.Ας μετατρέψουμε το σύστημα των εξισώσεων

σε μια μορφή που θα επέτρεπε τη χρήση της μεθόδου Jacobi για την επίλυσή της.

Έχουμε ήδη εξετάσει αυτό το σύστημα στο Παράδειγμα 3, οπότε ας προχωρήσουμε από αυτό στο «ενδιάμεσο» σύστημα εξισώσεων που ελήφθησαν εκεί. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η συνθήκη της διαγώνιας κυριαρχίας του ικανοποιείται, επομένως ας τη μετατρέψουμε στη μορφή που απαιτείται για την εφαρμογή της μεθόδου Jacobi. Παίρνουμε

Από αυτό λαμβάνουμε έναν τύπο για την εκτέλεση υπολογισμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Jacobi για ένα δεδομένο SLAE

Λαμβάνοντάς το ως αρχικό, δηλ. μηδέν, διάνυσμα προσέγγισης ελεύθερων όρων, θα εκτελέσουμε όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς. Ας συνοψίσουμε τα αποτελέσματα σε έναν πίνακα.

Μ					ρε

Αρκετά υψηλή ακρίβειαη προκύπτουσα λύση επιτεύχθηκε σε έξι επαναλήψεις.

Μέθοδος Gauss-Seidel είναι μια βελτίωση στη μέθοδο Jacobi και επίσης υποθέτει ότι όλα τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα ΕΝΑ του αρχικού συστήματος (2.2) δεν ισούνται με μηδέν. Στη συνέχεια, το αρχικό σύστημα μπορεί να ξαναγραφτεί σε μορφή παρόμοια με τη μέθοδο Jacobi, αλλά ελαφρώς διαφορετική από αυτήν

Είναι σημαντικό να θυμάστε εδώ ότι εάν στο πρόσημο άθροισης ο ανώτερος δείκτης είναι μικρότερος από τον χαμηλότερο δείκτη, τότε δεν πραγματοποιείται άθροιση.

Η ιδέα της μεθόδου Gauss-Seidel είναι ότι οι συγγραφείς της μεθόδου είδαν την ευκαιρία να επιταχύνουν τη διαδικασία υπολογισμού σε σχέση με τη μέθοδο Jacobi λόγω του γεγονότος ότι στη διαδικασία της επόμενης επανάληψης, έχοντας βρει μια νέα τιμή Χ 1 Μπορώ Με τη μίαχρησιμοποιήστε αυτή τη νέα τιμή στην ίδια επανάληψηγια τον υπολογισμό των υπόλοιπων μεταβλητών. Ομοίως, περαιτέρω, έχοντας βρει μια νέα αξία Χ 2 μπορείτε επίσης να το χρησιμοποιήσετε αμέσως στην ίδια επανάληψη κ.λπ.

Βασισμένο σε αυτό, τύπος επανάληψης για τη μέθοδο Gauss-SeidelΕχει επόμενη προβολή

Επαρκήςρήτρα σύγκλισηςδιαδικασία επανάληψης της μεθόδου Gauss-Seidel είναι η ίδια συνθήκη κυριαρχία της διαγώνιου (3.9). Ταχύτητα σύγκλισηςΑυτή η μέθοδος είναι ελαφρώς υψηλότερη από τη μέθοδο Jacobi.

Παράδειγμα 5.Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss-Seidel

Έχουμε ήδη εξετάσει αυτό το σύστημα στα παραδείγματα 3 και 4, επομένως θα περάσουμε αμέσως από αυτό στο μετασχηματισμένο σύστημα εξισώσεων (βλ. παράδειγμα 4), στο οποίο ικανοποιείται η προϋπόθεση της διαγώνιας κυριαρχίας. Από αυτό λαμβάνουμε έναν τύπο για την εκτέλεση υπολογισμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss-Seidel

Λαμβάνοντας το διάνυσμα των ελεύθερων όρων ως αρχική (δηλαδή μηδενική) προσέγγιση, εκτελούμε όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς. Ας συνοψίσουμε τα αποτελέσματα σε έναν πίνακα.

Μ

Μια αρκετά υψηλή ακρίβεια της προκύπτουσας λύσης επιτεύχθηκε σε πέντε επαναλήψεις.

Το πλεονέκτημα των επαναληπτικών μεθόδων είναι η δυνατότητα εφαρμογής τους σε συστήματα με κακή ρύθμιση και συστήματα υψηλής τάξης, η αυτοδιόρθωσή τους και η ευκολία εφαρμογής τους σε υπολογιστή. Για να ξεκινήσετε τους υπολογισμούς, οι επαναληπτικές μέθοδοι απαιτούν τον καθορισμό κάποιας αρχικής προσέγγισης στην επιθυμητή λύση.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι συνθήκες και ο ρυθμός σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας εξαρτώνται σημαντικά από τις ιδιότητες του πίνακα ΕΝΑσύστημα και σχετικά με την επιλογή αρχικών προσεγγίσεων.

Για να εφαρμοστεί η μέθοδος επανάληψης, το αρχικό σύστημα (2.1) ή (2.2) πρέπει να μειωθεί στη μορφή

μετά την οποία πραγματοποιείται η επαναληπτική διαδικασία σύμφωνα με επαναλαμβανόμενοι τύποι

, κ = 0, 1, 2, ... . (2.26ΕΝΑ)

Μήτρα σολκαι το διάνυσμα λαμβάνονται ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού του συστήματος (2.1).

Για σύγκλιση (2.26 ΕΝΑ) είναι απαραίτητο και επαρκές ώστε |l Εγώ(σολ)| < 1, где lΕγώ(σολ) - Ολα ιδιοτιμέςμήτρες σολ. Θα υπάρξει επίσης σύγκλιση εάν || σολ|| < 1, так как |lΕγώ(σολ)| < " ||σολ||, όπου "είναι οποιοδήποτε.

Σύμβολο || ... || σημαίνει τον κανόνα του πίνακα. Κατά τον προσδιορισμό της τιμής του, συνήθως σταματούν στον έλεγχο δύο συνθηκών:

||σολ|| = ή || σολ|| = , (2.27)

Οπου . Η σύγκλιση είναι επίσης εγγυημένη εάν ο αρχικός πίνακας ΕΝΑέχει διαγώνια κυριαρχία, δηλ.

. (2.28)

Εάν το (2.27) ή το (2.28) ικανοποιείται, η μέθοδος επανάληψης συγκλίνει για οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση. Τις περισσότερες φορές, το διάνυσμα λαμβάνεται είτε μηδέν είτε μονάδα ή το ίδιο το διάνυσμα λαμβάνεται από το (2.26).

Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις για τη μετατροπή του αρχικού συστήματος (2.2) με τη μήτρα ΕΝΑνα εξασφαλίσει τη μορφή (2.26) ή να ικανοποιήσει τις προϋποθέσεις σύγκλισης (2.27) και (2.28).

Για παράδειγμα, το (2.26) μπορεί να ληφθεί ως εξής.

Αφήνω ΕΝΑ = ΣΕ+ ΜΕ, det ΣΕ#0; Επειτα ( σι+ ΜΕ)= Þ σι= −ντο+ Þ Þ σι –1 σι= −σι –1 ντο+ σι–1, από όπου= − σι –1 ντο+ σι –1 .

Βάζοντας - σι –1 ντο = σολ, σι–1 = , λαμβάνουμε (2,26).

Από τις συνθήκες σύγκλισης (2.27) και (2.28) είναι σαφές ότι η αναπαράσταση ΕΝΑ = ΣΕ+ ΜΕδεν μπορεί να είναι αυθαίρετη.

Αν μήτρα ΕΝΑικανοποιεί τις προϋποθέσεις (2.28), στη συνέχεια ως μήτρα ΣΕμπορείτε να επιλέξετε το κάτω τριγωνικό:

, α ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

Επιλέγοντας την παράμετρο a, μπορούμε να διασφαλίσουμε ότι || σολ|| = ||μι+α ΕΝΑ|| < 1.

Εάν υπερισχύει το (2.28), τότε ο μετασχηματισμός σε (2.26) μπορεί να γίνει λύνοντας κάθε Εγώη εξίσωση του συστήματος (2.1) σε σχέση με x iσύμφωνα με τους ακόλουθους επαναλαμβανόμενους τύπους:

(2.28ΕΝΑ)

Αν στο matrix ΕΝΑδεν υπάρχει διαγώνια κυριαρχία, πρέπει να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας κάποια γραμμικούς μετασχηματισμούς, χωρίς να παραβιάζεται η ισοδυναμία τους.

Ως παράδειγμα, εξετάστε το σύστημα

(2.29)

Όπως μπορείτε να δείτε, στις εξισώσεις (1) και (2) δεν υπάρχει διαγώνια κυριαρχία, αλλά στην (3) υπάρχει, οπότε την αφήνουμε αμετάβλητη.

Ας πετύχουμε διαγώνια κυριαρχία στην εξίσωση (1). Ας πολλαπλασιάσουμε το (1) με το a, το (2) με το b, προσθέτουμε και τις δύο εξισώσεις και στην εξίσωση που προκύπτει επιλέγουμε το a και το b ώστε να υπάρχει διαγώνια κυριαρχία:

(2a + 3b) Χ 1 + (–1,8a + 2b) Χ 2 +(0,4a – 1,1b) Χ 3 = α.

Λαμβάνοντας a = b = 5, παίρνουμε 25 Χ 1 + Χ 2 – 3,5Χ 3 = 5.

Για να μετασχηματίσετε την εξίσωση (2) με επικράτηση του (1) πολλαπλασιάστε με g, (2) πολλαπλασιάστε με d και αφαιρέστε το (1) από το (2). Παίρνουμε

(3d – 2g) Χ 1 + (2d + 1,8g) Χ 2 +(–1,1d – 0,4g) Χ 3 = −g.

Βάζοντας d = 2, g = 3, παίρνουμε 0 Χ 1 + 9,4 Χ 2 – 3,4 Χ 3 = −3. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το σύστημα

(2.30)

Αυτή η τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση λύσεων σε μια ευρεία κατηγορία πινάκων.

ή

Λαμβάνοντας το διάνυσμα = (0,2; –0,32; 0) ως αρχική προσέγγιση Τ, θα λύσουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τεχνολογία (2.26 ΕΝΑ):

κ = 0, 1, 2, ... .

Η διαδικασία υπολογισμού σταματά όταν δύο γειτονικές προσεγγίσεις του διανύσματος λύσης συμπίπτουν ως προς την ακρίβεια, δηλ.

.

Τεχνολογία επαναληπτική λύσητύπος (2.26 ΕΝΑ) με όνομα απλή μέθοδος επανάληψης .

Βαθμός απόλυτο λάθοςγια την απλή μέθοδο επανάληψης:

πού είναι το σύμβολο || ... || σημαίνει κανονικό.

Παράδειγμα 2.1. Χρησιμοποιώντας μια απλή μέθοδο επανάληψης με ακρίβεια e = 0,001, λύστε το σύστημα γραμμικές εξισώσεις:

Ο αριθμός των βημάτων που δίνουν μια απάντηση με ακρίβεια e = 0,001 μπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση

0,001 £.

Ας υπολογίσουμε τη σύγκλιση χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.27). Εδώ || σολ|| = = μέγιστο (0,56; 0,61; 0,35; 0,61) = 0,61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

Ως αρχική προσέγγιση, παίρνουμε το διάνυσμα των ελεύθερων όρων, δηλ. = (2,15; –0,83; 1,16; 0,44) Τ. Ας αντικαταστήσουμε τις διανυσματικές τιμές σε (2.26 ΕΝΑ):

Συνεχίζοντας τους υπολογισμούς, εισάγουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα:

κ	Χ 1	Χ 2	Χ 3	Χ 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

Η σύγκλιση σε χιλιοστά εμφανίζεται ήδη στο 10ο βήμα.

Απάντηση: Χ 1 » 3.571; Χ 2 "-0,957; Χ 3 » 1.489; Χ 4"-0,836.

Αυτό το διάλυμα μπορεί επίσης να ληφθεί χρησιμοποιώντας τύπους (2.28 ΕΝΑ).

Παράδειγμα 2.2. Για να επεξηγήσετε τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας τύπους (2.28 ΕΝΑ) εξετάστε τη λύση του συστήματος (μόνο δύο επαναλήψεις):

; . (2.31)

Ας μετατρέψουμε το σύστημα στη μορφή (2.26) σύμφωνα με το (2.28 ΕΝΑ):

Þ (2.32)

Ας πάρουμε την αρχική προσέγγιση = (0; 0; 0) Τ. Στη συνέχεια για κ= 0 είναι προφανές ότι η τιμή = (0,5; 0,8; 1,5) Τ. Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές σε (2.32), δηλαδή όταν κ= 1 παίρνουμε = (1.075; 1.3; 1.175) Τ.

Σφάλμα e 2 = = max(0,575; 0,5; 0,325) = 0,575.

Μπλοκ διάγραμμα του αλγορίθμου για την εύρεση λύσης στο SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο απλές επαναλήψειςσύμφωνα με τους τύπους εργασίας (2.28 ΕΝΑ) φαίνεται στο Σχ. 2.4.

Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του μπλοκ διαγράμματος είναι η παρουσία των ακόλουθων μπλοκ:

– τμήμα 13 – ο σκοπός του αναλύεται παρακάτω.

– μπλοκ 21 – εμφάνιση αποτελεσμάτων στην οθόνη.

– τμήμα 22 – έλεγχος (δείκτης) σύγκλισης.

Ας αναλύσουμε το προτεινόμενο σχήμα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του συστήματος (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0,001):

= ; .

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 1. Εισαγάγετε τα αρχικά δεδομένα ΕΝΑ, , w, e, n: n= 3, w = 1, e = 0,001.

Κύκλος Ι. Ορίστε τις αρχικές τιμές των διανυσμάτων Χ 0ΕγώΚαι x i (Εγώ = 1, 2, 3).

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 5. Επαναφέρετε τον μετρητή για τον αριθμό των επαναλήψεων.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 6. Μηδενίστε τον τρέχοντα μετρητή σφαλμάτων.

ΣΕκύκλου II, αλλάζουν οι αριθμοί σειρών του πίνακα ΕΝΑκαι διάνυσμα.

Κύκλος II:Εγώ = 1: μικρό = σι 1 = 2 (μπλοκ 8).

Μεταβείτε στον ένθετο βρόχο III, μπλοκ 9 – μετρητής αριθμών στήλης μήτρας ΕΝΑ: ι = 1.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 10: ι = Εγώ, επομένως, επιστρέφουμε στο μπλοκ 9 και αυξάνουμε ιανά μονάδα: ι = 2.

Στο μπλοκ 10 ι ¹ Εγώ(2 ¹ 1) – μεταβαίνουμε στο μπλοκ 11.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 11: μικρό= 2 – (–1) × Χ 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2, μεταβείτε στο μπλοκ 9, στο οποίο ιαύξηση κατά ένα: ι = 3.

Στο μπλοκ 10 η κατάσταση ι ¹ Εγώέχει εκπληρωθεί, οπότε ας προχωρήσουμε στο μπλοκ 11.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 11: μικρό= 2 – (–1) × Χ 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2, μετά το οποίο περνάμε στο μπλοκ 9, στο οποίο ιαύξηση κατά ένα ( ι= 4). Εννοια ιπερισσότερο n (n= 3) – τελειώνουμε τον κύκλο και προχωράμε στο μπλοκ 12.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 12: μικρό = μικρό / ένα 11 = 2 / 4 = 0,5.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 13: w = 1; μικρό = μικρό + 0 = 0,5.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 14: ρε = | x i – μικρό | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 15: x i = 0,5 (Εγώ = 1).

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 16. Έλεγχος της κατάστασης ρε > de: 0,5 > 0, επομένως, μεταβείτε στο μπλοκ 17, στο οποίο εκχωρούμε de= 0,5 και επιστρέψτε χρησιμοποιώντας τον σύνδεσμο " ΕΝΑ» στο επόμενο βήμα του κύκλου II – στο μπλοκ 7, στο οποίο Εγώαυξηθεί κατά ένα.

Κύκλος II: Εγώ = 2: μικρό = σι 2 = 4 (μπλοκ 8).

ι = 1.

Μέσα από το μπλοκ 10 ι ¹ Εγώ(1 ¹ 2) – μεταβαίνουμε στο μπλοκ 11.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 11: μικρό= 4 – 1 × 0 = 4, μεταβείτε στο μπλοκ 9, στο οποίο ιαύξηση κατά ένα: ι = 2.

Στο μπλοκ 10 δεν πληρούται η προϋπόθεση, οπότε προχωράμε στο μπλοκ 9, στο οποίο ιαύξηση κατά ένα: ι= 3. Κατ' αναλογία, προχωράμε στο μπλοκ 11.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 11: μικρό= 4 – (–2) × 0 = 4, μετά τον οποίο τελειώνουμε τον κύκλο III και προχωράμε στο μπλοκ 12.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 12: μικρό = μικρό/ ένα 22 = 4 / 5 = 0,8.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 13: w = 1; μικρό = μικρό + 0 = 0,8.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 14: ρε = | 1 – 0,8 | = 0,2.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 15: x i = 0,8 (Εγώ = 2).

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 16. Έλεγχος της κατάστασης ρε > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «ΕΝΑ» στο επόμενο βήμα του κύκλου II - στο μπλοκ 7.

Κύκλος II: Εγώ = 3: μικρό = σι 3 = 6 (μπλοκ 8).

Μεταβείτε στον ένθετο βρόχο III, μπλοκ 9: ι = 1.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 11: μικρό= 6 – 1 × 0 = 6, μεταβείτε στο μπλοκ 9: ι = 2.

Χρησιμοποιώντας το μπλοκ 10 μεταβαίνουμε στο μπλοκ 11.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 11: μικρό= 6 – 1 × 0 = 6. Ολοκληρώνουμε τον κύκλο III και προχωράμε στο μπλοκ 12.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 12: μικρό = μικρό/ ένα 33 = 6 / 4 = 1,5.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 13: μικρό = 1,5.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 14: ρε = | 1 – 1,5 | = 0,5.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 15: x i = 1,5 (Εγώ = 3).

Σύμφωνα με το μπλοκ 16 (συμπεριλαμβανομένων των παραπομπών " ΕΝΑ" Και " ΜΕ") αφήνουμε τον κύκλο ΙΙ και προχωράμε στο μπλοκ 18.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 18. Αύξηση του αριθμού των επαναλήψεων το = το + 1 = 0 + 1 = 1.

Στα μπλοκ 19 και 20 του κύκλου IV, αντικαθιστούμε τις αρχικές τιμές Χ 0Εγώλαμβανόμενες τιμές x i (Εγώ = 1, 2, 3).

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 21. Εκτυπώνουμε ενδιάμεσες τιμές της τρέχουσας επανάληψης, σε σε αυτήν την περίπτωση: = (0,5; 0,8; 1,5)Τ, το = 1; de = 0,5.

Πηγαίνουμε στον κύκλο ΙΙ στο μπλοκ 7 και εκτελούμε τους εξεταζόμενους υπολογισμούς με νέους αρχικές τιμές Χ 0Εγώ (Εγώ = 1, 2, 3).

Μετά από αυτό παίρνουμε Χ 1 = 1,075; Χ 2 = 1,3; Χ 3 = 1,175.

Εδώ, λοιπόν, η μέθοδος του Seidel συγκλίνει.

Σύμφωνα με τους τύπους (2.33)

κ	Χ 1	Χ 2	Χ 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

Απάντηση: Χ 1 = 0,248; Χ 2 = 1,115; Χ 3 = –0,224.

Σχόλιο. Εάν η απλή επανάληψη και οι μέθοδοι Seidel συγκλίνουν για το ίδιο σύστημα, τότε η μέθοδος Seidel είναι προτιμότερη. Ωστόσο, στην πράξη, οι περιοχές σύγκλισης αυτών των μεθόδων μπορεί να είναι διαφορετικές, δηλ. η μέθοδος απλής επανάληψης συγκλίνει, αλλά η μέθοδος Seidel αποκλίνει και το αντίστροφο. Και για τις δύο μεθόδους, εάν || σολ|| κοντά σε μονάδα, η ταχύτητα σύγκλισης είναι πολύ χαμηλή.

Για να επιταχυνθεί η σύγκλιση, χρησιμοποιείται μια τεχνητή τεχνική - η λεγόμενη μέθοδος χαλάρωσης . Η ουσία του είναι ότι η επόμενη τιμή λαμβάνεται με τη μέθοδο της επανάληψης x i (κ) υπολογίζεται εκ νέου χρησιμοποιώντας τον τύπο

όπου το w συνήθως αλλάζει στην περιοχή από 0 έως 2 (0< w £ 2) с каким-либо шагом (η= 0,1 ή 0,2). Η παράμετρος w επιλέγεται έτσι ώστε η σύγκλιση της μεθόδου να επιτυγχάνεται σε ελάχιστο αριθμό επαναλήψεων.

Χαλάρωση– σταδιακή εξασθένηση οποιασδήποτε κατάστασης του σώματος μετά την παύση των παραγόντων που προκάλεσαν αυτή την κατάσταση (φυσική μηχανική).

Παράδειγμα 2.4. Ας εξετάσουμε το αποτέλεσμα της πέμπτης επανάληψης χρησιμοποιώντας τον τύπο χαλάρωσης. Ας πάρουμε w = 1,5:

Όπως μπορείτε να δείτε, ελήφθη το αποτέλεσμα σχεδόν της έβδομης επανάληψης.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1. ΕΠΙΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

1.1 Περιγραφή της μεθόδου λύσης

1.2 Αρχικά δεδομένα

1.3 Αλγόριθμος

1.4 Πρόγραμμα σε γλώσσα QBasic

1.5 Αποτέλεσμα του προγράμματος

1.6 Έλεγχος του αποτελέσματος του προγράμματος

2. ΔΙΕΛΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΡΙΖΑΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΕΦΑΘΜΕΝΟΥ

2.1 Περιγραφή της μεθόδου λύσης

2.2 Αρχικά δεδομένα

2.3 Αλγόριθμος

2.4 Πρόγραμμα σε γλώσσα QBasic

2.5 Αποτέλεσμα του προγράμματος

2.6 Έλεγχος του αποτελέσματος του προγράμματος

3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΝ ΚΑΝΟΝΑ ΤΟΥ ΟΡΘΟΓΩΝΟΥ

3.1 Περιγραφή της μεθόδου λύσης

3.2 Αρχικά δεδομένα

3.3 Αλγόριθμος

3.4 Πρόγραμμα σε γλώσσα QBasic

3.5 Έλεγχος του αποτελέσματος του προγράμματος

4.1 Γενικές πληροφορίεςΣχετικά με το πρόγραμμα

4.1.1 Σκοπός και χαρακτηριστικά γνωρίσματα

4.1.2 Περιορισμοί WinRAR

4.1.3 Απαιτήσεις συστήματος WinRAR

4.2 Διεπαφή WinRAR

4.3 Τρόποι διαχείρισης αρχείων και αρχειοθέτησης

4.4 Χρήση μενού περιβάλλοντος

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο σκοπός αυτού εργασία μαθημάτωνείναι η ανάπτυξη αλγορίθμων και προγραμμάτων για την επίλυση συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. μη γραμμική εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο χορδής. Για αριθμητική ολοκλήρωσησύμφωνα με τον τραπεζοειδή κανόνα.

Οι αλγεβρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν μόνο αλγεβρικές συναρτήσεις (ακέραιος, ορθολογικός, παράλογος). Συγκεκριμένα, ένα πολυώνυμο είναι μια ολόκληρη αλγεβρική συνάρτηση. Οι εξισώσεις που περιέχουν άλλες συναρτήσεις (τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές και άλλες) ονομάζονται υπερβατικές.

Οι μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων χωρίζονται σε δύο ομάδες:

· ακριβείς μέθοδοι, που είναι πεπερασμένοι αλγόριθμοι για τον υπολογισμό των ριζών ενός συστήματος (επίλυση συστημάτων με χρήση αντίστροφη μήτρα, ο κανόνας του Cramer, η μέθοδος του Gauss, κ.λπ.),

· επαναληπτικές μέθοδοι που καθιστούν δυνατή την απόκτηση λύσης σε ένα σύστημα με δεδομένη ακρίβεια μέσω συγκλίνουσες επαναληπτικές διεργασίες (μέθοδος επανάληψης, μέθοδος Seidel κ.λπ.).

Λόγω της αναπόφευκτης στρογγυλοποίησης, τα αποτελέσματα είναι ίσα ακριβείς μεθόδουςείναι κατά προσέγγιση. Κατά τη χρήση επαναληπτικών μεθόδων, επιπλέον, προστίθεται το σφάλμα της μεθόδου.

Η επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι ένα από τα κύρια προβλήματα της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας. Αν και το πρόβλημα της επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι σχετικά σπάνια ανεξάρτητου ενδιαφέροντος για εφαρμογές, η ίδια η πιθανότητα εξαρτάται συχνά από την ικανότητα αποτελεσματικής επίλυσης τέτοιων συστημάτων. μαθηματική μοντελοποίησημια μεγάλη ποικιλία διαδικασιών που χρησιμοποιούν υπολογιστές. Ένα σημαντικό μέρος των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση διαφόρων (ειδικά μη γραμμικών) προβλημάτων περιλαμβάνει την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων ως στοιχειώδες βήμα του αντίστοιχου αλγορίθμου.

Για να έχει λύση ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του κύριου πίνακα να είναι ίσο με τον βαθμόεκτεταμένη μήτρα. Εάν η κατάταξη του κύριου πίνακα είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα και ίσο με τον αριθμόάγνωστα, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Εάν η κατάταξη του κύριου πίνακα είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα, αλλά μικρότερους αριθμούςάγνωστα, τότε το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Μία από τις πιο κοινές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Gauss. Αυτή η μέθοδος είναι γνωστή στο διάφορες επιλογέςγια περισσότερα από 2000 χρόνια. Η μέθοδος Gauss είναι μια κλασική μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Αυτή είναι η μέθοδος διαδοχική εξάλειψημεταβλητές κατά τη χρήση στοιχειώδεις μεταμορφώσειςτο σύστημα των εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα σταδιακής (ή τριγωνικής) μορφής, από το οποίο όλες οι άλλες μεταβλητές βρίσκονται διαδοχικά, ξεκινώντας από τις τελευταίες (κατά αριθμό) μεταβλητές.

Αυστηρά μιλώντας, η μέθοδος που περιγράφεται παραπάνω ονομάζεται σωστά μέθοδος εξάλειψης Gauss-Jordan, καθώς είναι μια παραλλαγή της μεθόδου Gauss που περιγράφηκε από τον επιθεωρητή Wilhelm Jordan το 1887). Είναι επίσης ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι ταυτόχρονα με τον Τζόρνταν (και σύμφωνα με κάποια δεδομένα ακόμη και πριν από αυτόν), αυτός ο αλγόριθμος επινοήθηκε από τον B.-I.

Κάτω από μη γραμμικές εξισώσειςκατανοούμε αλγεβρικές και υπερβατικές εξισώσεις της μορφής , όπου x - πραγματικός αριθμός, ΕΝΑ - μη γραμμική συνάρτηση. Για την επίλυση αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιείται η μέθοδος χορδής - επαναληπτική αριθμητική μέθοδοςκατά προσέγγιση θέση των ριζών. Όπως είναι γνωστό, πολλές εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων δεν έχουν αναλυτικές λύσεις. Αυτό ισχύει κυρίως για τις περισσότερες υπερβατικές εξισώσεις. Έχει επίσης αποδειχθεί ότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένας τύπος που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μιας αυθαίρετης αλγεβρικής εξίσωσης βαθμού υψηλότερου από τέσσερις. Επιπλέον, σε ορισμένες περιπτώσεις η εξίσωση περιέχει συντελεστές που είναι γνωστοί μόνο κατά προσέγγιση, και, επομένως, το ίδιο το πρόβλημα ακριβής ορισμόςοι ρίζες της εξίσωσης χάνει το νόημά της. Για την επίλυσή τους, χρησιμοποιούνται επαναληπτικές μέθοδοι με δεδομένο βαθμό ακρίβειας. Η επίλυση μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας την επαναληπτική μέθοδο σημαίνει τον προσδιορισμό του αν έχει ρίζες, πόσες ρίζες και την εύρεση των τιμών των ριζών με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Η εργασία εύρεσης της ρίζας της εξίσωσης f(x) = 0 χρησιμοποιώντας την επαναληπτική μέθοδο αποτελείται από δύο στάδια:

· Διαχωρισμός ριζών - εύρεση μιας κατά προσέγγιση τιμής μιας ρίζας ή ενός τμήματος που την περιέχει.

· αποσαφήνιση των κατά προσέγγιση ριζών - φέρνοντάς τες σε δεδομένο βαθμό ακρίβειας.

Ορισμένο ολοκλήρωμασυνάρτηση f(x), που λαμβάνεται στο διάστημα από έναπριν σι, είναι το όριο στο οποίο τείνει το ολοκληρωτικό άθροισμα καθώς όλα τα διαστήματα Δx i τείνουν στο μηδέν. Σύμφωνα με τον τραπεζοειδή κανόνα, είναι απαραίτητο να αντικατασταθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης F(x) με μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία (x 0,y 0) και (x 0 +h,y 1) και να υπολογιστεί η τιμή του στοιχείου του ολοκληρωτικού αθροίσματος ως το εμβαδόν του τραπεζοειδούς: .

ΕΠΙΛΥΣΗ SLAU ΜΕ ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

1.1 Περιγραφή της μεθόδου συνεχούς επανάληψης

Τα συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE) έχουν τη μορφή:

ή, όταν γράφεται σε μορφή μήτρας:

Στην πράξη, χρησιμοποιούνται δύο τύποι μεθόδων αριθμητική λύση SLAU – άμεσο και έμμεσο. Όταν χρησιμοποιείτε άμεσες μεθόδους, το SLAE μειώνεται σε μία από τις ειδικές μορφές (διαγώνιος, τριγωνικός) που επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει με ακρίβεια την επιθυμητή λύση (εάν υπάρχει). Η πιο κοινή άμεση μέθοδος για την επίλυση SLAE είναι η μέθοδος Gaussian. Χρησιμοποιούνται επαναληπτικές μέθοδοι για την εύρεση μιας κατά προσέγγιση λύσης ενός SLAE με δεδομένη ακρίβεια. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επαναληπτική διαδικασία δεν συγκλίνει πάντα σε μια λύση στο σύστημα, αλλά μόνο όταν η ακολουθία προσεγγίσεων που λαμβάνεται κατά τους υπολογισμούς τείνει σε μια ακριβή λύση. Κατά την επίλυση ενός SLAE χρησιμοποιώντας την απλή μέθοδο επανάληψης, μετατρέπεται σε μια μορφή όπου μόνο μία από τις αναζητούμενες μεταβλητές βρίσκεται στην αριστερή πλευρά:

Έχοντας καθορίσει κάποιες αρχικές προσεγγίσεις xi, i=1,2,…,n, αντικαταστήστε τα σωστη πλευραεκφράσεις και υπολογίστε νέες τιμές Χ. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι το μέγιστο των υπολειμμάτων που καθορίζεται από την έκφραση:

δεν θα γίνει μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια ε. Εάν η μέγιστη απόκλιση στο κη επανάληψη θα είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη απόκλιση στο κ-1η επανάληψη, τότε η διαδικασία τερματίζεται ασυνήθιστα, επειδή η επαναληπτική διαδικασία αποκλίνει. Για να ελαχιστοποιηθεί ο αριθμός των επαναλήψεων, μπορούν να υπολογιστούν νέες τιμές x χρησιμοποιώντας τις υπολειπόμενες τιμές από την προηγούμενη επανάληψη.

Διάλεξη Επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης συστήματος αλγεβρικών γραμμικών εξισώσεων.

Προϋπόθεση για σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου Jacobi

Απλή μέθοδος επανάληψης

Εξετάζεται ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Για την εφαρμογή επαναληπτικών μεθόδων, το σύστημα πρέπει να μειωθεί σε ισοδύναμη μορφή

Στη συνέχεια επιλέγεται μια αρχική προσέγγιση στη λύση του συστήματος των εξισώσεων και βρίσκεται μια ακολουθία προσεγγίσεων στη ρίζα.

Για να συγκλίνει η επαναληπτική διαδικασία, αρκεί να ικανοποιηθεί η συνθήκη
(κανονική μήτρα). Το κριτήριο για τον τερματισμό των επαναλήψεων εξαρτάται από την επαναληπτική μέθοδο που χρησιμοποιείται.

Μέθοδος Jacobi .

Ο απλούστερος τρόπος για να φέρετε το σύστημα σε μια μορφή κατάλληλη για επανάληψη είναι ο εξής:

Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος εκφράζουμε το άγνωστο Χ 1, από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος που εκφράζουμε Χ 2, κ.λπ.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων με τον πίνακα Β, στον οποίο τα μηδενικά στοιχεία βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο και τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Οι συνιστώσες του διανύσματος d υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο τύπος υπολογισμού για την απλή μέθοδο επανάληψης είναι:

ή σε συντεταγμένη σημειογραφία μοιάζει με αυτό:

Το κριτήριο για την ολοκλήρωση των επαναλήψεων στη μέθοδο Jacobi έχει τη μορφή:

Αν
, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα απλούστερο κριτήριο για τον τερματισμό των επαναλήψεων

Παράδειγμα 1.Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Jacobi.

Ας δοθεί το σύστημα των εξισώσεων:

Απαιτείται να βρεθεί μια λύση στο σύστημα με ακρίβεια

Ας μειώσουμε το σύστημα σε μια μορφή κατάλληλη για επανάληψη:

Ας επιλέξουμε μια αρχική προσέγγιση, για παράδειγμα,

- διάνυσμα της δεξιάς πλευράς.

Τότε η πρώτη επανάληψη μοιάζει με αυτό:

Οι ακόλουθες προσεγγίσεις στο διάλυμα λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο.

Ας βρούμε τον κανόνα του πίνακα Β.

Θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα

Αφού το άθροισμα των μονάδων των στοιχείων σε κάθε σειρά είναι 0,2, τότε
, οπότε το κριτήριο για τον τερματισμό των επαναλήψεων σε αυτό το πρόβλημα είναι

Ας υπολογίσουμε τους κανόνες των διανυσματικών διαφορών:

Επειδή
η καθορισμένη ακρίβεια επιτεύχθηκε στην τέταρτη επανάληψη.

Απάντηση: Χ 1 = 1.102, Χ 2 = 0.991, Χ 3 = 1.0 1 1

Μέθοδος Seidel .

Η μέθοδος μπορεί να θεωρηθεί ως τροποποίηση της μεθόδου Jacobi. Η κύρια ιδέα είναι ότι κατά τον υπολογισμό του επόμενου (n+1)-η προσέγγιση στο άγνωστο Χ Εγώστο i >1χρήση που έχει ήδη βρεθεί (n+1)-ε πλησιάζει το άγνωστο Χ 1 ,Χ 2 , ...,Χ i - 1 και όχι nη προσέγγιση, όπως στη μέθοδο Jacobi.

Ο τύπος υπολογισμού της μεθόδου σε συμβολισμό συντεταγμένων μοιάζει με αυτό:

Οι συνθήκες σύγκλισης και το κριτήριο για το τέλος των επαναλήψεων μπορούν να ληφθούν με τον ίδιο τρόπο όπως στη μέθοδο Jacobi.

Παράδειγμα 2.Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Seidel.

Ας εξετάσουμε παράλληλα τη λύση 3 συστημάτων εξισώσεων:

Ας μειώσουμε τα συστήματα σε μια μορφή κατάλληλη για επαναλήψεις:

Σημειώστε ότι η συνθήκη σύγκλισης
γίνεται μόνο για το πρώτο σύστημα. Ας υπολογίσουμε 3 πρώτες προσεγγίσεις στη λύση σε κάθε περίπτωση.

1ο σύστημα:

Η ακριβής λύση θα είναι οι ακόλουθες τιμές: Χ 1 = 1.4, Χ 2 = 0.2 . Η επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει.

2ο σύστημα:

Μπορεί να φανεί ότι η διαδικασία επανάληψης αποκλίνει.

Ακριβής λύση Χ 1 = 1, Χ 2 = 0.2 .

3ο σύστημα:

Μπορεί να φανεί ότι η διαδικασία επανάληψης έχει προχωρήσει σε κύκλους.

Ακριβής λύση Χ 1 = 1, Χ 2 = 2 .

Έστω ο πίνακας του συστήματος των εξισώσεων Α συμμετρικός και θετικός ορισμένος. Στη συνέχεια, για οποιαδήποτε επιλογή αρχικής προσέγγισης, η μέθοδος Seidel συγκλίνει. Δεν επιβάλλονται πρόσθετοι όροι για τη μικρότητα του κανόνα ενός συγκεκριμένου πίνακα.

Απλή μέθοδος επανάληψης.

Εάν το Α είναι ένας συμμετρικός και θετικός καθορισμένος πίνακας, τότε το σύστημα εξισώσεων συχνά ανάγεται στην ισοδύναμη μορφή:

Χ=Χ-τ (Α Χ- β), τ – παράμετρος επανάληψης.

Ο τύπος υπολογισμού της μεθόδου απλής επανάληψης σε αυτή την περίπτωση έχει τη μορφή:

Χ (n+1) =Χ n- τ (Α Χ (n) - β).

και η παράμετρος τ > 0 επιλέγεται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται, αν είναι δυνατόν, η τιμή

Έστω λ min και λ max οι ελάχιστες και μέγιστες ιδιοτιμές του πίνακα A. Η βέλτιστη επιλογή της παραμέτρου είναι

Σε αυτήν την περίπτωση
δέχεται ελάχιστη τιμήίσος:

Παράδειγμα 3. Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της απλής επανάληψης. (στο MathCAD)

Έστω το σύστημα των εξισώσεων Ax = b

Για να οικοδομήσουμε μια επαναληπτική διαδικασία ας βρούμε το δικό μαςαριθμοί του πίνακα Α:

- χρησιμοποιεί μια ενσωματωμένη συνάρτηση για την εύρεση ιδιοτιμών.

Ας υπολογίσουμε την παράμετρο επανάληψης και ας ελέγξουμε τη συνθήκη σύγκλισης

Η συνθήκη σύγκλισης ικανοποιείται.

Ας πάρουμε την αρχική προσέγγιση - διάνυσμα x0, ορίζουμε την ακρίβεια στο 0,001 και βρίσκουμε τις αρχικές προσεγγίσεις χρησιμοποιώντας το παρακάτω πρόγραμμα:

Ακριβής λύση

Σχόλιο. Εάν το πρόγραμμα επιστρέψει τον πίνακα rez, τότε μπορείτε να δείτε όλες τις επαναλήψεις που βρέθηκαν.