Το θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel στην ψυχολογία. Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ για την τυπική αριθμητική

09ιαπωνικό λεπτό

Οποιοδήποτε σύστημα μαθηματικών αξιωμάτων, ξεκινώντας από ένα ορισμένο επίπεδο πολυπλοκότητας, είναι είτε εσωτερικά ασυνεπές είτε ελλιπές.

Το 1900 πραγματοποιήθηκε στο Παρίσι το Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών, όπου Ντέιβιντ Γκίλμπερτ(David Hilbert, 1862–1943) περιέγραψε με τη μορφή διατριβών τα 23 σημαντικότερα, κατά τη γνώμη του, καθήκοντα που έπρεπε να επιλύσουν οι θεωρητικοί του εικοστού αιώνα. Το νούμερο δύο στη λίστα του ήταν ένα από αυτά απλές εργασίες, η απάντηση στο οποίο φαίνεται προφανής μέχρι να σκάψετε λίγο πιο βαθιά. ομιλία σύγχρονη γλώσσα, αυτό ήταν το ερώτημα: είναι επαρκή τα μαθηματικά από μόνα τους; Το δεύτερο καθήκον του Hilbert περιορίστηκε στην ανάγκη να αποδείξει αυστηρά ότι το σύστημα των αξιωμάτων - βασικές δηλώσεις που λαμβάνονται στα μαθηματικά ως βάση χωρίς απόδειξη - είναι τέλειο και πλήρες, δηλαδή επιτρέπει τη μαθηματική περιγραφή όλων όσων υπάρχουν. Ήταν απαραίτητο να αποδειχθεί ότι είναι δυνατό να τεθεί ένα τέτοιο σύστημα αξιωμάτων που, πρώτον, θα είναι αμοιβαία συνεπή και, δεύτερον, μπορεί κανείς να συναγάγει ένα συμπέρασμα από αυτά σχετικά με την αλήθεια ή το ψεύδος οποιασδήποτε δήλωσης.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα από τη σχολική γεωμετρία. Στην τυπική ευκλείδεια επιπεδομετρία (γεωμετρία σε επίπεδο), μπορεί να αποδειχθεί άνευ όρων ότι η πρόταση "το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°" είναι αληθής και η πρόταση "το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 137°". "είναι ψευδής. Μιλώντας ουσιαστικά, στην Ευκλείδεια γεωμετρία, οποιαδήποτε δήλωση είναι είτε ψευδής είτε αληθής, και η τρίτη δεν δίνεται. Και στις αρχές του εικοστού αιώνα, οι μαθηματικοί πίστευαν αφελώς ότι η ίδια κατάσταση έπρεπε να παρατηρηθεί σε οποιοδήποτε λογικά συνεπές σύστημα.

Και τότε το 1931 κάποιος Βιεννέζος μαθηματικός με γυαλιά Kurt Gödel- πήρε και δημοσίευσε ένα σύντομο άρθρο που απλά ανέτρεψε όλο τον κόσμο της λεγόμενης «μαθηματικής λογικής». Μετά από μακρά και πολύπλοκα μαθηματικά και θεωρητικά προοίμια, εδραίωσε κυριολεκτικά τα εξής. Ας πάρουμε οποιαδήποτε δήλωση όπως: "Η υπόθεση #247 είναι λογικά αναπόδεικτη σε αυτό το σύστημα αξιωμάτων" και ας την ονομάσουμε "δήλωση Α". Έτσι, ο Gödel απέδειξε απλώς την ακόλουθη καταπληκτική ιδιότητα οποιουδήποτε συστήματος αξιωμάτων:

"Εάν μια πρόταση Α μπορεί να αποδειχθεί, τότε μια πρόταση που δεν είναι Α μπορεί να αποδειχθεί."

Με άλλα λόγια, εάν είναι δυνατόν να αποδειχθεί η εγκυρότητα της δήλωσης «Η υπόθεση 247 δεν αποδεικνύεται», τότε είναι δυνατόν να αποδειχθεί και η εγκυρότητα της δήλωσης «Υπόθεση 247 είναι αποδείξιμη». Δηλαδή, επιστρέφοντας στη διατύπωση του δεύτερου προβλήματος Hilbert, εάν το σύστημα των αξιωμάτων είναι πλήρες (δηλαδή, οποιαδήποτε δήλωση σε αυτό μπορεί να αποδειχθεί), τότε είναι ασυνεπής.

Η μόνη διέξοδος από αυτή την κατάσταση είναι η αποδοχή ενός ημιτελούς συστήματος αξιωμάτων. Πρέπει δηλαδή να τα βάλει κανείς με το γεγονός ότι στο πλαίσιο του οποιουδήποτε λογικό σύστημαθα μείνουμε με δηλώσεις «τύπου Α» που είναι γνωστό ότι είναι αληθείς ή ψευδείς - και μπορούμε να κρίνουμε την αλήθεια τους μόνο έξω από το πλαίσιο των αξιωματικών που έχουμε υιοθετήσει. Αν δεν υπάρχουν τέτοιες δηλώσεις, τότε τα αξιωματικά μας είναι αντιφατικά και στο πλαίσιό της αναπόφευκτα θα υπάρξουν διατυπώσεις που μπορούν και να αποδειχθούν και να διαψευστούν.

Έτσι, η διατύπωση του πρώτου, ή ασθενούς, θεωρήματος της μη πληρότητας του Gödel είναι: "Οποιοδήποτε επίσημο σύστημα αξιωμάτων περιέχει ανεπίλυτες υποθέσεις". Αλλά ο Gödel δεν σταμάτησε εκεί, διατυπώνοντας και αποδεικνύοντας το δεύτερο ή ισχυρό θεώρημα της ατελότητας του Gödel: «Η λογική πληρότητα (ή η ατελότητα) οποιουδήποτε συστήματος αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί στο πλαίσιο αυτού του συστήματος. Για την απόδειξη ή την απόρριψή του απαιτούνται επιπλέον αξιώματα (ενίσχυση του συστήματος).

Θα ήταν ασφαλέστερο να πιστεύουμε ότι τα θεωρήματα του Godel είναι αφηρημένα και δεν μας αφορούν, αλλά μόνο τομείς εξαιρετικής μαθηματικής λογικής, αλλά στην πραγματικότητα αποδείχθηκε ότι σχετίζονται άμεσα με τη δομή του ανθρώπινου εγκεφάλου. Άγγλος μαθηματικόςκαι ο φυσικός Roger Penrose (γενν. 1931) έδειξε ότι Θεωρήματα Gödelμπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει την ύπαρξη θεμελιωδών διαφορών μεταξύ του ανθρώπινου εγκεφάλου και ενός υπολογιστή. Η ουσία του συλλογισμού του είναι απλή. Ο υπολογιστής λειτουργεί αυστηρά λογικά και δεν είναι σε θέση να προσδιορίσει εάν η πρόταση Α είναι αληθής ή ψευδής εάν υπερβαίνει το πεδίο της αξιωματικής, και τέτοιες δηλώσεις, σύμφωνα με το θεώρημα του Gödel, αναπόφευκτα υπάρχουν. Ένα άτομο, αντιμέτωπο με μια τόσο λογικά αναπόδεικτη και αδιάψευστη δήλωση Α, είναι πάντα σε θέση να προσδιορίσει την αλήθεια ή το ψεύδος της - με βάση την καθημερινή εμπειρία. Τουλάχιστον σε αυτό ανθρώπινος εγκέφαλοςξεπερνάει έναν υπολογιστή δεσμευμένο με καθαρό λογικά κυκλώματα. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι σε θέση να κατανοήσει το πλήρες βάθος της αλήθειας που περιέχεται στα θεωρήματα του Gödel, αλλά ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ. Επομένως, ο ανθρώπινος εγκέφαλος κάθε άλλο παρά ένας υπολογιστής είναι. Είναι σε θέση να παίρνει αποφάσεις και το τεστ Τούρινγκ θα περάσει.

Η ιδέα της απόδειξης είναι να κατασκευάσει μια έκφραση που θα το μαρτυρούσε

δικό του αναπόδεικτο. Αυτή η κατασκευή μπορεί να γίνει σε τρία βήματα:

Το πρώτο στάδιο είναι η δημιουργία μιας αντιστοιχίας μεταξύ της τυπικής αριθμητικής και του συνόλου των ακεραίων (gedelization).

Το δεύτερο στάδιο είναι η κατασκευή κάποιας ειδικής ιδιότητας για την οποία δεν είναι γνωστό αν είναι θεώρημα τυπικής αριθμητικής ή όχι.

Το τρίτο στάδιο είναι η αντικατάσταση αντί του x ενός συγκεκριμένου ακέραιου αριθμού που σχετίζεται με τον εαυτό του, δηλ. η αντικατάσταση όλων από αυτούς τους αριθμούς

Πρώτο στάδιο. Θεϊκοποίηση της τυπικής αριθμητικής

Η τυπική αριθμητική μπορεί να αριθμηθεί (δηλαδή, να γίνει Gaedelized) με τον ακόλουθο τρόπο: σε κάθε θεώρημά της αποδίδεται ένας συγκεκριμένος αριθμός. Ωστόσο, εφόσον οποιοσδήποτε αριθμός είναι επίσης θεώρημα, τότε οποιοδήποτε θεώρημα μπορεί να θεωρηθεί, αφενός, ως θεώρημα τυπικής αριθμητικής και, αφετέρου, ως θεώρημα πάνω από ένα σύνολο θεωρημάτων τυπικής αριθμητικής, δηλ. ένα μεταθεώρημα που αντιστοιχεί στην απόδειξη ενός συγκεκριμένου θεωρήματος.

Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το σύστημα τυπικής αριθμητικής περιέχει επίσης το δικό του μετασύστημα.

Τώρα παρουσιάζουμε τα αποτελέσματά μας πιο συγκεκριμένα και αναλυτικά.

Πρώτον, μπορούμε να συσχετίσουμε με κάθε σύμβολο και τυπική αριθμητική έναν ειδικό συμβολισμό κώδικα που καλείται αυτή η υπόθεσηαριθμός Gödel

Δεύτερον, αντιστοιχίζουμε σε κάθε ακολουθία χαρακτήρων τον ίδιο αριθμό Gödel χρησιμοποιώντας κάποια συνάρτηση σύνθεσης. Έστω πού είναι οι ακολουθίες χαρακτήρων που σχηματίζονται

Τρίτον (και αυτό είναι ουσιαστικό), σε κάθε απόδειξη της ακολουθίας αξιωμάτων και κανόνων αντικατάστασης (ή κανόνων αντικατάστασης) εκχωρείται ένας αριθμός όπου υποδηλώνει την ακολουθία των θεωρημάτων που χρησιμοποιούνται στην απόδειξη

Έτσι, σε κάθε απόδειξη στην τυπική αριθμητική αντιστοιχεί ένας ορισμένος αριθμός - ο αριθμός Gödel του. Κάθε συλλογισμός της τυπικής αριθμητικής μετατρέπεται σε υπολογισμούς στο σύνολο φυσικούς αριθμούς.

Έτσι, αντί να χειρίζεστε σύμβολα, θεωρήματα, αποδείξεις, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

υπολογισμοί στο σύνολο των ακεραίων. Οποιαδήποτε έκφραση όπως, για παράδειγμα, η ακόλουθη: αποδεικνύεται στην τυπική αριθμητική, τώρα αντιστοιχεί σε έναν ορισμένο αριθμό, τον οποίο θα συμβολίσουμε ως

Ας διατυπώσουμε την παρακάτω πρόταση.

Η τυπική μετααριθμητική περιέχεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών και η ίδια περιέχεται στην ερμηνεία της τυπικής αριθμητικής.

Αυτή η κατάσταση με την τυπική αριθμητική μοιάζει με την κατάσταση με φυσική γλώσσα: άλλωστε τίποτα δεν μας εμποδίζει να το χρησιμοποιήσουμε για να διατυπώσουμε πάνω του τις βασικές του έννοιες και κανόνες.

Η σωστή επιλογή συνάρτησης σάς επιτρέπει να κάνετε μια σαφή μετάβαση από το Α στο, δηλαδή να εκχωρήσετε δύο διαφορετικούς αριθμούς-αριθμούς σε δύο διάφορα στοιχεία. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να επιλέξει τους αριθμούς Gödel με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε σύμβολο του αλφαβήτου της τυπικής αριθμητικής να έχει τον δικό του πρώτο αριθμό, όπως φαίνεται, για παράδειγμα, στον Πίνακα. 3.2.

Πίνακας 3.2

Κάθε τύπος (αποτελούμενος από σύμβολα που ποικίλλουν από 1 έως με τη σειρά του κωδικοποιείται από μια ακολουθία που αποτελείται από το πρώτο πρώτοι αριθμοί, δηλαδή ο αριθμός

όπου είναι ένας πρώτος αριθμός.

Με τη σειρά της, η απόδειξη, δηλ., η ακολουθία των τύπων θα κωδικοποιηθεί με παρόμοιο τρόπο από τον αριθμό

Και αντίστροφα, χάρη σε αυτή τη μέθοδο κατασκευής αριθμών, γίνεται δυνατή, ξεκινώντας από έναν συγκεκριμένο αριθμό, με την αποσύνθεσή του σε πρωταρχικούς παράγοντες(λόγω της μοναδικότητας της αποσύνθεσης των φυσικών αριθμών σε γινόμενα των δυνάμεων των πρώτων αριθμών) για να επιστρέψουμε σε δύο βήματα στους εκθέτες, δηλαδή στα πρωτόγονα σύμβολα της τυπικής αριθμητικής. Φυσικά, αυτό έχει ως επί το πλείστον θεωρητική σημασία, καθώς τα νούμερα γίνονται γρήγορα πολύ μεγάλα.

ώστε να μπορούν να χειραγωγηθούν. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι η θεμελιώδης δυνατότητα αυτής της λειτουργίας είναι απαραίτητη.

Παράδειγμα. Έστω ο αριθμός T που αντιστοιχεί σε κάποια απόδειξη και αντιπροσωπεύει το γινόμενο των πρώτων αριθμών:

Αυτή η αποσύνθεση σημαίνει ότι η απόδειξη του θεωρήματος περιέχει δύο στάδια: το ένα αντιστοιχεί στον αριθμό 1981027125 253 και το άλλο στον αριθμό 1981027125 211. Αποσυνθέτοντας ξανά σε πρώτους παράγοντες καθέναν από αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε

Από τον επίσημο πίνακα κωδικοποίησης αριθμητικής αλφαβήτου (Πίνακας 3.2) διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί μας Gödel για αυτούς τους δύο αριθμούς

θα ταιριάζει με την ακόλουθη απόδειξη:

Ο τύπος προκύπτει από τον τύπο

Έτσι, στη μετααριθμητική, η τιμή του αρχικού αριθμού λαμβάνεται από την επίσημη αριθμητική.

Δεύτερη φάση. Το Λήμμα του Γκέντελ

Κάθε αριθμός T που σχετίζεται με μια απόδειξη αντιστοιχεί σε ένα θεώρημα που μπορεί να αποδειχθεί στην τυπική αριθμητική. Η «Gaudelized» τυπική αριθμητική ονομάζεται αριθμητική επίσημη αριθμητική. Δεδομένου ότι κάθε αξίωμα και κάθε κανόνας αριθμητικής τυπικής αριθμητικής αντιστοιχεί σε κάποια αριθμητική πράξη, είναι δυνατό να προσδιοριστεί με τη βοήθεια ενός συστηματοποιημένου ελέγχου εάν δεδομένου αριθμού T απόδειξη κάποιου θεωρήματος Οι αριθμοί T και σε αυτή την περίπτωση σχηματίζουν ένα ζεύγος συζευγμένων αριθμών. Η έκφραση και είναι συζευγμένα» Αναπαριστάνεται μέσα στην πιο αριθμητική επίσημη αριθμητική. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας αριθμός Gödel που ψηφιοποιεί αυτή τη δήλωση.

Φτάσαμε στο κρίσιμο σημείο της απόδειξης του Gödel. Έστω A μια έκφραση αριθμητικής τυπικής αριθμητικής που περιέχει κάποια ελεύθερη μεταβλητή. Αντί για αυτό, μπορείτε να κάνετε μια αντικατάσταση κάποιου όρου. Συγκεκριμένα, είναι δυνατό να αντικατασταθεί η έκφραση Α από την ίδια την έκφραση Α. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση αριθμού Α εκτελεί ταυτόχρονα δύο διαφορετικούς ρόλους (βλ. παραπάνω κατασκευές

Cantor και Richard): είναι τόσο η αληθινή έκφραση για την αντικατάσταση όσο και ο όρος που προκύπτει. Αυτή η ειδική αντικατάσταση θα συμβολίζεται ως Λοιπόν, ο τύπος σημαίνει ότι ο αριθμός είναι ο αριθμός Gödel που προκύπτει αντικαθιστώντας - στην έκφραση A:

Στη συνέχεια ο Gödel κατασκευάζει μια έκφραση (για την οποία δεν είναι γνωστό αν είναι θεώρημα ή μη θεώρημα) στην οποία εισάγει αυτήν την αντικατάσταση. Η έκφραση μοιάζει με αυτό:

Τρίτο στάδιο. Τελική αλλαγή

Στην αριθμητική τυπική αριθμητική, αυτή η έκφραση αναπαρίσταται σε αριθμητική μορφή. Έστω E ο αριθμός Gödel του. Δεδομένου ότι η έκφραση περιέχει μια ελεύθερη μεταβλητή, έχουμε το δικαίωμα να πραγματοποιήσουμε μια αντικατάσταση - αντικαθιστώντας τον αριθμό E και δηλώνοντας - αντικαθιστώντας το E:

Σημειώνουμε αυτή τη δεύτερη έκφραση με a και τον αριθμό Gödel της με E. Ας δώσουμε μια ερμηνεία της έκφρασης e.

Πρώτη ερμηνεία. Δεν υπάρχει τέτοιο ζεύγος για το οποίο θα ισχύουν ταυτόχρονα τα ακόλουθα: αφενός, T είναι ο αριθμός της αριθμητικής απόδειξης του θεωρήματος που αριθμήθηκε από μόνος του, και αφετέρου, θα υπήρχε αντικατάσταση Αλλά αφού υπάρχει το ίδιο μετασχηματισμός όπως και οι άλλοι, είναι αναπαραστάσιμος με όρους και με τον κωδικό συμβολισμό τους - αριθμοί Gödel και, επομένως, υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός. Τότε ίσως ο αριθμός Τ να μην υπάρχει.

Δεύτερη ερμηνεία. Δεν υπάρχει αριθμητική απόδειξη Τ του θεωρήματος που θα ήταν υποκατάσταση του Ε. Άρα, αν δεν υπάρχει απόδειξη, είναι επειδή δεν είναι θεώρημα από μόνο του. Αυτό οδηγεί σε μια τρίτη ερμηνεία.

Τρίτη ερμηνεία. Μια έκφραση για την οποία ο αριθμός Gödel είναι -αντικατάσταση του E δεν είναι θεώρημα στην αριθμητική τυπική αριθμητική. Αλλά εδώ έγκειται η αντίφαση, αφού από την κατασκευή είναι ο ίδιος μια -αντικατάσταση του Ε, και ο αριθμός δεν είναι κατά κατασκευή τίποτα άλλο από τον ίδιο τον αριθμό Ε. Αυτό συνεπάγεται την τελευταία ερμηνεία του e.

Ομολογώ ότι διάβασα την ίδια την ιδέα να εξετάσω το ζήτημα της ύπαρξης του Θεού από αυτή την πλευρά από τον Anatoly Alexandrovich Wasserman:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0 %BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92 %D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8. D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0. Β4.Δ1.8Β

Θα ήθελα όμως να αναπτύξω αυτή την ιδέα και να την περιγράψω λίγο πιο αναλυτικά.
Στη θρησκεία (όπως και όχι στη θρησκεία) υπάρχει κάποια αξιωματική κατασκευή. Τουλάχιστον στην ιδανική περίπτωση, αν δεν είναι απλώς μια τυφλή πεποίθηση, αλλά μια συνειδητή και ενημερωμένη επιλογή. Για παράδειγμα, το αξίωμα της φυσικής μπορεί να θεωρηθεί «η φύση γνωρίζεται με τη βοήθεια της λογικής και του λογικού συλλογισμού, όλοι οι νόμοι της φυσικής είναι οι ίδιοι σε όλα τα σημεία του χώρου και ανά πάσα στιγμή». Για παράδειγμα, η δήλωση «ο Θεός υπάρχει και είναι η βασική αιτία όλων των πραγμάτων» μπορεί να θεωρηθεί αξίωμα της θρησκείας. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι όλα τα πολυάριθμα στοιχεία και κλάδοι μπορούν να περιοριστούν σε μερικές πιο σημαντικές δηλώσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν με κανέναν τρόπο, που είναι τα ίδια τα αξιώματα.

Εξετάστε τις θρησκευτικές πεποιθήσεις από αυτές τις θέσεις. Το πιο σημαντικό αξίωμα της θρησκείας: «Ο Θεός υπάρχει και είναι η βασική αιτία όλων των πραγμάτων».
Τώρα ας θυμηθούμε ένα από τα πιο σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα, το θεώρημα του Γκέντελ.
http://elementy.ru/trefil/21142
Το αδύναμο θεώρημα του Gödel: «Οποιοδήποτε επίσημο σύστημα αξιωμάτων περιέχει ανεπίλυτες υποθέσεις» ή «αν ένα σύστημα αξιωμάτων είναι πλήρες, τότε είναι ασυνεπές».
Το ισχυρό θεώρημα του Gödel: "Η λογική πληρότητα (ή η ατελότητα) οποιουδήποτε συστήματος αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί σε αυτό το σύστημα. Απαιτούνται πρόσθετα αξιώματα (ενίσχυση του συστήματος) για να το αποδείξουμε ή να το διαψεύσουμε."

Ας θυμηθούμε ορισμένους ορισμούς. Ένα σύστημα αξιωμάτων είναι πλήρες εάν οποιαδήποτε δήλωση που διατυπώνεται για ένα δεδομένο σύστημα αξιωμάτων είναι αποδεδειγμένη (δηλαδή είναι αληθής ή ψευδής). Μια άλυτη υπόθεση είναι μια δήλωση σχετικά με την οποία δεν μπορεί να αποδειχθεί ούτε η αλήθεια ούτε η αναλήθεια της, δηλαδή η δήλωση δεν είναι λογικά αποδεδειγμένη. Ένα σύστημα αξιωμάτων είναι ασυνεπές εάν, σε σχέση με την ίδια δήλωση, μπορεί να αποδειχθεί τόσο η αλήθεια όσο και η ανακρίβειά του.

Από το θεώρημα του Godel προκύπτει ότι εάν η έννοια του Θεού περιλαμβάνεται σε ένα αξιωματικό σύστημα, τότε αυτό το σύστημα δεν είναι πλήρες, υπάρχουν δηλαδή συνέπειες (φαινόμενα) που δεν είναι αποδείξιμα, δηλαδή μπορεί να υπάρχουν ή να μην υπάρχουν, αυτό δεν αποδεικνύεται.
Αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις ακόλουθες δύο προτάσεις (διαλέξτε όποια είναι πιο πειστική): η φύση δεν περιέχει φαινόμενα που μπορούν να θεωρηθούν υπαρκτά και ανύπαρκτα, οποιοδήποτε φυσικό φαινόμενο είτε υπάρχει είτε δεν υπάρχει. Η δεύτερη διάταξη λέει ότι, εξ ορισμού, ο Θεός είναι η βασική αιτία των πάντων, επομένως ο Θεός είτε οδηγεί στην ύπαρξη κάποιων πραγμάτων (δηλώσεων) είτε στην ανυπαρξία τους, αναφερόμενος στον Θεό, μπορείτε είτε να αποδείξετε είτε να διαψεύσετε οποιαδήποτε δήλωση. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την ανεπάρκεια του συστήματος.

Ή αλλιώς. Εάν συμπεριλάβουμε την έννοια του Θεού σε ένα αξιωματικό σύστημα και υποθέσουμε ότι είναι πλήρης (οποιαδήποτε δήλωση σε ένα πλήρες σύνολο αξιωμάτων είναι αποδεδειγμένη), τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Gödel, ένα τέτοιο σύστημα αξιωμάτων θα είναι ασυνεπές, δηλαδή θα υπάρχει φαινόμενα για τα οποία μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχουν και δεν υπάρχουν.

Δεν έχει νόημα να περιλαμβάνεται ο Θεός σε ένα αντιφατικό σύστημα αξιωμάτων, αφού είναι αντιφατικό, δηλαδή περιέχει φαινόμενα για τα οποία μπορεί να αποδειχθεί ότι και τα δύο υπάρχουν και ότι δεν υπάρχουν, κάτι που, όπως ειπώθηκε, έρχεται σε αντίθεση με τη φύση και έννοια του Θεού.

Τέλος, αν η έννοια του Θεού δεν περιλαμβάνεται στο αξιωματικό σύστημα, τότε δεν μπορεί να θεωρηθεί η θεμελιώδης βάση του σύμπαντος, από την οποία απορρέουν ό,τι υπάρχει, που στην ουσία έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό του Θεού.

Για δικαιοσύνη αυτό το στοιχείοείναι απαραίτητο να αναγνωριστεί η εγκυρότητα των νόμων της μαθηματικής λογικής (προτασιακή λογική + λογισμός κατηγόρημα), οι οποίοι επιτρέπουν σε κάποιον να καθορίσει τους νόμους της συνέπειας, της αλήθειας, του ψευδούς, της ασυνέπειας, της συνέπειας των δηλώσεων και άλλων ιδιοτήτων και σχέσεων μεταξύ δηλώσεων.

Αν, όμως, υποθέσουμε ότι μαθηματική λογικήδεν ισχύει για τη μελέτη του ζητήματος της ύπαρξης του Θεού, τότε η συνέπεια δεν θα είναι η δυνατότητα διερεύνησης αυτού του ζητήματος με τη βοήθεια του συλλογισμού, με τη βοήθεια του λόγου. Με άλλα λόγια, ο συνεπής λόγος καταλήγει πάντα σε μια αρνητική απάντηση στο ερώτημα της ύπαρξης του Θεού.

Αυτό που συμβαίνει ως αποτέλεσμα… κάθε τουλάχιστον κάπως λογικό άτομο, φυσικά, αναγνωρίζει την εγκυρότητα των νόμων της λογικής, πράγμα που σημαίνει ότι καταλήγει πάντα στο συμπέρασμα ότι ο Θεός στον ορισμό της «αιτίας όλων των πραγμάτων» κάνει δεν υπάρχει. Ένα μη λογικό άτομο που ισχυρίζεται ότι ο Θεός μπορεί να γίνει γνωστός μόνο με τη βοήθεια των συναισθημάτων (και όχι της λογικής), φυσικά, μπορεί να το πει, αλλά δεν υπάρχει τρόπος να πειστεί κάποιος για αυτό, τα συναισθήματα δεν μπορούν να μεταφερθούν. Επιπλέον, η έννοια του Θεού είναι μια έννοια που διατυπώνεται από τη λογική. Το πώς προτείνεται να μεταφραστεί η έννοια του λόγου σε αίσθηση, ακόμη και έτσι ώστε να μπορεί να μεταφερθεί σε άλλο άτομο, δεν είναι σαφές. Και πάλι, τουλάχιστον ένας κάπως λογικός άνθρωπος θα πει ότι αυτό δεν είναι δυνατό: να μεταφράσει την αφηρημένη έννοια του λόγου σε συναίσθημα και να τον νιώσει.

Τέλος, υπάρχει μια άλλη επιλογή: «Ο Θεός δεν είναι η βασική αιτία των πάντων». Τότε δεν προκύπτουν τέτοιες αντιφάσεις, αλλά αυτό είναι μια σημαντική αποδυνάμωση της θέσης της θρησκείας, αφού ακριβώς το γεγονός ότι ο Θεός δημιούργησε τα πάντα, ότι ο Θεός είναι η αρχή όλων των αρχών, είναι το θεμέλιο για πολλές δηλώσεις θρησκείας και δικαιολογίες σε διαφωνίες.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ. Αξίζει να σημειωθεί ένα ακόμη περίεργο πράγμα, ήδη περίεργο για τους φυσικούς. ΣΤΟ αυτόν τον ορισμόΘεέ μου τίποτα δεν λέγεται για την ευφυΐα του. Δηλαδή, θα μπορούσε κανείς να προσθέσει «ο Θεός είναι η λογική αιτία των πάντων», αλλά αυτό είναι μια στένωση του ορισμού, που δεν απαιτείται αρχικά για απόδειξη. Χωρίς ευφυΐα, η έννοια του «Θεού» μπορεί εύκολα να αντικατασταθεί από τη «μοναδικότητα και μεγάλη έκρηξη- η αιτία όλων των πραγμάτων». Και η απάντηση θα είναι η ίδια: η μοναδικότητα και η μεγάλη έκρηξη δεν είναι η βασική αιτία όλων των πραγμάτων.
Έχοντας πραγματοποιήσει ακόμη περισσότερη αφαίρεση, μπορούμε να πούμε ότι ούτε ένα φαινόμενο ή λόγος δεν μπορεί να είναι η βασική αιτία όλων όσων υπάρχουν, δηλαδή η βασική αιτία δεν υπάρχει κατ' αρχήν. Διαφωνώντας στο πλαίσιο οποιασδήποτε αξιωματικής, μπορεί κανείς να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η βασική αιτία των πάντων δεν υπάρχει. Για να το θέσω πολύ απλά, ανεξάρτητα από το πόσο βαθιά γνωρίζουμε το σύμπαν, θα υπάρχουν πάντα ερωτήματα όπως: «από πού προήλθε η μεγάλη έκρηξη, από πού προήλθε η μοναδικότητα, από πού προήλθε το παλλόμενο σύμπαν, από πού προήλθε το πολυσύμπαν προέρχονται από, γιατί το σύμπαν υπάρχει πάντα;" και τα λοιπά. Η βασική αιτία των πάντων δεν μπορεί να βρεθεί καταρχήν, δεν εμπεριέχεται σε κανένα αντικείμενο, φαινόμενο ή έννοια. Επομένως, για ένα άτομο, αυτό ισοδυναμεί με την απουσία του. Θεωρητικά, είναι δυνατόν να υποθέσουμε την ύπαρξη ενός εξωτερικού παρατηρητή έξω από το σύμπαν μας, ο οποίος θα δώσει απάντηση στο ερώτημα από πού προήλθαν τα πάντα (το ίδιο πρόσθετο αξίωμα, επέκταση στο θεώρημα του Γκέντελ), αλλά τότε τίθεται το ερώτημα, πού προερχόταν ο εξωτερικός παρατηρητής, το σύμπαν του και η βασική αιτία όλων αυτών.

Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Kurt Gödel ήταν ένα σημείο καμπής στα μαθηματικά του 20ού αιώνα. Και στα χειρόγραφά του, που εκδόθηκαν μετά τον θάνατό του, διατηρήθηκε η λογική απόδειξη της ύπαρξης του Θεού. Στις τελευταίες χριστουγεννιάτικες αναγνώσεις, μια ενδιαφέρουσα αναφορά για αυτή τη ελάχιστα γνωστή κληρονομιά έγινε από τον Αναπληρωτή Καθηγητή της Θεολογικής Σχολής Tobolsk, Υποψήφιο Θεολογίας, Ιερέα Dimitri Kiryanov. Ο «NS» ζήτησε να εξηγήσει τις βασικές ιδέες του επιστήμονα.

Θεωρήματα μη πληρότητας Gödel: Μια τρύπα στα μαθηματικά

- Μπορείτε με κάποιο τρόπο να εξηγήσετε γενικά τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Gödel; Ο κουρέας ξυρίζει μόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Έχει κάποια σχέση αυτό το περίφημο παράδοξο;

Η κύρια θέση της λογικής απόδειξης της ύπαρξης του Θεού, που προτάθηκε από τον Kurt Gödel: "Ο Θεός υπάρχει στη σκέψη. Αλλά η ύπαρξη στην πραγματικότητα είναι μεγαλύτερη από την ύπαρξη μόνο στη σκέψη. Επομένως, ο Θεός πρέπει να υπάρχει." Στη φωτογραφία: ο συγγραφέας του θεωρήματος της μη πληρότητας Kurt Godel με τον φίλο του, συγγραφέα της θεωρίας της σχετικότητας Albert Einstein. Πρέστον. Αμερική. 1950

— Ναι, φυσικά και έχει. Πριν από τον Gödel, υπήρχε το πρόβλημα της αξιωματικοποίησης των μαθηματικών και το πρόβλημα τέτοιων παράδοξων προτάσεων που θα μπορούσαν επίσημα να γραφτούν σε οποιαδήποτε γλώσσα. Για παράδειγμα: "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής." Ποια είναι η αλήθεια αυτής της δήλωσης; Αν είναι αλήθεια, τότε είναι ψευδές, αν είναι ψευδές, τότε είναι αλήθεια. με αποτέλεσμα ένα γλωσσικό παράδοξο. Ο Gödel ερεύνησε την αριθμητική και έδειξε στα θεωρήματά του ότι η συνοχή της δεν μπορεί να αποδειχθεί από τις αυτονόητες αρχές της: τα αξιώματα της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, της διαίρεσης, του πολλαπλασιασμού κ.λπ. Χρειαζόμαστε κάποιες επιπλέον υποθέσεις για να το δικαιολογήσουμε. Είναι στο πολύ η απλούστερη θεωρία, αλλά τι γίνεται με πιο σύνθετες (εξισώσεις φυσικής κ.λπ.)! Για να δικαιολογήσουμε κάποιο συλλογιστικό σύστημα, αναγκαζόμαστε πάντα να καταφεύγουμε σε κάποιο πρόσθετο συλλογισμό, που δεν δικαιολογείται στα πλαίσια του συστήματος.

Πρώτα απ 'όλα, αυτό δείχνει τους περιορισμούς των αξιώσεων του ανθρώπινου νου στη γνώση της πραγματικότητας. Δηλαδή, δεν μπορούμε να πούμε ότι θα χτίσουμε κάποιου είδους ολοκληρωμένη θεωρία για το σύμπαν που θα εξηγεί τα πάντα - μια τέτοια θεωρία δεν μπορεί να είναι επιστημονική.

Πώς νιώθουν τώρα οι μαθηματικοί για τα θεωρήματα του Γκέντελ; Κανείς δεν προσπαθεί να τους διαψεύσει, με κάποιο τρόπο να φύγει;

«Είναι σαν να προσπαθείς να διαψεύσεις το Πυθαγόρειο θεώρημα. Τα θεωρήματα έχουν μια αυστηρή λογική απόδειξη. Ταυτόχρονα, γίνονται προσπάθειες να βρεθούν περιορισμοί στην εφαρμογή των θεωρημάτων του Gödel. Αλλά το μεγαλύτερο μέρος της διαμάχης περιστρέφεται γύρω από τις φιλοσοφικές επιπτώσεις των θεωρημάτων του Gödel.

Πόσο περίπλοκη είναι η απόδειξη του Gödel για την ύπαρξη του Θεού; Είναι τελειωμένο;

- Εργάστηκε λεπτομερώς, αν και ο ίδιος ο επιστήμονας δεν τόλμησε να το δημοσιεύσει μέχρι τον θάνατό του. Ο Gödel αναπτύσσει μια οντολογική (μεταφυσική. — "NS") ένα επιχείρημα που προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Anselm of Canterbury. Σε μια συμπυκνωμένη μορφή, αυτό το επιχείρημα μπορεί να εκφραστεί ως εξής: «Ο Θεός, εξ ορισμού, είναι Αυτός που είναι μεγαλύτερος από τον οποίο τίποτα δεν μπορεί να συλληφθεί. Ο Θεός υπάρχει στη σκέψη. Αλλά η ύπαρξη στην πραγματικότητα είναι μεγαλύτερη από την ύπαρξη μόνο στη σκέψη. Επομένως, ο Θεός πρέπει να υπάρχει». Το επιχείρημα του Anselm αναπτύχθηκε αργότερα από τον René Descartes και τον Gottfried Wilhelm Leibniz. Έτσι, σύμφωνα με τον Ντεκάρτ, το να σκέφτεσαι το Ανώτερο Τέλειο Όν, που στερείται ύπαρξης, σημαίνει να πέφτεις σε μια λογική αντίφαση. Στο πλαίσιο αυτών των ιδεών, ο Gödel αναπτύσσει τη δική του εκδοχή της απόδειξης· χωράει κυριολεκτικά σε δύο σελίδες. Δυστυχώς, η παρουσίαση του επιχειρήματός του είναι αδύνατη χωρίς την εισαγωγή μιας πολύ περίπλοκης τροπικής λογικής στα θεμέλια.

Φυσικά, η λογική άψογη των συμπερασμάτων του Γκόντελ δεν αναγκάζει έναν άνθρωπο να γίνει πιστός υπό την πίεση της δύναμης των αποδείξεων. Δεν πρέπει να είμαστε αφελείς και να πιστεύουμε ότι μπορούμε να πείσουμε οποιονδήποτε με λογική σκεπτόμενο άτομοπιστεύουν στον Θεό μέσω οντολογικών επιχειρημάτων ή άλλων αποδεικτικών στοιχείων. Η πίστη γεννιέται όταν κάποιος έρχεται πρόσωπο με πρόσωπο με την εμφανή παρουσία της υπέρτατης υπερβατικής Πραγματικότητας του Θεού. Αλλά υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο που το οντολογικό επιχείρημα οδήγησε στη θρησκευτική πίστη, και αυτός είναι ο συγγραφέας Clive Staples Lewis, ο οποίος το παραδέχτηκε ο ίδιος.

Το μακρινό μέλλον είναι το μακρινό παρελθόν

Πώς ένιωθαν οι σύγχρονοι του Gödel για αυτόν; Ήταν φίλος με κάποιον από τους μεγάλους επιστήμονες;

Ο βοηθός του Αϊνστάιν στο Πρίνστον το μαρτυρεί αυτό ο μόνος άνθρωποςμε τον οποίο ήταν φίλοι τα τελευταία χρόνιαη ζωή ήταν ο Kurt Gödel. Ήταν διαφορετικοί σχεδόν σε όλα - ο Αϊνστάιν είναι κοινωνικός, ευδιάθετος και ο Γκέντελ είναι εξαιρετικά σοβαρός, εντελώς μοναχικός και δύσπιστος. Είχαν όμως συνολική ποιότητα: και οι δύο πήγαν κατευθείαν και ειλικρινά στα κεντρικά ζητήματα της επιστήμης και της φιλοσοφίας. Παρά τη φιλία του με τον Αϊνστάιν, ο Γκέντελ είχε τη δική του συγκεκριμένη άποψη για τη θρησκεία. Απέρριψε την ιδέα του Θεού ως απρόσωπου όντος, όπως ήταν ο Θεός για τον Αϊνστάιν. Με την ευκαιρία αυτή ο Gödel παρατήρησε: «Η θρησκεία του Αϊνστάιν είναι πολύ αφηρημένη, όπως αυτή του Σπινόζα και της ινδικής φιλοσοφίας. Ο Θεός του Σπινόζα είναι λιγότερο από άτομο. Ο Θεός μου είναι κάτι περισσότερο από άτομο. γιατί ο Θεός μπορεί να παίξει το ρόλο ενός ανθρώπου». Μπορεί να υπάρχουν πνεύματα που δεν έχουν σώμα, αλλά μπορούν να επικοινωνήσουν μαζί μας και να επηρεάσουν τον κόσμο».

Πώς βρέθηκε ο Gödel στην Αμερική; Φεύγοντας από τους Ναζί;

- Ναι, ήρθε στην Αμερική το 1940 από τη Γερμανία, παρά το γεγονός ότι οι Ναζί τον αναγνώρισαν ως Άριο και σπουδαίο επιστήμονα, απελευθερώνοντάς τον από Στρατιωτική θητεία. Αυτός και η σύζυγός του Adele διέσχισαν τη Ρωσία κατά μήκος του Υπερσιβηρικού Σιδηροδρόμου. Δεν άφησε αναμνήσεις από αυτό το ταξίδι. Η Adele θυμάται μόνο συνεχής φόβοςτο βράδυ, ότι θα σταματήσουν και θα επιστρέψουν πίσω. Μετά από οκτώ χρόνια ζωής στην Αμερική, ο Gödel έγινε πολίτης των ΗΠΑ. Όπως όλοι οι αιτούντες υπηκοότητα, έπρεπε να απαντήσει σε ερωτήσεις σχετικά με το Σύνταγμα των ΗΠΑ. Όντας σχολαστικός άνθρωπος, προετοιμάστηκε για αυτή την εξέταση πολύ προσεκτικά. Τέλος, είπε ότι διαπίστωσε μια ασυνέπεια στο Σύνταγμα: «Ανακάλυψα μια λογικά θεμιτή πιθανότητα στην οποία οι ΗΠΑ θα μπορούσαν να γίνουν δικτατορία». Οι φίλοι του αναγνώρισαν ότι, ανεξάρτητα από τα λογικά πλεονεκτήματα του επιχειρήματος του Γκέντελ, αυτή η πιθανότητα ήταν καθαρά υποθετικής φύσεως και προειδοποίησαν κατά των μακροχρόνιων συζητήσεων για το θέμα στην εξέταση.

Χρησιμοποίησαν ο Γκέντελ και ο Αϊνστάιν τις ιδέες του άλλου; επιστημονική εργασία?

— Το 1949, ο Gödel εξέφρασε τις κοσμολογικές του ιδέες σε ένα μαθηματικό δοκίμιο, το οποίο, σύμφωνα με τον Albert Einstein, ήταν μια σημαντική συμβολή γενική θεωρίασχετικότητα. Ο Gödel πίστευε ότι ο χρόνος - "αυτή η μυστηριώδης και ταυτόχρονα αυτοαντιφατική οντότητα που αποτελεί τη βάση του κόσμου και της δικής μας ύπαρξης" - θα γινόταν τελικά μεγαλύτερη ψευδαίσθηση. «Κάποτε» θα πάψει να υπάρχει, και θα έρθει μια άλλη μορφή ύπαρξης, που μπορεί να ονομαστεί αιωνιότητα. Αυτή η ιδέα του χρόνου οδήγησε τον μεγάλο λογικό σε ένα απροσδόκητο συμπέρασμα. Έγραψε: «Είμαι πεπεισμένος για μια μεταθανάτια ζωή, ανεξάρτητα από τη θεολογία. Εάν ο κόσμος είναι κατασκευασμένος με έξυπνο τρόπο, τότε πρέπει να υπάρχει μια μεταθανάτια ζωή».

«Ο χρόνος είναι μια αυτοαντιφατική οντότητα». Ακούγεται περίεργο. έχει μερικά φυσική έννοια?

Ο Γκέντελ έδειξε ότι στο πλαίσιο της εξίσωσης του Αϊνστάιν είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα κοσμολογικό μοντέλο με κλειστό χρόνο, όπου το μακρινό παρελθόν και το απώτερο μέλλον συμπίπτουν. Σε αυτό το μοντέλο, γίνεται θεωρητικά πιθανό ταξίδιεγκαίρως. Ακούγεται περίεργο, αλλά είναι μαθηματικά εκφραστικό - αυτό είναι το θέμα. Αυτό το μοντέλο μπορεί να έχει ή να μην έχει πειραματικές επιπτώσεις. Είναι ένα θεωρητικό κατασκεύασμα που μπορεί να είναι χρήσιμο ή όχι στην κατασκευή νέων κοσμολογικών μοντέλων. Η σύγχρονη θεωρητική φυσική, ιδιαίτερα η κβαντική κοσμολογία, έχει μια τόσο περίπλοκη μαθηματική δομή που είναι πολύ δύσκολο να δοθεί σε αυτές τις δομές μια ξεκάθαρη φιλοσοφική κατανόηση. Επιπλέον, ορισμένες από τις θεωρητικές κατασκευές του είναι ακόμα πειραματικά μη επαληθεύσιμες για τον απλό λόγο ότι η επαλήθευση τους απαιτεί την ανίχνευση σωματιδίων πολύ υψηλής ενέργειας. Θυμηθείτε πώς οι άνθρωποι τρόμαξαν με την εκτόξευση του Large Hadron Collider: funds μέσα μαζικής ενημέρωσηςτρόμαζε συνεχώς τους ανθρώπους με την προσέγγιση του τέλους του κόσμου. Στην πραγματικότητα, ένα σοβαρό επιστημονικό πείραμανα δοκιμάσει μοντέλα κβαντικής κοσμολογίας και τις λεγόμενες «μεγάλες θεωρίες ενοποίησης». Εάν ήταν δυνατό να ανιχνευθούν τα λεγόμενα σωματίδια Higgs, τότε αυτό θα ήταν το επόμενο βήμα στην κατανόηση των περισσότερων πρώιμα στάδιατην ύπαρξη του σύμπαντος μας. Αλλά μέχρι να υπάρξουν πειραματικά δεδομένα, τα ανταγωνιστικά μοντέλα της κβαντικής κοσμολογίας συνεχίζουν να είναι απλώς μαθηματικά μοντέλα.

Πίστη και διαίσθηση

«…Ο Θεός μου είναι κάτι περισσότερο από άτομο. αφού ο Θεός μπορεί να παίξει το ρόλο ενός ατόμου…» Απέχει ακόμα η πίστη του Γκέντελ από την Ορθόδοξη ομολογία;

— Ελάχιστες από τις δηλώσεις του Γκέντελ για την πίστη του έχουν διατηρηθεί, συλλέγονται σπιθαμή προς σπιθαμή. Παρά το γεγονός ότι ο Gödel έκανε τα πρώτα προσχέδια της δικής του εκδοχής του επιχειρήματος ήδη από το 1941, μέχρι το 1970, φοβούμενος τη γελοιοποίηση των συναδέλφων του, δεν μίλησε για αυτό. Τον Φεβρουάριο του 1970, διαισθανόμενος τον θάνατό του να πλησιάζει, επέτρεψε στον βοηθό του να αντιγράψει μια εκδοχή της απόδειξης του. Μετά τον θάνατο του Gödel το 1978, μια ελαφρώς διαφορετική εκδοχή του οντολογικού επιχειρήματος βρέθηκε στις εργασίες του. Η σύζυγος του Kurt Gödel, Adele, είπε δύο ημέρες μετά τον θάνατο του συζύγου της ότι ο Gödel, «αν και δεν πήγαινε στην εκκλησία, ήταν θρησκευόμενος και διάβαζε τη Βίβλο στο κρεβάτι κάθε Κυριακή πρωί».

Όταν μιλάμε για επιστήμονες όπως ο Γκέντελ, ο Αϊνστάιν ή, ας πούμε, ο Γαλιλαίος ή ο Νεύτωνας, είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι δεν ήταν άθεοι. Είδαν ότι πίσω από το Σύμπαν υπάρχει ο Λόγος, ένας συγκεκριμένος Υψηλή ισχύς. Για πολλούς επιστήμονες, η πίστη στην ύπαρξη Ανώτατη Νοημοσύνηήταν μια από τις συνέπειες του επιστημονικού τους προβληματισμού και αυτός ο προβληματισμός δεν οδηγούσε πάντα στην εμφάνιση μιας βαθιάς θρησκευτικής σύνδεσης μεταξύ ανθρώπου και Θεού. Όσον αφορά τον Gödel, μπορεί κανείς να πει ότι ένιωθε την ανάγκη αυτής της σύνδεσης, αφού τόνισε ότι ήταν θεϊστής, ότι σκεφτόταν τον Θεό ως πρόσωπο. Αλλά, φυσικά, η πίστη του δεν μπορεί να ονομαστεί ορθόδοξη. Ήταν, θα λέγαμε, «Λουθηρανός του σπιτιού».

- Μπορείς να δώσεις ιστορικά παραδείγματα: Πώς πιστεύουν διαφορετικοί επιστήμονες στον Θεό; Εδώ είναι η γενετική του Francis Collins, σύμφωνα με τις ομολογίες του, η μελέτη της δομής του DNA οδήγησε στην πίστη στον Θεό ...

«Αυτή η φυσική γνώση του Θεού δεν αρκεί για τη γνώση του Θεού. Δεν αρκεί να ανακαλύψουμε τον Θεό μελετώντας τη φύση – είναι σημαντικό να μάθουμε να Τον γνωρίζουμε μέσω της Αποκάλυψης που έδωσε ο Θεός στον άνθρωπο. Η πίστη ενός ατόμου, είτε είναι επιστήμονας είτε όχι, βασίζεται πάντα σε κάτι που υπερβαίνει τα απλά λογικά ή επιστημονικά επιχειρήματα. Ο Φράνσις Κόλινς γράφει ότι ήρθε στην πίστη σε ηλικία 27 ετών μετά από μια μακρά διανοητική διαμάχη με τον εαυτό του και υπό την επιρροή του Κλάιβ Στέιπλς Λιούις. Δύο άνθρωποι βρίσκονται στην ίδια ιστορική κατάσταση, κάτω από τις ίδιες αρχικές συνθήκες: ο ένας γίνεται πιστός, ο άλλος άθεος. Η μελέτη του DNA από μόνη της οδηγεί στην πίστη στην ύπαρξη του Θεού. Ο άλλος μελετά και δεν έρχεται σε αυτό. Δύο άνθρωποι βλέπουν την εικόνα: ο ένας πιστεύει ότι είναι όμορφη και ο άλλος λέει: "Έτσι, μια συνηθισμένη εικόνα!" Ο ένας έχει γούστο, διαίσθηση και ο άλλος όχι. Καθηγούμενος του Ορθοδόξου Αγίου Τύχωνα ανθρωπιστικό πανεπιστήμιοΟ Vladimir Nikolaevich Katasonov, Διδάκτωρ Φιλοσοφίας, μαθηματικός από την πρώτη εκπαίδευση, λέει: «Καμία απόδειξη στα μαθηματικά δεν είναι δυνατή χωρίς διαίσθηση: ένας μαθηματικός βλέπει πρώτα μια εικόνα και μετά διατυπώνει μια απόδειξη».

Το ζήτημα της πίστης ενός ατόμου είναι πάντα ένα ερώτημα που υπερβαίνει τον απλό λογικό συλλογισμό. Πώς να εξηγήσετε τι σας οδήγησε στην πίστη; Ο άντρας απαντά: Πήγα στο ναό, σκέφτηκα, διάβασα αυτό και εκείνο, είδα την αρμονία του σύμπαντος. αλλά η πιο σημαντική, η πιο εξαιρετική στιγμή, κατά την οποία ένα άτομο συνειδητοποιεί ξαφνικά ότι έχει συναντήσει την παρουσία του Θεού, δεν μπορεί να εκφραστεί. Είναι πάντα μυστικό.

- Μπορείτε να εντοπίσετε προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν σύγχρονη επιστήμη?

— Παρόλα αυτά, η επιστήμη είναι μια επιχείρηση με αρκετή αυτοπεποίθηση, ανεξάρτητη και καλά εδραιωμένη για να μιλάει τόσο έντονα. Είναι ένα καλό και πολύ χρήσιμο εργαλείο στα χέρια του ανθρώπου. Από την εποχή του Φράνσις Μπέικον, η γνώση έχει γίνει πράγματι μια δύναμη που άλλαξε τον κόσμο. Η επιστήμη αναπτύσσεται σύμφωνα με τους εσωτερικούς της νόμους: ο επιστήμονας επιδιώκει να κατανοήσει τους νόμους του σύμπαντος και δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αυτή η αναζήτηση θα οδηγήσει στην επιτυχία. Αλλά ταυτόχρονα είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τα όρια της επιστήμης. Δεν πρέπει να συγχέουμε την επιστήμη με εκείνα τα ιδεολογικά ερωτήματα που μπορούν να τεθούν σε σχέση με την επιστήμη. Βασικά Θέματασήμερα συνδέονται όχι τόσο με την επιστημονική μέθοδο όσο με προσανατολισμούς αξίας. Η επιστήμη κατά τον μακρύ εικοστό αιώνα θεωρήθηκε από τους ανθρώπους ως ένα απόλυτο αγαθό που συμβάλλει στην πρόοδο της ανθρωπότητας. και βλέπουμε ότι ο εικοστός αιώνας έχει γίνει ο πιο σκληρός όσον αφορά τις ανθρώπινες απώλειες. Και μετά υπάρχει το ζήτημα των αξιών. επιστημονική πρόοδος, γνώση γενικά. Οι ηθικές αξίες δεν απορρέουν από την ίδια την επιστήμη. Ένας λαμπρός επιστήμονας μπορεί να εφεύρει ένα όπλο για την καταστροφή όλης της ανθρωπότητας και εδώ τίθεται το ερώτημα της ηθικής ευθύνης ενός επιστήμονα, στο οποίο η επιστήμη δεν μπορεί να απαντήσει. Η επιστήμη δεν μπορεί να υποδείξει στον άνθρωπο το νόημα και τον σκοπό της ύπαρξής του. Η επιστήμη δεν θα μπορέσει ποτέ να απαντήσει στο ερώτημα γιατί είμαστε εδώ; Γιατί υπάρχει το σύμπαν; Αυτά τα ερωτήματα λύνονται σε διαφορετικό επίπεδο γνώσης, όπως η φιλοσοφία και η θρησκεία.

— Εκτός από τα θεωρήματα του Γκέντελ, υπάρχει κάποια άλλη απόδειξη ότι η επιστημονική μέθοδος έχει τα όριά της; Οι ίδιοι οι επιστήμονες το αναγνωρίζουν αυτό;

- Ήδη στις αρχές του 20ου αιώνα, οι φιλόσοφοι Bergson και Husserl επεσήμαναν σχετική αξίαεπιστημονική γνώση της φύσης. Έχει γίνει πλέον μια σχεδόν καθολική πεποίθηση μεταξύ των φιλοσόφων της επιστήμης ότι οι επιστημονικές θεωρίες αντιπροσωπεύουν υποθετικά μοντέλα για την εξήγηση των φαινομένων. Ένας από τους δημιουργούς κβαντική μηχανικήΤο είπε ο Έρβιν Σρέντινγκερ στοιχειώδη σωματίδιαείναι μόνο εικόνες, αλλά μπορούμε χωρίς αυτές. Σύμφωνα με τον φιλόσοφο και λογικό Karl Popper, οι επιστημονικές θεωρίες είναι σαν ένα δίχτυ μέσα από το οποίο προσπαθούμε να πιάσουμε τον κόσμο, δεν είναι σαν τις φωτογραφίες. Οι επιστημονικές θεωρίες βρίσκονται σε συνεχή εξέλιξη και αλλαγή. Οι δημιουργοί της κβαντικής μηχανικής, όπως οι Pauli, Bohr, Heisenberg μίλησαν για τα όρια της επιστημονικής μεθόδου. Ο Pauli έγραψε: «...Η φυσική και η ψυχή μπορούν να θεωρηθούν ως πρόσθετες πτυχέςτην ίδια πραγματικότητα» - και επικεντρώθηκε στην αναγωγιμότητα υψηλότερα επίπεδαόντας προς τα κάτω. Διάφορες εξηγήσεις καλύπτουν μόνο μία πτυχή της ύλης κάθε φορά, αλλά μια ολοκληρωμένη θεωρία δεν θα επιτευχθεί ποτέ.

Η ομορφιά και η αρμονία του σύμπαντος συνεπάγεται τη δυνατότητα της γνώσης του επιστημονικές μεθόδους. Ταυτόχρονα, οι Χριστιανοί πάντα κατανοούσαν το ακατανόητο του μυστηρίου πίσω από αυτό το υλικό σύμπαν. Το σύμπαν δεν έχει θεμέλια από μόνο του και δείχνει την τέλεια πηγή ύπαρξης - τον Θεό.

Με ενδιαφέρει εδώ και καιρό τι είναι το συγκλονιστικό θεώρημα Gödel. Και πώς είναι χρήσιμο για τη ζωή. Και τελικά μπόρεσα να το καταλάβω.

Η πιο δημοφιλής διατύπωση του θεωρήματος είναι:
«Οποιοδήποτε σύστημα μαθηματικών αξιωμάτων, ξεκινώντας από ένα ορισμένο επίπεδο πολυπλοκότητας, είναι είτε εσωτερικά ασυνεπές είτε ελλιπές.

Θα το μετέφραζα σε μια ανθρώπινη μη μαθηματική γλώσσα όπως αυτή (αξίωμα είναι η αρχική θέση μιας θεωρίας, που γίνεται αποδεκτή στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας ως αληθής χωρίς να απαιτείται απόδειξη και χρησιμοποιείται ως βάση για την απόδειξη των άλλων διατάξεών της). Στη ζωή, αξίωμα είναι οι αρχές που ακολουθεί ένα άτομο, η κοινωνία, επιστημονική κατεύθυνση, δηλώνει. Μεταξύ των εκπροσώπων της θρησκείας, τα αξιώματα ονομάζονται δόγματα. Κατά συνέπεια, οποιαδήποτε αρχή μας, οποιοδήποτε σύστημα απόψεων, ξεκινώντας από ένα ορισμένο επίπεδο, γίνεται εσωτερικά αντιφατικό ή ελλιπές. Για να πειστεί κανείς για την αλήθεια μιας ορισμένης δήλωσης, θα πρέπει να υπερβεί το δεδομένο σύστημα απόψεων και να οικοδομήσει ένα νέο. Θα είναι όμως και ατελής. Δηλαδή η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΗ. Ο κόσμος δεν μπορεί να γίνει πλήρως γνωστός μέχρι να φτάσουμε στην πηγή.

"... αν θεωρήσουμε την ικανότητα λογικής λογικής ως το κύριο χαρακτηριστικό του ανθρώπινου νου ή τουλάχιστον το κύριο εργαλείο του, τότε το θεώρημα του Γκέντελ υποδεικνύει άμεσα τις περιορισμένες δυνατότητες του εγκεφάλου μας. Συμφωνήστε ότι είναι πολύ δύσκολο για ένα άτομο που φέρεται με βάση την πίστη στην άπειρη δύναμη της σκέψης να αποδεχθεί τη θέση για τα όρια της δύναμής της… Πολλοί ειδικοί πιστεύουν ότι οι τυπικές-υπολογιστικές, «αριστοτελικές» διαδικασίες που κρύβονται λογική σκέψη, είναι μόνο ένα μέρος ανθρώπινη συνείδηση. Η άλλη του περιοχή, ουσιαστικά «μη υπολογιστική», είναι υπεύθυνη για εκδηλώσεις όπως η διαίσθηση, οι δημιουργικές ιδέες και η κατανόηση. Και αν το πρώτο μισό του μυαλού εμπίπτει στους περιορισμούς του Gödel, τότε το δεύτερο μισό είναι απαλλαγμένο από τέτοια όρια... Ο φυσικός Roger Penrose προχώρησε ακόμη περισσότερο. Πρότεινε την ύπαρξη κάποιων κβαντικών επιδράσεων μη υπολογιστικής φύσης, που εξασφαλίζουν την πραγματοποίηση δημιουργικών πράξεων συνείδησης... Μία από τις πολλές συνέπειες της υπόθεσης Penrose μπορεί να είναι, ειδικότερα, το συμπέρασμα ότι τεχνητή νοημοσύνημε βάση τις σύγχρονες υπολογιστικές συσκευές, ακόμα κι αν η έλευση των κβαντικών υπολογιστών θα οδηγήσει σε μια μεγαλειώδη ανακάλυψη στον τομέα της τεχνολογίας υπολογιστών. Το γεγονός είναι ότι οποιοσδήποτε υπολογιστής μπορεί να μοντελοποιήσει όλο και με μεγαλύτερη ακρίβεια το έργο της τυπικής-λογικής, «υπολογιστικής» δραστηριότητας της ανθρώπινης συνείδησης, αλλά οι «μη υπολογιστικές» ικανότητες της νόησης είναι απρόσιτες σε αυτόν.

Μια σημαντική συνέπεια του θεωρήματος του Gödel είναι το συμπέρασμα ότι δεν μπορεί κανείς να σκεφτεί στα άκρα. Πάντα μέσα υπάρχουσα θεωρίαυπάρχει μια δήλωση που δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευστεί. Ή, με άλλα λόγια, σε κάποια δήλωση υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι που τη διαψεύδει.

Επόμενο συμπέρασμα. Το καλό και το κακό είναι μόνο οι 2 όψεις του ίδιου νομίσματος, χωρίς τις οποίες δεν μπορεί να υπάρξει. Και προέρχεται από την αρχή ότι στο Σύμπαν υπάρχει μόνο μία πηγή για τα πάντα: το καλό και το κακό, η αγάπη και το μίσος, η ζωή και ο θάνατος.

Οποιαδήποτε δήλωση πληρότητας του συστήματος είναι ψευδής. Δεν μπορείτε να βασιστείτε σε δόγματα, γιατί αργά ή γρήγορα θα διαψευστούν.

Υπό αυτή την έννοια, οι σύγχρονες θρησκείες βρίσκονται σε κρίσιμη θέση: τα δόγματα της εκκλησίας αντιτίθενται στην ανάπτυξη των ιδεών μας για τον κόσμο. Προσπαθούν να στριμώξουν τα πάντα στο πλαίσιο άκαμπτων εννοιών. Αυτό όμως οδηγεί στο γεγονός ότι από τον Μονοθεϊσμό, από την μοναδική πηγή όλων φυσικές διαδικασίεςπροχωρούν στον παγανισμό, όπου υπάρχουν δυνάμεις του καλού και δυνάμεις του κακού, υπάρχει ένας θεός του καλού κάπου μακριά στον παράδεισο, και υπάρχει ένας διάβολος (ο θεός του κακού), που έχει από καιρό βάλει το πόδι του σε όλα όσα είναι στη Γη. Αυτή η προσέγγιση οδηγεί στη διαίρεση όλων των ανθρώπων σε φίλους και εχθρούς, δίκαιους και αμαρτωλούς, πιστούς και αιρετικούς, φίλους και εχθρούς.

Εδώ είναι ένα άλλο μικρό κείμενο που αποκαλύπτει ευρέως την ουσία που προκύπτει από το θεώρημα του Gödel:
«Μου φαίνεται ότι αυτό το θεώρημα έχει ένα σημαντικό φιλοσοφικό νόημα. Μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές:

α) Η θεωρία είναι ελλιπής, δηλ. με όρους θεωρίας, μπορεί κανείς να διατυπώσει ένα ερώτημα στο οποίο είναι αδύνατο να εξαχθεί είτε θετική είτε αρνητική απάντηση από τα αξιώματα/αξιώματα της θεωρίας. Ταυτόχρονα, απαντήσεις σε όλα αυτά τα ερωτήματα μπορούν να δοθούν στο πλαίσιο μιας πιο ολοκληρωμένης θεωρίας, στην οποία η παλιά θα αποτελεί ειδική περίπτωση. Αλλά αυτό νέα θεωρίαθα έχει τα δικά του «αναπάντητα ερωτήματα» και ούτω καθεξής επί άπειρον.

β) Ολοκληρωμένο, αλλά αντιφατικό. Οποιαδήποτε ερώτηση μπορεί να απαντηθεί, αλλά ορισμένες ερωτήσεις μπορούν να απαντηθούν με ναι και όχι ταυτόχρονα.

Οι επιστημονικές θεωρίες είναι του πρώτου τύπου. Είναι συνεπείς, αλλά αυτό σημαίνει ότι δεν περιγράφουν τα πάντα. Δεν μπορεί να υπάρξει "τελικός" επιστημονική θεωρία. Οποιαδήποτε θεωρία είναι ελλιπής και δεν περιγράφει κάτι, ακόμα κι αν δεν γνωρίζουμε ακόμη τι είναι. Μπορεί κανείς μόνο να δημιουργήσει όλο και πιο ολοκληρωμένες θεωρίες. Για μένα προσωπικά, αυτό είναι ένας λόγος αισιοδοξίας, γιατί σημαίνει ότι η πρόοδος της επιστήμης δεν θα σταματήσει ποτέ.

Ο «Παντοδύναμος Θεός» ανήκει στον δεύτερο τύπο. Ο Παντοδύναμος Θεός είναι η απάντηση σε κάθε ερώτηση. Και αυτό σημαίνει αυτόματα ότι οδηγεί σε λογικό παραλογισμό. Παράδοξα όπως η «βαριά πέτρα» μπορούν να εφευρεθούν κατά παρτίδες.

Ολα για όλα, επιστημονική γνώσηείναι αλήθεια (συνεπής), αλλά σε κάθε δεδομένη στιγμή δεν περιγράφει τα πάντα. Ταυτόχρονα, τίποτα δεν εμποδίζει να σπρώξουμε τα όρια του γνωστού στο άπειρο, όλο και περισσότερο και αργά ή γρήγορα κάθε άγνωστο γίνεται γνωστό. Η θρησκεία ισχυρίζεται ότι Πλήρης περιγραφήκόσμο "αυτή τη στιγμή", αλλά είναι αυτόματα λάθος (παράλογο)."

Κάποτε, όταν μόλις ξεκινούσα το δικό μου ενήλικη ζωήΠρογραμματιζα. Και υπήρχε μια τέτοια αρχή: αν γίνουν πολλές διορθώσεις στο πρόγραμμα, πρέπει να ξαναγραφτεί ξανά. Αυτή η αρχή, κατά τη γνώμη μου, αντιστοιχεί στο θεώρημα του Godel. Εάν το πρόγραμμα γίνει πιο περίπλοκο, γίνεται ασυνεπές. Και δεν θα λειτουργήσει σωστά.

Άλλο ένα παράδειγμα από τη ζωή. Ζούμε σε μια εποχή που οι υπάλληλοι λένε ότι η βασική αρχή της ύπαρξης πρέπει να είναι ο νόμος. Το νομικό σύστημα δηλαδή. Αλλά μόλις η νομοθεσία γίνεται πιο περίπλοκη και η θέσπιση κανόνων ανθίζει, οι νόμοι αρχίζουν να έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους. Αυτό που βλέπουμε τώρα. Δεν μπορείς ποτέ να δημιουργήσεις νομικό σύστημα, που θα προέγραφε όλες τις πτυχές της ζωής. Από την άλλη, θα ήταν δίκαιο για όλους. Γιατί οι περιορισμοί της κατανόησής μας για τον κόσμο θα βγαίνουν πάντα. Και οι ανθρώπινοι νόμοι θα αρχίσουν κάποια στιγμή να έρχονται σε σύγκρουση με τους νόμους του σύμπαντος. Καταλαβαίνουμε πολλά πράγματα διαισθητικά. Επίσης διαισθητικά, πρέπει να κρίνουμε τις πράξεις των άλλων ανθρώπων. Αρκεί το κράτος να έχει σύνταγμα. Και στηριζόμενη στα άρθρα αυτού του συντάγματος, να ρυθμίζει τις σχέσεις στην κοινωνία. Αλλά αργά ή γρήγορα, το σύνταγμα θα πρέπει να αλλάξει.

Η ΧΡΗΣΗ είναι ένα άλλο παράδειγμα της πλάνης των ιδεών μας για τις ανθρώπινες δυνατότητες. Προσπαθούμε να δοκιμάσουμε τις υπολογιστικές δυνατότητες του εγκεφάλου σε μια εξέταση. Αλλά οι διαισθητικές ικανότητες στο σχολείο έχουν πάψει να αναπτύσσονται. Όμως ο άνθρωπος δεν είναι βιορομπότ. Είναι αδύνατο να δημιουργηθεί ένα σύστημα βαθμολόγησης που θα μπορούσε να αποκαλύψει όλες τις δυνατότητες που ενυπάρχουν σε έναν άνθρωπο, στη συνείδησή του, στο υποσυνείδητό του και στον ψυχισμό του.

Πριν από σχεδόν 100 χρόνια, ο Gödel έκανε ένα απίστευτο βήμα στην κατανόηση των νόμων του σύμπαντος. Και ακόμα δεν μπορέσαμε να το χρησιμοποιήσουμε, θεωρώντας αυτό το θεώρημα ως εξαιρετικά εξειδικευμένο μαθηματικό πρόβλημαγια έναν στενό κύκλο ανθρώπων που ασχολούνται με κάποια αφηρημένα θέματα στον δικό τους κύκλο. Μαζί με κβαντική θεωρίακαι τις διδασκαλίες του Χριστού, το θεώρημα του Γκέντελ μας δίνει τη δυνατότητα να ξεφύγουμε από την αιχμαλωσία των ψευδών δογμάτων, να ξεπεράσουμε την κρίση που εξακολουθεί να επιμένει στην κοσμοθεωρία μας. Και ο χρόνος τελειώνει.