a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Lahendus. otsib üldine lahendus võrrandisüsteemid

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussi meetod. Selleks kirjutame selle homogeense süsteemi koordinaatidesse:

Süsteemi maatriks

Lubatud süsteemil on vorm: (r A = 2, n= 3). Süsteem on koostööaldis ja ebakindel. Selle üldine lahendus ( x 2 – vaba muutuja): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Näiteks nullist erineva konkreetse lahenduse olemasolu näitab, et vektorid a 1 , a 2 , a 3 lineaarselt sõltuv.

Näide 2.

Uurige, kas see süsteem lineaarselt sõltuvad või lineaarselt sõltumatud vektorid:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Lahendus. Vaatleme homogeenset võrrandisüsteemi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

või laiendatud kujul (koordinaatide järgi)

Süsteem on homogeenne. Kui see pole degenereerunud, on sellel ainulaadne lahendus. Juhul homogeenne süsteem– null (triviaalne) lahendus. See tähendab, et antud juhul on vektorite süsteem sõltumatu. Kui süsteem on degenereerunud, siis on sellel nullist erinevad lahendused ja seetõttu on see sõltuv.

Kontrollime süsteemi degeneratsiooni suhtes:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Süsteem on mittedegenereerunud ja seega ka vektorid a 1 , a 2 , a 3 lineaarselt sõltumatu.

Ülesanded. Uurige, kas antud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv või lineaarselt sõltumatu:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Tõesta, et vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui see sisaldab:

a) kaks võrdset vektorit;

b) kaks võrdelist vektorit.

Ülesanne 1. Uurige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu. Vektorite süsteemi täpsustab süsteemi maatriks, mille veerud koosnevad vektorite koordinaatidest.

.

Lahendus. Laske lineaarne kombinatsioon võrdne nulliga. Pärast selle võrrandi kirjutamist koordinaatidesse saame järgmise võrrandisüsteemi:

.

Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse kolmnurkseks. Tal on ainult üks lahendus . Seega vektorid lineaarselt sõltumatu.

2. ülesanne. Uurige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu.

.

Lahendus. Vektorid on lineaarselt sõltumatud (vt ülesanne 1). Tõestame, et vektor on vektorite lineaarne kombinatsioon . Vektori laienduskoefitsiendid määratakse võrrandisüsteemist

.

Sellel süsteemil, nagu ka kolmnurksel, on ainulaadne lahendus.

Seetõttu vektorite süsteem lineaarselt sõltuv.

Kommenteeri. Nimetatakse sama tüüpi maatrikseid nagu ülesandes 1 kolmnurkne ja ülesandes 2 – astmeline kolmnurkne . Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse küsimus on kergesti lahendatav, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev maatriks on astmeline kolmnurkne. Kui maatriksil pole eritüüp, seejärel kasutades elementaarsed stringide teisendused , säilitades veergudevahelised lineaarsed suhted, saab selle taandada astmelise kolmnurkse vormini.

Elementaarsed teisendused read maatriksites (EPS) nimetatakse maatriksiga järgmisi tehteid:

1) paelte ümberpaigutamine;

2) stringi korrutamine nullist erineva arvuga;

3) stringile teise stringi lisamine, mis on korrutatud suvalise arvuga.

3. ülesanne. Leidke maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem ja arvutage vektorite süsteemi järk

.

Lahendus. Taandagem EPS-i kasutava süsteemi maatriks astmelisele kolmnurksele kujule. Protseduuri selgitamiseks tähistame joont teisendatava maatriksi numbriga sümboliga . Noole järel olev veerg tähistab teisendatava maatriksi ridadega seotud toiminguid, mis tuleb teha uue maatriksi ridade saamiseks.

.

Ilmselt on saadud maatriksi kaks esimest veergu lineaarselt sõltumatud, kolmas veerg on nende lineaarne kombinatsioon ja neljas ei sõltu kahest esimesest. Vektorid nimetatakse põhilisteks. Need moodustavad süsteemi maksimaalse lineaarselt sõltumatu alamsüsteemi , ja süsteemi auaste on kolm.

Alus, koordinaadid

4. ülesanne. Leia hulgal selle aluse vektorite alus ja koordinaadid geomeetrilised vektorid, mille koordinaadid vastavad tingimusele .

Lahendus. Hulk on alguspunkti läbiv tasapind. Tasapinnal olev suvaline alus koosneb kahest mittekollineaarsest vektorist. Vektorite koordinaadid valitud baasis määratakse vastava lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise teel.

Selle probleemi lahendamiseks on veel üks viis, kui leiate aluse koordinaatide abil.

Koordinaadid ruumid ei ole tasapinna koordinaadid, kuna need on seotud suhtega st nad ei ole iseseisvad. Sõltumatud muutujad ja (neid nimetatakse vabadeks) määravad üheselt tasapinnal vektori ja seetõttu saab neid valida koordinaatideks . Siis alus koosneb vektoritest, mis asuvad vabade muutujate hulgal ja vastavad neile Ja , see tähendab.

5. ülesanne. Leidke selle aluse vektorite alus ja koordinaadid kõigi ruumivektorite hulgast, mille paaritu koordinaadid on üksteisega võrdsed.

Lahendus. Valime, nagu eelmises ülesandes, koordinaadid ruumis.

Sest , siis vabad muutujad määravad unikaalselt vektori alates ja on seetõttu koordinaadid. Vastav alus koosneb vektoritest.

6. ülesanne. Leidke selle aluse vektorite alus ja koordinaadid vormi kõigi maatriksite hulgast , Kus - suvalised arvud.

Lahendus. Iga maatriks alates on unikaalselt esitatav kujul:

See seos on vektori laienemine aluse suhtes
koordinaatidega .

Ülesanne 7. Leidke vektorite süsteemi lineaarse kere mõõde ja alus

.

Lahendus. EPS-i abil teisendame maatriksi süsteemivektorite koordinaatidest samm-kolmnurkseks vormiks.

.

Veerud viimased maatriksid on lineaarselt sõltumatud ja veerud lineaarselt väljendatud nende kaudu. Seetõttu vektorid moodustavad aluse , Ja .

Kommenteeri. Alus sisse valitakse kahemõtteliselt. Näiteks vektorid moodustavad ka aluse .

Vektorite lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus.
Vektorite alused. Afiinne koordinaatsüsteem

Auditooriumis on käru šokolaadiga ja iga tänane külastaja saab endale magusapaari - analüütilise geomeetria koos lineaaralgebraga. See artikkel hõlmab kahte osa korraga. kõrgem matemaatika, ja vaatame, kuidas nad ühes ümbrises läbi saavad. Tehke paus, sööge Twixi! ...kurat, milline jama. Kuigi, okei, ma ei löö, peaks lõpuks õppimisse suhtuma positiivselt.

Vektorite lineaarne sõltuvus, lineaarvektori sõltumatus, vektorite alus ja teistel terminitel pole mitte ainult geomeetriline tõlgendus, vaid eelkõige algebraline tähendus. Lineaaralgebra seisukohast ei ole „vektori” mõiste alati see „tavaline” vektor, mida saaksime tasapinnal või ruumis kujutada. Tõestust pole vaja kaugelt otsida, proovige joonistada viiemõõtmelise ruumi vektor . Või ilmavektor, mille pärast just Gismeteos käisin: – temperatuur ja atmosfäärirõhk vastavalt. Näide on omaduste seisukohalt muidugi vale vektorruum, kuid sellegipoolest ei keela keegi neid parameetreid vektorina vormistada. Sügise hingeõhk...

Ei, ma ei hakka teid tüütama teooriaga, lineaarsete vektorruumidega, ülesanne on aru saada definitsioonid ja teoreemid. Uued terminid (lineaarsõltuvus, sõltumatus, lineaarne kombinatsioon, alus jne) kehtivad algebralisest vaatepunktist kõikidele vektoritele, kuid tuuakse geomeetrilised näited. Seega on kõik lihtne, ligipääsetav ja selge. Lisaks analüütilise geomeetria probleemidele käsitleme ka mõnda tüüpilised ülesanded algebra Materjali omandamiseks on soovitatav tutvuda õppetundidega Mannekeenide vektorid Ja Kuidas determinanti arvutada?

Tasapinnavektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Tasapinnaline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Mõelgem teie arvutilaua tasapinnale (ainult laud, öökapp, põrand, lagi, mis iganes teile meeldib). Ülesanne koosneb järgmistest toimingutest:

1) Valige tasapinna alus. Jämedalt öeldes on lauaplaadil pikkus ja laius, seega on intuitiivne, et aluse loomiseks on vaja kahte vektorit. Ühest vektorist selgelt ei piisa, kolm vektorit on liiga palju.

2) Valitud alusel määrata koordinaatsüsteem(koordinaatide ruudustik), et määrata koordinaadid kõigile tabeli objektidele.

Ärge imestage, esialgu jäävad selgitused näppu. Pealegi sinu oma. Palun asetage vasak nimetissõrm lauaplaadi servale, nii et ta vaatab monitori. Sellest saab vektor. Nüüd koht väike sõrm parem käsi laua servale samamoodi - nii, et see on suunatud monitori ekraanile. Sellest saab vektor. Naerata, sa näed hea välja! Mida me saame vektorite kohta öelda? Andmevektorid kollineaarne, mis tähendab lineaarne väljendatakse üksteise kaudu:
, hästi või vastupidi: , kus mõni arv erineb nullist.

Pilti sellest tegevusest näete klassis. Mannekeenide vektorid, kus selgitasin vektori arvuga korrutamise reeglit.

Kas teie sõrmed panevad aluse arvutilaua tasapinnale? Ilmselgelt mitte. Kollineaarsed vektorid liiguvad edasi-tagasi risti üksi suunas ning tasapinnal on pikkus ja laius.

Selliseid vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv.

Viide: Sõnad "lineaarne", "lineaarselt" tähistavad asjaolu, et in matemaatilised võrrandid, avaldised ei sisalda ruute, kuupe, muid astmeid, logaritme, siinusi jne. On ainult lineaarsed (1. astme) avaldised ja sõltuvused.

Kaks tasapinnalist vektorit lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed.

Ristke oma sõrmed lauale nii, et nende vahel oleks mis tahes nurk peale 0 või 180 kraadi. Kaks tasapinnalist vektoritlineaarne Mitte sõltuvad siis ja ainult siis, kui need ei ole kollineaarsed. Niisiis, alus on saadud. Pole vaja häbeneda, et alus osutus erineva pikkusega mitteperpendikulaarsete vektoritega “viltuks”. Varsti näeme, et selle ehitamiseks ei sobi mitte ainult 90-kraadine nurk, vaid mitte ainult võrdse pikkusega ühikvektorid

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis laiendatakse vastavalt alustele:
, kus on reaalarvud. Numbritele helistatakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Samuti öeldakse, et vektoresitatakse kui lineaarne kombinatsioon baasvektorid. See tähendab, et väljendit nimetatakse vektori laguneminealusel või lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Näiteks võime öelda, et vektor on lagundatud piki tasandi ortonormaalset alust, või võime öelda, et see on esitatud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Sõnastame aluse määratlus ametlikult: Lennuki alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittekollineaarsete) vektorite paariks, , samal ajal ükskõik milline tasapinnaline vektor on baasvektorite lineaarne kombinatsioon.

Definitsiooni oluline punkt on asjaolu, et vektorid on võetud kindlas järjekorras. Alused - need on absoluutselt kaks erinevad alused! Nagu öeldakse, ei saa te vasaku käe väikest sõrme parema käe väikese sõrme asemel asendada.

Oleme aluse välja mõelnud, kuid sellest ei piisa koordinaatide ruudustiku seadmisest ja igale arvutilaua elemendile koordinaatide määramisest. Miks sellest ei piisa? Vektorid on vabad ja liiguvad läbi kogu tasapinna. Niisiis, kuidas määrata koordinaadid neile väikestele määrdunud kohtadele, mis on jäänud metsikust nädalavahetusest järele? Lähtepunkti on vaja. Ja selline maamärk on kõigile tuttav punkt – koordinaatide päritolu. Saame aru koordinaatide süsteemist:

Alustan "kooli" süsteemist. Juba sissejuhatavas tunnis Mannekeenide vektorid Tõin esile mõned erinevused ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja ortonormaalse aluse vahel. Siin on standardpilt:

Kui nad räägivad ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis enamasti tähendavad need koordinaatide päritolu, koordinaatteljed ja mõõtkava piki telge. Proovige otsingumootorisse sisestada "ristkülikukujuline koordinaatsüsteem" ja näete, et paljud allikad räägivad teile 5.-6. klassist tuttavatest koordinaattelgedest ja punktide joonistamisest tasapinnal.

Teisest küljest tundub, et ristkülikukujuline süsteem koordinaate saab täielikult määrata ortonormaalse aluse kaudu. Ja see on peaaegu tõsi. Sõnastus on järgmine:

päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline tasapinnaline koordinaatide süsteem . See tähendab, ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kindlasti on defineeritud ühe punkti ja kahe ühikulise ortogonaalvektoriga. Sellepärast näete joonist, mille ma ülal andsin - sisse geomeetrilised probleemid Sageli (kuid mitte alati) joonistatakse nii vektoreid kui ka koordinaatide telgi.

Ma arvan, et kõik saavad aru, et kasutada punkti (päritolu) ja ortonormaalset alust MIS TAHES PUNKTI lennukis ja mistahes VEKTOR lennukis koordinaate saab määrata. Piltlikult öeldes "lennukis saab kõike nummerdada."

Kas koordinaatvektorid peavad olema ühikulised? Ei, neil võib olla suvaline nullist erinev pikkus. Vaatleme punkti ja kahte suvalise nullist erineva pikkusega ortogonaalvektorit:

Sellist alust nimetatakse ortogonaalne. Koordinaatide alguspunktid vektoritega on määratletud koordinaatide ruudustikuga ja igal tasapinna punktil, igal vektoril on oma koordinaadid etteantud alusel. Näiteks või. Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et koordinaatvektorid V üldine juhtum on erineva pikkusega peale ühtsuse. Kui pikkused on võrdsed ühtsusega, siis saadakse tavaline ortonormaalne alus.

! Märkus : ortogonaalses aluses, samuti allpool tasapinna ja ruumi afiinsetes alustes arvestatakse ühikuid piki telge TINGIMUSLIK. Näiteks üks ühik piki x-telge sisaldab 4 cm, üks ühik piki ordinaattelge sisaldab 2 cm Sellest teabest piisab, et vajaduse korral "mittestandardsed" koordinaadid "meie tavalisteks sentimeetriteks" teisendada.

Ja teine ​​küsimus, millele tegelikult juba vastatud on, kas baasvektorite vaheline nurk peab olema võrdne 90 kraadiga? Ei! Nagu definitsioon ütleb, peavad baasvektorid olema ainult mittekollineaarne. Vastavalt sellele võib nurk olla mis tahes peale 0 ja 180 kraadi.

Punkt lennukis kutsus päritolu, Ja mittekollineaarne vektorid, , komplekt afiintasandi koordinaatide süsteem :

Mõnikord nimetatakse sellist koordinaatsüsteemi kaldus süsteem. Näidetena on joonisel näidatud punktid ja vektorid:

Nagu te mõistate, on afiinne koordinaatsüsteem veelgi vähem mugav vektorite ja segmentide pikkuste valemid, mida me õppetunni teises osas käsitlesime, selles ei tööta; Mannekeenide vektorid, palju maitsvaid valemeid, mis on seotud vektorite skalaarkorrutis. Kuid kehtivad vektorite lisamise ja vektori arvuga korrutamise reeglid, segmendi jagamise valemid selles seoses, aga ka mõned muud tüüpi probleemid, mida peagi kaalume.

Ja järeldus on, et kõige mugavam erijuhtum afiinne süsteem koordinaadid on Descartes'i ristkülikukujuline süsteem. Sellepärast pead sa teda kõige sagedamini nägema, mu kallis. ...Kõik siin elus on aga suhteline - on palju olukordi, kus kaldus nurk (või mõni muu nt. polaarne) koordinaatsüsteem. Ja humanoididele võivad sellised süsteemid meeldida =)

Liigume edasi praktilise osa juurde. Kõik ülesanded see õppetund kehtib nii ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kui ka üldise afiinse käände puhul. Siin pole midagi keerulist, kogu materjal on kättesaadav isegi koolilapsele.

Kuidas määrata tasapinnaliste vektorite kollineaarsust?

Tüüpiline asi. Selleks, et kaks tasapinnalist vektorit olid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed Põhimõtteliselt on see ilmse seose koordinaatide-koordinaatide haaval üksikasjalik kirjeldus.

Näide 1

a) Kontrollige, kas vektorid on kollineaarsed .
b) Kas vektorid moodustavad aluse? ?

Lahendus:
a) Uurime, kas vektorite jaoks on olemas proportsionaalsuskoefitsient, nii et võrdsused on täidetud:

Ma räägin teile kindlasti selle reegli rakendamise "lobavast" versioonist, mis praktikas töötab üsna hästi. Mõte on kohe proportsioon välja mõelda ja vaadata, kas see on õige:

Teeme vektorite vastavate koordinaatide suhetest proportsiooni:

Lühendame:
, seega on vastavad koordinaadid võrdelised, seega

Suhe võiks olla vastupidine, see on samaväärne variant:

Enesetesti jaoks saate kasutada tõsiasja, et kollineaarsed vektorid lineaarselt väljendatud üksteise kaudu. IN antud juhul on võrdsused . Nende kehtivust saab hõlpsasti kontrollida vektoritega tehtavate elementaarsete toimingute abil:

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Uurime vektorite kollineaarsust . Loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et teisest võrrandist järeldub, et mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole vektorite vastavad koordinaadid võrdelised.

Järeldus: vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Lahenduse lihtsustatud versioon näeb välja selline:

Teeme vektorite vastavatest koordinaatidest proportsiooni :
, mis tähendab, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Tavaliselt ei lükka arvustajad seda võimalust tagasi, kuid probleem tekib juhtudel, kui mõned koordinaadid on võrdsed nulliga. nagu see: . Või niimoodi: . Või niimoodi: . Kuidas siin proportsiooni läbi töötada? (tõepoolest, te ei saa nulliga jagada). Just sel põhjusel nimetasin lihtsustatud lahendust "foppiks".

Vastus: a) , b) vorm.

Väike loominguline eeskuju Sest sõltumatu otsus:

Näide 2

Millise parameetri väärtuse juures on vektorid kas need on kollineaarsed?

Näidislahenduses leitakse parameeter proportsiooni kaudu.

Vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks on olemas elegantne algebraline viis. Süstematiseerime oma teadmised ja lisame need viienda punktina:

Kahe tasapinnalise vektori puhul on järgmised väited samaväärsed:

2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole kollineaarsed;

+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev.

vastavalt järgmised vastupidised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltuvad;
2) vektorid ei moodusta alust;
3) vektorid on kollineaarsed;
4) vektoreid saab üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga.

Ma väga-väga loodan, et nüüdseks olete juba aru saanud kõikidest terminitest ja väidetest, millega olete kokku puutunud.

Vaatame lähemalt uut, viiendat punkti: kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:. Selle funktsiooni rakendamiseks peate loomulikult suutma seda teha leidma determinante.

Otsustame Näide 1 teisel viisil:

a) Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed.

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Vastus: a) , b) vorm.

See näeb välja palju kompaktsem ja ilusam kui proportsioonidega lahendus.

Vaadeldava materjali abil on võimalik tuvastada mitte ainult vektorite kollineaarsust, vaid ka tõestada lõikude ja sirgete paralleelsust. Vaatleme paari probleemi konkreetsete geomeetriliste kujunditega.

Näide 3

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on rööpkülik.

Tõestus: Ülesandes pole vaja joonist luua, kuna lahendus on puhtalt analüütiline. Meenutagem rööpküliku määratlust:
Paralleelogramm Nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Seega on vaja tõestada:
1) vastaskülgede paralleelsus ja;
2) vastaskülgede paralleelsus ja.

Tõestame:

1) Leidke vektorid:

2) Leidke vektorid:

Tulemuseks on sama vektor (“kooli järgi” – võrdsed vektorid). Kollineaarsus on üsna ilmne, kuid parem on otsus vormistada selgelt, kokkuleppega. Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed ja .

Järeldus: Vastasküljed nelinurgad on paarikaupa paralleelsed, mis tähendab, et see on definitsiooni järgi rööpkülik. Q.E.D.

Veel häid ja erinevaid figuure:

Näide 4

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on trapets.

Tõestuse rangemaks sõnastamiseks on muidugi parem saada trapetsi definitsioon, kuid piisab, kui lihtsalt meeles pidada, kuidas see välja näeb.

See on ülesanne, mille peate ise lahendama. Täielik lahendus tunni lõpus.

Ja nüüd on aeg aeglaselt lennukist kosmosesse liikuda:

Kuidas määrata ruumivektorite kollineaarsust?

Reegel on väga sarnane. Selleks, et kaks ruumivektorit oleksid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid võrdelised.

Näide 5

Uurige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:

A) ;
b)
V)

Lahendus:
a) Kontrollime, kas vektorite vastavate koordinaatide jaoks on olemas proportsionaalsustegur:

Süsteemil pole lahendust, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

“Lihtsustatud” vormistatakse proportsiooni kontrollimisega. Sel juhul:
– vastavad koordinaadid ei ole proportsionaalsed, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

Vastus: vektorid ei ole kollineaarsed.

b-c) Need on punktid iseseisvaks otsustamiseks. Proovige seda kahel viisil.

On olemas meetod ruumivektorite kollineaarsuse kontrollimiseks kolmandat järku determinandi abil, seda meetodit artiklis käsitletud Vektorite vektorkorrutis.

Sarnaselt tasapinnalise juhtumiga saab vaadeldavaid tööriistu kasutada ruumilõikude ja sirgete paralleelsuse uurimiseks.

Tere tulemast teise sektsiooni:

Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus kolmemõõtmelises ruumis.
Ruumiline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Paljud mustrid, mida me lennukis uurisime, kehtivad ruumi jaoks. Püüdsin teooriamärkmeid minimeerida, kuna lõviosa teabest on juba näritud. Sissejuhatav osa soovitan siiski hoolega läbi lugeda, sest ilmuvad uued terminid ja mõisted.

Nüüd uurime arvutilaua tasapinna asemel kolmemõõtmelist ruumi. Esiteks loome selle aluse. Keegi on praegu toas, keegi on väljas, kuid igal juhul ei pääse me kolmest mõõtmest: laius, pikkus ja kõrgus. Seetõttu on aluse loomiseks vaja kolme ruumivektorit. Ühest või kahest vektorist ei piisa, neljas on üleliigne.

Ja jälle soojendame end sõrmedel. Palun tõstke oma käsi üles ja sirutage see laiali erinevad küljed pöial, nimetissõrm ja keskmine sõrm. Need on vektorid, nad näevad eri suundades, on erineva pikkusega ja nende vahel on erinevad nurgad. Õnnitleme, kolmemõõtmelise ruumi alus on valmis! Muide, seda pole vaja õpetajatele demonstreerida, ükskõik kui kõvasti sõrmi keerata, aga definitsioonidest pole pääsu =)

Järgmiseks küsime oluline küsimus, kas mis tahes kolm vektorit moodustavad aluse kolmemõõtmeline ruum ? Vajutage kolm sõrme tugevalt arvutilaua ülaosale. Mis juhtus? Kolm vektorit asuvad samas tasapinnas ja jämedalt öeldes oleme kaotanud ühe mõõtme - kõrguse. Sellised vektorid on koplanaarne ja on täiesti ilmne, et kolmemõõtmelise ruumi alust ei looda.

Tuleb märkida, et samatasandilised vektorid ei pea asuma samal tasapinnal; paralleelsed tasapinnad(ära tee seda sõrmedega, ainult Salvador Dali tõmbas sel teel maha =)).

Definitsioon: kutsutakse vektoreid koplanaarne, kui on tasapind, millega nad on paralleelsed. Loogiline on siia lisada, et kui sellist tasandit ei eksisteeri, siis vektorid ei ole ka tasapinnalised.

Kolm samatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltuvad, see tähendab, et neid väljendatakse lineaarselt üksteise kaudu. Lihtsuse huvides kujutame taas ette, et need asuvad samal tasapinnal. Esiteks, vektorid ei ole mitte ainult koplanaarsed, vaid võivad olla ka kollineaarsed, siis saab mis tahes vektorit väljendada mis tahes vektori kaudu. Teisel juhul, kui näiteks vektorid ei ole kollineaarsed, siis kolmandat vektorit väljendatakse nende kaudu ainulaadsel viisil: (ja miks, seda on lihtne arvata eelmise jaotise materjalide põhjal).

Tõsi on ka vastupidine: kolm mittetasatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltumatud, see tähendab, et need ei väljendu kuidagi üksteise kaudu. Ja ilmselgelt saavad ainult sellised vektorid moodustada kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Definitsioon: Kolmemõõtmelise ruumi alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittetasandiliste) vektorite kolmikuks, võetud kindlas järjekorras, ja mis tahes ruumivektorit ainus viis laguneb antud alusel, kus on selle aluse vektori koordinaadid

Tuletan teile meelde, et võime ka öelda, et vektor on esitatud kujul lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Koordinaatsüsteemi mõiste tutvustatakse täpselt samamoodi nagu jaoks lame korpus, piisab ühest punktist ja mis tahes kolm ei ole lineaarsed sõltuvad vektorid:

päritolu, Ja mitte-tasapinnaline vektorid, võetud kindlas järjekorras, komplekt kolmemõõtmelise ruumi afiinne koordinaatsüsteem :

Muidugi on koordinaatide ruudustik “kaldus” ja ebamugav, kuid sellegipoolest võimaldab konstrueeritud koordinaatsüsteem meil kindlasti määrata mis tahes vektori koordinaadid ja mis tahes ruumipunkti koordinaadid. Sarnaselt tasapinnaga ei tööta mõned valemid, mida ma juba mainisin, ruumi afiinses koordinaatsüsteemis.

Nagu kõik arvavad, on afiinse koordinaatsüsteemi kõige tuttavam ja mugavam erijuhtum ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem:

Punkt ruumis nimega päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem . Tuttav pilt:

Enne praktiliste ülesannete juurde asumist süstematiseerime teabe uuesti:

Sest kolm vektorit space järgmised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltumatud;
2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole tasapinnalised;
4) vektoreid ei saa üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant erineb nullist.

Ma arvan, et vastupidised väited on arusaadavad.

Ruumivektorite lineaarset sõltuvust/sõltumatust kontrollitakse traditsiooniliselt determinandi abil (punkt 5). Ülejäänud praktilisi ülesandeid on väljendunud algebralise iseloomuga. On aeg riputada geomeetriapulk ja näppida lineaaralgebra pesapallikurikat:

Kolm ruumivektorit on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga: .

Juhin tähelepanu väikesele tehnilisele nüansile: vektorite koordinaate saab kirjutada mitte ainult veergudesse, vaid ka ridadesse (determinandi väärtus seetõttu ei muutu - vt determinantide omadused). Kuid veergudes on see palju parem, kuna see on kasulikum mõne praktilise probleemi lahendamisel.

Neile lugejatele, kes on determinantide arvutamise meetodid pisut unustanud või võivad neist vähe aru saada, soovitan ühte oma vanimat õppetundi: Kuidas determinanti arvutada?

Näide 6

Kontrollige, kas järgmised vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse:

Lahendus: Tegelikult taandub kogu lahendus determinandi arvutamisele.

a) Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi (determinant kuvatakse esimesel real):

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud (mitte tasapinnalised) ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Vastus: need vektorid moodustavad aluse

b) See on sõltumatu otsuse punkt. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Saage tuttavaks ja loomingulised ülesanded:

Näide 7

Millise parameetri väärtuse korral on vektorid tasapinnalised?

Lahendus: vektorid on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:

Põhimõtteliselt peate lahendama võrrandi determinandiga. Hüppame nullidele alla nagu tuulelohed jerboadele - kõige parem on avada determinant teisel real ja kohe miinustest lahti saada:

Teostame täiendavaid lihtsustusi ja taandame asja kõige lihtsamale lineaarvõrrand:

Vastus: kell

Seda on siin lihtne kontrollida. Selleks peate asendama saadud väärtuse algse määrajaga ja veenduma selles , avage see uuesti.

Kokkuvõtteks vaatame veel üht tüüpiline ülesanne, mis on olemuselt algebralisem ja kuulub traditsiooniliselt lineaaralgebra käigus. See on nii tavaline, et väärib oma teemat:

Tõesta, et 3 vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse
ja leida sellel alusel 4. vektori koordinaadid

Näide 8

Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad aluse kolmemõõtmelises ruumis ja leidke selles baasis vektori koordinaadid.

Lahendus: Esiteks käsitleme tingimust. Tingimuse järgi on antud neli vektorit ja nagu näha, on neil juba mingis aluses koordinaadid. Mis see alus on, meid ei huvita. Ja järgmine asi pakub huvi: kolm vektorit võivad moodustada uue aluse. Ja esimene etapp langeb täielikult kokku näite 6 lahendusega, on vaja kontrollida, kas vektorid on tõesti lineaarselt sõltumatud:

Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

! Tähtis : vektori koordinaadid Tingimataüles kirjutama veergudesse determinant, mitte stringides. Vastasel juhul tekib edasises lahendusalgoritmis segadus.

Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on numbreid, millest vähemalt üks erineb nullist, nii et võrdsus https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Kui see võrdsus on täidetud ainult juhul, kui kõik , siis kutsutakse vektorite süsteemi lineaarselt sõltumatu.

Teoreem. Vektorsüsteem teeb lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vähemalt üks selle vektor on teiste lineaarne kombinatsioon.

Näide 1. Polünoom on polünoomide lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polünoomid moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi, kuna polünoom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Näide 2. Maatrikssüsteem , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> on lineaarselt sõltumatu, kuna lineaarne kombinatsioon on võrdne nullmaatriks ainult juhul, kui https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineaarselt sõltuv.

Lahendus.

Teeme nendest vektoritest lineaarse kombinatsiooni https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" kõrgus = 22">.

Samanimeliste koordinaatide võrdsustamine võrdsed vektorid, saame https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Lõpuks saame

Ja

Süsteemil on ainult üks triviaalne lahendus, seetõttu on nende vektorite lineaarne kombinatsioon võrdne nulliga ainult juhul, kui kõik koefitsiendid on nulliga võrdsed. Seetõttu on see vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

Näide 4. Vektorid on lineaarselt sõltumatud. Millised saavad olema vektorsüsteemid?

a).;

b).?

Lahendus.

a). Teeme lineaarse kombinatsiooni ja võrdsustame selle nulliga

Kasutades lineaarruumis vektoritega tehte omadusi, kirjutame vormi viimase võrrandi ümber

Kuna vektorid on lineaarselt sõltumatud, peavad koefitsiendid for olema võrdsed nulliga, st.gif" width="12" height="23 src=">

Saadud võrrandisüsteemil on ainulaadne triviaalne lahendus .

Alates võrdsusest (*) käivitatakse ainult siis, kui https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineaarselt sõltumatu;

b). Teeme võrdsuse https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Sarnast arutluskäiku rakendades saame

Lahendades võrrandisüsteemi Gaussi meetodil, saame

või

Viimasel süsteemil on lõpmatu hulk lahendusi https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Seega on olemas nullist erinev koefitsientide kogum, mille võrdsus hoiab (**) . Seetõttu vektorite süsteem - lineaarselt sõltuv.

Näide 5 Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu ja vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Võrdsuses (***) . Tõepoolest, kell , oleks süsteem lineaarselt sõltuv.

Suhtest (***) saame või Tähistame .

Me saame

Iseseisva lahendamise ülesanded (klassiruumis)

1. Nullvektorit sisaldav süsteem on lineaarselt sõltuv.

2. Süsteem, mis koosneb ühest vektorist A, on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, a=0.

3. Kahest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vektorid on võrdelised (st üks neist saadakse teisest arvuga korrutades).

4. Kui k on lineaarne sõltuv süsteem kui lisate vektori, saate lineaarselt sõltuva süsteemi.

5. Kui lineaarsest sõltumatu süsteem eemaldada vektor, siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

6. Kui süsteem S on lineaarselt sõltumatu, kuid muutub vektori lisamisel lineaarselt sõltuvaks b, siis vektor b lineaarselt väljendatud süsteemivektorite kaudu S.

c). Maatriksite süsteem , , teist järku maatriksite ruumis.

10. Olgu vektorite süsteem a,b,c vektorruum on lineaarselt sõltumatu. Tõesta lineaarne iseseisvus järgmised süsteemid vektorid:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– suvaline arv

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lase a,b,c– kolm vektorit tasapinnal, millest saab moodustada kolmnurga. Kas need vektorid on lineaarselt sõltuvad?

12. Antud on kaks vektorit a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Leidke veel kaks neljamõõtmelist vektorit a3 jaa4 nii et süsteem a1,a2,a3,a4 oli lineaarselt sõltumatu .

Et kontrollida, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, tuleb koostada nendest vektoritest lineaarne kombinatsioon ja kontrollida, kas see võib olla null, kui vähemalt üks koefitsient on võrdne nulliga.

Juhtum 1. Vektorite süsteem on antud vektoritega

Lineaarse kombinatsiooni tegemine

Oleme saanud homogeense võrrandisüsteemi. Kui sellel on nullist erinev lahendus, peab determinant olema võrdne nulliga. Koostame determinandi ja leiame selle väärtuse.

Determinant on null, seetõttu on vektorid lineaarselt sõltuvad.

Juhtum 2. Vektorite süsteemi määratlevad analüütilised funktsioonid:

a)
, kui identiteet on tõene, on süsteem lineaarselt sõltuv.

Teeme lineaarse kombinatsiooni.

Tuleb kontrollida, kas on olemas a, b, c (millest vähemalt üks ei ole võrdne nulliga), mille puhul see avaldis on võrdne nulliga.

Kirjutame hüperboolsed funktsioonid

,
, Siis

siis on vektorite lineaarne kombinatsioon järgmine:

Kus
, võtame näiteks, siis lineaarne kombinatsioon on null, seega on süsteem lineaarselt sõltuv.

Vastus: süsteem on lineaarselt sõltuv.

b)
, teeme lineaarse kombinatsiooni

Lineaarne vektorite kombinatsioon peab x mis tahes väärtuste korral olema võrdne nulliga.

Kontrollime erijuhtumeid.

Lineaarne vektorite kombinatsioon on võrdne nulliga ainult siis, kui kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga.

Seetõttu on süsteem lineaarselt sõltumatu.

Vastus: süsteem on lineaarselt sõltumatu.

5.3. Leidke mingi alus ja määrake lineaarse lahendusruumi mõõde.

Moodustame laiendatud maatriksi ja taandame selle Gaussi meetodil trapetsi kujule.

Aluse saamiseks asendame suvalised väärtused:

Võtame ülejäänud koordinaadid

Vastus:

5.4. Leia vektori X koordinaadid baasis, kui see on baasis antud.

Vektori koordinaatide leidmine uues baasis taandub võrrandisüsteemi lahendamisele

1. meetod. Otsimine üleminekumaatriksi abil

Loome üleminekumaatriksi

Leiame valemi abil uues baasis vektori

Leiame pöördmaatriksi ja sooritame korrutamise

,

2. meetod. Leidmine võrrandisüsteemi koostamise teel.

Koostame baaskoefitsientidest baasvektorid

,
,

Vektori leidmisel uues baasis on vorm

, Kus d See antud vektor x.

Saadud võrrandi saab lahendada mis tahes viisil, vastus on sarnane.

Vastus: vektor uuel alusel
.

5.5. Olgu x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . Kas järgmised teisendused on lineaarsed?

Koostame etteantud vektorite kordajatest lineaaroperaatorite maatriksid.

Kontrollime iga lineaarse operaatori maatriksi lineaartehte omadust.

Vasaku poole leiame maatriksi korrutamisega A vektorile

Õige külje leiame, korrutades antud vektori skalaariga
.

Me näeme seda
See tähendab, et teisendus ei ole lineaarne.

Kontrollime teisi vektoreid.

, teisendus ei ole lineaarne.

, teisendus on lineaarne.

Vastus: Oh- Mitte lineaarne teisendus, sisse- mitte lineaarne, Cx- lineaarne.

Märkus. Antud vektoreid hoolikalt vaadates saate seda ülesannet palju lihtsamalt täita. IN Oh näeme, et on termineid, mis ei sisalda elemente X, mida ei saanud lineaarse operatsiooni tulemusena saada. IN sisse element on olemas X kolmandale astmele, mida samuti ei saanud vektoriga korrutades saada X.

5.6. Antud x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Ax = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Tehke määratud toiming: ( A ( B – A )) x .

Kirjutame üles lineaaroperaatorite maatriksid.

Teeme maatriksitega tehte

Korrutades saadud maatriksi X-ga, saame

Vastus: