Kuidas lahendada võrrandeid nimetajaga. Ratsionaalvõrrandid – teadmiste hüpermarket

Smirnova Anastasia Jurievna

Tunni tüüp:õppetund uue materjali õppimiseks.

Organisatsiooni vorm haridustegevus : eesmine, individuaalne.

Tunni eesmärk: tutvustada uut tüüpi võrrandeid - murdratsionaalvõrrandeid, anda ettekujutus murdvõrrandite lahendamise algoritmist ratsionaalsed võrrandid.

Tunni eesmärgid.

Hariduslik:

• murdratsionaalvõrrandi mõiste moodustamine;
• kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga;
• õpetada murdartsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi abil.

Arenguline:

• luua tingimused omandatud teadmiste rakendamise oskuste arendamiseks;
• edendada arengut kognitiivne huviõpilased ainesse;
• arendada õpilaste analüüsi-, võrdlemis- ja järelduste tegemise oskust;
• vastastikuse kontrolli ja enesekontrolli oskuste arendamine, tähelepanu, mälu, suulise ja kirjutamine, iseseisvus.

Harivad:

• kognitiivse huvi edendamine aine vastu;
• iseseisvuse edendamine otsuste tegemisel hariduslikud ülesanded;
• tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Varustus:õpik, tahvel, värvipliiatsid.

Õpik "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G ​​Mindyuk, K.I.Neshkov, toimetanud S.A. Telyakovsky. Moskva "valgustus". 2010. aasta

Peal see teema on ette nähtud viis tundi. See õppetund on esimene. Peamine on uurida murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi ja harjutada seda algoritmi harjutustes.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Täna tahaksin alustada meie õppetundi neljahäälikuga:
Et kõigi elu lihtsamaks teha,
Mis oleks otsustatud, mis oleks võimalik,
Naeratage, palju õnne kõigile,
Et probleeme ei tekiks,
Naeratasime üksteisele ja lõime hea tuju ja asus tööle.

Tahvlile on kirjutatud võrrandid, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

Võrratusi, mille vasak ja parem pool on murdarvulised ratsionaalavaldised, nimetatakse murdratsionaalvõrranditeks. Mis te arvate, mida me täna tunnis uurime? Sõnastage tunni teema. Niisiis, avage märkmikud ja kirjutage üles tunni teema "Murdratsionaalvõrrandite lahendamine".

2. Teadmiste uuendamine. Frontaalne uuring, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida peame õppima uus teema. Palun vastake järgmistele küsimustele:

1. Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)
2. Mis on võrrandi number 1 nimi? ( Lineaarne.) Meetod lineaarvõrrandite lahendamiseks. ( Liigutage kõik, kus on tundmatu, võrrandist vasakule, kõik numbrid paremale. Plii sarnased terminid. Leidke tundmatu tegur).
3. Mis on võrrandi number 3 nimi? ( Ruut.) Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. (P valemite kohta)
4. Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on õige, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)
5. Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saad võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.)
6. Millal on murd võrdne nulliga? ( Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null..)

3. Uue materjali selgitus.

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 2.

Vastus: 10.

Millist murdratsionaalvõrrandit saate proportsiooni põhiomaduse abil lahendada? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 4.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Vastus: 3;4.

Vaatleme võrrandite nagu võrrandi nr 7 lahendamist järgmistes õppetundides.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Idee on õpilastel endiselt olemas kõrvaline juur pole kohtunud, on neil tõesti väga raske mõista, miks see juhtus. Kui keegi klassis ei oska antud olukorrale selget selgitust anda, esitab õpetaja suunavaid küsimusi.

• Mille poolest võrrandid nr 2 ja 4 erinevad võrranditest nr 5 ja 6? ( Valemites nr 2 ja 4 on nimetajas numbrid, nr 5-6 - muutujaga avaldised.)
• Mis on võrrandi juur? ( Muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeseks.)
• Kuidas teada saada, kas arv on võrrandi juur? ( Tehke kontroll.)

Testimisel märkab mõni õpilane, et peab jagama nulliga. Nad järeldavad, et arvud 0 ja 5 ei ole juured antud võrrand. Tekib küsimus: kas on olemas viis murdartsionaalvõrrandite lahendamiseks, mis võimaldab meil kõrvaldada see viga? Jah, see meetod põhineb tingimusel, et murdosa on võrdne nulliga.

Proovime sõnastada sellisel viisil murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

1. Liigutage kõik vasakule küljele.
2. Teisenda murrud ühine nimetaja.
3. Loo süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole võrdne nulliga.
4. Lahenda võrrand.
5. Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.
6. Kirjutage vastus üles.

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise olenevalt võrrandi tüübist. Ülesanded õpikust “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600(b,c); nr 601(a,e). Õpetaja jälgib ülesande täitmist, vastab tekkivatele küsimustele ja osutab abi vähestest tulemustest õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 - kõrvaline juur. Vastus: 3.

c) 2 - kõrvaline juur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

5. Kodutööde seadmine.

1. Lugege õpikust lõiget 25, analüüsige näiteid 1-3.
2. Õppige murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.
3. Lahenda vihikutes nr 600 (d, d); 601(g,h).

6. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega, õppisime neid võrrandeid lahendama erinevatel viisidel. Sõltumata sellest, kuidas lahendate murdarvulisi ratsionaalvõrrandeid, mida peaksite meeles pidama? Mis on murdratsionaalvõrrandite "kavalus"?

Aitäh kõigile, tund on läbi.

Täisarvuline avaldis on matemaatiline avaldis, mis koosneb arvudest ja literaalsetest muutujatest, kasutades liitmise, lahutamise ja korrutamise toiminguid. Täisarvud hõlmavad ka avaldisi, mis hõlmavad jagamist mis tahes arvuga peale nulli.

Murdarvulise ratsionaalse avaldise mõiste

Murdlause on matemaatiline avaldis, mis lisaks numbrite ja tähtmuutujatega tehtavatele liitmise, lahutamise ja korrutamise ning nulliga mittevõrdse arvuga jagamise operatsioonidele sisaldab ka jagamist tähtmuutujatega avaldisteks.

Ratsionaalväljendid on kõik täis- ja murdavaldised. Ratsionaalvõrrandid on võrrandid, mille vasak ja parem pool on ratsionaalsed avaldised. Kui ratsionaalses võrrandis on vasak ja parem pool täisarvulised avaldised, siis sellist ratsionaalset võrrandit nimetatakse täisarvuks.

Kui ratsionaalses võrrandis on vasak või parem pool murdosa avaldised, siis nimetatakse sellist ratsionaalset võrrandit murdarvuks.

Näited murdosa ratsionaalsetest avaldistest

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Murdratsionaalvõrrandi lahendamise skeem

1. Leia kõigi võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja.

2. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga.

3. Lahendage saadud koguvõrrand.

4. Kontrollige juuri ja välistage need, mis muudavad ühisnimetaja kaduma.

Kuna me lahendame murdarvulisi ratsionaalvõrrandeid, on murdude nimetajates muutujad. See tähendab, et neist saab ühine nimetaja. Ja algoritmi teises punktis korrutame ühise nimetajaga, siis võivad ilmneda kõrvalised juured. Kui ühisnimetaja on võrdne nulliga, mis tähendab, et sellega korrutamine on mõttetu. Seetõttu on lõpuks vaja saadud juuri kontrollida.

Vaatame näidet:

Lahendage murdartsionaalvõrrand: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Jääme kinni üldine skeem: Leiame esmalt kõigi murdude ühisnimetaja. Saame x*(x-5).

Korrutage iga murdosa ühise nimetajaga ja kirjutage saadud koguvõrrand.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Lihtsustame saadud võrrandit. Saame:

x^2+3*x + x-5 - x -5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Saame lihtsa taandatud ruutvõrrandi. Lahendame selle ükskõik millisega tuntud meetodid, saame juured x=-2 ja x=5.

Nüüd kontrollime saadud lahendusi:

Asendage numbrid -2 ja 5 ühise nimetajaga. Kui x=-2, ühisnimetaja x*(x-5) ei kao, -2*(-2-5)=14. See tähendab, et arv -2 on algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi juur.

Kui x=5 muutub ühisnimetaja x*(x-5) nulliks. Seetõttu ei ole see arv algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi juur, kuna toimub jagamine nulliga.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

• murdratsionaalvõrrandite mõiste moodustamine;
• kaaluda erinevaid võimalusi murdratsionaalvõrrandite lahendamiseks;
• kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga;
• õpetada murdratsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi abil;
• teema valdamise taseme kontrollimine testi läbiviimisega.

Arenguline:

• arendada oskust omandatud teadmistega õigesti opereerida ja loogiliselt mõelda;
• intellektuaalsete oskuste arendamine ja vaimsed operatsioonid- analüüs, süntees, võrdlus ja süntees;
• algatusvõime, otsustusvõime arendamine ja mitte sellega peatuda;
• arengut kriitiline mõtlemine;
• uurimisoskuste arendamine.

Harivad:

• kognitiivse huvi edendamine aine vastu;
• iseseisvuse edendamine haridusprobleemide lahendamisel;
• tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Tunni tüüp: õppetund - uue materjali selgitus.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Tahvlile on kirjutatud võrrandid, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

Võrratusi, mille vasak ja parem pool on murdarvulised ratsionaalavaldised, nimetatakse murdratsionaalvõrranditeks. Mis te arvate, mida me täna tunnis uurime? Sõnastage tunni teema. Niisiis, avage märkmikud ja kirjutage üles tunni teema "Murdratsionaalvõrrandite lahendamine".

2. Teadmiste uuendamine. Frontaalküsitlus, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida vajame uue teema uurimiseks. Palun vastake järgmistele küsimustele:

1. Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)
2. Mis on võrrandi number 1 nimi? ( Lineaarne.) Meetod lineaarvõrrandite lahendamiseks. ( Liigutage kõik, kus on tundmatu, võrrandist vasakule, kõik numbrid paremale. Esitage sarnased terminid. Leidke tundmatu tegur).
3. Mis on võrrandi number 3 nimi? ( Ruut.) Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. ( Valik täisruut, valemite abil, kasutades Vieta teoreemi ja selle tagajärgi.)
4. Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on õige, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)
5. Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saad võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.)
6. Millal on murd võrdne nulliga? ( Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null..)

3. Uue materjali selgitus.

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 2.

Vastus: 10.

Millist murdratsionaalvõrrandit saate proportsiooni põhiomaduse abil lahendada? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 4.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Vastus: 3;4.

Nüüd proovige võrrandit number 7 lahendada, kasutades ühte järgmistest meetoditest.

(x 2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x 2-2x-5)x(x-5)-x (x-5) (x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Vastus: 0;5;-2.			Vastus: 5;-2.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Siiani pole õpilased kõrvalise juure mõistega kokku puutunud, neil on tõepoolest väga raske mõista, miks see juhtus. Kui keegi klassis ei oska antud olukorrale selget selgitust anda, esitab õpetaja suunavaid küsimusi.

• Mille poolest võrrandid nr 2 ja 4 erinevad võrranditest nr 5,6,7? ( Valemites nr 2 ja 4 on nimetajas numbrid, nr 5-7 on muutujaga avaldised.)
• Mis on võrrandi juur? ( Muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeseks.)
• Kuidas teada saada, kas arv on võrrandi juur? ( Tehke kontroll.)

Testimisel märkab mõni õpilane, et peab jagama nulliga. Nad järeldavad, et arvud 0 ja 5 ei ole selle võrrandi juured. Tekib küsimus: kas on olemas viis murdartsionaalvõrrandite lahendamiseks, mis võimaldab meil selle vea kõrvaldada? Jah, see meetod põhineb tingimusel, et murdosa on võrdne nulliga.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Kui x=5, siis x(x-5)=0, mis tähendab, et 5 on kõrvaline juur.

Kui x=-2, siis x(x-5)≠0.

Vastus: -2.

Proovime sõnastada sellisel viisil murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

1. Liigutage kõik vasakule küljele.
2. Vähendage murrud ühise nimetajani.
3. Loo süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole võrdne nulliga.
4. Lahenda võrrand.
5. Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.
6. Kirjutage vastus üles.

Arutelu: kuidas vormistada lahendus, kui kasutada proportsiooni põhiomadust ja võrrandi mõlema poole korrutamist ühise nimetajaga. (Lisage lahendusele: jäta selle juurtest välja need, mis panevad ühisnimetaja kaduma).

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise olenevalt võrrandi tüübist. Ülesanded õpikust “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600(b,c,i); nr 601(a,e,g). Õpetaja jälgib ülesande täitmist, vastab tekkivatele küsimustele ja osutab abi vähestest tulemustest õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 3.

c) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

g) Vastus: 1;1,5.

5. Kodutööde seadmine.

1. Lugege õpikust lõiget 25, analüüsige näiteid 1-3.
2. Õppige murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.
3. Lahenda vihikutes nr 600 (a, d, e); 601(g,h).
4. Proovige lahendada nr 696(a) (valikuline).

6. Kontrollülesande täitmine õpitud teemal.

Tööd tehakse paberilehtedel.

Näidisülesanne:

A) Millised võrrandid on murdratsionaalsed?

B) Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on ______________________ ja nimetaja on _______________________.

K) Kas arv -3 on võrrandi number 6 juur?

D) Lahenda võrrand nr 7.

Ülesande hindamiskriteeriumid:

• “5” antakse, kui õpilane täitis õigesti üle 90% ülesandest.
• "4" – 75%-89%
• "3" – 50%-74%
• “2” saab õpilane, kes on täitnud alla 50% ülesandest.
• Hinnet 2 ajakirjas ei anta, 3 on vabatahtlik.

7. Peegeldus.

Iseseisvatele töölehtedele kirjutage:

• 1 – kui tund oli teile huvitav ja arusaadav;
• 2 – huvitav, kuid ebaselge;
• 3 – mitte huvitav, aga arusaadav;
• 4 – pole huvitav, pole selge.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega, õppisime neid võrrandeid erineval viisil lahendama, panime koolituse abil oma teadmisi proovile. iseseisev töö. Iseseisva töö tulemused saad teada järgmises tunnis ning kodus on võimalus oma teadmisi kinnistada.

Milline murdratsionaalvõrrandite lahendamise meetod on teie arvates lihtsam, kättesaadavam ja ratsionaalsem? Mida peaksite meeles pidama, olenemata murdosa ratsionaalvõrrandite lahendamise meetodist? Mis on murdratsionaalvõrrandite "kavalus"?

Aitäh kõigile, tund on läbi.

"Murdratsionaalvõrrandite lahendamine"

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

murdratsionaalvõrrandite mõiste moodustamine; kaaluda erinevaid võimalusi murdratsionaalvõrrandite lahendamiseks; kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga; õpetada murdratsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi abil; teema valdamise taseme kontrollimine testi läbiviimisega.

Arenguline:

arendada oskust omandatud teadmistega õigesti opereerida ja loogiliselt mõelda; intellektuaalsete oskuste ja vaimsete operatsioonide arendamine - analüüs, süntees, võrdlemine ja üldistamine; algatusvõime, otsustusvõime arendamine ja mitte sellega peatuda; kriitilise mõtlemise arendamine; uurimisoskuste arendamine.

Harivad:

kognitiivse huvi edendamine aine vastu; iseseisvuse edendamine haridusprobleemide lahendamisel; tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Tunni tüüp: õppetund - uue materjali selgitus.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Tahvlile on kirjutatud võrrandid, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

Võrratusi, mille vasak ja parem pool on murdarvulised ratsionaalavaldised, nimetatakse murdratsionaalvõrranditeks. Mis te arvate, mida me täna tunnis uurime? Sõnastage tunni teema. Niisiis, avage märkmikud ja kirjutage üles tunni teema "Murdratsionaalvõrrandite lahendamine".

2. Teadmiste uuendamine. Frontaalküsitlus, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida vajame uue teema uurimiseks. Palun vastake järgmistele küsimustele:

1. Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)

2. Mis on võrrandi nr 1 nimi? ( Lineaarne.) Meetod lineaarvõrrandite lahendamiseks. ( Liigutage kõik, kus on tundmatu, võrrandist vasakule, kõik numbrid paremale. Esitage sarnased terminid. Leidke tundmatu tegur).

3. Mis on võrrandi nr 3 nimi? ( Ruut.) Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. ( Täieliku ruudu eraldamine valemite abil, kasutades Vieta teoreemi ja selle tagajärgi.)

4. Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on õige, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)

5. Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saad võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.)

6. Millal võrdub murd nulliga? ( Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null..)

3. Uue materjali selgitus.

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 2.

Vastus: 10.

Millist murdratsionaalvõrrandit saate proportsiooni põhiomaduse abil lahendada? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 4.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Vastus: 3;4.

Nüüd proovige võrrandit number 7 lahendada, kasutades ühte järgmistest meetoditest.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5) (x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Vastus: 0;5;-2.			Vastus: 5;-2.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Siiani pole õpilased kõrvalise juure mõistega kokku puutunud, neil on tõepoolest väga raske mõista, miks see juhtus. Kui keegi klassis ei oska antud olukorrale selget selgitust anda, esitab õpetaja suunavaid küsimusi.

Mille poolest võrrandid nr 2 ja 4 erinevad võrranditest nr 5,6,7? ( Valemites nr 2 ja 4 on nimetajas numbrid, nr 5-7 on muutujaga avaldised.) Mis on võrrandi juur? ( Muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeseks.) Kuidas teada saada, kas arv on võrrandi juur? ( Tehke kontroll.)

Testimisel märkab mõni õpilane, et peab jagama nulliga. Nad järeldavad, et arvud 0 ja 5 ei ole selle võrrandi juured. Tekib küsimus: kas on olemas viis murdartsionaalvõrrandite lahendamiseks, mis võimaldab meil selle vea kõrvaldada? Jah, see meetod põhineb tingimusel, et murdosa on võrdne nulliga.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Kui x=5, siis x(x-5)=0, mis tähendab, et 5 on kõrvaline juur.

Kui x=-2, siis x(x-5)≠0.

Vastus: -2.

Proovime sõnastada sellisel viisil murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

1. Liigutage kõik vasakule küljele.

2. Vähendage murrud ühise nimetajani.

3. Loo süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole nulliga.

4. Lahenda võrrand.

5. Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.

6. Kirjuta vastus üles.

Arutelu: kuidas vormistada lahendus, kui kasutada proportsiooni põhiomadust ja võrrandi mõlema poole korrutamist ühise nimetajaga. (Lisage lahendusele: jäta selle juurtest välja need, mis panevad ühisnimetaja kaduma).

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise olenevalt võrrandi tüübist. Ülesanded õpikust “Algebra 8”, 2007: nr 000 (b, c, i); nr 000(a, d, g). Õpetaja jälgib ülesande täitmist, vastab tekkivatele küsimustele ja osutab abi vähestest tulemustest õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 3.

c) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

g) Vastus: 1;1,5.

5. Kodutööde seadmine.

2. Õppige murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.

3. Lahenda vihikutes nr 000 (a, d, e); Nr 000 (g, h).

4. Proovige lahendada nr 000(a) (valikuline).

6. Kontrollülesande täitmine õpitud teemal.

Tööd tehakse paberilehtedel.

Näidisülesanne:

A) Millised võrrandid on murdratsionaalsed?

B) Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on ______________________ ja nimetaja on _______________________.

K) Kas arv -3 on võrrandi number 6 juur?

D) Lahenda võrrand nr 7.

Ülesande hindamiskriteeriumid:

“5” antakse, kui õpilane täitis õigesti üle 90% ülesandest. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” saab õpilane, kes on täitnud alla 50% ülesandest. Hinnet 2 ajakirjas ei anta, 3 on vabatahtlik.

7. Peegeldus.

Iseseisvatele töölehtedele kirjutage:

1 – kui tund oli teile huvitav ja arusaadav; 2 – huvitav, kuid ebaselge; 3 – mitte huvitav, aga arusaadav; 4 – pole huvitav, pole selge.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega, õppisime neid võrrandeid mitmekülgselt lahendama ning iseseisva õppetöö abil oma teadmisi proovile panema. Iseseisva töö tulemused saad teada järgmises tunnis ning kodus on võimalus oma teadmisi kinnistada.

Milline murdratsionaalvõrrandite lahendamise meetod on teie arvates lihtsam, kättesaadavam ja ratsionaalsem? Mida peaksite meeles pidama, olenemata murdosa ratsionaalvõrrandite lahendamise meetodist? Mis on murdratsionaalvõrrandite "kavalus"?

Aitäh kõigile, tund on läbi.

Tutvume ratsionaal- ja murdratsionaalvõrranditega, anname nende definitsiooni, toome näiteid ja analüüsime ka levinumaid probleemide liike.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ratsionaalne võrrand: definitsioon ja näited

Ratsionaalsete väljenditega tutvumine algab 8. kooliastmes. Sel ajal hakkavad õpilased algebratundides üha enam kohtama ülesandeid võrranditega, mis sisaldavad nende märkmetes ratsionaalseid avaldisi. Värskendagem oma mälu selle üle, mis see on.

Definitsioon 1

Ratsionaalne võrrand on võrrand, mille mõlemad pooled sisaldavad ratsionaalseid avaldisi.

Erinevates juhendites leiate teise koostise.

2. definitsioon

Ratsionaalne võrrand on võrrand, mille vasak pool sisaldab ratsionaalne väljendus, ja parem on null.

Määratlused, mille me ratsionaalsete võrrandite jaoks andsime, on samaväärsed, kuna need räägivad samast asjast. Meie sõnade õigsust kinnitab tõsiasi, et igasuguste ratsionaalsete väljendite puhul P Ja K võrrandid P = Q Ja P − Q = 0 on samaväärsed väljendid.

Vaatame nüüd näiteid.

Näide 1

Ratsionaalvõrrandid:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Ratsionaalvõrrandid, nagu ka muud tüüpi võrrandid, võivad sisaldada suvalist arvu muutujaid ühest mitmeni. Kõigepealt vaatame lihtsaid näiteid, milles võrrandid sisaldavad ainult ühte muutujat. Ja siis hakkame ülesannet järk-järgult keerulisemaks muutma.

Ratsionaalvõrrandid jagunevad kaheks suured rühmad: täisarvud ja murrud. Vaatame, millised võrrandid kehtivad iga rühma puhul.

3. määratlus

Ratsionaalne võrrand on täisarv, kui selle vasak ja parem pool sisaldavad terveid ratsionaalseid avaldisi.

4. definitsioon

Ratsionaalne võrrand on murdosa, kui üks või mõlemad selle osad sisaldavad murdosa.

Murdratsionaalvõrrandid sisaldavad tingimata muutujaga jagamist või on muutuja nimetajas. Tervete võrrandite kirjutamisel sellist jaotust pole.

Näide 2

3 x + 2 = 0 Ja (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x = - y + 0, 5– terved ratsionaalvõrrandid. Siin on võrrandi mõlemad pooled esindatud täisarvuliste avaldistega.

1 x - 1 = x 3 ja x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 on murdosaliselt ratsionaalsed võrrandid.

Terved ratsionaalsed võrrandid hõlmavad lineaar- ja ruutvõrrandeid.

Tervete võrrandite lahendamine

Selliste võrrandite lahendamine taandub tavaliselt nende teisendamisele samaväärseteks algebralisteks võrranditeks. Seda saab saavutada võrrandite samaväärsete teisenduste läbiviimisel vastavalt järgmisele algoritmile:

• Esiteks saame võrrandi paremale poolele nulli, selleks peame võrrandi paremal poolel oleva avaldise nihutama selle vasakule poole ja muutma märki;
• siis teisendame võrrandi vasakul küljel oleva avaldise polünoomiks standardvaade.

Peame saama algebralise võrrandi. See võrrand on samaväärne algse võrrandiga. Lihtsad juhtumid võimaldavad probleemi lahendamiseks taandada kogu võrrandi lineaarseks või ruutkeskseks. IN üldine juhtum lahendame astme algebralise võrrandi n.

Näide 3

On vaja leida kogu võrrandi juured 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Lahendus

Teisendame algse avaldise, et saada ekvivalentne algebraline võrrand. Selleks kanname võrrandi paremal poolel oleva avaldise vasakule poole ja asendame märgi vastupidise avaldisega. Selle tulemusena saame: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Nüüd teisendame vasakul küljel oleva avaldise standardvormi polünoomiks ja teostame selle polünoomiga vajalikud toimingud:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Meil õnnestus taandada lahendus algsele võrrandile lahenduseks ruutvõrrand lahke x 2 - 5 x - 6 = 0. Selle võrrandi diskriminant on positiivne: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . See tähendab, et seal on kaks tõelist juurt. Leiame need ruutvõrrandi juurte valemi abil:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 või x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 või x 2 = - 1

Kontrollime lahenduse käigus leitud võrrandi juurte õigsust. Selleks asendame saadud arvud algsesse võrrandisse: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 Ja 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. Esimesel juhul 63 = 63 , teises 0 = 0 . Juured x = 6 Ja x = −1 on tõepoolest näitetingimuses toodud võrrandi juured.

Vastus: 6 , − 1 .

Vaatame, mida tähendab "kogu võrrandi aste". Seda terminit kohtame sageli juhtudel, kui peame esitama kogu võrrandi algebralises vormis. Määratleme mõiste.

Definitsioon 5

Kogu võrrandi aste- see on kraad algebraline võrrand, mis on samaväärne algse täisarvu võrrandiga.

Kui vaatate ülaltoodud näite võrrandeid, saate kindlaks teha: kogu selle võrrandi aste on teine.

Kui meie kursus piirduks teise astme võrrandite lahendamisega, siis võiks teema arutelu sellega ka lõppeda. Kuid see pole nii lihtne. Kolmanda astme võrrandite lahendamine on täis raskusi. Ja neljandast astmest kõrgemate võrrandite jaoks ei ole üldvalemid juured. Sellega seoses nõuab kolmanda, neljanda ja muude astme võrrandite lahendamine mitmete muude tehnikate ja meetodite kasutamist.

Kõige sagedamini kasutatav lähenemisviis tervete ratsionaalvõrrandite lahendamiseks põhineb faktoriseerimise meetodil. Toimingute algoritm on sel juhul järgmine:

• nihutame avaldise paremalt küljelt vasakule nii, et null jääb kirje paremale poolele;
• Esitame vasakpoolset avaldist tegurite korrutisena ja liigume seejärel mitme lihtsama võrrandi komplekti.

Näide 4

Leidke võrrandi (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) lahend.

Lahendus

Liigume avaldise kirje paremalt küljelt vasakule -ga vastupidine märk: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Vasaku külje teisendamine standardkuju polünoomiks on sobimatu, kuna see annab meile neljanda astme algebralise võrrandi: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Teisendamise lihtsus ei õigusta kõiki raskusi sellise võrrandi lahendamisel.

Palju lihtsam on minna teist teed: võtame ühise teguri sulgudest välja x 2 – 10 x + 13 . Seega jõuame vormi võrrandini (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Nüüd asendame saadud võrrandi kahe ruutvõrrandi komplektiga x 2 – 10 x + 13 = 0 Ja x 2 - 2 x - 1 = 0 ja leidke nende juured diskriminandi kaudu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Vastus: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Samamoodi saame kasutada uue muutuja sisseviimise meetodit. See meetod võimaldab meil liikuda samaväärsete võrrandite juurde, mille kraadid on madalamad kui algse täisarvu võrrandi kraadid.

Näide 5

Kas võrrandil on juured? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Lahendus

Kui nüüd proovida taandada tervet ratsionaalset võrrandit algebraliseks, saame 4. astme võrrandi, millel pole ratsionaalseid juuri. Seetõttu on meil lihtsam minna teist teed: sisestage uus muutuja y, mis asendab võrrandis oleva avaldise x 2 + 3 x.

Nüüd töötame kogu võrrandiga (y + 1) 2 + 10 = – 2 · (y – 4). Paneme ajakava ümber parem pool võrrandid vasakule vastupidise märgiga ja viige läbi vajalikud teisendused. Saame: y 2 + 4 y + 3 = 0. Leiame ruutvõrrandi juured: y = −1 Ja y = −3.

Nüüd teeme vastupidise asendamise. Saame kaks võrrandit x 2 + 3 x = – 1 Ja x 2 + 3 · x = – 3 . Kirjutame need ümber x 2 + 3 x + 1 = 0 ja x 2 + 3 x + 3 = 0. Kasutame ruutvõrrandi juurte valemit, et leida esimese võrrandi juured saadud tulemustest: - 3 ± 5 2. Teise võrrandi diskriminant on negatiivne. See tähendab, et teisel võrrandil pole tegelikke juuri.

Vastus:- 3 ± 5 2

Terved võrrandid kõrged kraadid kohatakse ülesannetes üsna sageli. Neid pole vaja karta. Peate olema valmis kandideerima mittestandardne meetod nende lahendused, sealhulgas mitmed kunstlikud teisendused.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamine

Alustame selle alateema käsitlemist algoritmiga, mis lahendab fraktsionaalselt ratsionaalseid võrrandeid kujul p (x) q (x) = 0, kus p(x) Ja q(x)– terved ratsionaalsed väljendid. Teiste murdratsionaalsete võrrandite lahenduse saab alati taandada näidatud tüüpi võrrandite lahendiks.

Kõige sagedamini kasutatav meetod võrrandite p (x) q (x) = 0 lahendamiseks põhineb järgmisel väitel: arvuline murd u v, Kus v- see on arv, mis erineb nullist, võrdub nulliga ainult neil juhtudel, kui murdosa lugeja on võrdne nulliga. Järgides ülaltoodud väite loogikat, võime väita, et võrrandi p (x) q (x) = 0 lahendit saab taandada kahe tingimuse täitmiseks: p(x)=0 Ja q(x) ≠ 0. See on aluseks murdartsionaalvõrrandite kujul p (x) q (x) = 0 lahendamise algoritmi koostamiseks:

• leida lahendus tervele ratsionaalsele võrrandile p(x)=0;
• kontrollime, kas lahenduse käigus leitud juurte puhul on tingimus täidetud q(x) ≠ 0.

Kui see tingimus on täidetud, siis leitud juur Kui ei, siis ei ole juur probleemi lahendus.

Näide 6

Leiame võrrandi 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 juured.

Lahendus

Tegemist on murdarvulise ratsionaalvõrrandiga kujul p (x) q (x) = 0, milles p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Alustame lineaarvõrrandi lahendamist 3 x − 2 = 0. Selle võrrandi juur on x = 2 3.

Kontrollime leitud juurt, kas see vastab tingimusele 5 x 2 - 2 ≠ 0. Selleks asendame numbriline väärtus väljendusse. Saame: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Tingimus on täidetud. See tähendab et x = 2 3 on algse võrrandi juur.

Vastus: 2 3 .

Murdratsionaalvõrrandite p (x) q (x) = 0 lahendamiseks on veel üks võimalus. Tuletage meelde, et see võrrand on samaväärne kogu võrrandiga p(x)=0 piirkonnas vastuvõetavad väärtused algvõrrandi muutuja x. See võimaldab võrrandite p (x) q (x) = 0 lahendamisel kasutada järgmist algoritmi:

• lahendage võrrand p(x)=0;
• leidke muutuja x lubatud väärtuste vahemik;
• võtame algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi soovitud juurtena juured, mis jäävad muutuja x lubatud väärtuste vahemikku.

Näide 7

Lahendage võrrand x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Lahendus

Kõigepealt lahendame ruutvõrrandi x 2 - 2 x - 11 = 0. Selle juurte arvutamiseks kasutame paaris teise koefitsiendi juurte valemit. Saame D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ja x = 1 ± 2 3 .

Nüüd leiame algse võrrandi jaoks muutuja x ODZ. Need on kõik numbrid, mille jaoks x 2 + 3 x ≠ 0. See on sama, mis x (x + 3) ≠ 0, kust x ≠ 0, x ≠ − 3.

Nüüd kontrollime, kas lahenduse esimeses etapis saadud juured x = 1 ± 2 3 jäävad muutuja x lubatud väärtuste vahemikku. Näeme, et nad tulevad sisse. See tähendab, et algsel murdarvulisel ratsionaalvõrrandil on kaks juurt x = 1 ± 2 3.

Vastus: x = 1 ± 2 3

Kirjeldatud teist lahendusmeetodit lihtsam kui esimene juhtudel, kui muutuja x lubatud väärtuste vahemik on kergesti leitav ja võrrandi juured p(x)=0 irratsionaalne. Näiteks 7 ± 4 · 26 9. Juured võivad olla ratsionaalsed, kuid suure lugeja või nimetajaga. Näiteks, 127 1101 Ja − 31 59 . See säästab aega seisukorra kontrollimisel q(x) ≠ 0: Palju lihtsam on välistada juured, mis ODZ järgi ei sobi.

Juhtudel, kui võrrandi juured p(x)=0 on täisarvud, on otstarbekam kasutada kirjeldatud algoritmidest esimest vormi p (x) q (x) = 0 võrrandite lahendamiseks. Otsige kiiremini üles kogu võrrandi juured p(x)=0 ja seejärel kontrollige, kas tingimus on nende jaoks täidetud q(x) ≠ 0, selle asemel, et leida ODZ ja seejärel lahendada võrrand p(x)=0 sellel ODZ-l. See on tingitud asjaolust, et sellistel juhtudel on tavaliselt lihtsam kontrollida kui DZ-d leida.

Näide 8

Leidke võrrandi (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 juured = 0.

Lahendus

Alustuseks vaatame kogu võrrandit (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ja selle juurte leidmine. Selleks rakendame võrrandite lahendamise meetodit faktoriseerimise teel. Selgub, et algne võrrand on võrdne nelja võrrandi hulgaga 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, millest kolm on lineaarsed ja üks on ruut. Juurte leidmine: esimesest võrrandist x = 1 2, teisest – x = 6, kolmandast – x = 7 , x = – 2 , neljandast – x = −1.

Kontrollime saadud juuri. Määrake ADL sisse sel juhul Meie jaoks on see keeruline, kuna selleks peame lahendama viienda astme algebralise võrrandi. Lihtsam on kontrollida tingimust, mille kohaselt ei tohiks võrrandi vasakpoolses servas oleva murdosa nimetaja minna nulli.

Asendame kordamööda avaldises muutuja x juurtega x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 ja arvutage selle väärtus:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 30 ;

6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Läbiviidud kontroll võimaldab meil kindlaks teha, et algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured on 1 2, 6 ja − 2 .

Vastus: 1 2 , 6 , - 2

Näide 9

Leidke murruratsionaalvõrrandi 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 juured.

Lahendus

Alustame töötamist võrrandiga (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Otsime üles selle juured. Meil on lihtsam ette kujutada seda võrrandit ruut- ja kombinatsioonina lineaarvõrrandid 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 Ja x − 2 = 0.

Juurte leidmiseks kasutame ruutvõrrandi juurte valemit. Esimesest võrrandist saame kaks juurt x = 7 ± 69 10 ja teisest x = 2.

Tingimuste kontrollimiseks on meil üsna raske asendada algsesse võrrandisse juurte väärtust. Muutuja x ODZ-d on lihtsam määrata. Sel juhul on muutuja x ODZ kõik numbrid, välja arvatud need, mille puhul tingimus on täidetud x 2 + 5 x - 14 = 0. Saame: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Nüüd kontrollime, kas leitud juured kuuluvad muutuja x lubatud väärtuste vahemikku.

Juured x = 7 ± 69 10 kuuluvad, seega on need algse võrrandi juured ja x = 2- ei kuulu, seega on see kõrvaline juur.

Vastus: x = 7 ± 69 10 .

Vaatleme eraldi juhtumeid, kui murdartsionaalvõrrandi kujul p (x) q (x) = 0 lugeja sisaldab arvu. Sellistel juhtudel, kui lugeja sisaldab nullist erinevat arvu, pole võrrandil juuri. Kui see arv on võrdne nulliga, on võrrandi juur suvaline arv ODZ-st.

Näide 10

Lahendage murdartsionaalvõrrand - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Lahendus

Sellel võrrandil ei ole juuri, kuna võrrandi vasakul küljel olev murdosa lugeja sisaldab nullist erinevat arvu. See tähendab, et ühegi x väärtuse korral ei ole ülesande avalduses antud murru väärtus võrdne nulliga.

Vastus: pole juuri.

Näide 11

Lahendage võrrand 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Lahendus

Kuna murdosa lugeja sisaldab nulli, on võrrandi lahenduseks mis tahes väärtus x muutuja x ODZ-st.

Nüüd määratleme ODZ. See sisaldab kõiki x väärtusi, mille jaoks x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Võrrandi lahendused x 4 + 5 x 3 = 0 on 0 Ja − 5 , kuna see võrrand on võrdne võrrandiga x 3 (x + 5) = 0, ja see omakorda on samaväärne kahe võrrandi kombinatsiooniga x 3 = 0 ja x + 5 = 0, kus need juured on nähtavad. Jõuame järeldusele, et soovitud vastuvõetavate väärtuste vahemik on mis tahes x, välja arvatud x = 0 Ja x = −5.

Selgub, et murdarvulisel ratsionaalvõrrandil 0 x 4 + 5 x 3 = 0 on lõpmatu hulk lahendused, mis on suvalised arvud, välja arvatud null ja -5.

Vastus: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Nüüd räägime suvalise kujuga murdratsionaalvõrranditest ja nende lahendamise meetoditest. Neid saab kirjutada kui r(x) = s(x), Kus r(x) Ja s(x)– ratsionaalsed avaldised ja vähemalt üks neist on murdosa. Selliste võrrandite lahendamine taandub võrrandite lahendamiseks kujul p (x) q (x) = 0.

Me juba teame, mida saame ekvivalentne võrrand avaldise ülekandmisel võrrandi paremalt poolelt vastupidise märgiga vasakule. See tähendab, et võrrand r(x) = s(x) on võrdne võrrandiga r (x) − s (x) = 0. Samuti oleme juba arutanud võimalusi ratsionaalse avaldise teisendamiseks ratsionaalseks murdeks. Tänu sellele saame võrrandit hõlpsasti teisendada r (x) − s (x) = 0 identseks ratsionaalseks murdeks kujul p (x) q (x) .

Seega liigume algsest murdosa ratsionaalvõrrandist r(x) = s(x) võrrandile kujul p (x) q (x) = 0, mida oleme juba õppinud lahendama.

Arvestada tuleks sellega, et üleminekute tegemisel alates r (x) − s (x) = 0 kuni p(x)q(x) = 0 ja seejärel kuni p(x)=0 me ei pruugi arvestada muutuja x lubatud väärtuste vahemiku laienemist.

On täiesti võimalik, et algne võrrand r(x) = s(x) ja võrrand p(x)=0 teisenduste tulemusena lakkavad nad olemast samaväärsed. Siis võrrandi lahendus p(x)=0 võib anda meile võõrad juured r(x) = s(x). Sellega seoses on igal juhul vaja kontroll läbi viia mis tahes ülalkirjeldatud meetodi abil.

Teema uurimise hõlbustamiseks oleme koondanud kogu teabe vormi murdosalise ratsionaalvõrrandi lahendamise algoritmi. r(x) = s(x):

• kanname avaldise paremalt küljelt üle vastupidise märgiga ja saame paremale nulli;
• teisendada algne avaldis ratsionaalseks murdeks p (x) q (x) , sooritades järjestikku tehteid murdude ja polünoomidega;
• lahendage võrrand p(x)=0;
• Me tuvastame kõrvalised juured, kontrollides nende kuuluvust ODZ-sse või asendades algse võrrandiga.

Visuaalselt näeb toimingute ahel välja järgmine:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → elimineerimine VÄLISED JUURED

Näide 12

Lahenda murdartsionaalvõrrand x x + 1 = 1 x + 1 .

Lahendus

Liigume võrrandi juurde x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Teisendame võrrandi vasakul poolel oleva murdarvulise ratsionaalavaldise kujule p (x) q (x) .

Selleks peame tooma ratsionaalsed murdedühisele nimetajale ja avaldist lihtsustada:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Võrrandi - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 juurte leidmiseks peame lahendama võrrandi − 2 x − 1 = 0. Saame ühe juure x = - 1 2.

Kõik, mida peame tegema, on kontrollida mis tahes meetodit kasutades. Vaatame neid mõlemaid.

Asendame saadud väärtuse algse võrrandiga. Saame - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Oleme jõudnud õige arvulise võrdsuseni − 1 = − 1 . See tähendab et x = −1 2 on algse võrrandi juur.

Nüüd kontrollime ODZ-i. Määrame muutuja x lubatud väärtuste vahemiku. See on kogu arvude kogum, välja arvatud − 1 ja 0 ( x = − 1 ja x = 0 korral murrude nimetajad kaovad). Juur, mille saime x = −1 2 kuulub ODZ-le. See tähendab, et see on algse võrrandi juur.

Vastus: − 1 2 .

Näide 13

Leidke võrrandi x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x juured.

Lahendus

Meil on tegemist murdosalise ratsionaalvõrrandiga. Seetõttu tegutseme vastavalt algoritmile.

Liigume avaldise paremalt küljelt vasakule vastupidise märgiga: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Teeme vajalikud teisendused: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Jõuame võrrandini x = 0. Selle võrrandi juur on null.

Kontrollime, kas see juur on algse võrrandi kõrval. Asendame väärtuse algse võrrandiga: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Nagu näete, pole saadud võrrandil mõtet. See tähendab, et 0 on kõrvaline juur ja algsel murdarvulisel ratsionaalvõrrandil pole juuri.

Vastus: pole juuri.

Kui me pole teisi algoritmi kaasanud samaväärsed teisendused, see ei tähenda, et neid ei saaks kasutada. Algoritm on universaalne, kuid selle eesmärk on aidata, mitte piirata.

Näide 14

Lahendage võrrand 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Lahendus

Lihtsaim viis on lahendada antud murdarvuline ratsionaalvõrrand vastavalt algoritmile. Kuid on ka teine ​​viis. Mõelgem sellele.

Lahutage 7 paremalt ja vasakult küljelt, saame: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Sellest võime järeldada, et avaldis vasakpoolses nimetajas peab olema võrdne parempoolse arvu pöördarvuga, st 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Lahutage mõlemalt küljelt 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analoogia põhjal 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, kust 1 5 - x 2 = 1 3 ja siis 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Kontrollime, kas leitud juured on algvõrrandi juured.

Vastus: x = ± 2

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter