Seega arvutatakse vektori pikkus selle koordinaatide ruutude summa ruutjuurena
. Sarnaselt arvutatakse ka n-mõõtmelise vektori pikkus
. Kui meeles pidada, et vektori iga koordinaat on lõpu ja alguse koordinaatide vahe, siis saame lõigu pikkuse valemi, s.t. Eukleidiline kaugus punktide vahel.

Skalaarkorrutis kaks vektorit tasapinnal on nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutis:
. Võib tõestada, et kahe vektori skalaarkorrutis = (x 1, x 2) ja = (y 1 , y 2) on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutistega:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

N-mõõtmelises ruumis on vektorite X= (x 1, x 2,...,x n) ja Y= (y 1, y 2,...,y n) skalaarkorrutis defineeritud korrutiste summana. nende vastavatest koordinaatidest: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Vektorite üksteisega korrutamine on sarnane reamaatriksi korrutamisele veerumaatriksiga. Rõhutame, et tulemuseks on arv, mitte vektor.

Vektorite skalaarkorrutisel on järgmised omadused (aksioomid):

1) Kommutatiivne omadus: X*Y=Y*X.

2) Jaotusomadus liitmise suhtes: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Suvalise reaalarvu  korral
.

4)
, kuiX ei ole nullvektor;
ifX on nullvektor.

Lineaarset vektorruumi, milles on antud vektorite skalaarkorrutis, mis rahuldab neli vastavat aksioomi, nimetatakse Eukleidiline lineaarvektorruumi.

On lihtne näha, et kui me korrutame suvalise vektori iseendaga, saame selle pikkuse ruudu. Nii et see on erinev pikkus vektorit saab määratleda kui ruutjuurt selle skalaarruudust:.

Vektori pikkusel on järgmised omadused:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, kus on reaalarv;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsus);

4) |X+Y||X|+|Y| ( kolmnurga ebavõrdsus).

Nurk  vektorite vahel n-mõõtmelises ruumis määratakse skalaarkorrutise kontseptsiooni alusel. Tegelikult, kui
, See
. See murd ei ole suurem kui üks (vastavalt Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsusele), nii et siit leiame .

Neid kahte vektorit nimetatakse ortogonaalne või risti, kui nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga. Skalaarkorrutise definitsioonist järeldub, et nullvektor on ortogonaalne mis tahes vektori suhtes. Kui mõlemad ortogonaalvektorid on nullist erinevad, siis cos= 0, st=/2 = 90 o.

Vaatame uuesti joonist 7.4. Jooniselt on näha, et vektori horisontaaltelje suhtes kaldenurga koosinust saab arvutada
, ja vektori nurgakalde koosinus vertikaaltelje suhtes on
. Tavaliselt kutsutakse neid numbreid suunakoosinused. Lihtne on kontrollida, et suunakoosinuste ruutude summa on alati võrdne ühega: cos 2 +cos 2 = 1. Samamoodi saab suunakoosinuste mõisteid kasutusele võtta ka suuremate mõõtmetega ruumide jaoks.

Vektorruumi alus

Vektorite jaoks saame defineerida mõisted lineaarne kombinatsioon,lineaarne sõltuvus Ja iseseisvus sarnaselt sellele, kuidas need mõisted maatriksiridade jaoks kasutusele võeti. Tõsi on ka see, et kui vektorid on lineaarselt sõltuvad, siis vähemalt ühte neist saab väljendada lineaarselt teistega (st tegemist on nende lineaarse kombinatsiooniga). Tõsi on ka vastupidi: kui üks vektoritest on teiste lineaarne kombinatsioon, siis kõik need vektorid koos on lineaarselt sõltuvad.

Pange tähele, et kui vektorite a l , a 2 ,...a m hulgas on nullvektor, siis see vektorite hulk on tingimata lineaarselt sõltuv. Tegelikult saame  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, kui näiteks võrdsustame nullvektori koefitsiendi j ühega ja kõik muud koefitsiendid nulliga. Sel juhul ei ole kõik koefitsiendid võrdsed nulliga ( j ≠ 0).

Lisaks, kui mingi osa vektorite hulgast on lineaarselt sõltuvad, siis kõik need vektorid on lineaarselt sõltuvad. Tegelikult, kui mõned vektorid annavad oma lineaarses kombinatsioonis nullvektori koefitsientidega, mis ei ole mõlemad nullid, siis saab sellele korrutissummale lisada ülejäänud vektorid, mis on korrutatud nullkoefitsientidega, ja see jääb ikkagi nullvektoriks.

Kuidas teha kindlaks, kas vektorid on lineaarselt sõltuvad?

Näiteks võtame kolm vektorit: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) ja a 3 = (3, 1, 4, 3). Loome neist maatriksi, milles need on veerud:

Seejärel taandatakse lineaarse sõltuvuse küsimus selle maatriksi järgu määramisele. Kui see osutub võrdseks kolmega, on kõik kolm veergu lineaarselt sõltumatud ja kui see osutub väiksemaks, näitab see vektorite lineaarset sõltuvust.

Kuna auaste on 2, on vektorid lineaarselt sõltuvad.

Pange tähele, et probleemi lahendus võiks alata ka arutluskäigust, mis põhineb lineaarse sõltumatuse definitsioonil. Nimelt looge vektorvõrrand  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, mis saab kujul l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Siis saame võrrandisüsteemi:

Selle süsteemi lahendamine Gaussi meetodi abil taandub sama astmemaatriksi saamiseks, ainult et sellel on veel üks veerg - vabad terminid. Need kõik on nullid, kuna nullide lineaarsed teisendused ei saa anda teistsugust tulemust. Teisendatud võrrandisüsteem on järgmisel kujul:

Selle süsteemi lahendus on (-с;-с; с), kus с on suvaline arv; näiteks (-1;-1;1). See tähendab, et kui võtta  l = -1; 2 =-1 ja 3 = 1, siis l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, s.t. vektorid on tegelikult lineaarselt sõltuvad.

Lahendatud näitest selgub, et kui võtta ruumi dimensioonist suurem vektorite arv, siis on need tingimata lineaarselt sõltuvad. Tegelikult, kui võtaksime selles näites viis vektorit, saaksime 4 x 5 maatriksi, mille auaste ei saa olla suurem kui neli. Need. lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalne arv ei oleks ikkagi suurem kui neli. Kaks, kolm või neli neljamõõtmelist vektorit võivad olla lineaarselt sõltumatud, kuid viis või enam mitte. Järelikult ei saa tasapinnal lineaarselt sõltumatud olla rohkem kui kaks vektorit. Kõik kolm vektorit kahemõõtmelises ruumis on lineaarselt sõltuvad. Kolmemõõtmelises ruumis on kõik neli (või enam) vektorit alati lineaarselt sõltuvad. Ja nii edasi.

Sellepärast dimensioon ruumi saab määratleda kui maksimaalset lineaarselt sõltumatute vektorite arvu, mis selles võib olla.

Nimetatakse n-mõõtmelise ruumi R n lineaarselt sõltumatute vektorite hulka alus see ruum.

Teoreem. Iga lineaarruumi vektorit saab esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina ja seda ainulaadsel viisil.

Tõestus. Olgu vektorid e l , e 2 ,...e n alusmõõtmelise ruumi R. Tõestame, et iga vektor X on nende vektorite lineaarne kombinatsioon. Kuna koos vektoriga X muutub vektorite arv (n +1), siis on need (n +1) vektorid lineaarselt sõltuvad, st. on arvud l , 2 ,..., n ,, mis ei ole üheaegselt võrdsed nulliga, nii et

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Sel juhul 0, sest muidu saaksime  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, kus kõik koefitsiendid l , 2 ,..., n ei ole võrdsed nulliga. See tähendab, et baasvektorid oleksid lineaarselt sõltuvad. Seetõttu saame esimese võrrandi mõlemad pooled jagada järgmisega:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

kus x j = -( j /),
.

Nüüd tõestame, et selline esitus lineaarse kombinatsioonina on ainulaadne. Oletame vastupidist, s.t. et on veel üks esitus:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Lahutame sellest termini haaval eelnevalt saadud avaldise:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Kuna baasvektorid on lineaarselt sõltumatud, saame, et (y j - x j) = 0,
, st y j = x j . Nii et väljend osutus samaks. Teoreem on tõestatud.

Avaldist X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n nimetatakse lagunemine vektor X põhineb e l, e 2,...e n ja arvudel x l, x 2,...x n - koordinaadid vektor x selle aluse suhtes või selles baasis.

Saab tõestada, et kui n-mõõtmelise eukleidilise ruumi nullvektorid on paarikaupa ortogonaalsed, siis moodustavad nad aluse. Tegelikult korrutame võrdsuse l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 mõlemad pooled mis tahes vektoriga e i. Saame  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0  i jaoks.

N-mõõtmelise eukleidilise ruumivormi vektorid e l , e 2 ,...e n ortonormaalne alus, kui need vektorid on paarikaupa ortogonaalsed ja igaühe norm on võrdne ühega, s.o. kui e i *e j = 0 i≠j и |е i | korral = 1 fori.

Teoreem (tõestust pole). Igas n-mõõtmelises eukleidilises ruumis on ortonormaalne alus.

Ortonormaalse baasi näide on n-st ühikuvektorist koosnev süsteem e i , mille i-s komponent võrdub ühega ja ülejäänud komponendid on võrdsed nulliga. Iga sellist vektorit nimetatakse ort. Näiteks vektorvektorid (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1) moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Loeng: Vektori koordinaadid; vektorite skalaarkorrutis; nurk vektorite vahel

Vektori koordinaadid

Niisiis, nagu varem mainitud, on vektor suunatud segment, millel on oma algus ja lõpp. Kui algust ja lõppu kujutavad teatud punktid, siis on neil tasapinnal või ruumis oma koordinaadid.

Kui igal punktil on oma koordinaadid, siis saame kogu vektori koordinaadid.

Oletame, et meil on vektor, mille alguses ja lõpus on järgmised tähised ja koordinaadid: A(A x ; Ay) ja B(B x ; By)

Antud vektori koordinaatide saamiseks tuleb vektori lõpu koordinaatidest lahutada alguse vastavad koordinaadid:

Vektori koordinaatide määramiseks ruumis kasutage järgmist valemit:

Vektorite punktkorrutis

Skalaarkorrutise mõiste määratlemiseks on kaks võimalust:

• Geomeetriline meetod. Selle kohaselt on skalaarkorrutis võrdne nende moodulite väärtuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

• Algebraline tähendus. Algebra seisukohalt on kahe vektori skalaarkorrutis teatud suurus, mis saadakse vastavate vektorite korrutiste summa tulemusena.

Kui vektorid on antud ruumis, peaksite kasutama sarnast valemit:

Omadused:

• Kui korrutate kaks identset vektorit skalaarselt, ei ole nende skalaarkorrutis negatiivne:

• Kui kahe identse vektori skalaarkorrutis on võrdne nulliga, loetakse need vektorid nulliks:

• Kui teatud vektor korrutatakse iseendaga, võrdub skalaarkorrutis selle mooduli ruuduga:

• Skalaarkorrutisel on kommunikatiivne omadus, see tähendab, et skalaarkorrutis ei muutu, kui vektoreid ümber paigutada:

• Nullist erineva vektorite skalaarkorrutis võib olla võrdne nulliga ainult siis, kui vektorid on üksteisega risti:

• Vektorite skalaarkorrutise korral kehtib kommutatsiooniseadus, kui üks vektor korrutatakse arvuga:

• Skalaarkorrutise korral saate kasutada ka korrutamise jaotusomadust:

Nurk vektorite vahel

Tasapinnalise ülesande korral saab vektorite a = (a x; a y) ja b = (b x; b y) skalaarkorrutise leida järgmise valemi abil:

a b = a x b x + a y b y

Ruumiprobleemide vektorite skalaarkorrutise valem

Ruumiprobleemi korral saab vektorite a = (a x; a y; a z) ja b = (b x; b y; b z) skalaarkorrutise leida järgmise valemi abil:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

N-mõõtmeliste vektorite skalaarkorrutise valem

N-mõõtmelise ruumi korral saab vektorite a = (a 1; a 2; ...; a n) ja b = (b 1; b 2; ...; b n) skalaarkorrutise leida kasutades järgmine valem:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektorite skalaarkorrutise omadused

1. Vektori skalaarkorrutis iseendaga on alati suurem kui null või sellega võrdne:

2. Vektori skalaarkorrutis iseendaga on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vektor on võrdne nullvektoriga:

a · a = 0<=>a = 0

3. Vektori skalaarkorrutis iseendaga on võrdne selle mooduli ruuduga:

4. Skalaarkorrutise operatsioon on kommunikatiivne:

5. Kui kahe nullist erineva vektori skalaarkorrutis on võrdne nulliga, siis on need vektorid ortogonaalsed:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Skalaarkorrutise operatsioon on distributiivne:

(a + b) c = a c + b c

Näiteid vektorite skalaarkorrutise arvutamise ülesannetest

Tasapinnaülesannete vektorite skalaarkorrutise arvutamise näited

Leidke vektorite a = (1; 2) ja b = (4; 8) skalaarkorrutis.

Lahendus: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Leidke vektorite a ja b skalaarkorrutis, kui nende pikkused |a| = 3, |b| = 6 ja vektorite vaheline nurk on 60˚.

Lahendus: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Leidke vektorite p = a + 3b ja q = 5a - 3 b skalaarkorrutis, kui nende pikkused |a| = 3, |b| = 2 ning vektorite a ja b vaheline nurk on 60˚.

Lahendus:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Ruumiprobleemide vektorite skalaarkorrutise arvutamise näide

Leidke vektorite a = (1; 2; -5) ja b = (4; 8; 1) skalaarkorrutis.

Lahendus: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Näide n-mõõtmeliste vektorite punktkorrutise arvutamisest

Leidke vektorite a = (1; 2; -5; 2) ja b = (4; 8; 1; -2) skalaarkorrutis.

Lahendus: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Vektorite ja vektori ristkorrutist nimetatakse kolmas vektor , määratletud järgmiselt:

2) risti, risti. (1"")

3) vektorid on orienteeritud samamoodi nagu kogu ruumi alus (positiivne või negatiivne).

Määrake: .

Vektorkorrutise füüsiline tähendus

— jõumoment punkti O suhtes; - raadius - jõu rakenduspunkti vektor, siis

Veelgi enam, kui me liigutame selle punkti O, siis peaks kolmik olema orienteeritud baasvektorina.

Vektorite punktkorrutis

Jätkame vektoritega tegelemist. Esimesel õppetunnil Mannekeenide vektorid Vaatasime vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate ja lihtsamaid ülesandeid vektoritega. Kui sattusite sellele lehele esimest korda otsingumootori kaudu, soovitan tungivalt lugeda ülaltoodud sissejuhatavat artiklit, kuna materjali valdamiseks peate teadma minu kasutatavaid termineid ja tähistusi, omama elementaarseid teadmisi vektorite ja oskama põhiprobleeme lahendada. See õppetund on teema loogiline jätk ja selles analüüsin üksikasjalikult tüüpilisi ülesandeid, mis kasutavad vektorite skalaarkorrutist. See on VÄGA OLULINE tegevus.. Proovige mitte jätta näiteid vahele, nendega on kaasas kasulik lisand – harjutamine aitab teil käsitletud materjali koondada ja paremini lahendada analüütilise geomeetria levinud probleeme.

Vektorite liitmine, vektori korrutamine arvuga.... Naiivne oleks arvata, et matemaatikud pole midagi muud välja mõelnud. Lisaks juba käsitletud toimingutele on mitmeid muid vektoritega toiminguid, nimelt: vektorite punktkorrutis, vektorite vektorkorrutis Ja vektorite segakorrutis. Vektorite skalaarkorrutis on meile kooliajast tuttav, ülejäänud kaks korrutist kuuluvad traditsiooniliselt kõrgema matemaatika kursusesse. Teemad on lihtsad, paljude probleemide lahendamise algoritm on sirgjooneline ja arusaadav. Ainuke asi. Infot on korralik kogus, mistõttu pole soovitav püüda KÕIKE KORRAGA meisterdada ja lahendada. See kehtib eriti mannekeenide kohta; uskuge mind, autor ei taha absoluutselt tunda end nagu matemaatikast pärit Chikatilo. Noh, muidugi ka mitte matemaatikast =) Ettevalmistumad õpilased saavad materjale valikuliselt kasutada, teatud mõttes "saada" puuduvad teadmised; teie jaoks olen ma kahjutu krahv Dracula =)

Teeme lõpuks ukse lahti ja vaatame vaimustusega, mis juhtub siis, kui kaks vektorit kohtuvad...

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon.
Skalaarkorrutise omadused. Tüüpilised ülesanded

Punkttoote kontseptsioon

Kõigepealt umbes nurk vektorite vahel. Ma arvan, et kõik saavad intuitiivselt aru, mis on vektorite vaheline nurk, aga igaks juhuks natuke täpsemalt. Vaatleme vabasid nullist erinevaid vektoreid ja . Kui joonistate need vektorid suvalisest punktist, saate pildi, mida paljud on juba vaimselt ette kujutanud:

Tunnistan, siin kirjeldasin olukorda ainult mõistmise tasemel. Kui vajate vektoritevahelise nurga ranget määratlust, vaadake õpikut, praktiliste probleemide puhul pole see meile põhimõtteliselt kasulik. Ka SIIN JA SIIN jätan nullvektorid kohati tähelepanuta nende vähese praktilise tähtsuse tõttu. Tegin broneeringu spetsiaalselt edasijõudnutele saidi külastajatele, kes võivad mulle ette heita mõne järgneva väite teoreetilise ebatäielikkuse pärast.

võib võtta väärtusi vahemikus 0 kuni 180 kraadi (0 kuni radiaanid), kaasa arvatud. Analüütiliselt on see fakt kirjutatud kahekordse ebavõrdsuse kujul: või (radiaanides).

Kirjanduses jäetakse nurga sümbol sageli vahele ja lihtsalt kirjutatakse.

Definitsioon: Kahe vektori skalaarkorrutis on ARV, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:

Nüüd on see üsna range määratlus.

Keskendume olulisele teabele:

Määramine: skalaarkorrutist tähistatakse või lihtsalt.

Operatsiooni tulemus on NUMBER: vektor korrutatakse vektoriga ja tulemuseks on arv. Tõepoolest, kui vektorite pikkused on arvud, nurga koosinus on arv, siis nende korrutis on ka number.

Paar näidet soojenduseks:

Näide 1

Lahendus: Me kasutame valemit . Sel juhul:

Vastus:

Koosinusväärtused leiate siit trigonomeetriline tabel. Soovitan selle välja printida - seda läheb vaja peaaegu kõigis torni osades ja läheb vaja mitu korda.

Puhtalt matemaatilisest vaatenurgast on skalaarkorrutis mõõtmeteta, see tähendab, et tulemus on antud juhul vaid arv ja kõik. Füüsikaülesannete seisukohalt on skalaarkorrutisel alati teatud füüsikaline tähendus, st pärast tulemust tuleb näidata üks või teine ​​füüsikaline ühik. Kanoonilise näite jõu töö arvutamisest võib leida igast õpikust (valem on täpselt skalaarkorrutis). Jõu tööd mõõdetakse džaulides, seetõttu kirjutatakse vastus üsna konkreetselt, näiteks .

Näide 2

Leia, kui , ja vektorite vaheline nurk on võrdne .

See on näide, mille saate ise lahendada, vastus on tunni lõpus.

Nurk vektorite ja punktkorrutise väärtuse vahel

Näites 1 osutus skalaarkorrutis positiivseks ja näites 2 negatiivseks. Uurime, millest sõltub skalaarkorrutise märk. Vaatame oma valemit: . Nullist erineva vektorite pikkused on alati positiivsed: , seega saab märk sõltuda ainult koosinuse väärtusest.

Märge: Alloleva teabe paremaks mõistmiseks on parem uurida juhendis koosinusgraafikut Funktsioonigraafikud ja omadused. Vaadake, kuidas koosinus segmendil käitub.

Nagu juba märgitud, võib vektorite vaheline nurk erineda ja võimalikud on järgmised juhtumid:

1) Kui nurk vektorite vahel vürtsikas: (0 kuni 90 kraadi), siis , Ja punktkorrutis on positiivne kaasrežissöör, siis loetakse nendevaheline nurk nulliks ja skalaarkorrutis on samuti positiivne. Kuna , valem lihtsustab: .

2) Kui nurk vektorite vahel nüri: (90-180 kraadi), siis ja vastavalt punktkorrutis on negatiivne: . Erijuhtum: kui vektorid vastassuunas, siis arvestatakse nende vahelist nurka laiendatud: (180 kraadi). Ka skalaarkorrutis on negatiivne, kuna

Tõsi on ka vastupidised väited:

1) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk terav. Teise võimalusena on vektorid kaassuunalised.

2) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk nüri. Teise võimalusena on vektorid vastupidises suunas.

Kuid kolmas juhtum pakub erilist huvi:

3) Kui nurk vektorite vahel sirge: (90 kraadi), siis skalaarkorrutis on null: . Tõsi on ka vastupidine: kui , siis . Väite saab kompaktselt sõnastada järgmiselt: Kahe vektori skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis, kui vektorid on ortogonaalsed. Lühike matemaatiline märge:

! Märge : kordame matemaatilise loogika alused: Kahepoolse loogilise tagajärje ikooni loetakse tavaliselt "kui ja ainult siis", "kui ja ainult siis". Nagu näete, on nooled suunatud mõlemas suunas - "sellest järgneb see ja vastupidi - sellest järgneb see." Mis vahe on muuseas ühesuunalise jälgimise ikoonist? Ikoon ütleb ainult et, et "sellest järeldub see", ja pole tõsi, et vastupidine on tõsi. Näiteks: , kuid mitte iga loom pole panter, nii et sel juhul ei saa te ikooni kasutada. Samal ajal ikooni asemel Saab kasutage ühepoolset ikooni. Näiteks ülesande lahendamisel saime teada, et jõudsime järeldusele, et vektorid on ortogonaalsed: - selline kanne on õige ja isegi sobivam kui .

Kolmandal juhtumil on suur praktiline tähendus, kuna see võimaldab teil kontrollida, kas vektorid on ortogonaalsed või mitte. Selle ülesande lahendame tunni teises osas.

Punkttoote omadused

Pöördume tagasi olukorra juurde, kus kaks vektorit kaasrežissöör. Sel juhul on nende vaheline nurk null, ja skalaarkorrutise valem on järgmisel kujul: .

Mis juhtub, kui vektor korrutatakse iseendaga? On selge, et vektor on joondatud iseendaga, seega kasutame ülaltoodud lihtsustatud valemit:

Numbrile helistatakse skalaarruut vektor ja on tähistatud kui .

Seega vektori skalaarruut on võrdne antud vektori pikkuse ruuduga:

Sellest võrdsusest saame valemi vektori pikkuse arvutamiseks:

Seni tundub ebaselge, kuid tunni eesmärgid panevad kõik oma kohale. Probleemide lahendamiseks, mida me ka vajame punkttoote omadused.

Suvaliste vektorite ja mis tahes arvu puhul kehtivad järgmised omadused:

1) – kommutatiivne või kommutatiivne skalaarkorrutise seadus.

2) – levitamine või jaotav skalaarkorrutise seadus. Lihtsalt saate sulgud avada.

3) – assotsiatiivne või assotsiatiivne skalaarkorrutise seadus. Konstandi saab tuletada skalaarkorrutisest.

Tihtipeale tajuvad õpilased kõikvõimalikke omadusi (mis vajavad ka tõestamist!) tarbetu prügina, mis tuleb vaid kohe pärast eksamit pähe õppida ja turvaliselt unustada. Näib, et mis siin oluline on, kõik teavad juba esimesest klassist, et tegurite ümberpaigutamine ei muuda toodet: . Pean hoiatama, et kõrgemas matemaatikas on sellise lähenemisega lihtne asju sassi ajada. Nii et näiteks kommutatiivne omadus ei kehti algebralised maatriksid. See ei vasta ka tõele vektorite vektorkorrutis. Seetõttu on parem vähemalt süveneda kõigisse omadustesse, millega kõrgema matemaatika kursusel kokku puutute, et mõista, mida saate teha ja mida mitte.

Näide 3

.

Lahendus: Kõigepealt teeme olukorra selgeks vektoriga. Mis see ikkagi on? Vektorite summa on täpselt määratletud vektor, mida tähistatakse . Vektoritega toimingute geomeetrilise tõlgenduse leiate artiklist Mannekeenide vektorid. Sama petersell koos vektoriga on vektorite ja .

Seega on tingimuse järgi vaja leida skalaarkorrutis. Teoreetiliselt peate rakendama töövalemit , aga häda on selles, et me ei tea vektorite pikkusi ja nende vahelist nurka. Kuid tingimus annab vektorite jaoks sarnased parameetrid, seega valime teistsuguse marsruudi:

(1) Asendage vektorite avaldised.

(2) Avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi, vulgaarse keeleväänaja leiab artiklist Keerulised numbrid või Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine. Ma ei korda ennast =) Muide, skalaarkorrutise jaotusomadus võimaldab sulgusid avada. Meil on õigus.

(3) Esimeses ja viimases osas kirjutame kompaktselt vektorite skalaarruudud: . Teises liikmes kasutame skalaarkorrutise kommuteeritavust: .

(4) Esitame sarnased terminid: .

(5) Esimeses liikmes kasutame skalaarruutvalemit, mida mainiti mitte nii kaua aega tagasi. Viimasel ametiajal töötab vastavalt sama asi: . Laiendame teist terminit standardvalemi järgi .

(6) Asendage need tingimused , ja tehke lõplikud arvutused HOOLIKALT.

Vastus:

Skalaarkorrutise negatiivne väärtus näitab, et vektorite vaheline nurk on nüri.

Probleem on tüüpiline, siin on näide selle ise lahendamiseks:

Näide 4

Leidke vektorite skalaarkorrutis ja kui see on teada .

Nüüd veel üks levinud ülesanne, just uue vektori pikkuse valemi jaoks. Siinne märge kattub veidi, nii et selguse huvides kirjutan selle ümber teise tähega:

Näide 5

Leia vektori pikkus, kui .

Lahendus saab olema järgmine:

(1) Esitame vektori avaldise.

(2) Kasutame pikkuse valemit: , ja kogu avaldis ve toimib vektorina “ve”.

(3) Summa ruudu jaoks kasutame kooli valemit. Pange tähele, kuidas see siin kurioossel viisil toimib: – tegelikult on see erinevuse ruut ja nii see tegelikult on. Soovijad saavad vektoreid ümber paigutada: - juhtub sama, kuni terminite ümberpaigutamiseni.

(4) Järgnev on juba kahest eelnevast ülesandest tuttav.

Vastus:

Kuna me räägime pikkusest, ärge unustage märkida mõõdet - "ühikud".

Näide 6

Leia vektori pikkus, kui .

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Jätkame punktitootest kasulike asjade väljapressimist. Vaatame uuesti oma valemit . Kasutades proportsioonireeglit, lähtestame vektorite pikkused vasaku külje nimetaja järgi:

Vahetame osad ära:

Mis on selle valemi tähendus? Kui on teada kahe vektori pikkused ja nende skalaarkorrutis, siis saame arvutada nende vektorite vahelise nurga koosinuse ja sellest tulenevalt ka nurga enda.

Kas täpptoode on number? Number. Kas vektori pikkused on arvud? Numbrid. See tähendab, et ka murd on arv. Ja kui nurga koosinus on teada: , siis on pöördfunktsiooni kasutades lihtne nurk ise leida: .

Näide 7

Leia vektorite vaheline nurk ja kui on teada, et .

Lahendus: Kasutame valemit:

Arvutuste viimases etapis kasutati tehnilist tehnikat - nimetaja irratsionaalsuse kõrvaldamine. Irratsionaalsuse kõrvaldamiseks korrutasin lugeja ja nimetaja arvuga.

Nii et kui , See:

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtused leiate järgmiselt trigonomeetriline tabel. Kuigi seda juhtub harva. Analüütilise geomeetria ülesannetes meeldib palju sagedamini mõni kohmakas karu ja nurga väärtus tuleb kalkulaatori abil ligikaudselt leida. Tegelikult näeme sellist pilti rohkem kui üks kord.

Vastus:

Jällegi ärge unustage märkida mõõtmeid - radiaanid ja kraadid. Isiklikult eelistan ilmselgelt "kõikide küsimuste lahendamiseks" märkida mõlemad (kui tingimus muidugi ei nõua vastuse esitamist ainult radiaanides või ainult kraadides).

Nüüd saate iseseisvalt hakkama keerulisema ülesandega:

Näide 7*

Antud on vektorite pikkused ja nendevaheline nurk. Leia vektorite vaheline nurk , .

Ülesanne pole niivõrd raske, kuivõrd mitmeastmeline.
Vaatame lahendusalgoritmi:

1) Vastavalt tingimusele peate leidma nurga vektorite ja vahel, seega peate kasutama valemit .

2) Leidke skalaarkorrutis (vt näiteid nr 3, 4).

3) Leidke vektori pikkus ja vektori pikkus (vt näited nr 5, 6).

4) Lahenduse lõpp langeb kokku näitega nr 7 – me teame arvu , mis tähendab, et nurga enda leidmine on lihtne:

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Tunni teine ​​osa on pühendatud samale skalaarkorrutisele. Koordinaadid. See on veelgi lihtsam kui esimeses osas.

vektorite punktkorrutis,
antud koordinaatidega ortonormaalsel alusel

Vastus:

Ütlematagi selge, et koordinaatidega tegelemine on palju meeldivam.

Näide 14

Leia vektorite skalaarkorrutis ja kui

See on näide, mille saate ise lahendada. Siin saab kasutada tehte assotsiatiivsust ehk mitte arvestada , vaid viia kolmik kohe skalaarkorrutisest välja ja korrutada sellega viimaseks. Lahendus ja vastus on tunni lõpus.

Jaotise lõpus provokatiivne näide vektori pikkuse arvutamise kohta:

Näide 15

Leia vektorite pikkused , Kui

Lahendus: Eelmise jaotise meetod soovitab ennast uuesti: kuid on veel üks viis:

Leiame vektori:

Ja selle pikkus triviaalse valemi järgi :

Punkttoode pole siin üldse asjakohane!

Samuti pole see kasulik vektori pikkuse arvutamisel:
Peatus. Kas me ei peaks ära kasutama vektori pikkuse ilmset omadust? Mida saab öelda vektori pikkuse kohta? See vektor on vektorist 5 korda pikem. Suund on vastupidine, kuid see ei oma tähtsust, sest me räägime pikkusest. Ilmselgelt on vektori pikkus võrdne korrutisega moodul numbrid vektori pikkuse kohta:
– moodulmärk “sööb ära” arvu võimaliku miinuse.

Seega:

Vastus:

Koordinaatidega määratud vektorite vahelise nurga koosinuse valem

Nüüd on meil täielik teave, et kasutada varem tuletatud valemit vektoritevahelise nurga koosinuse jaoks väljendada vektori koordinaatide kaudu:

Tasapinnavektorite vahelise nurga koosinus ja , määratud ortonormaalsel alusel, väljendatakse valemiga:
.

Ruumivektorite vahelise nurga koosinus, määratud ortonormaalselt, väljendatakse valemiga:

Näide 16

Antud kolmnurga kolm tippu. Leia (tipunurk).

Lahendus: Tingimuste kohaselt pole joonist vaja, kuid siiski:

Vajalik nurk on tähistatud rohelise kaarega. Meenutagem kohe nurga koolitähistust: – erilist tähelepanu keskmine täht - see on meile vajaliku nurga tipp. Lühiduse huvides võite kirjutada ka lihtsalt .

Jooniselt on üsna ilmne, et kolmnurga nurk langeb kokku vektorite vahelise nurgaga ja teisisõnu: .

Soovitatav on õppida vaimselt analüüsi tegema.

Leiame vektorid:

Arvutame skalaarkorrutise:

Ja vektorite pikkused:

Nurga koosinus:

Just sellist ülesande täitmise järjekorda soovitan mannekeenidele. Kogenumad lugejad saavad arvutused kirjutada "ühele reale":

Siin on näide "halvast" koosinusväärtusest. Saadud väärtus ei ole lõplik, seega pole mõtet nimetaja irratsionaalsusest vabaneda.

Leiame nurga enda:

Kui vaadata joonist, on tulemus üsna usutav. Kontrollimiseks võib nurka mõõta ka protraktoriga. Ärge kahjustage monitori katet =)

Vastus:

Vastuseks me ei unusta seda küsis kolmnurga nurga kohta(ja mitte vektorite vahelise nurga kohta), ärge unustage näidata täpset vastust: ja nurga ligikaudset väärtust: , leitud kalkulaatori abil.

Need, kes on protsessi nautinud, saavad arvutada nurgad ja kontrollida kanoonilise võrdsuse kehtivust

Näide 17

Kolmnurk on ruumis määratletud selle tippude koordinaatidega. Leia külgede vaheline nurk ja

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Lühike viimane osa on pühendatud prognoosidele, mis hõlmavad ka skalaarkorrutist:

Vektori projektsioon vektorile. Vektori projektsioon koordinaattelgedele.
Vektori suunakoosinused

Kaaluge vektoreid ja:

Projekteerime vektori vektorile; selleks jätame vektori algusest ja lõpust välja perpendikulaarid vektoriks (rohelised punktiirjooned). Kujutage ette, et valguskiired langevad vektorile risti. Siis on segment (punane joon) vektori "vari". Sel juhul on vektori projektsioon vektorile lõigu PIKKUS. See tähendab, PROJEKTSIOON ON NUMBER.

See NUMBER on tähistatud järgmiselt: , "suur vektor" tähistab vektorit MIS projekt, "väike alamindeksi vektor" tähistab vektorit PEAL mis on prognoositud.

Kirje ise kõlab järgmiselt: "vektori "a" projekteerimine vektorile "olla".

Mis juhtub, kui vektor "olla" on "liiga lühike"? Joonistame sirge, mis sisaldab vektorit "olla". Ja vektor “a” projitseeritakse juba vektori "olema" suunas, lihtsalt - sirgele, mis sisaldab vektorit “olla”. Sama juhtub ka siis, kui vektor "a" lükatakse edasi kolmekümnendas kuningriigis - see projitseeritakse ikkagi hõlpsalt sirgele, mis sisaldab vektorit "olla".

Kui nurk vektorite vahel vürtsikas(nagu pildil), siis

Kui vektorid ortogonaalne, siis (projektsioon on punkt, mille mõõtmeid loetakse nulliks).

Kui nurk vektorite vahel nüri(joonisel seadke vektori nool mõtteliselt ümber), seejärel (sama pikk, kuid võetud miinusmärgiga).

Joonistame need vektorid ühest punktist:

Ilmselgelt, kui vektor liigub, siis selle projektsioon ei muutu