Vektorite tüübid. Vektorid

Vektor on eukleidilise ruumi sirge suunatud lõik, mille üht otsa (punkti A) nimetatakse vektori alguseks ja teist otsa (punkti B) vektori lõpuks (joonis 1). Vektorid on tähistatud:

Kui vektori algus ja lõpp langevad kokku, siis kutsutakse vektorit nullvektor ja on määratud 0 .

Näide. Olgu vektori alguses kahemõõtmelises ruumis koordinaadid A(12.6) , ja vektori lõpp on koordinaadid B(12.6). Siis on vektor nullvektor.

Sektsiooni pikkus AB helistas moodul (pikkus, norm) vektor ja seda tähistatakse | a|. Nimetatakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega ühikvektor. Lisaks moodulile iseloomustab vektorit suund: vektoril on suund alates A To B. Vektorit nimetatakse vektoriks, vastupidine vektor.

Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Pildil Joon. 3 punast vektorit on kollineaarsed, sest nad asuvad samal sirgel ja sinised vektorid on kollineaarsed, sest nad asuvad paralleelsetel joontel. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit võrdselt suunatud, kui nende otsad asuvad nende algusi ühendava sirge samal küljel. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastupidiselt suunatud, kui nende otsad asuvad nende algusi ühendava sirge vastaskülgedel. Kui kaks kollineaarset vektorit asuvad samal sirgel, siis nimetatakse neid identselt suunatud, kui üks ühe vektori moodustatud kiirtest sisaldab täielikult teise vektori moodustatud kiirt. Vastasel juhul öeldakse, et vektorid on vastupidise suunaga. Joonisel 3 on sinised vektorid võrdselt suunatud ja punased vastassuunalised.

Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on võrdsed moodulid ja samad suunad. Joonisel 2 on vektorid võrdsed, sest nende moodulid on võrdsed ja sama suunaga.

Vektoreid nimetatakse koplanaarne, kui need asuvad samal tasapinnal või paralleelsetel tasapindadel.

IN n Dimensioonilises vektorruumis vaatleme kõigi vektorite hulka, mille alguspunkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga. Seejärel saab vektori kirjutada järgmisel kujul:

(1)

Kus x 1 , x 2 , ..., x n vektori lõpp-punkti koordinaadid x.

Kutsutakse vektorit, mis on kirjutatud kujul (1). rea vektor, ja vormile kirjutatud vektor

(2)

helistas veeru vektor.

Number n helistas dimensioon (korras) vektor. Kui siis kutsutakse vektorit nullvektor(alates vektori alguspunktist ). Kaks vektorit x Ja y on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed.

Füüsika, mehaanika ja tehnikateaduste erinevaid valdkondi uurides kohtab suurusi, mis määratakse täielikult nende arvväärtusi täpsustades. Selliseid koguseid nimetatakse skalaar või lühidalt skalaarid.

Skalaarsuurused on pikkus, pindala, maht, mass, kehatemperatuur jne Lisaks skalaarsuurustele on erinevates ülesannetes suurused, mille puhul on lisaks nende arvväärtusele vaja teada ka nende suunda. Selliseid koguseid nimetatakse vektor. Vektorsuuruste füüsikalisteks näideteks võivad olla ruumis liikuva materiaalse punkti nihkumine, selle punkti kiirus ja kiirendus, samuti sellele mõjuv jõud.

Vektori suurused esitatakse vektorite abil.

Vektori määratlus. Vektor on teatud pikkusega sirge suunatud segment.

Vektorit iseloomustavad kaks punkti. Üks punkt on vektori alguspunkt, teine ​​punkt on vektori lõpp-punkt. Kui tähistame vektori algust punktiga A , ja vektori lõpp on punkt IN , siis tähistatakse vektorit ennast . Vektorit võib tähistada ka ühe väikese ladina tähega, mille kohal on riba (näiteks ).

Graafiliselt tähistatakse vektorit segmendiga, mille lõpus on nool.

Vektori algust nimetatakse selle rakenduspunkt. Kui punkt A on vektori algus , siis ütleme, et vektorit rakendatakse punktis A.

Vektorit iseloomustavad kaks suurust: pikkus ja suund.

Vektori pikkus – kaugus alguspunkti A ja lõpp-punkti B vahel. Vektori pikkuse teine ​​nimetus on vektori moodul ja seda tähistab sümbol . Vektori moodul on tähistatud Vektor , mille pikkus on 1, nimetatakse ühikvektoriks. See tähendab ühikuvektori tingimust

Nullpikkusega vektorit nimetatakse nullvektoriks (tähistatakse ). Ilmselgelt on nullvektoril sama algus- ja lõpp-punkt. Nullvektoril pole kindlat suunda.

Kollineaarsete vektorite definitsioon. Vektoreid, mis asuvad samal sirgel või paralleelsel sirgel, nimetatakse kollineaarseks .

Pange tähele, et kollineaarsed vektorid võivad olla erineva pikkusega ja erineva suunaga.

Võrdsete vektorite määramine. Kaht vektorit peetakse võrdseks, kui nad on kollineaarsed, sama pikkuse ja sama suunaga.

Sel juhul kirjutavad nad:

Kommenteeri. Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et vektorit saab paralleelselt üle kanda, asetades selle alguspunkti mis tahes ruumipunkti (eelkõige tasapinnale).

Kõik nullvektorid loetakse võrdseteks.

Vastandvektorite määramine. Kahte vektorit nimetatakse vastandlikuks, kui need on kollineaarsed, on ühepikkused, kuid vastupidise suunaga.

Sel juhul kirjutavad nad:

Teisisõnu tähistatakse vektorile vastupidist vektorit kui .

1. lehekülg 2-st

Küsimus 1. Mis on vektor? Kuidas vektoreid tähistatakse?
Vastus. Suunatud lõiku nimetame vektoriks (joonis 211). Vektori suund määratakse selle alguse ja lõpu näitamisega. Joonisel on vektori suund näidatud noolega. Vektorite tähistamiseks kasutame väikeseid ladina tähti a, b, c, .... Vektorit saab tähistada ka selle alguse ja lõpu märkimisega. Sel juhul asetatakse esikohale vektori algus. Sõna "vektor" asemel asetatakse mõnikord vektori tähemärgi kohale nool või joon. Vektorit joonisel 211 saab tähistada järgmiselt:

\(\overline(a)\), \(\overright arrow(a)\) või \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

2. küsimus. Milliseid vektoreid nimetatakse identselt suunatud (vastupidiselt suunatud)?
Vastus. Vektorid \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) on võrdselt suunatud, kui pooljooned AB ja CD on võrdselt suunatud.
Vektorid \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) on vastupidise suunaga, kui poolsirged AB ja CD on vastassuunalised.
Joonisel 212 on vektorid \(\overline(a)\) ja \(\overline(b)\) võrdselt suunatud ning vektorid \(\overline(a)\) ja \(\overline(c)\ ) on vastupidise suunaga.

3. küsimus. Mis on vektori absoluutne suurus?
Vastus. Vektori absoluutväärtus (või moodul) on vektorit esindava segmendi pikkus. Vektori \(\overline(a)\) absoluutväärtust tähistatakse |\(\overline(a)\)|.

4. küsimus. Mis on nullvektor?
Vastus. Vektori algus võib kokku langeda selle lõpuga. Nimetame sellist vektorit nullvektoriks. Nullvektorit tähistatakse nulliga koos sidekriipsuga (\(\overline(0)\)). Nad ei räägi nullvektori suunast. Nullvektori absoluutväärtus loetakse võrdseks nulliga.

5. küsimus. Milliseid vektoreid nimetatakse võrdseteks?
Vastus. Kaht vektorit peetakse võrdseks, kui need kombineeritakse paralleeltõlkega. See tähendab, et on olemas paralleeltõlge, mis viib ühe vektori alguse ja lõpu vastavalt teise vektori algusesse ja lõppu.

6. küsimus. Tõesta, et võrdsetel vektoritel on sama suund ja need on absoluutväärtuses võrdsed. Ja vastupidi: identse suunaga vektorid, mis on absoluutväärtuses võrdsed, on võrdsed.
Vastus. Paralleeltõlke ajal säilitab vektor nii oma suuna kui ka absoluutväärtuse. See tähendab, et võrdsetel vektoritel on samad suunad ja need on absoluutväärtuses võrdsed.
Olgu \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) identse suunatud vektorid, absoluutväärtuselt võrdsed (joonis 213). Paralleeltõlge, mis viib punkti C punkti A, ühendab pooljoone CD pooljoonega AB, kuna neil on sama suund. Ja kuna lõigud AB ja CD on võrdsed, siis punkt D ühtib punktiga B, st. paralleeltõlge teisendab vektori \(\overline(CD)\) vektoriks \(\overline(AB)\). See tähendab, et vektorid \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) on võrdsed, mida oli vaja tõestada.

7. küsimus. Tõesta, et igast punktist saab joonistada antud vektoriga võrdse vektori ja ainult ühe.
Vastus. Olgu CD joon ja vektor \(\overline(CD)\) osa reast CD. Olgu AB sirgjoon, millesse sirgjoon CD paralleelülekande ajal läheb, \(\overline(AB)\) vektor, millesse vektor \(\overline(CD)\) paralleelülekande ajal läheb, ja seetõttu vektorid \(\ overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) on võrdsed ning sirged AB ja CD on paralleelsed (vt joonis 213). Teatavasti saab antud sirgel mitteasetuva punkti kaudu tasapinnale tõmmata maksimaalselt ühe antud sirgega paralleelse sirge (paralleelsete sirgete aksioom). See tähendab, et läbi punkti A saab tõmmata ühe sirge paralleelselt sirgega CD. Kuna vektor \(\overline(AB)\) on osa sirgest AB, siis saab punkti A kaudu joonistada ühe vektori \(\overline(AB)\), mis on võrdne vektoriga \(\overline(CD)\ ).

8. küsimus. Mis on vektori koordinaadid? Kui suur on vektori, mille koordinaadid on a 1, a 2, absoluutväärtus?
Vastus. Olgu vektoril \(\overline(a)\) alguspunkt A 1 (x 1 ; y 1) ja lõpp-punkt A 2 (x 2 ; y 2). Vektori \(\overline(a)\) koordinaadid on arvud a 1 = x 2 - x 1, a 2 = y 2 - y 1 . Asetame vektori koordinaadid vektori tähetähise kõrvale, antud juhul \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) või lihtsalt \((\overline(a 1 ; a 2 ) )\). Nullvektori koordinaadid on võrdsed nulliga.
Kahe punkti vahelist kaugust nende koordinaatide kaudu väljendavast valemist järeldub, et koordinaatidega a 1 , a 2 vektori absoluutväärtus on võrdne \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).

9. küsimus. Tõesta, et võrdsetel vektoritel on vastavalt võrdsed koordinaadid ja vastavalt võrdsete koordinaatidega vektorid on võrdsed.
Vastus. Olgu A 1 (x 1 ; y 1) ja A 2 (x 2 ; y 2) vektori \(\overline(a)\) algus ja lõpp. Kuna sellega võrdne vektor \(\overline(a)\) saadakse vektorist \(\overline(a)\) paralleeltõlke teel, on selle algus ja lõpp A" 1 (x 1 + c; y 1 + d) vastavalt ), A" 2 (x 2 + c; y 2+ d). See näitab, et mõlemal vektoritel \(\overline(a)\) ja \(\overline(a")\) on samad koordinaadid: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
Tõestame nüüd vastupidist väidet. Olgu vektorite \(\overline(A 1 A 2 )\) ja \(\overline(A" 1 A" 2 )\) vastavad koordinaadid võrdsed. Tõestame, et vektorid on võrdsed.
Olgu x" 1 ja y" 1 punkti A" 1 koordinaadid ning x" 2, y" 2 punkti A" 2 koordinaadid. Teoreemi tingimuste kohaselt x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. Seega x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Valemitega antud paralleelülekanne

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

kannab punkti A 1 üle punkti A" 1 ja punkti A 2 punkti A" 2, s.o. vektorid \(\overline(A 1 A 2 )\) ja \(\overline(A" 1 A" 2 )\) on võrdsed, mida oli vaja tõestada.

10. küsimus. Defineeri vektorite summa.
Vastus. Vektorite \(\overline(a)\) ja \(\overline(b)\) koordinaatidega a 1 , a 2 ja b 1, b 2 summat nimetatakse vektoriks \(\overline(c)\) koordinaadid a 1 + b 1, a 2 + b a 2, s.t.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).