Jäiga keha punktide kiiruse (kiirenduse) valemid, mida väljendatakse pooluse kiiruse (kiirenduse) ja nurkkiiruse (kiirenduse) kaudu. Nende valemite tuletamine tuleneb põhimõttest, et keha mis tahes punktide vahelised kaugused selle liikumise ajal jäävad konstantseks.

Sisu

Põhivalemid

Raadiusvektoriga jäiga keha punkti kiirus ja kiirendus määratakse valemitega:
;
.
kus on pöörlemise nurkkiirus, on nurkkiirendus. Need on keha kõigi punktide jaoks võrdsed ja võivad aja jooksul t muutuda.
ja - raadiusvektoriga suvaliselt valitud punkti A kiirus ja kiirendus. Seda punkti nimetatakse sageli pooluseks.
Siin ja allpool tähendavad vektorite korrutised nurksulgudes vektorkorrutisi.

Kiiruse valemi tuletamine

Valime ristkülikukujulise fikseeritud koordinaatide süsteemi Oxyz. Võtame jäiga keha kaks suvalist punkti A ja B. Lase (x A , y A , z A ) Ja (x B , y B , z B )- nende punktide koordinaadid. Kui jäik keha liigub, on need aja t funktsioonid. Nende tuletised aja t suhtes on punktide kiiruste projektsioonid:
, .

Kasutame ära asjaolu, et kui jäik keha liigub, siis vahemaa | AB| punktide vahel jääb konstantseks, st ei muutu ajaga t. Samuti on konstantne kauguse ruut
.
Diferentseerime seda võrrandit aja t suhtes, rakendades kompleksfunktsiooni eristamise reeglit.

Lühendame selle võrra 2 .
(1)

Tutvustame vektoreid
,
.
Siis võrrand (1) saab esitada vektorite skalaarkorrutisena:
(2) .
Sellest järeldub, et vektor on vektoriga risti. Kasutame vektorkorrutise omadust. Siis saab seda esitada järgmiselt:
(3) .
kus on teatud vektor, mille sisestame ainult selleks, et tingimus oleks automaatselt täidetud (2) .
Paneme selle kirja (3) nagu:
(4) ,

Nüüd uurime vektori omadusi. Selleks loome võrrandi, mis ei sisalda punktide kiirusi. Võtame jäiga keha kolm suvalist punkti A, B ja C. Iga nende punktide paari jaoks kirjutame võrrandi (4) :
;
;
.
Lisame need võrrandid:

.
Vähendame vasakul ja paremal küljel olevate kiiruste summat. Selle tulemusena saame vektorvõrrandi, mis sisaldab ainult uuritavaid vektoreid:
(5) .

Seda on lihtne näha, et võrrand (5) on lahendus:
,
kus on mingi vektor, millel on võrdne väärtus jäiga keha mis tahes punktipaaride jaoks. Siis võrrand (4) kehapunktide kiiruste jaoks on järgmine kuju:
(6) .

Nüüd Vaatleme võrrandit (5) matemaatilisest vaatepunktist. Kui kirjutada see vektorvõrrand koordinaattelgede x, y, z komponentide kaupa, siis vektorvõrrand (5) on lineaarne süsteem, mis koosneb 3 võrrandist 9 muutujaga:
ω BAx , ω BAy , ω BAz , ω CBx , ω CBy , ω CBz ,ω ACx , ω ACy , ω ACz .
Kui süsteemi võrrandid (5) on lineaarselt sõltumatud, siis nende üldlahend sisaldab 9 - 3 = 6 suvalised konstandid. Seetõttu pole me kõiki lahendusi leidnud. On veel mõned. Nende leidmiseks märgime, et meie leitud lahendus määrab täielikult kiirusvektori. Seetõttu ei tohiks lisalahendused kaasa tuua kiiruse muutust. Pange tähele, et kahe võrdse vektori vektorkorrutis on võrdne nulliga. Siis, kui sisse (6) lisage vektoriga võrdeline termin, siis kiirus ei muutu:


.

Siis süsteemi üldlahendus (5) on kujul:
;
;
,
kus C BA, C CB, C AC on konstandid.

Kirjutame selle välja süsteemi üldlahendus (5) selgesõnaliselt.
ω BAx = ω x + C BA (xB – xA)
ω BAy = ω y + C BA (y B - y A)
ω BAz = ω z + C BA (zB – zA)
ω CBx = ω x + C CB (x C - x B)
ω CBy = ω y + C CB (y C - y B)
ω CBz = ω z + C CB (zC – zB)
ω ACx = ω x + C AC (x A - x C)
ω ACy = ω y + C AC (y A - y C )
ω ACz = ω z + C AC (zA – zC)
See lahendus sisaldab 6 suvalist konstanti:
ω x , ω y , ω z , C BA , C CB , C AC.
Nii nagu see peaks olema. Seega oleme leidnud süsteemi üldlahenduse kõik terminid (5) .

Vektori ω füüsiline tähendus

Nagu juba märgitud, ei mõjuta vormi tingimused punktide kiiruste väärtusi. Seetõttu võib need ära jätta. Siis seostatakse jäiga keha punktide kiirused seosega:
(6) .

See on jäiga keha nurkkiiruse vektor

Selgitame välja vektori füüsikalise tähenduse .
Selleks seadkem v A = 0 . Seda saab alati teha, kui valite võrdlussüsteemi, mis vaadeldaval hetkel liigub statsionaarse süsteemi suhtes kiirusega . Asetame võrdlussüsteemi O alguspunkti punkti A. Siis r A = 0 . Ja valem (6) toimub järgmisel kujul:
.
Koordinaatsüsteemi z-telg on suunatud piki vektorit.
Vektorkorrutise omaduse järgi on kiirusvektor risti vektoritega ja . See tähendab, et see on paralleelne xy-tasandiga. Kiirusvektori moodul:
v B = ω r B sin θ = ω |HB|,
kus θ on nurk vektorite ja
|HB| on punktist B z-teljele langenud risti pikkus.

Kui vektor ajas ei muutu, liigub punkt B mööda ringi raadiusega |HB| kiirusega
vB = |HB| ω.
See tähendab, et ω on punkti B pöörlemise nurkkiirus punkti H ümber.
Seega jõuame järeldusele, et see on nii jäiga keha pöörlemise hetkenurkkiiruse vektor.

Jäika kehapunktide kiirus

Niisiis leidsime, et jäiga keha suvalise punkti B kiirus määratakse valemiga:
(6) .
See on võrdne kahe liikme summaga. Punkti A nimetatakse sageli poolus. Tavaliselt valitakse pooluseks fikseeritud punkt või teadaoleva kiirusega liikuv punkt. Teine liige tähistab keha punktide pöörlemiskiirust pooluse A suhtes.

Kuna punkt B on suvaline punkt, siis valemis (6) saate teha asendust. Seejärel määratakse raadiusvektoriga jäiga keha punkti kiirus valemiga:
.
Jäiga keha suvalise punkti kiirus on võrdne pooluse A translatsioonilise liikumise kiiruse ja pooluse A suhtes pöörleva liikumise kiiruse summaga.

Jäikade kehapunktide kiirendamine

Nüüd tuletame jäiga keha punktide kiirenduse valemi. Kiirendus on kiiruse tuletis aja suhtes. Eristage kiiruse valem
,
summa ja toote eristamise reeglite kohaldamine:
.
Sisestage punkti A kiirendus
;
ja keha nurkkiirendus
.
Järgmisena märkame seda
.
Siis
.
Või
.

See tähendab, et jäiga keha punktide kiirendusvektorit saab esitada kolme vektori summana:
,
Kus
- suvaliselt valitud punkti kiirendus, mida sageli nimetatakse poolus;
- pöörlemise kiirendus;
- kiire kiirendus.

Kui nurkkiirus muutub ainult suurusjärgus ja ei muutu suunda, siis on nurkkiiruse ja kiirenduse vektorid suunatud samale sirgele. Siis suund pöörlemise kiirendus langeb kokku punkti kiiruse suunaga või sellele vastupidine. Kui nurkkiirus muutub suunas, siis võivad pöörlemiskiirendusel ja -kiirusel olla erinevad suunad.

Kiire kiirendus alati suunatud hetkelise pöörlemistelje poole nii, et see lõikub sellega täisnurga all.

Toome sisse liikuva punktiga A seotud ühikvektori τ, mis on suunatud tangentsiaalselt kaarekoordinaadi suurenemise suunas (joonis 1.6). On ilmne, et τ on muutujavektor: see sõltub l-st. Punkti A kiirusvektor v on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt, nii et seda saab esitada järgmiselt

kus v τ =dl/dt on vektori v projektsioon vektori τ suunas ja v τ on algebraline suurus. Lisaks |v τ |=|v|=v.

Punkti kiirendus

Eristagem (1,22) aja järgi

(1.23)

Teisendame selle avaldise viimase liikme

(1.24)

Määrame vektori τ juurdekasvu dl võrra (joonis 1.7).

Nagu näha jooniselt fig. 1,7, nurk , kust , ja aadressil .

Sisestades punktis 1 trajektoorile normaalühiku vektori n, mis on suunatud kõveruskeskme poole, kirjutame viimase võrrandi vektori kujul

Asendame (1.23) väärtusega (1.24) ja saadud avaldise (1.22). Selle tulemusena leiame

(1.26)

Siin nimetatakse esimest terminit tangentsiaalne a τ , sekund - normaalne a n.

Seega võib punkti kogukiirendust a esitada tangentsiaalse ja normaalkiirenduse geomeetrilise summana.

Täispunkti kiirenduse moodul

(1.27)

See on suunatud trajektoori nõgususe poole kiirusvektori suhtes nurga α ja .

Kui nurk α on teravnurk, siis tanα>0, seega dv/dt>0, kuna v 2 /R>0 on alati.

Sel juhul kiiruse suurus aja jooksul suureneb - liikumist nimetatakse kiirendatud(joonis 1.8).

Kui kiirus aja jooksul väheneb, nimetatakse liikumist aeglane(joonis 1.9).

Kui nurk α=90°, tanα=∞, st dv/dt=0. Sel juhul kiirus aja jooksul suurusjärgus ei muutu ja kogukiirendus on võrdne tsentripetaaliga

(1.28)

Eelkõige on ühtlase pöörleva liikumise kogukiirendus (R=const, v=const) tsentripetaalne kiirendus, mis on võrdne väärtusega a n =v 2 /R ja mis on suunatud kogu aeg tsentri poole.

Lineaarsel liikumisel on keha kogukiirendus võrdne tangentsiaalsega. Sel juhul a n =0, kuna sirgjoonelist trajektoori võib pidada lõpmata suure raadiusega ringiks ja R→∞; v2/R=0; a n = 0; a=a τ .

Olgu punkti M liikumine määratud vektorkujul, st punkti raadiuse vektor määratakse aja funktsioonina

Muutuja vektori lõpu poolt kirjeldatud joont, mille algus on antud fikseeritud punktis, nimetatakse selle vektori hodograafiks. Sellest ja trajektoori definitsioonist tuleneb reegel: punkti trajektoor on selle raadiusvektori hodograaf.

Olgu mingil hetkel t punkt hõivata positsiooni M ja omab raadiuse vektorit ning sel hetkel - positsiooni ja raadiuse vektorit (joonis 78).

Vektor, mis ühendab punkti järjestikuseid asukohti määratud asukohtadega

hetked, nimetatakse punkti liikumise vektoriks ajas. Nihkevektorit väljendatakse vektori funktsiooni (5) väärtuste kaudu järgmiselt:

Kui nihkevektor jagada pilu väärtusega, saame punkti keskmise kiiruse vektori ajas

Nüüd vähendame lõhet, suunates selle nulli. Piiri, milleni keskmise kiiruse vektor kaldub intervalli lõputult vähenedes, nimetatakse punkti kiiruseks ajahetkel t või lihtsalt punkti 0 kiiruseks. Kooskõlas öelduga saame kiiruse jaoks:

Seega on punkti kiirusvektor võrdne selle raadiusvektori ajatuletisega:

Kuna piirjoone (at ) sekant muutub puutujaks, siis jõuame järeldusele, et kiirusvektor on suunatud trajektoori puutujaga punkti liikumise suunas.

Üldjuhul on ka punkti kiirus muutuv ja huvi võib huvitada kiiruse muutumise kiiruse vastu. Kiiruse muutumise kiirust nimetatakse punkti kiirenduseks.

Kiirenduse a määramiseks valime mõne fikseeritud punkti A ja joonistame selle järgi erinevatel aegadel kiirusvektori.

Joon, mida kiirusvektori ots N kirjeldab, on kiirushodograaf (joonis 79). Kiirusevektori muutus väljendub selles, et geomeetriline punkt N liigub mööda kiirushodograafi ja selle liikumise kiirus toimib definitsiooni järgi punkti M kiirendusena.

1. Meetodid punkti liikumise määramiseks etteantud tugisüsteemis

Punktkinemaatika peamised ülesanded on:

1. Punkti liikumise määramise meetodite kirjeldus.

2. Punkti liikumise kinemaatiliste karakteristikute (kiirus, kiirendus) määramine etteantud liikumisseaduse järgi.

Mehaaniline liikumine − ühe keha asendi muutumine teise suhtes (võrdluskeha), millega koordinaatsüsteem kutsus võrdlussüsteem .

Nimetatakse vaadeldavas võrdlusraamis liikuva punkti järjestikuste positsioonide geomeetriline lookus trajektoor punktid.

Määra liikumine − on pakkuda meetodit, mille abil saab igal ajal määrata punkti asukoha valitud võrdlussüsteemi suhtes. Peamised viisid punkti liikumise määramiseks on järgmised:

vektor, koordinaat ja loomulik .

1.Liikumise määramise vektormeetod (Joonis 1).

Punkti asukoha määrab võrdluskehaga seotud fikseeritud punktist tõmmatud raadiusvektor: − punkti liikumisvõrrand.

2. Liikumise täpsustamise koordinaatmeetod (joonis 2).

Sel juhul määratakse punkti koordinaadid aja funktsioonina:

- punkti liikumisvõrrandid koordinaatide kujul.

Need on ka liikuva punkti trajektoori parameetrilised võrrandid, milles aeg mängib parameetri rolli. Selle võrrandi selgesõnaliseks kirjutamiseks peame välistama . Ruumilise trajektoori puhul, välja arvatud , saame:

Tasase trajektoori korral

välja arvatud, saame:

Või .

3. Loomulik viis liikumise määratlemiseks (joonis 3).

Sel juhul määrake:

1) punkti trajektoor,

2) trajektoori alguspunkt,

3) positiivne võrdlussuund,

4) kaarekoordinaadi muutumise seadus: .

Seda meetodit on mugav kasutada, kui punkti trajektoor on ette teada.

2. Punkti kiirus ja kiirendus

Mõelge punkti liikumisele lühikese aja jooksul(Joonis 4):

Siis on punkti keskmine kiirus teatud aja jooksul.

Punkti kiirus antud ajahetkel leitakse keskmise kiiruse piirina :

Punkti kiirus − see on selle liikumise kinemaatiline mõõt, mis on võrdne selle punkti raadiusvektori ajatuletis vaadeldavas võrdlusraamis.

Kiirusevektor on suunatud tangentsiaalselt punkti trajektoorile liikumissuunas.

Keskmine kiirendus iseloomustab kiirusvektori muutust lühikese aja jooksul(joonis 5).

Keskmise kiirenduse piiriks leitakse punkti kiirendus antud ajahetkel :

Punkti kiirendus − see on selle kiiruse muutuse mõõt, mis on võrdne tuletisega ajas selle punkti kiirusest või ajapunkti raadiusvektori teisest tuletisest .

Punkti kiirendus iseloomustab kiirusvektori muutumist suuruses ja suunas. Kiirendusvektor on suunatud trajektoori nõgususe poole.

3. Punkti kiiruse ja kiirenduse määramine liikumise määramise koordinaatmeetodil

Seos liikumise määramise vektormeetodi ja koordinaatmeetodi vahel on antud seosega

(joonis 6).

Kiiruse definitsioonist:

Kiiruse projektsioonid koordinaatide telgedel on võrdsed vastavate koordinaatide tuletistega aja suhtes

, , . .

Kiiruse suurus ja suund määratakse avaldiste abil:

Eespool olev punkt tähistab siin ja edaspidi diferentseerumist aja suhtes

Kiirenduse definitsioonist:

Kiirenduse projektsioonid koordinaatide telgedel on võrdsed vastavate koordinaatide teise tuletisega aja suhtes:

, , .

Kiirenduse moodul ja suund määratakse avaldiste abil:

, , .

4 Punkti kiirus ja kiirendus liikumise määramise loomuliku meetodi abil

4.1 Looduslikud teljed.

Punkti kiiruse ja kiirenduse määramine loomulikul liikumise määramise meetodil

Looduslikud teljed (puutuja, põhinormaal, binormaal) on liikuva ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi teljed, mille alguspunkt on liikuvas punktis. Nende asukoha määrab liikumise trajektoor. Puutuja (ühikvektoriga) on suunatud piki puutujat kaarekoordinaatide referentsi positiivses suunas ja leitakse antud punkti läbiva sekandi piirasendina (joonis 9). Puutetasand läbib puutujat (joon. 10), mis asub tasandi piirasendina lk nagu punkt M1 kaldub punkti M. Normaaltasand on puutujaga risti. Normaal- ja võnketasandite lõikejoon on põhinormaal. Põhinormaali ühikvektor on suunatud trajektoori nõgususe poole. Binormaal (ühikvektoriga) on suunatud puutuja ja põhinormaaliga risti, nii et vektorid , ja moodustavad vektorite parempoolse kolmiku. Kasutusele võetud liikuva koordinaatsüsteemi koordinaattasandid (külgnevad, normaal- ja sirgjoonelised) moodustavad loomuliku kolmnurga, mis liigub koos liikuva punktiga nagu jäik keha. Selle liikumise ruumis määrab trajektoor ja kaarekoordinaadi muutumise seadus.

Punktikiiruse definitsioonist

kus , on ühiku puutuja vektor.

Siis

, .

Algebraline kiirus − kiirusvektori projektsioon puutujale, mis on võrdne kaarekoordinaadi tuletisega aja suhtes. Kui tuletis on positiivne, liigub punkt kaare koordinaadi positiivses suunas.

Kiirenduse definitsioonist

− vektormuutuja suunas ja

Tuletise määrab ainult antud punkti läheduses kulgeva trajektoori tüüp, kusjuures puutuja pöördenurka arvesse võttes on meil , kus on põhinormaali ühikvektor, on trajektoori kõverus, ja on trajektoori kõverusraadius antud punktis.

Leiame, kuidas arvutatakse punkti kiirus ja kiirendus, kui liikumine on antud võrranditega (3) või (4). Trajektoori määramise küsimust on antud juhul käsitletud juba §-s 37.

Valemid (8) ja (10), mis määravad v ja a väärtused, sisaldavad vektorite ajatuletisi. Vektorite tuletisi sisaldavates võrdustes toimub üleminek projektsioonidevahelistele sõltuvustele järgmise teoreemi abil: vektori tuletise projektsioon antud võrdlussüsteemis fikseeritud teljele on võrdne diferentseeruva vektori projektsiooni tuletisega. samale teljele, st.

1. Punkti kiiruse määramine. Punkti kiirusvektor Siit valemite (I) põhjal, võttes arvesse, et leiame:

kus tähe kohal olev täpp on aja suhtes eristamise sümbol. Seega on punkti kiiruse projektsioonid koordinaatide telgedele võrdsed punkti vastavate koordinaatide esimeste tuletistega aja suhtes.

Teades kiiruse projektsioone, leiame valemite abil selle suuruse ja suuna (st nurgad, mille vektor v moodustab koordinaattelgedega).

2. Punkti kiirenduse määramine. Punkti kiirendusvektor Siit saame valemite (11) põhjal:

st. punkti kiirenduse projektsioonid koordinaatide telgedele on võrdsed kiirusprojektsioonide esimeste tuletistega või punkti vastavate koordinaatide teise tuletistega aja suhtes. Kiirenduse suuruse ja suuna saab leida valemitest

kus on kiirendusvektori poolt moodustatud nurgad koordinaattelgedega.

Seega, kui punkti liikumine on antud Descartes'i ristkülikukujulistes koordinaatides võrranditega (3) või (4), siis punkti kiirus määratakse valemitega (12) ja (13) ning kiirendus valemitega (14). ja (15). Veelgi enam, kui liikumine toimub ühel tasapinnal, tuleks projektsioon teljele kõigis valemites kõrvale jätta