Millal on vektorid võrdsed? Vektorid Vektorid Ajalooline viide Vektori mõiste Vektorite võrdsus Vektori edasilükkamine etteantud punktist Kahe vektori summa Liitmise seadused Lahutamine

1. lehekülg 2-st

Küsimus 1. Mis on vektor? Kuidas vektoreid defineeritakse?
Vastus. Suunatud lõiku nimetame vektoriks (joonis 211). Vektori suund määratakse selle alguse ja lõpu määramisega. Joonisel on vektori suund märgitud noolega. Vektorite tähistamiseks kasutame väikeseid ladina tähti a, b, c, ... . Samuti saate vektori määrata, määrates selle alguse ja lõpu. Sel juhul asetatakse esikohale vektori algus. Sõna "vektor" asemel asetatakse mõnikord vektori tähetähise kohale nool või kriips. Vektorit joonisel 211 võib tähistada järgmiselt:

\(\overline(a)\), \(\overright arrow(a)\) või \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

2. küsimus. Milliseid vektoreid nimetatakse võrdselt suunatud (vastupidiselt suunatud)?
Vastus. Vektorid \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) on võrdselt suunatud, kui pooljooned AB ja CD on võrdselt suunatud.
Vektoreid \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) nimetatakse vastassuunaliseks, kui poolsirged AB ja CD on vastassuunalised.
Joonisel 212 on vektorid \(\overline(a)\) ja \(\overline(b)\) sama suunaga, samas kui vektorid \(\overline(a)\) ja \(\overline(c) \) on vastupidises suunas.

3. küsimus. Mis on juhtunud absoluutväärtus vektor?
Vastus. Vektori absoluutväärtus (või moodul) on vektorit esindava segmendi pikkus. Vektori \(\overline(a)\) absoluutväärtust tähistatakse |\(\overline(a)\)|.

4. küsimus. Mis on nullvektor?
Vastus. Vektori algus võib kokku langeda selle lõpuga. Sellist vektorit nimetatakse nullvektoriks. Nullvektorit tähistatakse nulliga kriipsuga (\(\overline(0)\)). Keegi ei räägi nullvektori suunast. Nullvektori absoluutväärtus loetakse võrdseks nulliga.

5. küsimus. Milliseid vektoreid nimetatakse võrdseteks?
Vastus. Kaht vektorit peetakse võrdseks, kui need on ühendatud paralleelse translatsiooniga. See tähendab, et toimub paralleeltõlge, mis nihutab ühe vektori alguse ja lõpu vastavalt teise vektori algusesse ja lõppu.

6. küsimus. Tõesta, et võrdsetel vektoritel on sama suund ja need on absoluutväärtuses võrdsed. Ja vastupidi: võrdselt suunatud vektorid, mis on absoluutväärtuses võrdsed, on võrdsed.
Vastus. Paralleeltõlke korral säilitab vektor nii oma suuna kui ka absoluutväärtuse. See tähendab, et võrdsetel vektoritel on sama suund ja need on absoluutväärtuses võrdsed.
Olgu \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) absoluutväärtuselt võrdsed võrdselt suunatud vektorid (joonis 213). Paralleeltõlge, mis viib punkti C punkti A, ühendab pooljoone CD pooljoonega AB, kuna need on võrdselt suunatud. Ja kuna lõigud AB ja CD on võrdsed, siis punkt D ühtib punktiga B, st. paralleeltõlge teisendab vektori \(\overline(CD)\) vektoriks \(\overline(AB)\). Seega on vektorid \(\overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) vastavalt vajadusele võrdsed.

7. küsimus. Tõesta, et mis tahes punktist saab joonistada vektori, mis on võrdne antud vektor, ja ainult üks.
Vastus. Olgu CD sirge ja vektor \(\overline(CD)\) osa reast CD. Olgu AB sirge, kuhu joon CD paralleeltõlke ajal läheb, \(\overline(AB)\) on vektor, millesse vektor \(\overline(CD)\) paralleeltõlke ajal läheb, ja sellest tulenevad vektorid \(\ overline(AB)\) ja \(\overline(CD)\) on võrdsed ning sirged AB ja CD on paralleelsed (vt joonis 213). Teatavasti saab antud sirgel mitteasuva punkti kaudu tasapinnale tõmmata maksimaalselt ühe antud sirgega paralleelse sirge (paralleelsirgete aksioom). Seega saab punkti A kaudu tõmmata ühe sirgega CD paralleelse sirge. Kuna vektor \(\overline(AB)\) on osa sirgest AB, on võimalik läbi punkti A tõmmata üks vektor \(\overline(AB)\), mis on võrdne vektoriga \(\overline (CD)\).

8. küsimus. Mis on vektori koordinaadid? Kui suur on koordinaatidega a 1, a 2 vektori absoluutväärtus?
Vastus. Algab vektor \(\overline(a)\) punktis A 1 (x 1 ; y 1) ja lõpeb punktis A 2 (x 2 ; y 2). Vektori \(\overline(a)\) koordinaadid on arvud a 1 = x 2 - x 1, a 2 = y 2 - y 1 . Vektori koordinaadid paneme vektori tähetähise kõrvale, sisse sel juhul\(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) või lihtsalt \((\overline(a 1 ; a 2 ))\). Nullvektori koordinaadid on võrdsed nulliga.
Valemist, mis väljendab kahe punkti vahelist kaugust nende koordinaatidena, järeldub, et koordinaatidega a 1 , a 2 vektori absoluutväärtus on \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).

9. küsimus. Tõesta, et võrdsetel vektoritel on vastavalt võrdsed koordinaadid ja vastavalt võrdsete koordinaatidega vektorid on võrdsed.
Vastus. Olgu A 1 (x 1 ; y 1) ja A 2 (x 2 ; y 2) vektori \(\overline(a)\) algus ja lõpp. Kuna sellega võrdne vektor \(\overline(a)\) saadakse vektorist \(\overline(a)\) paralleeltõlke teel, siis on selle algus ja lõpp vastavalt A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​+ d). See näitab, et mõlemal vektoritel \(\overline(a)\) ja \(\overline(a")\) on samad koordinaadid: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Tõestame nüüd vastupidist väidet. Olgu vektorite \(\overline(A 1 A 2 )\) ja \(\overline(A" 1 A" 2 )\) vastavad koordinaadid võrdsed. Tõestame, et vektorid on võrdsed.
Olgu x" 1 ja y" 1 punkti A" 1 koordinaadid ning x" 2, y" 2 punkti A" 2 koordinaadid. Teoreemi tingimuse järgi x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Seega x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Valemite abil antud paralleeltõlge

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

kannab punkti A 1 üle punkti A" 1 ja punkti A 2 punkti A" 2, s.o. vektorid \(\overline(A 1 A 2 )\) ja \(\overline(A" 1 A" 2 )\) on vastavalt vajadusele võrdsed.

10. küsimus. Defineeri vektorite summa.
Vastus. Koordinaatidega a 1 , a 2 ja b 1 vektorite \(\overline(a)\) ja \(\overline(b)\) summa, b 2 on vektor \(\overline(c)\) koordinaadid a 1 + b 1, a 2 + b a 2, s.o.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

Mis on vektor? Vektori mõiste tekib siis, kui tuleb tegeleda objektidega, mida iseloomustavad suurusjärk ja suund: näiteks kiirus, jõud, rõhk. Selliseid suurusi nimetatakse vektorkogusteks või vektoriteks. Vektori mõiste tekib siis, kui tuleb tegeleda objektidega, mida iseloomustavad suurusjärk ja suund: näiteks kiirus, jõud, rõhk. Selliseid suurusi nimetatakse vektorkogusteks või vektoriteks.

Vektori mõiste Vaatleme suvalist lõiku. Sellel on kaks suunda. Ühe suuna valimiseks nimetatakse segmendi ühte otsa START ja teist LÕPUKS ning eeldame, et segment on suunatud algusest lõpuni. Definitsioon. Definitsioon. Lõigu, mille jaoks on näidatud, milline selle ots loetakse alguseks ja milline on lõpp, nimetatakse suunatud lõiguks või vektoriks. Lõigu, mille jaoks on näidatud, milline selle ots loetakse alguseks ja milline on lõpp, nimetatakse suunatud lõiguks või vektoriks.

Vektori mõiste Vektorid on sageli tähistatud ühe väiketähega Ladina täht noolega selle kohal: Vektoreid tähistatakse sageli ühe väikese ladina tähega, mille kohal on nool: Iga tasapinna punkt on ühtlasi vektor, mida nimetatakse NULLiks. Nullvektori algus langeb kokku selle lõpuga: Iga tasandi punkt on ühtlasi vektor, mida nimetatakse NULLiks. Nullvektori algus langeb kokku selle lõpuga: MM = 0. MM = 0. a b c M

Vektori mõiste Nullist erineva vektori AB pikkus ehk moodul on lõigu AB pikkus: Nullist erineva vektori AB pikkus ehk moodul on lõigu AB pikkus: AB = a = AB = 5 AB = a = AB = 5 c = 17 c = 17 Nullvektori pikkus loetakse nulliks : Nullvektori pikkuseks loetakse null: MM = 0. MM = 0. a M B A c

Kollineaarsed vektorid Nullist erinevaid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks, kui need asuvad kas samal sirgel või paralleelsel sirgel. Kollineaarsed vektorid võivad olla samasuunalised või vastassuunalised. Nullist erinevaid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks, kui need asuvad kas samal sirgel või paralleelsel sirgel. Kollineaarsed vektorid võivad olla samasuunalised või vastassuunalised. Nullvektorit peetakse mis tahes vektori suhtes kollineaarseks. Nullvektorit peetakse mis tahes vektori suhtes kollineaarseks. ab c d m n s L

Vektori edasilükkamine antud punktist Kui punkt A on vektori a algus, siis öeldakse, et vektor a on punktist A edasi lükatud. Kui punkt A on vektori a algus, siis öeldakse, et vektor a lükatakse punktist A edasi. Väide: Igast punktist M saab kõrvale jätta antud vektoriga a võrdse vektori ja pealegi ainult ühe. Väide: Igast punktist M on võimalik edasi lükata vektorit, mis on võrdne antud vektoriga a ja pealegi ainult üks. Võrdsed vektorid joonistatud alates erinevad punktid, sageli tähistatakse sama tähega Erinevatest punktidest joonistatud võrdseid vektoreid tähistatakse sageli sama tähega A a M a

Kahe vektori summa. Kodune Petya (D) läks Vasyasse (V) ja läks siis kinno (K). Nende kahe liikumise tulemusena, mida saab kujutada vektoritega DV ja VK, liikus Petya punktist D punktist K, s.o. vektorile DK: Nende kahe liikumise tulemusena, mida saab kujutada vektoritega DV ja VK, liikus Petya punktist D punktist K, s.o. vektorile DК: DK=DB+BK. DK=DB+BK. Vektorit DK nimetatakse vektorite DB ja BK summaks. D V K

Kahe vektori summa Kolmnurga reegel Olgu a ja b kaks vektorit. Märge suvaline punkt A ja jätame sellest punktist AB = a kõrvale, siis punktist B paneme kõrvale vektori BC = b. Olgu a ja b kaks vektorit. Märgime suvalise punkti A ja lükkame sellest punktist AB \u003d a edasi, siis punktist B lükkame ära vektori BC \u003d b. AC = a + b AC = a + b a b A a b B C
Vastandvektorid Olgu a suvaline nullist erinev vektor. Olgu a suvaline nullist erinev vektor. Definitsioon. Vektorit b nimetatakse vektori a vastandiks, kui a ja b on olemas võrdsed pikkused ja vastupidiselt suunatud. a = AB, b = BA Vektorile c vastandlikku vektorit tähistatakse järgmiselt: -c. Ilmselgelt c+(-c)=0 või AB+BA=0 A B a b c -c

Vektorite lahutamine Definitsioon. Kahe vektori a ja b vahe on selline vektor, mille summa vektoriga b on võrdne vektoriga a. Definitsioon. Kahe vektori a ja b vahe on selline vektor, mille summa vektoriga b on võrdne vektoriga a. Teoreem. Mis tahes vektorite a ja b korral on võrdus a - b \u003d a + (-b) tõene. Ülesanne. Vektorid a ja b on antud. Ehitage vektor a - b. a a b -b a - b

G – 9. klassi tund nr 2

Teema: Vektori mõiste. Vektori võrdsus. Vektori edasilükkamine etteantud punktist.

Eesmärgid:

tutvustada vektori mõistet, selle pikkust, kollineaarset ja võrdsed vektorid;

õpetada õpilasi vektoreid kujutama ja tähistama, etteantuga võrdset vektorit tasandi mis tahes punktist edasi lükkama;

kinnistada õpilaste teadmisi probleemide lahendamise käigus;

arendada mälu, tähelepanu, matemaatilist mõtlemist;

arendada töökust, soovi saavutada eesmärke ja eesmärke.

Tundide ajal.

korralduslikud hetked.

Tunni teema ja eesmärkide tutvustamine.

Õpilaste teadmiste ja oskuste täiendamine.

1. Kodutööde kontrollimine. Lahendamata ülesannete analüüs.

2. Kontrollimine teoreetiline teave:

Võrdhaarne kolmnurk ja selle omadused. Kolmnurkade võrdsuse märgid.

Definitsioon keskmine joon kolmnurk ja selle omadused.

Pythagorase teoreem ja selle pöördteoreem.

Kolmnurga pindala arvutamise valem.

Rööpküliku mõiste, rööpküliku, rombi, ristküliku omadused ja tunnused.

Trapetsi mõiste, trapetside liigid.

Rööpküliku pindala, trapetsi pindala.

Uue materjali õppimine.

Lõigete 76–78 materjal tuleks esitada lühikese loengu vormis, kasutades erinevaid vektoresitlusi.

1. Vektorkoguste (või lühidalt vektorite) mõiste.

2. Näiteid õpilastele füüsikakursusest teadaolevate vektorsuuruste kohta: jõud, nihe materiaalne punkt, kiirus ja teised (õpiku joon. 240).

3. Vektori definitsioon (joon. 241, 242).

4. Vektori tähistus on kahe suure ladina tähega, mille kohal on nool, näiteksvõi tähistatakse sageli ühe väikese ladina tähega, mille kohal on nool:(Joon. 243, a, b).

5. Nullvektori mõiste: iga tasandi punkt on ühtlasi vektor; sel juhul nimetatakse vektorit nulliks; eest seisma:(joonis 243, a).

6. Nullist erineva vektori pikkuse või mooduli määramine. Määramine:. Nullvektori pikkus= 0.

7. Leidke joonistel 243, a ja 243, b näidatud vektorite pikkused.

8. Täida praktilisi ülesandeid nr 738, 739.

9. Vaatleme näidet keha liikumisest, mille puhul kõik selle punktid liiguvad sama kiirusega ja samas suunas (õpiku punktist 77), joon. 244.

10. Tutvustage mõistet kollineaarsed vektorid(Joonis 245).

11. Kaassuunaliste vektorite ja vastassuunaliste vektorite mõistete defineerimine, nende tähistus (joon. 246).

12. Nullvektor on suunatud mis tahes vektoriga.

13. Võrdsete vektorite definitsioon: kuiJa, See.

14. Väljendi tähenduse selgitus: „Vektoredasi lükatud punktist A "(joon. 247).

15. Tõestus väitele, et igast punktist on võimalik edasi lükata vektorit, mis on võrdne antud ja pealegi ainult ühega (joonis 248).

16. Täitmine praktiline ülesanne № 743.

17. Suuliselt lahendage tahvlil valminud joonise järgi ülesanne nr 749.

Probleemi lahendamine.

1. Lahendage tahvlil ja vihikutes ülesanne nr 740 (a).

2. Lahenda suuliselt ülesanne nr 744.

3. Lahenda ülesanne number 742.

4. Lahenda ülesanne nr 745 (valikuliselt).

5. Suuliselt, vastavalt koostatud joonisele, lahendada ülesanne nr 746.

6. Tõesta otsene väide ülesandes nr 750:

Tõestus

Tingimuste järgi, siis AB || CD, siis vastavalt rööpküliku tunnusele on ABDC rööpkülik ja rööpküliku diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga, mis tähendab, et lõikude AD ja BC keskpunktid langevad kokku.

Kordamine korraldada järgmiste ülesannete lahendamise käigus - Kordamise ülesanded OGE (GIA) ülesannete pangast -2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 - moodulist "Geomeetria"; Nr 24 - mooduli "Geomeetria" 2. osast Valik nr 3

Tunni tulemused.

Õppetunni kokkuvõte. Märkide panemine.

§ 1 õppimise tulemusena peaksid õpilased teadma vektori ja võrdusvektorite mõisteid; oskama vektoreid kujutada ja tähistada, antud punktist etteantud vektorit edasi lükata; lahendada ülesandeid tüübist nr 741–743; 745–752.



Kodutöö: tutvuge punktides 76–78 oleva materjaliga; vasta küsimustele 1-6, lk. 213 õpikut; lahendada ülesandeid nr 747, 749, 751.

1. Üldsätted

1.1. Ärialase maine säilitamiseks ja föderaalseaduste normide järgimise tagamiseks arvestab FGAU GNII ITT Informika (edaspidi ettevõte) kõige tähtsam ülesanne isikuandmete töötlemise legitiimsuse ja turvalisuse tagamine Ettevõtte äriprotsessides.

1.2. Selle probleemi lahendamiseks on Ettevõte juurutanud, opereerib ja läbib perioodilise isikuandmete kaitse süsteemi ülevaatuse (kontrolli).

1.3. Isikuandmete töötlemine Ettevõttes põhineb põhimõtteid järgides:

Isikuandmete töötlemise eesmärkide ja meetodite seaduslikkus ning heausksus;

Isikuandmete töötlemise eesmärkide vastavus eelnevalt kindlaks määratud ja isikuandmete kogumise käigus deklareeritud eesmärkidele, samuti Ettevõtte volitused;

Töödeldavate isikuandmete mahu ja iseloomu, isikuandmete töötlemise meetodite vastavus isikuandmete töötlemise eesmärkidele;

Isikuandmete usaldusväärsus, asjakohasus ja piisavus töötlemise eesmärkide seisukohalt, töötlemise lubamatus ülemäärane seoses isikuandmete kogumise eesmärkidega;

Isikuandmete turvalisuse tagamiseks võetavate organisatsiooniliste ja tehniliste meetmete õiguspärasus;

Ettevõtte töötajate teadmiste taseme pidev tõstmine isikuandmete turvalisuse tagamise valdkonnas nende töötlemisel;

Isikuandmete kaitse süsteemi pideva täiustamise poole püüdlemine.

2. Isikuandmete töötlemise eesmärgid

2.1. Vastavalt isikuandmete töötlemise põhimõtetele määratleb Ettevõte töötlemise koosseisu ja eesmärgid.

Isikuandmete töötlemise eesmärgid:

Järeldus, hooldus, muutmine, lõpetamine töölepingud, mis on Ettevõtte ja tema töötajate vaheliste töösuhete tekkimise või lõppemise aluseks;

Portaali pakkumine, teenused isiklik kontoõpilastele, vanematele ja õpetajatele;

Õpitulemuste talletamine;

Föderaalseadustes ja muudes normatiivaktides sätestatud kohustuste täitmine;

3. Isikuandmete töötlemise reeglid

3.1. Ettevõte töötleb ainult neid isikuandmeid, mis on esitatud kinnitatud FSAI GNII ITT "Informika" töödeldavate isikuandmete loetelus.

3.2. Ettevõte ei luba töödelda järgmiste kategooriate isikuandmeid:

Rass;

poliitilised vaated;

Filosoofilised uskumused;

Tervisliku seisundi kohta;

Intiimse elu seisund;

rahvus;

Usulisi tõekspidamisi.

3.3. Ettevõte ei töötle biomeetrilisi isikuandmeid (isiku füsioloogilisi ja bioloogilisi omadusi iseloomustav teave, mille alusel on võimalik tuvastada tema isikut).

3.4. Ettevõte ei teosta isikuandmete piiriülest edastamist (isikuandmete edastamist territooriumile välisriik välisriigi võim, välismaa üksikisikule või välisriigi juriidiline isik).

3.5. Ettevõte keelab teha isikuandmete subjektide kohta otsuseid, mis põhinevad üksnes nende isikuandmete automatiseeritud töötlemisel.

3.6. Ettevõte ei töötle andmeid subjektide karistusregistrite kohta.

3.7. Ettevõte ei paiguta subjekti isikuandmeid avalikesse allikatesse ilma tema eelneva nõusolekuta.

4. Rakendatud nõuded isikuandmete turvalisuse tagamiseks

4.1. Isikuandmete turvalisuse tagamiseks nende töötlemisel rakendab Ettevõte alljärgneva nõudeid normatiivdokumendid Vene Föderatsioon isikuandmete töötlemise ja turvalisuse tagamise valdkonnas:

föderaalseadus 27. juuli 2006 nr 152-FZ “Isikuandmete kohta”;

Valitsuse määrus Venemaa Föderatsioon 01.11.2012 N 1119 "Isikuandmete kaitse nõuete kinnitamise kohta nende töötlemisel aastal infosüsteemid isiklikud andmed";

Vene Föderatsiooni valitsuse 15. septembri 2008. a määrus nr 687 „Isikuandmete automatiseerimisvahendeid kasutamata töötlemise eripära käsitlevate määruste kinnitamise kohta”;

Venemaa FSTECi 18. veebruari 2013. aasta korraldus N 21 "Isikuandmete infosüsteemides töötlemise ajal isikuandmete turvalisuse tagamiseks vajalike organisatsiooniliste ja tehniliste meetmete koostise ja sisu kinnitamise kohta";

Isikuandmete turvaohtude põhimudel nende töötlemisel isikuandmete infosüsteemides (kinnitatud Venemaa FSTECi asedirektori poolt 15. veebruaril 2008);

Isikuandmete infosüsteemides töötlemisel isikuandmete turvalisust ähvardavate tegelike ohtude kindlakstegemise metoodika (kinnitatud Venemaa FSTECi asedirektori poolt 14. veebruaril 2008).

4.2. Ettevõte hindab isikuandmete subjektidele tekitatud kahju ja teeb kindlaks ohud isikuandmete turvalisusele. Vastavalt tuvastatud tegelikele ohtudele rakendab Ettevõte vajalikke ja piisavaid organisatsioonilisi ja tehnilisi meetmeid, sealhulgas infoturbe vahendite kasutamist, volitamata juurdepääsu tuvastamist, isikuandmete taastamist, isikuandmetele juurdepääsu reeglite kehtestamist, isikuandmetele juurdepääsu reeglite kehtestamist. samuti võetud meetmete tõhususe jälgimine ja hindamine.

4.3. Ettevõte on määranud isikuandmete töötlemise korraldamise ja turvalisuse tagamise eest vastutavad isikud.

4.4. Ettevõtte juhtkond on teadlik vajadusest ja on huvitatud selle tagamisest, et nii Vene Föderatsiooni regulatiivsete dokumentide nõuete kui ka äririskide hindamise seisukohalt oleks õigustatud isikuandmete osana töödeldavate isikuandmete turvalisuse tase. Ettevõtte põhitegevus.