Leia vektor, mis on vektoritega risti. Antud vektoriga risti oleva vektori leidmine, näited ja lahendused

Juhend

Kui algvektor on joonisel kujutatud ristkülikukujulises kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis ja samasse kohta on vaja ehitada risti, siis lähtu vektorite perpendikulaarsuse definitsioonist tasapinnal. Selles öeldakse, et sellise suunatud segmentide paari vaheline nurk peab olema 90°. Selliseid vektoreid on võimalik konstrueerida lõpmatu arv. Seetõttu tõmmake tasapinna mis tahes sobivasse kohta algvektoriga risti, eraldage sellele segment, mis võrdub antud järjestatud punktide paari pikkusega, ja määrake selle üks ots risti vektori alguseks. Tehke seda nurganurga ja joonlauaga.

Kui algvektor on antud kahemõõtmeliste koordinaatidega ā = (X₁;Y₁), siis lähtume sellest, et risti vektorite paari skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga. See tähendab, et peate valima soovitud vektorile ō = (X₂,Y₂) sellised koordinaadid, mille korral on täidetud võrdus (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Seda saab teha järgmiselt: valige X2-koordinaadi jaoks mis tahes nullist erinev väärtus ja arvutage Y2-koordinaat valemiga Y2 = -(X1*X2)/Y1. Näiteks vektori ā = (15;5) jaoks on vektor ō, mille abstsiss on võrdne ühega ja ordinaat -(15*1)/5 = -3, st. ō = (1;-3).

Kolmemõõtmelise ja mis tahes muu ristkoordinaadisüsteemi puhul kehtib sama vajalik ja piisav tingimus vektorite perpendikulaarsuse kohta - nende skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga. Seega, kui algne suunatud segment on antud koordinaatidega ā = (X₁,Y₁,Z₁), siis sellega risti oleva järjestatud punktide paari ō = (X₂,Y₂,Z₂) jaoks vali sellised koordinaadid, mis vastavad tingimusele (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Lihtsaim viis on määrata X₂-le ja Y2-le üksikud väärtused ning arvutada Z₂ lihtsustatud võrrandist Z₂ = -1*(X1*1 + Y1*1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Näiteks vektori ā = (3,5,4) puhul on see järgmine kuju: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Seejärel võtke abstsiss ja ordinaat risti vektor ühtsusena ja on sel juhul võrdne -(3+5)/4 = -2.

Allikad:

• leida vektor, kui see on risti

Perpendikulaarseid nimetatakse vektor, mille vaheline nurk on 90º. Perpendikulaarsed vektorid ehitatakse joonistustööriistade abil. Kui on teada nende koordinaadid, siis on võimalik analüütiliste meetoditega kontrollida või leida vektorite perpendikulaarsust.

Sa vajad

• - kraadiklaas;
• - kompass;
• - joonlaud.

Juhend

Ehitage vektor, mis on antud vektoriga risti. Selleks taastage punktis, mis on vektori algus, sellega risti. Seda saab teha kraadiklaasiga, jättes kõrvale 90º nurga. Kui kraadiklaasi pole, tehke see kompassiga.

Määrake see vektori alguspunktiks. Joonistage suvalise raadiusega ring. Seejärel ehitage kaks, mille keskpunkt on punktides, kus esimene ring lõikub joonega, millel vektor asub. Nende ringide raadiused peavad olema üksteisega võrdsed ja suuremad kui esimene konstrueeritud ring. Ringide lõikepunktides konstrueerige sirge, mis on algvektoriga risti selle alguspunktis, ja pange sellel kõrvale vektor, mis on risti antud vektoriga.

Ühikvektor on: , kus on vektori moodul.

Vastus:
.

Märge.Ühikvektori koordinaadid ei tohi olla suuremad kui üks.

6.3. Leia vektori pikkuse ja suuna koosinused . Võrrelge eelmise lõigu vastusega. Tehke omad järeldused.

Vektori pikkus on selle moodul:

Ja suunakoosinused saame leida ühe vektorite määramise viisi valemi abil:

Saadud andmetest näeme, et suunakoosinused on ühikvektori koordinaadid.

Vastus:
,
,
,
.

6.4. Leidma
.

On vaja sooritada vektori arvu, liitmise ja mooduliga korrutamise toimingud.

Korrutame vektorite koordinaadid arvuga termini kaupa.

Lisame vektorite koordinaadid termini kaupa.

Leia vektori moodul.

Vastus:

6.5. Määrake vektori koordinaadid
, vektori suhtes kollineaarne , teades seda
ja see on suunatud vektori vastassuunas .

Vektor vektori suhtes kollineaarne , seega on selle ühikvektor võrdne ühikvektoriga ainult miinusmärgiga, sest suunatud vastupidises suunas.

Ühikvektori pikkus on 1, mis tähendab, et kui see korrutada 5-ga, on selle pikkus võrdne viiega.

Leiame

Vastus:

6.6. Arvutage punktproduktid
ja
. Kas vektorid on risti ja ,ja omavahel?

Sooritame vektorite skalaarkorrutise.

Kui vektorid on risti, on nende punktkorrutis null.

Meie puhul näeme, et vektorid ja on risti.

Vastus:
,
, vektorid ei ole risti.

Märge. Skalaarkorrutise geomeetrilisest tähendusest on praktikas vähe kasu, kuid see on siiski olemas. Sellise tegevuse tulemust saab kujutada ja arvutada geomeetriliselt.

6.7. Leidke töö, mille teeb materiaalne punkt, millele rakendatakse jõudu
, kui liigutate seda punktist B punkti C.

Skalaarkorrutise füüsiline tähendus on töö. Jõuvektor siin , nihkevektor on
. Ja nende vektorite korrutis on soovitud töö.

Töö leidmine

6.8. Otsige tipust üles sisenurk A ja välimine nurk ülaosas C kolmnurk ABC .

Definitsioonist, vektorite skalaarkorrutisest, saame nurga leidmise valemi: .

AT
otsime sisenurka kui nurka ühest punktist väljuvate vektorite vahel.

Välisnurga leidmiseks tuleb vektorid kombineerida nii, et need väljuksid samast punktist. Joonis selgitab seda.

Väärib märkimist, et
, neil on ainult erinevad algkoordinaadid.

Vajalike vektorite ja nurkade leidmine

Vastus: sisenurk tipus A \u003d , välisnurk tipus B = .

6.9. Leia vektorite projektsioonid: ja

Meenuta vektor-orte:
,
,
.

Projektsioon leitakse ka skalaarkorrutisest

-projektsioon b peal a.

Varem meie poolt saadud vektorid

,
,

Projektsiooni leidmine

Teise projektsiooni leidmine

Vastus:
,

Märge. Miinusmärk projektsiooni leidmisel tähendab, et projektsioon ei lange mitte vektorile endale, vaid vastupidises suunas, joonele, millel see vektor asub.

6.10. Arvutama
.

Sooritage vektorite ristkorrutis

Leiame mooduli

Vektorite vahelise nurga siinuse leiame vektorite vektorkorrutise definitsioonist

Vastus:
,
,
.

6.11. Leidke kolmnurga pindala ABC ja kõrguse pikkus, mis lähtub punktist C.

Ristkorrutise mooduli geomeetriline tähendus seisneb selles, et see on nende vektorite moodustatud rööpküliku pindala. Kolmnurga pindala on võrdne poolega rööpküliku pindalast.

Kolmnurga pindala võib leida ka kõrguse ja aluse korrutis jagatuna kahega, millest saab tuletada kõrguse leidmise valemi.

Seega leiame kõrguse

Vastus:
,
.

6.12. Leia vektoritega risti olev ühikvektor ja .

Punktkorrutise tulemuseks on vektor, mis on kahe algse vektoriga risti. Ühikvektor on vektor, mis on jagatud selle pikkusega.

Varem oleme leidnud:

,

Vastus:
.

6.13. Määrake jõumomendi suurus- ja suunakoosinused
kohaldatakse A-le punkti C suhtes.

Vektorkorrutise füüsikaline tähendus on jõumoment. Toome selle ülesande jaoks illustratsiooni.

Jõumomendi leidmine

Vastus:
.

6.14. Kas vektorid valetavad ,ja samas lennukis? Kas need vektorid võivad moodustada ruumi aluse? Miks? Võimalusel laiendage vektorit sellel alusel
.

Et kontrollida, kas vektorid asuvad samal tasapinnal, on vaja sooritada nende vektorite segakorrutis.

Segatud korrutis ei ole võrdne nulliga, seetõttu ei asu vektorid samal tasapinnal (mitte tasapinnal) ja võivad moodustada aluse. Laguneme sellel alusel.

Laiendame alust võrrandi lahendamisega

Vastus: Vektorid ,ja ära valeta samas tasapinnas.
.

6.15. Leidma
. Kui suur on tippudega A, B, C, D püramiidi ruumala ja selle kõrgus, mis on langetatud punktist A alusele BCD.

G segakorrutise geomeetriline tähendus seisneb selles, et see on nende vektorite poolt moodustatud rööptahuka ruumala.

Püramiidi ruumala on kuus korda väiksem kui rööptahuka ruumala.

Püramiidi ruumala võib leida ka järgmiselt:

Hankige kõrguse leidmise valem

Kõrguse leidmine

Vastus: maht = 2,5, kõrgus = .

6.16. Arvutama
ja
.

Kutsume teid selle ülesande üle ise järele mõtlema.

- Teeme tööd.

Varem saadud

Vastus:
.

6.17. Arvutama

Teeme seda samm-sammult

3)

Teeme saadud väärtused kokkuvõtte

Vastus:
.

6.18. Otsige vektorit
, teades, et see on vektoritega risti ja , ja selle projektsioon vektorile võrdub 5-ga.

Jagame selle probleemi kaheks alamülesandeks.

1) Leia vektor, mis on risti vektoritega ja suvaline pikkus.

Ristkorrutise tulemusel saame risti vektori

Varem oleme leidnud:

Soovitud vektor erineb saadud vektorist ainult pikkuse poolest

2) Leia võrrandi kaudu

6.19. Otsige vektorit
, mis vastab tingimustele
,
,
.

Vaatleme neid tingimusi üksikasjalikumalt.

See on lineaarsete võrrandite süsteem. Loome ja lahendame selle süsteemi.

Vastus:

6.20. Määrake mõne vektori koordinaadid
, tasapinnaline vektoritega ja , ja vektoriga risti
.

Selles ülesandes on kaks tingimust: vektorid on tasapinnalised ja risti, esmalt täidame esimese tingimuse ja seejärel teise.

1) Kui vektorid on tasapinnalised, siis nende segakorrutis on null.

Siit saame vektori koordinaatide mõningase sõltuvuse

Leiame vektori .

2) Kui vektorid on risti, siis on nende skalaarkorrutis null

Oleme saanud soovitud vektori koordinaatide teise sõltuvuse

Iga väärtuse eest vektor vastab tingimustele. Asendaja
.

Vastus:
.

Analüütiline geomeetria

See artikkel paljastab kahe vektori perpendikulaarsuse tähenduse tasapinnal kolmemõõtmelises ruumis ja ühe või terve vektoripaariga risti oleva vektori koordinaatide leidmise. Teema on rakendatav sirgete ja tasandite võrranditega seotud ülesannete puhul.

Vaatleme kahe vektori perpendikulaarsuse vajalikku ja piisavat tingimust, lahendame antud vektoriga risti oleva vektori leidmise meetodil, puudutame kahe vektori suhtes risti oleva vektori leidmise olukorda.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vajalik ja piisav tingimus, et kaks vektorit oleksid risti

Rakendame reeglit risti vektorite kohta tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis.

Definitsioon 1

Arvestades kahe nullist erineva vektori vahelise nurga väärtust 90 ° (π 2 radiaani) nimetatakse risti.

Mida see tähendab ja millistes olukordades on nende perpendikulaarsust vaja teada?

Perpendikulaarsuse määramine on võimalik joonise abil. Vektorit joonistades tasapinnale etteantud punktidest, saab geomeetriliselt mõõta nende vahelist nurka. Vektorite perpendikulaarsus, kui see on kindlaks tehtud, ei ole täiesti täpne. Enamasti ei võimalda need probleemid seda protraktoriga teha, seega on see meetod rakendatav ainult siis, kui vektorite kohta pole midagi muud teada.

Enamikul juhtudel on kahe nullist erineva vektori perpendikulaarsuse tõestamine tasapinnal või ruumis tehtud kasutades vajalik ja piisav tingimus kahe vektori perpendikulaarsuse jaoks.

1. teoreem

Kahe nullist erineva vektori a → ja b → skalaarkorrutis, mis on võrdne nulliga, et täita võrdsust a → , b → = 0, on nende perpendikulaarsuse jaoks piisav.

Tõestus 1

Olgu antud vektorid a → ja b → risti, siis tõestame võrdsuse a ⇀ , b → = 0 .

Alates määratlusest vektorite punktkorrutis me teame, et see on võrdne antud vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutis. Tingimuse järgi on a → ja b → risti ja seetõttu on definitsiooni põhjal nende vaheline nurk 90 °. Siis on meil a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Tõestuse teine ​​osa

Tingimusel, kui a ⇀ , b → = 0 tõestavad a → ja b → perpendikulaarsust.

Tegelikult on tõend eelmisega võrreldes vastupidine. On teada, et a → ja b → on nullist erinevad, seega võrrandist a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ leiame koosinuse. Siis saame cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Kuna koosinus on null, võime järeldada, et vektorite a → ja b → nurk a → , b → ^ on 90 ° . Definitsiooni järgi on see vajalik ja piisav omadus.

Perpendikulaarne tingimus koordinaattasandil

Peatükk punktkorrutis koordinaatides näitab ebavõrdsust (a → , b →) = a x b x + a y b y , mis kehtib vektoritele koordinaatidega a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y) , tasapinnal ja (a → , b → ) = a x b x + a y b y ruumivektoritele a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z). Vajalik ja piisav tingimus, et kaks vektorit oleks koordinaattasandil risti, on a x · b x + a y · b y = 0 , kolmemõõtmelise ruumi puhul a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Rakendame seda praktikas ja vaatame näiteid.

Näide 1

Kontrollige kahe vektori perpendikulaarsuse omadust a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Otsus

Selle probleemi lahendamiseks peate leidma skalaarkorrutise. Kui tingimuse järgi on see võrdne nulliga, siis on need risti.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud vektorid on tasapinnaga risti.

Vastus: jah, antud vektorid a → ja b → on risti.

Näide 2

Antud koordinaatvektorid i → , j → , k → . Kontrollige, kas vektorid i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → võivad olla risti.

Otsus

Selleks, et meeles pidada, kuidas vektori koordinaadid määratakse, peate lugema artiklit selle kohta vektori koordinaadid ristkülikukujulistes koordinaatides. Seega saame, et antud vektoritel i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → on vastavad koordinaadid (1, - 1, 0) ja (1, 2, 2) . Asendage arvväärtused ja saate: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Avaldis ei ole null, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0, mis tähendab, et vektorid i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → ei ole risti, kuna tingimus ei ole täidetud.

Vastus: ei, vektorid i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → ei ole risti.

Näide 3

Antud vektorid a → = (1 , 0 , - 2) ja b → = (λ , 5 , 1) . Leia väärtus λ, mille korral antud vektorid on risti.

Otsus

Kasutame kahe ruumivektori perpendikulaarsuse tingimust ruudu kujul, siis saame

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Vastus: vektorid on risti väärtusega λ = 2.

On juhtumeid, kus perpendikulaarsuse küsimus on võimatu isegi vajalikul ja piisaval tingimusel. Teadaolevate andmetega kolmnurga kolme külje kohta kahel vektoril on võimalik leida nurk vektorite vahel ja kontrollige seda.

Näide 4

Antud on kolmnurk A B C külgedega A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm. Kontrollige vektorite A B → ja A C → risti.

Otsus

Kui vektorid A B → ja A C → on risti, loetakse kolmnurk A B C ristkülikukujuliseks. Seejärel rakendame Pythagorase teoreemi, kus BC on kolmnurga hüpotenuus. Võrdsus B C 2 = A B 2 + A C 2 peab olema täidetud. Sellest järeldub, et 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Seega on A B ja A C kolmnurga A B C jalad, seega on A B → ja A C → risti.

Oluline on õppida, kuidas leida antud vektoriga risti oleva vektori koordinaate. See on võimalik nii tasapinnal kui ka ruumis eeldusel, et vektorid on risti.

Antud vektoriga risti oleva vektori leidmine tasapinnal.

Nullist erineval vektoril a → võib tasandis olla lõpmatu arv risti vektoreid. Esitame selle koordinaatide sirgel.

Antud on nullist erinev vektor a → , mis asub sirgel a. Siis saab antud b → , mis asub mistahes sirgega a risti asetseval sirgel, risti ja a → . Kui vektor i → on risti vektoriga j → või mis tahes vektoriga λ · j →, mille λ on võrdne mis tahes reaalarvuga, välja arvatud null, siis a → = (a x , a y) risti oleva vektori b → koordinaatide leidmine taandub lõpmatuks lahenduste hulgaks. Kuid on vaja leida a → = (a x , a y) risti oleva vektori koordinaadid. Selleks on vaja üles kirjutada vektorite perpendikulaarsuse tingimus järgmisel kujul a x · b x + a y · b y = 0 . Meil on b x ja b y , mis on risti vektori soovitud koordinaadid. Kui a x ≠ 0, on b y väärtus nullist erinev ja b x arvutatakse võrratuse a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x põhjal. Kui a x = 0 ja a y ≠ 0, omistame b x-le mis tahes väärtuse, mis ei ole null, ja b y leitakse avaldisest b y = - a x · b x a y .

Näide 5

Antud vektor koordinaatidega a → = (- 2 , 2) . Leia vektor, mis on antud vektoriga risti.

Otsus

Tähistame soovitud vektorit b → (b x , b y) . Selle koordinaadid leiate tingimusest, et vektorid a → ja b → on risti. Siis saame: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Määra b y = 1 ja asenda: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Seega saame valemist b x = - 2 - 2 = 1 2 . Seega on vektor b → = (1 2 , 1) vektoriga a → risti.

Vastus: b → = (1 2 , 1) .

Kui tõstatada küsimus kolmemõõtmelisest ruumist, lahendatakse probleem sama põhimõtte järgi. Antud vektori a → = (a x , a y , a z) jaoks on olemas lõpmatu hulk risti vektoreid. Parandab selle koordinaatide 3D tasapinnal. Antud a → lamades joonel a . Tasand, mis on risti sirgjoonega a, on tähistatud α-ga. Sel juhul on iga nullist erinev vektor b → tasapinnast α risti a → .

Vaja on leida koordinaadid b → risti nullist erineva vektoriga a → = (a x , a y , a z) .

Olgu b → antud koordinaatidega b x , b y ja b z . Nende leidmiseks on vaja rakendada kahe vektori perpendikulaarsuse tingimuse definitsiooni. Võrdsus a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 peab kehtima. Tingimusest a → - nullist erinev, mis tähendab, et ühe koordinaadi väärtus ei ole nulliga võrdne. Oletame, et a x ≠ 0, (a y ≠ 0 või a z ≠ 0). Seetõttu on meil õigus selle koordinaadiga jagada kogu võrratus a x b x + a y b y + a z b z = 0, saame avaldise b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Koordinaatidele b y ja b x omistame suvalise väärtuse, arvutame väärtuse b x, lähtudes valemist, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Soovitud risti vektori väärtus on a → = (a x , a y , a z) .

Vaatame tõestust näitega.

Näide 6

Antud vektor koordinaatidega a → = (1 , 2 , 3)  . Leia vektor, mis on antud vektoriga risti.

Otsus

Tähistame soovitud vektorit b → = (b x , b y , b z) . Tingimusel, et vektorid on risti, peab skalaarkorrutis olema võrdne nulliga.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Kui väärtus b y = 1, b z = 1, siis b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = -5. Sellest järeldub, et vektori b → (- 5 , 1 , 1) koordinaadid . Vektor b → on üks antud vektoriga risti.

Vastus: b → = (- 5, 1, 1) .

Kahe etteantud vektoriga risti oleva vektori koordinaatide leidmine

Peate leidma vektori koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis. See on risti mittekollineaarsete vektoritega a → (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Tingimusel, et vektorid a → ja b → on kollineaarsed, piisab ülesandes a → või b → vektori leidmisest.

Lahendamisel kasutatakse vektorite vektorkorrutise mõistet.

Vektorite ristkorrutis a → ja b → on vektor, mis on samaaegselt risti nii a → kui ka b → . Selle ülesande lahendamiseks kasutatakse vektorkorrutist a → × b →. Kolmemõõtmelise ruumi jaoks on see kujul a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Analüüsime vektorkorrutist üksikasjalikumalt ülesande näitel.

Näide 7

Vektorid b → = (0 , 2 , 3) ​​ja a → = (2 , 1 , 0) on antud. Otsige samaaegselt mis tahes andmetega risti oleva vektori koordinaadid.

Otsus

Lahendamiseks tuleb leida vektorite ristkorrutis. (Tuleb viidata lõikele maatriksdeterminantide arvutused vektori leidmiseks). Saame:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Vastus: (3 , - 6 , 4) - vektori koordinaadid, mis on samaaegselt risti antud a → ja b → .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Küsimuse osas leidke vektor, mis on risti kahe autori antud vektoriga Anna Afanasjeva parim vastus on Kahe mitteparalleelse vektori suhtes risti olev vektor leitakse nende vektorkorrutisena ahb, selle leidmiseks tuleb teha determinant, mille esimene rida koosneb ühikvektoritest I, j, k, teine vektori a koordinaadid, kolmas vektori koordinaatidest aastal. Determinandiks loetakse laiendust piki esimest rida, sinu puhul on see axb=20i-10k või axb=(20,0,-10).

Vastus alates 22 vastust[guru]

Hei! Siin on valik teemasid koos vastustega teie küsimusele: leidke vektor, mis on risti kahe antud vektoriga

Vastus alates Venitada[algaja]
Kahe mitteparalleelse vektori suhtes risti olev vektor leitakse nende ristkorrutisena ahb, selle leidmiseks tuleb teha determinant, mille esimene rida koosneb ühikvektoritest I, j, k, teine ​​vektori koordinaatidest. vektor a, kolmas vektori koordinaatidest. Determinandiks loetakse laiendust piki esimest rida, sinu puhul on see axb=20i-10k või axb=(20,0,-10).

Vastus alates HAYKA[guru]
Ligikaudu otsustage nii; Aga kõigepealt lugege seda ise! !
Arvutage vektorite d ja r punktkorrutis, kui d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Vektori a moodul on 4, vektori b moodul on 6. Nurk vektorite a ja b vahel on 60 kraadi, vektor c on risti vektoritega a ja b.
Punktid E ja F asuvad vastavalt rööpküliku ABCD külgedel AD ja BC, kusjuures AE=ED, BF: FC = 4: 3. a) Avaldage vektorit EF vektoritega m = vektor AB ja vektor n = vektor AD . b) Kas vektorit EF = x saab korrutada vektoriga CD mingi x väärtuse korral? .

ohm. Selleks tutvustame esmalt segmendi mõistet.

Definitsioon 1

Lõik on sirge osa, mis on mõlemalt poolt piiratud punktidega.

2. definitsioon

Lõigu otste nimetatakse punktideks, mis seda piiravad.

Vektori definitsiooni tutvustamiseks nimetatakse segmendi ühte lõppu selle alguseks.

3. määratlus

Vektoriks (suunatud lõiguks) nimetatakse sellist lõiku, mille jaoks on näidatud, milline piiripunkt on selle algus ja milline on selle lõpp.

Tähistus: \overline(AB) - vektor AB , mis algab punktist A ja lõpeb punktis B .

Muidu ühe väikese tähega: \overline(a) (joon. 1).

4. määratlus

Nullvektor on mis tahes punkt, mis kuulub tasapinnale.

Nimetus: \overline(0) .

Nüüd tutvustame otse kollineaarsete vektorite määratlust.

Tutvustame ka skalaarkorrutise määratlust, mida me allpool vajame.

Definitsioon 6

Kahe etteantud vektori skalaarkorrutis on skalaar (või arv), mis võrdub nende kahe vektori pikkuste korrutisega antud vektori vahelise nurga koosinusega.

Matemaatiliselt võib see välja näha selline:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Punktkorrutise saab leida ka vektorite koordinaatide abil järgmiselt

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Perpendikulaarsuse märk proportsionaalsuse kaudu

1. teoreem

Et nullist erinevad vektorid oleksid üksteisega risti, on vajalik ja piisav, et nende vektorite skalaarkorrutis oleks võrdne nulliga.

Tõestus.

Vajadus: Antakse vektorid \overline(α) ja \overline(β) , millel on vastavalt (α_1,α_2,α_3) ja (β_1,β_2,β_3) koordinaadid ja need on üksteisega risti. Siis peame tõestama järgmist võrdsust

Kuna vektorid \overline(α) ja \overline(β) on risti, on nendevaheline nurk 90^0 . Leiame nende vektorite skalaarkorrutise 6. definitsiooni valemi abil.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Piisavus: olgu võrdsus tõsi \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Tõestame, et vektorid \overline(α) ja \overline(β) on üksteisega risti.

Definitsiooni 6 järgi on võrdsus tõsi

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Seetõttu on vektorid \overline(α) ja \overline(β) üksteisega risti.

Teoreem on tõestatud.

Näide 1

Tõesta, et vektorid koordinaatidega (1,-5,2) ja (2,1,3/2) on risti.

Tõestus.

Leiame ülaltoodud valemi abil nende vektorite punktkorrutise

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Seega on teoreemi 1 kohaselt need vektorid risti.

Kahe antud vektoriga risti oleva vektori leidmine läbi ristkorrutise

Tutvustame esmalt vektorkorrutise mõistet.

Definitsioon 7

Kahe vektori vektorkorrutist nimetatakse vektoriks, mis on risti mõlema antud vektoriga ja selle pikkus võrdub nende vektorite pikkuste korrutisega nende vektorite vahelise nurga siinusega ja seda vektorit kahe esialgsetel on sama orientatsioon kui Descartes'i koordinaatsüsteemil.

Määramine: \overline(α)x\overline(β)x.

Vektorkorrutise leidmiseks kasutame valemit

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Kuna kahe vektori ristkorrutise vektor on mõlema vektori suhtes risti, on see nõudevektor. See tähendab, et kahe vektoriga risti oleva vektori leidmiseks peate lihtsalt leidma nende ristkorrutise.

Näide 2

Leidke vektor, mis on risti vektoritega koordinaatidega \overline(α)=(1,2,3) ja \overline(β)=(-1,0,3)

Leidke nende vektorite ristkorrutis.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x