Mediaan on lõik, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastaskülje keskele, st jagab selle lõikepunktiga pooleks. Punkti, kus mediaan lõikub vastasküljega, kust see väljub, nimetatakse baasiks. Läbi ühe punkti, mida nimetatakse lõikepunktiks, läbib kolmnurga iga mediaan. Selle pikkuse valemit saab väljendada mitmel viisil.

Mediaani pikkuse väljendamise valemid

• Sageli peavad õpilased geomeetria ülesannetes tegelema sellise lõiguga nagu kolmnurga mediaan. Selle pikkuse valem on väljendatud külgede kaudu:

kus a, b ja c on küljed. Lisaks on c külg, millele mediaan langeb. Nii näeb välja kõige lihtsam valem. Mõnikord on abiarvutuste jaoks vaja kolmnurga mediaane. On ka teisi valemeid.

• Kui arvutuse käigus on teada kolmnurga kaks külge ja nende vahele jääv teatud nurk α, siis väljendatakse kolmnurga mediaani pikkust, alandatuna kolmandale küljele, järgmiselt.

Põhiomadused

• Kõigil mediaanidel on üks ühine lõikepunkt O ja sellega jagatakse ka suhtega kaks ühele, kui lugeda ülevalt. Seda punkti nimetatakse kolmnurga raskuskeskmeks.
• Mediaan jagab kolmnurga kaheks teiseks, mille pindalad on võrdsed. Selliseid kolmnurki nimetatakse võrdseteks kolmnurkadeks.
• Kui joonistada kõik mediaanid, jagatakse kolmnurk 6 võrdseks kujundiks, mis on samuti kolmnurgad.
• Kui kolmnurga kõik kolm külge on võrdsed, on selles iga mediaan ka kõrgus ja poolitaja, see tähendab, et see on risti küljega, millele see on tõmmatud, ja poolitab nurga, millest see väljub.
• Võrdhaarses kolmnurgas on mediaan, mis langeb ühegi teise külje vastas olevast tipust, kõrguseks ja poolitajaks. Teistest tippudest langenud mediaanid on võrdsed. See on ka võrdhaarsete jaoks vajalik ja piisav tingimus.
• Kui kolmnurk on tavalise püramiidi alus, siis sellele alusele langetatud kõrgus projitseeritakse kõigi mediaanide lõikepunkti.

• Täisnurkse kolmnurga pikima külje külge tõmmatud mediaan on pool selle pikkusest.
• Olgu O kolmnurga mediaanide lõikepunkt. Allolev valem kehtib iga punkti M kohta.

• Teine omadus on kolmnurga mediaan. Selle pikkuse ruudu valem külgede ruutude järgi on esitatud allpool.

Nende külgede omadused, millele mediaan on tõmmatud

• Kui ühendame mis tahes kaks mediaanide lõikepunkti külgedega, millel need on langetatud, on saadud segment kolmnurga keskjoon ja pool selle kolmnurga küljest, millega sellel pole ühiseid punkte.
• Samal ringil asuvad kolmnurga kõrguste ja mediaanide alused, samuti kolmnurga tippe kõrguste lõikepunktiga ühendavate lõikude keskpunktid.

Kokkuvõttes on loogiline öelda, et üks olulisemaid segmente on just kolmnurga mediaan. Selle valemit saab kasutada selle teiste külgede pikkuste leidmiseks.

Kolmnurga külgede mediaani leidmiseks ei ole vaja täiendavat valemit meelde jätta. Piisab lahendusalgoritmi tundmisest.

Esiteks, vaatame probleemi üldiselt.

Antud kolmnurk külgedega a, b, c. Leia küljele b tõmmatud mediaani pikkus.

AB=a, AC=b, BC=c.

Kiirel BF jätame kõrvale segmendi FD, FD=BF.

Ühendame punkti D punktidega A ja C.

Nelinurk ABCD on rööpkülik (tunnuse järgi), kuna selle ristumispunktis olevad diagonaalid jagatakse pooleks.

Rööpküliku diagonaalide omadus: rööpküliku diagonaalide ruutude summa võrdub selle külgede ruutude summaga.

Seega: AC²+BD²=2(AB²+BC²), seega b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Ehituse järgi on BF pool BD-st, seega

See on valem kolmnurga mediaani leidmiseks piki selle külgi. Tavaliselt kirjutatakse see nii:

Liigume edasi konkreetse probleemi juurde.

Kolmnurga küljed on 13 cm, 14 cm ja 15 cm Leia kolmnurga mediaan, mis on tõmmatud selle keskmise pikkusega küljele.

Sarnast põhjendust rakendades saame:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Kolmnurk on kolme küljega hulknurk või kolme lüliga suletud katkendjoon või kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu ühel sirgel (vt joonis 1).

Kolmnurga abc põhielemendid

Tipud – punktid A, B ja C;

Peod – tippe ühendavad lõigud a = BC, b = AC ja c = AB;

nurgad – α , β, γ, mille moodustavad kolm külgede paari. Nurgad on sageli märgistatud samamoodi nagu tipud, tähtedega A, B ja C.

Kolmnurga külgede poolt moodustatud ja selle sisemuses asetsevat nurka nimetatakse sisenurgaks ja sellega külgnevat nurka kolmnurga kõrvalnurgaks (2, lk 534).

Kolmnurga kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned

Lisaks kolmnurga põhielementidele võetakse arvesse ka teisi segmente, millel on huvitavad omadused: kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned.

Kõrgus

Kolmnurga kõrgused on kolmnurga tippudest vastaskülgedele langetatud ristid.

Kõrguse ehitamiseks tehke järgmist.

1) tõmmake sirge, mis sisaldab kolmnurga ühte külge (kui kõrgus on tõmmatud nüri kolmnurga teravnurga tipust);

2) tõmmake tõmmatud joone vastas asuvast tipust punktist sellele sirgele lõik, moodustades sellega 90-kraadise nurga.

Kõrguse ja kolmnurga külje lõikepunkti nimetatakse kõrguse alus (vt joonis 2).

Kolmnurga kõrguse omadused

Täisnurkses kolmnurgas jagab täisnurga tipust tõmmatud kõrgus selle kaheks algse kolmnurgaga sarnaseks kolmnurgaks.

Teravas kolmnurgas lõikavad selle kaks kõrgust sellest sarnased kolmnurgad.

Kui kolmnurk on terav, siis kõik kõrguste alused kuuluvad kolmnurga külgedele ja nüri kolmnurga puhul langevad külgede pikendusele kaks kõrgust.

Kolm terava kolmnurga kõrgust lõikuvad ühes punktis ja seda punkti nimetatakse ortotsenter kolmnurk.

Mediaan

mediaanid(ladina keelest mediana - "keskmine") - need on segmendid, mis ühendavad kolmnurga tippe vastaskülgede keskpunktidega (vt joonis 3).

Mediaani koostamiseks tehke järgmist.

1) leida külje keskosa;

2) ühenda lõiguga punkt, mis on kolmnurga külje keskpunkt, vastastipuga.

Kolmnurga mediaanomadused

Mediaan jagab kolmnurga kaheks sama ala kolmnurgaks.

Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab need ülevalt lugedes suhtega 2:1. Seda punkti nimetatakse raskuskese kolmnurk.

Kogu kolmnurk jagatakse selle mediaanide järgi kuueks võrdseks kolmnurgaks.

Poolitaja

poolitajad(Lat. bis - kaks korda "ja seko - ma lõikan") nimetavad kolmnurga sees olevaid sirgjoonte lõike, mis poolitavad selle nurki (vt joonis 4).

Poolitaja konstrueerimiseks peate tegema järgmised toimingud:

1) konstrueerida nurga tipust väljuv kiir, mis jagab selle kaheks võrdseks osaks (nurgapoolitaja);

2) leida kolmnurga nurga poolitaja lõikepunkt vastasküljega;

3) vali lõik, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje lõikepunktiga.

Kolmnurga poolitaja omadused

Kolmnurga nurgapoolitaja jagab vastaskülje suhtega, mis on võrdne kahe külgneva külje suhtega.

Kolmnurga sisenurkade poolitajad lõikuvad ühes punktis. Seda punkti nimetatakse sisse kirjutatud ringi keskpunktiks.

Sise- ja välisnurga poolitajad on risti.

Kui kolmnurga välisnurga poolitaja lõikub vastaskülje jätkuga, siis ADBD=ACBC.

Kolmnurga ühe sise- ja kahe välisnurga poolitajad ristuvad ühes punktis. See punkt on selle kolmnurga ühe kolmest ringjoonest keskpunkt.

Kolmnurga kahe sise- ja ühe välisnurga poolitajate alused asuvad samal sirgel, kui välisnurga poolitaja ei ole paralleelne kolmnurga vastasküljega.

Kui kolmnurga välisnurkade poolitajad ei ole paralleelsed vastaskülgedega, siis asuvad nende alused samal sirgel.

Koolikursuse mis tahes teemat uurides saate valida teatud miinimumi ülesandeid, olles omandanud nende lahendamise meetodid, saavad õpilased lahendada mis tahes ülesande õpitava teema programminõuete tasemel. Teen ettepaneku kaaluda ülesandeid, mis võimaldavad teil näha kooli matemaatikakursuse üksikute teemade vahelisi seoseid. Seetõttu on koostatud ülesannete süsteem tõhus vahend õppematerjali kordamiseks, üldistamiseks ja süstematiseerimiseks õpilaste eksamiks ettevalmistamise käigus.

Eksami sooritamiseks ei ole lisateave mõne kolmnurga elemendi kohta üleliigne. Mõelge kolmnurga mediaani omadustele ja probleemidele, milles neid omadusi saab kasutada. Kavandatavad ülesanded rakendavad tasemete eristamise põhimõtet. Kõik ülesanded on tinglikult jagatud tasemeteks (tase on märgitud iga ülesande järel sulgudes).

Tuletage meelde kolmnurga mediaani mõningaid omadusi

Vara 1. Tõesta, et kolmnurga mediaan ABC tõmmatud ülevalt A, vähem kui pool külgede summast AB ja AC.

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Vara 2. Mediaan lõikab kolmnurga kaheks võrdseks alaks.

Tõestus

Joonistage kolmnurga ABC tipust B mediaan BD ja kõrgus BE..gif" alt="(!LANG:Area" width="82" height="46">!}

Kuna segment BD on mediaan, siis

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Mediaan" align="left" width="196" height="75 src=">!} Vara 4. Kolmnurga mediaanid jagavad kolmnurga 6 võrdse pindalaga kolmnurgaks.

Tõestus

Tõestame, et iga kuue kolmnurga pindala, milleks mediaanid jagavad kolmnurga ABC, on võrdne kolmnurga ABC pindalaga. Selleks vaadeldakse näiteks kolmnurka AOF ja langetatakse risti AK tipust A sirgele BF .

Vara 2 tõttu

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Mediaan" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Vara 6. Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga mediaan on pool hüpotenuusist.

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Mediaan" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Tagajärjed:1. Täisnurkse kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt asub hüpotenuusi keskpunktis.

2. Kui kolmnurga mediaani pikkus võrdub poolega selle külje pikkusest, millele see on tõmmatud, siis on see kolmnurk täisnurkne kolmnurk.

ÜLESANDED

Iga järgneva probleemi lahendamisel kasutatakse tõestatud omadusi.

№1 Teemad: Mediaani kahekordistamine. Raskusaste: 2+

Rööpküliku tunnused ja omadused Klassid: 8,9

Seisund

Mediaani jätkumisel OLEN kolmnurk ABC punkti kohta M segment edasi lükatud MD, võrdne OLEN. Tõesta, et nelinurk ABDC- rööpkülik.

Otsus

Kasutame üht rööpküliku märki. Nelinurga diagonaalid ABDC ristuvad punktis M ja jaga see pooleks, nii et nelinurk ABDC- rööpkülik.