Формулы из динамики теоретическая механика. Теоретическая механика

Грамматические признаки причастий, к сожалению, не раскрывает какой-либо один словарь. Часть речи эта довольно сложна для изучения, а учебные пособия, учителя не всегда доступно излагают такие темы. Поэтому приходится разбираться самим, искать причастия примеры, изучать морфологический разбор причастия онлайн, чтобы овладеть информацией на высоком уровне.

Причастия связаны с глаголами, но отвечают на вопросы прилагательного: какой? какие? и т.д. Например: Узнать – узнаВШий, бегать – бегаЮЩий. "Угадать" эту часть речи получается с помощью суффиксов, они в статье выделены крупно.

Причастия, когда обозначают действие, выполненное кем-то самостоятельно, называют действительными. Если это действие над кем-то производят, то это причастие страдательное. Примеры: УшедШий – сам ушёл – действительный залог, асфальтироваННый – его заасфальтировали – страдательный.

Морфологический разбор причастия - это определение грамматических признаков. Часть признаков причастия берут от прилагательных (падеж, род, число). Причастия всегда связаны с каким-то существительным: Кафе (какое?) закрыТое, повесть (какая?) прочитаННая. Например: ЧитаЕМыми журналами – падеж творительный, множественное число. К куплеННому билету – единств. число, дательный падеж мужского рода. Начальной формой считают ед. число, м. род, имен. падеж.

Причастия могут быть краткими: осознаНа, закрыТа, распилЕНы, причёсаНо. Краткие слова в предложении будут сказуемыми (это их синтаксическая роль). Полные будут определениями.

Остальные признаки – от глагола. Для лучшего их понимания нужно изучить здесь морфологический разбор причастия онлайн бесплатно. Признаки связаны с глаголом, от которого произошло причастие: бросить – глагол переходный, невозвратный, совершенного вида. Значит, причастие «бросиВШий» - тоже невозвратное, переходное, соверш. вида. Время причастия нетрудно определить по смыслу: стреляЮЩий – сейчас стреляет – настоящее, УвидЕННый – его уже увидели – прошедшее. Важно помнить: будущего времени никогда у причастий не бывает!

Вспомним терминологию. Переходность позволяет связываться с существительным в винительном или родительном падеже без предлога. Т.е. можно побороть кого? или что? – лень, противника, борца. Поэтому «побороть» - переходный глагол, а «поборовший» - причастие переходное.

Совершенный вид у глагола, если он отвечает на вопрос «что сделать?». Несовершенный вид - вопрос «что делать?»

Возвратность причастия, глагола – это наличие у них –СЬ- или –СЯ- на конце. Иначе они считаются невозвратными.

Если трудно определить признаки, можно использовать информацию о суффиксах. По суффиксам легко узнать, действительное оно или страдательное, а также время:

У действительных настоящего времени суффикс будет –УЩ-,-ЮЩ-,-АЩ- или –ЯЩ-;

У действительных прошедшего – суффиксы –Ш- или –ВШ-;

Страдательные настоящего времени отличаются суффиксом -ОМ-, -ЕМ- или –ИМ-;

Страдательные прошедшего - суффиксом -НН-, -ЕНН- или –Т-.

Представляем морфологический разбор причастия образец, и разберём причастие из предложения: «Над засыпающим посёлком проплывали облака».

(Над) засыпающим – причастие.

1. Над посёлком (каким?) – засыпающим. Начальная форма – засыпающий.

2. Постоянные (т.е. неизменяемые) признаки: действительное, настоящ. время, несовершенный вид; Непостоянные (меняются от текста к тексту) признаки: единств. число, муж. род, творительный падеж.

3. Посёлком (каким?) засыпающим. В предложении будет определением, подчеркнём волнистой линией.

Лекция 3. Общие теоремы динамики

Динамика системы материальных точек является важным разделом теоретической механики. Здесь в основном рассматриваются задачи о движении механических систем (систем материальных точек) с конечным числом степеней свободы – максимальным числом независимых параметров, определяющих положение системы. Главная задача динамики системы – изучение законов движения твердого тела и механических систем.

Наиболее простой подход к исследованию движения системы, состоящий из N материальных точек, сводиться к рассмотрению движений каждой отдельной точки системы. При этом должны быть определены все силы, действующие на каждую точку системы, в том числе и силы взаимодействия между точками.

Определяя ускорения каждой точки в соответствии со вторым законом Ньютона (1.2), получим для каждой точки три скалярных дифференциальных закона движения второго порядка, т.е. 3 N дифференциальных закона движения для всей системы.

Для нахождения уравнений движения механической системы по заданным силам и начальным условиям для каждой точки системы, полученные дифференциальные законы нужно проинтегрировать. Эта задача трудна даже в случае двух материальных точек, которые движутся только под действием сил взаимодействия по закону всемирного притяжения (задача о двух телах), и исключительно трудна в случае трех взаимодействующих точек (задача о трех телах).

Поэтому необходимо отыскать такие методы решения задач, которые бы приводили к решаемым уравнениям и давали представление о движении механической системы. Общие теоремы динамики, являясь следствием дифференциальных законов движения, позволяют избежать сложности, возникающие при интегрировании и получать необходимые результаты.

3. 1. Общие замечания

Точки механической системы будем нумеровать индексами i , j , k и т.д., которые пробегают все значения 1, 2, 3… N , где N – число точек системы. Физические величины, относящиеся к k -й точке, обозначаются таким же индексом, что и точка. Например, выражают соответственно радиус-вектор и скорость k -й точки.

На каждую из точек системы действуют силы двоякого происхождения: во-первых, силы, источники которых лежат вне системы, называемые внешними силами и обозначаемые ; во-вторых, силы со стороны других точек данной системы, называемые внутренними силами и обозначаемые . Внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона. Рассмотрим простейшие свойства внутренних сил, действующих на всю механическую систему в любом ее состоянии.

Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю .

Действительно, если рассмотреть какие-либо две произвольные точки системы, например и (рис. 3.1) , то для них , т.к. силы действия и противодействия всегда равны по модулю, действуют вдоль одной линии действия в противоположном направлении, которое соединяет взаимодействующие точки. Главный вектор внутренних сил состоит из пар сил взаимодействующих точек, следовательно

(3.1)

Второе свойство. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства равна нулю .

Рассмотрим систему моментов сил и относительно точки О (рис. 3.1) . Из (рис. 3.1) . видно, что

,

т.к. обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки О состоит из векторной суммы таких выражений и равен нулю. Следовательно,

Пусть заданы внешние и внутренние силы, действующие на механическую систему, состоящую из N точек (рис. 3.2) . Если к каждой точке системы приложить равнодействующую внешних сил и равнодействующую всех внутренних сил , то для любой k -й точки системы можно составить дифференциальные уравнения движения. Всего таких уравнений будет N :

а в проекциях на неподвижные оси координат 3 N :

(3.4)

Векторные уравнения (3.3) или эквивалентные им скалярные уравнения (3.4) представляют дифференциальные законы движения материальных точек всей системы. Если все точки движутся параллельно одной плоскости или одной прямой, то число уравнений (3.4) в первом случае будет 2 N , во втором N .

Пример 1. Два груза массой и связаны между собой нерастяжимым тросом, перекинутым через блок (рис. 3.3) . Пренебрегая силами трения, а также массой блока и троса, определить закон движения грузов и натяжения троса.

Решение . Система состоит из двух материальных тел (связанных нерастяжимым тросом), движущихся параллельно одной оси х. Запишем дифференциальные законы движения в проекциях на ось х для каждого тела.

Пусть правый груз опускается с ускорением , тогда левый груз будет подниматься с ускорением . Мысленно освобождаемся от связи (троса) и заменяем ее реакциями и (рис. 3.3) . Считая тела свободными, составим дифференциальные законы движения в проекции на ось х (имеется в виду, что натяжения нити являются внутренними силами, а вес грузов – внешними):

Поскольку и (тела связаны нерастяжимым тросом), получаем

Решая эти уравнения относительно ускорения и натяжения троса Т , получим

.

Отметим, что натяжение троса при не равно силе тяжести соответствующего груза.

3. 2. Теорема о движении центра масс

Известно, что твердое тело и механическая система в плоскости может двигаться достаточно сложно. К первой теореме о движении тела и механической системы можно прийти следующим образом: бросить к.-л. предмет, состоящий из множества скрепленных между собой твердых тел. Ясно, что он полетит по параболе. Это выявилось при изучении движения точки. Однако теперь объект не точка. Он поворачивается, покачивается в процессе полета вокруг некого эффективного центра, который движется по параболе. Первая теорема о движении сложных предметов говорит о том, что некий эффективный центр есть центр масс движущегося предмета. Центр масс не обязательно находится в самом теле, он может лежать и где-то вне его.

Теорема. Центр масс механической системы движется как материальная точка массой равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Для доказательства теоремы перепишем дифференциальные законы движения (3.3) в следующем виде:

(3.5)

где N – число точек системы.

Сложим почленно уравнения между собой:

(а)

Положение центра масс механической системы относительно выбранной системы координат определяется формулой (2.1): где М – масса системы. Тогда левая часть равенства (а) запишется

Первая сумма, стоящая в правой части равенства (а), равна главному вектору внешних сил, а последняя по свойству внутренних сил равна нулю. Тогда равенство (а), с учетом (б) перепишется

, (3.6)

т.е. произведение массы системы на ускорение центра ее массы равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Из уравнения (3.6) следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс. Однако в ряде случаев являются причиной появления внешних сил, приложенных к системе. Так, внутренние силы, приводящие во вращение ведущие колеса автомобиля, вызывают действие на него внешней силы сцепления, приложенной к ободу колеса.

Пример 2. Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, установлен на горизонтальной гладкой плоскости и прикреплен к ней жестко закрепленными с поверхностью брусками К и L (рис. 3.4) .

Диск 1 радиусом R неподвижен. Диск 2 массой m и радиусом r скреплен с кривошипом , длиной R + r в точке С 2 . Кривошип вращается с постоянной

угловой скоростью . В начальный момент кривошип занимал правое горизонтальное положение. Пренебрегая массой кривошипа, определить наибольшее горизонтальное и вертикальное усилия, действующие на бруски, если общая масса станины и колеса 1 равна М. Также рассмотреть поведение механизма при отсутствии брусков.

Решение . Система состоит из двух масс (N =2 ): неподвижного диска 1 со станиной и подвижного диска 2. Направим ось у через центр тяжести неподвижного диска по вертикали вверх, ось х – вдоль горизонтальной плоскости.

Запишем теорему о движении центра масс (3.6) в координатной форме

Внешними силами этой системы являются: вес станины и неподвижного диска – Mg , вес подвижного диска – mg , - суммарная горизонтальная реакция болтов, - нормальная суммарная реакция плоскости. Следовательно,

Тогда законы движения (б) перепишутся

Вычислим координаты центра масс механической системы:

; (г)

как видно из (рис. 3.4) , , , (угол поворота кривошипа ), . Подставляя эти выражения в (г) и вычисляя вторые производные по времени t от , , получим, что

(д)

Подставляя (в) и (д) в (б), находим

Горизонтальное давление, действующее на бруски, имеет наибольшее и наименьшее значения, когда cos = 1 соответственно, т.е

Давление механизма на горизонтальную плоскость имеет наибольшее и наименьшее значения, когда sin соответственно, т.е.

Фактически решена первая задача динамики: по известным уравнениям движения центра масс системы (д) восстанавливаются силы, участвующие в движении.

В условиях отсутствия брусков K и L (рис. 3.4) , механизм может начать подпрыгивать над горизонтальной плоскостью. Это будет иметь место, когда , т.е. когда , отсюда следует, что угловая скорость вращения кривошипа, при которой происходит подпрыгивание механизма, должна удовлетворять равенству

.

3. 3. Закон сохранения движения центра масс

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, т.е. , то из (3.6) следует, что ускорение центра масс равно нулю, следовательно, скорость центра масс является постоянной по модулю и направлению. Если, в частности, в начальный момент центр масс находится в покое, то он покоится в течение всего времени, пока главный вектор внешних сил равен нулю.

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

· Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы.

· Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

· Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется.

· Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение его центра масс (она может вызвать только вращение тела вокруг центра масс).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий закон сохранения движения центра масс.

Пример 3. Два груза массами и соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.5) , закрепленный на клине массой М. Клин опирается на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент система находилась в покое. Найти перемещение клина по плоскости при опускании первого груза на высоту Н. Массой блока и нити пренебречь.

Решение. Внешними силами, действующими на клин вместе с грузами, являются силы тяжести , и Mg , а также нормальная реакция гладкой горизонтальной поверхности N. Следовательно,

Поскольку в начальный момент система находилась в покое, имеем .

Вычислим координату центра масс системы при и в момент t 1 , когда груз весом g опустится на высоту H .

Для момента :

,

где , , х – соответственно координаты центра масс грузов весом g, g и клина весом М g .

Предположим, что клин в момент времени переместится в положительном направлении оси Ox на величину L , если груз весом опустится на высоту Н. Тогда, для момента

т.к. грузы вместе с клином передвинутся на L вправо, a груз переместится на расстояние по клину вверх. Так как , то после вычислений получим

.

3.4. Количество движения системы

3.4.1. Вычисление количества движения системы

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

Единица измерения количества движения -

Количеством движения механической системы называют векторную сумму количества движения отдельных точек системы, т.е.

где N – число точек системы.

Количество движения механической системы можно выразить через массу системы М и скорость центра масс . Действительно,

т.е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Направление совпадает с направлением (рис. 3.6)

В проекциях на прямоугольные оси имеем

где , , - проекции скорости центра масс системы.

Здесь М – масса механической системы; не меняется при движении системы.

Этими результатами особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.

Из формулы (3.7) видно, что если механическая система движется так, что ее центр масс остается неподвижным, то количество движения системы остается равным нулю.

3.4.2. Элементарный и полный импульс силы

Действие силы на материальную точку в течение времени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом . Полный импульс силы за время t , или импульс силы , определяют по формуле

или в проекциях на координаты оси

(3.8а)

Единица импульса силы - .

3.4.3. Теорема об изменении количества движения системы

Пусть к точкам системы приложены внешние и внутренние силы. Тогда для каждой точки системы можно применить дифференциальные законы движения (3.3), имея в виду, что :

.

Суммируя по всем точкам системы, получим

По свойству внутренних сил и по определению имеем

(3.9)

Умножая обе части этого уравнения на dt , получим теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме:

, (3.10)

т.е. дифференциал количества движения механической системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на точки механической системы.

Вычисляя интеграл от обеих частей (3.10) по времени от 0 до t , получим теорему в конечной или интегральной форме

(3.11)

В проекциях на координатные оси будем иметь

Изменение количества движения механической системы за время t , равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.

Пример 4. Груз массой m спускается вниз по наклонной плоскости из состояния покоя под действием силы F , пропорциональной времени: , где (рис. 3.7) . Какую скорость приобретет тело через t секунд после начала движения, если коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f .

Решение. Изобразим силы, приложенные к грузу: mg – сила тяжести груза, N – нормальная реакция плоскости, - сила трения скольжения груза о плоскость, причем . Направление всех сил изображено на (рис. 3.7) .

Направим ось х вдоль наклонной плоскости вниз. Запишем теорему об изменении количества движения (3.11) в проекции на ось х :

(а)

По условию , т.к. в начальный момент времени груз находился в состоянии покоя. Сумма проекций импульсов всех сил на ось х равна

Следовательно,

,

.

3.4.4. Законы сохранения количества движения

Законы сохранения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения. Возможны два частных случая.

· Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, т.е. , то из теоремы следует (3.9) , что ,

т.е. если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению.

· Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю, например Ох, т.е. , то проекция количества движения на эту ось величина постоянная .

Рассмотрим пример применения закона сохранения количества движения.

Пример 5. Баллистический маятник представляет собой тело массой , подвешенное на длинной нити (рис. 3.8) .

Пуля массой , движущаяся со скоростью V и попадающая в неподвижное тело, застревает в нем, и тело отклоняется. Какова была скорость пули, если тело поднялось на высоту h ?

Решение. Пусть тело с застрявшей пулей приобрело скорость . Тогда, пользуясь законом сохранения количества движения при взаимодействии двух тел, можно записать .

Скорость можно вычислить, воспользовавшись законом сохранения механической энергии . Тогда . В результате находим

.

Пример 6 . Вода входит в неподвижный канал (рис. 3.9) переменного сечения со скоростью под углом к горизонту; площадь поперечного сечения канала при входе ; скорость воды у выхода из канала и составляет угол с горизонтом.

Определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает на стенки канала. Плотность воды .

Решение. Будем определять горизонтальную составляющую реакции, оказываемой стенками канала на воду. Эта сила равна по модулю и противоположна по знаку искомой силе. Имеем, согласно (3.11а),

. (а)

Вычисляем массу объема жидкости, поступающей в канал за время t:

Величина rАV 0 называется секундной массой - масса жидкости, протекающей через любое сечение трубы в единицу времени.

Такое же количество воды покидает канал за это же время. Начальная и конечная скорости даны в условии.

Вычислим правую часть равенства (а) которая определяет сумму проекций на горизонтальную ось внешних сил, приложенных к системе (воде). Единственной горизонтальной силой является горизонтальная составляющая равнодействующей реакции стенок R x . Эта сила при установившемся движении воды является постоянной. Поэтому

. (в)

Подставляя (б) и (в) в (а), получаем

3.5. Кинетический момент системы

3.5.1. Главный момент количества движения системы

Пусть - радиус-вектор точки массой системы относительно некоторой точки А, называемой центром (рис. 3.10) .

Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки относительно центра А называется вектор , определяемый по формуле

. (3.12)

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр А и вектор .

Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки относительно оси называется проекция на эту ось момента количества движения точки относительно любого выбранного на данной оси центра.

Главным моментом количества движения (кинетическим моментом) системы относительно центра А называется величина

(3.13)

Главным моментом количества движения (кинетическим моментом) системы относительно оси называется проекция на эту ось главного момента количества движения системы относительно любого выбранного на данной оси центра.

3.5.2. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения

Совместим неподвижную точку О тела, лежащую на оси вращения О z , с началом системы координат Оху z , оси которой будут вращаться вместе с телом (рис. 3.11) . Пусть - радиус-вектор точки тела относительно начала координат, его проекции на оси обозначим , , . Проекции вектора угловой скорости тела на те же оси обозначим 0, 0, ().

Довольно часто удается выделить важные особенности движения механической системы, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения. Это достигается применением общих теорем динамики.

5.1. Основные понятия и определения

Внешние и внутренние силы. Любая сила, действующая на точку механической системы, обязательно является либо активной силой, либо реакцией связи. Всю совокупность сил, действующих на точки системы, можно разделить на два класса иначе: на внешние силы и внутренние силы (индексы е и i - от латинских слов externus - внешний и internus - внутренний). Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в состав рассматриваемой системы. Внутренними называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.

Это разделение зависит от того, какие материальные точки и тела включены исследователем в рассматриваемую механическую систему. Если расширить состав системы, включив в нее дополнительно точки и тела, то некоторые силы, которые для прежней системы были внешними, для расширенной системы могут стать внутренними.

Свойства внутренних сил. Поскольку эти силы являются силами взаимодействия между частями системы, они входят в полную систему внутренних сил «двойками», организованными в соответствии с аксиомой действия-противодействия. У каждой такой «двойки» сил

главный вектор и главный момент относительно произвольного центра равны нулю. Так как полная система внутренних сил состоит только из «двоек», то

1) главный вектор системы внутренних сил равен нулю,

2) главный момент системы внутренних сил относительно произвольной точки равен нулю.

Массой системы называется арифметическая сумма масс тк всех точек и тел, образующих систему:

Центром масс (центром инерции) механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор и координаты которой определяются формулами

где - радиусы-векторы и координаты точек, образующих систему.

Для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают, в других случаях это разные геометрические точки.

Вместе с инерциальной системой отсчета часто рассматривают одновременно неинерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно. Ее оси координат (оси Кёнига) выбирают так, чтобы начало отсчета С постоянно совпадало с центром масс механической системы. В соответствии с определением центр масс неподвижен в осях Кёнига и находится в начале координат.

Моментом инерции системы относительно оси называется скалярная величина равная сумме произведений масс тк всех точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Если механической системой является твердое тело, для нахождения 12 можно воспользоваться формулой

где - плотность, объем, занимаемый телом.

Общие теоремы динамики системы тел. Теоремы о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количества движения, об изменении кинетической энергии. Принципы Даламбера, и возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.

Общие теоремы динамики твердого тела и системы тел

Общие теоремы динамики - это теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения, теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) и теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема о движении центра масс механической системы

Теорема о движении центра масс.
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.

Здесь M - масса системы:
;
a C - ускорение центра масс системы:
;
v C - скорость центра масс системы:
;
r C - радиус вектор (координаты) центра масс системы:
;
- координаты (относительно неподвижного центра) и массы точек, из которых состоит система.

Теорема об изменении количества движения (импульса)

Количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс или сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек или частей, составляющих систему:
.

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.
Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме.
Изменение количества движения (импульса) системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:
.

Закон сохранения количества движения (импульса).
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)

Главным моментом количества движения системы относительно данного центра O называется величина , равная векторной сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:
.
Здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение.

Закрепленные системы

Следующая ниже теорема относится к случаю, когда механическая система имеет неподвижную точку или ось, которая закреплена относительно инерциальной системы отсчета. Например тело, закрепленное сферическим подшипником. Или система тел, совершающая движение вокруг неподвижного центра. Это также может быть неподвижная ось, вокруг которой вращается тело или система тел. В этом случае, под моментами следует понимать моменты импульса и сил относительно закрепленной оси.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Закон сохранения главного момента количества движения (момента импульса).
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного неподвижного центра O равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент количества движения системы относительно этой оси будет постоянным.

Произвольные системы

Следующая далее теорема имеет универсальный характер. Она применима как к закрепленным системам, так и к свободно движущимся. В случае закрепленных систем нужно учитывать реакции связей в закрепленных точках. Она отличается от предыдущей теоремы тем, что вместо закрепленной точки O следует брать центр масс C системы.

Теорема моментов относительно центра масс
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно центра масс C равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Закон сохранения момента импульса.
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно центра масс C равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Момент инерции тела

Если тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω z , то его момент количества движения (кинетический момент) относительно оси z определяется по формуле:
L z = J z ω z ,
где J z - момент инерции тела относительно оси z .

Момент инерции тела относительно оси z определяется по формуле:
,
где h k - расстояние от точки массой m k до оси z .
Для тонкого кольца массы M и радиуса R или цилиндра, масса которого распределена по его ободу,
J z = M R 2 .
Для сплошного однородного кольца или цилиндра,
.

Теорема Штейнера-Гюйгенса.
Пусть Cz - ось, проходящая через центр масс тела, Oz - параллельная ей ось. Тогда моменты инерции тела относительно этих осей связаны соотношением:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
где M - масса тела; a - расстояние между осями.

В более общем случае :
,
где - тензор инерции тела.
Здесь - вектор, проведенный из центра масс тела в точку с массой m k .

Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть тело массы M совершает поступательное и вращательное движение с угловой скоростью ω вокруг некоторой оси z . Тогда кинетическая энергия тела определяется по формуле:
,
где v C - скорость движения центра масс тела;
J Cz - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси вращения. Направление оси вращения может меняться со временем. Указанная формула дает мгновенное значение кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Дифференциал (приращение) кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме дифференциалов работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.

Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.

Работа, которую совершает сила , равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения :
,
то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, которую совершает момент сил , равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота :
.

Принцип Даламбера

Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения. Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения

Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции:
.
После этого задача динамики:
.
;
.

Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z и на него действуют внешние моменты сил M e zk . Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение ε z . Далее мы вводим момент сил инерции M И = - J z ε z . После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел

Принцип возможных перемещений .
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Возможное перемещение системы - это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.

Идеальные связи - это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)

Принцип Даламбера - Лагранжа - это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип Даламбера - Лагранжа .
При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики .

Уравнения Лагранжа

Обобщенные координаты q 1 , q 2 , ..., q n - это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.

Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.

Обобщенные скорости - это производные от обобщенных координат по времени t .

Обобщенные силы Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата q k получит перемещение δq k . Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δA k - это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда
δA k = Q k δq k , или
.

Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n .
Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:
.

Для потенциальных сил с потенциалом Π ,
.

Уравнения Лагранжа - это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Здесь T - кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени. Поэтому ее частная производная также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени. Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции:
.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

(МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ) – IV вариант

1. Основное уравнение динамики материальной точки, как известно, выражено уравнением . Дифференциальные уравнения движения произвольных точек несвободной механической системы согласно двух способов деления сил можно записать в двух формах:

(1) , где k=1, 2, 3, … , n – количество точек материальной системы.

(2)

где - масса k-той точки; - радиус вектор k-той точки, - заданная (активная) сила, действующая на k-тую точку или равнодействующая всех активных сил, действующих на k-тую точку. - равнодействующая сил реакций связей, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внутренних сил, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внешних сил, действующая на k-тую точку.

При помощи уравнений (1) и (2) можно стремиться решать как первую, так и вторую задачи динамики. Однако решение второй задачи динамики для системы очень усложняется не только с математической точки зрения, но и потому, что мы сталкиваемся с принципиальными трудностями. Они заключаются в том, что как для системы (1), так и для системы (2) число уравнений значительно меньше числа неизвестных.

Так, если использовать (1), то известными для второй (обратной) задачи динамики будут и , а неизвестными будут и . Векторных уравнений будет «n », а неизвестных - «2n».

Если же исходить из системы уравнений (2), то известные и часть внешних сил . Почему часть? Дело в том, что в число внешних сил входят и внешние реакции связей, которые неизвестны. К тому же неизвестными будут ещё и .

Таким образом, как система (1), так и система (2) НЕЗАМКНУТА. Нужно добавлять уравнения, учитывая уравнения связей и возможно ещё нужно накладывать некоторые ограничения на сами связи. Что делать?

Если исходить из (1), то можно пойти по пути составления уравнений Лагранжа первого рода. Но такой путь не рационален потому, что чем проще задача (меньше степеней свободы), тем труднее с точки зрения математики ее решать.

Тогда обратим внимание на систему (2), где - всегда неизвестны. Первый шаг при решении системы – это нужно исключить эти неизвестные. Следует иметь в виду, что нас, как правило, не интересуют внутренние силы при движении системы, то есть при движении системы не нужно знать, как движется каждая точка системы, а достаточно знать как движется система в целом.

Таким образом, если различными способами исключить из системы (2) неизвестные силы , то получаем некоторые соотношения, т. е. появляются некоторые общие характеристики для системы, знание которых позволяют судить о том, как движется система в общем. Эти характеристики вводятся при помощи так называемых общих теорем динамики. Таких теорем четыре:

1. Теорема о движении центра масс механической системы ;

2. Теорема об изменении количества движения механической системы ;

3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы ;

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы .