Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi Eulerovom metodom. Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi

Običnim diferencijalnim jednadžbama nazivaju se takve jednadžbe koje sadrže jednu ili više derivacija željene funkcije y=y (x). Mogu se napisati u obliku

Gdje je x nezavisna varijabla.

Najviši red n derivacije u jednadžbi naziva se redom diferencijalne jednadžbe.

Metode rješavanja običnih diferencijalnih jednadžbi mogu se podijeliti u sljedeće skupine: grafičke, analitičke, aproksimativne i numeričke.

Grafičke metode koriste geometrijske konstrukcije.

Analitičke metode nalaze se u tečaju diferencijalnih jednadžbi. Za jednadžbe prvog reda (sa separabilnim varijablama, homogene, linearne itd.), kao i za neke vrste jednadžbi višeg reda (na primjer, linearne s konstantnim koeficijentima), moguće je dobiti rješenja u obliku formula analitičkim transformacijama.

Približne metode koriste različita pojednostavljenja samih jednadžbi razumnim odbacivanjem nekih članova sadržanih u njima, kao i posebnim izborom klasa željenih funkcija.

Numeričke metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi trenutno su glavni alat u proučavanju znanstvenih i tehničkih problema opisanih diferencijalnim jednadžbama. Pritom treba naglasiti da su ove metode posebno učinkovite u kombinaciji s korištenjem suvremenih računala.

Najjednostavnija numerička metoda za rješavanje Cauchyjevog problema za ODE je Eulerova metoda. Razmotrite jednadžbu u blizini čvorova (i=1,2,3,…) i zamijenite derivaciju na lijevoj strani desnom razlikom. U ovom slučaju, vrijednosti funkcije u čvorovima bit će zamijenjene vrijednostima funkcije mreže:

Dobivena aproksimacija DE je prvog reda jer je dopuštena pogreška pri zamjeni s .

Imajte na umu da to slijedi iz jednadžbe

Dakle, radi se o približnom pronalaženju vrijednosti funkcije u točki pomoću proširenja u Taylorov niz uz odbacivanje članova drugog i viših reda. Drugim riječima, pretpostavlja se da je prirast funkcije jednak njezinom diferencijalu.

Uz pretpostavku da je i=0, pomoću relacije nalazimo vrijednost mrežne funkcije na:

Ovdje tražena vrijednost dana je početnim stanjem, tj.

Slično se mogu pronaći vrijednosti funkcije mreže na drugim čvorovima:

Konstruirani algoritam naziva se Eulerova metoda

Slika - 19 Eulerova metoda

Geometrijska interpretacija Eulerove metode data je na slici. Prikazana su prva dva koraka, tj. ilustriran je izračun mrežne funkcije u točkama. Integralne krivulje 0,1,2 opisuju točna rješenja jednadžbe. U ovom slučaju krivulja 0 odgovara točnom rješenju Cauchyjevog problema, budući da prolazi kroz početnu točku A (x 0, y 0). Točke B,C dobivene su kao rezultat numeričkog rješenja Cauchyjevog problema Eulerovom metodom. Njihova odstupanja od krivulje 0 karakteriziraju pogrešku metode. Prilikom izvođenja svakog koraka zapravo dolazimo do druge integralne krivulje. Segment AB je segment tangente na krivulju 0 u točki A, njegov nagib karakterizira vrijednost derivacije. Pogreška se pojavljuje jer se prirast vrijednosti funkcije tijekom prijelaza s x 0 na x 1 zamjenjuje prirastom ordinate tangente na krivulju 0 u točki A. Tangenta BC već je povučena na drugu integralnu krivulju 1 Dakle, pogreška Eulerove metode dovodi do činjenice da na svakom koraku aproksimativno rješenje prelazi na drugu integralnu krivulju.

Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Mnogi problemi znanosti i tehnologije svode se na rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi (ODE). ODE su takve jednadžbe koje sadrže jednu ili više derivacija željene funkcije. Općenito, ODE se može napisati na sljedeći način:

Gdje je x nezavisna varijabla, je i-ta derivacija željene funkcije. n je red jednadžbe. Opće rješenje ODE n-tog reda sadrži n proizvoljnih konstanti, tj. opće rješenje ima oblik .

Za odabir jedinstvenog rješenja potrebno je postaviti n dodatnih uvjeta. Ovisno o tome kako su navedeni dodatni uvjeti, postoje dvije različite vrste problema: Cauchyjev problem i problem rubne vrijednosti. Ako su u jednoj točki navedeni dodatni uvjeti, onda se takav problem naziva Cauchyjev problem. Dodatni uvjeti u Cauchyjevom problemu nazivaju se početni uvjeti. Ako su dodatni uvjeti navedeni u više od jedne točke, tj. za različite vrijednosti nezavisne varijable, tada se takav problem naziva granični problem. Sami dodatni uvjeti nazivaju se rubni ili rubni uvjeti.

Jasno je da se za n=1 može govoriti samo o Cauchyjevom problemu.

Primjeri postavljanja Cauchyjevog problema:

Primjeri rubnih problema:

Takve probleme moguće je analitički riješiti samo za neke posebne vrste jednadžbi.

Numeričke metode za rješavanje Cauchyjevog problema za ODE prvog reda

Formulacija problema. Pronađite rješenje za ODE prvog reda

Na segmentu pod uvjetom

Prilikom pronalaženja približnog rješenja, pretpostavit ćemo da se proračuni provode s korakom izračuna, čvorovi izračuna su intervalne točke [ x 0 , x n ].

Cilj je izgraditi stol

x ja				x n
g ja				g n

oni. približne vrijednosti y traže se u čvorovima mreže.

Integrirajući jednadžbu na intervalu , dobivamo

Sasvim prirodan (ali ne i jedini) način da se dobije numeričko rješenje je zamijeniti integral u njemu nekom kvadraturnom numeričkom integracijskom formulom. Ako se poslužimo najjednostavnijom formulom lijevih pravokutnika prvog reda

,

onda dobivamo Eulerova eksplicitna formula:

Postupak nagodbe:

Znajući, nalazimo, pa tako dalje.

Geometrijska interpretacija Eulerove metode:

Iskorištavanje onoga što je u pitanju x 0 poznato rješenje g(x 0)=y 0 i vrijednosti njezine derivacije možete napisati jednadžbu tangente na graf željene funkcije u točki :. S dovoljno malim korakom h ordinata ove tangente, dobivena zamjenom na desnu stranu vrijednosti, trebala bi se malo razlikovati od ordinate g(x 1) rješenja g(x) Cauchyjevog problema. Prema tome, sjecište tangente s pravcem x = x 1 se približno može uzeti kao nova polazna točka. Kroz ovu točku ponovno povlačimo ravnu liniju, koja približno odražava ponašanje tangente na točku. Zamjena ovdje (tj. sjecište s linijom x = x 2), dobivamo približnu vrijednost g(x) u točki x 2: itd. Kao rezultat toga, za ja točki, dobivamo Eulerovu formulu.

Eksplicitna Eulerova metoda ima prvi red točnosti ili aproksimacije.

Ako koristimo formulu pravih pravokutnika: , tada dolazimo do metode

Ova metoda se zove implicitna Eulerova metoda, budući da je za izračunavanje nepoznate vrijednosti iz poznate vrijednosti potrebno riješiti jednadžbu, u općem slučaju nelinearnu.

Implicitna Eulerova metoda ima prvi red točnosti ili aproksimacije.

U ovoj metodi izračun se sastoji od dvije faze:

Ova se shema također naziva metoda prediktor-korektor (prediktivno-korektivna). U prvom stupnju predviđa se približna vrijednost s niskom točnošću (h), au drugom stupnju se to predviđanje korigira tako da dobivena vrijednost ima drugi red točnosti.

Runge-Kutta metode: ideja konstruiranja eksplicitnih Runge–Kutta metoda str-ti red je dobiti aproksimacije vrijednosti g(x ja+1) prema formuli obrasca

…………………………………………….

Ovdje a n ,b nj , str n, su neki fiksni brojevi (parametri).

Prilikom konstruiranja Runge–Kutta metoda, parametri funkcije ( a n ,b nj , str n) biraju se na takav način da se dobije željeni red aproksimacije.

Runge–Kuttina shema četvrtog reda točnosti:

Primjer. Riješite Cauchyjev problem:

Razmotrimo tri metode: eksplicitnu Eulerovu metodu, modificiranu Eulerovu metodu, Runge-Kutta metodu.

Točno rješenje:

Formule izračuna za eksplicitnu Eulerovu metodu za ovaj primjer:

Formule za izračun modificirane Eulerove metode:

Formule za izračun metode Runge-Kutta:

y1 je Eulerova metoda, y2 je modificirana Eulerova metoda, y3 je Runge Kutta metoda.

Vidi se da je metoda Runge-Kutta najtočnija.

Numeričke metode rješavanja sustava ODE prvog reda

Razmatrane metode mogu se koristiti i za rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Pokažimo ovo za slučaj sustava dviju jednadžbi prvog reda:

Eksplicitna Eulerova metoda:

Modificirana Eulerova metoda:

Runge-Kutta shema četvrtog reda točnosti:

Cauchyjevi problemi za jednadžbe višeg reda također se svode na rješavanje sustava ODE jednadžbi. Na primjer, razmotrite Cauchyjev problem za jednadžbu drugog reda

Uvedimo drugu nepoznatu funkciju. Tada se Cauchyjev problem zamjenjuje sljedećim:

Oni. u smislu prethodnog problema: .

Primjer. Pronađite rješenje Cauchyjevog problema:

Na rezu.

Točno rješenje:

Stvarno:

Riješimo problem eksplicitnom Eulerovom metodom, modificiranom Eulerovom i Runge-Kutta metodom s korakom h=0,2.

Uvedimo funkciju.

Tada dobivamo sljedeći Cauchyjev problem za sustav od dva ODE-a prvog reda:

Eksplicitna Eulerova metoda:

Modificirana Eulerova metoda:

Runge-Kutta metoda:

Eulerova shema:

Modificirana Eulerova metoda:

Shema Runge-Kutta:

Max (y-y teorija)=4*10 -5

Metoda konačnih razlika za rješavanje rubnih problema za ODE

Formulacija problema: pronaći rješenje linearne diferencijalne jednadžbe

zadovoljavajući rubne uvjete:. (2)

Teorema. Neka . Zatim postoji jedinstveno rješenje problema.

Na primjer, problem određivanja progiba grede, koja je na krajevima spojena šarkama, svodi se na ovaj problem.

Glavne faze metode konačnih razlika:

1) područje kontinuirane promjene argumenta () zamijenjeno je diskretnim skupom točaka koje se nazivaju čvorovi: .

2) Željena funkcija kontinuiranog argumenta x približno se zamjenjuje funkcijom diskretnog argumenta na zadanoj mreži, tj. . Funkcija se naziva grid.

3) Izvorna diferencijalna jednadžba zamijenjena je jednadžbom razlike s obzirom na mrežnu funkciju. Takva se zamjena naziva razlikovnom aproksimacijom.

Dakle, rješenje diferencijalne jednadžbe svodi se na pronalaženje vrijednosti mrežne funkcije u čvorovima mreže, koje se nalaze iz rješenja algebarskih jednadžbi.

Aproksimacija derivacija.

Da biste aproksimirali (zamijenili) prvu derivaciju, možete koristiti formule:

- derivacija desne razlike,

- lijeva diferencirana derivacija,

Centralna diferentna derivacija.

tj. mogući su mnogi načini aproksimacije derivacije.

Sve ove definicije slijede iz koncepta derivata kao granice: .

Na temelju aproksimacije razlike prve derivacije možemo konstruirati aproksimaciju razlike druge derivacije:

Slično se mogu aproksimirati derivacije višeg reda.

Definicija. Pogreška aproksimacije n-te derivacije je razlika: .

Proširenje u Taylorov niz koristi se za određivanje reda aproksimacije.

Razmotrimo aproksimaciju desne razlike prve derivacije:

Oni. desna diferentna derivacija ima prvo od h aproksimacijski red.

Isto vrijedi i za lijevu diferencijsku derivaciju.

Centralna razlika izvodnica ima aproksimacija drugog reda.

Aproksimacija druge derivacije formulom (3) također ima drugi red aproksimacije.

Da bi se diferencijalna jednadžba aproksimirala, potrebno je sve derivacije u njoj zamijeniti njihovim aproksimacijama. Razmotrimo problem (1), (2) i zamijenimo derivacije u (1):

Kao rezultat toga dobivamo:

(4)

Redoslijed aproksimacije izvornog problema je 2, jer druga i prva derivacija zamijenjene su redom 2, a ostale su točne.

Dakle, umjesto diferencijalnih jednadžbi (1), (2) dobiva se sustav linearnih jednadžbi za određivanje u čvorovima mreže.

Shema se može predstaviti kao:

tj. dobili smo sustav linearnih jednadžbi s matricom:

Ova matrica je trodijagonalna, tj. svi elementi koji se ne nalaze na glavnoj dijagonali i dvije njoj susjedne dijagonale jednaki su nuli.

Rješavanjem dobivenog sustava jednadžbi dobivamo rješenje izvornog problema.

Uvod

Pri rješavanju znanstvenih i inženjerskih problema često je potrebno matematički opisati bilo koji dinamički sustav. To je najbolje učiniti u obliku diferencijalnih jednadžbi ( DU) ili sustave diferencijalnih jednadžbi. Najčešće se takav problem javlja pri rješavanju problema vezanih uz modeliranje kinetike kemijskih reakcija i raznih fenomena prijenosa (topline, mase, količine gibanja) - prijenosa topline, miješanja, sušenja, adsorpcije, pri opisivanju kretanja makro- i mikročestica.

U nekim slučajevima, diferencijalna jednadžba može se pretvoriti u oblik u kojem je najveća derivacija izražena eksplicitno. Ovaj oblik pisanja naziva se jednadžba razriješena s obzirom na najveću derivaciju (u ovom slučaju, najveća derivacija je odsutna na desnoj strani jednadžbe):

Rješenje obične diferencijalne jednadžbe je funkcija y(x) koja, za bilo koji x, zadovoljava ovu jednadžbu u određenom konačnom ili beskonačnom intervalu. Proces rješavanja diferencijalne jednadžbe naziva se integracija diferencijalne jednadžbe.

Povijesno gledano, prvi i najjednostavniji način numeričkog rješavanja Cauchyjevog problema za ODE prvog reda je Eulerova metoda. Temelji se na aproksimaciji derivacije omjerom konačnih prirasta zavisne (y) i nezavisne (x) varijable između čvorova uniformne mreže:

gdje je y i+1 tražena vrijednost funkcije u točki x i+1 .

Točnost Eulerove metode može se poboljšati ako koristimo točniju integracijsku formulu za aproksimaciju integrala: formula trapeza.

Ispostavilo se da je ova formula implicitna u odnosu na y i+1 (ova vrijednost je i na lijevoj i na desnoj strani izraza), odnosno, to je jednadžba za y i+1 , koja se može riješiti npr. , numerički, pomoću neke iterativne metode (u takvom obliku može se smatrati iterativnom formulom metode jednostavne iteracije).

Sastav nastavnog rada: Nastavni rad sastoji se od tri dijela. U prvom dijelu kratak opis metoda. U drugom dijelu formulacija i rješenje problema. U trećem dijelu - implementacija softvera na računalnom jeziku

Svrha kolegija: proučiti dvije metode rješavanja diferencijalnih jednadžbi - Euler-Cauchyjevu metodu i poboljšanu Eulerovu metodu.

1. Teorijski dio

Numeričko razlikovanje

Diferencijalna jednadžba je ona koja sadrži jednu ili više derivacija. Ovisno o broju nezavisnih varijabli, diferencijalne jednadžbe dijele se u dvije kategorije.

Obične diferencijalne jednadžbe (ODE)

Parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Običnim diferencijalnim jednadžbama nazivaju se jednadžbe koje sadrže jednu ili više derivacija željene funkcije. Mogu se napisati u obliku

neovisna varijabla

Najviši red uključen u jednadžbu (1) naziva se red diferencijalne jednadžbe.

Najjednostavniji (linearni) ODE je jednadžba (1) reda riješena s obzirom na derivaciju

Rješenje diferencijalne jednadžbe (1) je svaka funkcija koja je nakon zamjene u jednadžbu pretvara u identitet.

Glavni problem povezan s linearnim ODE-om poznat je kao Kashijev problem:

Nađite rješenje jednadžbe (2) u obliku funkcije koja zadovoljava početni uvjet (3)

Geometrijski to znači da je potrebno pronaći integralnu krivulju koja prolazi kroz točku ) kada je zadovoljena jednakost (2).

Numerički sa stajališta problema Kashi znači: potrebno je izgraditi tablicu vrijednosti funkcije koja zadovoljava jednadžbu (2) i početni uvjet (3) na segmentu s određenim korakom. Obično se pretpostavlja da je početni uvjet dan na lijevom kraju segmenta.

Najjednostavnija od numeričkih metoda za rješavanje diferencijalne jednadžbe je Eulerova metoda. Temelji se na ideji grafičkog konstruiranja rješenja diferencijalne jednadžbe, ali ova metoda također pruža način pronalaska željene funkcije u numeričkom obliku ili u tablici.

Neka je jednadžba (2) dana s početnim uvjetom, odnosno postavljen je Kashijev problem. Najprije riješimo sljedeći problem. Pronađite na najjednostavniji način približnu vrijednost rješenja u nekoj točki gdje je dovoljno mali korak. Jednadžba (2) zajedno s početnim uvjetom (3) definira smjer tangente željene integralne krivulje u točki s koordinatama

Jednadžba tangente ima oblik

Krećući se duž ove tangente, dobivamo približnu vrijednost rješenja u točki:

Imajući približno rješenje u točki, možemo ponoviti postupak opisan ranije: konstruirati ravnu liniju koja prolazi kroz tu točku s nagibom i upotrijebiti je za pronalaženje približne vrijednosti rješenja u točki

. Imajte na umu da ova ravna linija nije tangenta na pravu integralnu krivulju, budući da nam točka nije dostupna, međutim, ako je dovoljno mala, tada će rezultirajuće približne biti blizu točnih vrijednosti rješenja.

Nastavljajući ovu ideju, konstruiramo sustav jednako udaljenih točaka

Dobivanje tablice vrijednosti željene funkcije

prema Eulerovoj metodi sastoji se u cikličkoj primjeni formule

Slika 1. Grafička interpretacija Eulerove metode

Metode za numeričku integraciju diferencijalnih jednadžbi, u kojima se rješenja dobivaju od jednog čvora do drugog, nazivaju se korak po korak. Eulerova metoda je najjednostavniji predstavnik korak-po-korak metoda. Značajka bilo koje metode korak po korak je da je, počevši od drugog koraka, početna vrijednost u formuli (5) sama po sebi približna, odnosno da se pogreška u svakom sljedećem koraku sustavno povećava. Najčešće korištena metoda za procjenu točnosti korak-po-korak metoda za približno numeričko rješavanje ODE je metoda dvostrukog prolaska zadanog segmenta s korakom i s korakom

1.1 Poboljšana Eulerova metoda

Glavna ideja ove metode: sljedeća vrijednost izračunata formulom (5) bit će točnija ako vrijednost derivacije, odnosno nagib ravne crte koja zamjenjuje integralnu krivulju na segmentu, neće biti izračunata uz lijevi rub (to jest, u točki ), ali uz središte segmenta . Ali kako se vrijednost derivacije između točaka ne izračunava, prijeđimo na dvostruke presjeke središta u kojima se nalazi točka, dok jednadžba pravca ima oblik:

I formula (5) poprima oblik

Formula (7) primjenjuje se samo za, dakle, vrijednost se ne može dobiti iz nje, stoga se nalaze Eulerovom metodom, dok za dobivanje točnijeg rezultata čine ovo: od početka, koristeći formulu (5 ), pronađite vrijednost

(8)

U točki i tada se nalazi formulom (7) s korakom

(9)

Nakon što se pronađu daljnji izračuni za proizveden po formuli (7)

Glavna pitanja o kojima se raspravljalo na predavanju:

1. Izjava problema

2. Eulerova metoda

3. Runge-Kutta metode

4. Metode u više koraka

5. Rješenje rubnog problema za linearnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda

6. Numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

1. Izjava problema

Najjednostavnija obična diferencijalna jednadžba (ODE) je jednadžba prvog reda koja se rješava s obzirom na derivaciju: y " = f (x, y) (1). Glavni problem povezan s ovom jednadžbom poznat je kao Cauchyjev problem: pronađite rješenje jednadžbe (1) u obliku funkcije y (x) koja zadovoljava početni uvjet: y (x0) = y0 (2).
DE n-tog reda y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), za koji je Cauchyjev problem pronaći rješenje y = y(x) koje zadovoljava početne uvjete :
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , gdje je y0 , y"0 , :, y(n- 1)0 - zadani brojevi, mogu se svesti na DE sustav prvog reda.

· Eulerova metoda

Eulerova metoda temelji se na ideji grafičkog konstruiranja rješenja diferencijalne jednadžbe, ali ista metoda istovremeno daje numerički oblik željene funkcije. Neka je dana jednadžba (1) s početnim uvjetom (2).
Dobivanje tablice vrijednosti željene funkcije y (x) Eulerovom metodom sastoji se u cikličkoj primjeni formule: , i = 0, 1, :, n. Za geometrijsku konstrukciju Eulerove izlomljene linije (vidi sliku) izaberemo pol A(-1,0) i iscrtamo segment PL=f(x0, y0) na y-osi (točka P je ishodište koordinate). Očito je da će nagib poluge AL biti jednak f(x0, y0), stoga je za dobivanje prve veze poligonalne Eulerove linije dovoljno povući liniju MM1 iz točke M paralelno sa zrakom AL dok siječe se s pravcem x = x1 u nekoj točki M1(x1, y1). Uzimajući točku M1(x1, y1) kao početnu, odvojimo segment PN = f (x1, y1) na osi Oy i povučemo ravnu liniju kroz točku M1 M1M2 | | AN do sjecišta u točki M2(x2, y2) s pravcem x = x2 itd.

Nedostaci metode: niska točnost, sustavno gomilanje pogrešaka.

· Runge-Kutta metode

Glavna ideja metode: umjesto korištenja parcijalnih derivacija funkcije f (x, y) u radnim formulama, koristite samo ovu funkciju, ali izračunajte njezine vrijednosti u nekoliko točaka u svakom koraku. Da bismo to učinili, potražit ćemo rješenje jednadžbe (1) u obliku:


Promjenom α, β, r, q dobit ćemo različite inačice Runge-Kutta metoda.
Za q=1 dobivamo Eulerovu formulu.
Za q=2 i r1=r2=½, dobivamo da je α, β= 1 i stoga imamo formulu: , koja se naziva poboljšana Euler-Cauchyjeva metoda.
Uz q=2 i r1=0, r2=1, dobivamo da je α, β = ½ i, prema tome, imamo formulu: - druga poboljšana Euler-Cauchyjeva metoda.
Za q=3 i q=4 također postoje cijele obitelji Runge-Kutta formula. U praksi se najčešće koriste jer. ne povećavaju pogreške.
Razmotrimo shemu za rješavanje diferencijalne jednadžbe Runge-Kutta metodom 4 reda točnosti. Izračuni ovom metodom provode se prema formulama:

Zgodno ih je unijeti u sljedeću tablicu:

x	g	y" = f(x,y)	k=h f(x,y)	Δy
x0	y0	f(x0,y0)	k1(0)	k1(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k1(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k1(0))	k2(0)	2k2(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k2(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k2(0))	k3(0)	2k3(0)
x0 + h	y0 + k3(0)	f(x0 + h, y0 + k3(0))	k4(0)	k4(0)
				Δy0 = Σ / 6
x1	y1 = y0 + Δy0	f(x1,y1)	k1(1)	k1(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k1(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k1(1))	k2(1)	2k2(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k2(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k2(1))	k3(1)	2k3(1)
x1 + h	y1 + k3(1)	f(x1 + h, y1 + k3(1))	k4(1)	k4(1)
				Δy1 = Σ / 6
x2	y2 = y1 + Δy1	itd.	dok ne bude potrebno sve	y vrijednosti

· Metode u više koraka

Gore razmotrene metode su takozvane metode postupne integracije diferencijalne jednadžbe. Karakterizira ih činjenica da se vrijednost rješenja u sljedećem koraku traži pomoću rješenja dobivenog u samo jednom prethodnom koraku. To su takozvane metode u jednom koraku.
Glavna ideja metoda u više koraka je korištenje nekoliko prethodnih vrijednosti odluke pri izračunavanju vrijednosti rješenja u sljedećem koraku. Također, ove metode se nazivaju m-korak po broju m koji se koristi za izračunavanje prethodnih vrijednosti rješenja.
U općem slučaju, za određivanje približnog rješenja yi+1, diferencijske sheme s m koraka zapisuju se na sljedeći način (m 1):
Razmotrite specifične formule koje implementiraju najjednostavnije eksplicitne i implicitne Adamsove metode.

Eksplicitni Adams 2. reda (2 koraka Eksplicitni Adams)

Imamo a0 = 0, m = 2.
Dakle, - formule za izračun eksplicitne Adamsove metode 2. reda.
Za i = 1 imamo nepoznanicu y1, koju ćemo pronaći metodom Runge-Kutta za q = 2 ili q = 4.
Za i = 2, 3, : sve potrebne vrijednosti su poznate.

Implicitna Adamsova metoda 1. reda

Imamo: a0 0, m = 1.
Dakle, - formule izračuna implicitne Adamsove metode 1. reda.
Glavni problem s implicitnim shemama je sljedeći: yi+1 je uključen iu desnu i u lijevu stranu prikazane jednakosti, tako da imamo jednadžbu za pronalaženje vrijednosti yi+1. Ova jednadžba je nelinearna i napisana u obliku pogodnom za iterativno rješenje, pa ćemo za njezino rješavanje koristiti metodu jednostavne iteracije:
Ako je korak h dobro odabran, tada iterativni proces brzo konvergira.
Ova metoda se također ne pokreće sama od sebe. Dakle, da biste izračunali y1, trebate znati y1(0). Može se pronaći pomoću Eulerove metode.

Za rješavanje diferencijalnih jednadžbi potrebno je znati vrijednost zavisne varijable i njezine derivacije za neke vrijednosti nezavisne varijable. Ako su navedeni dodatni uvjeti za jednu vrijednost nepoznanice, tj. nezavisne varijable, onda se takav problem naziva Cauchyjev problem. Ako su početni uvjeti dani na dvije ili više vrijednosti nezavisne varijable, tada se problem naziva rubni problem. Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi raznih vrsta, funkcija čije vrijednosti želite odrediti izračunava se u obliku tablice.

Klasifikacija numeričkih metoda za rješavanje difr. Lv. vrste.

Cauchyjev problem je jednostupanjski: Eulerove metode, Runge-Kutta metode; – višestupanjska: Glavna metoda, Adamsova metoda. Rubni problem je metoda svođenja rubnog problema na Cauchyjev problem; – metoda konačnih razlika.

Pri rješavanju Cauchyjevog problema difr. ur. reda n ili sustava difr. ur. prvog reda od n jednadžbi i n dodatnih uvjeta za njezino rješenje. Dodatni uvjeti moraju biti navedeni za istu vrijednost nezavisne varijable. Prilikom rješavanja rubnog problema, eq. n-tog reda ili sustav od n jednadžbi i n dodatnih uvjeta za dvije ili više vrijednosti nezavisne varijable. Kod rješavanja Cauchyjevog problema željena funkcija se određuje diskretno u obliku tablice s nekim zadanim korakom . Prilikom određivanja svake sljedeće vrijednosti možete koristiti informacije o jednoj prethodnoj točki. U ovom slučaju, metode se nazivaju metode u jednom koraku ili možete koristiti informacije o nekoliko prethodnih točaka - metode u više koraka.

Obični diferencijal ur. Cauchyjev problem. Metode u jednom koraku. Eulerova metoda.

Zadano: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Poznato: f(x,y), x 0 , y 0 . Odredite diskretno rješenje: x i , y i , i=0,1,…,n. Eulerova metoda temelji se na proširenju funkcije u Taylorov niz oko točke x 0 . Susjedstvo je opisano korakom h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Eulerova metoda uzima u obzir samo dva člana Taylorovog niza. Uvedimo notaciju. Eulerova formula će imati oblik: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 = x i + h

Formula (2) je formula jednostavne Eulerove metode.

Geometrijska interpretacija Eulerove formule

Da bi se dobilo numeričko rješenje, f-la tangente koja prolazi kroz jednadžbu. tangenta: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0), jer

x-x 0 \u003d h, zatim y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £.

Modificirana Eulerova metoda

Zadano je: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Poznato: f(x,y), x 0 , y 0 . Odredite: ovisnost y o x u obliku tablične diskretne funkcije: x i , y i , i=0,1,…,n.

Geometrijska interpretacija

1) izračunajte tangentu kuta nagiba u početnoj točki

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Izračunajte vrijednost  y n+1 na

na kraju koraka prema Eulerovoj formuli

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) Izračunajte tangens nagiba

tangenta u n+1 točki: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Izračunajte aritmetičku sredinu kutova

nagib: tg £=½. 5) Koristeći tangens kuta nagiba, ponovno izračunavamo vrijednost funkcije u n+1 točki: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h je formula modificirane Eulerove metode . Može se pokazati da rezultirajuća f-la odgovara ekspanziji f-ii u Taylorov niz, uključujući članove (do h 2). Modificirana Eilnrova metoda, za razliku od jednostavne, je metoda drugog reda točnosti, jer greška je proporcionalna h 2 .