Ono što se naziva redom kvadratne matrice. Determinante kvadratnih matrica

Kvadratna matrica th reda, u kojoj su jedinice na glavnoj dijagonali, a svi ostali elementi jednaki nuli, nazvat ćemo matricu identiteta i označiti je s ili jednostavno . Naziv "matrica identiteta" povezan je sa sljedećim svojstvom matrice: za bilo koju pravokutnu matricu

postoje jednakosti

.

Očito,

Neka je kvadratna matrica. Tada se stupanj matrice definira na uobičajeni način:

Iz asocijativnosti množenja matrica slijedi:

Ovdje su proizvoljni nenegativni cijeli brojevi.

Razmotrimo polinom (cijelu racionalnu funkciju) s koeficijentima iz polja:

Tada mislimo na matricu

Ovako se definira polinom u matrici.

Neka je polinom jednak umnošku polinoma i:

.

Polinom se dobiva iz i počlanim množenjem i redukcijom sličnih članova. U ovom slučaju koristi se pravilo množenja stupnjeva: . Budući da su sve ove radnje također važeće kada se skalarna vrijednost zamjenjuje matricom, tada

Stoga, posebno,

tj. dva polinoma u istoj matrici uvijek međusobno komutiraju.

Složimo se da je ta superdijagonala (poddijagonala) u pravokutnoj matrici broj elemenata za koje (odnosno). Označimo kvadratnu matricu -tog reda u kojoj su elementi prve superdijagonale jednaki jedinici, a svi ostali elementi jednaki nuli. Zatim

, itd.;

Na temelju ovih jednakosti, ako:

Polinom s obzirom na , onda

.

Slično, ako je kvadratna matrica th reda, u kojoj su svi elementi prve poddijagonale jednaki jedinici, a svi ostali jednaki nuli, tada

.

Pozivamo čitatelja da provjeri sljedeća svojstva matrica i:

1° Kao rezultat množenja proizvoljne -matrice slijeva s matricom (matricom) -tog reda, svi redovi matrice su zgužvani (spušteni) jedno mjesto gore (dolje), prvi (zadnji) red matrice nestaje, a posljednji (prvi) red umnoška popunjava se nulama. Na primjer,

,

.

2° Kao rezultat množenja proizvoljne -matrice s desna matricom -tog reda, svi stupci matrice su pomaknuti udesno (lijevo) za jedno mjesto, dok je posljednji (prvi) stupac matrice nestaje, a prvi (zadnji) stupac umnoška popunjava se nulama. Na primjer,

.

.

2. Kvadratna matrica naziva se singularnom ako je . Inače, kvadratna matrica se naziva nesingularna.

Neka je nesingularna matrica (). Razmotrimo linearnu transformaciju s matricom koeficijenata

Uzimajući u obzir jednakosti (23) kao relativne jednadžbe i imajući u vidu da je determinanta sustava jednadžbi (23) po uvjetu različita od nule, možemo jedinstveno izraziti pomoću dobro poznatih formula kroz:

. (24)

Dobili smo "inverznu" transformaciju za (23). Matrica koeficijenata ove transformacije

inverznu matricu ćemo zvati za matricu . Iz (24) to je lako vidjeti

, (25)

gdje je algebarski komplement (adjunkt) elementa u determinanti .

Tako npr. ako

i ,

.

Formirajući kompozitnu transformaciju od zadane transformacije (23) i inverzne (24) u jednom i drugom redu, u oba slučaja dobivamo identičnu transformaciju (s identičnom matricom koeficijenata); zato

. (26)

Jednadžbe (26) također se mogu provjeriti izravnim množenjem matrica i . Doista, zbog (25)

.

Na sličan način

.

Lako je vidjeti da matrične jednadžbe

nemaju drugih rješenja osim rješenja. Doista, množenjem oba dijela prve jednadžbe s lijeve strane, a druge - s desne strane pomoću asocijativnog svojstva proizvoda matrica, kao i jednakosti (26), u oba slučaja dobivamo:

Na isti način se dokazuje da svaka od matričnih jednadžbi

gdje su i pravokutne matrice jednake veličine, kvadratna matrica odgovarajuće veličine, ima jedno i samo jedno rješenje:

I prema tome (29)

Matrice (29) su takoreći "lijevi" i "desni" kvocijenti iz "dijeljenja" matrice matricom . Iz (28) i (29) slijedi redom (vidi str. 22) i , tj. Uspoređujući s (28), imamo:

Prilikom množenja pravokutne matrice s lijeve ili desne strane s nesingularnom matricom, rang izvorne matrice se ne mijenja.

Također primijetimo da (26) implicira , tj.

Za proizvod dviju nesingularnih matrica imamo:

. (30)

3. Sve matrice th reda tvore prsten s elementom identiteta . Kako je u ovom prstenu definirana operacija množenja brojem iz polja i postoji baza linearno neovisnih matrica u kojoj se sve matrice -tog reda linearno izražavaju, onda je prsten matrica -tog reda je algebra.

Sve kvadratne matrice -tog reda tvore komutativnu grupu s obzirom na operaciju zbrajanja. Sve nesingularne matrice -tog reda tvore (nekomutativnu) grupu s obzirom na operaciju množenja.

Kvadratna matrica naziva se gornja trokutasta (donja trokutasta) ako su svi elementi matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale (iznad glavne dijagonale) jednaki nuli:

, .

Dijagonalna matrica je poseban slučaj i gornje i donje trokutaste matrice.

Budući da je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku njezinih dijagonalnih elemenata, trokutasta (a posebno dijagonalna) matrica je nesingularna samo ako su svi njeni dijagonalni elementi različiti od nule.

Lako je provjeriti da je zbroj i umnožak dviju dijagonalnih (gornja trokutasta, donja trokutasta) matrica dijagonalna (odnosno gornja trokutasta, donja trokutasta) matrica i da je inverzna matrica za nesingularnu dijagonalnu (gornju trokutastu, donju trokutastu) matricu je matrica istog tipa. Zato

1° Sve dijagonalne, sve gornje trokutaste, sve donje trokutaste matrice th reda tvore tri komutativne grupe s obzirom na operaciju zbrajanja.

2° Sve nesingularne dijagonalne matrice tvore komutativnu grupu prema množenju.

3° Sve nesingularne gornje (donje) trokutaste matrice tvore (nekomutativnu) grupu s obzirom na množenje

4. U zaključku ovog odjeljka ističemo dvije važne operacije na matricama - transpoziciju matrice i prijelaz na konjugiranu matricu., zatim matrice.

Ako se kvadratna matrica poklapa sa svojom transponiranom (), tada se takva matrica naziva simetričnom. Ako se kvadratna matrica poklapa sa svojom konjugatom (), tada se naziva hermitskom. U simetričnoj matrici, elementi koji su simetrično smješteni u odnosu na glavnu dijagonalu su jednaki, dok su u Hermitskoj matrici oni kompleksno konjugati. Dijagonalni elementi hermitske matrice uvijek su realni. Primijetite da umnožak dviju simetričnih (Hermitovih) matrica, općenito govoreći, nije simetrična (Hermitova) matrica. Snagom 3°, to se događa samo kada dane dvije simetrične ili hermitske matrice komutiraju jedna s drugom.

To podrazumijeva jednakost.

Ako se kvadratna matrica razlikuje za faktor -1 od svoje transponirane (), tada se takva matrica naziva koso-simetrična. U koso-simetričnoj matrici, bilo koja dva elementa smještena simetrično oko glavne dijagonale razlikuju se jedan od drugog za faktor -1, a dijagonalni elementi su jednaki nuli. Iz 3° slijedi da je umnožak dviju koso-simetričnih matrica koje međusobno komutiraju simetrična matrica.

Matrice u matematici jedan su od najvažnijih objekata od primijenjene važnosti. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica ...". Ovaj izlet započet ćemo iz malo drugačijeg kuta.

Telefonski imenici bilo koje veličine i s bilo kojim brojem podataka o pretplatnicima nisu ništa drugo nego matrice. Ove matrice izgledaju ovako:

Jasno je da svi koristimo takve matrice gotovo svaki dan. Ove matrice dolaze u različitim brojevima redaka (razlikuju se kao imenik koji izdaje telefonska kompanija, a koji može sadržavati tisuće, stotine tisuća, pa čak i milijune redaka, i nova bilježnica koju ste upravo pokrenuli, a koji ima manje od deset redaka) i stupci (imenik dužnosnika neke organizacije u kojem mogu postojati stupci kao što su položaj i broj ureda i ista vaša bilježnica, gdje možda nema podataka osim imena, i, dakle, ima samo dva stupca - ime i broj telefona).

Sve vrste matrica se mogu zbrajati i množiti, i nad njima se mogu izvoditi druge operacije, ali nema potrebe zbrajati i množiti telefonske imenike, od toga nema nikakve koristi, a osim toga, možete pokrenuti svoj um.

Ali jako puno matrica se može i treba zbrajati i množiti i na taj način rješavati razne hitne zadatke. Ispod su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica određene vrste proizvoda, a reci godine u kojima je zabilježena proizvodnja tog proizvoda:

Možete dodati matrice ove vrste, koje uzimaju u obzir proizvodnju sličnih proizvoda od strane različitih poduzeća, kako biste dobili sažete podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jednog stupca, u kojem su reci prosječni trošak određene vrste proizvoda:

Matrice posljednje dvije vrste mogu se množiti, a rezultat je redna matrica koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravokutna tablica koja se sastoji od brojeva poredanih u m linije i n stupaca se zove mn-matrica (ili jednostavno matrica ) i napisano ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju its elementi (kao u determinanti, prvi indeks označava broj retka, drugi - stupac, na čijem se sjecištu nalazi element; ja = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravokutan , ako .

Ako m = n, tada se poziva matrica kvadrat , a broj n je njegov u redu .

Determinanta kvadratne matrice A naziva se determinanta čiji su elementi elementi matrice A. Označava se simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove neposeban (ili nedegeneriran , nejedninski ) ako njegova determinanta nije jednaka nuli, i poseban (ili degenerirati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se nazivaju jednak ako imaju isti broj redaka i stupaca i svi podudarni elementi su isti.

Matrica se zove ništavan ako su mu svi elementi jednaki nuli. Nulta matrica bit će označena simbolom 0 ili .

Na primjer,

matrica reda (ili mala slova ) naziva se 1 n-matrica, i matrica stupaca (ili stupastog ) – m 1-matrica.

Matrica A", koji se dobiva iz matrice A zamjena redaka i stupaca u njemu se zove transponirano s obzirom na matricu A. Dakle, za matricu (1), transponirana matrica je

Prijelaz na matrični rad A" , transponirano u odnosu na matricu A, naziva se transpozicija matrice A. Za mn-matrica transponirana je nm-matrica.

Matrica transponirana u odnosu na matricu je A, to je

(A")" = A .

Primjer 1 Pronađite Matrix A" , transponirano u odnosu na matricu

te saznati jesu li determinante izvorne i transponirane matrice jednake.

glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njezine elemente, za koje su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Neki od njih mogu biti jednaki nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju različitom od nule, a svi ostali jednaki nuli, naziva se skalarna matrica .

Matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2 Podaci matrice:

Riješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trokuta, nalazimo

Matrična determinanta B izračunati po formuli

To lako dobivamo

Prema tome, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni), i matrica B- poseban (degeneriran, jednina).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedinici.

Riješite problem matrice sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3 Matrični podaci

,

,

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerirani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

U obliku matrica, strukturirani podaci o pojedinom objektu su jednostavno i zgodno zapisani. Matrični modeli stvoreni su ne samo za pohranu ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima pomoću linearne algebre.

Tako je poznati matrični model gospodarstva input-output model koji je uveo američki ekonomist ruskog podrijetla Wassily Leontiev. Ovaj model temelji se na pretpostavci da je cjelokupni proizvodni sektor gospodarstva podijeljen na nčiste industrije. Svaka od industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda i različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog takve podjele rada između grana postoje međuindustrijski odnosi čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi na druge industrije kao proizvodni resurs.

Obim proizvodnje ja-ta industrijska grana (mjerena određenom mjernom jedinicom) koja je proizvedena u izvještajnom razdoblju, označava se sa i naziva se ukupna proizvodnja ja th industrije. Izdanja su prikladno smještena n-komponentni red matrice.

Broj jedinica proizvoda ja-ta industrija koja se troši j-ta industrija za proizvodnju jedinice njezinog outputa, označava se i naziva koeficijent izravnih troškova.

Operacije na matricama i njihova svojstva.

Pojam determinante drugog i trećeg reda.Svojstva determinanti i njihovo izračunavanje.

3. Opći opis zadatka.

4. Izvršenje zadataka.

5. Izrada izvješća o radu laboratorija.

Glosar

Naučite definicije sljedećeg Pojmovi:

Dimenzija Matrica je skup dvaju brojeva, koji se sastoji od broja redaka m i broja stupaca n.

Ako je m=n, tada se poziva matrica kvadrat matrica reda n.

Matrične operacije: transponiranje matrice, množenje (dijeljenje) matrice brojem, zbrajanje i oduzimanje, množenje matrice matricom.

Prijelaz s matrice A na matricu A m, čiji su redovi stupci, a stupci redovi matrice A, naziva se transpozicija matrice a.

Primjer: A= , A t = .

Do pomnožiti matricu s brojem, trebate pomnožiti svaki element matrice ovim brojem.

Primjer: 2A= 2 = .

Zbroj (razlika) matrice A i B iste dimenzije naziva se matrica C \u003d A B, čiji su elementi jednaki uz ij = a ij b ij za sve ja i j.

Primjer: A = ; B = . A+B= = .

raditi matrica A m n u matricu B n k naziva se matrica C m k , čiji je svaki element c ij jednak zbroju umnožaka elemenata i-tog retka matrice A i odgovarajućeg elementa j-tog stupca matrice A. matrica B:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +…+ a u b nj .

Da bi mogli pomnožiti matricu s matricom, moraju biti dogovoren za množenje, tj broj stupaca u prvoj matrici treba biti jednak broj linija u drugoj matrici.

Primjer: A= i B=.

A·B—nemoguće, jer nedosljedni su.

V·A= . = = .

Svojstva operacije množenja matrice.

1. Ako matrica A ima dimenziju mn, a matrica B je dimenzija nk, tada produkt A · B postoji.

Proizvod B A može postojati samo kada m=k.

2. Množenje matrica nije komutativno, tj. A · B nije uvijek jednako B · A, čak i ako su oba umnoška definirana. Međutim, ako je relacija A B = B A zadovoljena, tada se matrice A i B nazivaju permutacijski.

Primjer. Izračunaj .

Minor element je determinanta matrice reda dobivena brisanjem -tog retka -tog stupca.

Algebarsko zbrajanje element se zove.

Laplaceov teorem proširenja:

Determinanta kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg retka (stupca) i njihovih algebarskih komplemenata.

Primjer. Izračunaj .

Riješenje. .

Svojstva determinanti n-tog reda:

1) Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se redovi i stupci zamijene.

2) Ako determinanta sadrži red (stupac) samo od nula, onda je jednaka nuli.

3) Kada se dva retka (stupca) zamijene, determinanta mijenja predznak.

4) Determinanta koja ima dva identična retka (stupca) jednaka je nuli.

5) Zajednički faktor elemenata bilo kojeg retka (stupca) može se izbaciti iz predznaka determinante.

6) Ako je svaki element određenog retka (stupca) zbroj dvaju članova, tada je determinanta jednaka zbroju dviju determinanti, od kojih su u svakome svi redovi (stupci), osim navedenoga, isti. kao u navedenoj determinanti, au spomenutom redu (stupcu) prve determinante su prvi članovi, druge - drugi.

7) Ako su u determinanti dva retka (stupca) proporcionalna, onda je ona jednaka nuli.

8) Determinanta se neće promijeniti ako se elementi određenog retka (stupca) dodaju odgovarajućim elementima drugog retka (stupca), pomnoženim s istim brojem.

9) Determinante trokutaste i dijagonalne matrice jednake su umnošku elemenata glavne dijagonale.

Metoda akumuliranja nula za izračunavanje determinanti temelji se na svojstvima determinanti.

Primjer. Izračunaj .

Riješenje. Oduzimamo udvostručenu trećinu od prvog retka, a zatim koristimo teorem proširenja u prvom stupcu.

~ .

ispitna pitanja(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

1. Što se zove determinanta drugog reda?

2. Koja su glavna svojstva determinanti?

3. Što je minor elementa?

4. Što se zove algebarski komplement elementa determinante?

5. Kako proširiti determinantu trećeg reda elementima bilo kojeg retka (stupca)?

6. Koliki je zbroj umnožaka elemenata bilo kojeg retka (ili stupca), determinante algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata drugog retka (ili stupca)?

7. Što je pravilo trokuta?

8. Kako se redukcijom reda izračunavaju determinante višeg reda

10. Koja se matrica naziva kvadratnom? Null? Što je matrica-red, matrica-stupac?

11. Koje se matrice nazivaju jednakim?

12. Dati definicije operacija zbrajanja, matričnog množenja, matričnog množenja brojem

13. Koje uvjete mora zadovoljiti veličina matrice pri zbrajanju, množenju?

14. Koja su svojstva algebarskih operacija: komutativnost, asocijativnost, distributivnost? Koje se od njih izvode za matrice pri zbrajanju, množenju, a koje ne?

15. Što je inverzna matrica? Za koje matrice je definiran?

16. Formulirajte teorem o postojanju i jedinstvenosti inverzne matrice.

17. Formulirajte lemu o transpoziciji umnoška matrica.

Praktični zadaci općenito(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

broj 1. Nađite zbroj i razliku matrica A i B :

a)

b)

u)

broj 2. Prati ove korake :

c) Z \u003d -11A + 7B-4C + D

ako

Broj 3. Prati ove korake :

u)

broj 4. Primjenom četiri metode izračuna determinante kvadratne matrice pronađite determinante sljedećih matrica :

broj 5. Nađi determinante n-tog reda, po elementima stupca (reda) :

a) b)

broj 6. Pronađite determinantu matrice koristeći svojstva determinanti:

a) b)

DEFINICIJA MATRICE. VRSTE MATRICA

Veličina matrice m× n naziva se ukupnost m n brojevi raspoređeni u pravokutnu tablicu od m linije i n stupci. Ova se tablica obično nalazi u zagradama. Na primjer, matrica može izgledati ovako:

Radi sažetosti, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, ALI ili NA.

Općenito, matrica veličine m× n napiši ovako

.

Brojevi koji čine matricu nazivaju se elementi matrice. Prikladno je opskrbiti elemente matrice s dva indeksa aij: Prvi označava broj retka, a drugi označava broj stupca. Na primjer, a 23– element se nalazi u 2. redu, 3. stupcu.

Ako je broj redaka u matrici jednak broju stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a naziva se broj njegovih redaka ili stupaca u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen redoslijed je 3, a četvrta matrica - njen redoslijed je 1.

Matrica u kojoj broj redaka nije jednak broju stupaca naziva se pravokutan. U primjerima, ovo je prva matrica i treća.

Postoje i matrice koje imaju samo jedan red ili jedan stupac.

Poziva se matrica sa samo jednim retkom matrica – redak(ili niz), i matricu koja ima samo jedan stupac, matrica – stupac.

Matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli naziva se ništavan i označava se s (0), ili jednostavno 0. Na primjer,

.

glavna dijagonala Kvadratna matrica je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta.

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trokutasti matrica.

.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Poziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni unosi jednaki jedinici singl matrica i označava se slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

DJELOVANJA NA MATRICAMA

Jednakost matrice. Dvije matrice A i B kaže se da su jednaki ako imaju isti broj redaka i stupaca i ako su im odgovarajući elementi jednaki aij = b ij. Pa ako i , onda A=B, ako a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 i a 22 = b 22.

Transpozicija. Promotrimo proizvoljnu matricu A iz m linije i n stupci. Može se povezati sa sljedećom matricom B iz n linije i m stupaca, gdje je svaki redak stupac matrice A s istim brojem (stoga je svaki stupac redak matrice A s istim brojem). Pa ako , onda .

Ova matrica B nazvao transponirano matrica A, i prijelaz iz A do B transpozicija.

Dakle, transpozicija je zamjena uloga redaka i stupaca matrice. Matrica transponirana u matricu A, obično označeno A T.

Komunikacija između matrice A a transponirano se može napisati kao .

Na primjer. Nađi matricu transponiranu na zadanu.

Zbrajanje matrice. Neka matrice A i B sastoje se od istog broja redaka i istog broja stupaca, tj. imati iste veličine. Zatim kako bismo dodali matrice A i B potrebno matrica elemenata A dodati elemente matrice B stojeći na istim mjestima. Dakle, zbroj dviju matrica A i B naziva matrica C, što je određeno pravilom, npr.

Primjeri. Nađi zbroj matrica:

Lako je provjeriti da zbrajanje matrica poštuje sljedeće zakone: komutativno A+B=B+A i asocijativne ( A+B)+C=A+(B+C).

Množenje matrice brojem. Za množenje matrice A po broju k treba svaki element matrice A pomnožite s tim brojem. Dakle, proizvod matrice A po broju k postoji nova matrica, koja je određena pravilom ili .

Za bilo koji broj a i b i matrice A i B ispunjene su jednakosti:

Primjeri.

Množenje matrice. Ova se operacija odvija prema posebnom zakonu. Prije svega, napominjemo da veličine faktora matrice moraju biti dosljedne. Možete množiti samo one matrice čiji broj stupaca prve matrice odgovara broju redaka druge matrice (tj. duljina prvog retka jednaka je visini drugog stupca). raditi matrice A nije matrica B nazvana nova matrica C=AB, čiji su elementi sastavljeni na sljedeći način:

Tako, na primjer, da bi se dobio proizvod (tj. u matrici C) element u 1. retku i 3. stupcu od 13, trebate uzeti 1. red u 1. matrici, 3. stupac u 2., a zatim pomnožiti elemente retka s odgovarajućim elementima stupca i zbrojiti dobivene umnoške. I ostali elementi matrice umnoška dobivaju se korištenjem sličnog umnoška redaka prve matrice sa stupcima druge matrice.

Općenito, ako pomnožimo matricu A = (aij) veličina m× n matrica B = (bij) veličina n× str, tada dobivamo matricu C veličina m× str, čiji se elementi izračunavaju na sljedeći način: element c ij se dobiva kao rezultat produkta elemenata ja redak matrice A na relevantnim elementima j-ti stupac matrice B i njihovo zbrajanje.

Iz ovog pravila slijedi da uvijek možete pomnožiti dvije kvadratne matrice istog reda, kao rezultat dobivamo kvadratnu matricu istog reda. Konkretno, kvadratna matrica uvijek se može pomnožiti sama sa sobom, tj. ugladiti se.

Drugi važan slučaj je množenje retka matrice sa stupcem matrice, a širina prvog mora biti jednaka visini drugog, kao rezultat dobivamo matricu prvog reda (tj. jedan element). Stvarno,

.

Primjeri.

Dakle, ovi jednostavni primjeri pokazuju da matrice, općenito govoreći, ne komutiraju jedna s drugom, tj. A∙B ≠ B∙A . Stoga, kada množite matrice, morate pažljivo pratiti redoslijed faktora.

Može se provjeriti da množenje matrice slijedi asocijativni i distributivni zakon, tj. (AB)C=A(BC) i (A+B)C=AC+BC.

To je također lako provjeriti kod množenja kvadratne matrice A na matricu identiteta E istog reda, opet dobivamo matricu A, štoviše AE=EA=A.

Može se primijetiti sljedeća zanimljiva činjenica. Kao što je poznato, umnožak 2 broja različita od nule nije jednak 0. Za matrice to ne mora biti slučaj, tj. umnožak 2 različite matrice može biti jednak nultoj matrici.

Na primjer, ako , onda

.

POJAM DETERMINACIJA

Neka je dana matrica drugog reda - kvadratna matrica koja se sastoji od dva retka i dva stupca .

Odrednica drugog reda koji odgovara ovoj matrici je broj dobiven na sljedeći način: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Odrednica je označena simbolom .

Dakle, da biste pronašli determinantu drugog reda, trebate oduzeti umnožak elemenata duž druge dijagonale od umnoška elemenata glavne dijagonale.

Primjeri. Izračunajte determinante drugog reda.

Slično, možemo razmotriti matricu trećeg reda i odgovarajuću determinantu.

Odrednica trećeg reda, koji odgovara danoj kvadratnoj matrici trećeg reda, je broj označen i dobiven na sljedeći način:

.

Dakle, ova formula daje proširenje determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda a 11, a 12, a 13 te svodi izračun determinante trećeg reda na izračun determinanti drugog reda.

Primjeri. Izračunajte determinantu trećeg reda.

Slično se mogu uvesti pojmovi odrednica četvrtog, petog itd. reda, snižavajući njihov poredak širenjem preko elemenata 1. reda, dok se znakovi "+" i "-" za pojmove izmjenjuju.

Dakle, za razliku od matrice, koja je tablica brojeva, determinanta je broj koji je na određeni način dodijeljen matrici.

Točke u prostoru, proizvod Rv daje drugi vektor koji definira položaj točke nakon rotacije. Ako a v je vektor retka, ista se transformacija može dobiti korištenjem vR T, gdje R T - transponirano na R matrica.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

C# - Konzola - Olimpijske igre - Četvrtasta spirala

Matrica: definicija i osnovni pojmovi

Gdje dobiti snagu i inspiraciju Recharging 4 square matrix

Zbroj i razlika matrica, množenje matrice brojem

Transponirana matrica / Transponirana matrica

titlovi

Glavna dijagonala

Elementi a ii (ja = 1, ..., n) čine glavnu dijagonalu kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj ravnoj liniji koja prolazi od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta matrice. Na primjer, glavna dijagonala matrice 4x4 na slici sadrži elemente a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Dijagonala kvadratne matrice koja prolazi kroz donji lijevi i gornji desni kut naziva se strana.

Posebne vrste

Ime	Primjer sa n = 3
Dijagonalna matrica	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))
Donja trokutasta matrica	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrica)))
Gornja trokutasta matrica	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrica)))

Dijagonalne i trokutaste matrice

Ako su svi elementi izvan glavne dijagonale nula, A zove dijagonala. Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale nula, A naziva se donja (gornja) trokutasta matrica.

Matrica identiteta

Q(x) = x T Sjekira

uzima samo pozitivne vrijednosti (odnosno, negativne vrijednosti ili oboje). Ako kvadratni oblik uzima samo nenegativne (odnosno, samo nepozitivne) vrijednosti, kaže se da je simetrična matrica pozitivno poluodređena (odnosno, negativno poluodređena). Matrica je neodređena ako nije ni pozitivno ni negativno poluodređena.

Simetrična matrica je pozitivno određena ako i samo ako su sve njezine svojstvene vrijednosti pozitivne. Tablica s desne strane prikazuje dva moguća slučaja za 2×2 matrice.

Ako koristimo dva različita vektora, dobivamo bilinearni oblik povezan s A:

B A (x, g) = x T da.

ortogonalna matrica

ortogonalna matrica je kvadratna matrica sa stvarnim elementima čiji su stupci i redovi ortogonalni jedinični vektori (to jest, ortonormirani). Također se može definirati ortogonalna matrica kao matrica čiji je inverz jednak transponiranju:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

odakle slijedi

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

ortogonalna matrica A uvijek reverzibilan ( A −1 = A T), jedinstveno ( A −1 = A*) i normalno ( A*A = AA*). Determinanta bilo koje ortonormirane matrice je ili +1 ili −1. Kao linearna mapa, svaka ortonormirana matrica s determinantom +1 je jednostavna rotacija, dok je svaka ortonormirana matrica s determinantom −1 ili jednostavna refleksija ili kompozicija refleksije i rotacije.

Operacije

Staza

Determinanta det( A) ili | A| kvadratna matrica A je broj koji definira neka svojstva matrice. Matrica je invertibilna ako i samo kada je njena determinanta različita od nule.