Što je konačna aritmetička progresija. Aritmetička progresija: što je to

Zbroj aritmetičke progresije.

Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od elementarnog do sasvim solidnog.

Prvo, pozabavimo se značenjem i formulom zbroja. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje zbroja jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno ... dodavanje je neugodno.) U ovom slučaju, formula štedi.

Formula zbroja je jednostavna:

Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.

S n je zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svičlanova, sa prvi na posljednji. To je važno. Zbrojite točno svičlanova u nizu, bez razmaka i skokova. I, upravo, počevši od prvi. U problemima poput pronalaženja zbroja trećeg i osmog člana ili zbroja članova od petog do dvadesetog, izravna primjena formule bit će razočaravajuća.)

a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.

a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj reda. Naziv nije baš poznat, ali kad se primijeni na količinu, vrlo je prikladan. Onda ćete se sami uvjeriti.

n je broj posljednjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih članova.

Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Ispunjavanje pitanja: kakav će član posljednji, ako je dano beskrajan aritmetička progresija?

Za siguran odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i ... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, određeni iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije važno kakva je progresija dana: konačna ili beskonačna. Nije bitno kako je zadan: nizom brojeva, ili formulom n-tog člana.

Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve te vrijedne informacije često šifrirane, da ... Ali ništa, u primjerima ispod otkrit ćemo te tajne.)

Primjeri zadataka za zbroj aritmetičke progresije.

Prije svega korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima za zbroj aritmetičke progresije je ispravno određivanje elemenata formule.

Autori zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je samo dešifrirati. Pogledajmo potanko nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj prvih 10 članova.

Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili količinu prema formuli? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj zadnjeg roka n.

Gdje dobiti zadnji članski broj n? Da, na istom mjestu, u stanju! Piše nađi zbroj prvih 10 članova. Pa koji će to broj biti posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo u formulu a 10, ali umjesto n- deset. Opet, broj posljednjeg člana jednak je broju članova.

Ostaje da se utvrdi a 1 i a 10. To se lako izračunava pomoću formule n-tog člana, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Posjetite prethodnu lekciju, bez ove - ništa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Ostaje ih zamijeniti i prebrojati:

To je sve. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:

2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 \u003d 2.3. Pronađite zbroj prvih 15 članova.

Odmah napišemo formulu zbroja:

Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg člana prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n samo zamijenimo formulu n-tog člana, dobivamo:

Dajemo slične, dobivamo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, n-ti član ovdje nije potreban. a n. U nekim zadacima ova formula jako pomaže, da... Možete se sjetiti ove formule. I jednostavno ga možete povući u pravom trenutku, kao ovdje. Uostalom, formula za zbroj i formula za n-ti član moraju se zapamtiti na svaki način.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Odredi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici tri.

Kako! Nema prvog člana, nema zadnjeg, nema progresije uopće... Kako živjeti!?

Morat ćete razmisliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Što su dvoznamenkasti brojevi - znamo. Sastoje se od dva broja.) Koji će dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Troznamenkaste će ga slijediti...

Višekratnici od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su ravnomjerno djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete napisati niz prema uvjetu problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Naravno! Svaki se termin razlikuje od prethodnog striktno za tri. Ako se izrazu doda 2, ili 4, recimo rezultat, tj. novi broj se više neće dijeliti s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije do gomile: d = 3. Koristan!)

Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojevi – uvijek idu u nizu, a naši članovi preskaču prva tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete slikati progresiju, cijeli niz brojeva i brojati članove prstom.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako se formula primijeni na naš problem, dobivamo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.

Gledamo formulu za zbroj aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz uvjeta zadatka izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ono što ostaje je elementarna aritmetika. Zamijenite brojeve u formuli i izračunajte:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularnih zagonetki:

4. Dana je aritmetička progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nađite zbroj članova od dvadesetog do trideset četvrtog.

Gledamo formulu zbroja i ... uzrujani smo.) Formula, da vas podsjetim, izračunava zbroj iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, slikati cijelu progresiju u nizu i staviti članove od 20 do 34. Ali ... nekako ispada glupo i dugo, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, dodajmo ga zbroju članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ovo pokazuje da pronaći zbroj S 20-34 može se izvršiti jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Razmatraju se oba zbroja na desnoj strani iz prvečlan, tj. standardna formula zbroja sasvim je primjenjiva na njih. Počinjemo li?

Ekstrahiramo parametre napredovanja iz uvjeta zadatka:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbrojeve prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Brojimo ih prema formuli n-tog člana, kao u zadatku 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nema više ničega. Od zbroja 34 člana oduzmite zbroj 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo korisna značajka u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo ono što, čini se, nije potrebno - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz punog rezultata. Takva "finta s ušima" često spašava u zlim zagonetkama.)

U ovoj lekciji ispitivali smo probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktični savjeti:

Prilikom rješavanja bilo kojeg problema za zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula n-tog člana:

Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti, u kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.

Cool?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađi zbroj prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takve se zagonetke često nalaze u GIA.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više nego prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?

Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz 2. zadatka.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Ako svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član niza , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n i a n +1 nizovi članova a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje uz n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 i -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada je prvih sedam članova numeričkog niza postavljeno na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni i beskrajan .

Niz se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove opadajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećeg člana.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Posljedično,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova s brojem članova:

Iz ovoga osobito proizlazi da ako je potrebno zbrajati pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n iS n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

ako d > 0 , tada se povećava;
ako d < 0 , tada se smanjuje;
ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je odrediti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n -ti član se može pronaći formulom:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećeg člana.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Posljedično,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n i S n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako a q< 0 , tada je geometrijska progresija predznakoizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je predznakoizmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem je zbroj prvog n uvjetima progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Razmotrimo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom q , onda

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.

Ova tema je često teška i nerazumljiva. Slovni indeksi, n-ti član progresije, razlika progresije - sve je to nekako zbunjujuće, da ... Shvatimo značenje aritmetičke progresije i sve će odmah ispasti.)

Pojam aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija vrlo je jednostavan i jasan koncept. Sumnjati? Uzalud.) Uvjerite se sami.

Napisat ću nedovršeni niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Možete li produžiti ovu liniju? Koji će brojevi ići sljedeći, nakon petice? Svi ... ovaj ..., ukratko, svi će shvatiti da će brojevi 6, 7, 8, 9 itd. ići dalje.

Zakomplicirajmo zadatak. Dajem nedovršeni niz brojeva:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Možete uhvatiti uzorak, proširiti niz i dati naziv sedmi broj reda?

Ako ste shvatili da je ovaj broj 20 - čestitam vam! Vi ne samo da ste osjetili ključne točke aritmetičke progresije, ali i uspješno ih iskoristio u poslovanju! Ako ne razumijete, čitajte dalje.

Sada prevedimo ključne točke iz osjeta u matematiku.)

Prva ključna točka.

Aritmetička progresija bavi se nizovima brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednadžbe, graditi grafikone i sve to ... A onda produžiti niz, pronaći broj niza ...

U redu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje s novom granom matematike. Odjeljak se zove "Series" i radi s nizovima brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)

Druga ključna točka.

U aritmetičkoj progresiji bilo koji broj razlikuje se od prethodnog u istom iznosu.

U prvom primjeru ta je razlika jedan. Koji god broj uzmete, jedan je veći od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri puta veći od prethodnog. Zapravo, to je trenutak koji nam daje priliku da uhvatimo uzorak i izračunamo sljedeće brojeve.

Treća ključna točka.

Ovaj trenutak nije upečatljiv, da ... Ali vrlo, vrlo važan. Evo ga: svaki broj progresije je na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti, i tako dalje. Ako ih nasumično pomiješate, uzorak će nestati. Aritmetička progresija će također nestati. To je samo niz brojeva.

To je cijela poanta.

Naravno, u novoj temi pojavljuju se novi termini i oznake. Moraju znati. Inače nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morate odlučiti nešto poput:

Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n) ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirira li?) Slova, poneki indeks... A zadatak, usput, ne može biti lakši. Samo trebate razumjeti značenje izraza i notacije. Sada ćemo svladati ovu materiju i vratiti se zadatku.

Termini i oznake.

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem se svaki broj razlikuje od prethodnog u istom iznosu.

Ova se vrijednost naziva . Pozabavimo se ovim konceptom detaljnije.

Razlika aritmetičke progresije.

Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.

Jedna važna točka. Molimo obratite pozornost na riječ "više". Matematički to znači da se dobiva svaki broj progresije dodajući razlika aritmetičke progresije u odnosu na prethodni broj.

Za izračunavanje, recimo drugi brojevima reda, potrebno je prvi broj dodati upravo ta razlika aritmetičke progresije. Za izračun peti- razlika je nužna dodati do Četvrta dobro, itd.

Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivan tada će se svaki broj serije pokazati stvarnim više od prethodnog. Ova progresija se zove povećavajući se. Na primjer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ovdje je svaki broj dodajući pozitivan broj, +5 na prethodni.

Razlika može biti negativan tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) smanjujući se.

Na primjer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

I ovdje se dobiva svaki broj dodajući na prethodni, ali već negativan broj, -5.

Usput, kada radite s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njenu prirodu - povećava li se ili smanjuje. Puno pomaže da se orijentišete u odluci, da otkrijete svoje greške i ispravite ih prije nego što bude prekasno.

Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.

Kako pronaći d? Jako jednostavno. Potrebno je oduzeti od bilo kojeg broja serije prethodni broj. Oduzeti. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)

Definirajmo npr. d za rastuću aritmetičku progresiju:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Uzimamo bilo koji broj retka koji želimo, na primjer 11. Oduzimamo od toga prethodni broj oni. osam:

Ovo je točan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju razlika je tri.

Možete samo uzeti bilo koji broj progresija, jer za određenu progresiju d-uvijek isto. Makar negdje na početku reda, makar u sredini, makar bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Samo zato što je prvi broj bez prethodnog.)

Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Petom broju dodamo 3 - dobijemo šesti, bit će 17. Šestom broju dodamo tri, dobijemo sedmi broj - dvadeset.

Idemo definirati d za padajuću aritmetičku progresiju:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Podsjećam vas da, bez obzira na znakove, odrediti d potrebno s bilo kojeg broja oduzeti prethodni. Biramo bilo koji broj progresije, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. Zatim:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli broj, razlomak, iracionalan, bilo koji.

Ostali pojmovi i oznake.

Svaki broj u nizu se zove član aritmetičke progresije.

Svaki član progresije ima njegov broj. Brojke su strogo redom, bez trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, dobro, razumijete ...) Molimo vas da jasno razumijete - sami brojevi može biti apsolutno bilo koji, cijeli, razlomak, negativan, što god, ali numeriranje- strogo u redu!

Kako napisati progresiju u općem obliku? Nema problema! Svaki broj u nizu napisan je kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije u pravilu se koristi slovo a. Broj člana označen je indeksom dolje desno. Članovi se pišu odvojeni zarezom (ili točkom i zarezom), ovako:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 je prvi broj a 3- treće itd. Ništa škakljivo. Ovu seriju možete ukratko napisati ovako: (a n).

Postoje progresije konačno i beskonačno.

ultimativno progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali to je konačan broj.

Beskrajno progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)

Možete napisati konačni napredak kroz niz kao što je ovaj, svi članovi i točka na kraju:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Ili ovako, ako ima puno članova:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

U kratkom unosu morat ćete dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:

(a n), n = 20

Beskonačna progresija može se prepoznati po elipsi na kraju retka, kao u primjerima u ovoj lekciji.

Sada već možete rješavati zadatke. Zadaci su jednostavni, čisto radi razumijevanja značenja aritmetičke progresije.

Primjeri zadataka za aritmetičku progresiju.

Pogledajmo pobliže gornji zadatak:

1. Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Zadatak prevodimo na razumljiv jezik. S obzirom na beskonačnu aritmetičku progresiju. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Poznata razlika u progresiji: d = -2,5. Moramo pronaći prvi, treći, četvrti, peti i šesti član ove progresije.

Radi jasnoće, zapisat ću niz prema stanju problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član pet:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Zamjenjujemo u izrazu a 2 = 5 i d=-2,5. Ne zaboravite minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Treći član je manji od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, pa će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. U redu, uzmimo to u obzir.) Smatramo četvrtim članom naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Dakle, izračunati su članovi od trećeg do šestog. To je rezultiralo nizom:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Ostaje pronaći prvi član a 1 prema poznatoj drugoj. Ovo je korak u drugom smjeru, ulijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodavati a 2, a oduzeti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je sve. Odgovor na zadatak:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Usput napominjem da smo ovaj zadatak riješili ponavljajući put. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prethodnim (susjednim) brojem. Drugi načini rada s progresijom bit će raspravljeni kasnije.

Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.

Zapamtiti:

Ako poznajemo barem jedan član i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član te progresije.

Zapamtiti? Ovaj jednostavan zaključak omogućuje nam rješavanje većine problema školskog tečaja na ovu temu. Svi se zadaci vrte oko tri glavna parametra: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Sve.

Naravno, sva prethodna algebra nije poništena.) Nejednadžbe, jednadžbe i druge stvari pridružene su progresiji. Ali prema progresiji- sve se vrti oko tri parametra.

Na primjer, razmotrite neke popularne zadatke na ovu temu.

2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d=0,4 i a 1=3,6.

Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dano. Morate zapamtiti kako se članovi aritmetičke progresije računaju, broje i zapisuju. Preporučljivo je ne preskakati riječi u uvjetu zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne brojim dok ne pomodriš skroz.) U ovoj progresiji ima samo 5 (pet) članova:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaje da zapišemo odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Još jedan zadatak:

3. Odredite hoće li broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n) ako a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Tko zna? Kako nešto definirati?

Kako-kako... Da, zapišite progresiju u obliku serije i vidite hoće li biti sedmica ili ne! Vjerujemo:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sada se jasno vidi da nas je tek sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedmica nije ušla u naš niz brojeva, pa stoga sedmica neće biti član dane progresije.

Odgovor: ne.

A ovdje je zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA:

4. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; petnaest; X; 9; 6; ...

Evo serije bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. U redu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Idemo vidjeti i vidjeti što možemo znati iz ove linije? Koji su parametri tri glavna?

Članski brojevi? Ovdje nema niti jednog broja.

Ali tri su broja i - pozor! - riječ "uzastopno" u stanju. To znači da su brojevi strogo u redu, bez praznina. Ima li dvoje u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da tamo je! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzimamo od šestice prethodni broj, tj. devet:

Ostalo je praznih mjesta. Koji će broj biti prethodni za x? Petnaest. Dakle, x se lako može pronaći jednostavnim zbrajanjem. 15 dodajte razliku aritmetičke progresije:

To je sve. Odgovor: x=12

Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ove zagonetke nisu za formule. Čisto radi razumijevanja značenja aritmetičke progresije.) Samo zapišemo niz brojeva-slova, gledamo i razmišljamo.

5. Nađite prvi pozitivni član aritmetičke progresije ako je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odredite broj n ovog člana.

7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Pronađite 3.

8. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Nađi član progresije, označen slovom x.

9. Vlak je krenuo sa stanice postupno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina vlaka za pet minuta? Odgovorite u km/h.

10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.

Odgovori (u neredu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; četiri.

Je li sve uspjelo? Predivno! U sljedećim lekcijama možete naučiti aritmetičku progresiju na višoj razini.

Nije li sve uspjelo? Nema problema. U posebnom odjeljku 555 sve su te zagonetke rastavljene dio po dio.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, kao na dlanu!

Inače, u zagonetki o vlaku postoje dva problema na koja se ljudi često spotiču. Jedan - isključivo po progresiji, a drugi - zajednički svim zadacima iz matematike, ali i fizike. Ovo je prijevod dimenzija iz jedne u drugu. Pokazuje kako te probleme treba rješavati.

U ovoj lekciji ispitali smo osnovno značenje aritmetičke progresije i njene glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d do brojeva, napišite niz, sve će se odlučiti.

Rješenje s prstima dobro funkcionira za vrlo kratke dijelove serije, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je niz dulji, izračuni postaju kompliciraniji. Na primjer, ako je u problemu 9 u pitanju, zamijenite "pet minuta" na "trideset pet minuta" problem će postati još veći.)

A postoje i zadaci koji su u biti jednostavni, ali računski krajnje apsurdni, na primjer:

S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

I što, dodavat ćemo 1/6 puno, puno puta?! Je li moguće ubiti se!?

Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu pomoću koje takve zadatke možete riješiti u minuti. Ova formula će biti u sljedećoj lekciji. I tu je taj problem riješen. U minuti.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (članovi progresije)

U kojem se svaki sljedeći termin razlikuje od prethodnog čeličnim pojmom, koji se također zove razlika u koraku ili progresiji.

Dakle, postavljanjem koraka progresije i njenog prvog člana, možete pronaći bilo koji od njenih elemenata pomoću formule

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije.

Vrijedi i obrnuto. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, tada je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Ovom tvrdnjom vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također pomoću svojstva aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće

To je lako provjeriti ako izraze napišemo desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se formulom

Zapamtite dobro formulu za zbroj aritmetičke progresije, ona je neizostavna u izračunima i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbroj, već dio niza počevši od njegovog k -tog člana, dobro će vam doći sljedeća formula zbroja

4) Od praktičnog je interesa pronaći zbroj n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, upotrijebite formulu

Tu završava teorijsko gradivo i prelazimo na rješavanje problema koji su česti u praksi.

Primjer 1. Nađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Riješenje:

Prema stanju, imamo

Definirajte korak napredovanja

Prema poznatoj formuli nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer2. Aritmetičku progresiju daju njen treći i sedmi član. Nađi prvi član progresije i zbroj desetica.

Riješenje:

Zadane elemente progresije zapisujemo prema formulama

Oduzimamo prvu jednadžbu od druge jednadžbe, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađena vrijednost zamjenjuje se u bilo koju od jednadžbi kako bi se pronašao prvi član aritmetičke progresije

Izračunajte zbroj prvih deset članova progresije

Bez primjene složenih izračuna pronašli smo sve tražene vrijednosti.

Primjer 3. Aritmetička progresija dana je nazivnikom i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbroj njegovih 50 članova počevši od 50 i zbroj prvih 100.

Riješenje:

Napišimo formulu za stoti element progresije