Za koje brojeve je znak nejednakosti točan? Video lekcija “Svojstva numeričkih nejednakosti

Tvrdnja je dokazana.

Doista, npr. 2< 3, но

Svojstvo 4. Ako je a > b i c > d, onda je a + c > b + d.

Dokaz. Kako su a>b i c>d, razlike a-b i c-d su pozitivni brojevi. Tada je i zbroj tih brojeva pozitivan broj (a-b)+(c-d). Raširite zagrade i grupirajte (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). S obzirom na ovu jednakost, rezultirajući izraz (a + c) - (b + d) bit će pozitivan broj. Prema tome, a+ c> b+ d.

Nejednadžbe oblika a>b, c>d ili a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Svojstvo 5. Ako je a > b, c > d, tada je ac > bd, gdje su a, b, c, d pozitivni brojevi.

Dokaz. Kako je a>b i c pozitivan broj, tada, koristeći svojstvo 3, dobivamo ac > bc. Kako je c >d i b pozitivan broj, tada je bc > bd. Dakle, po prvom svojstvu ac > bd. Značenje dokazanog svojstva je sljedeće: “Ako pomnožimo član po član nejednakosti istog značenja, u kojima su lijevi i desni dio pozitivni brojevi, tada dobivamo nejednadžbu istog značenja”

Na primjer, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Svojstvo 6. Ako a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Dokaz. Ako pomnožimo član po član ovih n nejednakosti a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Primjena svojstava

Razmotrite primjer primjene svojstava koja smo razmotrili.

Neka 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Procijenite zbroj a + b. Koristeći svojstvo 4, dobivamo 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Procijenite razliku a - b. Budući da nema svojstva za oduzimanje, tada će se razlika a - b zamijeniti zbrojem a + (-b). Prvo procijenimo (- b). Da biste to učinili, koristeći svojstvo 3, oba dijela nejednadžbe 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Dobivamo -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Procijeni umnožak a ∙ b. Svojstvom 5 množimo nejednadžbe istog predznaka

S nejednakostima smo se susreli u školi, gdje koristimo brojčane nejednakosti. U ovom članku razmatramo svojstva numeričkih nejednakosti, od kojih su neka izgrađena načela za rad s njima.

Svojstva nejednadžbi slična su svojstvima numeričkih nejednadžbi. Svojstva, njegova opravdanja će se razmotriti, dat ćemo primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Brojčane nejednakosti: definicija, primjeri

Kod uvođenja pojma nejednakosti imamo da se njihova definicija vrši prema vrsti zapisa. Postoje algebarski izrazi koji imaju predznake ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Dajmo definiciju.

Definicija 1

Numerička nejednakost zove se nejednadžba u kojoj obje strane imaju brojeve i numeričke izraze.

Brojčane nejednakosti razmatraju se u školi nakon proučavanja prirodnih brojeva. Takve se operacije usporedbe proučavaju korak po korak. Početno izgleda kao 1< 5 , 5 + 7 >3 . Nakon toga se pravila nadopunjuju, a nejednadžbe se usložnjavaju, pa se dobivaju nejednadžbe oblika 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Svojstva numeričkih nejednakosti

Da biste ispravno radili s nejednadžbama, morate koristiti svojstva numeričkih nejednakosti. Oni dolaze iz koncepta nejednakosti. Takav koncept specificiran je pomoću izjave koja se označava kao "veće od" ili "manje od".

Definicija 2

• broj a je veći od b kada je razlika a - b pozitivan broj;
• broj a je manji od b kada je razlika a - b negativan broj;
• broj a je jednak b kada je razlika a - b jednaka nuli.

Definicija se koristi pri rješavanju nejednadžbi s relacijama "manje ili jednako", "veće ili jednako". Shvaćamo to

Definicija 3

• a je veći ili jednak b kada je a - b nenegativan broj;
• a je manji ili jednak b kada je a - b nepozitivan broj.

Definicije će se koristiti u dokazivanju svojstava numeričkih nejednakosti.

Osnovna svojstva

Razmotrite 3 glavne nejednakosti. Upotreba znakova< и >karakteristika sa svojstvima:

Definicija 4

• antirefleksivnost, što kaže da je svaki broj a iz nejednakosti a< a и a >a smatra se nevažećim. Poznato je da za svaki a vrijedi jednakost a − a = 0, pa je a = a. Dakle, a< a и a >a je netočno. Na primjer, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 su netočni.
• asimetrija. Kad su brojevi a i b takvi da je a< b , то b >a, a ako je a > b, tada je b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Drugi dio se dokazuje na sličan način.

Primjer 1

Na primjer, s obzirom na nejednakost 5< 11 имеем, что 11 >5 , tada će se njegova brojčana nejednakost − 0 , 27 > − 1 , 3 prepisati u obliku − 1 , 3< − 0 , 27 .

Prije nego prijeđemo na sljedeće svojstvo, napominjemo da se uz pomoć asimetrije nejednakost može čitati s desna na lijevo i obrnuto. Stoga se brojčana nejednakost može mijenjati i mijenjati.

Definicija 5

• tranzitivnost. Kada brojevi a , b , c ispunjavaju uvjet a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b i b > c , zatim a > c .

Dokaz 1

Prva se tvrdnja može dokazati. Uvjet a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Drugi dio sa svojstvom tranzitivnosti dokazuje se na sličan način.

Primjer 2

Analizirano svojstvo razmatra se na primjeru nejednakosti − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 i 1 8 > 1 32 slijedi da je 1 2 > 1 32 .

Brojčane nejednakosti, koje se pišu pomoću nestrogih znakova nejednakosti, imaju svojstvo refleksivnosti, jer a ≤ a i a ≥ a mogu imati slučaj jednakosti a = a. karakteriziraju ih asimetričnost i tranzitivnost.

Definicija 6

Nejednadžbe koje u zapisu imaju predznake ≤ i ≥ imaju sljedeća svojstva:

• refleksivnost a ≥ a i a ≤ a smatraju se pravim nejednakostima;
• antisimetrija kada je a ≤ b , tada je b ≥ a , a ako je a ≥ b , tada je b ≤ a .
• tranzitivnost kada je a ≤ b i b ≤ c , tada je a ≤ c , a također, ako je a ≥ b i b ≥ c , tada je a ≥ c .

Dokaz se provodi na sličan način.

Ostala važna svojstva numeričkih nejednakosti

Za dopunu osnovnih svojstava nejednadžbi koriste se rezultati koji su od praktičnog značaja. Primijenjen je princip metode vrednovanja vrijednosti izraza na kojem se temelje principi rješavanja nejednadžbi.

Ovaj odjeljak otkriva svojstva nejednakosti za jedan znak stroge nejednakosti. Isto se radi za nestriktne. Razmotrimo primjer, formulirajući nejednakost ako je a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• ako je a > b, tada je a + c > b + c;
• ako je a ≤ b, tada je a + c ≤ b + c;
• ako je a ≥ b , tada je a + c ≥ b + c .

Za prikladnu prezentaciju dajemo odgovarajuću izjavu, koja je zapisana i dani su dokazi, prikazani su primjeri uporabe.

Definicija 7

Dodavanje ili izračunavanje broja na obje strane. Drugim riječima, kada a i b odgovaraju nejednakosti a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Dokaz 2

Da bismo to dokazali, potrebno je da jednadžba zadovoljava uvjet a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Primjer 3

Na primjer, ako oba dijela nejednadžbe 7 > 3 povećamo za 15 , tada dobivamo da je 7 + 15 > 3 + 15 . Ovo je jednako 22 > 18 .

Definicija 8

Kada oba dijela nejednadžbe pomnožimo ili podijelimo s istim brojem c, dobit ćemo ispravnu nejednadžbu. Ako broj c uzmemo kao negativan, tada će se predznak promijeniti u suprotan. Inače, to izgleda ovako: za a i b nejednakost vrijedi kada je a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >prije Krista.

Dokaz 3

Kada postoji slučaj c > 0 , potrebno je napraviti razliku između lijeve i desne strane nejednadžbe. Tada dobivamo da je a · c − b · c = (a − b) · c . Iz uvjeta a< b , то a − b < 0 , а c >0 , tada će umnožak (a − b) · c biti negativan. To implicira da je a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

U dokazu se dijeljenje s cijelim brojem može zamijeniti množenjem inverzom zadanog, odnosno 1 c . Razmotrimo primjer svojstva određenih brojeva.

Primjer 4

Oba dijela nejednakosti su dopuštena 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sada formuliramo sljedeća dva rezultata koji se koriste u rješavanju nejednadžbi:

• Posljedica 1. Pri promjeni predznaka dijelova brojčane nejednakosti mijenja se i sam znak nejednakosti u suprotan, kao< b , как − a >−b. To odgovara pravilu množenja oba dijela s -1. Primjenjiv je za prijelaz. Na primjer − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Posljedica 2. Kada se dijelovi brojčane nejednadžbe zamijene recipročnim vrijednostima, mijenja se i njen predznak, a nejednakost ostaje istinita. Dakle, imamo da su a i b pozitivni brojevi, a< b , 1 a >1b.

Pri dijeljenju oba dijela nejednadžbe a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 imamo to 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b može biti netočan.

Primjer 5

Na primjer, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 su nevažeća jednakost.

Sve točke ujedinjuje činjenica da akcije na dijelovima nejednadžbe daju ispravnu nejednadžbu na izlazu. Razmotrimo svojstva kod kojih na početku postoji nekoliko numeričkih nejednakosti, a njen rezultat će se dobiti zbrajanjem ili množenjem njegovih dijelova.

Definicija 9

Kada za nejednadžbe a vrijede brojevi a , b , c , d< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Dokaz 4

Dokažemo da je (a + c) − (b + d) negativan broj, tada dobivamo da je a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Svojstvo se koristi za član po član zbrajanje tri, četiri ili više brojčanih nejednakosti. Brojevi a 1 , a 2 , … , a n i b 1 , b 2 , … , b n podložni su nejednakostima a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Primjer 6

Na primjer, zadane su tri brojčane nejednakosti istog predznaka − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definicija 10

Množenje obaju dijelova rezultira pozitivnim brojem. Za< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Dokaz 5

Da bismo to dokazali, potrebne su nam obje strane nejednakosti a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Smatra se da ovo svojstvo vrijedi za broj brojeva kojima se moraju pomnožiti obje strane nejednakosti. Zatim a 1 , a 2 , … , a n i b 1 , b 2 , … , b n su pozitivni brojevi, gdje je 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Imajte na umu da pri pisanju nejednakosti postoje nepozitivni brojevi, tada njihovo množenje po član dovodi do netočnih nejednakosti.

Primjer 7

Na primjer, nejednakost 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Posljedica: Člansko množenje nejednakosti a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Svojstva numeričkih nejednakosti

Razmotrite sljedeća svojstva numeričkih nejednakosti.

1. a< a , a >a - lažne nejednakosti,
   a ≤ a , a ≥ a točne su nejednadžbe.
2. Ako a< b , то b >a - antisimetrija.
3. Ako a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Ako a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Ako a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Ako a< b и c - отрицательное число, то a · c >prije Krista.

Korolar 1: ako a< b , то - a >-b.

Posljedica 2: ako su a i b pozitivni brojevi i a< b , то 1 a >1b.

1. Ako je 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Ako je 1, a 2, . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n su pozitivni brojevi i a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Korolar 1: ako a< b , a i b su pozitivni brojevi, tada je n< b n .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Za sve numeričke izraze vrijede sljedeća svojstva.

Svojstvo 1. Ako oba dijela ispravne brojevne nejednakosti dodamo isti brojevni izraz, tada ćemo dobiti ispravnu brojevnu nejednakost, odnosno vrijedi: ; .

Dokaz. Ako je . Koristeći komutativna, asocijativna i distributivna svojstva operacije zbrajanja imamo: .

Prema tome, po definiciji relacije "veće od" .

Svojstvo 2. Ako se od oba dijela ispravne brojevne nejednakosti oduzme isti brojevni izraz, tada se dobiva ispravna brojevna nejednakost, odnosno vrijedi: ;

Dokaz. Po stanju . Koristeći prethodno svojstvo, dodamo oba dijela ove nejednakosti brojčani izraz , dobivamo: .

Koristeći svojstvo asocijativnosti operacije zbrajanja imamo: , dakle , Posljedično .

Posljedica. Svaki član se može prenijeti iz jednog dijela brojčane nejednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom.

Svojstvo 3. Ako član po član zbrojimo točne brojčane nejednakosti, tada ćemo dobiti točnu brojčanu nejednakost, odnosno vrijedi:

Dokaz. Po svojstvu 1 imamo: i , koristeći svojstvo tranzitivnosti relacije "veće od", dobivamo: .

Svojstvo 4. Prave brojčane nejednakosti suprotnog značenja možemo oduzimati član po član, zadržavajući znak nejednakosti od kojeg oduzimamo, a to je: ;

Dokaz. Po definiciji pravih numeričkih nejednakosti . Po svojstvu 3, ako . Posljedicom svojstva 2 ovog teorema, bilo koji član se može prenijeti iz jednog dijela nejednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom. Posljedično, . Dakle, ako .

Svojstvo se dokazuje na sličan način.

Svojstvo 5. Ako oba dijela točne brojčane nejednakosti pomnožimo s istim brojčanim izrazom koji poprima pozitivnu vrijednost bez promjene predznaka nejednadžbe, dobivamo ispravnu brojčanu nejednadžbu, odnosno:

Dokaz. Iz čega . Imamo: zatim . Koristeći se distributivnošću operacije množenja u odnosu na oduzimanje, imamo: .

Zatim po definiciji relacije "veće od".

Svojstvo se dokazuje na sličan način.

Svojstvo 6. Ako oba dijela ispravne brojčane nejednakosti pomnožimo s istim brojčanim izrazom koji ima negativnu vrijednost, mijenjajući predznak nejednakosti u suprotan, tada ćemo dobiti ispravnu brojčanu nejednakost, to jest: ;

Svojstvo 7. Ako oba dijela prave brojčane nejednakosti podijelimo istim brojčanim izrazom koji poprima pozitivnu vrijednost bez promjene predznaka nejednakosti, dobivamo pravu brojčanu nejednakost, odnosno:

Dokaz. Imamo: . Po svojstvu 5 dobivamo: . Koristeći asocijativnost operacije množenja, imamo: Posljedično .

Svojstvo se dokazuje na sličan način.

svojstvo 8. Ako oba dijela ispravne brojčane nejednakosti podijelimo istim brojčanim izrazom, koji poprima negativnu vrijednost, promjenom znaka nejednakosti u suprotan, tada ćemo dobiti ispravnu brojevnu nejednakost, odnosno: ;

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Svojstvo 9. Množimo li član po član ispravne brojčane nejednakosti istog značenja s negativnim dijelovima, mijenjajući predznak nejednakosti u suprotan, tada ćemo dobiti ispravnu brojčanu nejednakost, odnosno:

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Svojstvo 10. Množimo li član po član točne brojčane nejednakosti istog značenja s pozitivnim dijelovima, ne mijenjajući predznak nejednakosti, tada ćemo dobiti ispravnu brojčanu nejednakost, odnosno:

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Svojstvo 11. Podijelimo li pojam po pojam točne brojčane nejednakosti suprotnog značenja s pozitivnim dijelovima, zadržavajući predznak prve nejednakosti, tada ćemo dobiti ispravnu brojčanu nejednakost, odnosno:

;

.

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Primjer 1 Jesu li nejednakosti i ekvivalent?

Riješenje. Druga nejednadžba se dobiva iz prve nejednadžbe dodavanjem oba njezina dijela istog izraza koji nije definiran za . To znači da broj ne može biti rješenje prve nejednadžbe. Međutim, to je rješenje druge nejednadžbe. Dakle, postoji rješenje druge nejednadžbe, koje nije rješenje prve nejednadžbe. Stoga ove nejednakosti nisu ekvivalentne. Druga nejednadžba je posljedica prve nejednadžbe, jer je svako rješenje prve nejednadžbe rješenje druge.

Prikazane su glavne vrste nejednakosti, uključujući Bernoullijevu, Cauchy-Bunyakovskyjevu, Minkovskyjevu, Chebyshevljevu nejednakost. Razmatraju se svojstva nejednadžbi i djelovanja na njih. Date su glavne metode za rješavanje nejednadžbi.

Formule za osnovne nejednadžbe

Formule za univerzalne nejednakosti

Univerzalne nejednakosti su zadovoljene za sve vrijednosti veličina koje su u njima uključene. Glavni tipovi univerzalnih nejednakosti navedeni su u nastavku.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a-b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Jednakost postoji samo kada je a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Cauchy-Bunyakovsky nejednakost

Jednakost vrijedi ako i samo ako je α a k = β b k za sve k = 1, 2, ..., n i neke α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Minkowskijeva nejednakost, za p ≥ 1

Formule za zadovoljavajuće nejednakosti

Zadovoljive nejednakosti su zadovoljene za određene vrijednosti veličina koje su u njih uključene.

1) Bernoullijeva nejednakost:
.
Općenitije:
,
gdje su , brojevi istog predznaka i veći od -1 : .
Bernoullijeva lema:
.
Vidi "Dokazi nejednakosti i Bernoullijeva lema".

2)
za a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Čebiševljeva nejednakost
na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Generalizirane Čebiševljeve nejednakosti
na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n i k prirodno
.
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Svojstva nejednadžbi

Svojstva nejednakosti su skup onih pravila koja se ispunjavaju kada se one transformiraju. Ispod su svojstva nejednakosti. Podrazumijeva se da su početne nejednakosti zadovoljene za vrijednosti x i (i = 1, 2, 3, 4) koje pripadaju nekom unaprijed određenom intervalu.

1) Pri promjeni redoslijeda stranica znak nejednakosti je obrnut.
Ako je x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Ako je x 1 ≤ x 2, tada je x 2 ≥ x 1.
Ako je x 1 ≥ x 2, tada je x 2 ≤ x 1.
Ako je x 1 > x 2 onda je x 2< x 1 .

2) Jedna jednakost je ekvivalentna dvjema nestrogim nejednadžbama različitog predznaka.
Ako je x 1 = x 2, onda je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2.
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2, onda je x 1 = x 2.

3) Svojstvo tranzitivnosti
Ako je x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2 ≤ x 3 tada je x 1 ≤ x 3 .

4) Oba dijela nejednadžbe možete dodati (oduzeti) isti broj.
Ako je x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ako je x 1 ≤ x 2 onda je x 1 + A ≤ x 2 + A .
Ako je x 1 ≥ x 2 onda je x 1 + A ≥ x 2 + A .
Ako je x 1 > x 2, tada je x 1 + A > x 2 + A.

5) Ako postoje dvije ili više nejednakosti s predznakom istog smjera, tada se mogu zbrajati njihovi lijevi i desni dio.
Ako je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , tada je x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Slični izrazi vrijede za znakove ≥, >.
Ako početne nejednakosti sadrže predznake nestroge nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada zbrajanje rezultira strogom nejednakošću.

6) Oba dijela nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) pozitivnim brojem.
Ako je x 1< x 2 и A >0, zatim A x 1< A · x 2 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i A > 0, tada je A x 1 ≤ A x 2 .
Ako je x 1 ≥ x 2 i A > 0, onda je A x 1 ≥ A x 2.
Ako je x 1 > x 2 i A > 0, tada je A x 1 > A x 2.

7) Oba dijela nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) negativnim brojem. U tom će se slučaju znak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Ako je x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ako je x 1 ≥ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ako je x 1 > x 2 i A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ako postoje dvije ili više nejednakosti s pozitivnim članovima, s predznakom istog smjera, tada se njihov lijevi i desni dio mogu međusobno pomnožiti.
Ako je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 tada je x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 .
Slični izrazi vrijede za znakove ≥, >.
Ako početne nejednakosti sadrže predznake nestroge nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada množenje rezultira strogom nejednakošću.

9) Neka je f(x) monotono rastuća funkcija. To jest, za bilo koji x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Tada se ova funkcija može primijeniti na oba dijela nejednadžbe, od čega se predznak nejednadžbe ne mijenja.
Ako je x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ako je x 1 ≤ x 2 tada je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2, tada je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2, tada je f(x 1) > f(x 2) .

10) Neka je f (x) monotono opadajuća funkcija, tj. za bilo koji x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ako je x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Ako je x 1 ≤ x 2 tada je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2 tada je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2, tada je f(x 1)< f(x 2) .

Metode rješavanja nejednadžbi

Rješavanje nejednadžbi metodom intervala

Metoda intervala primjenjiva je ako nejednadžba uključuje jednu varijablu koju označavamo s x i ima oblik:
f(x) > 0
gdje je f(x) kontinuirana funkcija s konačnim brojem točaka diskontinuiteta. Znak nejednakosti može biti bilo što: >, ≥,<, ≤ .

Metoda intervala je sljedeća.

1) Pronađite područje funkcije f(x) i označite ga intervalima na realnoj osi.

2) Odredite točke diskontinuiteta funkcije f(x) . Na primjer, ako je to razlomak, tada nalazimo točke u kojima nazivnik nestaje. Te točke označavamo na numeričkoj osi.

3) Riješite jednadžbu
f(x) = 0 .
Korijeni ove jednadžbe označeni su na brojevnoj crti.

4) Kao rezultat, numerička os će biti podijeljena točkama u intervale (segmente). Unutar svakog intervala koji je uključen u domenu definicije, odabiremo bilo koju točku iu toj točki izračunavamo vrijednost funkcije. Ako je ta vrijednost veća od nule, tada stavljamo znak “+” iznad segmenta (intervala). Ako je ta vrijednost manja od nule, tada iznad segmenta (intervala) stavljamo znak "-".

5) Ako nejednadžba ima oblik: f(x) > 0 , tada biramo intervale sa znakom “+”. Rješenje nejednadžbe je unija ovih intervala koji ne uključuju svoje granice.
Ako nejednadžba ima oblik: f(x) ≥ 0 , tada rješenju dodamo točke u kojima je f(x) = 0 . To jest, neki od intervala mogu imati zatvorene granice (granica pripada intervalu). drugi dio može imati otvorene granice (granica ne pripada intervalu).
Slično, ako je nejednakost: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ako nejednadžba izgleda ovako: f(x) ≤ 0 , tada rješenju dodamo točke u kojima je f(x) = 0 .

Rješavanje nejednadžbi primjenom njihovih svojstava

Ova metoda je primjenjiva na nejednakosti bilo koje složenosti. Sastoji se od primjene svojstava (gore prikazanih) kako bi se nejednadžbe svele na jednostavniji oblik i dobilo rješenje. Vrlo je moguće da će to rezultirati ne jednom, nego sustavom nejednakosti. Ovo je univerzalna metoda. Primjenjuje se na sve nejednakosti.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNAČBE I

§ 10 Osnovna svojstva numeričkih nejednadžbi

1. Ako a > b, onda b< а , i obrnuto, ako a< b , onda b > a.

Dokaz. Neka a > b . Po definiciji, to znači da je broj ( a - b ) je pozitivan. Ako stavimo znak minus ispred njega, onda je rezultatski broj - ( a - b ) će očito biti negativan. Zato - ( a - b ) < 0, или b - a < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Pozivamo učenike da sami dokažu obrnutu tvrdnju.

Dokazano svojstvo nejednakosti dopušta jednostavnu geometrijsku interpretaciju: ako točka A leži na pravoj liniji desno od točke B, tada točka B leži lijevo od točke A, i obrnuto (vidi sliku 20).

2. Ako a > b, a b > c, onda a > c.

Geometrijski, ovo svojstvo je kako slijedi. Neka točka A (koja odgovara broju a ) nalazi se desno od točke B (koja odgovara broju b ), a točka B, pak, leži desno od točke C (koja odgovara broju S ). Tada će točka A ležati još više desno od točke C (slika 21).

Dajmo algebarski dokaz ovog svojstva nejednakosti.

Neka a > b , a b > c . To znači da brojevi ( a - b ) i ( prije Krista ) su pozitivni. Zbroj dvaju pozitivnih brojeva očito je pozitivan. Zato ( a - b ) + (prije Krista ) > 0, ili a - c > 0. Ali ovo znači da a > S .

3. Ako a > b, zatim za bilo koji broj S a + c > b + c, a - c > b - c.

Drugim riječima, ako se isti broj doda ili oduzme od oba dijela numeričke nejednakosti, tada nejednakost neće biti povrijeđena.

Dokaz. Neka a > b . To znači da a - b > 0. Ali a - b = (a + c ) - (b + c ). Zato ( a + c ) - (b + c ) > 0. I po definiciji, to znači da a + c > b + c . Slično tome, pokazuje se da a - c > b - c .

Na primjer, ako oba dijela nejednakosti 5 > 4 dodamo 1 1 / 2, tada ćemo dobiti
6 1/2 > 5 1/2. Oduzimanjem broja 5 od oba dijela ove nejednakosti dobivamo 0 > - 1.

Posljedica. Svaki član jednog dijela numeričke nejednadžbe može se prenijeti na drugi dio nejednadžbe mijenjanjem predznaka tog člana u suprotan.

Neka npr. a + b > c . To je potrebno dokazati a > c - b . Za dokaz iz oba dijela ove nejednakosti dovoljno je oduzeti broj b .

4. Neka a > b. Ako a c > 0, onda ac > bc . Ako S< 0 , onda as< bс .

Drugim riječima, ako se oba dijela brojčane nejednakosti pomnože s pozitivnim brojem, tada nejednakost neće biti povrijeđena;
Ako obje strane nejednadžbe pomnožimo negativnim brojem, tada će se predznak nejednadžbe promijeniti u suprotan.

Ukratko, ovo svojstvo je formulirano na sljedeći način:

Nejednakost se čuva pri množenju člana po član pozitivnim brojem i mijenja predznak pri množenju člana po članu negativnim brojem.

Na primjer, množenjem nejednadžbe 5 > 1 član po član sa 7, dobivamo 35 > 7. Član po član množenje iste nejednadžbe sa - 7 daje - 35< - 7.

Dokaz 4. svojstva.

Neka a > b. To znači da broj a - b pozitivno. Umnožak dvaju pozitivnih brojeva a - b i S očito je i pozitivan, tj. a - b ) S > 0, ili
ac - bc > 0. Prema tome ac > bc .

Slično, razmatramo slučaj kada je broj S negativan. Umnožak pozitivnog broja a - b na negativan broj S je očito negativan, tj.
(a - b) c< 0; zato ac - pr< 0, odakle as< bс .

Posljedica. Znak nejednakosti ostaje sačuvan kada se član po član dijeli pozitivnim brojem i obrnut kada se član dijeli negativnim brojem.

To proizlazi iz činjenice da dijeljenje brojem S =/= 0 je ekvivalentno množenju s brojem 1 / c .

Vježbe

81. Može li se nejednadžba 2 > 1 pomnožiti član po član sa

a) a 2+1; b) | a |; u) a ; d) 1 - 2a + a 2

tako da se sačuva znak nejednakosti?

82. Je li uvijek 5 x preko 4 x , a - na manje na ?

83. Što može biti broj x ako se zna da - x > 7?

84. Poredaj u rastući redoslijed brojeva: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 a , 2a ; u) a , a 2 , a 3 . 85. Poredaj prema silaznom redoslijedu brojeva

a - b , a - 2b , a - 3b .

86. Dajte geometrijsku interpretaciju trećeg svojstva numeričkih nejednadžbi.