Dokaz nejednakosti iz geometrijskih razmatranja. Dokaz i rješenje nejednadžbi

Vaš cilj:poznavati metode dokazivanja nejednakosti i znati ih primijeniti.

Praktični dio

Pojam dokaza nejednakosti . Neke nejednakosti postaju istinite brojčana nejednakost pred svima prihvatljive vrijednosti varijable ili na neki zadani skup vrijednosti varijable. Na primjer, nejednakosti A 2 ³0, ( A–b) 2 ³ 0 ,a 2 +b 2 + c 2 " ³ 0 su istinite za sve realne vrijednosti varijabli, a nejednakost ³ 0 – za sve realne nenegativne vrijednosti A. Ponekad se javlja problem dokazivanja nejednakosti.

Dokazati nejednakost znači pokazati da se data nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost za sve dopuštene vrijednosti varijabli ili za zadani skup vrijednosti tih varijabli.

Metode dokazivanja nejednakosti. Imajte na umu da ne postoji opća metoda za dokazivanje nejednakosti. Međutim, neki od njih mogu se specificirati.

1. Metoda za procjenu predznaka razlike između lijeve i desne strane nejednadžbe. Sastavlja se razlika između lijeve i desne strane nejednakosti i utvrđuje je li ta razlika pozitivna ili negativna za razmatrane vrijednosti varijabli (za nestroge nejednakosti potrebno je utvrditi je li ta razlika ne- negativan ili nepozitivan).

Primjer 1. Za bilo koji realni brojevi A I b postoji nejednakost

a 2 +b 2³ 2 ab. (1)

Dokaz. Nadoknadimo razliku između lijeve i desne strane nejednakosti:

a 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab + b 2 = (a–b) 2 .

Budući da je kvadrat svakog realnog broja nenegativan broj, tada ( a–b) 2 ³ 0, što znači a 2 +b 2³ 2 ab za sve realne brojeve A I b. Jednakost u (1) postoji ako i samo ako a = b.

Primjer 2. Dokažite da ako A³ 0 i b³ 0, zatim ³ , tj. aritmetička sredina nenegativnih realnih brojeva A I b ne manje od njihove geometrijske sredine.

Dokaz. Ako A³ 0 i b³ 0, dakle

³ 0. Dakle, ³ .

2. Deduktivna metoda dokazi nejednakosti. Suština ove metode je sljedeća: pomoću niza transformacija tražena nejednakost se izvodi iz nekih poznatih (referentnih) nejednakosti. Na primjer, sljedeće nejednakosti mogu se koristiti kao referenca: A 2 ³ 0 za bilo koji aÎ R ; (a–b) 2 ³ 0 za bilo koji A I bÎ R ; (A 2 + b 2) ³ 2 ab za bilo koji a, bÎ R ; ³ na A ³ 0, b ³ 0.

Primjer 3. Dokažite da za bilo koje realne brojeve A I b postoji nejednakost

A 2 + b 2 + S 2³ ab + bc + ac.

Dokaz. Iz pravih nejednakosti ( a–b) 2 ³ 0, ( b – c) 2 ³ 0 i ( c – a) 2 ³ 0 slijedi da A 2 + b 2³ 2 ab, b 2 + c 2³ 2 prije Krista, c 2 + a 2³ 2 ak. Zbrajajući sve tri nejednakosti član po član i dijeleći obje strane nove s 2, dobivamo traženu nejednadžbu.

Izvorna nejednakost može se dokazati prvom metodom. Doista, A 2 + b 2 + S 2 –ab – bc – ac = 0,5(2A 2 + 2b 2 + 2S 2 – 2ab – 2prije Krista – 2ak) = = 0,5((a–b) 2 + (a–c) 2 + (prije Krista) 2)³ 0.

Razlika između A 2 + b 2 + S 2 i ab + bc + ac veći ili jednak nuli, što znači da A 2 + b 2 + S 2³ ab + bc + ac(jednakost je istinita ako i samo ako a = b = c).

3. Metoda procjene za dokazivanje nejednakosti.

Primjer 4. Dokaži nejednakost

+ + + … + >

Dokaz. Lako je vidjeti da lijeva strana nejednadžbe sadrži 100 članova, od kojih svaki nije ništa manji. U ovom slučaju, kažu da se lijeva strana nejednakosti može procijeniti odozdo na sljedeći način:

+ + + … + > = 100 = .

4. Metoda pune indukcije. Bit metode je razmatranje svih posebnih slučajeva koji pokrivaju stanje problema u cjelini.

Primjer 5. Dokažite da ako x > ï naï , Da x > y.

Dokaz. Dva su moguća slučaja:

A) na³ 0 ; tadaï naï = y, i po stanju x >ï naï . Sredstva, x > y;

b) na< 0; tadaï naï > g i po stanju x >ï naï znači x > y.

Praktični dio

Zadatak 0. Uzeti Prazan list papir i na njega ispisati odgovore na sve niže navedene usmene vježbe. Zatim usporedite svoje odgovore s odgovorima ili sažetim uputama na kraju ovoga obrazovni element u odjeljku "Vaš pomoćnik".

Usmene vježbe

1. Usporedi zbroj kvadrata dva nejednaka broja i njihov dvostruki umnožak.

2. Dokažite nejednakost:

A) ;

b) ;

V) ;

3. Poznato je da. Dokaži to .

4. Poznato je da. Dokaži to .

Vježba 1. Još to:

a) 2 + 11 ili 9; d) + ili;

b) ili + ; e) – ili;

c) + ili 2; e) + 2 ili +?

Zadatak 2. Dokažite to za bilo koji pravi x postoji nejednakost:

a) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4 x;

b) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); e) ³ 2 x;

V) ( x– 2) 2 > x(x- 4); e) l + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

Zadatak 3. Dokaži to:

A) x 3 + 1³ x 2 + x, Ako x³ –1;

b) x 3 + 1 £ x 2 + x, Ako x–1 funti .

Zadatak 4. Dokažite da ako a ³ 0, b³ 0, S³ 0, d³ 0, dakle

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) ³ ( ak + bd) 2 .

Zadatak 5. Dokažite nejednakost izdvajanjem savršen kvadrat:

A) x 2 – 2xy + 9g 2 ³ 0;

b) x 2 + g 2 + 2³2( x+y);

u 10 x 2 + 10xy + 5g 2 + 1 > 0;

G) x 2 – xy + g 2 ³ 0 ;

d) x 2 + g 2 + z 2 + 3³ 2( x + y + z);

e) ( x+ l)( x - 2y + l) + g 2 ³ 0 .

Zadatak 6. Dokaži to:

A) x 2 + 2g 2 + 2xy + 6g+ l0 > 0 ;

b) x 2 + g 2 – 2xy + 2x – 2na + 1 > 0;

u 3 x 2 + g 2 + 8x+ 4y – 2xy + 22 ³ 0;

G) x 2 + 2xy+ 3g 2 + 2x + 6g + 3 > 0.

Zadatak 7. Dokažite da ako n³ k³ 1, dakle k(n–k+ 1) ³ n.

Zadatak 8. Dokažite da ako je 4 A + 2b= 1, tada a 2 + b 2³ .

Definirajte vrijednosti A I b, pri čemu dolazi do jednakosti.

Zadatak 9. Dokažite nejednakost:

A) x 3 + na 3³ x 2 na + xy 2 at x³ 0 i g ³ 0;

b) x 4 + na 4³ x 3 na + xy 3 za bilo koji x I na;

V) x 5 + na 5³ x 4 na + xy 4 at x³ 0 i g ³ 0;

G) x n + y n ³ x n-1 godina + xy n-1 at x³ 0 i g ³ 0.

Obrazovna ustanova: Gradska obrazovna ustanova Lyceum No. 1, Komsomolsk-on-Amur

Voditelj: Budlyanskaya Natalya Leonidovna

Ako želite sudjelovati u sjajan život, pa puni glavu matematikom dok imaš prilike. Ona će vam tada pružiti veliku pomoć u svim vašim poslovima. (M.I. Kalinin)

Predstavljanje lijeve strane nejednakosti kao zbroja nenegativnih članova (desna strana je 0) pomoću identiteta.

Primjer 1. Dokažite to za bilo koji xϵR

Dokaz . 1 način.

Metoda 2.

za kvadratnu funkciju

što znači njegovu pozitivnost za bilo koji pravi x.

Primjer 2. Dokažite to za bilo koje x i y

Dokaz.

Primjer 3. Dokaži to

Dokaz.

Primjer 4. Dokažite da za bilo koje a i b

Dokaz.

2. Suprotna metoda

Evo dobrog primjera korištenja ove metode.

Dokažite da je za a, b ϵ R.

Dokaz.

Hajdemo to pretvarati.

Ali to jasno dokazuje da je naša pretpostavka netočna.

C.T.D.

Primjer 5.Dokažite da za bilo koje brojeve A, B, C vrijedi sljedeća nejednakost:

Dokaz. Očito je dovoljno utvrditi ovu nejednakost za nenegativne A, B I S, jer ćemo imati sljedeći odnos:

, što je razlog za izvornu nejednakost .

Sada neka postoje takvi nenegativni brojevi A, B I S, za koje vrijedi nejednakost

, što je nemoguće pod bilo kojim stvarnim A, B I S. Gore navedena pretpostavka je opovrgnuta, što dokazuje izvorna nejednakost koja se proučava.

Korištenje svojstava kvadratnog trinoma

Metoda se temelji na svojstvu nenegativnosti kvadratnog trinoma ako

I.

Primjer 6. Dokaži to

Dokaz.

Neka bude, a=2, 2>0

=>

Primjer 7. Dokažite da za svaki realni x i y nejednakost vrijedi

Dokaz. Razmotrite lijevu stranu nejednakosti kao kvadratni trinom s obzirom na X:

, a>0, D

D= => P(x)>0 I

vrijedi za sve stvarne vrijednosti x I u.

Primjer 8. Dokaži to

za sve realne vrijednosti x i y.

Dokaz. Neka ,

To znači da za svaki pravi na i nejednakost

je zadovoljen za bilo koji pravi x I u.

Metoda uvođenja novih varijabli ili metoda supstitucije

Primjer 9. Dokažite da za bilo koje nenegativne brojeve x, y, z

Dokaz. Iskoristimo ispravnu nejednakost za,

.

Dobivamo nejednakost koju proučavamo

Korištenje svojstava funkcije.

Primjer 10. Dokažimo nejednakost

za bilo koje a i b.

Dokaz. Razmotrimo 2 slučaja:

• Ako je a=b onda je istina

Štoviše, jednakost se postiže samo kada je a=b=0.

2) Ako

, na R =>

()* ()>0, što dokazuje nejednakost

Primjer 11. Dokažimo to za bilo koju

Dokaz.

na R.

Ako, tada se predznaci brojeva podudaraju, što znači da je razlika koja se proučava pozitivna =>

Primjena metode matematičke indukcije

Ova metoda se koristi za dokazivanje nejednakosti u pogledu prirodnih brojeva.

Primjer 12. Dokažite to za bilo koji nϵN

• Provjerimo istinitost tvrdnje kada

- (desno)

2) Pretpostavite istinitost izjave kada

(k>1)

3) Dokažimo istinitost tvrdnje kada je n=k+1.

Usporedimo i:

Imamo:

Zaključak: izjava je istinita za svakoga nϵN.

Koristeći izvanredne nejednakosti

• Teorem o prosjecima (Cauchyjeva nejednakost)

• Cauchy–Bunyakovsky nejednakost

• Bernoullijeva nejednakost

Razmotrimo svaku od navedenih nejednakosti zasebno.

Primjena teorema srednje vrijednosti (Cauchyjeva nejednakost)

Aritmetička sredina nekoliko nenegativnih brojeva veća je ili jednaka njihovoj geometrijskoj sredini

, Gdje

Znak jednakosti postiže se ako i samo ako

Razmotrimo posebne slučajeve ovog teorema:

• Neka je onda n=2

• Neka je n=2, a>0, tada

• Neka je onda n=3

Primjer 13. Dokažite da za sve nenegativne a,b,c vrijedi nejednakost

Dokaz.

Cauchy-Bunyakovsky nejednakost

Cauchy-Bunyakovskyjeva nejednakost kaže da za bilo koju; omjer vrijedi

Dokazana nejednakost ima geometrijsku interpretaciju. Za n=2,3 izražava dobro poznatu činjenicu da skalarni umnožak dvaju vektora na ravnini iu prostoru ne prelazi umnožak njihovih duljina. Za n=2 nejednakost ima oblik: . Za n=3 dobivamo

Primjer 14.

Dokaz. Zapišimo nejednakost koju proučavamo u sljedećem obliku:

Ovo je očito istinita nejednakost, jer je poseban slučaj Cauchy–Bunyakovskyjeve nejednakosti.

Primjer 15. Dokažite da za bilo koji a,b,c ϵ R vrijedi sljedeća nejednakost:

Dokaz. Dovoljno je ovu nejednakost napisati u obliku

a odnose se na Cauchy–Bunyakovskyjevu nejednakost.

Bernoullijeva nejednakost

Bernoullijeva nejednakost kaže da ako je x>-1, tada za sve prirodne vrijednosti od n vrijedi sljedeća nejednakost:

Nejednakost se može koristiti za izraze oblika

Osim toga, vrlo velika skupina nejednakosti može se lako dokazati pomoću Bernoullijevog teorema.

Primjer 16.

Dokaz. Stavljanje x=0,5 i primjenjujući Bernoullijev teorem za izražavanje

Dobivamo traženu nejednakost.

Primjer 17. Dokažite da za bilo koji n ϵ N

Dokaz.

Bernoullijevim teoremom, kako se zahtijeva.

Davida Gilberta su pitali o jednom od njegovih bivši studenti. „Oh, taj i taj?" prisjetio se Hilbert. „Postao je pjesnik. Imao je premalo mašte za matematiku."

: Proširite svoje znanje u području dokazivanja nejednakosti. Naučiti o Cauchyjevoj nejednakosti. Naučiti primijeniti naučene metode za dokazivanje nejednakosti.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Državna proračunska obrazovna ustanova

prosjek sveobuhvatna škola №655

Primorski okrug Sankt Peterburga

“Dokaz nejednakosti. Cauchyjeva nejednakost"

2014

Li Nina Jurijevna

8. razred

Sažetak…………………………………………………………………………………….3

Uvod…………………………………………………………………………………….. 4

Povijesna pozadina…………………………………………………………………………………………..4

Cauchyjeva nejednakost……………………………………………………………………………………………5

Dokaz nejednakosti…………………………………………………………………..7

Zaključci studije……………………………………………………………………………………..10

Reference……………………………………………………………………………………………11

Li Nina

Sankt Peterburg, GBOU srednja škola br. 655, 8. razred

“Dokaz nejednakosti. Cauchyjeva nejednakost".

nadzornica: Yulia Vladimirovna Moroz, učiteljica matematike

Cilj znanstveni rad: Proširite svoje znanje u području dokazivanja nejednakosti. Naučiti o Cauchyjevoj nejednakosti. Naučiti primijeniti naučene metode za dokazivanje nejednakosti.

UVOD

“...glavni rezultati matematike češće se izražavaju ne jednakostima, već nejednakostima.”

E. Beckenbach

Rješavanjem nejednadžbi bavimo se tijekom cijelog školskog tečaja. Nejednadžbe se mogu rješavati grafički i analitički. Za rješavanje bilo koje nejednakosti postoji specifičnim algoritmom akcija, dakle ovaj zadatak je radije mehaničko djelovanje, koji ne zahtijeva kreativnost.

Naprotiv, dokazivanje nejednakosti zahtijeva neformalan, varijabilan pristup. Stoga je dokaz nejednakosti najzanimljiviji.

Međutim, u školski tečaj U matematici se vrlo malo pažnje posvećuje dokazivanju nejednakosti. Dokazivanje nejednakosti svodi se na jednu tehniku ​​– procjenu razlike između dijelova nejednakosti.U međuvremenu, na matematičkim olimpijadama često se javljaju problemi u dokazivanju nejednakosti drugim metodama i tehnikama (korištenje nejednakosti potpore, metoda estimacije).Na matematičkim olimpijadama školaraca također se često predlažu nejednakosti čiji dokaz bolje otkriva sposobnosti i mogućnosti učenika, njihovu diplomu intelektualni razvoj. Osim toga, mnogi zadaci povećana složenost(iz raznih grana matematike) učinkovito se rješavaju pomoću nejednadžbi.

Relevantnost teme “Dokaz nejednakosti” je neosporna, budući da nejednakosti igraju temeljnu ulogu u većini grana moderne matematike, bez njih ne mogu ni fizika, ni astronomija, ni kemija. teorija vjerojatnosti, matematička statistika, financijska matematika, ekonomija - sve te međusobno povezane i generalizirajuće znanosti, kako u formuliranju svojih temeljnih zakona, tako iu metodama njihova dobivanja, te u primjenama, stalno se koriste nejednakostima.

Dokazi nejednakosti pomažu u razvoju vještine razumijevanja i primjene tehnika dokazivanja nejednakosti; sposobnost njihove primjene pri obavljanju različitih zadataka; sposobnost analize, generalizacije i zaključivanja; logično izražavati misli; kreativan je u svom radu.

Svrha ovog rada je proširivanje znanja iz područja metoda i tehnika dokazivanja nejednakosti.

Za postizanje ovog cilja istraživanja postavili smo si sljedeće zadatke:

• prikupljanje informacija iz različitih izvora o tehnikama i metodama dokazivanja nejednakosti;
• upoznati Cauchyjevu nejednakost;
• Naučite primijeniti pomoćne nejednakosti za dokazivanje složenijih nejednakosti.

POVIJESNA REFERENCA

Pojmovi “više” i “manje”, zajedno s pojmom “jednakosti”, nastali su u vezi s brojanjem predmeta i potrebom za usporedbom različitih količina. Pojmove nejednakosti koristili su stari Grci. Arhimed (3. st. pr. Kr.) izračunavajući opseg, utvrdio je da je “opseg svakog kruga jednak trostrukom promjeru s viškom manjim od sedmine promjera, ali većim od deset sedamdeset”. Drugim riječima, Arhimed je označio granice broja π.

Godine 1557., kada je Robert Record prvi put uveo znak jednakosti, motivirao je svoju inovaciju na sljedeći način: dva predmeta ne mogu biti jednakija jedan drugome od dva paralelno sa segmentom. Na temelju Recordova znaka jednakosti drugi engleski znanstvenik Harriot uveo je znakove nejednakosti koji se i danas koriste, opravdavajući inovaciju na sljedeći način: ako dvije veličine nisu jednake, tada segmenti koji se pojavljuju u znaku jednakosti više nisu paralelni, već se sijeku. Raskrižje se može odvijati desno (>) ili lijevo (

Unatoč činjenici da su znakovi nejednakosti predloženi 74 godine nakon znaka jednakosti koji je predložio Record, ušli su u upotrebu mnogo ranije od potonjeg. Jedan od razloga za ovu pojavu leži u činjenici da su tadašnje tiskare za znakove nejednakosti koristile latinično slovo koje su već imale. V, dok nisu imali znak jednakosti za slaganje (=), a tada ga nije bilo lako napraviti.

Znakove ≤ i ≥ uveo je francuski matematičar P. Bouguer.

CAUCHYJEVA NEJEDNAČINA

Ideje koje se koriste za dokazivanje nejednakosti gotovo su jednako raznolike kao i same nejednakosti. U specifičnim situacijama, općenite metode često dovode do ružnih rješenja. Ali samo rijetki uspijevaju kombinirati nekoliko "osnovnih" nejednakosti na neočit način. I, osim toga, ništa nas ne sprječava da u svakom konkretnom slučaju tražimo prikladnije, bolje rješenje od primljenog opća metoda. Zbog toga se dokazivanje nejednakosti često prebacuje u područje umjetnosti. I kao u svakoj umjetnosti postoje tehnika, čiji je skup vrlo širok i vrlo ih je teško sve savladati.

Jedna od tih “osnovnih” nejednakosti je Cauchyjeva nejednakost, koja označava odnos između dvije prosječne vrijednosti – aritmetičke sredine i geometrijske sredine. Aritmetička sredina se proučava u petom razredu i izgleda ovakoGeometrijska sredina se prvi put pojavljuje u predmetu geometrije u osmom razredu -. U pravokutni trokut Tri segmenta imaju ovo svojstvo: dva kraka i okomica spuštena s vrha pravi kut na hipotenuzu.

Postoji iznenađujući odnos između ove dvije veličine koji su znanstvenici proučavali. O. Cauchy, francuski matematičar, došao je do zaključka da aritmetička sredina n nenegativnih brojeva uvijek nije manja od geometrijske sredine tih brojeva.

Uz Cauchyjevu nejednakost, korisno je znati i njezine korolare:

Jednakost se postiže kada je a = b.

Nejednakosti su točne ako su ispunjeni uvjeti a > 0, b > 0.

Algebarski dokaz ove nejednakosti je vrlo jednostavan:

(a – c)² ≥ 0;

Primijenimo formulu "razlike na kvadrat":

a² - 2av + b² ≥0;

Zbrojimo obje strane nejednakosti 4av:

a² + 2av + b² ≥4av;

Primijenimo formulu "kvadrat zbroja":

(a + b)² ≥4av;

Podijelimo obje strane nejednakosti s 4 :

Budući da su a i b pozitivni prema uvjetu, tada izvlačimo kvadratni korijen obiju strana nejednadžbe:

Dobili smo željeni izraz.

Razmotrimo geometrijski dokaz:

Dato je: ABCD – pravokutnik, AD = a, AB = b, AK – simetrala kuta BAD.

Dokazati:

Dokaz:

1. AK je simetrala, dakle VAL = LAD. LAD i BLA – unutarnji poprečni kutovi s paralelama BC i AD i sekantom AL, tj BLA = LAD.
2. B = 90°, dakle BAL = LAD = 45°, ali BLA = LAD, pa je ∆ ABL – jednakokračan, BL = AB = b.
3. ∆AKD – jednakokračan, budući da je KD┴AD, DAL = 45°, što znači AD = KD = a.

Očito je da, jednakost se postiže kada

a = b , odnosno ABCD je kvadrat.

zamijenimo u nejednakosti a² po m, b² po n, dobivamo

Ili ,

odnosno geometrijska sredina nije veća od aritmetičke sredine.

DOKAZ NEJEDNAČINA

Metoda sinteze.

Ovo je metoda koja se temelji na dobivanju (sintetiziranju) nejednakosti (koju je potrebno opravdati) iz potpornih (osnovnih) nejednakosti i metoda za njihovo utvrđivanje.

Riješimo zadatak metodom sinteze

Problem 1. Dokažite da za bilo koji nenegativan a, b, c nejednakost je istinita

Riješenje. Zapišimo tri nejednakosti koje uspostavljaju odnos između aritmetičke sredine i geometrijske sredine dvaju nenegativnih brojeva

Pomnožimo dobivene nejednakosti član po član, jer su im lijeva i desna strana nenegativne

Problem 2. Primijenimo Cauchyjevu nejednakost da dokažemo ovu nejednakost:

Metoda korištenja identiteta.

Bit metode je da se ta nejednakost kroz ekvivalentne transformacije svodi na očiti identitet.

Razmotrimo rješavanje problema ovom metodom.

Zadatak. Dokažite to za bilo koje realne brojeve a i b nejednakost je istinita.

Riješenje. Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani nejednadžbe

Za bilo koji valjan a i b ovaj izraz je nenegativan, što znači da je i ova nejednakost zadovoljiva, tj.

ZAKLJUČAK

Ovaj istraživački rad bio je usmjeren na rješavanje sljedećih problema:

• prikupljanje informacija i proučavanje razne metode i tehnike dokazivanja nejednakosti;
• upoznavanje s izuzetnom Cauchyjevom nejednakošću, njezinim dokazom na algebarski i geometrijski način;
• primjena stečenog znanja za dokazivanje nejednakosti;
• upoznavanje s metodom sinteze i korištenjem identiteta u rješavanju zadanih problema.

U procesu rješavanja problema postigli smo svoj cilj istraživački rad– pronalaženje optimalnog učinkovita metoda dokazi nejednakosti.

BIBLIOGRAFIJA

1. Algebra. 8. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja ustanova/ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, I.E. Feoktistov - 13. izdanje - M.: Mnemozina, 2013. - 384 str.

1. Algebra. 8. razred. Didaktički materijali. Smjernice/ I.E.Feoktistov.-3. izdanje, str.-M.: Mnemosyne, 2013.-173 str.

1. Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred. U 14 sati 1. dio Udžbenik za studente obrazovne ustanove/ A.G. Mordkovich. – 10. izd., izbrisano. – M.: Mnemosyne, 2008. – 215 str., C 185-200.

1. Berkolaiko S.T. Upotreba Cauchyjeve nejednakosti u rješavanju problema - M.: Kvant, 1975. - br. 4.

Rijetko koja olimpijada prođe bez problema koji zahtijevaju dokazivanje neke nejednakosti. Algebarske nejednakosti dokazuju se različitim metodama koje se temelje na ekvivalentne transformacije i svojstva numeričkih nejednakosti:

1) ako je a – b > 0, tada je a > b; ako je a – b

2) ako je a > b, tada je b a;

3) ako a

4) ako a

5) ako je 0, onda je ac

6) ako je bc; a/c > b/c ;

7) ako je 1

8) ako je 0

Prisjetimo se nekih potpornih nejednakosti koje se često koriste za dokazivanje drugih nejednakosti:

1) a 2 > 0;

2) ah 2 + bx + c > 0, za a > 0, b 2 – 4ac

3) x + 1 / x > 2, za x > 0, i x + 1 / x –2, za x

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;

5) ako je a > b > 0, onda je 1/a

6) ako je a > b > 0 i x > 0, tada je a x > b x , posebno za prirodno n > 2

a 2 > b 2 i n √ a > n √ b;

7) ako je a > b > 0 i x

8) ako je x > 0, tada grijeh x

Mnogi problemi na razini olimpijade, a ne samo nejednadžbe, učinkovito se rješavaju pomoću nekih posebnih nejednakosti koje učenici često nisu upoznati. Tu prije svega spadaju:

• nejednakost između aritmetičke sredine i geometrijske sredine pozitivni brojevi(Cauchyjeva nejednakost):

• Bernoullijeva nejednakost:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, gdje je α > -1, n – prirodan broj;

• Cauchy–Bunyakovsky nejednakost:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2 );

“Najpopularnije” metode za dokazivanje nejednakosti uključuju:

• dokaz nejednakosti temeljen na definiciji;
• metoda odabira kvadrata;
• metoda sekvencijalnih procjena;
• metoda matematička indukcija;
• korištenje specijalnih i klasičnih nejednakosti;
• korištenje elemenata matematičke analize;
• korištenje geometrijskih razmatranja;
• ideja o jačanju itd.

Problemi s rješenjima

1. Dokažite nejednakost:

a) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);

b) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

c) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 za x > 0, y > 0.

a) Imamo

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

što je očito.

b) Nejednakost koja se dokazuje nakon množenja obje strane s 2 poprima oblik

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

ili

(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

ili

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

što je očito. Jednakost se javlja samo kada je a = b = 1.

c) Imamo

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2) > 0.

2. Dokažite nejednakost:

A)	a	+	b		>	2 za a > 0, b > 0;
	b		a

b)	R	+	R	+	R		> 9, gdje su a, b, c stranice, a P opseg trokuta;
	a		b		c

c) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, gdje je a > 0, b > 0, c > 0.

a) Imamo:

a	+	b	– 2 =	a 2 + b 2 – 2ab	=	(a – b) 2		> 0.
b		a		ab		ab

b ) Dokaz ove nejednakosti jednostavno slijedi iz sljedeće procjene:

b+c	+	a+c	+	a+b	=
a		b		c

=

b

+

c

+

a

+

c

+

a

+

b

=

a

a

b

b

c

c

= (

b

+

a

) + (

c

+

a

) + (

c

+

b

) > 6,

a

b

a

c

b

c

Jednakost se postiže za jednakostraničan trokut.

c) Imamo:

ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) =

= abc (

a

+

b

– 2 +

b

+

c

– 2 +

a

+

c

– 2 ) =

c

c

a

a

b

b

= abc ((

a

+

b

– 2) + (

a

+

c

– 2) + (

b

+

c

– 2) ) > 0,

b

a

c

a

c

b

budući da je zbroj dva pozitivna recipročna broja veći ili jednak 2.

3. Dokažite da ako je a + b = 1, vrijedi nejednakost a 8 + b 8 > 1 / 128.

Iz uvjeta da je a + b = 1 slijedi da

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

Dodajmo ovu jednakost očitoj nejednakosti

a 2 – 2ab + b 2 > 0.

Dobivamo:

2a 2 + 2b 2 > 1, ili 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

dobivamo:

8a 4 + 8b 4 > 1, odakle je 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Dodavanje ove nejednakosti očitoj nejednakosti

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

dobivamo:

128a 8 + 128 b 8 > 1 ili a 8 + b 8 > 1/128.

4. Štoviše e e · π π ili e 2π?

Razmotrite funkciju f(x) = x – π ln x . Jer f'(x) = 1 – π/x , a lijevo od točke x = π f’(x) 0 , a s desne strane - f’(x) > 0, Da f(x) Ima najmanja vrijednost u točki x = π . Tako f(e) > f(π), to je

e – π ln e = e – π > π – π ln π

ili

e + π ln π > 2π .

Odavde to dobivamo

e e + π ln π > e 2π,

nju· e π ln π > e 2 π ,

e e · π π > e 2π.

5. Dokažite to

log(n+1) >	log 1 + log 2 + . . . + zapisnik n	.
	n

Koristeći svojstva logaritama, lako je svesti ovu nejednakost na ekvivalentnu nejednadžbu:

(n + 1) n > n!,

gdje n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n-faktorijal). Osim toga, postoji sustav očitih nejednakosti:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n,

nakon što ih pomnožimo član po član, izravno dobivamo da je (n + 1) n > n!.

6. Dokaži da je 2013 2015 · 2015 2013

Imamo:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013. 2 (2014. – 1) 2013. (2014. + 1) 2013.

Očito, možemo dobiti i opću tvrdnju: za bilo koji prirodni broj n nejednakost

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. Dokažite da za svaki prirodni broj n vrijedi nejednakost:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2n – 1	.
1!		2!		3!		n!		n

Procijenimo lijevu stranu nejednakosti:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		n!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 · 2 · 3 · . . . n

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(n – 1) n

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		n – 1		n		n

Q.E.D.

8. Neka je a 1 2, a 2 2, a 3 2, . . . , a n 2 su kvadrati n različitih prirodnih brojeva. Dokaži to

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	a 1 2			a 2 2			a 3 2			a n 2		2

Neka najveći od ovih brojeva bude m. Zatim

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	a 1 2			a 2 2			a 3 2			a n 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			m 2

budući da je u desna strana dodani množitelji manji od 1.Izračunajmo desnu stranu rastavljanjem svake zagrade na faktore:

=	2 · 3 2 · 4 2 · . . . · (m – 1) 2 · (m + 1)	=	m+1	=	1	+	1	>	1	.
	2 2 · 3 2 · 4 2 · . . . m 2 Otvaranjem zagrada s lijeve strane dobivamo zbroj 1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2 . . . a n. Zbroj brojeva u drugoj zagradi ne prelazi (a 1 + . . . . + a n) 2, zbroj u trećoj zagradi ne prelazi (a 1 + . . . . + a n) 3, i tako dalje. To znači da cijeli proizvod ne prelazi 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . + 1/2 n = 2 – 1/2 n Metoda 2. Metodom matematičke indukcije dokazujemo da za sve prirodne n vrijedi nejednakost: (1 + a 1) . . . (1 + a n) Za n = 1 imamo: 1 + a 1 1 . Neka za n = k vrijedi:(1 + a 1) . . . (1 + ak) 1 + . . . +a k). Razmotrimo slučaj n = k +1:(1 + a 1) . . . (1 + a k )(1 + a k +1 ) (1 + 2(a 1 + . . + a k ) )(1 + a k +1 ) ≤ 1 + 2(a 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) = 1 + 2(a 1 + . . + a k + a k +1 ). Na temelju načela matematičke indukcije nejednakost je dokazana. 10. Dokažite Bernoullijevu nejednakost: (1 + α) n ≥ 1 + nα, gdje je α > -1, n prirodan broj. Poslužimo se metodom matematičke indukcije. Za n = 1 dobivamo pravu nejednakost: 1 + α ≥ 1 + α. Pretpostavimo da vrijedi sljedeća nejednakost: (1 + α) n ≥ 1 + nα. Pokažimo da se tada odvija i (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α. Doista, budući da α > –1 implicira α + 1 > 0, tada množenje obje strane nejednadžbe (1 + α) n ≥ 1 + nα na (a + 1), dobivamo (1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα) (1 + α) ili (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 Kako je nα 2 ≥ 0, dakle, (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α. Dakle, prema principu matematičke indukcije, Bernoullijeva nejednakost je istinita. Problemi bez rješenja 1. Dokažite nejednakost za pozitivne vrijednosti varijable a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c). 2. Dokažite da za bilo koje a vrijedi nejednakost 3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2. 3. Dokažite da je polinom x 12 – x 9 + x 4 – x+ 1 je pozitivan za sve vrijednosti x. 4. Za 0 e dokažite nejednakost (e+ x) e– x > ( e- x) e+ x . 5. Neka su a, b, c pozitivni brojevi. Dokaži to a+b + b+c + a+c ≤ 1 + 1 +

MOU Srednja škola Grishino-Slobodskaya

Program modula

"Metode dokazivanja nejednakosti"

u sklopu izbornog predmeta

"Iza stranica udžbenika matematike"

za učenike 10-11 razreda

Sastavio:

profesorica matematike

Pankova E.Yu

Objašnjenje

“Matematika se naziva tautološkom znanošću: drugim riječima, kaže se da matematičari troše vrijeme dokazujući da su objekti jednaki samima sebi. Ova izjava je vrlo netočna iz dva razloga. Prvo, matematika, unatoč svojoj inherentnosti znanstveni jezik, nije znanost; nego se može nazvati umjetnošću. Drugo Glavni rezultati matematike češće se izražavaju nejednakostima nego jednakostima.”

Nejednakosti se koriste u praktični rad matematika cijelo vrijeme. Koriste se za dobivanje brojnih zanimljivih i važnih ekstremnih svojstava “simetričnih” figura: kvadrata, kocke, jednakostraničnog trokuta, kao i za dokazivanje konvergencije iterativnih procesa i izračunavanje nekih granica. Uloga nejednakosti također je važna u raznim pitanjima prirodnih znanosti i tehnologije.

Zadaci dokazivanja nejednakosti najteži su i najzanimljiviji od tradicionalnih. Dokazivanje nejednakosti zahtijeva istinsku domišljatost i kreativnost što matematiku čini uzbudljivim predmetom kakav jest.

Nastava dokazivanja ima veliku ulogu u razvoju deduktivno-matematičkog mišljenja i općih misaonih sposobnosti učenika. Kako naučiti školarce da samostalno dokazuju nejednakosti? Odgovor je: samo razmatranjem mnogih tehnika i metoda dokazivanja i njihovom redovitom primjenom.

Ideje koje se koriste za dokazivanje nejednakosti gotovo su jednako raznolike kao i same nejednakosti. U specifičnim situacijama, općenite metode često dovode do ružnih rješenja. Ali samo nekolicina školaraca uspijeva spojiti nekoliko "osnovnih" nejednakosti na neočit način. I, osim toga, ništa ne sprječava učenika da u svakom konkretnom slučaju traži bolje rješenje od onoga koje se dobiva općom metodom. Zbog toga se dokazivanje nejednakosti često prebacuje u područje umjetnosti. I kao u svakoj umjetnosti, i ovdje postoje tehničke tehnike čiji je raspon vrlo širok i vrlo ih je teško sve savladati, ali bi svaki učitelj trebao nastojati proširiti matematičke alate koji su mu dostupni.

Ovaj se modul preporučuje učenicima od 10. do 11. razreda. Ovdje se ne raspravlja o svim mogućim metodama za dokazivanje nejednakosti (nisu obuhvaćene metoda zamjene varijable, dokazivanje nejednakosti pomoću izvoda, metoda istraživanja i generalizacije te tehnika sređivanja). Možete ponuditi razmatranje drugih metoda u drugoj fazi (na primjer, u 11. razredu), ako ovaj modul tečaja pobudi interes među učenicima, a također i na temelju uspjeha u svladavanju prvog dijela tečaja.

		Jednadžbe i nejednadžbe s parametrom.
		Metode dokazivanja nejednakosti.
		Jednadžbe i nejednadžbe koje ispod predznaka modula sadrže nepoznanicu.
		Sustavi nejednadžbi s dvije varijable.

"Iza stranica udžbenika matematike"

"Metode dokazivanja nejednakosti"

		Uvod.
		Dokaz nejednakosti temeljen na definiciji.
		Metoda matematičke indukcije.
		Primjena klasičnih nejednakosti.
		Grafička metoda.
		Suprotna metoda.
		Tehnika za razmatranje nejednakosti s obzirom na jednu od varijabli.
		Ideja jačanja.
		Lekcija - kontrola.

Lekcija 1. Uvod.

Dokazivanje nejednakosti je fascinantna i izazovna tema u elementarnoj matematici. Odsutnost zajednički pristup na problem dokazivanja nejednakosti, dovodi do potrage za brojnim tehnikama prikladnim za dokazivanje nejednakosti određene vrste. Ovaj izborni predmet obuhvatit će sljedeće metode dokazi nejednakosti:

Ponavljanje:

Dokažite neka svojstva.

Klasične nejednakosti:

1)
(Cauchyjeva nejednakost)

2)

3)

4)

Povijesna referenca:

Nejednadžba (1) je nazvana po francuski matematičar Auguste Cauchy. Broj
nazvao aritmetička sredina brojevi a i b;

broj
nazvao geometrijska sredina brojevi a i b. Dakle, nejednakost znači da aritmetička sredina dvaju pozitivnih brojeva nije manja od njihove geometrijske sredine.

Dodatno:

Razmotrimo nekoliko matematičkih sofizama s nejednakostima.

Matematička sofistika- nevjerojatna izjava, čiji dokaz skriva neprimjetne i ponekad prilično suptilne pogreške.

Sofizmi su lažni rezultati dobiveni rasuđivanjem koji se samo čine točnima, ali nužno sadrže jednu ili drugu pogrešku.

Primjer:

Četiri je više od dvanaest

Lekcija 2. Dokaz nejednakosti temeljen na definiciji.

Suština ove metode je sljedeća: da bi se utvrdila valjanost nejednakosti F(x,y,z)>S(x,y,z) napravi se razlika F(x,y,z)-S( x,y,z) i dokažite da je pozitivan. Pomoću ove metode često se izdvaja kvadrat, kub zbroja ili razlike ili nepotpuni kvadrat zbroja ili razlike. Ovo pomaže u određivanju predznaka razlike.

Primjer. Dokažite nejednakost (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin 2x

Dokaz:

Razmotrimo razliku (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Dokažite nejednakost:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Lekcija 3. Metoda matematičke indukcije.

Pri dokazivanju nejednakosti koje uključuju cijeli brojevičesto posežu za metodom matematičke indukcije. Metoda je sljedeća:

1) provjeriti istinitost teorema za n=1;

2) pretpostavljamo da je teorem točan za neko n=k, te na temelju te pretpostavke dokazujemo istinitost teorema za n=k+1;

3) na temelju prva dva koraka i principa matematičke indukcije zaključujemo da je teorem točan za bilo koji n.

Primjer.

Dokaži nejednakost

Dokaz:

1) za n=2 vrijedi nejednakost:

2) Neka nejednakost vrijedi za n=k tj.
(*)

Dokažimo da nejednakost vrijedi za n=k+1, tj.
. Pomnožimo obje strane nejednakosti (*) sa
dobivamo 3) Iz točke 1. i točke 2 zaključujemo da nejednakost vrijedi za bilo koji n.

Zadatci za rad u razredu i kod kuće

Dokažite nejednakost:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

Lekcija4. Primjena klasičnih nejednakosti.

Bit ove metode je sljedeća: korištenjem niza transformacija, tražena nejednakost se izvodi pomoću nekih klasičnih nejednakosti.

Primjer.

Dokažite nejednakost:

Dokaz:

Kao referentnu nejednakost koristimo
.

Svedimo ovu nejednakost na sljedeći pogled:

, Zatim

Ali =
, Zatim

Dokažite nejednakost:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq (za dokaz se koristi nejednakost
)

2)
(za dokumente se koristi nejednakost)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (nejednakost se koristi za dokaz)

4)
(za dokument se koristi nejednakost).

Lekcija 5. Grafička metoda.

Dokaz nejednakosti grafička metoda je kako slijedi: ako dokažemo nejednakost f(x)>g(x)(f(x)

1) izgraditi grafove funkcija y=f(x) i y=g(x);

2) ako se graf funkcije y=f(x) nalazi iznad (ispod) grafa funkcije y=g(x), tada je nejednakost koja se dokazuje točna.

Primjer.

Dokažite nejednakost:

cosx
,x0

Dokaz:

Konstruirajmo grafove funkcija y=cosx i

Iz grafa je vidljivo da u točki x0 graf funkcije y=cosx leži iznad grafa funkcije y=.

Zadatci za rad u razredu i kod kuće.

Dokažite nejednakost:

1)

3)ln(1+x) 0

4)
.

5)

Lekcija 6. Suprotna metoda

Suština ove metode je sljedeća: neka je potrebno dokazati istinitost nejednakosti F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Oni pretpostavljaju suprotno, tj. da je za barem jedan skup varijabli istinita nejednakost F(x,y,z) S(x,y,z) (2). Koristeći svojstva nejednadžbi, izvode se transformacije nejednadžbe (2). Ako se kao rezultat ovih transformacija dobije lažna nejednakost, to znači da je pretpostavka da je nejednakost (2) istinita netočna, pa je stoga nejednakost (1) istinita.

Primjer.

Dokažite nejednakost:

Dokaz:

Pretpostavimo suprotno, tj.

Kvadratiramo obje strane nejednadžbe i dobijemo , iz čega
pa nadalje

. Ali to je u suprotnosti s Cauchyjevom nejednakošću. To znači da je naša pretpostavka netočna, odnosno da je nejednakost istinita

Zadatci za rad u razredu i kod kuće.

Dokažite nejednakost:

Lekcija 7. Tehnika za razmatranje nejednakosti s obzirom na jednu od varijabli.

Bit metode je razmatranje nejednadžbe i njezino rješenje s obzirom na jednu varijablu.

Primjer.

Dokažite nejednakost:

Primjer.

Dokažite nejednakost:

Dokaz:

Zadatci za rad u razredu i kod kuće.

Dokažite nejednakost:

1)

2)

3)

Lekcija9. Lekcija - kontrola znanja učenika.

Rad na ovom satu može se organizirati u parovima ili, ako je razred veći, u skupinama. Na kraju lekcije svaki učenik mora biti ocijenjen. Ovo je kreditni obrazac za ovaj tečaj. Ne preporučuje se provođenje testa na ovu temu jer dokaz nejednakosti, kao što je već spomenuto u objašnjenju, pripada području umjetnosti. Na početku se od učenika traži da odrede metodu dokazivanja predloženih nejednakosti. Ako učenici imaju poteškoća, nastavnik im govori racionalnu metodu, upozoravajući grupu da će to, naravno, utjecati na njihovu ocjenu.

metode dokaznejednakosti. Ovaj metodadokaznejednakosti uvođenjem pomoćnih funkcija...

Izborni kolegij matematika, nejednadžbe, metode dokazivanja

Izborni predmet

Nije poznato, drugačije metodedokaznejednakosti, kao i primjena nejednakosti nejednakosti pomoću metoda metoda Za dokaznejednakosti, za rješavanje problema...

Izborni kolegij iz matematike Nejednadžbe Metode dokazivanja Objašnjenje

Izborni predmet

Nije poznato, drugačije metodedokaznejednakosti, kao i primjena nejednakosti pri rješavanju problema raznih... Biti sposoban: provesti ocjenjivanje nejednakosti pomoću metoda Sturm, primjena u obzir metoda Za dokaznejednakosti, za rješavanje problema...

Izborni kolegij iz matematike Nejednadžbe Metode dokazivanja Objašnjenje (1)

Izborni predmet

Nije poznato, drugačije metodedokaznejednakosti, kao i primjena nejednakosti pri rješavanju problema raznih... Biti sposoban: provesti ocjenjivanje nejednakosti pomoću metoda Sturm, primjena u obzir metoda Za dokaznejednakosti, za rješavanje problema...