Algoritam određenog integralnog rješenja. Rješavanje određenog integrala na mreži

Određeni integral. Primjeri rješenja

Bok opet. U ovoj lekciji ćemo detaljno analizirati tako divnu stvar kao što je određeni integral. Ovaj put uvod će biti kratak. Sve. Jer snježna mećava ispred prozora.

Da biste naučili rješavati određene integrale, trebate:

1) biti sposoban pronaći neodređeni integrali.

2) biti sposoban izračunati određeni integral.

Kao što vidite, da biste svladali definitivni integral, morate biti prilično dobro upućeni u "obične" neodređene integrale. Stoga, ako tek počinjete roniti u integralni račun, a kuhalo za vodu još uopće nije zakuhalo, onda je bolje početi s lekcijom Neodređeni integral. Primjeri rješenja. Osim toga, postoje pdf tečajevi za ultrabrzi trening- ako vam je ostalo doslovno dan, pola dana.

Općenito, definitivni integral se piše kao:

Što je dodano u usporedbi s neodređenim integralom? dodano granice integracije.

Donja granica integracije
Gornja granica integracije standardno označeno slovom .
Segment se zove segment integracije.

Prije nego što prijeđemo na praktične primjere, mala česta pitanja o određenom integralu.

Što znači riješiti određeni integral? Rješavanje određenog integrala znači pronalaženje broja.

Kako riješiti određeni integral? Uz pomoć Newton-Leibnizove formule poznate iz škole:

Bolje je prepisati formulu na poseban komad papira, ona bi trebala biti pred vašim očima tijekom cijele lekcije.

Koraci za rješavanje određenog integrala su sljedeći:

1) Prvo nalazimo antiderivativnu funkciju (neodređeni integral). Imajte na umu da je konstanta u određenom integralu nije dodano. Oznaka je čisto tehnička, a okomiti štap nema nikakvo matematičko značenje, zapravo je samo precrtano. Zašto je zapisnik potreban? Priprema za primjenu Newton-Leibnizove formule.

2) Vrijednost gornje granice zamjenjujemo u antiderivacijskoj funkciji: .

3) Vrijednost donje granice zamjenjujemo u antiderivativnu funkciju: .

4) Izračunavamo (bez pogrešaka!) razliku, odnosno nalazimo broj.

Postoji li uvijek određeni integral? Ne ne uvijek.

Na primjer, integral ne postoji jer interval integracije nije uključen u domenu integranda (vrijednosti ispod kvadratnog korijena ne mogu biti negativne). Evo manje očitog primjera: . Ovdje, na intervalu integracije tangens podnosi beskrajne pauze u točkama , , i stoga takav određeni integral također ne postoji. Inače, tko još nije pročitao metodičko gradivo Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija- Sada je vrijeme za to. Bit će sjajno pomoći tijekom tečaja više matematike.

Za da bi određeni integral uopće postojao, dovoljno je da integrand bude kontinuiran na intervalu integracije.

Iz navedenog slijedi prva važna preporuka: prije nego što nastavite s rješavanjem BILO KOGA određenog integrala, morate se uvjeriti da je integrand kontinuirano na intervalu integracije. Kao student, više puta sam imao incident kada sam dugo patio od pronalaženja teškog primitivca, a kada sam ga konačno pronašao, zapitao sam se još jedno pitanje: “Kakva je to glupost ispala?”. U pojednostavljenoj verziji, situacija izgleda otprilike ovako:

???! Ne možete zamijeniti negativne brojeve ispod korijena! Što dovraga?! početna nepažnja.

Ako vam se za rješenje (u testu, na testu, ispitu) ponudi integral poput ili , tada trebate dati odgovor da taj određeni integral ne postoji i obrazložiti zašto.

! Bilješka : u potonjem slučaju ne može se izostaviti riječ "izvjesni", jer integral s točkastim diskontinuitetima dijeli se na nekoliko, u ovom slučaju na 3 nepravilna integrala, a formulacija “taj integral ne postoji” postaje netočna.

Može li određeni integral biti jednak negativnom broju? Može biti. I negativan broj. I nula. Možda se i pokaže da je beskonačnost, ali već će biti nepravilan integral, kojemu se održava zasebno predavanje.

Može li donja granica integracije biti veća od gornje granice integracije? Možda se takva situacija zapravo događa u praksi.

- integral se mirno izračunava pomoću Newton-Leibnizove formule.

Bez čega viša matematika ne ide? Naravno, bez svakojakih svojstava. Stoga razmatramo neka svojstva određenog integrala.

U određenom integralu možete preurediti gornju i donju granicu, dok mijenjate predznak:

Na primjer, u određenom integralu prije integracije, preporučljivo je promijeniti granice integracije u "uobičajeni" redoslijed:

- u ovom obliku integracija je mnogo prikladnija.

- to vrijedi ne samo za dvije, već i za bilo koji broj funkcija.

U određenom integralu, može se izvesti promjena integracijske varijable, međutim, u usporedbi s neodređenim integralom, to ima svoje specifičnosti, o kojima ćemo govoriti kasnije.

Za određeni integral, formula za integraciju po dijelovima:

Primjer 1

Odluka:

(1) Konstantu vadimo iz predznaka integrala.

(2) Integriramo preko tablice koristeći najpopularniju formulu . Preporučljivo je odvojiti pojavnu konstantu od i izbaciti je iz zagrade. To nije potrebno učiniti, ali je poželjno - čemu dodatni izračuni?

. Prvo zamjenjujemo gornju granicu, a zatim donju granicu. Provodimo daljnje izračune i dobivamo konačan odgovor.

Primjer 2

Izračunaj određeni integral

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Hajdemo malo otežati:

Primjer 3

Izračunaj određeni integral

Odluka:

(1) Koristimo svojstva linearnosti određenog integrala.

(2) Integriramo preko tablice, pri čemu izvlačimo sve konstante - one neće sudjelovati u zamjeni gornje i donje granice.

(3) Za svaki od tri pojma primjenjujemo Newton-Leibnizovu formulu:

SLABA KARIKA u određenom integralu su pogreške u proračunu i uobičajena ZBUNA ZNAKA. Budi oprezan! Fokusiram se na treći mandat: - prvo mjesto u hit paradi grešaka zbog nepažnje, vrlo često pišu automatski (osobito kada se zamjena gornje i donje granice provodi usmeno i nije tako detaljno potpisana). Još jednom pažljivo proučite gornji primjer.

Valja napomenuti da razmatrana metoda rješavanja određenog integrala nije jedina. Uz malo iskustva, rješenje se može značajno smanjiti. Na primjer, i ja sam rješavao takve integrale ovako:

Ovdje sam verbalno koristio pravila linearnosti, usmeno integrirana preko stola. Na kraju sam dobio samo jednu zagradu s navedenim granicama: (za razliku od tri zagrade u prvoj metodi). A u "cjelini" antiderivativnoj funkciji prvo sam zamijenio prvo 4, pa -2, opet radeći sve radnje u mislima.

Koji su nedostaci metode kratkog rješenja? Ovdje sve nije baš dobro s gledišta racionalnosti izračuna, ali osobno me nije briga - brojim obične razlomke na kalkulatoru.
Osim toga, povećana je opasnost od pogreške u izračunima, pa je za studenta lutke bolje koristiti prvu metodu, s metodom “moje” rješenje znak će se sigurno negdje izgubiti.

Međutim, nedvojbene prednosti druge metode su brzina rješenja, kompaktnost zapisa i činjenica da je antiderivat u jednoj zagradi.

Savjet: prije korištenja Newton-Leibnizove formule, korisno je provjeriti: je li sam antideritiv ispravno pronađen?

Dakle, u odnosu na razmatrani primjer: prije zamjene gornje i donje granice u antiderivativnu funkciju, preporučljivo je na nacrtu provjeriti je li neodređeni integral uopće ispravno pronađen? Razlikovati:

Dobiven je izvorni integrand, što znači da je neodređeni integral točno pronađen. Sada možete primijeniti Newton-Leibnizovu formulu.

Takva provjera neće biti suvišna pri izračunavanju nekog određenog integrala.

Primjer 4

Izračunaj određeni integral

Ovo je primjer za samostalno rješavanje. Pokušajte to riješiti na kratak i detaljan način.

Promjena varijable u određenom integralu

Za određeni integral vrijede sve vrste supstitucija, kao i za neodređeni integral. Stoga, ako niste baš dobri u zamjenama, trebali biste pažljivo pročitati lekciju. Metoda zamjene u neodređenom integralu.

U ovom odlomku nema ništa strašno ili komplicirano. Novost je u pitanju kako promijeniti granice integracije pri zamjeni.

U primjerima ću pokušati dati takve vrste zamjena koje još nisu viđene nigdje na stranici.

Primjer 5

Izračunaj određeni integral

Glavno pitanje ovdje uopće nije u određenom integralu, već kako ispravno izvršiti zamjenu. Gledamo unutra integralna tablica i shvatimo kako izgleda naš integrand? Očito, na dugom logaritmu: . Ali postoji jedna nedosljednost, u tabličnom integralu ispod korijena, a u našem - "x" do četvrtog stupnja. Ideja zamjene proizlazi iz obrazloženja - bilo bi lijepo našu četvrtu moć nekako pretvoriti u kvadrat. Ovo je stvarno.

Prvo pripremamo naš integral za zamjenu:

Iz gore navedenih razmatranja, zamjena se prirodno nameće:
Tako će sve biti u redu u nazivniku: .
Saznajemo u što će se pretvoriti ostatak integranda, za to nalazimo diferencijal:

U usporedbi sa zamjenom u neodređenom integralu, dodajemo dodatni korak.

Pronalaženje novih granica integracije.

Dovoljno je jednostavno. Gledamo našu zamjenu i stare granice integracije, .

Prvo zamjenjujemo donju granicu integracije, odnosno nulu, u zamjenski izraz:

Zatim zamjenjujemo gornju granicu integracije u zamjenski izraz, odnosno korijen od tri:

Spreman. I samo nešto…

Nastavimo s rješenjem.

(1) Prema zamjeni napisati novi integral s novim granicama integracije.

(2) Ovo je najjednostavniji tablični integral, integriramo ga preko tablice. Bolje je ostaviti konstantu izvan zagrada (to ne možete učiniti) kako se ne bi miješala u daljnje izračune. S desne strane povlačimo crtu koja označava nove granice integracije - to je priprema za primjenu Newton-Leibnizove formule.

(3) Koristimo Newton-Leibnizovu formulu .

Nastojimo napisati odgovor u najkompaktnijem obliku, ovdje sam koristio svojstva logaritma.

Druga razlika od neodređenog integrala je da, nakon što smo izvršili zamjenu, nisu potrebne zamjene.

A sada par primjera za samostalnu odluku. Koje zamjene provesti - pokušajte sami pogoditi.

Primjer 6

Izračunaj određeni integral

Primjer 7

Izračunaj određeni integral

Ovo su primjeri samopomoći. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

I na kraju odlomka, nekoliko važnih točaka, čija se analiza pojavila zahvaljujući posjetiteljima stranice. Prvi se tiče legitimnost zamjene. U nekim slučajevima to se ne može učiniti! Dakle, čini se da je primjer 6 rješiv univerzalna trigonometrijska zamjena, ali gornja granica integracije ("pi") nije uključeno u domena ova tangenta i stoga je ova zamjena nezakonita! Tako, funkcija "zamjene" mora biti kontinuirana u svemu točke segmenta integracije.

U drugom e-mailu stiglo je sljedeće pitanje: “Trebamo li promijeniti granice integracije kada funkciju dovedemo pod predznak diferencijala?”. Isprva sam želio “odbaciti gluposti” i automatski odgovoriti “naravno da ne”, ali onda sam razmislio o razlogu takvog pitanja i odjednom otkrio da je informacija nedostaci. Ali to je, iako očito, ali vrlo važno:

Ako funkciju dovedemo pod znak diferencijala, onda nema potrebe mijenjati granice integracije! Zašto? Jer u ovom slučaju nema stvarnog prijelaza na novu varijablu. Na primjer:

I ovdje je zbrajanje mnogo prikladnije od akademske zamjene s naknadnim "oslikavanjem" novih granica integracije. Tako, ako određeni integral nije jako kompliciran, onda uvijek pokušajte funkciju dovesti pod znak diferencijala! Brži je, kompaktniji je i uobičajen je – kao što ćete vidjeti desetke puta!

Hvala vam puno na vašim pismima!

Metoda integracije po dijelovima u određenom integralu

Ovdje ima još manje noviteta. Sve objave članka Integracija po dijelovima u neodređenom integralu u potpunosti vrijede i za određeni integral.
Osim toga, postoji samo jedan detalj, u formuli za integraciju po dijelovima, dodane su granice integracije:

Newton-Leibnizova formula se ovdje mora primijeniti dvaput: za proizvod i, nakon što uzmemo integral.

Na primjer, opet sam odabrao vrstu integrala koju nisam vidio nigdje drugdje na stranici. Primjer nije najlakši, ali vrlo, vrlo informativan.

Primjer 8

Izračunaj određeni integral

Mi odlučujemo.

Integracija po dijelovima:

Tko je imao poteškoća s integralom, pogledajte lekciju Integrali trigonometrijskih funkcija, gdje se o tome detaljno govori.

(1) Rješenje zapisujemo u skladu s formulom za integraciju po dijelovima.

(2) Za proizvod koristimo Newton-Leibnizovu formulu. Za preostali integral koristimo svojstva linearnosti, dijeleći ga na dva integrala. Nemojte da vas zbune znakovi!

(4) Za dva pronađena antiderivata primjenjujemo Newton-Leibnizovu formulu.

Da budem iskren, ne sviđa mi se formula i, ako je moguće, ... uopće bez toga! Razmotrite drugi način rješavanja, s moje točke gledišta on je racionalniji.

Izračunaj određeni integral

U prvom koraku nalazim neodređeni integral:

Integracija po dijelovima:

Pronađena je antiderivativna funkcija. U ovom slučaju nema smisla dodavati konstantu.

Koja je prednost takvog putovanja? Nema potrebe "vući" granice integracije, dapače, možete se namučiti desetak puta ispisivanjem malih ikona granica integracije

U drugom koraku provjeravam(obično na nacrtu).

Također je logično. Ako sam krivo pronašao antiderivativnu funkciju, krivo ću riješiti i definitivni integral. Bolje je odmah saznati, razdvojimo odgovor:

Dobiven je izvorni integrand, što znači da je antiderivativna funkcija točno pronađena.

Treća faza je primjena Newton-Leibnizove formule:

I tu je značajna korist! U “mojem” načinu rješavanja, mnogo je manji rizik od zabune u zamjenama i izračunima - Newton-Leibnizova formula se primjenjuje samo jednom. Ako kotlić riješi sličan integral pomoću formule (prvi način), onda će stopudovo negdje pogriješiti.

Razmatrani algoritam rješenja može se primijeniti na bilo koji određeni integral.

Dragi studenti, ispiši i spremi:

Što učiniti ako je zadan određeni integral koji se čini kompliciranim ili nije odmah jasno kako ga riješiti?

1) Prvo nalazimo neodređeni integral (antiderivativna funkcija). Ako je u prvoj fazi bilo nevolje, besmisleno je ljuljati čamac s Newtonom i Leibnizom. Postoji samo jedan način - povećati svoju razinu znanja i vještina u rješavanju neodređeni integrali.

2) Pronađenu antiderivativnu funkciju provjeravamo diferencijacijom. Ako se pronađe pogrešno, treći korak bit će gubljenje vremena.

3) Koristimo Newton-Leibnizovu formulu. Sve izračune provodimo IZUZETNO PAŽLJIVO - ovdje je najslabija karika u zadatku.

I, za međuobrok, sastavni dio za samostalno rješenje.

Primjer 9

Izračunaj određeni integral

Rješenje i odgovor su negdje u blizini.

Sljedeći preporučeni vodič na tu temu je − Kako izračunati površinu figure pomoću određenog integrala?
Integracija po dijelovima:

Jeste li ih definitivno riješili i dobili takve odgovore? ;-) A ima i pornića o starici.

Da biste naučili rješavati određene integrale, trebate:

1) biti sposoban pronaći neodređeni integrali.

2) biti sposoban izračunati određeni integral.

Općenito, definitivni integral se piše kao:

Što je dodano u usporedbi s neodređenim integralom? dodano granice integracije.

Donja granica integracije
Gornja granica integracije standardno označeno slovom .
Segment se zove segment integracije.

Prije nego što prijeđemo na praktične primjere, malo se "zajebajte" s određenim integralom.

Što je određeni integral? Mogao bih vam reći o promjeru podjele segmenta, granici integralnih zbroja itd., ali lekcija je praktične prirode. Stoga ću reći da je određeni integral BROJ. Da, da, najčešći broj.

Ima li određeni integral geometrijsko značenje? Tamo je. I jako dobro. Najpopularniji zadatak izračunavanje površine pomoću određenog integrala.

Što znači riješiti određeni integral? Rješavanje određenog integrala znači pronalaženje broja.

Kako riješiti određeni integral? Uz pomoć Newton-Leibnizove formule poznate iz škole:

Bolje je prepisati formulu na poseban komad papira, ona bi trebala biti pred vašim očima tijekom cijele lekcije.

Koraci za rješavanje određenog integrala su sljedeći:

1) Prvo nalazimo antiderivativnu funkciju (neodređeni integral). Imajte na umu da je konstanta u određenom integralu nikad dodano. Oznaka je čisto tehnička, a okomiti štap nema nikakvo matematičko značenje, zapravo je samo precrtano. Zašto je zapisnik potreban? Priprema za primjenu Newton-Leibnizove formule.

2) Vrijednost gornje granice zamjenjujemo u antiderivacijskoj funkciji: .

3) Vrijednost donje granice zamjenjujemo u antiderivativnu funkciju: .

4) Izračunavamo (bez pogrešaka!) razliku, odnosno nalazimo broj.

Postoji li uvijek određeni integral? Ne ne uvijek.

Na primjer, integral ne postoji jer interval integracije nije uključen u domenu integranda (vrijednosti ispod kvadratnog korijena ne mogu biti negativne). Evo manje očitog primjera: . Takav integral također ne postoji, budući da u točkama segmenta nema tangente. Inače, tko još nije pročitao metodičko gradivo Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija- Sada je vrijeme za to. Bit će sjajno pomoći tijekom tečaja više matematike.

Da bi određeni integral uopće postojao, potrebno je da integrand bude kontinuiran na intervalu integracije.

???!!!

Ne možete zamijeniti negativne brojeve ispod korijena!

Ako vam se za rješenje (u testu, u testu, ispitu) ponudi nepostojeći integral kao

tada trebate dati odgovor da integral ne postoji i obrazložiti zašto.

Može li donja granica integracije biti veća od gornje granice integracije? Možda se takva situacija zapravo događa u praksi.

- integral se mirno izračunava pomoću Newton-Leibnizove formule.

Bez čega viša matematika ne ide? Naravno, bez svakojakih svojstava. Stoga razmatramo neka svojstva određenog integrala.

U određenom integralu možete preurediti gornju i donju granicu, mijenjajući predznak:

Na primjer, u određenom integralu prije integracije, preporučljivo je promijeniti granice integracije u "uobičajeni" redoslijed:

- u ovom obliku integracija je mnogo prikladnija.

Što se tiče neodređenog integrala, svojstva linearnosti vrijede za određeni integral:

- to vrijedi ne samo za dvije, već i za bilo koji broj funkcija.

U određenom integralu, može se izvesti promjena integracijske varijable, međutim, u usporedbi s neodređenim integralom, to ima svoje specifičnosti, o kojima ćemo govoriti kasnije.

Za određeni integral, formula za integraciju po dijelovima:

Primjer 1

Odluka:

(1) Konstantu vadimo iz predznaka integrala.

(3) Koristimo Newton-Leibnizovu formulu

Prvo zamjenjujemo gornju granicu, a zatim donju granicu. Provodimo daljnje izračune i dobivamo konačan odgovor.

Primjer 2

Izračunaj određeni integral

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Hajdemo malo otežati:

Primjer 3

Izračunaj određeni integral

Odluka:

(1) Koristimo svojstva linearnosti određenog integrala.

(2) Integriramo preko tablice, pri čemu izvlačimo sve konstante - one neće sudjelovati u zamjeni gornje i donje granice.

- prvo mjesto u hit paradi grešaka zbog nepažnje, vrlo često pišu automatski

(osobito kada se zamjena gornje i donje granice provodi usmeno i nije tako detaljno potpisana). Još jednom pažljivo proučite gornji primjer.

Valja napomenuti da razmatrana metoda rješavanja određenog integrala nije jedina. Uz malo iskustva, rješenje se može značajno smanjiti. Na primjer, i ja sam rješavao takve integrale ovako:

Ovdje sam verbalno koristio pravila linearnosti, usmeno integrirana preko stola. Na kraju sam dobio samo jednu zagradu s navedenim granicama:

(za razliku od tri zagrade u prvoj metodi). A u "cjelini" antiderivativnoj funkciji prvo sam zamijenio prvo 4, pa -2, opet radeći sve radnje u mislima.

Nedvojbene prednosti druge metode su brzina rješenja, kompaktnost zapisa i činjenica da antiderivat

je u jednoj zagradi.

Proces rješavanja integrala u znanosti pod nazivom "matematika" naziva se integracija. Uz pomoć integracije možete pronaći neke fizičke veličine: površinu, volumen, masu tijela i još mnogo toga.

Integrali su neodređeni i određeni. Razmotrite oblik određenog integrala i pokušajte razumjeti njegovo fizičko značenje. Izgleda kako slijedi: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Posebnost pisanja određenog integrala od neodređenog je da postoje granice integracije a i b. Sada ćemo saznati čemu služe i što znači određeni integral. U geometrijskom smislu, takav integral jednak je površini lika omeđenom krivuljom f(x), linijama a i b, te osi Ox.

Iz slike 1 se može vidjeti da je definitivni integral upravo ono područje koje je zasjenjeno sivom bojom. Provjerimo to na jednostavnom primjeru. Pronađimo površinu figure na donjoj slici pomoću integracije, a zatim je izračunajmo na uobičajen način množenjem duljine sa širinom.

Slika 2 pokazuje da je $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sada ih zamjenjujemo u definiciju integrala, dobivamo da je $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(jedinica)^2 $$ Provjerimo na uobičajen način. U našem slučaju, duljina = 3, širina oblika = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(jedinica)^2 $$ Kao što vidite, sve se savršeno poklopilo.

Postavlja se pitanje: kako riješiti neodređene integrale i koje je njihovo značenje? Rješenje takvih integrala je nalaz antiderivacijskih funkcija. Ovaj proces je suprotan od pronalaženja derivacije. Da biste pronašli antiderivativ, možete koristiti našu pomoć u rješavanju zadataka iz matematike ili morate samostalno zapamtiti svojstva integrala i integracijsku tablicu najjednostavnijih elementarnih funkcija. Pronalaženje izgleda ovako $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(gdje) je F(x) $ antiderivat od $ f(x), C = const $.

Da biste riješili integral, trebate integrirati funkciju $ f(x) $ s obzirom na varijablu. Ako je funkcija tabelarna, onda je odgovor napisan u odgovarajućem obliku. Ako ne, onda se proces svodi na dobivanje tablične funkcije iz funkcije $ f(x) $ lukavim matematičkim transformacijama. Za to postoje različite metode i svojstva o kojima ćemo govoriti u nastavku.

Dakle, napravimo algoritam kako riješiti integrale za lutke?

Algoritam za izračunavanje integrala

Odredite definitivni integral ili ne.
Ako je nedefinirana, tada trebate pronaći antiderivativnu funkciju $ F(x) $ integranda $ f(x) $ koristeći matematičke transformacije koje dovode funkciju $ f(x) $ u tablični oblik.
Ako je definiran, tada se mora izvesti korak 2, a zatim zamijeniti granice $a$ i $b$ u antiderivativnu funkciju $F(x)$. Po kojoj formuli to učiniti, naučit ćete u članku "Formula Newtona Leibniza".

Primjeri rješenja

Dakle, naučili ste rješavati integrale za lutke, primjeri rješavanja integrala posloženi su na policama. Naučili su njihovo fizičko i geometrijsko značenje. Metode rješenja bit će obrađene u drugim člancima.

Primjeri izračunavanja neodređenih integrala

Tablica Integralni proračun

Integracija zamjene:

Primjeri izračunavanja integrala

Newton–Leibnizova osnovna formula

Proračuni zamjene

Poglavlje 4 Diferencijalne jednadžbe.

diferencijalna jednadžba naziva se jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu x , željenu funkciju na i njegove derivate ili diferencijale.

Simbolično diferencirana jednadžba se piše na sljedeći način:

Diferencijalna jednadžba se zove obični ako željena funkcija ovisi o jednoj nezavisnoj varijabli.

narudžba diferencijalna jednadžba naziva se red najviše derivacije (ili diferencijala) koji je uključen u ovu jednadžbu.

Odluka(ili sastavni) diferencijalne jednadžbe je funkcija koja ovu jednadžbu pretvara u identitet.

Opće rješenje(ili zajednički integral) diferencijalne jednadžbe je rješenje koje uključuje onoliko neovisnih proizvoljnih konstanti koliko je redoslijed jednadžbe. Dakle, opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda sadrži jednu proizvoljnu konstantu.

Privatna odluka Diferencijalna jednadžba je rješenje dobiveno iz općeg za različite numeričke vrijednosti proizvoljnih konstanti. Vrijednosti proizvoljnih konstanti nalaze se na određenim početnim vrijednostima argumenta i funkcije.

Zove se graf pojedinog rješenja diferencijalne jednadžbe integralna krivulja.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe odgovara skupu (obitelji) svih integralnih krivulja.

Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se jednadžba koja uključuje derivacije (ili diferencijale) ne veće od prvog reda.

Diferencijalna jednadžba s odvojivim varijablama naziva se jednadžba oblika

Da biste riješili ovu jednadžbu, prvo morate odvojiti varijable:

a zatim integrirati oba dijela rezultirajuće jednakosti:

1. Pronađite opće rješenje jednadžbe

o Dijeljenjem varijabli imamo

Integriranje oba dijela rezultirajuće jednadžbe:

Budući da je proizvoljna konstanta S može uzeti bilo koje numeričke vrijednosti, a zatim radi pogodnosti daljnjih transformacija umjesto C napisali smo (1/2) ln C. Potencirajući posljednju jednakost, dobivamo

Ovo je opće rješenje ove jednadžbe.

Književnost

V. G. Boltyansky, Što je diferencijacija, "Popularna predavanja o matematici",

Broj 17, Gostekhizdat 1955, 64 str.

V. A. Gusev, A. G. Mordkovich "Matematika"

G. M. Fikhtengolts "Tečaj diferencijalnog i integralnog računa", svezak 1

V. M. Borodikhin, Viša matematika, udžbenik. priručnik, ISBN 5-7782-0422-1.

Nikolsky SM Poglavlje 9. Riemannov definitivni integral // Course of Mathematical Analysis. - 1990. - T. 1.

Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Poglavlje 6. Neodređeni integral // Fundamentals of Mathematical Analysis. - 1998. - V. 1. - (Kolegij više matematike i matematičke fizike).

Demidovich B.P. Odjel 3. Neodređeni integral // Zbirka zadataka i vježbi iz matematičke analize. - 1990. - (Kolegij više matematike i matematičke fizike).

Valutse I.I., Diligul G.D. Matematika za tehničke škole na bazi srednje škole: Udžbenik-2. izd.rev. i dodatni M.6 Znanost. 1989

Koljagin Yu.M. Yakovlev G.N. matematike za tehničke škole. Algebra i počeci analize 1. i 2. dio. Izdavačka kuća "Naukka" M., 1981.

Ščipačev V.S. Zadaci iz više matematike: Proc. Doplatak za sveučilišta. Viša Škola 1997

Bogomolov N.V. Praktična nastava iz matematike: udžbenik. Doplatak za tehničke škole. Viša Školska 1997