Elementi niza točaka monotono rastu u vrijednosti. Weierstrassov teorem o limitu monotonog niza

Weierstrassov teorem o limitu monotonog niza

Bilo koji monotoni ograničeni niz ( x n ) ima konačnu granicu jednaku točnoj gornjoj granici, sup ( x n ) za neopadajuću i točnu donju granicu, inf ( x n ) za nerastući niz.
Svaki monotoni neograničeni niz ima beskonačnu granicu jednaku plus beskonačnosti za neopadajući niz i minus beskonačnosti za nerastući niz.

Dokaz

1) neopadajući ograničeni niz.

(1.1) .

Budući da je niz ograničen, ima točnu gornju granicu
.
To znači da:

• za sve n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Ovdje smo također koristili (1.3). Kombinirajući s (1.2), nalazimo:
u .
Od tad
,
ili
u .
Prvi dio teorema je dokazan.

2) Sada neka bude redoslijed nerastući ograničeni niz:
(2.1) za sve n.

Budući da je niz ograničen, ima točnu donju granicu
.
To znači sljedeće:

• za sve n vrijede sljedeće nejednakosti:
  (2.2) ;
• za bilo koji pozitivan broj , postoji broj koji ovisi o ε za koji
  (2.3) .

.
Ovdje smo također koristili (2.3). Uzimajući u obzir (2.2), nalazimo:
u .
Od tad
,
ili
u .
To znači da je broj granica niza.
Drugi dio teorema je dokazan.

Sada razmotrite neograničene nizove.
3) Neka slijed bude neograničeni neopadajući niz.

Budući da je niz neopadajući, za sve n vrijede sljedeće nejednakosti:
(3.1) .

Budući da je niz neopadajući i neomeđen, neomeđen je s desne strane. Tada za bilo koji broj M postoji broj ovisan o M za koji
(3.2) .

Pošto je niz neopadajući, tada za imamo:
.
Ovdje smo također koristili (3.2).

.
To znači da je granica niza plus beskonačno:
.
Treći dio teorema je dokazan.

4) Na kraju, razmotrite slučaj kada neograničeni nerastući niz.

Kao i gore, budući da niz nije rastući, onda
(4.1) za sve n.

Budući da je niz nerastući i neomeđen, on je neomeđen na lijevoj strani. Tada za bilo koji broj M postoji broj ovisan o M za koji
(4.2) .

Pošto je niz nerastući, tada za imamo:
.

Dakle, za svaki broj M postoji prirodan broj koji ovisi o M, tako da za sve brojeve vrijede sljedeće nejednakosti:
.
To znači da je granica niza minus beskonačnost:
.
Teorem je dokazan.

Primjer rješenja problema

Koristeći Weierstrassov teorem dokažite konvergenciju niza:
, , . . . , , . . .
Zatim pronađite njegovu granicu.

Predstavimo niz u obliku rekurentnih formula:
,
.

Dokažimo da je zadani niz omeđen odozgo vrijednošću
(P1) .
Dokaz se provodi metodom matematičke indukcije.
.
Neka . Zatim
.
Nejednakost (A1) je dokazana.

Dokažimo da je niz monotono rastući.
;
(P2) .
Budući da je , tada su nazivnik razlomka i prvi faktor u brojniku pozitivni. Budući da su članovi niza ograničeni nejednakošću (P1), drugi faktor je također pozitivan. Zato
.
To jest, slijed se strogo povećava.

Budući da je niz rastući i ograničen odozgo, on je ograničen niz. Stoga, prema Weierstrassovom teoremu, ima granicu.

Pronađimo ovu granicu. Označimo to sa:
.
Iskoristimo što
.
Ovo primjenjujemo na (P2) koristeći aritmetička svojstva limita konvergentnih nizova:
.
Korijen zadovoljava uvjet.

Definicija 1. Niz se zove opadajući (nerastući ) ako za sve
nejednakost
.

Definicija 2. Dosljednost
nazvao povećavajući se (neopadajući ) ako za sve
nejednakost
.

Definicija 3. Zovu se padajući, nerastući, rastući i neopadajući nizovi monoton nazivaju se i nizovi, opadajući i rastući nizovi strogo monotono sekvence.

Očito, neopadajući niz je ograničen odozdo, a nerastući niz je ograničen odozgo. Stoga je svaki monotoni niz očito omeđen s jedne strane.

Primjer 1. Dosljednost
povećanje, a ne smanjenje
smanjuje se
ne povećava
je nemonoton niz.

Za monotone nizove, sljedeće igra važnu ulogu.

Teorema 1. Ako je neopadajući (nerastući) niz omeđen odozgo (odozdo), tada on konvergira.

Dokaz. Neka slijed
ne smanjuje i ograničen je odozgo, tj.
i mnogi
ograničeno odozgo. Prema teoremu 1 iz § 2, postoji
. Dokažimo to
.

Idemo uzeti
proizvoljno. Jer a je točna gornja granica, postoji broj N takav da
. Budući da je niz neopadajući, za sve
imamo, tj.
, zato
za sve
, a ovo znači to
.

Za nerastući niz ograničen odozdo, dokaz je sličan ( ovu tvrdnju učenici mogu dokazati sami kod kuće). Teorem je dokazan.

Komentar. Teorem 1 može se drugačije formulirati.

Teorema 2. Da bi monotoni niz konvergirao, potrebno je i dovoljno da bude ograničen.

Dostatnost je utvrđena u teoremu 1, nužnost - u teoremu 2 § 5.

Uvjet monotonosti nije neophodan da niz konvergira, budući da konvergentni niz ne mora biti monoton. Na primjer, niz
nije monoton, već konvergira nuli.

Posljedica. Ako slijed
raste (smanjuje) i omeđuje se odozgo (odozdo), zatim
(
).

Doista, prema teoremu 1
(
).

Definicija 4. Ako i
na
, tada se niz poziva sustav ugovaranja ugniježđenih segmenata .

Teorema 3 (princip ugniježđenih segmenata). Svaki skupni sustav ugniježđenih segmenata ima jednu točku S, koji pripada svim segmentima ovog sustava.

Dokaz. Dokažimo da je poanta S postoji. Jer
, onda
a time i slijed
ne smanjuje, nego niz
ne povećava. pri čemu
i
ograničen jer. Tada prema teoremu 1 postoje
i
, ali od
, onda
=
. Pronađena točka S pripada svim segmentima sustava, jer prema korolariji iz teoreme 1
,
, tj.
za sve vrijednosti n.

Pokažimo sada da je točka S- jedini. Pretpostavimo da postoje dvije takve točke: S i d i neka za određenost
. Zatim segment
pripada svim segmentima
, tj.
za sve n, što je nemoguće jer
i stoga, počevši od nekog broja,
. Teorem je dokazan.

Imajte na umu da je ovdje bitno uzeti u obzir zatvorene intervale, tj. segmentima. Ako razmatramo sustav kontrakcijskih intervala, onda je načelo, općenito govoreći, netočno. Na primjer, intervali
očito skupiti do točke
, ali točka
ne pripada nijednom intervalu ovog sustava.

Razmotrimo sada primjere konvergentnih monotonih nizova.

1) Broj e.

Razmotrite sada redoslijed
. Kako se ona ponaša? Baza

stupanj
, zato
? S druge strane,
, a
, zato
? Ili nema ograničenja?

Da bismo odgovorili na ova pitanja, razmotrimo pomoćni niz
. Dokažimo da je padajuća i ograničena odozdo. U isto vrijeme, trebat će nam

Lema. Ako a
, zatim za sve prirodne vrijednosti n imamo

(Bernoullijeva nejednakost).

Dokaz. Poslužimo se metodom matematičke indukcije.

Ako a
, onda
, tj. nejednakost je istinita.

Pretpostavimo da je to istina za
i dokazati njegovu valjanost za
+1.

Pravo
. Pomnožimo ovu nejednakost s
:

Na ovaj način, . Dakle, prema principu matematičke indukcije, Bernoullijeva nejednakost vrijedi za sve prirodne vrijednosti n. Lema je dokazana.

Pokažimo da niz
smanjuje se. Imamo

Bernoullijeva nejednakost
, što znači da je niz
smanjuje se.

Ograničenost odozdo slijedi iz nejednakosti
Bernoullijeva nejednakost
za sve prirodne vrijednosti n.

Prema teoremu 1, postoji
, što je označeno slovom e. Zato
.

Broj e iracionalno i transcendentno, e= 2,718281828… . Poznato je da je baza prirodnih logaritama.

Opaske. 1) Bernoullijeva nejednakost može se upotrijebiti da se to dokaže
na
. Doista, ako
, onda
. Zatim, Bernoullijevom nejednakošću, za
. Odavde u
imamo
, to je
na
.

2) U gornjem primjeru, baza diplome teži 1, a eksponent n- za , odnosno postoji nesigurnost oblika . Neizvjesnost ove vrste, kao što smo pokazali, otkriva se izvanrednom granicom
.

2)
(*)

Dokažimo da ovaj niz konvergira. Da bismo to učinili, pokazujemo da je ograničen odozdo i da se ne povećava. Pritom se koristimo nejednakošću
za sve
, što je posljedica nejednakosti
.

Imamo
vidjeti nejednakost iznad
, tj. niz je odozdo omeđen brojem
.

Unaprijediti,
jer

, tj. niz se ne povećava.

Prema teoremu 1, postoji
, koje označavamo x. Prelazak u jednakosti (*) do limita na
, dobivamo

, tj.
, gdje
(uzimamo znak plus jer su svi članovi niza pozitivni).

Kod izračuna se koristi niz (*).
približno. Po uzeti bilo koji pozitivan broj. Na primjer, pronađimo
. Neka
. Zatim
,. Na ovaj način,
.

3)
.

Imamo
. Jer
na
, postoji broj N, takav da za sve
nejednakost
. Dakle slijed
, počevši od nekog broja N, smanjuje se i ograničen je odozdo, jer
za sve vrijednosti n. Dakle, prema teoremu 1, postoji
. Jer
, imamo
.

Tako,
.

4)
, desno - n korijenje.

Pokažimo metodom matematičke indukcije da
za sve vrijednosti n. Imamo
. Neka
. Zatim, odavde dobivamo izjavu po principu matematičke indukcije. Koristeći se ovom činjenicom, nalazimo, t.j. podslijed
raste i omeđuje se odozgo. Prema tome, postoji jer
.

Na ovaj način,
.

Monotonost niza

monoton niz- niz koji zadovoljava jedan od sljedećih uvjeta:

Među monotonim nizovima postoje strogo monotono sekvence koje zadovoljavaju jedan od sljedećih uvjeta:

Ponekad se koristi varijanta terminologije u kojoj se izraz "rastući niz" smatra sinonimom za pojam "neopadajući niz", a pojam "opadajući niz" smatra se sinonimom za pojam "neopadajući niz". rastući niz". U takvom slučaju, rastući i opadajući niz iz gornje definicije nazivaju se "strogo rastući" odnosno "strogo opadajući".

Neke generalizacije

Može se pokazati da gornji uvjeti nisu ispunjeni za sve brojeve, već samo za brojeve iz određenog raspona

(ovdje je moguće obrnuti desnu granicu N+ do beskonačnosti). U ovom slučaju se poziva niz monoton na intervalu ja , i raspon ja nazvao interval monotonosti sekvence.

Primjeri

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "Monotoničnost niza" u drugim rječnicima:

Grana matematike koja se bavi proučavanjem svojstava različitih funkcija. Teorija funkcija dijeli se na dva područja: teoriju funkcija realne varijable i teoriju funkcija kompleksne varijable, među kojima je razlika tolika da ... ... Collier Encyclopedia

Testiranje pseudoslučajnih nizova je skup metoda za određivanje mjere blizine danog pseudoslučajnog niza slučajnom. Takva mjera obično je prisutnost jednolike distribucije, velike ... ... Wikipedije

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Mjera. Mjera skupa je nenegativna vrijednost, intuitivno interpretirana kao veličina (volumen) skupa. Zapravo, mjera je neka numerička funkcija koja odgovara svakoj ... ... Wikipediji

Poznati pisac. Rod. u Orlu 1871. god.; otac mu je bio geodet. Studirao je u orlovskoj gimnaziji te na sveučilištima u Petrogradu i Moskvi, na Pravnom fakultetu. Bio sam u velikoj potrebi za studentom. Tada je napisao svoju prvu priču "o ... ... Velika biografska enciklopedija

Numeričke metode rješavanja metode koje zamjenjuju rješenje rubnog problema rješenjem diskretnog problema (vidi Linearni rubni problem; numeričke metode za rješavanje i Nelinearna jednadžba; numeričke metode za rješavanje). U mnogim slučajevima, posebno kada se uzme u obzir... Matematička enciklopedija

Voynichev rukopis napisan je nepoznatim sustavom pisanja Voynichev rukopis (eng. Voyni ... Wikipedia

Napisan nepoznatim sustavom pisma. Voynichov rukopis misteriozna je knjiga koju je prije otprilike 500 godina napisao nepoznati autor, na nepoznatom jeziku, koristeći nepoznati alfabet. Voynichov rukopis ... ... Wikipedia

Sigismondo d'India (tal. Sigismondo d India, oko 1582., Palermo? do 19. travnja 1629., Modena) talijanski je skladatelj. Sadržaj 1 Biografija 2 Kreativnost ... Wikipedia

Modernizacija- (Modernizacija) Modernizacija je proces mijenjanja nečega u skladu sa zahtjevima modernosti, prijelaz u naprednije uvjete, uvođenjem različitih novih ažuriranja.Teorija modernizacije, vrste modernizacije, organske ... ... Enciklopedija investitora

Jedan od temeljnih matematičkih pojmova čije je značenje s razvojem matematike bilo podvrgnuto nizu generalizacija. I. Čak iu "Elementima" Euklida (3. stoljeće pr. Kr.), svojstva V. su jasno formulirana, sada se nazivaju, da se razlikuju od ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Ako je svakom prirodnom broju n pridružen neki realni broj x n , onda to kažemo brojčani niz

x 1 , x 2 , … x n , …

Broj x 1 naziva se član niza sa brojem 1 ili prvi član niza, broj x 2 - član niza sa brojem 2 ili drugi član niza, i tako dalje. Broj x n naziva se član niza s brojem n.

Postoje dva načina za specificiranje numeričkih nizova - korištenje i korištenje rekurentna formula.

Nizanje sa slijed opći pojam formule je sekvenciranje

x 1 , x 2 , … x n , …

pomoću formule koja izražava ovisnost člana x n o njegovom broju n .

Primjer 1. Numerički niz

1, 4, 9, … n 2 , …

dana formulom općeg pojma

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Određivanje niza pomoću formule koja izražava član niza x n u smislu članova niza s prethodnim brojevima naziva se sekvenciranje korištenjem rekurentna formula.

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao uzlazni niz, više prethodni član.

Drugim riječima, za sve n

x n + 1 >x n

Primjer 3. Niz prirodnih brojeva

1, 2, 3, … n, …

je uzlazni niz.

Definicija 2. Brojevni niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao silazni niz, ako svaki član ovog niza manje prethodni član.

Drugim riječima, za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

x n + 1 < x n

Primjer 4 . Naknadna slijed

zadan formulom

je silazni niz.

Primjer 5. Numerički niz

1, - 1, 1, - 1, …

zadan formulom

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nije niti se povećava niti smanjuje slijed.

Definicija 3. Rastući i opadajući numerički nizovi nazivaju se monotoni nizovi.

Ograničene i neograničene sekvence

Definicija 4. Brojevni niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao ograničeno odozgo ako postoji broj M takav da svaki član ovog niza manje brojevi M.

Drugim riječima, za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

Definicija 5. Numerički niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazvao ograničena odozdo ako postoji broj m takav da svaki član ovog niza više brojevi m.

Drugim riječima, za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

Definicija 6. Brojevni niz

x 1 , x 2 , … x n , …

nazivaju ograničenim ako to omeđen i gore i dole.

Drugim riječima, postoje brojevi M i m takvi da za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

m< x n < M

Definicija 7. Brojevni nizovi koji nisu ograničeni, nazvao neograničene sekvence.

Primjer 6 . Numerički niz

1, 4, 9, … n 2 , …

zadan formulom

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ograničena odozdo, primjerice, broj 0. Međutim, ovaj niz neograničeno odozgo.

Primjer 7. Naknadna slijed

zadan formulom

je ograničeni niz, jer za sve n= 1, 2, 3, … nejednakost

Na našoj web stranici također se možete upoznati s obrazovnim materijalima koje su razvili nastavnici centra za obuku Resolventa za pripremu za jedinstveni državni ispit i OGE iz matematike.

Za učenike koji se žele dobro pripremiti i položiti KORIŠTENJE iz matematike ili ruskog jezika za visoku ocjenu provodi trening centar "Resolventa".

Ponekad se takve sekvence nazivaju strogo rastući i, a izraz "V. p." vrijedi za nizove koji za sve zadovoljavaju samo uvjet Takvi se nizovi nazivaju. također neopadajuće. Svaki neopadajući niz ograničen odozgo ima konačnu granicu, a svaki niz koji nije ograničen odozgo ima beskonačnu granicu jednaku + beskonačno. L. D. Kudrjavcev.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte što je "ASCREASING SEQUENCE" u drugim rječnicima:

uzlazni niz- - [L.G. Sumenko. Englesko-ruski rječnik informacijskih tehnologija. M .: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacijske tehnologije općenito EN uzlazni niz ... Tehnički prevoditeljski priručnik

Zadatak pronalaženja najvećeg rastućeg podniza je pronaći najdulji rastući podniz u zadanom nizu elemenata. Sadržaj 1 Prikaz problema 2 Povezani algoritmi ... Wikipedia

Monotona funkcija je funkcija čiji prirast ne mijenja predznak, odnosno uvijek je nenegativan ili uvijek nepozitivan. Ako, osim toga, prirast nije jednak nuli, tada se kaže da je funkcija strogo monotona. Sadržaj 1 Definicije 2 ... ... Wikipedia

Niz Brojevni niz je niz elemenata u brojevnom prostoru. Brojčana naselja ... Wikipedia

Ovo je niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju. Takve se sekvence često nalaze u istraživanju i imaju niz karakterističnih značajki i dodatnih svojstava. ... ... Wikipedia

Monotoni niz je niz koji zadovoljava jedan od sljedećih uvjeta: nejednakost vrijedi za bilo koji broj (neopadajući niz), nejednakost vrijedi za bilo koji broj (nerastući ... ... Wikipedia

Dio teorije brojeva u kojem se proučavaju i metrički (tj. temeljeno na teoriji mjere) karakteriziraju skupovi brojeva koji imaju određene aritmetičke karakteristike. Svojstva. M. h. je usko povezana s teorijom vjerojatnosti, što ponekad omogućuje ... ... Matematička enciklopedija

Tvrdi da svaki ograničeni rastući niz ima granicu, a ta je granica jednaka njegovoj najmanjoj gornjoj granici. Unatoč jednostavnosti dokaza, ovaj se teorem pokazao vrlo prikladnim za pronalaženje granica mnogih ... ... Wikipedia

Teorem koji daje procjenu gustoće zbroja dva niza. Neka je A=(0, a 1, a.2,. . ., a i, ...) rastući niz cijelih brojeva i Gustoća niza Anaz. vrijednost Aritmetički zbroj dva ... ... Matematička enciklopedija

Prostor dualan prostoru osnovnih (dovoljno dobrih) funkcija. Važnu ulogu ovdje imaju Fréchetovi prostori (tipa FS) i njima jako dualni prostori (tipa DFS). Prostor tipa FS je projektivna granica kompakta ... ... Matematička enciklopedija