Formula potpune vjerojatnosti: teorija i primjeri rješavanja problema. Formula ukupne vjerojatnosti i Bayesove formule

Neka se razmatra potpuna skupina događaja (u paru nekompatibilnih, koji se nazivaju hipoteze), i ako se događaj može dogoditi samo kada se pojavi jedna od tih hipoteza, tada se vjerojatnost događaja izračunava prema formula ukupne vjerojatnosti:

gdje je vjerojatnost hipoteze . .

je uvjetna vjerojatnost događaja prema ovoj hipotezi. Ako su prije eksperimenta vjerojatnosti hipoteza bile Bayesova formula:

Bayesova formula omogućuje precjenjivanje vjerojatnosti hipoteza, uzimajući u obzir već poznati rezultat eksperimenta.

Primjer 1

Postoje tri identične urne. U prvom bijele kuglice i crne; u drugom - bijelo i crno; u trećoj samo bijele kuglice. Netko nasumično prilazi jednoj od urni i iz nje izvlači kuglu. Odredite vjerojatnost da je ta kuglica bijela.

Riješenje.

Neka događaj bude pojava bijele lopte. Postavljamo hipoteze: – izbor prve urne;

– izbor druge urne;

– izbor treće urne;

, , ;

prema formuli ukupne vjerojatnosti

Primjer 2

Postoje dvije urne: u prvoj su bijele kugle i crne, u drugoj - crne. Jedna kuglica se prenosi iz prve urne u drugu; kuglice se promiješaju i zatim se jedna kuglica prebaci iz druge urne u prvu. Nakon toga se nasumce uzima jedna kuglica iz prve urne. Nađite vjerojatnost da je bio bijelac.

Riješenje.

Hipoteze: – sastav kuglica u prvoj urni se nije promijenio;

– u prvoj urni jedna crna kugla zamijenjena je bijelom;

– u prvoj urni jedna bijela kugla zamijenjena je crnom;

;

Rezultirajuće rješenje kaže da se vjerojatnost izvlačenja bijele kugle ne mijenja ako su omjeri bijelih i crnih kugli u obje urne isti .

Odgovor: .

Primjer 3

Uređaj se sastoji od dva čvora, rad svakog čvora je svakako neophodan za rad uređaja u cjelini. Pouzdanost (vjerojatnost rada bez greške tijekom vremena ) prvog čvora jednaka je , drugog. Uređaj se testira na vrijeme, na temelju čega se utvrđuje da nije u funkciji (kvar). Nađite vjerojatnost da je samo prvi čvor otkazao, a drugi je u funkciji.

Riješenje.

Prije eksperimenta moguće su četiri hipoteze:

- oba čvora rade;

- prvi čvor nije uspio, drugi je ispravan;

- prvi je ispravan, drugi je odbio;

– oba čvora nisu uspjela;

Vjerojatnosti hipoteze:

Uočen je događaj - uređaj nije uspio:

Prema Bayesovoj formuli:

Ponavljanje pokusa

Ako se neovisni eksperimenti provode pod istim uvjetima, au svakom od njih se događaj pojavi s vjerojatnošću, tada se vjerojatnost da će se događaj dogoditi točno jednom u tim eksperimentima izražava formulom:

Vjerojatnost najmanje jedne pojave događaja u neovisnim eksperimentima pod istim uvjetima jednaka je:

Vjerojatnost da će se događaj dogoditi a) manje od jednom; b) više puta; c) najmanje jednom; d) ne više od jednom nalazimo, redom, ali formule:

Opći teorem o ponavljanju

Ako se neovisni eksperimenti izvode pod različitim uvjetima, a vjerojatnost događaja u -tom eksperimentu je , tada je vjerojatnost da će se događaj pojaviti u tim eksperimentima točno jednom jednaka koeficijentu pri u proširenju potencijama generirajuće funkcije

, gdje .

Primjer 1

Uređaj se sastoji od 10 čvorova. Pouzdanost (vjerojatnost rada bez greške tijekom vremena) za svaki čvor . Čvorovi kvare neovisno jedan o drugom. Nađite vjerojatnost da u vremenu:

a) barem jedan čvor neće uspjeti;

b) točno jedan čvor neće uspjeti;

c) otkazat će točno dva čvora;

d) najmanje dva čvora neće uspjeti.

Riješenje.

Primjer 2

Urna sadrži 30 bijelih i 15 crnih kuglica. Vadi se 5 kuglica u nizu, a svaka izvađena kuglica se vraća u urnu prije nego što se vadi sljedeća i kuglice u urni se miješaju. Kolika je vjerojatnost da su 3 od 5 izvučenih kuglica bijele?

Riješenje.

Vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice može se smatrati istom u svih 5 pokušaja: zatim vjerojatnost da se ne dobije bijela kuglica. Korištenjem Bernoullijeve formule dobivamo:

Primjer 3

Novčić se baca osam puta. Kolika je vjerojatnost da će šest puta pasti naopako?

Riješenje.

Imamo Bernoullijevu testnu shemu. Vjerojatnost da se Ge pojavi u jednom pokušaju , onda

Odgovor: 0,107.

Primjer 4

Ispaljuju se četiri neovisna hica, a - vjerojatnost pogotka mete je prosjek vjerojatnosti

Pronađite vjerojatnosti: .

Riješenje.

Prema Bernoullijevoj formuli, imamo

Primjer 5

Postoji pet postaja s kojima se održava komunikacija. S vremena na vrijeme dolazi do prekida komunikacije zbog atmosferskih smetnji. Zbog udaljenosti stanica jedna od druge, prekid komunikacije sa svakom od njih događa se neovisno o drugima s vjerojatnošću od 0,2. Odredite vjerojatnost da će se komunikacija održati s najviše dvije postaje u danom trenutku.

Riješenje.

Događaj - postoji veza s najviše dvije stanice.

Odgovor: 0,72.

Primjer 6

Sustavom radarskih stanica nadzire se grupa objekata koja se sastoji od deset jedinica. Svaki od objekata može biti (bez obzira na ostale) izgubljen s vjerojatnošću od 0,1. Nađite vjerojatnost da će barem jedan od predmeta biti izgubljen.

Riješenje.

Vjerojatnost gubitka barem jednog predmeta može se pronaći formulom:

ali lakše je iskoristiti vjerojatnost suprotnog događaja - niti jedan predmet nije izgubljen - i oduzeti ga od jednog

Odgovor: 0,65.

Varijante zadataka za kontrolni rad br.5

opcija 1

1. Bačene su dvije kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bačenih bodova 7.

2. Neka su tri proizvoljna događaja. Napiši izraz za događaje da su se od ta tri događaja dogodila najmanje dva događaja.

3. Novčić se baca 5 puta. Nađite vjerojatnost da će se "grb" pojaviti: a) najmanje dva puta, b) najmanje dva puta.

4. Postoje 2 identične urne. Prva urna sadrži 3 bijele i 5 crnih kuglica, druga urna sadrži 3 bijele i 7 crnih kuglica. Iz jedne nasumično odabrane urne izvlači se kuglica. Odredite vjerojatnost da lopta
crno.

5. Na državnom prvenstvu u nogometu sudjeluje 18 ekipa.Svake dvije ekipe sastaju se na nogometnim igralištima 2 puta. Koliko se utakmica igra u sezoni?

opcija 2

1. Prilikom biranja telefonskog broja, pretplatnik je zaboravio posljednje 3 znamenke, i sjetivši se samo da su ti brojevi različiti, birao ih je nasumično. Odredite vjerojatnost da su birane točne znamenke.

2. Je li istina .

3. Odredite vjerojatnost da će se događaj dogoditi najmanje 2 puta u 4 neovisna pokušaja ako je vjerojatnost da će se događaj dogoditi u jednom pokušaju 0,6.

4. Električne aparate trgovinu isporučuju tri tvornice. Prvi isporučuje 50%, drugi - 20%, treći - 30% svih proizvoda. Vjerojatnosti proizvodnje uređaja najviše kvalitete od strane svake tvornice su: . Odredite vjerojatnost da će uređaj kupljen u trgovini biti najviše kvalitete.

5. Slova Morseove azbuke oblikovana su kao niz točaka i
crtica. Koliko se različitih slova može sastaviti pomoću 5
likovi?

Opcija 3

1. U kutiji je 10 numeriranih kuglica s brojevima od 1 do 10. Izvađena je jedna kuglica. Kolika je vjerojatnost da broj izvučenih kuglica ne bude veći od 10.

2. Je li jednakost istinita ?

3. Vjerojatnost da se događaj dogodi barem jednom u tri pokušaja je 0,936. Odredite vjerojatnost da će se događaj dogoditi u jednom pokušaju.

4. Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 5 bijelih i 5 crnih kuglica, druga urna sadrži 3 bijele i 2 crne kugle, a treća urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kugle. Iz jedne nasumično odabrane urne izvlači se kuglica. Odredite vjerojatnost da je kuglica bijela.

5. Na koliko se načina može 12 ljudi smjestiti za stol s 12 pribora za jelo.

Opcija 4

1. U radionici radi 6 muškaraca i 4 žene. Nasumično je odabrano 7 ljudi prema kadrovskom broju. Odredite vjerojatnost da će među odabranim osobama biti 3 žene.

2. Dokažite to .

3. Neka je vjerojatnost da je slučajno uzet dio nestandardan 0,1. Odredite vjerojatnost da među 5 nasumce uzetih dijelova nema više od 2 nestandardna dijela.

4. Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 3 bijele i 3 crne kugle, druga urna sadrži 2 bijele i 6 crnih kugli, a treća urna sadrži 5 bijelih i 2 crne kugle. Iz jedne nasumično odabrane urne izvlači se kuglica. Odredite vjerojatnost da je kuglica crna.

5. Potrebno je napraviti raspored polazaka vlakova za različite dane u tjednu. Pri tome je potrebno da: 3 dana polaze 2 vlaka dnevno, 2 dana 1 vlak dnevno, 2 dana 3 vlaka dnevno. Koliko se različitih rasporeda može napraviti?

Opcija 5

1. Kocka kojoj su sve strane obojene, razreže se na 64 kocke iste veličine, koje se zatim izmiješaju. Odredite vjerojatnost da nasumično izvučena kocka ima dvije obojene strane.

2. Dokažite to .

3. Neka je vjerojatnost da će televizor trebati popraviti tijekom jamstvenog roka 0,2. Odredite vjerojatnost da tijekom jamstvenog roka od 6 televizora: a) ne više od 1 neće zahtijevati popravak, b) barem 1 neće zahtijevati popravak.

4. Istovrsni dijelovi se proizvode na tri automatske linije. Zbog neispravnosti strojeva moguća je proizvodnja neispravnih proizvoda: prva linija s vjerojatnošću 0,02; drugi - s vjerojatnošću od 0,01; treći - s vjerojatnošću od 0,05. Prva linija daje 70%, druga - 20%, treća - 10% svih proizvoda. Odredite vjerojatnost sklapanja braka.

5. U urni bijele i crne kuglice. Na koliko načina možete birati između kuglica urne od kojih će biti bijelih komada. (Kuglice svake boje su numerirane.)

Opcija 6

1. U urni je 12 kuglica: 3 bijele, 4 crne i 5 crvenih kuglica. Kolika je vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice iz urne?

2. Dokažite da .

3. Vjerojatnost dobitka na lutriji je . Odredite vjerojatnost osvajanja najmanje 2 listića od 6.

4. U dvije kutije nalaze se dijelovi iste vrste: u prvoj kutiji 8 ispravnih i 2 neispravna, u drugoj 6 ispravnih i 4 neispravna. Iz prve kutije nasumično se uzimaju dva predmeta, a iz druge jedan predmet. Dijelovi su se pomiješani stavljali u treću kutiju, odakle je nasumce uzet jedan dio. Odredite vjerojatnost da je ova stavka točna.

5. Na koliko se načina iz špila od 36 karata mogu izabrati 2 karte pika?

Opcija 7

1. U urni se nalazi 15 kuglica s brojevima od 1 do 15. Kolika je vjerojatnost da izvučete kuglicu s brojem 18?

2. Dokažite da .

3. Vjerojatnost pogađanja svakog udarca je 0,4. Odredite vjerojatnost uništenja objekta ako su za to potrebna najmanje 3 pogotka, a ispaljeno je 15 hitaca.

4. Dvije identične urne sadrže bijele i crne kuglice. Jedna kuglica se prenosi iz prve urne u drugu. U drugoj urni kuglice se miješaju i jedna kuglica se prenosi u prvu urn. Zatim se iz prve urne izvlači jedna kugla. Odredite vjerojatnost da je kuglica bijela.

5. Iz skupa se uzastopno biraju dva broja bez zamjene. Koliko ima takvih skupova u kojima je drugi broj veći od prvog?

Opcija 8

1. Unutar elipse nalazi se krug. Odredite vjerojatnost da točka padne u prsten omeđen elipsom i kružnicom.

2. Neka su tri proizvoljna događaja. Pronađite izraze za događaje koji su: a) događaji i dogodili se, ali se događaj nije dogodio; b) Dogodila su se točno 2 događaja.

3. Nađite vjerojatnost da u obitelji sa 6 djece, najmanje
2 djevojke. (Vjerojatnosti da ćete imati dječaka i djevojčicu smatraju se istima.)

4. Dvije su urne. Prva urna sadrži 3 bijele i 5 crnih kuglica, druga urna sadrži 4 bijele i 6 crnih kuglica. Dvije se kuglice prebacuju iz prve urne u drugu bez gledanja. Kuglice u drugoj urni se dobro izmiješaju i iz nje se uzme jedna kuglica. Nađite vjerojatnost da će lopta
bijela.

5. Na koliko načina se vrhovi zadanog trokuta mogu označiti slovima ?

Opcija 9

1. Od pet slova podijeljene abecede sastavljena je riječ "knjiga". Dijete koje nije znalo čitati raštrkalo je ta slova i zatim ih spojilo nasumičnim redoslijedom. Nađite vjerojatnost da je ponovno dobio riječ "knjiga".

2. Pronađite sve događaje takve da , gdje i su neki događaji.

3. Od 15 srećki dobitne su 4. Kolika je vjerojatnost da će od 6 slučajno odabranih srećki biti dvije dobitne?

4. Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 4 bijele i 2 crne kugle, druga urna sadrži 3 bijele i 3 crne kugle, a treća urna sadrži 1 bijelu i 5 crnih kugli. Iz druge i treće urne, bez gledanja, dvije kugle se prebacuju u prvu urnu. Kuglice u prvoj urni se miješaju i nasumično se izvlače dvije kuglice. Nađite vjerojatnost da su bijeli.

5. Od pet šahista, dva moraju biti poslana za sudjelovanje na turniru. Na koliko načina se to može učiniti?

Opcija 10

1. Iz špila od 52 karte nasumično se izvlače tri. Odredite vjerojatnost da će to biti trojka, sedmica i as.

2. Dana su dva dupli bloka i . Zabilježite događaj da je sustav ispravan.

3. Za signaliziranje nesreće ugrađuju se dva neovisno radna signalna uređaja. Vjerojatnost da će signalni uređaj proraditi u slučaju nezgode je 0,95 za prvi i 0,9 za drugi. Nađite vjerojatnost da će samo jedan signalni uređaj raditi u slučaju nesreće.

4. Na tri automatske linije izrađuju se istoimeni dijelovi. Prva linija daje 70%, druga - 20%, treća - 10% svih proizvoda. Vjerojatnosti primanja neispravnih proizvoda na svakoj liniji su: 0,02; 0,01; 0,05. Ispostavilo se da je sretni dio neispravan. Odredite vjerojatnost da je dio napravljen na prvom retku.

5. Na kružnici je odabrano 10 točaka. Koliko se tetiva može povući s krajevima u tim točkama.

Opcija 11

1. U urni bijele, crne i crvene kuglice. Nasumično se izvlače tri kuglice. Kolika je vjerojatnost da će biti različitih boja.

2. Je li jednakost istinita ?

3. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerojatnost da je stavka standardna je 0,9. Odredite vjerojatnost da je samo jedan od dva ispitana proizvoda standardan.

4. Tri strijelca pucaju neovisno jedan od drugog u metu, svaki ispaljuje po jedan hitac. Vjerojatnost pogađanja mete za prvog strijelca je 0,4, za drugog - 0,6 i za trećeg - 0,7. Nakon gađanja mete pronađena su dva pogotka. Odredite vjerojatnost da pripadaju prvoj i trećoj strelici.

5. Na koliko se načina može poredati 5 crvenih, 4 crne i 5 bijelih kuglica u 1 red tako da kuglice koje leže na rubovima budu iste boje?

Opcija 12

1. Sastanak na kojem sudjeluje 25 ljudi, uključujući 5 žena, bira delegaciju od 3 osobe. S obzirom da svatko od prisutnih s istom vjerojatnošću može biti izabran. Odredite vjerojatnost da delegaciju čine 2 žene i jedan muškarac.

3. Odredite vjerojatnost s obzirom na vjerojatnosti , .

4. Kod 1111 s vjerojatnošću od 0,2, kod 0000 s vjerojatnošću od 0,3 i kod 1001 s vjerojatnošću od 0,5 mogu se prenositi komunikacijskim kanalom. Zbog utjecaja smetnji, vjerojatnost ispravnog prijema svake znamenke (0 ili 1) koda je 0,9, a znamenke se iskrivljuju neovisno jedna o drugoj. Odredite vjerojatnost da se kod 1111 odašilje ako je kod 1011 primljen na prijemnom uređaju.

5. Koliko različitih ruta može odabrati pješak ako odluči proći 9 blokova, od kojih 5 prema zapadu, 4 prema sjeveru.

Opcija 13

1. Grupa od 10 muškaraca i 10 žena nasumično je podijeljena na dva jednaka dijela. Nađite vjerojatnost da su u svakom dijelu muškarci i žene isti.

2. a neki su događaji. Je li jednakost istinita ?

3. Nađite vjerojatnost s obzirom na vjerojatnosti , , .

4. Preko komunikacijske linije moguće je odašiljati kod 1234 s vjerojatnošću 0,6 i kod 4321 s vjerojatnošću 0,4. Kod se prikazuje na semaforu, što može iskriviti brojeve. Vjerojatnost uzimanja 1 za 1 je 0,8, a 1 za 4 je 0,2. Vjerojatnost uzimanja 4 za 4 je 0,9, a 4 za 1 je 0,1. Vjerojatnost uzimanja 2 za 2 i 3 za 3 je 0,7. Vjerojatnost uzimanja 2 za 3 i 3 za 2 je 0,3. Operater je prihvatio kod 4231. Odredite vjerojatnost da je kod primljen:
a) 1234.; b) 4321.

5. Između tri osobe - potrebno je podijeliti 15 različitih predmeta, a on mora dobiti 2 predmeta, - 3 i - 10. Na koliko načina se može izvršiti ta raspodjela.

Opcija 14

1. Postoje 4 neispravna artikla u seriji od 10 artikala. Nasumično odaberite
5 proizvoda. Odredite vjerojatnost da će među tih 5 proizvoda biti tri neispravna.

2. Dokažite da , , čine potpunu grupu događaja.

3. Učenik zna 20 od 25 pitanja programa. Odredite vjerojatnost da će učenik odgovoriti na 2 pitanja koja mu postavi ispitivač.

4. Postoje 4 serije dijelova. U prvoj seriji postoji brak od 3%, u drugoj -4%, u trećoj i četvrtoj seriji nema braka. Kolika je vjerojatnost uzimanja neispravnog dijela ako se jedan dio uzme iz nasumično odabrane serije? Koja je vjerojatnost da uzeti dio pripada prvoj seriji ako se pokaže da je neispravan?

5. Student mora položiti 4 ispita u roku od 10 dana. Na koliko ga načina možete rasporediti?

Opcija 15

1. Dvorana ima 50 sjedećih mjesta. Nađite vjerojatnost da će od 10 ljudi njih 5 zauzeti određena mjesta, ako su mjesta zauzeta slučajno.

2. Dokažite to .

3. Tri strijelca neovisno gađaju metu. Vjerojatnost pogađanja mete za prvog strijelca je 0,75, za drugog - 0,8, za trećeg - 0,9. Odredite vjerojatnost da sve tri strijele pogode metu.

4. Iz urne u kojoj su bile 4 crne i 6 bijelih kuglica izgubljena je kuglica nepoznate boje. Kako bi se odredio sastav kuglica u urni, iz nje su nasumično izvučene dvije kuglice. Ispostavilo se da su bijele. Odredite vjerojatnost da je bijela kuglica izgubljena.

5. Na koliko se načina može složiti 7 knjiga na policu ako dvije određene knjige uvijek moraju stajati jedna do druge.

4. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,7. Odredite vjerojatnost da šest neovisnih udaraca rezultira s pet pogodaka.

5. U autu ima 7 sjedala. Na koliko načina može 7 ljudi ući u ovaj automobil ako samo 3 od njih mogu sjediti na vozačkom mjestu.

Opcija 18

1. Za radnu praksu za 30 studenata osigurano je 15 mjesta u Moskvi, 8 u Tajgi i 7 u Novosibirsku. Koja je vjerojatnost da dva konkretna studenta dobiju praksu u istom gradu?

2. Neka su tri proizvoljna događaja. Pronađite izraze za događaje koji se sastoje od onoga što se dogodilo iz: a) samo ; b) samo jedan događaj.

3. U kutiji je 6 bijelih i 8 crnih kuglica. Iz kutije se izvade dvije kuglice (bez vraćanja izvađene kuglice u kutiju). Odredite vjerojatnost da su obje kuglice bijele.

3. U prvoj kutiji su 2 bijele i 10 crnih kuglica, u drugoj 8 bijelih i
4 crne kuglice. Iz svake kutije uzeta je kuglica. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice bijele?

4. Ispituje se 25 motora. Vjerojatnost rada bez kvara svakog motora je ista i iznosi 0,95. Odredite najvjerojatniji broj pokvarenih motora.

5. Tanja ima 20 maraka, Nataša 30. Na koliko se načina Tanjina jedna marka može zamijeniti za jednu Natašinu?

Opcija 20

1. Bacite 4 kocke. Odredite vjerojatnost da svi dobiju isti broj bodova.

2. Moraju li se događaji i , ako , podudarati?

3. Tri strijelca neovisno gađaju metu. Vjerojatnost pogađanja mete za prvog strijelca je 0,75, za drugog - 0,8. za treći - 0,9. Odredite vjerojatnost da barem jedan strijelac pogodi metu.

4. Serija tranzistora se ispituje. Vjerojatnost rada bez greške svakog tranzistora je 0,92. Odredite koliko tranzistora treba ispitati da se zabilježi barem jedan kvar s vjerojatnošću od najmanje 0,95.

5. Koliko se peteroznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 2, 4, 6, 7, 8, ako se svaka znamenka u bilo kojem broju ne koristi više od 1 puta?

Primjer #1. Tvrtka za proizvodnju računala nabavlja iste dijelove od tri dobavljača. Prvi isporučuje 50% svih komponenti, drugi - 20%, treći - 30% dijelova.
Poznato je da je kvaliteta isporučenih dijelova različita, au proizvodima prvog dobavljača postotak nedostataka je 4%, drugog - 5%, trećeg - 2%. Odredite vjerojatnost da će nasumce odabrani dio od svih pristiglih biti neispravan.

Riješenje. Označimo događaje: A - "odabrana stavka je neispravna", H i - "odabrana stavka primljena od i-tog dobavljača", i =1, 2, 3 Hipoteze H 1 , H 2 , H 3 čine potpunu skupinu nespojivi događaji. Po stanju
P(Hi) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|Hl) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02

Prema formuli ukupne vjerojatnosti (1.11) vjerojatnost događaja A jednaka je
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02=0,036
Vjerojatnost da će slučajno odabrani dio biti neispravan je 0,036.

Neka se događaj A već dogodio u uvjetima prethodnog primjera: pokazalo se da je odabrani dio neispravan. Koja je vjerojatnost da je primljen od prvog dobavljača? Odgovor na ovo pitanje daje Bayesova formula.
Započeli smo analizu vjerojatnosti samo s preliminarnim, apriornim vrijednostima vjerojatnosti događaja. Zatim je napravljen eksperiment (odabran je dio), te smo dobili dodatne informacije o događaju koji nas je zanimao. S ovim novim informacijama možemo precizirati vrijednosti prethodnih vjerojatnosti. Nove vrijednosti vjerojatnosti istih događaja već će biti aposteriorne (post-eksperimentalne) vjerojatnosti hipoteza (slika 1.5).

Shema ponovne procjene hipoteze
Neka se događaj A realizira samo zajedno s jednom od hipoteza H 1 , H 2 , …, H n (potpuna skupina nekompatibilnih događaja). Apriorne vjerojatnosti hipoteza označili smo P(H i) uvjetne vjerojatnosti događaja A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Ako je eksperiment već izveden i kao rezultat njega se dogodio događaj A, tada će aposteriorne vjerojatnosti hipoteza biti uvjetne vjerojatnosti P(H i |A), i = 1, 2,…, n. U zapisu prethodnog primjera, P(H 1 |A) je vjerojatnost da je odabrani dio, koji se pokazao neispravnim, primljen od prvog dobavljača.
Zanima nas vjerojatnost događaja H k |A. Promotrimo zajedničku pojavu događaja H k i A, odnosno događaja AH k . Njegova se vjerojatnost može pronaći na dva načina, koristeći formule množenja (1.5) i (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Izjednačite desne dijelove ovih formula
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

stoga je posteriorna vjerojatnost hipoteze H k

Nazivnik je ukupna vjerojatnost događaja A. Zamjenom umjesto P(A) njegove vrijednosti prema formuli ukupne vjerojatnosti (1.11), dobivamo:
(1.12)
Formula (1.12) se zove Bayesova formula i koristi se za ponovnu procjenu vjerojatnosti hipoteza.
U uvjetima prethodnog primjera nalazimo vjerojatnost da je neispravni dio primljen od prvog dobavljača. Sažmimo u jednu tablicu apriorne vjerojatnosti hipoteza P(H i) koje su nam poznate po uvjetu, uvjetne vjerojatnosti P(A|H i) zajedničke vjerojatnosti izračunate u procesu rješavanja P(AH i) = P(H i) P(A|H i) i izračunate formulom (1.12) aposteriorne vjerojatnosti P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (tablica 1.3).

Tablica 1.3 - Ponovna procjena hipoteza

Hipoteze Bok	Vjerojatnosti
Hipoteze Bok	Prethodni P(H i)	Uvjetni P(A\|H i)	Zglob P(AH i)	A posteriori P(H i \|A)
1	2	3	4	5
H 1 - dio primljen od prvog dobavljača	0.5	0.04	0.02
H 2 - dio primljen od drugog dobavljača	0.2	0.05	0.01
H 3 - dio primljen od trećeg dobavljača	0.3	0.02	0.006
Iznos	1.0	-	0.036	1

Razmotrite zadnji red ove tablice. Drugi stupac sadrži zbroj vjerojatnosti nekompatibilnih događaja H 1 , H 2 , H 3 koji tvore potpunu skupinu:
P(Ω) = P(H1 + H2 + H3) = P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
U četvrtom stupcu vrijednost u svakom retku (združene vjerojatnosti) dobivena je pravilom množenja vjerojatnosti množenjem odgovarajućih vrijednosti u drugom i trećem stupcu, a u zadnjem retku 0,036 je ukupna vjerojatnost događaja A (formulom ukupne vjerojatnosti).
U stupcu 5 izračunavaju se posteriorne vjerojatnosti hipoteza pomoću Bayesove formule (1.12):

Posteriorne vjerojatnosti P(H 2 |A) i P(H 3 |A) izračunavaju se na sličan način, pri čemu je brojnik razlomka zajedničke vjerojatnosti zabilježene u odgovarajućim recima stupca 4, a nazivnik je ukupna vjerojatnost događaj A zabilježen u zadnjem retku stupca 4.
Zbroj vjerojatnosti hipoteza nakon eksperimenta jednak je 1 i upisuje se u zadnji redak petog stupca.
Dakle, vjerojatnost da je neispravni dio primljen od prvog dobavljača je 0,555. Posteksperimentalna vjerojatnost veća je od apriorne (zbog velike količine ponude). Posteksperimentalna vjerojatnost da je neispravan dio primljen od drugog dobavljača je 0,278 i također je veća od predeksperimentalne (zbog velikog broja odbačenih). Posteksperimentalna vjerojatnost da je neispravni dio nabavljen od trećeg dobavljača je 0,167.

Primjer #3. Postoje tri identične urne; prva urna sadrži dvije bijele i jednu crnu kuglu; u drugom tri bijela i jedan crni; u trećoj - dvije bijele i dvije crne lopte. Za pokus se slučajno izabere jedna urna i iz nje se izvadi kuglica. Odredite vjerojatnost da je ta kuglica bijela.
Riješenje. Razmotrimo tri hipoteze: H 1 - izabrana je prva urna, H 2 - izabrana je druga urna, H 3 - izabrana je treća urna i događaj A - izvađena bijela kugla.
Budući da su hipoteze jednako vjerojatne prema uvjetu problema, dakle

Uvjetne vjerojatnosti događaja A pod ovim hipotezama su redom jednake:
Prema formuli ukupne vjerojatnosti

Primjer #4. U piramidi se nalazi 19 pušaka, od kojih su 3 s optičkim nišanom. Strijelac koji puca iz puške s optičkim nišanom može pogoditi metu s vjerojatnošću od 0,81, a pucajući iz puške bez optičkog nišana s vjerojatnošću od 0,46. Odredite vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu pucajući iz slučajno odabrane puške.
Riješenje. Ovdje je prvi test nasumični odabir puške, drugi je gađanje mete. Razmotrite sljedeće događaje: A - strijelac će pogoditi metu; H 1 - strijelac će uzeti pušku s optičkim nišanom; H 2 - strijelac će uzeti pušku bez optičkog nišana. Koristimo formulu ukupne vjerojatnosti. Imamo

Uzimajući u obzir da se puške biraju jedna po jedna, te klasičnom formulom vjerojatnosti dobivamo: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
U tvrdnji zadatka date su uvjetne vjerojatnosti: P(A|H 1) = 0;81 i P(A|H 2) = 0;46. Posljedično,

Primjer broj 5. Iz urne koja sadrži 2 bijele i 3 crne kuglice, nasumično se izvlače dvije kuglice i 1 bijela kuglica se dodaje u urnu. Odredite vjerojatnost da je nasumično izvučena kuglica bijela.
Riješenje. Događaj “izvučena bijela kuglica” bit će označen s A. Događaj H 1 - dvije bijele kuglice su nasumično izvučene; H 2 - nasumično su izvučene dvije crne kuglice; H 3 - izvučene su jedna bijela i jedna crna kugla. Zatim vjerojatnosti postavljenih hipoteza

Uvjetne vjerojatnosti pod ovim hipotezama su redom jednake: P(A|H 1) = 1/4 - vjerojatnost izvlačenja bijele kugle ako se trenutno u urni nalaze jedna bijela i tri crne kugle, P(A|H 2) = 3/ 4 - vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice ako se trenutno nalaze tri bijele i jedna crna kuglica u urni, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice ako postoje dvije bijele i jedna crna kugla u urni u ovom trenutku dvije crne kugle. Prema formuli ukupne vjerojatnosti

Primjer broj 6. U metu se ispaljuju dva hica. Vjerojatnost pogotka s prvim udarcem je 0,2, s drugim - 0,6. Vjerojatnost uništenja mete s jednim pogotkom je 0,3, s dva - 0,9. Nađite vjerojatnost da će cilj biti uništen.
Riješenje. Neka je događaj A cilj uništen. Da biste to učinili, dovoljno je pogoditi s jednim hicem od dva ili pogoditi metu u nizu s dva hica bez promašaja. Postavimo hipoteze: H 1 - oba hica su pogodila cilj. Tada je P(H 1) = 0,2 0,6 = 0;12. H 2 - ili prvi ili drugi put je napravljen promašaj. Tada je P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Hipoteza H 3 - oba hica su bila promašena - nije uzeta u obzir, jer je vjerojatnost uništenja mete jednaka nuli. Tada su uvjetne vjerojatnosti redom jednake: vjerojatnost uništenja cilja pod uvjetom oba uspješna pogotka je P(A|H 1) = 0,9, a vjerojatnost uništenja cilja uz uvjet samo jednog uspješnog pogotka je P( A|H 2) = 0,3. Tada je vjerojatnost uništenja cilja prema formuli ukupne vjerojatnosti jednaka.

Korolar oba glavna teorema - teorema o zbrajanju vjerojatnosti i teorema o množenju vjerojatnosti - je takozvana formula ukupne vjerojatnosti.

Neka se traži da se odredi vjerojatnost nekog događaja koji se može dogoditi zajedno s jednim od događaja:

tvoreći potpunu skupinu nekompatibilnih događaja. Te ćemo događaje nazvati hipotezama.

Dokažimo to u ovom slučaju

, (3.4.1)

oni. vjerojatnost događaja izračunava se kao zbroj umnožaka vjerojatnosti svake hipoteze i vjerojatnosti događaja prema ovoj hipotezi.

Formula (3.4.1) naziva se formula ukupne vjerojatnosti.

Dokaz. Budući da hipoteze čine potpunu skupinu, događaj se može pojaviti samo u kombinaciji s bilo kojom od ovih hipoteza:

Budući da su hipoteze nedosljedne, kombinacije također nespojivo; primjenjujući teorem o adiciji na njih, dobivamo:

Primjenjujući teorem množenja na događaj, dobivamo:

Q.E.D.

Primjer 1. Postoje tri urne identičnog izgleda; prva urna sadrži dvije bijele i jednu crnu kuglu; u drugom - tri bijele i jedna crna; u trećoj - dvije bijele i dvije crne lopte. Netko nasumično odabere jednu od urni i iz nje izvuče kuglicu. Odredite vjerojatnost da je ta kuglica bijela.

Riješenje. Razmotrimo tri hipoteze:

Izbor prve urne,

Izbor druge urne,

Izbor treće urne

a događaj je pojava bijele kuglice.

Budući da su hipoteze, prema uvjetu problema, jednako vjerojatne, dakle

Uvjetne vjerojatnosti događaja pod ovim hipotezama su redom jednake:

Prema formuli ukupne vjerojatnosti

Primjer 2. Na zrakoplov su ispaljena tri pojedinačna hica. Vjerojatnost pogotka prvim hicem je 0,4, drugim - 0,5, trećim 0,7. Tri pogotka su očito dovoljna da onesposobe zrakoplov; s jednim pogotkom zrakoplov pada s vjerojatnošću 0,2, s dva pogotka s vjerojatnošću 0,6. Nađite vjerojatnost da će kao rezultat tri hica zrakoplov biti izbačen iz stroja.

Riješenje. Razmotrimo četiri hipoteze:

Ni jedna granata nije pogodila avion,

Jedna granata pogodila je avion

Zrakoplov su pogodile dvije granate.

Tri granate pogodile su avion.

Koristeći teoreme zbrajanja i množenja, nalazimo vjerojatnosti ovih hipoteza:

Uvjetne vjerojatnosti događaja (kvar zrakoplova) prema ovim hipotezama su:

Primjenom formule ukupne vjerojatnosti dobivamo:

Imajte na umu da prva hipoteza nije mogla biti uvedena u razmatranje, budući da odgovarajući član u formuli ukupne vjerojatnosti nestaje. To se obično radi kada se primjenjuje formula ukupne vjerojatnosti, ne uzimajući u obzir cijelu skupinu nekonzistentnih hipoteza, već samo one od njih pod kojima je određeni događaj moguć.

Primjer 3. Radom motora upravljaju dva regulatora. Razmatra se određeno vremensko razdoblje tijekom kojeg je poželjno osigurati nesmetan rad motora. Ako su prisutna oba regulatora, motor otkazuje s vjerojatnošću , ako radi samo prvi s vjerojatnošću , ako radi samo drugi, ako oba regulatora otkazuju s vjerojatnošću . Prvi od regulatora ima pouzdanost, drugi -. Svi elementi kvare neovisno jedan o drugom. Odredite ukupnu pouzdanost (vjerojatnost rada bez kvara) motora.

Korisna stranica? Spremite ili recite prijateljima

Opća izjava problema je otprilike * sljedeća:

Urna sadrži $K$ bijelih i $N-K$ crnih kuglica (ukupno $N$ kuglica). Iz njega se nasumično vadi $n$ loptica bez zamjene. Nađite vjerojatnost da će biti odabrano točno $k$ bijelih i $n-k$ crnih kuglica.

Prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti, željena vjerojatnost nalazi se pomoću hipergeometrijske formule vjerojatnosti (vidi objašnjenja):

$$ P=\frac(C_K^k \cdot C_(N-K)^(n-k))(C_N^n). \qquad (1) $$

* Da objasnim što znači "otprilike": lopte se mogu vaditi ne iz urne, nego iz košare, ili mogu biti ne crne i bijele, već crvene i zelene, velike i male itd. Glavna stvar je da to budu DVIJE vrste, a onda jednu vrstu smatrate uvjetno "bijelim kuglicama", drugu - "crnim kuglicama" i slobodno koristite formulu za rješavanje (ispravljajući tekst na pravim mjestima, naravno :) ).

Video vodič i Excel predložak

Pogledajte naš video o rješavanju problema s kuglicama u hipergeometrijskoj shemi vjerojatnosti, naučite kako koristiti Excel za rješavanje uobičajenih problema.

Excel datoteku za izračun iz videa možete besplatno preuzeti i koristiti za rješavanje svojih problema.

Primjeri rješenja zadataka o izboru lopti

Primjer 1 Urna sadrži 10 bijelih i 8 crnih kuglica. Nasumično se bira 5 loptica. Odredite vjerojatnost da među njima budu točno 2 bijele kuglice.

Zamijenite u formulu (1) sljedeće vrijednosti: $K=10$, $N-K=8$, ukupno $N=10+8=18$, odaberite $n=5$ loptica, $k=2$ njih treba biti bijelo i $n-k=5-2=3$ crno. Dobivamo:

$$ P=\frac(C_(10)^2 \cdot C_(8)^(3))(C_(18)^5) = \frac(45 \cdot 56)(8568) = \frac(5) (17) = 0,294. $$

Primjer 2 Urna sadrži 5 bijelih i 5 crvenih kuglica. Kolika je vjerojatnost da nasumce izvučemo obje bijele kuglice?

Ovdje lopte nisu crno-bijele, nego crveno-bijele. Ali to nimalo ne utječe na tijek odluke i odgovor.

Zamijenite u formuli (1) sljedeće vrijednosti: $K=5$ (bijele kuglice), $N-K=5$ (crvene kuglice), ukupno $N=5+5=10$ (ukupno kuglica u urni), odaberite $ n=2 $ kuglica, od kojih mora biti $k=2$ bijelih i prema tome $n-k=2-2=0$ crvenih. Dobivamo:

$$ P=\frac(C_(5)^2 \cdot C_(5)^(0))(C_(10)^2) = \frac(10 \cdot 1)(45) = \frac(2) (9) = 0,222. $$

Primjer 3 U korpi se nalaze 4 bijele i 2 crne lopte. Iz koša se uzimaju 2 lopte. Kolika je vjerojatnost da su iste boje?

Ovdje zadatak postaje malo kompliciraniji, a mi ćemo ga riješiti korak po korak. Unesite željeni događaj
$A = $ (Odabrane kuglice iste boje) = (Odaberite 2 bijele ili 2 crne kuglice).
Predstavimo ovaj događaj kao zbroj dva nekompatibilna događaja: $A=A_1+A_2$, gdje
$A_1 = $ (2 odabrane bijele kuglice),
$A_2 = $ (2 odabrane crne kuglice).

Zapišimo vrijednosti parametara: $K=4$ (bijele loptice), $N-K=2$ (crne loptice), ukupno $N=4+2=6$ (ukupno loptica u košu). Odaberite $n=2$ loptice.

Za događaj $A_1$, $k=2$ od njih mora biti bijelo i, sukladno tome, $n-k=2-2=0$ crno. Dobivamo:

$$ P(A_1)=\frac(C_(4)^2 \cdot C_(2)^(0))(C_(6)^2) = \frac(6 \cdot 1)(15) = \frac (2)(5) = 0,4. $$

Za događaj $A_2$, $k=0$ bijelih i $n-k=2$ crnih kuglica moraju biti odabrane među odabranim kuglicama. Dobivamo:

$$ P(A_2)=\frac(C_(4)^0 \cdot C_(2)^(2))(C_(6)^2) = \frac(1 \cdot 1)(15) = \frac (1) (15). $$

Tada je vjerojatnost željenog događaja (izvučenih kuglica iste boje) zbroj vjerojatnosti tih događaja:

$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=\frac(2)(5) + \frac(1)(15) =\frac(7)(15) = 0,467. $$

Postoje tri urne identičnog izgleda; prva urna sadrži 2 bijele i 1 crnu kuglu; u drugoj urni su 3 bijele i 1 crna kugla; u trećoj su 2 bijele i 2 crne kuglice.

Netko nasumično odabere jednu od urni i iz nje izvuče kuglicu. Odredite vjerojatnost da je ta kuglica bijela.

Razmotrimo tri hipoteze:

H1-izbor prve urne

H2-izbor druge urne

H3-izbor treće urne

potpuna skupina nekompatibilnih događaja.

Neka je događaj A pojava bijele kuglice. Jer hipoteze, prema uvjetu problema jednako moguće, tada je R(N1) = R(N2) = R(N3) = 1\3

Uvjetne vjerojatnosti događaja A pod ovim hipotezama su redom jednake: R(A/N1) =2\3; P(A/H2) = 3\4; P (A / H3) \u003d 1/2.

Prema formuli ukupne vjerojatnosti

P(A)=1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36

Odgovor: 23\36

P.2. Teorem hipoteze.

Posljedica teorema množenja i formule ukupne vjerojatnosti je takozvani teorem hipoteze, odnosno Bayesova (Bayesova) formula.

Postavimo sljedeći zadatak.

Postoji kompletna skupina nekompatibilnih hipoteza H1, H2,. . Hn. vjerojatnosti ovih hipoteza prije pokusa su poznate i jednake su R(N1),R(N2)…,R(Nn). Napravljen je pokus, kao rezultat kojeg je uočena pojava nekog događaja A. Postavlja se pitanje kako treba promijeniti vjerojatnosti hipoteza u vezi s pojavom tog događaja?

Ovdje se, u biti, radi o pronalaženju uvjetne vjerojatnosti P(H1/A) za svaku hipotezu.

Iz teoreme množenja imamo:

P(A*Hi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, .n) ili, odbacivanje lijeve strane Nutrend enduro bcaa 120 kapa kupiti.

P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Odatle P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷P(A),(i=1,2,3, . . . n)

Izražavajući s P(A) koristeći ukupnu vjerojatnost, imamo

P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, . . n) (2)

Formula (2) se naziva Baysova formula ili teorem hipoteze

Primjer 2. U tvornici 30% proizvoda proizvodi stroj I, 25% proizvoda proizvodi stroj II, ostatak proizvoda proizvodi stroj III. Za stroj I, 1% njegovog izlaza je neispravan, za stroj II - 1,5%, za stroj III - 2%, nasumično odabrana jedinica proizvodnje pokazala se neispravnom. Kolika je vjerojatnost da ga je proizveo stroj I?

Uvedimo notaciju za događaje.

A - pokazalo se da je odabrani proizvod neispravan

H1-proizvod proizveden strojem I

H2 - proizvod proizveden strojem II

H3 - proizvod proizveden strojem III

P(Hl)=0,30; P(H2) = 0,25; P(H3) = 0,45

P (A / H1) \u003d 0,01,

P (A / H2) \u003d 0,015

P (A / H3) \u003d 0,02

P(A) \u003d 0,01 * 0,30 + 0,015 * 0,25 + 0,02 * 0,45 \u003d 0,015,

P(H1/A) = 0,01*0,30÷0,015=0,20

Odgovor: 20% svih neispravnih proizvoda proizvodi stroj I.

§9. Bernoullijeva formula

Zakon velikih brojeva

Neka je A slučajni događaj s obzirom na neko iskustvo σ. Zanimat će nas samo je li se kao rezultat eksperimenta dogodio događaj A ili nije, pa ćemo zauzeti sljedeće stajalište: prostor elementarnih događaja povezanih s iskustvom σ sastoji se od samo dva elementa - A i A. Označimo vjerojatnosti ovih elemenata, redom, kroz p i q , (p+q=1).

Pretpostavimo sada da se eksperiment σ pod nepromijenjenim uvjetima ponavlja određeni broj puta, npr. 3 puta. Dogovorimo se da trostruku realizaciju σ smatramo novim eksperimentom η. Ako nas, kao i prije, zanima samo pojavljivanje ili nepojavljivanje A., tada očito treba pretpostaviti da se prostor elementarnih događaja koji odgovara eksperimentu η sastoji od svih mogućih nizova duljine 3: (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) , (A, A, A), koji se može sastaviti od A i A.

Svaki od ovih nizova označava jedan ili onaj niz pojavljivanja ili nepojavljivanja događaja A u tri eksperimenta σ, na primjer, niz (A, A, A) znači da se A dogodio u prvom eksperimentu, a A dogodio u drugom. i treće Definirajmo koje se vjerojatnosti trebaju dodijeliti svakoj od sekvenci (1)

Uvjet da se eksperiment σ provede sva tri puta pod nepromijenjenim uvjetima trebao bi značiti sljedeće: ishod svakog od tri eksperimenta ne ovisi o tome kakvi su se ishodi dogodili u druga dva eksperimenta. Oni. svaka kombinacija ishoda tri eksperimenta je trostruki neovisni događaj. U ovom slučaju, prirodno je dodijeliti elementarnom događaju (A, A, A) vjerojatnost jednaku p*q*q, događaju (A, A, A), vjerojatnost q*y*y itd.

Da. dolazimo do sljedećeg opisa vjerojatnosnog modela za eksperiment η (tj. za trostruku provedbu eksperimenta σ). Prostor Ω elementarnih događaja je skup od 2 do 3 niza. (jedan). Svakom nizu pridružuje se kao vjerojatnost broj p podignut na potenciju k, q podignut na potenciju e, pri čemu eksponenti određuju koliko se puta simboli A i A pojavljuju u izrazu za taj niz.

Probabilistički modeli ove vrste nazivaju se Bernoullijeve sheme. U općem slučaju, Bernoullijeva shema određena je vrijednošću brojeva n i p, gdje je n broj ponavljanja početnog eksperimenta σ (u prethodnom eksperimentu smatrali smo n=3), a p je vjerojatnost događaja A u odnosu na eksperiment σ.

Teorem 1. Neka je vjerojatnost događaja A jednaka p, a neka je Pmn vjerojatnost da će se u nizu od n neovisnih pokušaja taj događaj dogoditi m puta.

Tada vrijedi Bernoullijeva formula.

Pmn=Cn na m stepen *P na m stepen *q na n-m stepen

Novčić se baca 10 puta. Kolika je vjerojatnost da će se grb pojaviti točno 3 puta?

U tom slučaju gubitak grba smatra se uspjehom, vjerojatnost p tog događaja u svakom eksperimentu je 1\2.

Dakle: R10,3=S10 na 3. stupnju*(1\2) na 3. stupnju*(1\2) na 7. stupnju=10*9*8÷1*2*3*(1÷2na 10. stupnju ) =15\128

Odgovor: 15\128

S velikim brojem pokusa, relativna učestalost pojavljivanja događaja malo se razlikuje od vjerojatnosti tog događaja. Matematička formulacija ove kvalitativne tvrdnje dana je Bernoullijevim zakonom velikih brojeva, koji je precizirao Čebišev.

Teorem 2. Neka je vjerojatnost događaja A u pokušaju p jednaka p i neka se izvede niz koji se sastoji od n neovisnih ponavljanja ovog pokušaja.

S m označavamo broj pokušaja u kojima se dogodio događaj A. Tada za svaki pozitivan broj α vrijedi nejednakost:

3(|m\n-p|> α)

Značenje ove nejednakosti je da je izraz m÷n jednak relativnoj učestalosti događaja A u nizu eksperimenata, a |m\n-p|> α znači da je odstupanje ovog relativnog od teorijske vrijednosti p. Nejednakost |m\n-p|> α znači da je odstupanje veće od α. Ali pri konstantnoj vrijednosti α, kako n raste, desna strana nejednadžbe (3) teži nuli. Drugim riječima, serije u kojima je odstupanje eksperimentalne frekvencije od teorijske velike čine mali dio svih mogućih test serija.

Tvrdnja koju je dobio Bernoulli slijedi iz teoreme: pod uvjetima teoreme, za bilo koju vrijednost α>0, imamo