U slučajevima kada je događaj od interesa zbroj drugih događaja, formula zbrajanja koristi se za određivanje njegove vjerojatnosti.

Formula zbrajanja ima dvije glavne varijante - za zajedničke i za nezdružene događaje. Ove formule možete opravdati pomoću Vennovih dijagrama (slika 21). Podsjetimo se da su u ovim dijagramima vjerojatnosti događaja numerički jednake površinama zona koje odgovaraju tim događajima.

Za dva nespojiva događaja :

P(A+B) = P(A) + P(B).(8, a)

Za N nekompatibilnih događaja , vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih događaja:

= .(8b)

Iz formule za zbrajanje nekompatibilnih događaja proizlaze dvije važne posljedice .

Posljedica 1.Za događaje koji tvore potpunu skupinu zbroj njihovih vjerojatnosti jednak je jedan:

= 1.

Ovo je objašnjeno na sljedeći način. Za događaje koji tvore potpunu skupinu, na lijevoj strani izraza (8b) je vjerojatnost da će se jedan od događaja dogoditi i ja, ali budući da kompletna grupa iscrpljuje cijeli popis mogućih događaja, jedan od takvih događaja će se sigurno dogoditi. Dakle, lijeva strana sadrži vjerojatnost događaja koji će se sigurno dogoditi – određeni događaj. Njegova je vjerojatnost jednaka jedan.

Posljedica 2.Zbroj vjerojatnosti dvaju suprotnih događaja jednak je jedan:

P(A) + P(Ā)= 1.

Ova posljedica proizlazi iz prethodne, jer suprotni događaji uvijek čine potpunu skupinu.

Primjer 15

NA vjerojatnost ispravnog stanja tehničkog uređaja je 0,8. Odredite vjerojatnost kvara ovog uređaja za isto razdoblje promatranja.

R riješenje.

Važna nota. U teoriji pouzdanosti, uobičajeno je da se vjerojatnost radnog stanja označava slovomR, a vjerojatnost neuspjeha je slovo q. U nastavku ćemo koristiti ove oznake. Obje vjerojatnosti su funkcije vremena. Dakle, tijekom dugih vremenskih razdoblja, vjerojatnost operativnog stanja bilo kojeg objekta približava se nuli. Vjerojatnost kvara bilo kojeg objekta je blizu nule u malim vremenskim razdobljima. U slučajevima kada razdoblje promatranja nije navedeno u zadacima, pretpostavlja se da je isto za sve objekte koji se razmatraju.

Pronalaženje uređaja u ispravnom i neispravnom stanju suprotni su događaji. Koristeći korolar 2, dobivamo vjerojatnost kvara uređaja:

q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,8 \u003d 0,2.

Za dva zajednička događaja formula zbrajanja vjerojatnosti izgleda kao:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB), (9)

što je ilustrirano Vennovim dijagramom (slika 22).

Doista, da biste pronašli cijelo osjenčano područje (odgovara zbroju događaja A + B), potrebno je oduzeti područje zajedničke zone od zbroja područja slika A i B (odgovara umnožak događaja AB), jer će se inače brojati dva puta.

Za tri zajednička događaja, formula zbrajanja vjerojatnosti postaje kompliciranije:

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).(10)

U Vennovom dijagramu (slika 23), željena vjerojatnost je numerički jednaka ukupnoj površini zone koju čine događaji A, B i C (radi jednostavnosti, jedinični kvadrat nije prikazan na njemu).

Nakon oduzimanja površina zona AB, AC i CB od zbroja površina zona A, B i C pokazalo se da je površina zone ABC tri puta zbrojena i tri puta oduzeta. Stoga, da bi se uračunalo ovo područje, mora se dodati konačnom izrazu.

S povećanjem broja članova, formula zbrajanja postaje sve glomaznija, ali princip njezine konstrukcije ostaje isti: prvo se zbrajaju vjerojatnosti događaja uzetih pojedinačno, a zatim se oduzimaju vjerojatnosti svih kombinacija događaja u paru. , zbrajaju se vjerojatnosti događaja koje su uzele trojke, vjerojatnosti kombinacija događaja koje su uzele četvorke itd.

Na kraju treba naglasiti : formula zbrajanja vjerojatnosti spojnica događaja s brojem pojmova od tri ili više je glomazan i nezgodan za korištenje, njegovo korištenje u rješavanju problema je nepraktično.

Primjer 16

Za donju shemu napajanja (slika 24) odredite vjerojatnost kvara sustava u cjelini Q C vjerojatnostima neuspjeha qi pojedini elementi (generator, transformatori i vodovi).

Stanja kvara pojedini elementi sustava napajanja, kao i a zdravstvena stanja uvijek su zajednički događaji u paru, budući da nema temeljnih prepreka za istovremeni popravak, na primjer, voda i transformatora. Do kvara sustava dolazi kada otkaže bilo koji njegov element: ili generator, ili 1. transformator, ili vod, ili 2. transformator, ili kvar bilo koje parice, bilo koje trojke ili sva četiri elementa. Dakle, željeni događaj – kvar sustava je zbroj kvarova pojedinih elemenata. Za rješavanje problema može se koristiti formula za zbrajanje zajedničkih događaja:

Q c \u003d q g + q t1 + q l + q t2 - q g q t1 - q g q l - q g q t2 - q t1 q l - q t1 q t2 - q l q t2 + q g q t1 q l + q g q l q t2 + q g q t1 q t2 + q t1 q t2 q l - q g q t1 q l q t2.

Ovo rješenje još jednom uvjerava u glomaznost formule dodavanja za zajedničke događaje. U budućnosti će se razmotriti neki drugi racionalniji način rješavanja ovog problema.

Gore dobiveno rješenje može se pojednostaviti uzimajući u obzir činjenicu da su vjerojatnosti otkaza pojedinih elemenata sustava napajanja za razdoblje od jedne godine koje se obično koriste u proračunima pouzdanosti vrlo male (reda 10 -2). Dakle, svi članovi osim prva četiri mogu se odbaciti, što praktički neće utjecati na brojčani rezultat. Tada možete napisati:

Q sa≈q g + q t1 + q l + q t2.

Međutim, s takvim se pojednostavljenjima mora postupati s oprezom, pažljivo proučavajući njihove posljedice, jer se često odbačeni pojmovi mogu pokazati razmjernima prvima.

Primjer 17

Odrediti vjerojatnost zdravog stanja sustava R S, koji se sastoji od tri elementa koji se međusobno rezerviraju.

Riješenje. Elementi koji rezerviraju jedan drugoga na logičkom dijagramu analize pouzdanosti prikazani su paralelno povezani (Sl. 25):

Redundantni sustav je operativan kada je 1., 2. ili 3. element u funkciji, ili bilo koji par, ili sva tri elementa zajedno. Dakle, operativno stanje sustava je zbroj operativnih stanja pojedinih elemenata. Po adicijskoj formuli za zajedničke događaje R c \u003d R 1 + R 2 + R 3 - R 1 R 2 - R 1 R 3 - R 2 R 3 + R 1 R 2 R 3. , gdje R1, R2 i R 3 su vjerojatnosti operativnog stanja elemenata 1, 2 i 3, redom.

U ovom slučaju nemoguće je pojednostaviti rješenje odbacivanjem uparenih produkata, jer će takva aproksimacija dati značajnu pogrešku (ovi produkti su obično brojčano blizu prva tri člana). Kao u primjeru 16, ovaj problem ima još jedno kompaktnije rješenje.

Primjer 18

Za dalekovod s dvostrukim krugom (slika 26), poznata je vjerojatnost kvara svakog kruga: q 1 = q 2= 0,001. Odredite vjerojatnosti da će linija imati stopostotnu propusnost - P (R 100), pedeset posto propusnost - P (R 50) i vjerojatnost da će sustav pasti - Q.

Linija ima 100% kapaciteta kada su i 1. i 2. krug operativni:

P (100%) \u003d p 1 p 2 \u003d (1 - q 1) (1 - q 2) \u003d

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Linija se kvari kada i 1. i 2. krug pokvare:

P(0%) \u003d q 1 q 2 \u003d 0,001 ∙ 0,001 \u003d 10 -6.

Linija ima pedeset posto kapaciteta kada je 1. krug u funkciji, a 2. otkazao, ili kada je 2. krug u funkciji, a 1. u kvaru:

P (50%) \u003d p 1 q 2 + p 2 q 1 \u003d 2 ∙ 0,999 ∙ 10 -3 = 0,001998.

Posljednji izraz koristi formulu zbrajanja za nekompatibilne događaje, što oni i jesu.

Događaji koji se razmatraju u ovom problemu čine potpunu skupinu, pa je zbroj njihovih vjerojatnosti jedan.

Proučavanje teorije vjerojatnosti počinje rješavanjem problema zbrajanja i množenja vjerojatnosti. Vrijedno je odmah napomenuti da se učenik, kada svladava ovo područje znanja, može susresti s problemom: ako se fizički ili kemijski procesi mogu vizualizirati i razumjeti empirijski, tada je razina matematičke apstrakcije vrlo visoka, a razumijevanje ovdje dolazi samo s iskustvo.

Međutim, igra je vrijedna svijeća, jer se formule - i one razmatrane u ovom članku i one složenije - danas koriste posvuda i mogu dobro doći u radu.

Podrijetlo

Začudo, poticaj za razvoj ovog dijela matematike bilo je ... kockanje. Doista, kocka, bacanje novčića, poker, rulet tipični su primjeri koji koriste zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Na primjeru zadataka u bilo kojem udžbeniku to se jasno vidi. Ljude je zanimalo kako povećati svoje šanse za pobjedu i moram reći da su neki u tome i uspjeli.

Primjerice, već u 21. stoljeću jedna je osoba, čije ime nećemo otkriti, iskoristila stoljećima nakupljeno znanje kako bi doslovno “očistila” kockarnicu, osvojivši nekoliko desetaka milijuna dolara na ruletu.

Međutim, usprkos povećanom interesu za ovu temu, tek u 20. stoljeću razvijena je teorijska baza koja je "theorver" učinila punopravnim. Danas se u gotovo svakoj znanosti mogu naći izračuni pomoću probabilističkih metoda.

Primjenjivost

Važna točka pri korištenju formula za zbrajanje i množenje vjerojatnosti, uvjetne vjerojatnosti je zadovoljivost središnjeg graničnog teorema. U suprotnom, iako student to možda neće shvatiti, svi izračuni, ma koliko vjerojatni izgledali, bit će netočni.

Da, visoko motivirani učenik je u iskušenju koristiti novo znanje u svakoj prilici. Ali u ovom slučaju treba malo usporiti i strogo ocrtati opseg primjenjivosti.

Teorija vjerojatnosti bavi se slučajnim događajima, koji su u empirijskom smislu rezultati eksperimenata: možemo baciti kocku sa šest strana, izvući kartu iz špila, predvidjeti broj neispravnih dijelova u seriji. Međutim, u nekim je pitanjima kategorički nemoguće koristiti formule iz ovog dijela matematike. O značajkama razmatranja vjerojatnosti događaja, teorema zbrajanja i množenja događaja raspravljat ćemo na kraju članka, ali za sada se okrenimo primjerima.

Osnovni koncepti

Slučajni događaj je neki proces ili rezultat koji se može ili ne mora pojaviti kao rezultat eksperimenta. Na primjer, bacimo sendvič - može pasti maslac gore ili maslac dolje. Svaki od dva ishoda bit će slučajan, a ne znamo unaprijed koji će se od njih dogoditi.

Kada proučavamo zbrajanje i množenje vjerojatnosti, potrebna su nam još dva pojma.

Zajednički događaji su takvi događaji od kojih pojava jednog ne isključuje pojavu drugog. Recimo da dvoje ljudi istovremeno puca u metu. Ako jedan od njih proizvede uspješnu, to neće utjecati na sposobnost druge da pogodi metku ili promaši.

Nedosljedni događaji bit će takvi događaji čije je pojavljivanje istovremeno nemoguće. Na primjer, izvlačenjem samo jedne kuglice iz kutije ne možete dobiti i plavu i crvenu odjednom.

Oznaka

Pojam vjerojatnosti označava se velikim latiničnim slovom P. Dalje, u zagradama, nalaze se argumenti koji označavaju neke događaje.

U formulama teorema zbrajanja, uvjetne vjerojatnosti, teorema množenja vidjet ćete izraze u zagradama, na primjer: A+B, AB ili A|B. Oni će se izračunati na razne načine, a mi ćemo se sada osvrnuti na njih.

Dodatak

Razmotrite slučajeve u kojima se koriste formule za zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Za nekompatibilne događaje relevantna je najjednostavnija formula zbrajanja: vjerojatnost bilo kojeg od slučajnih ishoda bit će jednaka zbroju vjerojatnosti svakog od tih ishoda.

Pretpostavimo da postoji kutija s 2 plave, 3 crvene i 5 žutih kuglica. U kutiji je ukupno 10 predmeta. Koliki je postotak istinitosti tvrdnje da ćemo izvući plavu ili crvenu kuglicu? To će biti jednako 2/10 + 3/10, tj. pedeset posto.

U slučaju nekompatibilnih događaja, formula postaje kompliciranija, jer se dodaje dodatni član. Vratit ćemo se na to u jednom paragrafu, nakon razmatranja još jedne formule.

Množenje

Zbrajanje i množenje vjerojatnosti neovisnih događaja koristi se u različitim slučajevima. Ako smo, prema uvjetima eksperimenta, zadovoljni bilo kojim od dva moguća ishoda, izračunat ćemo zbroj; ako želimo dobiti dva sigurna ishoda jedan za drugim, pribjeći ćemo korištenju druge formule.

Vraćajući se na primjer iz prethodnog odjeljka, prvo želimo nacrtati plavu kuglu, a zatim crvenu. Prvi broj koji znamo je 2/10. Što je slijedeće? Ostalo je 9 kuglica, ostalo je još toliko crvenih - tri komada. Prema izračunima, dobivate 3/9 ili 1/3. Ali što sad s dva broja? Točan odgovor je da pomnožite da biste dobili 2/30.

Zajednički događaji

Sada se ponovno možemo okrenuti formuli zbroja za zajedničke događaje. Zašto skrećemo s teme? Naučiti kako se vjerojatnosti množe. Sada nam je potrebno ovo znanje.

Već znamo kolika će biti prva dva člana (isto kao u prethodno razmatranoj formuli zbrajanja), ali sada trebamo oduzeti umnožak vjerojatnosti, koji smo upravo naučili izračunati. Radi jasnoće pišemo formulu: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Ispada da se u jednom izrazu koriste i zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Recimo da moramo riješiti jedan od dva problema kako bismo dobili kredit. Prvu možemo riješiti s vjerojatnošću 0,3, a drugu 0,6. Rješenje: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Imajte na umu da jednostavno zbrajanje brojeva ovdje neće biti dovoljno.

Uvjetna vjerojatnost

Konačno, postoji koncept uvjetne vjerojatnosti, čiji su argumenti navedeni u zagradama i odvojeni okomitom crtom. Zapis P(A|B) glasi: "vjerojatnost događaja A danog događaja B".

Pogledajmo primjer: prijatelj vam da neki uređaj, neka to bude telefon. Može biti pokvaren (20%) ili dobar (80%). Možete popraviti svaki uređaj koji vam padne u ruke s vjerojatnošću 0,4 ili niste u mogućnosti to učiniti (0,6). Konačno, ako je uređaj u ispravnom stanju, možete se javiti pravoj osobi s vjerojatnošću od 0,7.

Lako je vidjeti kako uvjetna vjerojatnost funkcionira u ovom slučaju: ne možete dobiti osobu ako je telefon pokvaren, a ako je dobar, ne morate ga popravljati. Dakle, da biste dobili bilo kakve rezultate na "drugoj razini", morate znati koji je događaj izvršen na prvoj.

Izračuni

Razmotrite primjere rješavanja zadataka zbrajanja i množenja vjerojatnosti, koristeći podatke iz prethodnog odlomka.

Prvo, odredimo vjerojatnost da ćete popraviti uređaj koji vam je dan. Da biste to učinili, prvo mora biti neispravan, a drugo, morate se nositi s popravkom. Ovo je tipičan problem množenja: dobivamo 0,2 * 0,4 = 0,08.

Kolika je vjerojatnost da ćete odmah doći do prave osobe? Lakše nego jednostavno: 0,8 * 0,7 \u003d 0,56. U ovom slučaju ste ustanovili da telefon radi i uspješno ste uputili poziv.

Na kraju, razmislite o ovom scenariju: dobili ste pokvaren telefon, popravili ga, zatim birali broj, a osoba na suprotnoj strani podigla je slušalicu. Ovdje je već potrebno množenje tri komponente: 0,2 * 0,4 * 0,7 \u003d 0,056.

Ali što ako imate dva neradna telefona odjednom? Koliko je vjerojatno da ćete popraviti barem jedan od njih? na zbrajanje i množenje vjerojatnosti, budući da se koriste zajednički događaji. Rješenje: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Dakle, ako vam u ruke padnu dva pokvarena uređaja, to ćete moći popraviti u 64% slučajeva.

Pažljivo korištenje

Kao što je spomenuto na početku članka, korištenje teorije vjerojatnosti treba biti namjerno i svjesno.

Što je serija eksperimenata veća, to se teoretski predviđena vrijednost više približava vrijednosti dobivenoj u praksi. Na primjer, bacamo novčić. Teoretski, znajući za postojanje formula za zbrajanje i množenje vjerojatnosti, možemo predvidjeti koliko će puta ispasti glava i rep ako eksperiment izvedemo 10 puta. Proveli smo eksperiment i slučajno je omjer strana koje su ispale bio 3 prema 7. Ali ako provedete niz od 100, 1000 ili više pokušaja, ispada da je graf distribucije sve bliži i bliži teorijski: 44 do 56, 482 do 518, i tako dalje.

Sada zamislite da se ovaj eksperiment ne izvodi s novčićem, već s proizvodnjom neke nove kemijske tvari, čiju vjerojatnost ne znamo. Izveli bismo 10 eksperimenata i, bez dobivanja uspješnog rezultata, mogli bismo generalizirati: "tvar se ne može dobiti." Ali tko zna, da smo iz jedanaestog pokušaja, bismo li stigli na cilj ili ne?

Dakle, ako idete u nepoznato, u neistraženo područje, teorija vjerojatnosti možda nije primjenjiva. Svaki sljedeći pokušaj u ovom slučaju može uspjeti, a generalizacije tipa "X ne postoji" ili "X je nemoguće" bit će preuranjene.

Završna riječ

Dakle, razmotrili smo dvije vrste zbrajanja, množenje i uvjetne vjerojatnosti. Daljnjim proučavanjem ovog područja potrebno je naučiti razlikovati situacije kada se koristi pojedina formula. Osim toga, morate razumjeti jesu li probabilističke metode općenito primjenjive u rješavanju vašeg problema.

Ako vježbate, nakon nekog vremena počet ćete sve potrebne radnje izvoditi isključivo u svom umu. Za one koji vole kartaške igre, ova vještina može se smatrati iznimno vrijednom - znatno ćete povećati svoje šanse za dobitak samim izračunavanjem vjerojatnosti ispadanja određene karte ili boje. No, stečeno znanje lako se može primijeniti iu drugim područjima djelovanja.

Potreba za operacijama nad vjerojatnostima javlja se kada su poznate vjerojatnosti nekih događaja, a potrebno je izračunati vjerojatnosti drugih događaja koji su povezani s tim događajima.

Zbrajanje vjerojatnosti koristi se kada je potrebno izračunati vjerojatnost kombinacije ili logičkog zbroja slučajnih događaja.

Zbroj događaja A i B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbroj dva događaja je događaj koji se dogodi ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se događa ako i samo ako se događaj dogodi tijekom promatranja A ili događaj B, ili u isto vrijeme A i B.

Ako događaji A i B su međusobno nekonzistentni i njihove su vjerojatnosti dane, tada se vjerojatnost da će se jedan od tih događaja dogoditi kao rezultat jednog pokušaja izračunava korištenjem zbrajanja vjerojatnosti.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:

Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj ALI– pogađanje patke iz prvog hica, događaj NA– pogodak iz drugog udarca, događaj ( ALI+ NA) - pogodak iz prvog ili drugog udarca ili iz dva udarca. Dakle, ako dva događaja ALI i NA su dakle nekompatibilni događaji ALI+ NA- pojava najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1 Kutija sadrži 30 kuglica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerojatnost da se obojena (ne bijela) lopta uzme bez gledanja.

Riješenje. Pretpostavimo da je događaj ALI– “crvena lopta je uzeta”, i događaj NA- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj "uzeta obojena (ne bijela) lopta". Pronađite vjerojatnost događaja ALI:

i događanja NA:

Razvoj događaja ALI i NA- međusobno nekompatibilne, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti kuglice različitih boja. Stoga koristimo zbrajanje vjerojatnosti:

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za više nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1:

Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja također je jednak 1:

Suprotni događaji čine potpuni skup događaja, a vjerojatnost potpunog skupa događaja je 1.

Vjerojatnosti suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str i q. Posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerojatnost suprotnih događaja:

Primjer 2 Meta u zaletu je podijeljena u 3 zone. Vjerojatnost da će određeni strijelac pogoditi metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Nađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu i vjerojatnost da strijelac promaši metu.

Rješenje: Nađite vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu:

Odredite vjerojatnost da strijelac promaši metu:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Zbrajanje vjerojatnosti međusobno povezanih događaja

Za dva slučajna događaja kaže se da su zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom promatranju. Na primjer, kod bacanja kocke, događaj ALI smatra se pojava broja 4, a događaj NA- ispuštanje parnog broja. Budući da je broj 4 paran broj, dva događaja su kompatibilna. U praksi se javljaju zadaci za izračunavanje vjerojatnosti nastanka jednog od međusobno zajedničkih događaja.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja od kojeg se oduzima vjerojatnost zajedničkog događanja oba događaja, odnosno umnožak vjerojatnosti. Formula za vjerojatnosti zajedničkih događaja je sljedeća:

Jer događaji ALI i NA kompatibilan, događaj ALI+ NA događa ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremu zbrajanja nekompatibilnih događaja izračunavamo na sljedeći način:

Događaj ALI događa se ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerojatnost pojave jednog događaja od nekoliko nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svih tih događaja:

Slično:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobivamo formulu vjerojatnosti zajedničkih događaja:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji ALI i NA Može biti:

• međusobno nezavisni;
• međusobno ovisni.

Formula vjerojatnosti za međusobno neovisne događaje:

Formula vjerojatnosti za međusobno ovisne događaje:

Ako događaji ALI i NA nekonzistentni, onda je njihova slučajnost nemoguć slučaj i, prema tome, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerojatnosti za nekompatibilne događaje je sljedeća:

Primjer 3 U auto utrkama, kada se vozi u prvom automobilu, vjerojatnost pobjede, kada se vozi u drugom automobilu. Pronaći:

• vjerojatnost da će oba automobila pobijediti;
• vjerojatnost da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerojatnost da će prvi automobil pobijediti ne ovisi o rezultatu drugog automobila, tako da događaji ALI(prvi automobil pobjeđuje) i NA(drugi automobil pobjeđuje) - nezavisni događaji. Odredite vjerojatnost da oba automobila pobijede:

2) Nađite vjerojatnost da će jedan od dva automobila pobijediti:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Riješite sami problem zbrajanja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novčiću. Događaj B- gubitak grba na drugom novčiću. Pronađite vjerojatnost događaja C = A + B .

Množenje vjerojatnosti

Množenje vjerojatnosti koristi se kada se želi izračunati vjerojatnost logičkog produkta događaja.

U ovom slučaju slučajni događaji moraju biti neovisni. Za dva događaja kažemo da su međusobno neovisna ako pojava jednog događaja ne utječe na vjerojatnost pojave drugog događaja.

Teorem množenja vjerojatnosti za neovisne događaje. Vjerojatnost istodobne pojave dvaju neovisnih događaja ALI i NA jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja i izračunava se formulom:

Primjer 5 Novčić se baca tri puta zaredom. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta.

Riješenje. Vjerojatnost da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugom i trećem. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta:

Riješite sami zadatke množenja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 Tu je kutija sa devet novih teniskih loptica. Uzimaju se tri lopte za igru, nakon igre se vraćaju. Pri izboru lopti ne razlikuju igrane i neodigrane lopte. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice u kaznenom prostoru neće ostati nijedna neodigrana lopta?

Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na izrezanim karticama abecede. Nasumično se izvlači pet karata, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Odredite vjerojatnost da će slova tvoriti riječ "kraj".

Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) odjednom se vade četiri karte. Odredite vjerojatnost da su sve četiri karte iste boje.

Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali se svaka karta nakon izvlačenja vraća u špil.

Složeniji zadaci, u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, kao i izračunati umnožak više događaja - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan od međusobno neovisnih događaja može se izračunati oduzimanjem umnoška vjerojatnosti suprotnih događaja od 1, odnosno po formuli:

Primjer 10 Teret se doprema trima vrstama transporta: riječnim, željezničkim i cestovnim transportom. Vjerojatnost da će teret biti dopremljen riječnim transportom je 0,82, željeznicom 0,87, cestom 0,90. Odredite vjerojatnost da će roba biti isporučena barem jednim od tri načina prijevoza.

Teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti dvaju događaja. Vjerojatnost zbroja dvaju događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihovog zajedničkog događanja:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Teorem zbrajanja vjerojatnosti dvaju nekompatibilnih događaja. Vjerojatnost zbroja dvaju nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti istih:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Primjer 2.16. Strijelac gađa metu podijeljenu u 3 područja. Vjerojatnost pogađanja prvog područja je 0,45, drugog - 0,35. Nađite vjerojatnost da će strijelac jednim hicem pogoditi prvo ili drugo područje.

Riješenje.

Razvoj događaja ALI- "strijelac je pogodio prvo područje" i NA- “strijelac je pogodio drugu zonu” - su nedosljedni (pogodak u jednu zonu isključuje ulazak u drugu), pa je primjenjiv teorem o zbrajanju.

Željena vjerojatnost jednaka je:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Teorem zbrajanja P nespojivi događaji. Vjerojatnost zbroja n nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja jednak je jedan:

Vjerojatnost događaja NA pod pretpostavkom da se događaj dogodio ALI, naziva se uvjetna vjerojatnost događaja NA i označava se ovako: P(B/A), ili RA (B).

. Vjerojatnost umnoška dva događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog, pod uvjetom da se dogodio prvi događaj:

P(AB)=P(A)P A(B).

Događaj NA ne ovisi o događaju ALI, ako

P A (B) \u003d P (B),

oni. vjerojatnost događaja NA ne ovisi o tome je li se događaj dogodio ALI.

Teorem množenja vjerojatnosti dvaju neovisnih događaja.Vjerojatnost umnoška dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti:

P(AB)=P(A)P(B).

Primjer 2.17. Vjerojatnosti pogađanja cilja pri pucanju iz prvog i drugog oružja jednake su: str 1 = 0,7; str 2= 0,8. Odredite vjerojatnost pogotka jednim udarcem (iz obje puške) barem jedne puške.

Riješenje.

Vjerojatnost pogađanja mete od strane svakog od topova ne ovisi o rezultatu paljbe iz drugog pištolja, tako da događaji ALI- "Prvi pogodak" i NA– “drugi pogodak” su neovisni.

Vjerojatnost događaja AB- "pogođena oba pištolja":

Željena vjerojatnost

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Teorem množenja vjerojatnosti P događanja.Vjerojatnost umnoška n događaja jednaka je umnošku jednog od njih s uvjetnim vjerojatnostima svih ostalih, izračunatim pod pretpostavkom da su se svi prethodni događaji dogodili:

Primjer 2.18. Urna sadrži 5 bijelih, 4 crne i 3 plave kuglice. Svaki test se sastoji u tome da se nasumično izvuče jedna kuglica bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da će se u prvom pokušaju (događaj A) pojaviti bijela kuglica, u drugom pokušaju (događaj B) crna kuglica, a u trećem pokušaju (događaj C) plava kuglica.

Riješenje.

Vjerojatnost da se bijela kuglica pojavi u prvom pokušaju:

Vjerojatnost da se crna kuglica pojavi u drugom pokušaju, izračunata uz pretpostavku da se u prvom pokušaju pojavila bijela kuglica, tj. uvjetna vjerojatnost:

Vjerojatnost da se u trećem pokušaju pojavi plava kuglica, izračunata uz pretpostavku da se u prvom pokušaju pojavila bijela kuglica, a u drugom crna, tj. uvjetna vjerojatnost:

Željena vjerojatnost jednaka je:

Teorem množenja vjerojatnosti P nezavisni događaji.Vjerojatnost umnoška n neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Vjerojatnost da će se barem jedan od događaja dogoditi. Vjerojatnost pojave barem jednog od događaja A 1 , A 2 , ..., A p, neovisno u zbroju, jednaka je razlici između jedinice i umnoška vjerojatnosti suprotnih događaja:

.

Primjer 2.19. Vjerojatnosti pogađanja mete kada se puca iz tri puške su sljedeće: str 1 = 0,8; str 2 = 0,7;str 3= 0,9. Pronađite vjerojatnost najmanje jednog pogotka (događaja ALI) jednim rafalom iz svih topova.

Riješenje.

Vjerojatnost pogađanja cilja od strane svakog od topova ne ovisi o rezultatima paljbe iz drugih topova, tako da događaji koji se razmatraju A1(pogođen prvim pištoljem), A 2(pogođen drugim pištoljem) i A 3(pogodak treće puške) neovisni su u zbiru.

Vjerojatnosti događaja suprotnih događajima A 1, A 2 i A 3(tj. vjerojatnosti promašaja) jednake su:

, , .

Željena vjerojatnost jednaka je:

Ako neovisni događaji A 1, A 2, ..., A str imaju istu vjerojatnost R, tada se vjerojatnost pojave barem jednog od ovih događaja izražava formulom:

R(A)= 1 – q n ,

gdje q=1-p

2.7. Formula ukupne vjerojatnosti. Bayesova formula.

Neka događaj ALI može dogoditi ako se dogodi jedan od nekompatibilnih događaja N 1, N 2, ..., N str tvoreći cjelovitu grupu događaja. Budući da se unaprijed ne zna koji će se od ovih događaja dogoditi, tzv hipoteze.

Vjerojatnost događanja događaja ALI izračunato iz formula ukupne vjerojatnosti:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Pretpostavimo da je izveden pokus koji je rezultirao događajem ALI dogodilo se. Uvjetne vjerojatnosti događaja N 1, N 2, ..., N str u vezi događaja ALI odlučan Bayesove formule:

,

Primjer 2.20. U grupi od 20 studenata koji su došli na ispit, 6 je odličnih, 8 dobrih, 4 zadovoljavajuća i 2 loše pripremljena. Ispitni listići imaju 30 pitanja. Dobro pripremljen student može odgovoriti na svih 30 pitanja, dobro pripremljen student može odgovoriti na 24, zadovoljavajući student može odgovoriti na 15, a loš student može odgovoriti na 7 pitanja.

Slučajno odabrani učenik odgovarao je na tri slučajna pitanja. Odredite vjerojatnost da je ovaj učenik pripremljen: a) odličan; b) loše.

Riješenje.

Hipoteze – „učenik je dobro pripremljen“;

– „učenik je dobro pripremljen”;

– “učenik je pripremljen na zadovoljavajući način”;

- "učenik je slabo pripremljen."

Prije iskustva:

; ; ; ;

7. Što se naziva potpuna skupina događaja?

8. Koji se događaji nazivaju jednako vjerojatnim? Navedite primjere takvih događaja.

9. Što se naziva elementarni ishod?

10. Koje ishode smatram povoljnim za ovaj događaj?

11. Koje se operacije mogu izvoditi nad događajima? Dajte im definicije. Kako se označavaju? Navedite primjere.

12. Što se naziva vjerojatnošću?

13. Kolika je vjerojatnost određenog događaja?

14. Kolika je vjerojatnost nemogućeg događaja?

15. Koje su granice vjerojatnosti?

16. Kako se određuje geometrijska vjerojatnost na ravnini?

17. Kako se definira vjerojatnost u prostoru?

18. Kako se određuje vjerojatnost na ravnoj liniji?

19. Kolika je vjerojatnost zbroja dvaju događaja?

20. Kolika je vjerojatnost zbroja dvaju nekompatibilnih događaja?

21. Kolika je vjerojatnost zbroja n nekompatibilnih događaja?

22. Što je uvjetna vjerojatnost? Navedite primjer.

23. Formulirajte teorem množenja vjerojatnosti.

24. Kako pronaći vjerojatnost pojave barem jednog od događaja?

25. Koji se događaji nazivaju hipotezama?

26. Kada se primjenjuju formula ukupne vjerojatnosti i Bayesove formule?

Zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Ovaj će se članak usredotočiti na rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti. Ranije smo već analizirali neke od najjednostavnijih zadataka, za njihovo rješavanje dovoljno je znati i razumjeti formulu (savjetujem vam da je ponovite).

Postoje zadaci koji su malo kompliciraniji, za njihovo rješavanje potrebno je poznavati i razumjeti: pravilo zbrajanja vjerojatnosti, pravilo množenja vjerojatnosti, pojmove zavisnih i nezavisnih događaja, suprotnih događaja, zajedničkih i nekompatibilnih događaja. Nemojte se bojati definicija, sve je jednostavno)).U ovom ćemo članku razmotriti upravo takve zadatke.

Nekoliko važnih i jednostavnih teorija:

nekompatibilan ako pojava jednog od njih isključuje pojavu ostalih. To jest, može se dogoditi samo jedan određeni događaj ili drugi.

Klasičan primjer: kod bacanja kocke (kocke) može ispasti samo jedna, ili samo dvije, ili samo tri itd. Svaki od ovih događaja je nekompatibilan s ostalima, a pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog (u jednom testu). Isto je i s novčićem - gubitak "orla" eliminira mogućnost gubitka "repa".

To vrijedi i za složenije kombinacije. Na primjer, upaljene su dvije svjetiljke. Svaki od njih može, ali i ne mora izgorjeti neko vrijeme. Postoje opcije:

1. Prvi pregori, a drugi izgori
2. Prvi izgori, a drugi ne izgori
3. Prvi ne izgori, a drugi izgori
4. Prvi ne izgori, a drugi izgori.

Sve ove 4 varijante događaja su nespojive - jednostavno se ne mogu dogoditi zajedno i nijedna ni s jednom drugom...

Definicija: Događaji se nazivaju spojnica ako pojava jedne od njih ne isključuje pojavu druge.

Primjer: dama će se uzeti iz špila karata, a karta pik će se uzeti iz špila karata. Razmatraju se dva događaja. Ovi događaji se međusobno ne isključuju - možete izvući Pikovu damu i tako će se dogoditi oba događaja.

Na zbroju vjerojatnosti

Zbroj dva događaja A i B naziva se događaj A + B, koji se sastoji u tome da će se ili događaj A ili događaj B ili oba dogoditi u isto vrijeme.

Ako se pojave nekompatibilan događaja A i B, tada je vjerojatnost zbroja tih događaja jednaka zbroju vjerojatnosti događaja:

Primjer kocke:

Bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da dobijete broj manji od četiri?

Brojevi manji od četiri su 1,2,3. Znamo da je vjerojatnost da ćemo dobiti 1 1/6, 2 je 1/6, a 3 je 1/6. To su nespojivi događaji. Možemo primijeniti pravilo zbrajanja. Vjerojatnost da dobijete broj manji od četiri je:

Doista, ako pođemo od koncepta klasične vjerojatnosti: tada je broj mogućih ishoda 6 (broj svih stranica kocke), broj povoljnih ishoda je 3 (jedan, dva ili tri). Željena vjerojatnost je 3 do 6 ili 3/6 = 0,5.

* Vjerojatnost zbroja dvaju zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez uzimanja u obzir njihove zajedničke pojave: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB )

O množenju vjerojatnosti

Neka se dogode dva nekompatibilna događaja A i B, njihove su vjerojatnosti P(A) i P(B). Umnožak dva događaja A i B naziva se takav događaj A B, koji se sastoji u tome da će se ti događaji dogoditi zajedno, odnosno dogodit će se i događaj A i događaj B. Vjerojatnost takvog događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti događaja A i B.Izračunava se prema formuli:

Kao što ste već primijetili, logički veznik "I" označava množenje.

Primjer s istom kockom:Baci kocku dvaput. Kolika je vjerojatnost bacanja dvije šestice?

Vjerojatnost da prvi put bacite šesticu je 1/6. Drugi put je također jednak 1/6. Vjerojatnost da dobijete šesticu i prvi i drugi put jednaka je umnošku vjerojatnosti:

Jednostavnim rječnikom rečeno: kada se događaj dogodi u jednom testu, A zatim se dogodi drugi (ostali), tada je vjerojatnost da će se oni dogoditi zajedno jednaka umnošku vjerojatnosti tih događaja.

Zadatke smo rješavali kockicama, ali smo koristili samo logično razmišljanje, nismo koristili formulu proizvoda. U problemima koji se razmatraju u nastavku ne može se bez formula, odnosno s njima će biti lakše i brže dobiti rezultat.

Vrijedno je spomenuti još jednu nijansu. Pri rasuđivanju u rješavanju problema koristi se koncept ISTOVREMENOSTI događaja. Događaji se događaju ISTOVREMENO – to ne znači da se događaju u jednoj sekundi (u jednom trenutku vremena). To znači da se javljaju u određenom vremenskom razdoblju (s jednim testom).

Na primjer:

Dvije lampe pregore u roku od godinu dana (može se reći - istovremeno u roku od godinu dana)

Dva automata se pokvare u mjesec dana (može se reći istovremeno u mjesec dana)

Kocka se baca tri puta (bodovi ispadaju istovremeno, znači u jednom testu)

Biatlonac izvodi pet hitaca. Događaji (pucnji) se događaju tijekom jednog testa.

Događaji A i B su neovisni ako vjerojatnost jednog od njih ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju drugog događaja.

Razmotrite zadatke:

Dvije tvornice proizvode ista stakla za automobilska svjetla. Prva tvornica proizvodi 35% ovih naočala, druga - 65%. Prva tvornica proizvodi 4% neispravnih naočala, a druga - 2%. Nađite vjerojatnost da će čaša slučajno kupljena u trgovini biti neispravna.

Prva tvornica proizvodi 0,35 proizvoda (čaše). Vjerojatnost kupnje neispravnog stakla iz prve tvornice je 0,04.

Druga tvornica proizvodi 0,65 stakla. Vjerojatnost kupnje neispravnog stakla iz druge tvornice je 0,02.

Vjerojatnost da je staklo kupljeno u prvoj tvornici I da će u isto vrijeme biti neispravno je 0,35∙0,04 = 0,0140.

Vjerojatnost da je staklo kupljeno u drugoj tvornici I da će u isto vrijeme biti neispravno je 0,65∙0,02 = 0,0130.

Kupnja neispravnog stakla u trgovini podrazumijeva da je ono (neispravno staklo) kupljeno ILI od prve tvornice ILI od druge. To su nekompatibilni događaji, odnosno zbrajamo dobivene vjerojatnosti:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Odgovor: 0,027

Ako velemajstor A. igra belom, tada on pobjeđuje velemajstora B. s vjerojatnošću 0,62. Ako A. igra crno, tada A. pobjeđuje B. s vjerojatnošću 0,2. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj partiji mijenjaju boju figura. Odredite vjerojatnost da A. pobijedi oba puta.

Šanse za pobjedu u prvoj i drugoj igri neovisne su jedna o drugoj. Kaže se da velemajstor mora pobijediti oba puta, odnosno pobijediti prvi put I istovremeno pobijediti drugi put. U slučaju kada se neovisni događaji moraju dogoditi zajedno, vjerojatnosti tih događaja se množe, odnosno koristi se pravilo množenja.

Vjerojatnost stvaranja ovih događaja bit će jednaka 0,62∙0,2 = 0,124.

Odgovor: 0,124

Na ispitu iz geometrije student dobiva jedno pitanje iz liste ispitnih pitanja. Vjerojatnost da je ovo pitanje upisane kružnice je 0,3. Vjerojatnost da je ovo pitanje paralelograma je 0,25. Ne postoje pitanja vezana uz ove dvije teme u isto vrijeme. Nađite vjerojatnost da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Odnosno, potrebno je pronaći vjerojatnost da će učenik dobiti pitanje ILI na temu “Upisana kružnica”, ILI na temu “Paralelogram”. U ovom slučaju, vjerojatnosti se zbrajaju, budući da su ti događaji nekompatibilni i može se dogoditi bilo koji od ovih događaja: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Disjunktni događaji su događaji koji se ne mogu dogoditi u isto vrijeme.

Odgovor: 0,55

Biatlonac puca pet puta u mete. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,9. Nađite vjerojatnost da je biatlonac prva četiri puta pogodio mete, a zadnji promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotinku.

Budući da biatlonac pogađa metu s vjerojatnošću 0,9, promašuje s vjerojatnošću 1 - 0,9 = 0,1

*Promašaj i pogodak su događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno s jednim hicem, zbroj vjerojatnosti tih događaja je 1.

Riječ je o počinjenju više (neovisnih) događaja. Ako se događaj dogodi, a istovremeno se dogodi drugi (naknadni) u isto vrijeme (test), tada se vjerojatnosti tih događaja umnožavaju.

Vjerojatnost stvaranja neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti.

Dakle, vjerojatnost događaja "pogodio, pogodio, pogodio, pogodio, promašio" jednaka je 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Zaokružujući na stotinke, dobivamo 0,07

Odgovor: 0,07

Trgovina ima dva automata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan s vjerojatnošću od 0,07, neovisno o drugom automatu. Odredite vjerojatnost da je barem jedan automat ispravan.

Odredite vjerojatnost da su oba automata neispravna.

Ovi događaji su neovisni, pa će vjerojatnost biti jednaka umnošku vjerojatnosti tih događaja: 0,07∙0,07 = 0,0049.

To znači da će vjerojatnost da oba automata rade ili jedan od njih biti jednaka 1 - 0,0049 = 0,9951.

* Oba su ispravna, a neki potpuno - ispunjavaju uvjet "barem jedan".

Moguće je predstaviti vjerojatnosti svih (neovisnih) događaja za testiranje:

1. "neispravan-neispravan" 0,07∙0,07 = 0,0049

2. “Dobar-neispravan” 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "Neispravan-neispravan" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. “zdravo-zdravo” 0,93∙0,93 = 0,8649

Da bi se odredila vjerojatnost da je barem jedan automat u dobrom stanju, potrebno je zbrojiti vjerojatnosti neovisnih događaja 2,3 i 4: određeni događaj Događajem se naziva događaj koji će se sigurno dogoditi kao rezultat iskustva. Događaj se zove nemoguće ako se nikada ne dogodi kao rezultat iskustva.

Na primjer, ako je jedna kuglica nasumično izvučena iz kutije koja sadrži samo crvene i zelene kuglice, tada je pojava bijele kuglice među izvučenim kuglicama nemoguć događaj. Pojava crvene i pojava zelene kuglice čine zaokruženu skupinu događaja.

Definicija: Događaji se zovu jednako moguće , ako nema razloga vjerovati da će se jedan od njih pojaviti kao rezultat pokusa s većom vjerojatnošću.

U gornjem primjeru pojavljivanje crvenih i zelenih kuglica jednako je vjerojatan događaj ako kutija sadrži isti broj crvenih i zelenih kuglica. Ako u kutiji ima više crvenih kuglica nego zelenih, manja je vjerojatnost pojave zelene kuglice od pojave crvene.

U nastavku ćemo razmotriti još problema u kojima se koriste zbroj i umnožak vjerojatnosti događaja, nemojte to propustiti!

To je sve. Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Marija Ivanovna prekori Vasju:
Petrov, zašto nisi bio jučer u školi?!
Mama mi je jučer prala hlače.
- Pa što?
- A ja sam prolazio kraj kuće i vidio da tvoji vise. Mislio sam da nećeš doći.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.