Kako nacrtati 2 paralelne linije Lobačevskog kroz točku. Praktične primjene geometrije Lobačevskog

Geometrija Lobačevskog

Uvod

Poglavlje I. Povijest nastanka neeuklidske geometrije

poglavlje II. Geometrija Lobačevskog

2.1 Osnovni pojmovi

2.2 Konzistentnost geometrije Lobačevskog

2.3 Modeli geometrije Lobačevskog

2.4 Defekt trokuta i poligona

2.5 Apsolutna jedinica duljine u geometriji Lobačevskog

2.6 Definicija paralelnog pravca. Funkcija P(x)

2.7 Poincareov model

Praktični dio

1. Zbroj kutova trokuta

2. Pitanje postojanja takvih figura

3. Glavno svojstvo paralelizma

4. Svojstva funkcije P(x)

Zaključak. zaključke

Prijave

Popis korištene literature

Uvod

Ovaj rad pokazuje sličnosti i razlike između dviju geometrija na primjeru dokaza jednog od Euklidovih postulata i nastavka ovih pojmova u geometriji Lobačevskog, uzimajući u obzir dostignuća tadašnje znanosti.

Svaka teorija moderne znanosti smatra se ispravnom dok se ne stvori sljedeća. Ovo je svojevrsni aksiom razvoja znanosti. Ova činjenica je mnogo puta potvrđena.

Newtonova fizika prerasla je u relativističku, a ona - u kvantnu. Teorija flogistona postala je kemija. Takva je sudbina svih znanosti. Ova sudbina nije zaobišla geometriju. Tradicionalna Euklidova geometrija prerasla je u geometriju. Lobačevski. Ovaj rad je posvećen ovoj grani znanosti.

Svrha ovog rada: razmotriti razliku između geometrije Lobačevskog i Euklidove geometrije.

Ciljevi ovog rada: usporediti teoreme Euklidove geometrije sa sličnim teoremima geometrije Lobačevskog;

rješavanjem zadataka izvoditi stavove geometrije Lobačevskog.

Zaključci: 1. Geometrija Lobačevskog izgrađena je na odbacivanju petog postulata Euklida.

2. U geometriji Lobačevskog:

nema sličnih trokuta koji nisu jednaki;

dva su trokuta jednaka ako su im kutovi jednaki;

zbroj kutova trokuta nije jednak 180 0, nego manji (zbroj kutova trokuta ovisi o njegovoj veličini: što je površina veća, zbroj se više razlikuje od 180 0; i obrnuto, što je površina manja, to je zbroj njezinih kutova bliži 180 0);

kroz točku izvan pravca može se povući više od jednog pravca paralelnog zadanom pravcu.

Poglavlje 1. Povijest nastanka neeuklidske geometrije

1.1 V Euklidov postulat, pokušaj dokazivanja

Euklid je autor prve rigorozne logičke konstrukcije geometrije koja je došla do nas. Njegovo je izlaganje toliko savršeno za svoje vrijeme da je dvije tisuće godina od trenutka pojavljivanja njegova djela "Elementi" bilo jedini vodič za učenike geometrije.

"Počeci" se sastoje od 13 knjiga posvećenih geometriji i aritmetici u geometrijskom prikazu.

Svaka knjiga Elemenata počinje definicijom pojmova koji se prvi put susreću. Slijedeći definicije, Euklid daje postulate i aksiome, odnosno tvrdnje prihvaćene bez dokaza.

Euklidov postulat V kaže: i kad god pravac, sijekući se s dva druga pravca, tvori s njima jednostrane unutarnje kutove, čiji je zbroj manji od dva pravca, ti se pravci sijeku na strani na kojoj je taj zbroj manji od dvije linije.

Najvažniji nedostatak sustava euklidskih aksioma, uključujući i njegove postavke, jest njegova nedovršenost, odnosno nedostatnost za striktno logičnu konstrukciju geometrije, u kojoj se svaka rečenica, ako se ne nalazi u popisu aksioma, mora biti logično izvedene iz njihovih posljednjih. Stoga se Euklid pri dokazivanju teorema nije uvijek temeljio na aksiomima, već je pribjegavao intuiciji, vizualizaciji i "osjetilnim" percepcijama. Na primjer, konceptu "između" pripisao je čisto vizualni karakter; prešutno je pretpostavio da ravna crta koja prolazi unutarnjom točkom kružnice mora sigurno presijecati nju u dva štapa. Pritom se temeljio samo na vidljivosti, a ne na logici; on nigdje nije dao dokaz te činjenice, niti ga je mogao dati, jer su mu nedostajali aksiomi kontinuiteta. Također mu nedostaju neki drugi aksiomi, bez kojih nije moguć striktno logički dokaz teorema.

Ali nitko nije sumnjao u istinitost Euklidovih postulata, što se tiče petog postulata. U međuvremenu, već u antici, upravo je postulat o paralelama privukao posebnu pozornost niza geometara, koji su smatrali neprirodnim stavljati ga među postulate. To je vjerojatno bilo zbog relativno manje očitosti i jasnoće postulata V: implicitno, on pretpostavlja dohvatljivost bilo kojih, proizvoljno udaljenih dijelova ravnine, izražavajući svojstvo koje se nalazi samo kada se ravne linije beskonačno produžuju.

Sam Euklid i mnogi znanstvenici pokušali su dokazati postulat o paralelama. Neki su pokušali dokazati postulat o paralelama, koristeći se samo drugim postulatima i onim teoremima koji se iz potonjih mogu izvesti, a da nisu koristili sam V postulat. Svi takvi pokušaji bili su neuspješni. Njihov zajednički nedostatak je da je neka pretpostavka, ekvivalentna postulatu koji se dokazuje, implicitno primijenjena u dokazu. Drugi su predložili redefiniranje paralelnih pravaca ili zamjenu V postulata nečim što su smatrali očiglednijim.

Ali stoljetni pokušaji da se dokaže peti postulat Euklida na kraju su doveli do pojave nove geometrije, koja se razlikuje po tome što peti postulat u njoj nije ispunjen. Ova se geometrija danas naziva neeuklidskom, au Rusiji nosi ime Lobačevskog, koji je prvi objavio djelo s njezinim prikazom.

A jedan od preduvjeta za geometrijska otkrića N. I. Lobačevskog (1792.-1856.) bio je upravo njegov materijalistički pristup problemima spoznaje. Lobačevski, bio je čvrsto uvjeren u objektivno postojanje materijalnog svijeta i mogućnost njegovog poznavanja, neovisno o ljudskoj svijesti. U svom govoru “O najvažnijim predmetima odgoja” (Kazan, 1828.) Lobačevski sa simpatijom citira riječi F. Bacona: “ostavite ih da se uzalud trude, pokušavajući izvući svu mudrost iz njih samih; pitajte prirodu, ona čuva sve istine i odgovorit će na sva vaša pitanja bez greške i na zadovoljavajući način. U svom eseju “O principima geometrije”, koji je prva objava geometrije koju je otkrio, Lobačevski je napisao: “Prvi pojmovi od kojih svaka znanost počinje moraju biti jasni i svedeni na najmanji broj. Tada samo oni mogu poslužiti kao čvrst i dovoljan temelj za doktrinu. Takve pojmove stječu osjetila; urođeno – ne treba vjerovati.

Prvi pokušaji Lobačevskog da dokaže peti postulat potječu iz 1823. godine. Do 1826. došao je do zaključka da peti postulat ne ovisi o ostatku aksioma Euklidove geometrije, a 11. (23.) veljače 1826., na sastanku fakulteta Sveučilišta u Kazanu, napravio je izvješće “ Sažeti prikaz principa geometrije sa rigoroznim dokazom paralelnog teorema”, u kojem su ocrtani počeci po njemu otkrivene “imaginarne geometrije”, kako je nazvao sustav, koji je kasnije postao poznat kao neeuklidska geometrija. . Izvješće iz 1826. godine uključeno je u prvu publikaciju Lobačevskog o neeuklidskoj geometriji - članak "O principima geometrije", objavljen u časopisu Sveučilišta u Kazanu "Kazan Vestnik" 1829.-1830. Daljnjem razvoju i primjeni geometrije koju je otkrio posvećeni su memoari "Imaginarna geometrija", "Primjena imaginarne geometrije na neke integrale" i "Novi počeci geometrije s potpunom teorijom paralela", objavljeni u "Znanstvenim bilješkama" 1835., 1836. i 1835.-1838. Revidirani tekst "Imaginarne geometrije" pojavio se u francuskom prijevodu u Berlinu, ibid., 1840. godine. objavljene su kao zasebna knjiga na njemačkom "Geometrijske studije o teoriji paralelnih pravaca" Lobačevskog. Napokon je 1855. i 1856. god. objavio je u Kazanu na ruskom i francuskom »Pangeometriju«. Visoko je cijenio Gaussove "Geometrijske studije", koji je Lobačevskog (1842.) učinio dopisnim članom Göttingenskog znanstvenog društva, koje je u biti bilo Akademija znanosti Hannoverske kraljevine. Međutim, Gauss nije objavio ocjenu novog geometrijskog sustava.

1.2 Postavke paralelizma Euklida i Lobačevskog

Glavna točka od koje počinje podjela geometrije na običnu euklidsku (uobičajenu) i neeuklidsku (imaginarnu geometriju ili "pangeometriju"), kao što znate, jest postulat o paralelnim linijama.

Uobičajena geometrija temelji se na pretpostavci da se kroz točku koja ne leži na danom pravcu može povući najviše jedan pravac u ravnini definiranoj tom točkom i pravcem koji ne siječe dani pravac. Činjenica da kroz točku koja ne leži na određenom pravcu prolazi barem jedan pravac koji ne siječe taj pravac odnosi se na "apsolutnu geometriju", tj. može se dokazati bez pomoći postulata paralelnih pravaca.

Pravac BB koji prolazi kroz P pod pravim kutom na okomicu PQ na koju pada AA 1 ne siječe pravac AA 1 ; taj se pravac u euklidskoj geometriji naziva paralelnim s AA 1 .

Za razliku od Euklidovog postulata, Lobačevski uzima sljedeći aksiom kao osnovu za konstrukciju teorije paralelnih pravaca:

Kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu, u ravnini određenoj tom točkom i pravcem, može se povući više od jednog pravca koji ne siječe zadani pravac.

To izravno implicira postojanje beskonačnog broja pravaca koji prolaze kroz istu točku i ne sijeku dani pravac. Neka pravac SS 1 ne siječe AA 1; onda se svi pravci koji prolaze unutar dva okomita kuta VRS i B 1 PC 1 također ne sijeku s pravcem AA 1 .

Poglavlje 2. Geometrija Lobačevskog.

2.1 Osnovni pojmovi

U svojim memoarima O načelima geometrije (1829.), Lobačevski je prije svega reproducirao svoj izvještaj iz 1826. godine.

Dana 7. veljače 1832. Nikolaj Lobačevski izložio je sudu svojih kolega svoj prvi rad o neeuklidskoj geometriji. Taj dan bio je početak revolucije u matematici, a rad Lobačevskog bio je prvi korak prema Einsteinovoj teoriji relativnosti. Danas je "RG" prikupio pet najčešćih zabluda o teoriji Lobačevskog, koje postoje među ljudima daleko od matematičke znanosti

Mit prvi. Geometrija Lobačevskog nema ništa zajedničko s euklidskom.

Zapravo, geometrija Lobačevskog se ne razlikuje previše od euklidske geometrije na koju smo navikli. Činjenica je da je Lobačevski od pet Euklidovih postulata prva četiri ostavio bez promjene. To jest, on se slaže s Euklidom da se ravna linija može povući između bilo koje dvije točke, da se uvijek može produžiti do beskonačnosti, da se kružnica bilo kojeg radijusa može povući iz bilo kojeg središta i da su svi pravi kutovi jednaki svakom drugo. Lobačevski se nije slagao samo s petim postulatom, s njegove točke gledišta najsumnjivijim, Euklidovim. Njegova formulacija zvuči vrlo lukavo, ali ako je prevedemo na jezik razumljiv običnoj osobi, ispada da će se, prema Euklidu, dvije neparalelne linije sigurno presijecati. Lobačevski je uspio dokazati lažnost ove poruke.

Mit drugi. U teoriji Lobačevskog paralelni pravci se sijeku

Ovo nije istina. Zapravo, peti postulat Lobačevskog zvuči ovako: "Na ravnini, kroz točku koja ne leži na zadanoj liniji, prolazi više od jedne linije koja ne siječe zadanu." Drugim riječima, za jednu ravnu liniju moguće je kroz jednu točku povući najmanje dvije prave koje je neće presijecati. Odnosno, u ovom postulatu Lobačevskog uopće nema govora o paralelnim pravcima! Govorimo samo o postojanju više pravaca koji se ne sijeku na istoj ravnini. Tako je pretpostavka o sjecištu paralelnih linija rođena zbog banalnog nepoznavanja suštine teorije velikog ruskog matematičara.

Mit treći. Geometrija Lobačevskog jedina je neeuklidska geometrija

Neeuklidske geometrije su cijeli sloj teorija u matematici, gdje je osnova peti postulat različit od euklidskog. Lobačevski, za razliku od Euklida, na primjer, opisuje hiperbolički prostor. Postoji još jedna teorija koja opisuje sferni prostor - to je Riemannova geometrija. Ovdje se sijeku paralelne linije. Klasičan primjer za to iz školskog programa su meridijani na globusu. Ako pogledate uzorak globusa, ispada da su svi meridijani paralelni. U međuvremenu, vrijedi staviti uzorak na sferu, jer vidimo da se svi prethodno paralelni meridijani konvergiraju u dvije točke - na polovima. Teorije Euklida, Lobačevskog i Riemanna zajedno se nazivaju "tri velike geometrije".

Mit četvrti. Geometrija Lobačevskog nije primjenjiva u stvarnom životu

Naprotiv, moderna znanost dolazi do shvaćanja da je euklidska geometrija samo poseban slučaj geometrije Lobačevskog, te da je stvarni svijet točnije opisan upravo formulama ruskog znanstvenika. Najjači poticaj za daljnji razvoj geometrije Lobačevskog bila je teorija relativnosti Alberta Einsteina, koja je pokazala da sam prostor našeg Svemira nije linearan, već je hiperbolička sfera. U međuvremenu, sam Lobačevski, unatoč činjenici da je cijeli život radio na razvoju svoje teorije, nazvao ju je "imaginarnom geometrijom".

Mit pet. Lobačevski je prvi stvorio neeuklidsku geometriju

Ovo nije posve točno. Paralelno s njim i neovisno o njemu, do sličnih su zaključaka došli mađarski matematičar Janos Bolyai i slavni njemački znanstvenik Carl Friedrich Gauss. Međutim, Janosova djela nisu bila zamijećena u široj javnosti, a Karl Gauss je preferirao da se uopće ne objave. Stoga se upravo naš znanstvenik smatra pionirom ove teorije. Međutim, postoji pomalo paradoksalno gledište da je sam Euklid prvi izmislio neeuklidsku geometriju. Činjenica je da je on samokritički smatrao da njegov peti postulat nije očigledan, pa je većinu svojih teorema dokazao bez pribjegavanja njemu.

geometrijski teoremi Lobačevskog

1. Osnovni pojmovi geometrije Lobačevskog

U euklidskoj geometriji, prema petom postulatu, na ravnini kroz točku R, ležeći izvan linije A "A, postoji samo jedna ravna linija B"B, ne sijekući se A "A. Ravno B"B" naziva paralelnim do A"A.Štoviše, dovoljno je zahtijevati da postoji najviše jedan takav pravac, budući da se postojanje pravca koji se ne siječe može dokazati uzastopnim crtanjem pravaca PQA"A i PBPQ. U geometriji Lobačevskog, aksiom paralelizma zahtijeva da kroz točku R prošao više od jedne ravne crte koje se nisu sijekle A "A.

Linije koje se ne sijeku ispunjavaju dio olovke s vrhom R, koji leži unutar para okomitih kutova TPU i U"PT", smješten simetrično oko okomice P.Q. Pravci koji tvore stranice okomitih kutova odvajaju pravce koji se sijeku od onih koji se ne sijeku i sami se također ne sijeku. Te granične linije nazivaju se paralele u točki P s pravom A "A odnosno u dva smjera: T "T paralelno A "A u pravcu A"A, a UU" paralelno A "A u pravcu A A". Ostali pravci koji se ne sijeku nazivaju se divergentne linije S A "A.

Kutak , 0< R oblici s okomicom pQ, QPT=QPU"=, nazvao kut paralelizma segment PQ=a a označava se sa . Na a=0 kut =/2; s povećanjem a kut se smanjuje tako da je za svaki zadani 0<a. Ta se ovisnost naziva Funkcija Lobačevskog :

P(a)=2arctg (),

gdje do-- neka konstanta koja definira segment fiksne vrijednosti. Naziva se radijus zakrivljenosti prostora Lobačevskog. Poput sferne geometrije, postoji beskonačan skup prostora Lobačevskog, koji se razlikuju po veličini do.

Dvije različite ravne linije u ravnini čine par jedne od tri vrste.

linije koje se sijeku . Udaljenost od točaka jednog pravca do drugog pravca neograničeno se povećava kako se točka udaljava od sjecišta pravaca. Ako linije nisu okomite, tada se svaka projicira ortogonalno na drugu u otvoreni segment konačne veličine.

Paralelne linije . U ravnini, kroz danu točku, postoji jedna pravac paralelna sa zadanom pravcem u smjeru zadanom na potonjoj. Paralelno u točki R zadržava u svakoj svojoj točki svojstvo da je paralelan s istim pravcem u istom smjeru. Paralelizam je recipročan (ako a||b u određenom smjeru, dakle b||a u odgovarajućem smjeru) i tranzitivnost (ako a||b i sa || b u jednom smjeru, dakle a||s u odgovarajućem smjeru). U smjeru paralelnosti paralelni se neograničeno približavaju, u suprotnom smjeru neograničeno se udaljavaju (u smislu udaljenosti od točke gibanja jednog pravca do drugog pravca). Ortogonalna projekcija jednog pravca na drugi je otvoreni polupravac.

Divergentne linije . Imaju jednu zajedničku okomicu, čiji segment daje najmanju udaljenost. S obje strane okomice linije se neograničeno razilaze. Svaka linija se projicira na drugu u otvoreni segment konačne veličine.

Tri vrste linija odgovaraju na ravnini trima vrstama linija linija, od kojih svaka pokriva cijelu ravninu: greda 1. vrste je skup svih pravaca koji prolaze kroz jednu točku ( centar greda); greda 2. vrste je skup svih pravaca okomitih na jedan pravac ( baza greda); greda 3. vrste je skup svih pravaca paralelnih s jednim pravcem u zadanom smjeru, uključujući i ovaj pravac.

Ortogonalne putanje ravnih linija ovih greda tvore analogije kruga euklidske ravnine: krug u pravom smislu; jednako udaljena , ili crta jednak udaljenosti (ako ne uzmete u obzir bazu), koja je konkavna prema bazi; granična linija , ili horocikl, može se smatrati kružnicom s beskonačno udaljenim središtem. Granične linije su sukladne. Nisu zatvoreni i konkavni su prema paralelizmu. Dvije granične linije koje stvara jedan snop su koncentrične (na ravnim linijama snopa izrezani su jednaki segmenti). Omjer duljina koncentričnih lukova između dviju ravnih linija grede smanjuje se prema paralelizmu kao eksponencijalna funkcija udaljenosti x između lukova:

s" / s=e.

Svaki od analoga kruga može kliziti sam po sebi, što dovodi do tri vrste jednoparametarskih gibanja ravnine: rotacija oko vlastitog središta; rotacija oko idealnog centra (jedna putanja je baza, ostale su ekvidistantne); rotacija oko beskonačno udaljenog središta (sve putanje su granične linije).

Rotacija analoga kruga oko ravne linije generirajuće olovke dovodi do analoga sfere: vlastitu sferu, plohu jednakih udaljenosti i horosferu, ili rubni površine .

Na sferi je geometrija velikih krugova uobičajena sferna geometrija; na površini jednakih udaljenosti - ekvidistantna geometrija, što je planimetrija Lobačevskog, ali s većom vrijednošću do; na graničnoj plohi, Euklidska geometrija graničnih linija.

Veza između duljina lukova i tetiva graničnih pravaca i euklidskih trigonometrijskih odnosa na graničnoj plohi omogućuje izvođenje trigonometrijskih odnosa na ravnini, odnosno trigonometrijskih formula za ravne trokute.

2. Neki teoremi geometrije Lobačevskog

Teorem 1. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta manji je od 2d.

Razmotrimo prvo pravokutni trokut ABC (slika 2). Njegove strane a, b, c prikazani su redom kao segment euklidske okomice na pravac i, lukovi euklidske kružnice sa središtem M i lukovi euklidske kružnice sa središtem N. Kutak IZ--ravno. Kutak ALI jednak kutu između tangenti na kružnice b i S u točki ALI, ili, što je isto, kut između polumjera NA i MA ovi krugovi. Konačno, B = BNM.

Nadogradimo segment BN kao na promjeru euklidske kružnice q; ona ima s opsegom S jednu zajedničku točku NA, budući da je njegov promjer polumjer kruga S. Stoga, točka ALI leži izvan kruga omeđenog krugom q, Posljedično,

A = ČOVJEK< MBN.

Dakle, zbog jednakosti MBN+B = d imamo:

A + B< d; (1)

dakle A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Imajte na umu da se pravilnim hiperboličkim gibanjem svaki pravokutni trokut može postaviti tako da mu jedan krak leži na euklidskoj okomici na pravac i; dakle, metoda koju smo koristili za izvođenje nejednakosti (1) primjenjiv na svaki pravokutni trokut.

Ako je zadan kosi trokut, tada ga jednom od visina dijelimo na dva pravokutna trokuta. Zbroj šiljastih kutova tih pravokutnih trokuta jednak je zbroju kutova zadanog kosokutnog trokuta. Dakle, uzimajući u obzir nejednakost (1) , zaključujemo da teorem vrijedi za svaki trokut.

Teorem 2 . Zbroj kutova četverokuta manji je od 4d.

Da bismo to dokazali, dovoljno je četverokut s dijagonalom podijeliti na dva trokuta.

Teorem 3 . Dva divergentna pravca imaju jednu i samo jednu zajedničku okomicu.

Neka jedna od ovih divergentnih ravnih crta bude prikazana na karti kao euklidska okomica R na ravnu liniju i u točki M, drugi je u obliku euklidskog polukruga q usredotočen na i, i R i q nemaju zajedničkih točaka (slika 3). Takav raspored dviju divergentnih hiperboličkih linija na karti uvijek se može postići pravilnim hiperboličkim gibanjem.

Potrošimo od M euklidska tangenta MN do q i opisati iz središta M radius MN euklidski polukrug m. Jasno je da m--hiperbolička linija koja siječe i R i q pod pravim kutom. Posljedično, m prikazuje na karti traženu zajedničku okomicu zadanih divergentnih pravaca.

Dva divergentna pravca ne mogu imati dvije zajedničke okomice, jer bi u tom slučaju postojao četverokut s četiri prava kuta, što je u suprotnosti s teoremom 2.

. Teorem 4. Pravokutna projekcija stranice oštrog kuta na njegovu drugu stranicu je segment(a ne polupravac, kao u Euklidovoj geometriji).

Valjanost teoreme je očita sa Sl. 4, gdje je segment AB nalazi se pravokutna projekcija stranice AB oštar kut VAS na njegovoj strani KAO.

Na istoj slici, luk DE Euklidski krug sa središtem M je okomica na hiperboličku liniju AC. Ova se okomica ne siječe s kosom AB. Prema tome, pretpostavka da se okomita i kosa linija na istu liniju uvijek sijeku proturječi aksiomu paralelizma Lobačevskog; ekvivalentan je Euklidovom aksiomu paralelizma.

Teorem 5. Ako su tri kuta trokuta ABC jednaka trima kutovima trokuta A, B, C, tada su ti trokuti sukladni.

Pretpostavite suprotno i odvojite, odnosno, na zrake AB i AC segmentima AB \u003d A "B", AC \u003d A "C". Očito trokuta. ABC i A "B" C jednake dvije strane i kut između njih. Točka B ne poklapa se s NA, točka C ne poklapa se s IZ, budući da bi se u bilo kojem od ovih slučajeva dogodila jednakost ovih trokuta, što je u suprotnosti s pretpostavkom.

Razmotrite sljedeće mogućnosti.

a) Točka B se nalazi između ALI i NA, točka IZ-- između ALI i IZ(slika 5); na ovoj i sljedećoj slici hiperboličke linije konvencionalno su prikazane kao euklidske linije). Lako je provjeriti da je zbroj kutova četverokuta SSNE jednako je 4d, što je nemoguće zbog teorema 2.

6) Točka NA leži između ALI i NA, točka IZ-- između ALI i IZ(slika 6). Označimo sa D točka presjeka segmenata Sunce i PRIJE KRISTA Jer C=C" i C" \u003d C, zatim C= IZ , što je nemoguće jer je kut C vanjski trokutu CCD.

Ostali mogući slučajevi tretiraju se na sličan način.

Teorem je dokazan jer je postavljena pretpostavka dovela do kontradikcije.

Iz teorema 5 slijedi da u geometriji Lobačevskog ne postoji trokut sličan zadanom trokutu, ali ne i jednak njemu.

Navikli smo misliti da je geometrija promatranog svijeta euklidska, tj. ispunjava zakone geometrije koja se uči u školi. Zapravo to nije istina. U ovom ćemo članku razmotriti manifestacije u stvarnosti geometrije Lobačevskog, koja je na prvi pogled čisto apstraktna.

Geometrija Lobačevskog razlikuje se od uobičajene euklidske po tome što u njoj kroz točku koja ne leži na danom pravcu prolaze najmanje dva pravca koji leže sa danim pravcem u istoj ravnini i ne sijeku ga. Također se naziva hiperbolična geometrija.

1. Euklidska geometrija - kroz bijelu točku prolazi samo jedna linija koja ne siječe žutu liniju
2. Riemannova geometrija - bilo koja dva pravca se sijeku (nema paralelnih pravaca)
3. Geometrija Lobačevskog - postoji beskonačno mnogo ravnih linija koje ne sijeku žutu liniju i prolaze kroz bijelu točku

Kako bi čitatelj to mogao vizualizirati, opisat ćemo ukratko Kleinov model. U ovom modelu ravnina Lobačevskog realizirana je kao unutrašnjost kružnice polumjera jedan, gdje su točke ravnine točke te kružnice, a pravci su tetive. Tetiva je ravna crta koja spaja dvije točke na kružnici. Udaljenost između dviju točaka je teško odrediti, ali nam nije potrebna. Iz gornje slike postaje jasno da kroz točku P prolazi beskonačno mnogo pravaca koji ne sijeku pravac a. U standardnoj euklidskoj geometriji postoji samo jedan pravac koji prolazi točkom P i ne siječe pravac a. Ova linija je paralelna.

Sada prijeđimo na ono glavno - praktične primjene geometrije Lobačevskog.

Satelitski navigacijski sustavi (GPS i GLONASS) sastoje se od dva dijela: orbitalne konstelacije od 24-29 satelita ravnomjerno raspoređenih oko Zemlje i kontrolnog segmenta na Zemlji koji osigurava vremensku sinkronizaciju na satelitima i korištenje jedinstvenog koordinatnog sustava. Sateliti imaju vrlo točne atomske satove, a prijemnici (GPS-navigatori) imaju obične, kvarcne satove. Prijemnici također imaju informacije o koordinatama svih satelita u bilo kojem trenutku. Sateliti u kratkim intervalima odašilju signal koji sadrži podatke o vremenu početka odašiljanja. Nakon što primi signal s najmanje četiri satelita, prijemnik može podesiti svoj sat i izračunati udaljenosti do tih satelita pomoću formule ((vrijeme kada je satelit poslao signal) - (vrijeme kada je signal primljen sa satelita)) x (brzina svjetlosti) = (udaljenost do satelita). Izračunate udaljenosti također se korigiraju prema formulama ugrađenim u prijemnik. Nadalje, prijemnik pronalazi koordinate sjecišta sfera sa središtima u satelitima i polumjerima jednakima izračunatim udaljenostima do njih. Očito, to će biti koordinate prijemnika.

Čitatelj je vjerojatno svjestan da se zbog efekta u posebnoj teoriji relativnosti, zbog velike brzine satelita, vrijeme u orbiti razlikuje od vremena na Zemlji. Ali još uvijek postoji sličan učinak u Općoj teoriji relativnosti, povezan upravo s neeuklidskom geometrijom prostor-vremena. Opet, nećemo ulaziti u matematičke detalje, jer su oni prilično apstraktni. Ali, ako prestanemo uzimati u obzir te efekte, tada će se unutar jednog dana rada u očitanjima navigacijskog sustava akumulirati pogreška reda veličine 10 km.

Geometrijske formule Lobačevskog također se koriste u fizici visokih energija, naime, u proračunima akceleratora nabijenih čestica. Hiperbolični prostori (tj. prostori u kojima djeluju zakoni hiperboličke geometrije) nalaze se iu samoj prirodi. Navedimo još primjera:

Geometrija Lobačevskog može se vidjeti u strukturama koralja, u organizaciji staničnih struktura u biljci, u arhitekturi, u nekim cvjetovima i tako dalje. Inače, ako se sjećate u prošlom smo broju govorili o šesterokutima u prirodi, pa tako, u hiperboličnoj prirodi, heptagoni su alternativa, koji su također široko rasprostranjeni.

Glasali Hvala!

Možda će vas zanimati:

• 
  

Lv1. (Aksiom paralelizma Lobačevskog). U bilo kojoj ravnini postoji pravac a 0 i točka A 0 koja ne pripada tom pravcu, tako da kroz tu točku prolaze najmanje dva pravca koji ne sijeku a 0 .

Skup točaka, pravaca i ravnina koji zadovoljavaju aksiome pripadnosti, reda, podudarnosti, kontinuiteta i aksiom Lobačevskog paralelizma nazvat ćemo Lobačevskijev trodimenzionalni prostor i označiti s L 3 . Većinu geometrijskih svojstava figura razmatrat ćemo na ravnini prostora L 3, tj. na ravni Lobačevskog. Obratimo pozornost na činjenicu da formalna logička negacija aksioma V 1 , aksioma paralelizma u euklidskoj geometriji, ima potpuno istu formulaciju koju smo dali kao aksiom LV 1 . Na ravnini postoji najmanje jedna točka i jedan pravac za koje ne vrijedi tvrdnja o aksiomu paralelizma euklidske geometrije. Dokažimo teorem iz kojeg slijedi da tvrdnja aksioma paralelizma Lobačevskog vrijedi za bilo koju točku i bilo koju ravnu ravninu Lobačevskog.

Teorem 13.1.Neka je a proizvoljan pravac, A neka je točka koja ne leži na tom pravcu. Tada u ravnini određenoj točkom A i pravcem a postoje najmanje dva pravca koji prolaze kroz A i ne sijeku pravac a.

Dokaz. Dokaz izvodimo metodom "kontradikcije", koristeći teorem 11.1 (vidi § 11). Neka postoje točka A i pravac a u prostoru Lobačevskog takvi da u ravnini definiranoj tom točkom i pravcem a kroz točku A prolazi jedini pravac koji ne siječe a. Spustimo i točke A okomite na AB na pravac a iu točki A vratimo okomicu h na pravac AB (slika 50). Kao što slijedi iz teorema 4.2 (vidi § 4), pravci h i a se ne sijeku. Pravac h je, prema pretpostavci, jedini pravac koji prolazi kroz A i ne siječe a. Odaberimo proizvoljnu točku C na pravcu a. Odvojimo od poluravnine AC u poluravnini s rubom AB, koja ne sadrži točku B, kut CAM jednak ACB. Tada, kao što slijedi iz istog teorema 4.2, pravac AM ne siječe a. Iz naše pretpostavke slijedi da se podudara s h. Dakle, točka M pripada pravcu h. Trokut ABC je pravokutni trokut. Izračunaj zbroj kutova trokuta ABC: . Iz teorema 11.1 slijedi da je uvjet aksioma paralelnosti euklidske geometrije zadovoljen. Dakle, u razmatranoj ravnini ne mogu postojati takve točke A 0 i pravac a 0 da tom točkom prolaze najmanje dvije prave koje ne sijeku a 0 . Došli smo do kontradikcije s uvjetom Lobačevskog aksioma paralelizma. Teorem je dokazan.

Treba primijetiti da ćemo u nastavku koristiti tvrdnju upravo teorema 13.1, u biti zamjenjujući s njom tvrdnju Lobačevskog aksioma paralelizma. Usput, u mnogim udžbenicima upravo je ova izjava prihvaćena kao aksiom paralelizma geometrije Lobačevskog.

Lako je dobiti sljedeći korolar iz teorema 13.1.

Korolar 13.2. U ravnini Lobačevskog, kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi beskonačno mnogo pravaca koji ne sijeku zadani pravac.

Doista, neka je a zadan pravac, a A točka koja mu ne pripada, h 1 i h 2 su pravci koji prolaze kroz A i ne sijeku a (sl. 51). Očito, svi pravci koji prolaze kroz točku A i leže u jednom od kutova koje tvore h 1 i h 2 (vidi sliku 51) ne sijeku pravac a.

U 2. poglavlju smo dokazali niz tvrdnji koje su ekvivalentne aksiomu paralelizma u euklidskoj geometriji. Njihove logičke negacije karakteriziraju svojstva figura na ravnini Lobačevskog.

Prvo, na ravni Lobačevskog vrijedi logična negacija petog postulata Euklida. U odjeljku 9 formulirali smo sam postulat i dokazali teorem o njegovoj ekvivalentnosti s aksiomom paralelizma u euklidskoj geometriji (vidi teorem 9.1). Njegova logična negacija je:

Izjava 13.3.Na ravnini Lobačevskog postoje dva pravca koji se ne sijeku, a koji sijekući se s trećim pravcem tvore jednostrane unutarnje kutove čiji je zbroj manji od dva prava kuta.

U § 12 formulirali smo Posidonijev prijedlog: na ravnini postoje najmanje tri kolinearne točke koje se nalaze u jednoj poluravnini od danog pravca i jednako su udaljene od njega. Također smo dokazali teorem 12.6: Posidonijev prijedlog je ekvivalentan tvrdnji o aksiomu paralelizma u euklidskoj geometriji. Dakle, negacija ove tvrdnje djeluje na planu Lobačevskog.

Tvrdnja 13.4. Skup točaka koje su jednako udaljene od pravca na ravnini Lobačevskog i nalaze se u istoj poluravnini u odnosu na njega, pak, ne leže na istom pravcu.

Na ravnini Lobačevskog skup točaka jednako udaljenih od ravne crte i koje pripadaju istoj poluravnini u odnosu na tu ravnu crtu čine zakrivljenu crtu, takozvanu ekvidistantu. Kasnije ćemo razmotriti njegova svojstva.

Razmotrimo sada Legendreov prijedlog: Teorem 11.6, koji smo dokazali (vidi § 11), to tvrdi Slijedi da je na ravni Lobačevskog logična negacija ove tvrdnje istinita.

Tvrdnja 13.5. Na strani bilo kojeg oštrog kuta postoji takva točka da okomica na nju, podignuta na ovom mjestu, ne siječe drugu stranu kuta.

Zabilježimo svojstva trokuta i četverokuta u ravnini Lobačevskog, koja izravno slijede iz rezultata odjeljaka 9 i 11. Prije svega, teorem 11.1. navodi da pretpostavka o postojanju trokuta čiji se zbroj kutova poklapa sa zbrojem dvaju pravih kutova ekvivalentna je aksiomu paralelnosti euklidske ravnine. Iz ovoga i iz Legendreovog prvog teorema (vidi teorem 10.1, § 10) slijedi sljedeća tvrdnja

Tvrdnja 13.6. Na ravnini Lobačevskog, zbroj kutova bilo kojeg trokuta je manji od 2d.

Iz ovoga izravno slijedi da zbroj kutova bilo kojeg konveksnog četverokuta manji je od 4d, a zbroj kutova bilo kojeg konveksnog n-kuta manji je od 2(n-1)d.

Budući da su na euklidskoj ravnini kutovi koji graniče s gornjom bazom Saccherijevog četverokuta jednaki pravim kutovima, što je, u skladu s teoremom 12.3 (vidi § 12), ekvivalentno aksiomu paralelizma euklidske geometrije, možemo nacrtati sljedeće zaključak.

Izjava 13.7. Kutovi uz gornju osnovicu Saccherijevog četverokuta su šiljasti.

Preostaje nam razmotriti još dva svojstva trokuta na ravnini Lobačevskog. Prvi od njih povezan je s Wallisovim prijedlogom: u ravnini postoji barem jedan par trokuta s odgovarajućim jednakim kutovima, ali ne i jednakim stranicama. U odjeljku 11 dokazali smo da je ova propozicija ekvivalentna aksiomu paralelizma u euklidskoj geometriji (vidi teorem 11.5). Logička negacija ove tvrdnje dovodi nas do sljedećeg zaključka: na ravnini Lobačevskog nema trokuta s jednakim kutovima, ali ne i s jednakim stranicama. Dakle, sljedeća tvrdnja je istinita.

Izjava 13.8. (četvrti kriterij jednakosti trokuta na ravnini Lobačevskog).Bilo koja dva trokuta na ravnini Lobačevskog, koji imaju jednake kutove, međusobno su jednaki.

Razmotrite sada sljedeće pitanje. Može li se oko bilo kojeg trokuta u ravnini Lobačevskog opisati krug? Odgovor daje teorem 9.4 (vidi § 9). U skladu s ovim teoremom, ako se oko bilo kojeg trokuta na ravnini može opisati kružnica, tada je na ravnini zadovoljen uvjet aksioma paralelnosti euklidske geometrije. Stoga nas logička negacija tvrdnje ovog teorema dovodi do sljedeće tvrdnje.

Tvrdnja 13.9. Na ravnini Lobačevskog postoji trokut oko kojeg je nemoguće opisati krug.

Lako je konstruirati primjer takvog trokuta. Izaberemo neki pravac a i točku A koja mu ne pripada. Spustimo okomicu h iz točke A na pravac a. Na temelju Lobačevskog aksioma o paralelnosti, postoji pravac b koji prolazi kroz A, a nije okomit na h, a koji ne siječe a (slika 52). Kao što znate, ako je krug opisan oko trokuta, tada njegovo središte leži u točki sjecišta simetrala okomitih stranica trokuta. Stoga nam je dovoljno navesti primjer takvog trokuta čije se okomite simetrale ne sijeku. Odaberemo točku M na pravcu h, kao što je prikazano na slici 52. Prikažemo je simetrično u odnosu na pravce a i b, dobijemo točke N i P. Kako pravac b nije okomit na h, točka P je ne pripadaju h. Dakle, točke M, N i P čine vrhove trokuta. Pravci a i b konstrukcijski služe kao njegove simetrale okomica. Oni se, kao što je gore spomenuto, ne sijeku. Trokut MNP je željeni.

Lako je konstruirati primjer trokuta u ravnini Lobačevskog oko kojeg se može opisati kružnica. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti dvije linije koje se sijeku, odabrati točku koja im ne pripada i odraziti je u odnosu na te linije. Uradite detaljnu izgradnju sami.

Definicija 14.1. Neka su dane dvije usmjerene linije i . Nazivaju se paralelnim ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1. pravci a i b se ne sijeku;

2. za proizvoljne točke A i B pravaca a i b svaka unutarnja zraka h kuta AVB 2 siječe pravac a (slika 52).

Paralelne pravce ćemo označavati na isti način kako je to uobičajeno u školskom tečaju geometrije: a || b. Imajte na umu da paralelni pravci na euklidskoj ravnini zadovoljavaju ovu definiciju.

Teorem 14.3. Neka su na ravnini Lobačevskog zadani usmjereni pravac i točka B koja mu ne pripada. Tada kroz zadanu točku prolazi jedan usmjeren pravac tako da je pravac a paralelan s pravcem b.

Dokaz. Spustimo okomicu BA iz točke B na pravac a i iz točke B vratimo okomicu p na pravac BA (slika 56 a). Pravac p, kao što je više puta istaknuto, ne siječe zadani pravac a. Odaberemo proizvoljnu točku S na njoj, podijelimo točke segmenta AC u dvije klase i . U prvu klasu spadaju one točke S ovog odsječka za koje poluprava BS siječe polupravu AA 2 , a druga klasa uključuje one točke T za koje poluprava BT ne siječe polupravu AA 2 . Pokažimo da takva podjela na klase proizvodi Dedekindov presjek segmenta AC. Prema teoremu 4.3 (vidi § 4) moramo provjeriti da je:

2. i klase i sadrže točke koje nisu A i C;

3. bilo koja točka klase osim A nalazi se između točke A i bilo koje točke klase .

Prvi uvjet je očit, sve točke segmenta pripadaju jednoj ili drugoj klasi, dok same klase, na temelju njihove definicije, nemaju zajedničkih točaka.

Drugi uvjet također je lako provjeriti. Očito je da i . Klasa sadrži točke koje nisu A, da bismo potvrdili ovu tvrdnju, dovoljno je odabrati bilo koju točku poluprave AA 2 i spojiti je s točkom B. Ova zraka će presjeći dužinu BC u točki prve klase. Klasa također sadrži točke koje nisu C, inače ćemo doći u kontradikciju s Lobačevskim aksiomom paralelizma.

Dokažimo treći uvjet. Neka postoji točka S prve klase različita od A i točka T druge klase takva da se točka T nalazi između A i S (vidi sliku 56 a). Budući da je , tada zraka BS siječe polupravu AA 2 u nekoj točki R. Promotrimo polupravu BT. Ona siječe stranicu AS trokuta ASR u točki T. Prema Pašinom aksiomu, ova zraka mora sijeći bilo stranicu AR bilo stranicu SR ovog trokuta. Pretpostavimo da zraka BT siječe stranicu SR u nekoj točki O. Tada dva različita pravca BT i BR prolaze kroz točke B i O, što je u suprotnosti s aksiomom Hilbertove aksiomatike. Dakle, poluprava BT siječe stranicu AR, što znači da točka T ne pripada klasi K 2 . Rezultirajuća kontradikcija dovodi do tvrdnje da se točka S nalazi između A i T. Uvjet teorema 4.3 je u potpunosti provjeren.

U skladu sa zaključkom teorema 4.3 o Dedekindovom odjeljku na segmentu AC, postoji točka za koju svaka točka koja leži između A i pripada klasi , a svaka točka koja leži između i C pripada klasi . Pokažimo da je usmjereni pravac paralelan s pravcem . Zapravo, ostaje nam dokazati da ne siječe pravac a, budući da, zbog izbora točaka klase K 1, svaka unutarnja zraka kuta siječe . Pretpostavimo da pravac siječe pravac a u nekoj točki H (slika 56 b). Odaberemo proizvoljnu točku P na polupravi HA 2 i promatramo polupravu BP. Zatim siječe dužinu M 0 C u nekoj točki Q (dokažite ovu tvrdnju sami). Ali unutarnje točke odsječka M 0 C pripadaju drugoj klasi, zraka BP ne može imati zajedničkih točaka s pravcem a. Dakle, naša pretpostavka o sjecištu pravaca BM 0 i a nije točna.

Lako je provjeriti da je pravac jedini usmjereni pravac koji prolazi točkom B i paralelan je s . Doista, neka drugi usmjeren pravac prolazi kroz točku B, koja je, kao i, paralelna s . U tom slučaju pretpostavit ćemo da je M 1 točka dužine AC. Zatim, polazeći od definicije klase K 2 , . Dakle, zraka BM 0 je unutarnja zraka kuta , dakle, prema definiciji 14.1 siječe pravac . Došli smo do kontradikcije s gore dokazanom tvrdnjom. Teorem 14.3 je u potpunosti dokazan.

Promotrimo točku B i usmjereni pravac koji je ne sadrži. U skladu s dokazanim teoremom 14.3, kroz točku B prolazi usmjereni pravac, paralelan s a. Spustimo okomicu BH iz točke B na pravac a (sl. 57). To je lako vidjeti kut HBB 2 - šiljasti. Doista, ako pretpostavimo da je ovaj kut pravi kut, tada iz definicije 14.1 slijedi da svaki pravac koji prolazi točkom B siječe pravac a, što je u suprotnosti s teoremom 13.1, tj. aksiom LV 1 paralelizma Lobačevskog (vidi § 13). Lako je vidjeti da pretpostavka da je ovaj kut tup također dovodi do kontradikcije sada s definicijom 14.1 i teoremom 4.2 (vidi § 4), budući da unutarnja zraka kuta HBB 2 okomita na BH ne siječe zraku AA 2 . Dakle, sljedeća tvrdnja je istinita.

Teorem 14.4. Neka je usmjeren pravac paralelan s usmjerenim pravcem. Ako iz točke B pravca spustimo okomicu VN na pravac , tada je kut HBB 2 oštar.

Iz ovog teorema jasno proizlazi sljedeći korolar.

Posljedica.Ako postoji zajednička okomica usmjerenih pravaca i , tada pravac nije paralelan s pravcem .

Uvedimo pojam paralelizma za neusmjerene pravce. Pretpostavit ćemo da dva neusmjerena pravca su paralelna ako je na njima moguće odabrati pravce tako da zadovoljavaju definiciju 14.1. Kao što znate, ravna crta ima dva smjera. Dakle, iz teorema 14.3 slijedi da kroz točku B, koja ne pripada pravcu a, prolaze dva neusmjerena pravca paralelna zadanom pravcu. Očito je da su simetrični u odnosu na okomicu spuštenu iz točke B na pravac a. Ove dvije crte su iste granične crte koje dijele pramen pravaca koji prolaze kroz točku B i sijeku a od niza pravaca koji prolaze kroz B i ne sijeku pravac a (slika 57).

Teorem 15.2. (Svojstvo simetrije paralelnih pravaca na ravnini Lobačevskog).Neka je usmjeren pravac paralelan s usmjerenim pravcem. Tada je usmjereni pravac paralelan s pravcem.

Svojstvo simetrije koncepta paralelnih pravaca na ravnini Lobačevskog dopušta nam da ne odredimo redoslijed usmjerenih paralelnih pravaca, tj. nemojte specificirati koji je redak prvi, a koji drugi. Očito je da se svojstvo simetrije pojma paralelnih pravaca odvija i na euklidskoj ravnini. To izravno proizlazi iz definicije paralelnih pravaca u euklidskoj geometriji. U euklidskoj geometriji svojstvo tranzitivnosti vrijedi i za paralelne pravce. Ako je pravac a paralelan s pravcem b i pravac b paralelan s pravcem c. tada su i pravci a i c međusobno paralelni. Slično svojstvo vrijedi i za usmjerene pravce na ravnini Lobačevskog.

Teorem 15.3. (Svojstvo tranzitivnosti paralelnih pravaca na ravnini Lobačevskog).Neka su dane tri različite usmjerene linije , . Ako a i , onda .

Razmotrimo usmjerenu liniju paralelnu s usmjerenom linijom. Prekrižimo ih ravnom crtom. Točke A odnosno B su točke presjeka pravaca , i , (slika 60). Sljedeći teorem je istinit.

Teorem 15.4. Kut je veći od kuta.

Teorem 15.5. Vanjski kut degeneriranog trokuta veći je od unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan.

Dokaz izravno slijedi iz teorema 15.4. Prenesite ga sami.

Promotrimo proizvoljan segment AB. Kroz točku A povučemo pravac a, okomit na AB, a kroz točku B, pravac b, paralelan s a (slika 63). Kao što slijedi iz teorema 14.4 (vidi § 14), pravac b nije okomit na pravac AB.

Definicija 16.1. Oštri kut koji čine pravci AB i b naziva se kutom paralelnosti odsječka AB.

Jasno je da svaki segment odgovara određenom kutu paralelnosti. Sljedeći teorem je istinit.

Teorem 16.2. Jednaki segmenti odgovaraju jednakim kutovima paralelnosti.

Dokaz. Neka su dana dva jednaka odsječka AB i A¢B¢. Povucimo kroz točke A i A¢ usmjerene pravce i okomite na AB i A¢B¢, odnosno kroz točke B i B¢, usmjerene prave i paralelne, i (sl. 64). Zatim i odnosno kutove paralelnosti odsječaka AB i A¢B¢. Hajdemo to pretvarati

Odvojimo kut a 2 sa zrake BA u poluravnini BAA 2, (vidi sliku 64). Zbog nejednakosti (1) zraka l je unutarnja zraka kuta ABB 2 . Kako je ½1 , onda l siječe polupravu AA 2 u nekoj točki P. Nacrtajmo na polupravu A¢A 2 ¢ iz točke A¢ odsječak A¢P¢ jednak AP. Promotrimo trokute ABP i A¢B¢P¢. Oni su pravokutni, prema uvjetu teorema imaju jednake krake AB i A¢B¢, konstrukcijski je drugi par krakova AR i A¢P¢ jednak. Dakle, pravokutni trokut ABP jednak je trokutu A¢B¢P¢. Zato . S druge strane, greda B¢P¢ siječe gredu A¢A 2 ¢, a usmjereni pravac B 1 ¢B 2 ¢ paralelan je s pravcem A 1 ¢A 2 ¢. Dakle, zraka B¢P¢ je unutarnja zraka kuta A¢B¢B 2 ¢, . Rezultirajuća kontradikcija pobija našu pretpostavku, nejednakost (1) je netočna. Slično, dokazano je da kut ne može biti manji od kuta . Teorem je dokazan.

Razmotrimo sada kako su međusobno povezani kutovi paralelnosti nejednakih segmenata.

Teorem 16.3. Neka je dužina AB veća od dužice A¢B¢, a kutovi, odnosno njihovi kutovi paralelnosti. Zatim .

Dokaz. Dokaz ovog teorema izravno slijedi iz teorema 15.5 (vidi § 15) o vanjskom kutu degeneriranog trokuta. Razmotrimo segment AB. Povucimo kroz točku A usmjereni pravac, okomit na AB, i kroz točku B usmjereni pravac, paralelan (slika 65). Nacrtajmo na polupravu AB odsječak AP jednak A¢B¢. Budući da je , tada je P unutarnja točka segmenta AB. Nacrtajmo usmjerenu ravnu liniju C 1 C 2 kroz R, također paralelnu. Kut služi kao kut paralelnosti segmenta A¢B¢, a kut služi kao kut paralelnosti segmenta AB. S druge strane, iz teorema 15.2 o simetriji pojma paralelnih pravaca (vidi § 15) slijedi da je pravac C 1 C 2 paralelan s pravcem . Stoga su trokut RVS 2 A 2 degenerirani, - vanjski i - unutarnji kutovi. Teorem 15.5 implicira istinitost tvrdnje koja se dokazuje.

Lako je dokazati suprotno.

Teorem 16.4.Neka su i kutovi paralelnosti odsječaka AB i A¢B¢. Tada, ako je , tada je AB > A¢V¢.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, . Tada iz teorema 16.2 i 16.3 slijedi da , što je u suprotnosti s uvjetom teorema.

I tako smo dokazali da svaki segment ima svoj kut paralelnosti, a veći segment odgovara manjem kutu paralelnosti. Razmotrite tvrdnju koja dokazuje da za svaki šiljasti kut postoji segment za koji je taj kut kut paralelnosti. Ovo će uspostaviti korespondenciju jedan na jedan između segmenata i oštrih kutova na ravnini Lobačevskog.

Teorem 16.5. Za svaki šiljasti kut postoji segment za koji je taj kut kut paralelnosti.

Dokaz. Neka je dan šiljasti kut ABC (slika 66). Pretpostavit ćemo da sve dolje razmatrane točke na zrakama BA i BC leže između točaka B i A te B i C. Zraku nazivamo dopustivom ako joj ishodište pripada stranici kuta BA, okomita je na pravac BA i nalazi se u istoj poluravnini u odnosu na pravac BA kao stranica BC zadanog kuta. Okrenimo se Legendreovom prijedlogu: str Okomica povučena na stranicu oštrog kuta u bilo kojoj točki na ovoj stranici siječe drugu stranicu kuta. Dokazali smo teorem 11.6 (vidi § 11), koji kaže da Legendreov prijedlog je ekvivalentan aksiomu paralelizma euklidske geometrije. Iz ovoga smo zaključili da je na ravni Lobačevskog logična negacija ove tvrdnje istinita, naime, na strani bilo kojeg oštrog kuta postoji takva točka da okomica na nju, podignuta u ovoj točki, ne siječe drugu stranicu kuta(vidi § 13). Dakle, postoji dopustiva zraka m s ishodištem u točki M, koja ne siječe stranicu BC zadanog kuta (vidi sliku 66).

Podijelimo točke segmenta BM u dvije klase. razreda pripadat će onim točkama ovog segmenta za koje dopustive zrake s ishodištima u tim točkama sijeku stranicu BC zadanog kuta, a klasa pripadaju one točke odsječka BC kojima dopustive zrake s ishodištima u tim točkama ne sijeku stranicu BC. Pokažimo da takva particija segmenta VM tvori Dedekindov presjek (vidi Teorem 4.3, § 4). Da biste to učinili, trebali biste to provjeriti

5. i klase i sadrže točke koje nisu B i M;

6. bilo koja točka klase, osim B, nalazi se između točke B i bilo koje točke klase.

Prvi uvjet je očito zadovoljen. Svaka točka segmenta BM pripada ili klasi K 1 ili klasi K 2 . Štoviše, točka, na temelju definicije ovih klasa, ne može pripadati dvjema klasama u isto vrijeme. Očito, možemo pretpostaviti da , točka M pripada K 2, budući da dopustiva zraka s ishodištem u točki M ne siječe BC. Klasa K 1 sadrži barem jednu točku različitu od B. Da bismo je konstruirali, dovoljno je odabrati proizvoljnu točku P na stranici BC i iz nje okomicu PQ ispustiti na polupravu BA. Ako pretpostavimo da se točka Q nalazi između točaka M i A, tada točke P i Q leže u različitim poluravninama u odnosu na pravac koji sadrži zraku m (vidi sliku 66). Stoga odsječak PQ siječe polupravu m u nekoj točki R. Dobivamo da su dvije okomice spuštene iz točke R na pravac BA, što je u suprotnosti s teoremom 4.2 (vidi § 4). Dakle, točka Q pripada segmentu BM, klasa K 1 sadrži točke različite od B. Lako je objasniti zašto postoji segment na zraki BA koji sadrži barem jednu točku koja pripada klasi K 2 i razlikuje se od njegov kraj. Doista, ako klasa K 2 razmatranog segmenta BM sadrži jednu točku M, tada između M i A izaberemo proizvoljnu točku M¢. Promotrimo dopustivu zraku m¢ s početkom u točki M¢. Ona ne siječe polupravu m, inače su iz točke na pravac AB spuštene dvije okomice, pa m¢ ne siječe polupravu BC. Segment VM¢ je željeni, a sva daljnja razmišljanja treba provesti za segment VM¢.

Provjerimo valjanost trećeg uvjeta teorema 4.3. Pretpostavimo da postoje takve točke i da se točka P nalazi između točke U i M (slika 67). Nacrtajmo dopuštene zrake u i p s ishodištima u točkama U i P. Budući da tada zraka p siječe stranicu BC zadanog kuta u nekoj točki Q. Pravac koji sadrži zraku u siječe stranicu BP trokuta BPQ, dakle , prema Hilbertovom aksiomu (Paschov aksiom , vidi § 3) siječe ili stranicu BQ ili stranicu PQ ovog trokuta. Ali, dakle, zraka u ne siječe stranicu BQ, dakle, zrake p i u sijeku se u nekoj točki R. Opet dolazimo do kontradikcije, budući da smo konstruirali točku iz koje su dvije okomice spuštene na pravac AB. Uvjet iz teorema 4.3 je u potpunosti zadovoljen.

M. Slijedi da . Dobili smo kontradikciju budući da smo konstruirali točku klase K 1 koja se nalazi između točaka i M. Ostaje nam pokazati da svaka unutarnja zraka kuta siječe polupravu BC. Promotrimo proizvoljnu unutarnju zraku h tog kuta. Odaberemo na njemu proizvoljnu točku K koja pripada kutu i iz nje spustimo okomicu na pravac BA (sl. 69). Osnovica S ove okomice očito pripada segmentu VM 0 , tj. klasa K 1 (tu činjenicu dokažite sami). Iz toga slijedi da okomica KS siječe stranicu BC zadanog kuta u nekoj točki T (vidi sliku 69). Zraka h je presjekla ST stranicu trokuta BST u točki K, prema aksiomu (Pašin aksiom) mora sijeći ili stranicu BS ili stranicu BT ovog trokuta. Jasno je da h ne siječe dužinu BS, inače dva pravca, h i BA, prolaze kroz dvije točke i to sjecište. Dakle, h siječe stranicu BT, tj. greda BA. Teorem je u potpunosti dokazan.

I tako smo ustanovili da se svaki segment u geometriji Lobačevskog može povezati s oštrim kutom - njegovim kutom paralelnosti. Pretpostavit ćemo da smo uveli mjeru kutova i odsječaka, napominjemo da ćemo mjeru odsječaka uvesti kasnije, u §. Uvodimo sljedeću definiciju.

Definicija 16.6. Ako je x duljina segmenta, a j kut, tada se ovisnost j = P(x), koja povezuje duljinu segmenta s vrijednošću njegovog kuta paralelnosti, naziva funkcija Lobačevskog.

Jasno je da . Koristeći gore dokazana svojstva kuta paralelnosti segmenta (vidi teoreme 16.3 i 16.4), možemo zaključiti sljedeće: funkcija Lobačevskog je monotono opadajuća. Nikolaj Ivanovič Lobačevski dobio je sljedeću izvanrednu formulu:

,

gdje je k neki pozitivan broj. Od velike je važnosti u geometriji prostora Lobačevskog, a naziva se njegov radijus zakrivljenosti. Dva prostora Lobačevskog s istim polumjerom zakrivljenosti su izometrična. Iz gornje formule, kao što je lako vidjeti, također slijedi da je j = P(x) monotono opadajuća kontinuirana funkcija čije vrijednosti pripadaju intervalu .

Na euklidskoj ravnini fiksiramo kružnicu w sa središtem u nekoj točki O i polumjerom jednakim jedan, koji ćemo nazvati apsolutni. Skup svih točaka kružnice omeđene kružnicom w označit ćemo s W¢, a skup svih unutarnjih točaka te kružnice s W. Dakle, . Točke skupa W nazvat ćemo L-točke Skup W svih L-točaka je L-ravnina, na kojem ćemo izgraditi Cayley-Kleinov model ravnine Lobačevskog. Nazvat ćemo L-ravno proizvoljne tetive kružnice w. Pretpostavit ćemo da L-točka X pripada L-pravu x ako i samo ako točka X, kao točka euklidske ravnine, pripada tetivi x apsoluta.

L-ravnina, Lobačevskijev aksiom paralelizma vrijedi: kroz L-točku B koja ne leži na L-pravcu a prolaze najmanje dva L-pravca b i c koji nemaju zajedničkih točaka s L-pravcem a. Slika 94 ilustrira ovu izjavu. Također je lako razumjeti što su paralelno usmjerene ravne linije L-ravnine. Razmotrite sliku 95. L-pravac b prolazi kroz točku presjeka L-pravca a s apsolutom. Stoga je usmjereni L-pravac A 1 A 2 paralelan s usmjerenim L-pravcem B 1 A 2 . Doista, ti se pravci ne sijeku, a odaberemo li proizvoljne L-točke A i B koje redom pripadaju tim pravcima, tada svaka unutarnja zraka h kuta A 2 BA siječe pravac a. Dakle, dva L-pravca su paralelna ako imaju zajedničku točku sjecišta s apsolutnim. Jasno je da je svojstvo simetričnosti i tranzitivnosti koncepta paralelnosti L-pravaca zadovoljeno. U paragrafu 15 smo dokazali svojstvo simetrije, dok je svojstvo tranzitivnosti ilustrirano na slici 95. Pravac A 1 A 2 je paralelan s pravcem B 1 A 2, oni sijeku apsolut u točki A 2. Pravci B 1 A 2 i C 1 A 2 su također paralelni, oni također sijeku apsolut u istoj točki A 2 . Dakle, pravci A 1 A 2 i C 1 A 2 su međusobno paralelni.

Dakle, gore definirani osnovni koncepti zadovoljavaju zahtjeve aksioma I 1 -I 3 , II, III, IV Hilbertovih aksiomatskih grupa i aksioma Lobačevskog paralelizma, stoga su oni model ravnine Lobačevskog. Dokazali smo smislenu dosljednost planimetrije Lobačevskog. Ovu tvrdnju formuliramo kao sljedeći teorem.

Teorem 1. Geometrija Lobačevskog nije kontradiktorna u sadržaju.

Izgradili smo model aviona Lobačevskog, ali možete se upoznati s konstrukcijom prostornog modela sličnog onom koji se razmatra na avionu u priručniku.

Najvažniji zaključak proizlazi iz teorema 1. Aksiom paralelizma nije posljedica aksioma I–IV Hilbertove aksiomatike. Budući da je peti Euklidov postulat ekvivalentan aksiomu paralelizma euklidske geometrije, ni ovaj postulat ne ovisi o ostalim Hilbertovim aksiomima.