Kako obrnuti znakove u zagradama. Širenje zagrada - Hipermarket znanja

Proširenje u zagrade je vrsta transformacije izraza. U ovom odjeljku opisat ćemo pravila za proširenje zagrada, kao i razmotriti najčešće primjere zadataka.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što je proširenje zagrada?

Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda izvođenja radnji u numeričkim i slovnim izrazima, kao i u izrazima s varijablama. Pogodno je prijeći s izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Na primjer, zamijenite izraz 2 (3 + 4) izrazom poput 2 3 + 2 4 bez zagrada. Ova tehnika se zove otvaranje zagrade.

Definicija 1

Pod otvaranjem zagrada mislimo na metode uklanjanja zagrada i obično se razmatraju u odnosu na izraze koji mogu sadržavati:

• znakovi "+" ili "-" ispred zagrada koje sadrže zbrojeve ili razlike;
• umnožak broja, slova ili više slova i zbroja ili razlike koji se stavlja u zagrade.

Ovako smo smatrali proces otvaranja zagrada u školskom kurikulumu. Međutim, nitko nas ne sprječava da ovu akciju promatramo šire. Proširivanjem zagrada možemo nazvati prijelaz s izraza koji sadrži negativne brojeve u zagradama na izraz koji nema zagrade. Na primjer, možemo ići od 5 + (− 3) − (− 7) do 5 − 3 + 7 . Zapravo, ovo je također proširenje zagrada.

Na isti način možemo umnožak izraza u zagradama oblika (a + b) · (c + d) zamijeniti zbrojem a · c + a · d + b · c + b · d . Ova tehnika također nije u suprotnosti sa značenjem proširenja zagrada.

Evo još jedan primjer. Možemo pretpostaviti da se u izrazima, umjesto brojeva i varijabli, mogu koristiti bilo koji izrazi. Na primjer, izraz x 2 1 a - x + sin (b) će odgovarati izrazu bez zagrada oblika x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Još jedna točka zaslužuje posebnu pozornost, a to se odnosi na osobitosti pisanja rješenja pri otvaranju zagrada. Početni izraz sa zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada možemo napisati kao jednakost. Na primjer, nakon otvaranja zagrada, umjesto izraza 3 − (5 − 7) dobivamo izraz 3 − 5 + 7 . Oba ova izraza možemo napisati kao jednakost 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Izvođenje radnji s glomaznim izrazima može zahtijevati bilježenje međurezultata. Tada će rješenje imati oblik lanca jednakosti. Na primjer, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ili 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Pravila za otvaranje zagrada, primjeri

Počnimo s pravilima za otvaranje zagrada.

Pojedinačni brojevi u zagradama

Negativni brojevi u zagradama često se pojavljuju u izrazima. Na primjer, (− 4) i 3 + (− 4) . Pozitivni brojevi u zagradama također se nalaze.

Formulirajmo pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže pojedinačne pozitivne brojeve. Pretpostavimo da je a bilo koji pozitivan broj. Tada možemo zamijeniti (a) s a, + (a) s + a, - (a) s - a. Ako umjesto a uzmemo određeni broj, tada će prema pravilu: broj (5) biti napisan kao 5 , izraz 3 + (5) bez zagrada će poprimiti oblik 3 + 5 , jer je + (5) zamijenjen sa + 5 , a izraz 3 + (− 5) je ekvivalentan izrazu 3 − 5 , jer + (− 5) zamjenjuje se sa − 5 .

Pozitivni brojevi obično se pišu bez zagrada, jer su zagrade u tom slučaju suvišne.

Sada razmotrite pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže jedan negativan broj. + (−a) zamjenjujemo sa − a, − (− a) zamjenjuje se s + a . Ako izraz počinje negativnim brojem (-a), koji je napisan u zagradama, zatim se zagrade izostavljaju i umjesto (-a) ostaci − a.

Evo nekoliko primjera: (− 5) može se napisati kao − 5 , (− 3) + 0 , 5 postaje − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) postaje 4 − 3 , a − (− 4) − (− 3) nakon otvaranja zagrada poprima oblik 4 + 3 , jer − (− 4) i − (− 3) zamjenjuje se s + 4 i + 3 .

Treba razumjeti da se izraz 3 · (− 5) ne može napisati kao 3 · − 5. O tome će biti riječi u sljedećim paragrafima.

Pogledajmo na čemu se temelje pravila proširenja zagrada.

Prema pravilu razlika a − b jednaka je a + (− b) . Na temelju svojstava radnji s brojevima možemo sastaviti lanac jednakosti (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = ašto će biti pošteno. Ovaj lanac jednakosti, na temelju značenja oduzimanja, dokazuje da je izraz a + (− b) razlika a-b.

Na temelju svojstava suprotnih brojeva i pravila oduzimanja negativnih brojeva možemo ustvrditi da je − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Postoje izrazi koji se sastoje od broja, znakova minus i nekoliko pari zagrada. Korištenje gornjih pravila omogućuje vam da se sekvencijalno riješite zagrada, prelazeći s unutarnjih zagrada na vanjske ili obrnuto. Primjer takvog izraza bio bi − (− ((− (5)))) . Otvorimo zagrade, krećući se iznutra prema van: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ovaj se primjer može raščlaniti i obrnuto: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Pod, ispod a i b se mogu shvatiti ne samo kao brojevi, već i kao proizvoljni numerički ili doslovni izrazi sa "+" ispred koji nisu zbrojevi ili razlike. U svim ovim slučajevima možete primijeniti pravila na isti način kao što smo to učinili s pojedinačnim brojevima u zagradama.

Na primjer, nakon otvaranja zagrada, izraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) poprima oblik 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Kako smo to uspjeli? Znamo da je − (− 2 x) + 2 x, a budući da je ovaj izraz prvi, tada se + 2 x može napisati kao 2 x, - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x i − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

U umnošcima dvaju brojeva

Počnimo s pravilom za proširenje zagrada u umnošku dvaju brojeva.

Hajdemo to pretvarati a i b su dva pozitivna broja. U ovom slučaju, umnožak dva negativna broja − a i − b oblika (− a) (− b) možemo zamijeniti s (a b) , a umnoške dvaju brojeva suprotnih predznaka oblika (− a) b i a (− b) možemo zamijeniti s (− a b). Množenje minusa s minusom daje plus, a množenje minusa s plusom, kao i množenje plusa s minusom, daje minus.

Točnost prvog dijela napisanog pravila potvrđuje pravilo za množenje negativnih brojeva. Za potvrdu drugog dijela pravila možemo koristiti pravila množenja brojeva s različitim predznacima.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1

Razmotrimo algoritam za otvaranje zagrada u umnošku dvaju negativnih brojeva - 4 3 5 i - 2 , oblika (- 2) · - 4 3 5 . Da bismo to učinili, zamijenimo izvorni izraz s 2 · 4 3 5 . Raširimo zagrade i dobijemo 2 · 4 3 5 .

A ako uzmemo kvocijent negativnih brojeva (− 4) : (− 2) , tada će zapis nakon otvaranja zagrada izgledati 4: 2

Umjesto negativnih brojeva − a i − b mogu biti bilo koji izrazi s vodećim predznakom minus koji nisu zbrojevi ili razlike. Na primjer, to mogu biti umnošci, parcijali, razlomci, potencije, korijeni, logaritmi, trigonometrijske funkcije itd.

Otvorimo zagrade u izrazu - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Prema pravilu možemo napraviti sljedeće transformacije: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Izraz (− 3) 2 može se pretvoriti u izraz (− 3 2) . Nakon toga možete otvoriti zagrade: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Dijeljenje brojeva s različitim predznacima također može zahtijevati prethodno proširenje zagrada: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 i 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4 : 3 , 5 = - 2 3 4 : 3 , 5 .

Pravilo se može koristiti za množenje i dijeljenje izraza s različitim predznacima. Navedimo dva primjera.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

U umnošcima od tri ili više brojeva

Prijeđimo na umnoške i kvocijente koji sadrže veći broj brojeva. Za proširene zagrade, ovdje će se primijeniti sljedeće pravilo. S parnim brojem negativnih brojeva, možete izostaviti zagrade, zamijenivši brojeve njihovim suprotnim brojevima. Nakon toga, morate rezultirajući izraz staviti u nove zagrade. Za neparan broj negativnih brojeva, izostavljajući zagrade, zamijenite brojeve njihovim suprotnim brojevima. Nakon toga, dobiveni izraz mora se staviti u nove zagrade i staviti znak minus ispred njega.

Primjer 2

Na primjer, uzmimo izraz 5 · (− 3) · (− 2) , koji je umnožak tri broja. Postoje dva negativna broja, tako da možemo napisati izraz kao (5 3 2) i na kraju otvorite zagrade, dobivajući izraz 5 3 2 .

U umnošku (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4 : (− 1 , 25) : (− 1) pet je brojeva negativnih. pa je (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3 : 2 4 : 1 , 25 : 1) . Konačno otvarajući zagrade, dobivamo −2,5 3:2 4:1,25:1.

Gore navedeno pravilo može se opravdati na sljedeći način. Prvo, takve izraze možemo prepisati kao umnožak, zamjenjujući dijeljenje množenjem recipročnim. Svaki negativni broj predstavljamo kao umnožak množitelja i zamjenjujemo - 1 ili - 1 s (− 1) a.

Koristeći svojstvo komutativnosti množenja, mijenjamo faktore i prenosimo sve faktore jednake − 1 , na početak izraza. Umnožak parnog broja minus jedinice jednak je 1, a neparnog broja jednak je − 1 , što nam omogućuje korištenje znaka minus.

Da nismo koristili pravilo, tada bi lanac radnji za otvaranje zagrada u izrazu - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 izgledao ovako:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Gornje pravilo može se koristiti kada se šire zagrade u izrazima koji su umnošci i kvocijenti s predznakom minus koji nisu zbrojevi ili razlike. Uzmimo za primjer izraz

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

Može se svesti na izraz bez zagrada x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Otvaranje zagrada ispred kojih stoji znak +

Razmotrite pravilo koje se može primijeniti na proširivanje zagrada kojima prethodi znak plus, a "sadržaj" tih zagrada se ne množi ili dijeli bilo kojim brojem ili izrazom.

Prema pravilu, zagrade zajedno sa znakom ispred njih su izostavljene, dok su znakovi svih pojmova u zagradama sačuvani. Ako nema znaka ispred prvog izraza u zagradama, tada morate staviti znak plus.

Primjer 3

Na primjer, dajemo izraz (12 − 3 , 5) − 7 . Izostavljanjem zagrada zadržavamo predznake pojmova u zagradama, a ispred prvog člana stavljamo znak plus. Unos će izgledati kao (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . U gornjem primjeru nije potrebno stavljati znak ispred prvog člana jer je + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Primjer 4

Razmotrimo još jedan primjer. Uzmite izraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x i izvedite akcije s njim x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Evo još jednog primjera proširenja zagrada:

Primjer 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Kako proširiti zagrade ispred kojih stoji znak minus

Razmotrite slučajeve u kojima postoji znak minus ispred zagrada, a koji nisu pomnoženi (ili podijeljeni) nikakvim brojem ili izrazom. Prema pravilu otvaranja zagrada ispred kojih stoji znak “-”, zagrade sa znakom “-” se izostavljaju, dok su znakovi svih pojmova unutar zagrada obrnuti.

Primjer 6

Na primjer:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Varijabilni izrazi mogu se pretvoriti koristeći isto pravilo:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

dobivamo x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Otvaranje zagrada pri množenju broja zagradom, izrazi zagradom

Ovdje ćemo razmotriti slučajeve kada je potrebno otvoriti zagrade koje se množe ili dijele bilo kojim brojem ili izrazom. Ovdje su formule oblika (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) ili b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), gdje a 1 , a 2 , … , a n i b su neki brojevi ili izrazi.

Primjer 7

Na primjer, proširimo zagrade u izrazu (3 − 7) 2. Prema pravilu možemo napraviti sljedeće transformacije: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Dobivamo 3 · 2 − 7 · 2 .

Proširujući zagrade u izrazu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, dobivamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Pomnožite zagradu sa zagradom

Promotrimo produkt dviju zagrada oblika (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Ovo će nam pomoći da dobijemo pravilo za proširenje zagrada kada množimo zagradu sa zagradom.

Da bismo riješili gornji primjer, označit ćemo izraz (b 1 + b 2) poput b. To će nam omogućiti korištenje pravila množenja zagrada-izraza. Dobivamo (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Radeći obrnutu zamjenu b na (b 1 + b 2), ponovno primijenite pravilo za množenje izraza zagradom: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Zahvaljujući brojnim jednostavnim trikovima možemo doći do zbroja umnožaka svakog člana iz prve zagrade i svakog člana iz druge zagrade. Pravilo se može proširiti na bilo koji broj pojmova unutar zagrada.

Formulirajmo pravila za množenje zagrade sa zagradom: da bi se dva zbroja međusobno pomnožila, potrebno je pomnožiti svaki od članova prvog zbroja sa svakim od članova drugog zbroja i zbrojiti rezultate.

Formula će izgledati ovako:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Raširimo zagrade u izrazu (1 + x) · (x 2 + x + 6) Umnožak je dvaju zbroja. Napišimo rješenje: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Zasebno, vrijedi se zadržati na onim slučajevima kada postoji znak minus u zagradama uz znakove plus. Na primjer, uzmimo izraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Prvo predstavljamo izraze u zagradama kao sume: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Sada možemo primijeniti pravilo: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Raširimo zagrade: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Proširenje zagrada u produktima više zagrada i izraza

Ako u izrazu postoje tri ili više izraza u zagradama, potrebno je redom proširivati ​​zagrade. Potrebno je započeti transformaciju činjenicom da su prva dva faktora uzeta u zagrade. Unutar ovih zagrada možemo izvoditi transformacije u skladu s gore navedenim pravilima. Na primjer, zagrade u izrazu (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

Izraz sadrži tri faktora odjednom (2 + 4) , 3 i (5 + 7 8) . Proširit ćemo zagrade uzastopno. Prva dva faktora stavljamo u još jednu zagradu koju ćemo učiniti crvenom radi jasnoće: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

U skladu s pravilom množenja zagrade s brojem, možemo izvesti sljedeće radnje: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Pomnožite zagradu po zagradu: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Zagrada u vrsti

Stupnjevi, čiji su temelji neki izrazi napisani u zagradama, s prirodnim pokazateljima mogu se smatrati umnoškom više zagrada. Štoviše, prema pravilima iz prethodna dva stavka, mogu se pisati i bez ovih zagrada.

Razmotrimo proces transformacije izraza (a + b + c) 2 . Može se napisati kao umnožak dviju zagrada (a + b + c) (a + b + c). Množimo zagradu po zagradu i dobijemo a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Uzmimo još jedan primjer:

Primjer 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Dijeljenje zagrade brojem i zagrade zagradom

Dijeljenje zagrade brojem sugerira da morate podijeliti brojem sve pojmove u zagradama. Na primjer, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Dijeljenje se može prethodno zamijeniti množenjem, nakon čega se u umnošku može koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada. Isto pravilo vrijedi i za dijeljenje zagrade zagradom.

Na primjer, trebamo otvoriti zagrade u izrazu (x + 2) : 2 3 . Da biste to učinili, prvo zamijenite dijeljenje množenjem recipročnom vrijednošću (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Pomnožimo zagradu s brojem (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Evo još jednog primjera dijeljenja zagradama:

Primjer 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Zamijenimo dijeljenje množenjem: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Izvršimo množenje: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Redoslijed proširenja nosača

Razmotrimo sada redoslijed primjene gore razmotrenih pravila u općim izrazima, tj. u izrazima koji sadrže zbrojeve s razlikama, umnoške s količnicima, zagrade u vrsti.

Redoslijed radnji:

• prvi korak je podizanje zagrada na prirodnu potenciju;
• u drugoj fazi, zagrade se otvaraju u radovima i privatnim;
• posljednji korak je otvaranje zagrada u zbrojevima i razlikama.

Razmotrimo redoslijed radnji na primjeru izraza (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformirajmo iz izraza 3 (− 2) : (− 4) i 6 (− 7) , koji trebaju imati oblik (3 2:4) i (− 6 7) . Zamjenom dobivenih rezultata u izvorni izraz dobivamo: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2 : 4) − (− 6 7 ). Raširi zagrade: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

Kada se radi o izrazima koji sadrže zagrade unutar zagrada, zgodno je izvoditi transformacije iznutra prema van.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda izvođenja radnji u numeričkim i slovnim izrazima, kao i u izrazima s varijablama. Pogodno je prijeći s izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Ova tehnika se zove otvaranje zagrade.

Proširiti zagrade znači osloboditi izraz tih zagrada.

Još jedna točka zaslužuje posebnu pozornost, a to se odnosi na osobitosti pisanja rješenja pri otvaranju zagrada. Početni izraz sa zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada možemo napisati kao jednakost. Na primjer, nakon otvaranja zagrada, umjesto izraza
3−(5−7) dobivamo izraz 3−5+7. Oba ova izraza možemo napisati kao jednakost 3−(5−7)=3−5+7.

I još jedna važna točka. U matematici, kako bi se smanjili unosi, uobičajeno je ne pisati znak plus ako je prvi u izrazu ili u zagradama. Na primjer, ako zbrojimo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, tada ne pišemo +7 + 3, već jednostavno 7 + 3, unatoč činjenici da je sedam također pozitivan broj. Slično, ako vidite, na primjer, izraz (5 + x) - znajte da postoji plus ispred zagrade, koja nije napisana, a postoji plus + (+5 + x) ispred pet.

Pravilo proširenja zagrade za zbrajanje

Pri otvaranju zagrada, ako ispred zagrada stoji plus, onda se taj plus izostavlja zajedno sa zagradama.

Primjer. Otvorite zagrade u izrazu 2 + (7 + 3) Ispred zagrada plus, tada se znakovi ispred brojeva u zagradama ne mijenjaju.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Pravilo za širenje zagrada pri oduzimanju

Ako ispred zagrada stoji minus, onda se taj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali pojmovi koji su bili u zagradi mijenjaju predznak u suprotan. Odsutnost znaka ispred prvog člana u zagradi implicira znak +.

Primjer. Otvorene zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)

Ispred zagrada je minus, pa je potrebno promijeniti predznake ispred brojeva iz zagrada. Ispred broja 7 nema znaka u zagradama, što znači da je sedam pozitivan, smatra se da je znak + ispred njega.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Prilikom otvaranja zagrada uklanjamo minus iz primjera koji je bio prije zagrada i same zagrade 2 − (+ 7 + 3), a predznake koji su bili u zagradama mijenjamo suprotnim.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Širenje zagrada pri množenju

Ako ispred zagrada stoji znak množenja, tada se svaki broj unutar zagrada množi faktorom ispred zagrada. U isto vrijeme, množenje minusa s minusom daje plus, a množenje minusa s plusom, kao i množenje plusa s minusom, daje minus.

Dakle, zagrade u umnošcima se proširuju u skladu sa svojstvom distribucije množenja.

Primjer. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Prilikom množenja zagrade po zagradu, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Zapravo, nema potrebe pamtiti sva pravila, dovoljno je zapamtiti samo jedno, ovo: c(a−b)=ca−cb. Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobivamo pravilo (a−b)=a−b. A ako zamijenimo minus jedan, dobit ćemo pravilo −(a−b)=−a+b. Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

Proširite zagrade prilikom dijeljenja

Ako iza zagrada stoji znak dijeljenja, tada je svaki broj unutar zagrada djeljiv djeliteljem iza zagrada i obrnuto.

Primjer. (9 + 6) : 3=9 : 3 + 6 : 3

Kako proširiti ugniježđene zagrade

Ako izraz sadrži ugniježđene zagrade, tada se one proširuju redom, počevši od vanjskih ili unutarnjih.

U isto vrijeme, kada otvarate jednu od zagrada, važno je ne dirati druge zagrade, samo ih prepisati onakvima kakve jesu.

Primjer. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Sada ćemo samo prijeći na otvaranje zagrada u izrazima u kojima se izraz u zagradama množi s brojem ili izrazom. Formulirajmo pravilo za otvaranje zagrada kojima prethodi znak minus: zagrade zajedno sa znakom minus se izostavljaju, a znakovi svih pojmova u zagradama zamjenjuju se suprotnim znakovima.

Jedna vrsta transformacije izraza je proširenje zagrada. Numerički, doslovni i varijabilni izrazi sastavljeni su pomoću zagrada, koje mogu označavati redoslijed kojim se radnje izvode, sadržavati negativan broj itd. Pretpostavimo da u gore opisanim izrazima umjesto brojeva i varijabli mogu biti bilo koji izrazi.

I obratimo pozornost na još jednu točku koja se tiče osobitosti pisanja rješenja prilikom otvaranja zagrada. U prethodnom paragrafu bavili smo se onim što se zove proširenje zagrada. Da biste to učinili, postoje pravila za otvaranje zagrada, koja sada pregledavamo. Ovo pravilo diktira činjenica da je uobičajeno pisati pozitivne brojeve bez zagrada, zagrade u ovom slučaju nisu potrebne. Izraz (−3,7)−(−2)+4+(−9) možemo napisati bez zagrada kao −3,7+2+4−9.

Konačno, treći dio pravila je jednostavno zbog osobitosti pisanja negativnih brojeva s lijeve strane u izrazu (što smo spomenuli u odjeljku zagrada za pisanje negativnih brojeva). Možete naići na izraze sastavljene od broja, znakova minusa i više parova zagrada. Ako proširite zagrade, krećući se od unutarnjih prema vanjskim, tada će rješenje biti: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Kako otvoriti zagrade?

Evo objašnjenja: −(−2 x) je +2 x, a budući da je ovaj izraz prvi, tada se +2 x može napisati kao 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x i −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi dio napisanog pravila za otvaranje zagrada izravno slijedi iz pravila za množenje negativnih brojeva. Drugi dio je posljedica pravila množenja brojeva s različitim predznacima. Prijeđimo na primjere širenja zagrada u umnošcima i kvocijentima dvaju brojeva s različitim predznakom.

Otvaranje zagrada: pravila, primjeri, rješenja.

Gornje pravilo uzima u obzir cijeli lanac ovih radnji i značajno ubrzava proces otvaranja zagrada. Isto pravilo dopušta otvaranje zagrada u izrazima koji su umnošci i privatnim izrazima s predznakom minus koji nisu zbrojevi i razlike.

Razmotrite primjere primjene ovog pravila. Dajemo odgovarajuće pravilo. Gore smo već naišli na izraze oblika −(a) i −(−a), koji se bez zagrada pišu kao −a odnosno a. Na primjer, −(3)=3, i. Ovo su posebni slučajevi navedenog pravila. Sada razmotrite primjere otvaranja zagrada kada su zbrojevi ili razlike u njima. Pokazat ćemo primjere korištenja ovog pravila. Izraz (b1+b2) označimo kao b, nakon čega koristimo pravilo množenja zagrade s izrazom iz prethodnog odlomka, imamo (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Indukcijom se ova izjava može proširiti na proizvoljan broj članova u svakoj zagradi. Ostaje otvoriti zagrade u rezultirajućem izrazu, koristeći pravila iz prethodnih paragrafa, kao rezultat, dobivamo 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Pravilo u matematici je otvaranje zagrada ako ispred zagrada stoji (+) i (-), vrlo potrebno pravilo

Ovaj izraz je umnožak tri faktora (2+4), 3 i (5+7 8). Zagrade se moraju otvarati uzastopno. Sada koristimo pravilo za množenje zagrade brojem, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stupnjevi, čiji su temelji neki izrazi napisani u zagradama, s prirodnim pokazateljima mogu se smatrati umnoškom više zagrada.

Na primjer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Prvo ga zapišemo kao umnožak dviju zagrada (a + b + c) (a + b + c), sada pomnožimo zagradu sa zagradom, dobivamo a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Također kažemo da je za podizanje zbroja i razlike dvaju brojeva na prirodni potenciranje preporučljivo koristiti Newtonovu binomnu formulu. Na primjer, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ništa manje prikladno je prethodno zamijeniti dijeljenje množenjem, a zatim koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada u proizvodu.

Ostaje shvatiti redoslijed otvaranja zagrada pomoću primjera. Uzmimo izraz (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Zamijenite ove rezultate u izvornom izrazu: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Ostaje samo dovršiti otvaranje zagrada, kao rezultat imamo −5+3 2:4+6 7. To znači da su se pri prelasku s lijeve strane jednakosti na desnu otvorile zagrade.

Imajte na umu da smo u sva tri primjera jednostavno uklonili zagrade. Prvo dodajte 445 na 889. Ova se mentalna radnja može izvesti, ali nije baš laka. Otvorimo zagrade i vidimo da će promijenjeni redoslijed operacija uvelike pojednostaviti izračune.

Kako otvoriti zagrade u različitom stupnju

Ilustrativan primjer i pravilo. Razmotrimo primjer: . Vrijednost izraza možete pronaći zbrajanjem 2 i 5, a zatim uzimanjem dobivenog broja sa suprotnim predznakom. Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nema dva, nego tri ili više pojmova. Komentar. Predznaci su obrnuti samo ispred pojmova. Da bismo otvorili zagrade, u ovom slučaju moramo se prisjetiti svojstva distributivnosti.

Pojedinačni brojevi u zagradama

Vaša greška nije u znakovima, već u pogrešnom radu s razlomcima? U 6. razredu smo se upoznali s pozitivnim i negativnim brojevima. Kako ćemo rješavati primjere i jednadžbe?

Koliko je u zagradama? Što se može reći o ovim izrazima? Naravno, rezultat prvog i drugog primjera je isti, pa između njih možete staviti znak jednakosti: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Dakle, što smo učinili sa zagradama?

Demonstracija slajda 6 s pravilima za otvaranje zagrada. Dakle, pravila za otvaranje zagrada pomoći će nam riješiti primjere, pojednostaviti izraze. Zatim se učenici pozivaju na rad u paru: potrebno je strelicama povezati izraz koji sadrži zagrade s odgovarajućim izrazom bez zagrada.

Slide 11 Jednom u Sunčanom gradu, Znayka i Dunno raspravljali su tko je od njih točno riješio jednadžbu. Zatim učenici samostalno rješavaju jednadžbu primjenjujući pravila otvaranja zagrada. Rješavanje jednadžbi ”Ciljevi lekcije: obrazovni (fiksiranje ZUN-ova na temu:“ Otvaranje zagrada.

Tema lekcije: „Otvaranje zagrada. U ovom slučaju morate pomnožiti svaki izraz iz prvih zagrada sa svakim članom iz drugih zagrada i zatim zbrojiti rezultate. Najprije se uzimaju prva dva faktora koji se stavljaju u još jednu zagradu, a unutar tih zagrada otvaraju se zagrade prema jednom od već poznatih pravila.

rawalan.freezeet.ru

Otvaranje zagrade: pravila i primjeri (7. razred)

Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji pri izračunavanju vrijednosti numerički izrazi . Na primjer, u brojevnom izrazu \(5 3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim zbrajanje: \(5 3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\), prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Međutim, ako se bavimo algebarski izraz koji sadrži varijabla- na primjer ovako: \ (2 (x-3) \) - tada je nemoguće izračunati vrijednost u zagradi, varijabla smeta. Stoga se u ovom slučaju zagrade "otvore", koristeći za to odgovarajuća pravila.

Pravila proširenja zagrada

Ako postoji znak plus ispred zagrade, tada se zagrada jednostavno uklanja, izraz u njoj ostaje nepromijenjen. Drugim riječima:

Ovdje je potrebno pojasniti da je u matematici, radi smanjenja unosa, uobičajeno ne pisati znak plus ako je prvi u izrazu. Na primjer, ako zbrojimo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, tada ne pišemo \(+7+3\), već jednostavno \(7+3\), unatoč činjenici da je sedam također pozitivan broj . Slično, ako vidite, na primjer, izraz \((5+x)\) - znajte to postoji plus ispred zagrade, koji se ne piše.

Primjer . Otvorite zagradu i navedite slične članove: \((x-11)+(2+3x)\).
Riješenje : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Ako postoji znak minus ispred zagrade, onda kada se zagrada ukloni, svaki član izraza unutar nje mijenja znak u suprotan:

Ovdje treba pojasniti da je a, dok je stajalo u zagradi, imalo znak plus (samo ga nisu napisali), a nakon uklanjanja zagrade taj plus je prešao u minus.

Primjer : Pojednostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
Riješenje : postoje dva člana unutar zagrade: \(-7\) i \(x\), a ispred zagrade je minus. To znači da će se predznaci promijeniti - te će sedam sada biti s plusom, a x s minusom. otvorite zagradu i donijeti slične uvjete .

Primjer. Proširite zagradu i navedite slične članove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riješenje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Ako ispred zagrade stoji faktor, tada se svaki član zagrade množi s njim, tj.

Primjer. Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Riješenje : Imamo \(3\) i \(-x\) u zagradama i peticu ispred zagrada. To znači da se svaki član zagrade množi s \ (5 \) - podsjećam vas na to znak množenja između broja i zagrade u matematici se ne piše da bi se smanjila veličina zapisa.

Primjer. Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Riješenje : Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradama množe se s \(-2\).

Ostaje razmotriti posljednju situaciju.

Prilikom množenja zagrade po zagradu, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge:

Primjer. Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Riješenje : Imamo proizvod zagrada i može se odmah otvoriti pomoću gornje formule. Ali kako se ne bi zbunili, učinimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklanjamo prvu zagradu - svaki njen član pomnožen je drugom zagradom:

Korak 2. Proširite proizvode nosača faktorom kao što je gore opisano:
- prva prva...

Korak 3. Sada množimo i donosimo slične članove:

Nije potrebno detaljno slikati sve transformacije, možete ih odmah umnožiti. Ali ako tek učite otvarati zagrade - pišite detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.

Napomena za cijeli odjeljak. Zapravo, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, trebate zapamtiti samo jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobivamo pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobit ćemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

zagrada unutar zagrade

Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Da biste bili uspješni u ovim zadacima, trebate:
- pažljivo razumjeti ugniježđenost zagrada - koja je u kojoj;
- otvorite zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutarnje.

Važno je kada otvarate jednu od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jest.
Uzmimo gornji zadatak kao primjer.

Primjer. Otvorite zagrade i navedite slične izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riješenje:

Započnimo zadatak otvaranjem unutarnjeg nosača (onog unutra). Otvarajući ga, bavimo se samo činjenicom da je izravno povezan s njim - ovo je sama zagrada i minus ispred nje (označeno zelenom bojom). Sve ostalo (neodabrano) prepisuje se onako kako je bilo.

Rješavanje zadataka iz matematike online

Online kalkulator.
Pojednostavljenje polinoma.
Množenje polinoma.

S ovim matematičkim programom možete pojednostaviti polinom.
Dok program radi:
- množi polinome
- zbraja monome (daje slične jedinice)
- otvara zagrade
- Diže polinom na potenciju

Program za pojednostavljenje polinoma ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješavanja kako biste mogli provjeriti svoje znanje iz matematike i/ili algebre.

Ovaj program može biti koristan učenicima općeobrazovnih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom testiranja znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekundu.

Malo teorije.

Umnožak monoma i polinoma. Pojam polinoma

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, sume monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:

Zbroj monoma naziva se polinom. Članovi u polinomu nazivaju se članovima polinoma. Monomi se također nazivaju polinomi, smatrajući monom polinomom koji se sastoji od jednog člana.

Sve članove predstavljamo kao monome standardnog oblika:

Dajemo slične članove u rezultirajućem polinomu:

Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika i među njima nema sličnih. Takvi se polinomi nazivaju polinomi standardnog oblika.

Po polinomski stupanj standardnom obliku preuzimaju najveće ovlasti svojih članova. Dakle, binom ima treći stupanj, a trinom drugi.

Obično su članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu poredani silaznim redoslijedom njezinih eksponenata. Na primjer:

Zbroj nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostavljeno) u polinom standardnog oblika.

Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u skupine, stavljajući svaku skupinu u zagrade. Budući da su zagrade suprotne zagradama, lako ih je formulirati pravila otvaranja zagrada:

Ako se ispred zagrada nalazi znak +, onda se pojmovi u zagradama pišu s istim predznacima.

Ako se ispred zagrada nalazi znak "-", tada se pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.

Transformacija (pojednostavljenje) umnoška monoma i polinoma

Koristeći svojstvo distribucije množenja, može se transformirati (pojednostaviti) umnožak monoma i polinoma u polinom. Na primjer:

Umnožak monoma i polinoma identički je jednak zbroju umnožaka tog monoma i svakog člana polinoma.

Ovaj se rezultat obično formulira kao pravilo.

Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je pomnožiti taj monom sa svakim članom polinoma.

Više puta smo koristili ovo pravilo za množenje zbrojem.

Umnožak polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) umnoška dvaju polinoma

Općenito, umnožak dvaju polinoma identički je jednak zbroju umnoška svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog.

Obično koristite sljedeće pravilo.

Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i zbrojiti dobivene umnoške.

Formule skraćenog množenja. Zbroj, razlika i kvadrati razlike

Neki izrazi u algebarskim transformacijama moraju se raditi češće od drugih. Možda su najčešći izrazi i, odnosno kvadrat zbroja, kvadrat razlike i razlika kvadrata. Primijetili ste da nazivi ovih izraza izgledaju nepotpuni, pa, na primjer, - ovo, naravno, nije samo kvadrat zbroja, već kvadrat zbroja a i b. Međutim, kvadrat zbroja a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.

Izraze je lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, zapravo, već ste se susreli s takvim zadatkom pri množenju polinoma:

Dobivene identitete korisno je zapamtiti i primijeniti bez posrednih izračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

- kvadrat zbroja jednak je zbroju kvadrata i dvostrukom umnošku.

- kvadrat razlike jednak je zbroju kvadrata bez dvostrukog umnoška.

- razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.

Ova tri identiteta dopuštaju u transformacijama zamjenu svojih lijevih dijelova desnima i obrnuto - desnih dijelova lijevim. Najteže je u ovom slučaju vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti što su varijable a i b zamijenjene u njima. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja formula za skraćeno množenje.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova online Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih sveučilišta numerički ulomci Rješavanje problema za postotke Kompleksni brojevi: zbroj, razlika, umnožak i kvocijent Sustavi 2 linearne jednadžbe s dvije varijable Rješavanje kvadratne jednadžbe Razvrstavanje kvadrata binoma i rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore Rješavanje nejednadžbi Rješavanje sustava nejednadžbi Izrada grafa kvadratne funkcije Izrada grafa frakcijske linearne funkcije Rješavanje aritmetičkih i geometrijskih progresija Rješavanje trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih jednadžbi Računanje limita, derivacija, tangenti Integral, antiderivacija Rješavanje trokuta Računanje akcija s vektorima radnje s linijama i ravninama Površina geometrijskih oblika Opseg geometrijskih oblika Volumen geometrijskih tijela Površina geometrijskih tijela
Konstruktor prometnih situacija
Vrijeme - vijesti - horoskop

www.mathsolution.ru

Proširenje nosača

Nastavljamo proučavati osnove algebre. U ovoj lekciji ćemo naučiti kako otvoriti zagrade u izrazima. Proširiti zagrade znači osloboditi izraz tih zagrada.

Da biste otvorili zagrade, morate naučiti napamet samo dva pravila. Uz redovitu vježbu, možete otvoriti zagrade zatvorenih očiju, a ona pravila koja je trebalo naučiti napamet možete sigurno zaboraviti.

Prvo pravilo proširenja zagrada

Razmotrite sljedeći izraz:

Vrijednost ovog izraza je 2 . Otvorimo zagrade u ovom izrazu. Proširiti zagrade znači riješiti ih se bez utjecaja na značenje izraza. To jest, nakon uklanjanja zagrada, vrijednost izraza 8+(−9+3) i dalje treba biti jednako dva.

Prvo pravilo proširenja zagrada izgleda ovako:

Pri otvaranju zagrada, ako ispred zagrada stoji plus, onda se taj plus izostavlja zajedno sa zagradama.

Dakle, to vidimo u izrazu 8+(−9+3) ima plus ispred zagrada. Ovaj plus mora biti izostavljen zajedno sa zagradama. Drugim riječima, zagrade će nestati zajedno s plusom koji je stajao ispred njih. A ono što je bilo u zagradi bit će napisano nepromijenjeno:

8−9+3 . Ovaj izraz je jednak 2 , kao što je prethodni izraz u zagradama bio jednak 2 .

8+(−9+3) i 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Primjer 2 Proširite zagrade u izrazu 3 + (−1 − 4)

Ispred zagrade je plus, pa se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradom. Ono što je bilo u zagradi ostat će nepromijenjeno:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 2 + (−1)

U ovom primjeru, širenje zagrada postalo je vrsta obratne operacije zamjene oduzimanja zbrajanjem. Što to znači?

U izrazu 2−1 dolazi do oduzimanja, ali se može zamijeniti zbrajanjem. Onda ste dobili izraz 2+(−1) . Ali ako u izrazu 2+(−1) otvorite zagrade, dobit ćete original 2−1 .

Stoga se pravilo proširenja prve zagrade može koristiti za pojednostavljenje izraza nakon nekih transformacija. Odnosno, oslobodite ga zagrada i olakšajte ga.

Na primjer, pojednostavimo izraz 2a+a−5b+b .

Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove. Podsjetimo se da za smanjenje sličnih izraza trebate zbrojiti koeficijente sličnih izraza i pomnožiti rezultat sa zajedničkim slovom:

Imam izraz 3a+(−4b). U ovom izrazu otvorite zagrade. Ispred zagrada stoji plus, pa koristimo prvo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostavljamo zagrade zajedno s plusom koji dolazi ispred ovih zagrada:

Dakle izraz 2a+a−5b+b pojednostavljeno na 3a−4b .

Nakon otvaranja jedne zagrade, druge se mogu sresti na putu. Na njih primjenjujemo ista pravila kao i na prve. Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu:

Postoje dva mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. U ovom slučaju vrijedi prvo pravilo za proširenje zagrada, naime, izostavljanje zagrada zajedno s plusom koji dolazi ispred tih zagrada:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 6+(−3)+(−2)

Na oba mjesta gdje postoje zagrade ispred njih stoji znak plus. I ovdje se primjenjuje prvo pravilo proširenja zagrada:

Ponekad se prvi pojam u zagradi piše bez znaka. Na primjer, u izrazu 1+(2+3−4) prvi izraz u zagradama 2 napisano bez znaka. Postavlja se pitanje koji će znak doći ispred dvojke nakon izostavljanja zagrada i plusa ispred zagrada? Odgovor se sam nameće - bit će plus ispred dvojke.

Zapravo, čak i ako je u zagradi, postoji plus ispred dvojke, ali ga ne vidimo jer nije zapisan. Već smo rekli da potpuni zapis pozitivnih brojeva izgleda ovako +1, +2, +3. Ali plusevi se tradicionalno ne zapisuju, zbog čega vidimo pozitivne brojeve koji su nam poznati. 1, 2, 3 .

Stoga, za otvaranje zagrada u izrazu 1+(2+3−4) , trebate izostaviti zagrade kao i obično zajedno s plusom ispred ovih zagrada, ali napišite prvi pojam koji je bio u zagradama sa znakom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Primjer 4 Proširite zagrade u izrazu −5 + (2 − 3)

Ispred zagrada je plus, pa primjenjujemo prvo pravilo za otvaranje zagrada, naime izostavljamo zagrade zajedno s plusom koji dolazi ispred tih zagrada. Ali prvi izraz, koji je napisan u zagradama sa znakom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Primjer 5 Proširite zagrade u izrazu (−5)

Ispred zagrade stoji plus, ali se ne piše jer prije njega nije bilo drugih brojeva ili izraza. Naš zadatak je ukloniti zagrade primjenom prvog pravila za proširenje zagrada, naime izostavljanjem zagrada uz ovaj plus (čak i ako je nevidljiv)

Primjer 6 Proširite zagrade u izrazu 2a + (−6a + b)

Ispred zagrade je plus, pa se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradom. Ono što je bilo u zagradi bit će napisano nepromijenjeno:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Primjer 7 Proširite zagrade u izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

U ovom izrazu postoje dva mjesta gdje trebate otvoriti zagrade. U oba odjeljka ispred zagrada stoji plus, što znači da je taj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradi bit će napisano nepromijenjeno:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Drugo pravilo za otvaranje zagrada

Sada pogledajmo drugo pravilo proširenja zagrada. Koristi se kada ispred zagrada stoji minus.

Ako ispred zagrada stoji minus, onda se taj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali pojmovi koji su bili u zagradi mijenjaju predznak u suprotan.

Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu

Vidimo da prije zagrada stoji minus. Dakle, morate primijeniti drugo pravilo proširenja, naime, izostaviti zagrade zajedno s minusom ispred tih zagrada. U tom će slučaju pojmovi koji su bili u zagradi promijeniti predznak u suprotan:

Dobili smo izraz bez zagrada 5+2+3 . Ovaj izraz je jednak 10, kao što je prethodni izraz sa zagradama bio jednak 10.

Dakle, između izraza 5−(−2−3) i 5+2+3 možete staviti znak jednakosti, jer su jednaki istoj vrijednosti:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Primjer 2 Proširite zagrade u izrazu 6 − (−2 − 5)

Ispred zagrada je minus, pa primjenjujemo drugo pravilo za otvaranje zagrada, naime izostavljamo zagrade zajedno s minusom koji dolazi ispred tih zagrada. U ovom slučaju pojmovi koji su bili u zagradama pišu se sa suprotnim predznakom:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)

Ispred zagrada je minus, pa primjenjujemo drugo pravilo za otvaranje zagrada:

Primjer 4 Proširite zagrade u izrazu −(−3 + 4)

Primjer 5 Proširite zagrade u izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Postoje dva mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. U prvom slučaju trebate primijeniti drugo pravilo za otvaranje zagrada, a kada dođe red na izraz +(−9−2) morate primijeniti prvo pravilo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Primjer 6 Proširite zagrade u izrazu −(−a−1)

Primjer 7 Proširite zagrade u izrazu −(4a + 3)

Primjer 8 Proširite zagrade u izrazu a −(4b + 3) + 15

Primjer 9 Proširite zagrade u izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Postoje dva mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. U prvom slučaju morate primijeniti prvo pravilo za proširenje zagrada, a kada dođe red na izraz −(3c+5) morate primijeniti drugo pravilo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Primjer 10 Proširite zagrade u izrazu -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Postoje tri mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. Prvo morate primijeniti drugo pravilo za proširenje zagrada, zatim prvo, pa opet drugo:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mehanizam proširenja zagrada

Pravila za otvaranje zagrada, koja smo sada razmotrili, temelje se na distributivnom zakonu množenja:

Zapravo otvaranje zagrada nazovite postupak kada se zajednički faktor pomnoži sa svakim članom u zagradi. Kao rezultat takvog množenja, zagrade nestaju. Na primjer, proširimo zagrade u izrazu 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Stoga, ako trebate pomnožiti broj s izrazom u zagradama (ili pomnožiti izraz u zagradama s brojem), trebate reći otvorite zagrade.

Ali kako je distribucijski zakon množenja povezan s pravilima za otvaranje zagrada koje smo ranije razmatrali?

Činjenica je da prije svake zagrade postoji zajednički faktor. U primjeru 3×(4+5) zajednički faktor je 3 . I u primjeru a(b+c) zajednički faktor je varijabla a.

Ako ispred zagrada nema brojeva ili varijabli, onda je zajednički faktor 1 ili −1 , ovisno o tome koji znak dolazi ispred zagrada. Ako ispred zagrada stoji plus, onda je zajednički faktor 1 . Ako prije zagrada stoji minus, onda je zajednički faktor −1 .

Na primjer, proširimo zagrade u izrazu −(3b−1). Ispred zagrada je minus, pa treba koristiti drugo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostaviti zagrade zajedno s minusom ispred zagrada. A izraz koji je bio u zagradama napišite sa suprotnim predznacima:

Proširili smo zagrade pomoću pravila proširenja zagrada. Ali te iste zagrade mogu se otvoriti korištenjem distributivnog zakona množenja. Da bismo to učinili, prvo ispred zagrada napišemo zajednički faktor 1 koji nije zapisan:

Minus koji je stajao ispred zagrade odnosio se na ovu jedinicu. Sada možete otvoriti zagrade primjenom distribucijskog zakona množenja. Za ovo, zajednički faktor −1 trebate pomnožiti sa svakim izrazom u zagradama i zbrojiti rezultate.

Radi praktičnosti, razliku u zagradama zamjenjujemo zbrojem:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Kao i prošli put, dobili smo izraz −3b+1. Svi će se složiti da je ovoga puta više vremena utrošeno na rješavanje tako jednostavnog primjera. Stoga je razumnije koristiti gotova pravila za otvaranje zagrada, koja smo razmotrili u ovoj lekciji:

Ali ne škodi znati kako ta pravila funkcioniraju.

U ovoj lekciji smo naučili još jednu identičnu transformaciju. Zajedno s otvaranjem zagrada, izbacivanjem općeg iz zagrade i donošenjem sličnih pojmova, moguće je malo proširiti raspon zadataka koje treba riješiti. Na primjer:

Ovdje morate izvršiti dvije radnje - prvo otvoriti zagrade, a zatim donijeti slične uvjete. Dakle, redom:

1) Proširite zagrade:

2) Dajemo slične uvjete:

U dobivenom izrazu −10b+(−1) možete otvoriti zagrade:

Primjer 2 Otvorite zagrade i dodajte slične termine u sljedeći izraz:

1) Proširite zagrade:

2) Predstavljamo slične uvjete. Ovaj put, radi uštede vremena i prostora, nećemo zapisivati ​​kako se koeficijenti množe zajedničkim slovnim dijelom

Primjer 3 Pojednostavite izraz 8m+3m i pronađite njegovu vrijednost na m=−4

1) Najprije pojednostavimo izraz. Da pojednostavimo izraz 8m+3m, možete ukloniti zajednički faktor u njemu m za zagrade:

2) Odredi vrijednost izraza m(8+3) na m=−4. Za ovo, u izrazu m(8+3) umjesto varijable m zamijeniti broj −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

U ovom ćemo članku detaljno razmotriti osnovna pravila za tako važnu temu u tečaju matematike kao otvaranje zagrada. Morate znati pravila otvaranja zagrada kako biste ispravno riješili jednadžbe u kojima se one koriste.

Kako pravilno otvoriti zagrade pri zbrajanju

Raširite zagrade ispred kojih stoji znak "+".

Ovo je najjednostavniji slučaj, jer ako ispred zagrada stoji znak dodavanja, kada se zagrade otvore, znakovi unutar njih se ne mijenjaju. Primjer:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak "-".

U tom slučaju trebate prepisati sve pojmove bez zagrada, ali istodobno promijeniti sve znakove unutar njih u suprotne. Predznaci se mijenjaju samo za pojmove iz onih zagrada ispred kojih je stajao znak “-”. Primjer:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Kako otvoriti zagrade pri množenju

Ispred zagrada stoji množitelj

U tom slučaju morate svaki pojam pomnožiti s faktorom i otvoriti zagrade bez mijenjanja predznaka. Ako množitelj ima predznak "-", tada se kod množenja predznaci pojmova mijenjaju. Primjer:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Kako otvoriti dvije zagrade sa znakom množenja između njih

U ovom slučaju morate pomnožiti svaki izraz iz prvih zagrada sa svakim članom iz drugih zagrada i zatim zbrojiti rezultate. Primjer:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Kako otvoriti zagrade u kvadratu

Ako se zbroj ili razlika dvaju članova kvadrira, zagrade treba raširiti prema sljedećoj formuli:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

U slučaju minusa unutar zagrade, formula se ne mijenja. Primjer:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Kako otvoriti zagrade u različitom stupnju

Ako se zbroj ili razlika članova podigne, na primjer, na 3. ili 4. potenciju, tada samo trebate razbiti stupanj zagrade na "kvadratiće". Zbrajaju se potencije istih faktora, a pri dijeljenju se od stupnja djelitelja oduzima stupanj djelitelja. Primjer:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Kako otvoriti 3 zagrade

Postoje jednadžbe u kojima se 3 zagrade množe odjednom. U tom slučaju prvo morate međusobno pomnožiti članove prve dvije zagrade, a zatim zbroj tog množenja pomnožiti s članovima treće zagrade. Primjer:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Ova pravila otvaranja zagrada jednako se primjenjuju i na linearne i na trigonometrijske jednadžbe.

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, sume monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Zbroj monoma naziva se polinom. Članovi u polinomu nazivaju se članovima polinoma. Monomi se također nazivaju polinomi, smatrajući monom polinomom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Sve članove predstavljamo kao monome standardnog oblika:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dajemo slične članove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika i među njima nema sličnih. Takvi se polinomi nazivaju polinomi standardnog oblika.

Po polinomski stupanj standardnom obliku preuzimaju najveće ovlasti svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b \) ima treći stupanj, a trinom \(2b^2 -7b + 6 \) ima drugi.

Obično su članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu poredani silaznim redoslijedom njezinih eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Zbroj nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostavljeno) u polinom standardnog oblika.

Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u skupine, stavljajući svaku skupinu u zagrade. Budući da su zagrade suprotne zagradama, lako ih je formulirati pravila otvaranja zagrada:

Ako se ispred zagrada nalazi znak +, onda se pojmovi u zagradama pišu s istim predznacima.

Ako se ispred zagrada nalazi znak "-", tada se pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.

Transformacija (pojednostavljenje) umnoška monoma i polinoma

Koristeći svojstvo distribucije množenja, može se transformirati (pojednostaviti) umnožak monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Umnožak monoma i polinoma identički je jednak zbroju umnožaka tog monoma i svakog člana polinoma.

Ovaj se rezultat obično formulira kao pravilo.

Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je pomnožiti taj monom sa svakim članom polinoma.

Više puta smo koristili ovo pravilo za množenje zbrojem.

Umnožak polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) umnoška dvaju polinoma

Općenito, umnožak dvaju polinoma identički je jednak zbroju umnoška svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog.

Obično koristite sljedeće pravilo.

Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i zbrojiti dobivene umnoške.

Formule skraćenog množenja. Zbroj, razlika i kvadrati razlike

Neki izrazi u algebarskim transformacijama moraju se raditi češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), to jest, kvadrat zbroja, kvadrat razlike i kvadrat razlike. Primijetili ste da imena ovih izraza izgledaju nepotpuna, pa, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbroja, već kvadrat zbroja a i b. Međutim, kvadrat zbroja a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.

Izraze \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lako je pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, zapravo, već ste se susreli s takvim zadatkom pri množenju polinoma :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Dobivene identitete korisno je zapamtiti i primijeniti bez posrednih izračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbroja jednak je zbroju kvadrata i dvostrukog umnoška.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je zbroj kvadrata bez umnožavanja umnoška.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.

Ova tri identiteta dopuštaju u transformacijama zamjenu svojih lijevih dijelova desnima i obrnuto - desnih dijelova lijevim. Najteže je u ovom slučaju vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti što su varijable a i b zamijenjene u njima. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja formula za skraćeno množenje.