Kako izračunati površinu kruga. Površina kruga

Krug je vidljivi skup mnogih točaka koje su na istoj udaljenosti od središta. Da biste pronašli njegovu površinu, trebate znati koliki su polumjer, promjer, broj π i opseg.

Veličine uključene u izračunavanje površine kruga

Udaljenost omeđena središnjom točkom kružnice i bilo kojom od točaka kružnice naziva se polumjer te geometrijske figure. Duljine svih polumjera jedne kružnice su iste. Odsječak između bilo koje 2 točke na krugu koji prolazi kroz središnju točku naziva se promjer. Duljina promjera jednaka je duljini polumjera pomnoženoj s 2.

Za izračunavanje površine kruga koristi se vrijednost broja π. Ova vrijednost jednaka je omjeru opsega i duljine promjera kruga i ima konstantnu vrijednost. Π = 3,1415926. Opseg se izračunava pomoću formule L=2πR.

Pronađite površinu kruga pomoću radijusa

Dakle, površina kruga jednaka je umnošku broja π i polumjera kruga podignutog na 2. potenciju. Kao primjer, uzmimo duljinu polumjera kruga jednaku 5 cm. Tada će površina kruga S biti jednaka 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 kvadratnih metara. cm.

Površina kruga u smislu promjera

Površina kruga također se može izračunati ako se zna promjer kruga. U ovom slučaju, S = (π/4)*d^2, gdje je d promjer kruga. Uzmimo isti primjer gdje je radijus 5 cm. Tada će njegov promjer biti 5*2=10 cm. Površina kruga je S=3,14/4*10^2=78,5 sq.cm. Rezultat, koji je jednak zbroju izračuna u prvom primjeru, potvrđuje ispravnost izračuna u oba slučaja.

Područje kruga u smislu opsega

Ako se radijus kruga predstavi kroz opseg, tada će formula izgledati ovako: R=(L/2)π. Zamijenite ovaj izraz u formulu za područje kruga i kao rezultat dobivamo S=(L^2)/4π. Razmotrite primjer u kojem je opseg 10 cm. Tada je površina kruga S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 četvornih metara. cm.

Površina kruga izražena duljinom stranice upisanog kvadrata

Ako je kvadrat upisan u krug, tada je duljina promjera kruga jednaka duljini dijagonale kvadrata. Znajući veličinu stranice kvadrata, lako možete pronaći promjer kruga po formuli: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Drugim riječima, promjer na potenciju 2 jednak je stranici kvadrata na potenciju 2 puta 2.

Nakon što izračunate vrijednost duljine promjera kruga, možete saznati i njegov polumjer, a zatim upotrijebiti jednu od formula za određivanje površine kruga.

Područje sektora kruga

Sektor je dio kruga omeđen s 2 radijusa i lukom između njih. Da biste saznali njegovo područje, morate izmjeriti kut sektora. Nakon toga, potrebno je sastaviti razlomak, u čijem će brojniku biti vrijednost kuta sektora, au nazivniku - 360. Da biste izračunali površinu sektora, vrijednost dobivena kao rezultat dijeljenja razlomka mora se pomnožiti s površinom kruga izračunatom pomoću jedne od gornjih formula.

Kako pronaći područje kruga? Najprije pronađite radijus. Naučite rješavati jednostavne i složene probleme.

Krug je zatvorena krivulja. Bilo koja točka na kružnoj liniji bit će jednako udaljena od središnje točke. Krug je ravna figura, pa je rješavanje problema s pronalaženjem površine jednostavno. U ovom članku ćemo pogledati kako pronaći površinu kruga upisanog u trokut, trapez, kvadrat i opisan oko tih figura.

Da biste pronašli površinu date figure, morate znati koji su radijus, promjer i broj π.

Radijus R je udaljenost omeđena središtem kruga. Duljine svih R-polumjera jedne kružnice bit će jednake.

Promjer D je linija između bilo koje dvije točke na kružnici koja prolazi kroz središnju točku. Duljina ovog segmenta jednaka je duljini R-polumjera puta 2.

Broj π je konstantna vrijednost, koja je jednaka 3,1415926. U matematici se ovaj broj obično zaokružuje na 3,14.

Formula za pronalaženje površine kruga pomoću radijusa:

Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje S-površine kruga kroz R-polumjer:

Zadatak: Odredite površinu kruga ako je njegov polumjer 7 cm.

Odluka: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Odgovor: Površina kruga je 153,86 cm².

Formula za pronalaženje S-površine kruga u smislu D-promjera je:

Primjeri rješavanja zadataka za nalaženje S, ako je D poznato:

————————————————————————————————————————-

Zadatak: Odredi S kruga ako je D 10 cm.

Odluka: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Odgovor: Površina ravne okrugle figure je 78,5 cm².

Određivanje kruga S ako je poznat opseg:

Najprije pronađite polumjer. Opseg se izračunava po formuli: L=2πR, odnosno radijus R će biti jednak L/2π. Sada pronalazimo područje kruga pomoću formule kroz R.

Razmotrite rješenje na primjeru problema:

———————————————————————————————————————-

Zadatak: Odredite površinu kruga ako je poznat opseg L - 12 cm.

Odluka: Prvo nalazimo radijus: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Sada nalazimo površinu polumjera: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Odgovor: Površina kruga je 11,46 cm².

Lako je pronaći površinu kruga upisanog u kvadrat. Stranica kvadrata je promjer kruga. Da biste pronašli polumjer, morate stranicu podijeliti s 2.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u kvadrat je:

Primjeri rješavanja problema nalaženja površine kruga upisanog u kvadrat:

———————————————————————————————————————

Zadatak #1: Poznata je stranica kvadratne figure koja je jednaka 6 centimetara. Pronađite S-površinu upisane kružnice.

Odluka: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Odgovor: Površina ravne okrugle figure je 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Zadatak #2: Odredi S kružnice upisane u kvadrat i njen polumjer ako je jedna stranica a=4 cm.

Odlučite se ovako: Prvo pronađite R=a/2=4/2=2 cm.

Nađimo sada površinu kruga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

Odgovor: Površina ravne okrugle figure je 12,56 cm².

Malo je teže pronaći područje okrugle figure ograničene kvadratom. Ali, znajući formulu, možete brzo izračunati ovu vrijednost.

Formula za pronalaženje S kruga opisanog oko kvadrata:

Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje površine kruga opisanog u blizini kvadratne figure:

Zadatak

Kružnica koja je upisana u trokut je kružnica koja dodiruje sve tri stranice trokuta. Krug se može upisati u bilo koji trokutasti lik, ali samo u jedan. Središte kruga bit će točka presjeka simetrala kutova trokuta.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u jednakokračni trokut je:

Kada je polumjer poznat, površina se može izračunati pomoću formule: S=πR².

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trokut je:

Primjeri rješavanja zadataka:

Zadatak #1

Ako u ovom zadatku trebate pronaći i površinu kruga polumjera 4 cm, onda se to može učiniti pomoću formule: S=πR²

Zadatak #2

Odluka:

Sada kada znate polumjer, možete pronaći površinu kruga u smislu polumjera. Pogledajte gornju formulu.

Zadatak #3

Područje kruga opisanog oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta: formula, primjeri rješavanja problema

Sve formule za pronalaženje površine kruga svode se na činjenicu da prvo morate pronaći njegov polumjer. Kada je radijus poznat, pronalaženje površine je jednostavno, kao što je gore opisano.

Površina kruga opisanog oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta nalazi se sljedećom formulom:

Primjeri rješavanja problema:

Evo još jednog primjera rješavanja problema korištenjem Heronove formule.

Rješavanje takvih problema je teško, ali oni se mogu svladati ako znate sve formule. Takve zadatke učenici rješavaju u 9. razredu.

Područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokračni trapez: formula, primjeri rješavanja problema

Jednakokračni trapez ima dvije jednake stranice. Pravokutni trapez ima jedan kut jednak 90º. Razmotrite kako pronaći područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokračni trapez koristeći primjer rješavanja problema.

Na primjer, u jednakokračni trapez upisana je kružnica koja u točki dodira dijeli jednu stranicu na segmente m i n.

Da biste riješili ovaj problem, morate koristiti sljedeće formule:

Površina kruga upisanog u pravokutni trapez nalazi se pomoću sljedeće formule:

Ako je bočna strana poznata, tada možete pronaći polumjer kroz ovu vrijednost. Visina stranice trapeza jednaka je promjeru kruga, a polumjer je polovici promjera. Prema tome, radijus je R=d/2.

Primjeri rješavanja problema:

Trapez se može upisati u krug ako je zbroj njegovih nasuprotnih kutova 180º. Dakle, može se upisati samo jednakokračni trapez. Polumjer za izračunavanje površine kruga opisanog oko pravokutnog ili jednakokračnog trapeza izračunava se pomoću sljedećih formula:

Primjeri rješavanja problema:

Odluka: Velika baza u ovom slučaju prolazi kroz središte, jer je jednakokračan trapez upisan u krug. Središte dijeli ovu bazu točno na pola. Ako je baza AB 12, tada se radijus R može pronaći na sljedeći način: R=12/2=6.

Odgovor: Polumjer je 6.

U geometriji je važno znati formule. Ali nemoguće ih je sve zapamtiti, pa je čak i na mnogim ispitima dopušteno koristiti poseban obrazac. Međutim, važno je znati pronaći pravu formulu za rješavanje određenog problema. Vježbajte rješavanje različitih zadataka za pronalaženje polumjera i površine kruga kako biste mogli ispravno zamijeniti formule i dobiti točne odgovore.

Video: Matematika | Izračunavanje površine kruga i njegovih dijelova

U geometriji oko naziva se neki skup svih točaka na ravnini, koje su udaljene od jedne točke, koja se naziva njezino središte, na udaljenost koja nije veća od zadane, koja se naziva njezin polumjer. U ovom slučaju, vanjska granica kruga je krug, a ako je duljina polumjera jednaka nuli, krug degenerira do točke.

Određivanje površine kruga

Ako je potrebno područje kruga može se izračunati pomoću formule:

S

pr 2

D2

r- radijus kruga

D- promjer kruga

S- površina kruga

π - 3.14

Ova geometrijska figura vrlo je česta iu inženjerstvu iu arhitekturi. Dizajneri strojeva i mehanizama razvijaju različite dijelove, od kojih su dijelovi mnogih precizni krug. Na primjer, to su osovine, šipke, šipke, cilindri, osovine, klipovi i tako dalje. U proizvodnji ovih dijelova koriste se obrasci od različitih materijala (metali, drvo, plastika), a njihovi presjeci također precizno predstavljaju krug. Nije potrebno spominjati da programeri često moraju kalkulirati područje kruga kroz promjer ili radijus, koristeći u tu svrhu jednostavne matematičke formule otkrivene u davna vremena.

Upravo tada okrugli elementi počeo se aktivno i naširoko koristiti u arhitekturi. Jedan od najupečatljivijih primjera toga je cirkus, vrsta zgrada namijenjenih za održavanje raznih zabavnih događanja. Njihove arene su oblikovane krug, a prvi put su se počeli graditi u antici. Sama riječ " krug"na latinskom znači" krug". Ako su se u davnim vremenima u cirkusima održavale kazališne predstave i održavale borbe gladijatora, sada oni služe kao mjesto gdje se gotovo isključivo održavaju cirkuske predstave u kojima sudjeluju dreseri životinja, akrobati, mađioničari, klaunovi itd. Standardni promjer cirkusa je cirkus. arena je 13 metara, a to je potpuno Nije slučajno: činjenica je da je on taj koji osigurava minimalne potrebne geometrijske parametre arene, uz koje cirkuski konji mogu trčati u krug u galopu. Ako izračunamo područje kruga kroz promjer, ispada da je za cirkusku arenu ta vrijednost 113,04 četvornih metara.

Arhitektonski elementi koji mogu imati oblik kruga su prozori. Naravno, u većini slučajeva oni su pravokutni ili kvadratni (uglavnom zbog činjenice da je to lakše i arhitektima i graditeljima), ali u nekim zgradama možete pronaći i okrugle prozore. Štoviše, u takvim vozilima kao što su zračna, morska i riječna plovila, najčešće su upravo takvi.

Nije neuobičajeno koristiti okrugle elemente za izradu namještaja kao što su stolovi i stolice. Postoji čak i koncept Okrugli stol”, što podrazumijeva konstruktivnu raspravu, tijekom koje se sveobuhvatno raspravlja o različitim važnim problemima i razvijaju načini za njihovo rješavanje. Što se tiče same izrade ploča okruglog oblika, za njihovu proizvodnju koriste se specijalizirani alati i oprema, pod uvjetom da sudjeluju radnici s prilično visokim kvalifikacijama.

Uputa

Upotrijebite pi da pronađete polumjer iz poznatog područja kruga. Ova konstanta određuje omjer između promjera kruga i duljine njegovog ruba (kruga). Opseg kruga je najveća površina ravnine koja se njime može pokriti, a promjer je jednak dvama polumjerima, dakle, površina s polumjerom također korelira jedna s drugom s omjerom koji se može izraziti u pojmovi Pi. Ova konstanta (π) definirana je kao površina (S) i kvadrat polumjera (r) kružnice. Iz ovoga slijedi da se radijus može izraziti kao kvadratni korijen kvocijenta dijeljenja površine s brojem Pi: ​​r=√(S/π).

Erastofen je dugo vremena bio na čelu Aleksandrijske knjižnice, najpoznatije knjižnice antičkog svijeta. Osim što je izračunao veličinu našeg planeta, došao je do niza važnih izuma i otkrića. Izumio jednostavnu metodu za određivanje prostih brojeva, koja se sada naziva "Erastotenovo sito".

Nacrtao je "kartu svijeta", na kojoj je prikazao sve dijelove svijeta koji su u to vrijeme poznavali stari Grci. Karta se smatrala jednom od najboljih za svoje vrijeme. Razvio je sustav zemljopisne dužine i širine te kalendar koji je uključivao prijestupne godine. Izumio je armilarnu sferu, mehaničku napravu koju su rani astronomi koristili za demonstraciju i predviđanje prividnog kretanja zvijezda na nebu. Sastavio je i katalog zvijezda koji je uključivao 675 zvijezda.

Izvori:

• Grčki znanstvenik Eratosten iz Cirene prvi je put u svijetu izračunao polumjer Zemlje
• Eratosten "Izračunavanje Zemljinog opsega".
• Eratosten