Kako riješiti dijeljenje razlomaka. Akcije s razlomcima

Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školskom djecom u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno razmotriti ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijelite. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zdrobiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII stoljeću se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, nazvani su "razbijeni brojevi", što je bilo vrlo teško prikazati ljudima.

Suvremeni oblik jednostavnih frakcijskih ostataka, čiji su dijelovi odvojeni precizno vodoravnom crtom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi datiraju iz 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako nastaje množenje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti raznolikosti razlomaka:

ispravan;
krivo;
mješoviti.

Zatim se morate sjetiti kako se množe razlomački brojevi s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa lako je samostalno formulirati: rezultat množenja jednostavnih razlomaka s istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik je umnožak nazivnika tih razlomaka. . To jest, zapravo, novi nazivnik je kvadrat jednog od početnih postojećih.

Pri množenju jednostavni razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod frakcijske trake biti proizvod različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

U primjerima se koriste načini smanjivanja frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika s brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako radi množenje?

Navedeno je nekoliko primjera za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja s obični razlomački dio, možete zapisati pravilo za ovu radnju formulom:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav umnožak je zbroj identičnih frakcijskih ostataka, a broj članova označava taj prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja ostatkom u razlomku. Samo trebate podijeliti nazivnik ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Korisno je koristiti ovu tehniku kada je nazivnik podijeljen prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke i dobijete umnožak na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravilnog razlomka, također se može predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, gdje se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela s nazivnikom i njegovim dodavanjem brojniku izvornog ostatka razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces radi i obrnuto. Da biste odabrali cjelobrojni dio i razlomački ostatak, potrebno je brojnik nepravog razlomka podijeliti s njegovim nazivnikom "kutom".

Množenje nepravih razlomaka proizvedeno na uobičajeni način. Kada unos ide ispod jedne crte razlomaka, prema potrebi morate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše izračunali rezultat.

Na Internetu postoji mnogo pomoćnika za rješavanje čak i složenih matematičkih problema u raznim varijantama programa. Dovoljan broj takvih servisa nudi svoju pomoć u izračunavanju množenja razlomaka s različitim brojevima u nazivnicima - tzv. online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. U stanju su ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web mjesta, odabire se znak matematičke akcije i pritisne se "izračunaj". Program automatski broji.

Tema aritmetičkih operacija s razlomačkim brojevima relevantna je za cijelo obrazovanje srednjoškolske i starije školske djece. U srednjoj školi više se ne razmatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni frakcijski izrazi, ali znanje o pravilima za transformaciju i izračune, stečeno ranije, primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro naučena temeljna znanja daju punu sigurnost u uspješno rješavanje najsloženijih zadataka.

U zaključku ima smisla navesti riječi Lava Tolstoja koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik - vlastite zasluge, ali svako može smanjiti svoj nazivnik - svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.

Razlomak je jedan ili više dijelova cjeline, koji se obično uzima kao jedinica (1). Kao i s prirodnim brojevima, s razlomcima možete izvoditi sve osnovne aritmetičke operacije (zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje, množenje), za to morate znati značajke rada s razlomcima i razlikovati njihove vrste. Postoji nekoliko vrsta razlomaka: decimalni i obični ili prosti. Svaka vrsta razlomaka ima svoje specifičnosti, ali kada jednom dobro shvatite kako s njima baratati, moći ćete rješavati bilo koje primjere s razlomcima, budući da ćete znati osnovne principe izvođenja aritmetičkih izračuna s razlomcima. Pogledajmo primjere kako podijeliti razlomak cijelim brojem pomoću različitih vrsta razlomaka.

Kako podijeliti razlomak prirodnim brojem?
Obični ili prosti razlomci nazivaju se razlomci koji se pišu kao takav omjer brojeva u kojem je na vrhu razlomka naveden djelitelj (brojnik), a ispod djelitelj (nazivnik) razlomka. Kako takav razlomak podijeliti cijelim brojem? Pogledajmo primjer! Recimo da trebamo podijeliti 8/12 sa 2.

Da bismo to učinili, moramo izvršiti niz radnji:

Stoga, ako se suočimo sa zadatkom dijeljenja razlomka s cijelim brojem, shema rješenja izgledat će otprilike ovako:

Slično, možete podijeliti bilo koji obični (prosti) razlomak cijelim brojem.

Kako podijeliti decimalu s cijelim brojem?
Decimalni razlomak je razlomak koji se dobije dijeljenjem jedinice na deset, tisuću i tako dalje. Aritmetičke operacije s decimalnim razlomcima vrlo su jednostavne.

Razmotrite primjer kako razlomak podijeliti cijelim brojem. Recimo da decimalni razlomak 0,925 trebamo podijeliti s prirodnim brojem 5.

Ukratko, usredotočit ćemo se na dvije glavne točke koje su važne pri izvođenju operacije dijeljenja decimalnih razlomaka cijelim brojem:

za dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem koristi se dijeljenje u stupac;
zarez se stavlja u privatno kada je završeno dijeljenje cijelog dijela dividende.

Primjenom ovih jednostavnih pravila uvijek možete jednostavno podijeliti bilo koju decimalu ili razlomak s cijelim brojem.

) a nazivnik nazivnikom (dobivamo nazivnik umnoška).

Formula množenja razlomaka:

Na primjer:

Prije nastavka množenja brojnika i nazivnika potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, bit će vam lakše nastaviti s izračunima.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojem.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

pretvoriti mješovite razlomke u neprave;
množiti brojnike i nazivnike razlomaka;
smanjujemo razlomak;
ako dobijemo nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti.

Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravih razlomaka, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da bismo razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.

Višerazinski razlomci.

U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se dijeljenje kroz 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.

Bilješka, na primjer:

Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve proračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u svojoj glavi.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka – prijeći na vrstu običnih razlomaka.

3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.

4. Donosimo višerazinske frakcijske izraze u obične, koristeći dijeljenje kroz 2 točke.

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.

S razlomcima možete izvoditi sve radnje, uključujući dijeljenje. Ovaj članak prikazuje dijeljenje običnih razlomaka. Dat će se definicije, razmotrit će se primjeri. Zadržimo se na dijeljenju razlomaka prirodnim brojevima i obrnuto. Razmotrit će se dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem.

Dijeljenje običnih razlomaka

Dijeljenje je obrnuto množenju. Pri dijeljenju se nepoznati faktor nalazi kod poznatog umnoška i drugog faktora, pri čemu se uz obične razlomke čuva njegovo zadano značenje.

Ako je potrebno podijeliti obični ulomak a b sa c d, tada da biste odredili takav broj, trebate pomnožiti s djeliteljem c d, to će na kraju dati dividendu a b. Uzmimo broj i napišimo ga a b · d c , gdje je d c recipročna vrijednost c d broja. Jednakosti se mogu napisati pomoću svojstava množenja, naime: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , gdje je izraz a b d c kvocijent dijeljenja a b sa c d .

Odavde dobivamo i formuliramo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka:

Definicija 1

Da bismo obični razlomak a b podijelili s c d, potrebno je pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Zapišimo pravilo kao izraz: a b: c d = a b d c

Pravila dijeljenja svode se na množenje. Da biste ga se pridržavali, morate biti dobro upućeni u izvođenje množenja običnih razlomaka.

Prijeđimo na dijeljenje običnih razlomaka.

Primjer 1

Izvršite dijeljenje 9 7 s 5 3 . Rezultat zapiši kao razlomak.

Riješenje

Broj 5 3 je recipročna vrijednost od 3 5 . Morate koristiti pravilo za dijeljenje običnih razlomaka. Ovaj izraz zapisujemo na sljedeći način: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kod smanjivanja razlomaka treba istaknuti cijeli dio ako je brojnik veći od nazivnika.

Primjer 2

Podijeli 8 15: 24 65 . Napiši odgovor kao razlomak.

Riješenje

Rješenje je prijeći s dijeljenja na množenje. Zapisujemo ga u ovom obliku: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je izvršiti smanjenje, a to se radi na sljedeći način: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Odaberemo cjelobrojni dio i dobijemo 13 9 = 1 4 9 .

Odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dijeljenje izvanrednog razlomka prirodnim brojem

Koristimo se pravilom dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste a b podijelili prirodnim brojem n, potrebno je samo nazivnik pomnožiti s n. Odavde dobivamo izraz: a b: n = a b · n .

Pravilo dijeljenja je posljedica pravila množenja. Stoga će predstavljanje prirodnog broja kao razlomka dati jednakost ovog tipa: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Razmotrite ovu podjelu razlomka brojem.

Primjer 3

Razlomak 1645 podijelite s brojem 12.

Riješenje

Primijenite pravilo dijeljenja razlomka brojem. Dobivamo izraz poput 16 45: 12 = 16 45 12 .

Skratimo razlomak. Dobivamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom

Pravilo podjele je slično oko pravilo dijeljenja prirodnog broja običnim razlomkom: da bismo prirodni broj n podijelili običnim a b , potrebno je broj n pomnožiti recipročnom vrijednošću razlomka a b .

Na temelju pravila imamo n: a b \u003d n b a, a zahvaljujući pravilu množenja prirodnog broja običnim razlomkom, dobivamo naš izraz u obliku n: a b \u003d n b a. Ovu podjelu potrebno je razmotriti na primjeru.

Primjer 4

Podijeli 25 s 15 28 .

Riješenje

Moramo prijeći s dijeljenja na množenje. Zapisujemo u obliku izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Skratimo razlomak i dobijemo rezultat u obliku razlomka 46 2 3 .

Odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem

Kada dijelite obični razlomak mješovitim brojem, lako možete zablistati u dijeljenju običnih razlomaka. Morate pretvoriti mješoviti broj u nepravi razlomak.

Primjer 5

Razlomak 35 16 podijeli s 3 1 8 .

Riješenje

Kako je 3 1 8 mješoviti broj, predstavimo ga kao nepravi razlomak. Tada dobivamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Sada podijelimo razlomke. Dobivamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dijeljenje mješovitog broja vrši se na isti način kao i običnih brojeva.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

TEMA: Dijeljenje razlomaka.

Učenje pravila dijeljenja razlomaka; Formiranje elementarnih vještina za izvođenje dijeljenja razlomaka;
razvoj osnovnih vještina za izvođenje dijeljenja razlomaka prema glavnom algoritmu; Razvoj pažnje, logičkog mišljenja;
obrazovanje interesa za proučavanje predmeta, sposobnost rada u grupama.

PLAN UČENJA:

1. Organizacijski trenutak.

2. Usmeni rad koji vodi do novog pravila.

3. Uvod u definiciju.

4. Rad s karticama za asimilaciju.

5. Fizičke minute.

6. Usmeni rad „pronađi pogrešku“.

7. Pričvršćivanje: lančani izračuni.

8. Sažimanje lekcije.

TIJEKOM NASTAVE

1) Danas na satu, dečki, moramo ozbiljno raditi. Trebat će vam upornost, želja, pažnja, dosljednost i korektnost u izvršavanju zadataka.

Usmeni rad: navedite recipročnu vrijednost zadanog broja:

2) A kako provjeriti ispravnost operacije množenja? (postupkom dijeljenja).

Kako se izvodi dijeljenje razlomaka, ne znamo. Vrijeme je da se upoznate s ovom novom akcijom.

Dijeljenje, dijeljenje ponekad nije lako, stoga sama operacija dijeljenja razlomaka zahtijeva posebnu pozornost.

Prisjetite se što je dijeljenje, kao matematička operacija? (akcija inverzna množenju; radnja kada se jedan od faktora i umnožak koriste za pronalaženje drugog faktora).

Sada ćemo zajedno pokušati vidjeti novo pravilo za dijeljenje razlomaka tijekom razmatranja sljedećeg problema.

Sada će se naši putevi rješenja razići.

Koje prijedloge imate za rješavanje ove jednadžbe?

Prvo, takve jednadžbe možemo riješiti koristeći koncept recipročnih brojeva (dovoljno je obje strane jednadžbe pomnožiti recipročnom vrijednošću koeficijenta varijable X).

Drugo, znamo standardno pravilo za pronalaženje nepoznatog faktora (morate podijeliti umnožak s poznatim faktorom).

Razmotrite oba ova slučaja:

Pažljivo pogledajte dva dobivena izraza za pronalaženje vrijednosti X. Ovo su odgovori na isti problem, pa bi odgovori trebali biti isti. U jednom slučaju množimo sa 7/6, au drugom dijelimo sa 6/7.

Dobivamo da pri dijeljenju sa 6/7 isti odgovor treba dobiti ako se pomnoži sa 7/6. To znači da se smisao radnje dijeljenja razlomaka svodi na množenje recipročnom vrijednošću djelitelja. Ovo nije slučajna značajka koju smo primijetili.

Upoznavanje s novim pravilom na 100. stranici udžbenika, ponoviti nekoliko puta, pitati nekoliko učenika napamet.

3) Pomoću proučavanog pravila razmotrite njegovu primjenu na različitim primjerima .

Djeca dobivaju posebne kartice, koje popunjavaju zajedno s učiteljem, uz komentare s poda. Treba razmotriti dijeljenje razlomka razlomkom, dijeljenje prirodnog broja razlomkom i razlomka prirodnim brojem, dijeljenje mješovitih brojeva. Prilikom popunjavanja djeca ponovno izgovaraju pravilo. Obratite posebnu pozornost na tri faze kod podjele: dividenda ostaje nepromijenjena; dijeljenje se zamjenjuje množenjem; pomnožiti s recipročnom vrijednošću djelitelja.

	Podjela razlomci	Primjena propisi podjela	Pravilo množenje	transformacija
	5/7: 3/4 =	*5/7 4/3=**	*(54) / (73) =*	20/21	20/21
	5: 2/5 =	5 *
7/8: 2 =	7/8: 2/1=	7/8 *
4 1/2: 1 1/2=	9/2: 3/2 =	9/2 *