Koji se pravac naziva ekvipotencijalni. Ekvipotencijalne površine

Odnos između napetosti i potencijala.

Za potencijalno polje postoji veza između potencijalne (konzervativne) sile i potencijalne energije

gdje je ("nabla") Hamiltonov operator.

Jer zatim

Znak minus pokazuje da je vektor E usmjeren u smjeru pada potencijala.

Za grafički prikaz raspodjele potencijala koriste se ekvipotencijalne plohe - plohe u svim točkama kojih potencijal ima istu vrijednost.

Ekvipotencijalne plohe obično se izvode tako da su razlike potencijala između dviju susjednih ekvipotencijalnih ploha jednake. Tada gustoća ekvipotencijalnih površina jasno karakterizira jakost polja u različitim točkama. Gdje su te površine gušće, jačina polja je veća. Točkasta linija na slici prikazuje silnice, pune linije prikazuju presjeke ekvipotencijalnih površina za: pozitivni točkasti naboj (a), dipol (b), dva istoimena naboja (c), nabijeni metal vodič složene konfiguracije (d).

Za točkasti naboj, potencijal stoga su ekvipotencijalne plohe koncentrične sfere. S druge strane, linije napetosti su radijalne ravne linije. Zbog toga su linije napetosti okomite na ekvipotencijalne plohe.

Može se pokazati da je u svim slučajevima vektor E okomit na ekvipotencijalne plohe i uvijek usmjeren u smjeru pada potencijala.

Primjeri proračuna najvažnijih simetričnih elektrostatskih polja u vakuumu.

1. Elektrostatsko polje električnog dipola u vakuumu.

Električni dipol (ili dvostruki električni pol) je sustav dva jednaka po apsolutnoj vrijednosti suprotna točkasta naboja (+q, -q), udaljenost l između kojih je mnogo manja od udaljenosti do razmatranih točaka polja (l<< r).

Krak dipola l je vektor usmjeren duž osi dipola od negativnog naboja prema pozitivnom i jednak udaljenosti između njih.

Električni moment dipola re je vektor koji se po smjeru podudara s krakom dipola i jednak je produktu modula naboja |q| rame I:

Neka je r udaljenost točke A od sredine osi dipola. Zatim, s obzirom na to

2) Jačina polja u točki B na okomici vraćenoj na os dipola iz njegove sredine na

Točka B je jednako udaljena od naboja +q i -q dipola, pa je potencijal polja u točki B jednak nuli. Vektor Yb usmjeren je suprotno od vektora l.

3) U vanjskom električnom polju na krajeve dipola djeluje par sila koje nastoje rotirati dipol na takav način da se električni moment dipola okreće duž smjera polja E (sl. (a )).

U vanjskom jednoličnom polju moment para sila jednak je M = qElsin a ili U vanjskom nehomogenom polju (slika (c)) sile koje djeluju na krajeve dipola nisu iste a njihova rezultanta nastoji pomaknuti dipol u područje polja većeg intenziteta – dipol se uvlači u područje jačeg polja.

2. Polje jednoliko nabijene beskonačne ravnine.

Beskonačna ravnina nabijena konstantnom površinskom gustoćom Linije napetosti su okomite na razmatranu ravninu i usmjerene od nje u oba smjera.

Kao Gaussovu plohu uzimamo plohu valjka čije su generatorke okomite na nabijenu ravninu, a baze paralelne s nabijenom ravninom i leže joj na suprotnim stranama na jednakim udaljenostima.

Budući da su generatrise valjka paralelne s linijama napetosti, tok vektora napetosti kroz bočnu plohu cilindra jednak je nuli, a ukupni protok kroz cilindar jednak je zbroju tokova kroz njegove baze 2ES. Naboj unutar cilindra je. Prema Gaussovom teoremu gdje:

E ne ovisi o duljini cilindra, tj. jakost polja na bilo kojoj udaljenosti jednaka je u apsolutnoj vrijednosti. Takvo polje nazivamo homogenim.

Razlika potencijala između točaka koje leže na udaljenostima x1 i x2 od ravnine jednaka je

3. Polje dviju beskonačnih paralelnih suprotno nabijenih ravnina s jednakim po apsolutnoj vrijednosti površinskim gustoćama naboja σ>0 i - σ.

Iz prethodnog primjera proizlazi da su vektori intenziteta E 1 i E 2 prve i druge ravnine jednaki po apsolutnoj vrijednosti i usmjereni posvuda okomito na ravnine. Stoga se u prostoru izvan ravnina one međusobno kompenziraju, a u prostoru između ravnina ukupna napetost . Stoga se između ravnina

(u dielektriku.).

Polje između ravnina je jednoliko. Razlika potencijala između ravnina.
(u dielektriku ).

4. Polje jednoliko nabijene sferne površine.

Sferna površina polumjera R s ukupnim nabojem q jednoliko je nabijena površinskom gustoćom

Budući da je sustav naboja, a time i samo polje, centralno simetričan u odnosu na središte kugle, linije napetosti usmjerene su radijalno.

Kao Gaussovu plohu odaberemo sferu polumjera r koja ima zajedničko središte s nabijenom sferom. Ako je r>R, tada cijeli naboj q ulazi unutar površine. Prema Gaussovoj teoremi, odakle

Za r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Potencijalna razlika između dviju točaka koje leže na udaljenostima r 1 i r 2 od središta kugle

(r1 >R,r2 >R), jednako je

Izvan nabijene kugle polje je isto kao i polje točkastog naboja q koji se nalazi u središtu kugle. Unutar nabijene kugle nema polja, pa je potencijal posvuda isti i isti kao i na površini

TEORIJSKE OSNOVE RADA.

Između jakosti električnog udjela i električnog potencijala postoji integralni i diferencijalni odnos:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Električno polje može se grafički prikazati na dva načina, koji se međusobno nadopunjuju: korištenjem ekvipotencijalnih površina i linija napetosti (linija sile).

Ploha čije sve točke imaju isti potencijal naziva se ekvipotencijalna površina. Pravac njegovog sjecišta s ravninom crteža naziva se ekvipotencijal. Linije sile - linije, tangente na koje se u svakoj točki podudaraju sa smjerom vektora E . Na slici 1, isprekidane linije prikazuju ekvipotencijale, pune linije prikazuju linije sila električnog polja.

Sl. 1

Razlika potencijala između točaka 1 i 2 je 0 jer su na istom ekvipotencijalu. U ovom slučaju, iz (1):

∫E dl = 0 ili ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Jer E i dl u izrazu (3) nisu jednaki 0, tada cos ( Edl ) = 0 . Stoga je kut između ekvipotencijala i silnice polja p/2.

Iz diferencijalne relacije (2) proizlazi da su silnice uvijek usmjerene u smjeru pada potencijala.

Veličina jakosti električnog polja određena je "debljinom" linija sile. Što su silnice deblje, razmak između ekvipotencijala je manji, tako da silnice i ekvipotencijali tvore "krivocrtne kvadrate". Na temelju ovih načela moguće je konstruirati sliku linija sile, imajući sliku ekvipotencijala, i obrnuto.

Dovoljno potpuna slika ekvipotencijala polja omogućuje nam izračunavanje vrijednosti projekcije vektora intenziteta na različitim točkama E na odabrani smjer x , u prosjeku na određenom intervalu koordinate ∆h :

E usp. ∆h = - ∆ j /∆h,

gdje ∆h - koordinatni prirast pri prelasku s jednog ekvipotencijala na drugi,

∆ j - odgovarajuće povećanje potencijala,

E usp. ∆h - zlobno E x između dva potencijala.

OPIS INSTALACIJE I TEHNIKE MJERENJA.

Za modeliranje električnog polja prikladno je koristiti analogiju koja postoji između električnog polja koje stvaraju nabijena tijela i električnog polja istosmjerne struje koja teče kroz vodljivi film jednolike vodljivosti. U ovom slučaju, položaj linija sile električnog polja ispada sličan položaju linija električne struje.

Ista izjava vrijedi i za potencijale. Raspodjela potencijala polja u vodljivom filmu ista je kao u električnom polju u vakuumu.

Kao vodljivi film u radu se koristi elektrovodljivi papir iste vodljivosti u svim smjerovima.

Elektrode se postavljaju na papir tako da postoji dobar kontakt između svake elektrode i vodljivog papira.

Shema rada instalacije prikazana je na slici 2. Instalacija se sastoji od modula II, vanjskog elementa I, indikatora III, napajanja IV. Modul služi za povezivanje svih korištenih uređaja. Daljinski element je dielektrična ploča 1, na koju je postavljen list bijelog papira 2, na vrhu je list papira za kopiranje 3, zatim list vodljivog papira 4, na koji su pričvršćene elektrode 5. Napon se dovodi na elektrode iz modula II pomoću spojnih žica. Indikator III i sonda 6 služe za određivanje potencijala točaka na površini elektrovodljivog papira.

Kao sonda koristi se žica s čepom na kraju. Potencijal j sonde jednak je potencijalu točke na površini elektrovodljivog papira koju dodiruje. Skup točaka polja s istim potencijalom je slika ekvipotencijala polja. Napojna jedinica IV koristi se kao napojna jedinica TES - 42 koja se na modul spaja utičnim konektorom na stražnjoj stjenci modula. Voltmetar V7 - 38 koristi se kao indikator Š.

REDOSLIJED IZVOĐENJA POSLOVA.

1. Stavite list bijelog papira na ploču 1 2. Postavite karbonski papir 3 i list vodljivog papira 4 na njega (slika 2).

2. Postavite elektrode 5 na električno vodljivi papir i pričvrstite ih maticama.

3. Spojite jedinicu napajanja IV (TEC-42) na modul pomoću utičnog konektora na stražnjoj stijenci modula.

4. Pomoću dvije žice spojite indikator III (V7-38 voltmetar) na "PV" utičnice na prednjoj ploči modula. Pritisnite odgovarajuću tipku na voltmetru za mjerenje istosmjernog napona (slika 2).

5. Pomoću dva vodiča spojite elektrode 5 na modul P.

6. Spojite sondu (žica s dva utikača) u utičnicu na prednjoj ploči modula.

7. Spojite postolje na mrežu od 220 V. Uključite opće napajanje postolja.

Pronađimo vezu između jakosti elektrostatskog polja koja je njegova značajka snage, i potencijal - energetska karakteristika polja. Rad na selidbi singl točkasti pozitivni naboj od jedne točke polja do druge duž osi x pod uvjetom da su točke beskonačno blizu jedna drugoj i x 1 – x 2 = dx , jednako E x dx . Isti rad jednak je j 1 -j 2 = dj . Izjednačujući oba izraza, možemo napisati

gdje simbol djelomične derivacije naglašava da se diferencijacija vrši samo s obzirom na X. Ponavljajući slično zaključivanje za osi y i z , možemo pronaći vektor E:

gdje su i, j, k - jedinični vektori koordinatnih osi x, y, z.

Iz definicije gradijenta (12.4) i (12.6). slijedi to

tj. Jakost polja E jednaka je gradijentu potencijala s predznakom minus. Predznak minus određen je činjenicom da je vektor jakosti polja E usmjeren na smjer prema dolje potencijal.

Za grafički prikaz raspodjele potencijala elektrostatskog polja, kao i kod gravitacijskog polja (vidi § 25), koriste se ekvipotencijalne plohe - plohe u svim točkama kojih potencijal j ima istu vrijednost.

Ako je polje stvoreno točkastim nabojem, tada njegov potencijal, prema (84.5),

Dakle, ekvipotencijalne površine u ovom slučaju su koncentrične sfere. S druge strane, linije napetosti u slučaju točkastog naboja su radijalne ravne linije. Stoga se linije napetosti kod točkastog naboja okomito ekvipotencijalne površine.

Zatezne linije uvijek normalno na ekvipotencijalne površine. Doista, sve točke ekvipotencijalne površine imaju isti potencijal, pa je rad pomicanja naboja duž te površine jednak nuli, tj. elektrostatske sile koje djeluju na naboj, stalno usmjerena po normalama na ekvipotencijalne plohe. Dakle, vektor E uvijek je normalan na ekvipotencijalne površine, pa su stoga pravci vektora E okomiti na te plohe.

Oko svakog naboja i svakog sustava naboja postoji beskonačan broj ekvipotencijalnih površina. Međutim, obično se izvode tako da su potencijalne razlike između bilo koje dvije susjedne ekvipotencijalne površine iste. Tada gustoća ekvipotencijalnih površina jasno karakterizira jakost polja u različitim točkama. Gdje su te površine gušće, jačina polja je veća.

Dakle, znajući položaj linija jakosti elektrostatskog polja, moguće je konstruirati ekvipotencijalne površine i, obrnuto, iz poznatog položaja ekvipotencijalnih površina moguće je odrediti modul i smjer jakosti polja u svakoj točki polja. Na sl. 133 na primjer prikazuje prikaz linija napetosti (isprekidane linije) i ekvipotencijalnih površina (pune linije) polja pozitivnog točkastog naboja (a) i nabijenog metalnog cilindra koji ima izbočinu na jednom kraju i udubinu na drugom kraju (b).

Za vizualni prikaz vektorskih polja koristi se uzorak linija sile. Linija sile je zamišljena matematika krivulja u prostoru, smjer tangente na koju u svakoj točka kroz koju prolazi poklapa se sa smjerom vektora polja u istoj točki(Slika 1.17).
Riža. 1.17:
Uvjet paralelnosti vektora E → i tangente može se napisati kao jednakost nuli vektorskog produkta E → i elementa luka d r → linije polja:

Ekvipotencijal je površina što je stalna vrijednost električnog potencijalaφ . U polju točkastog naboja, kao što je prikazano na sl. , sferne površine sa središtima na mjestu naboja su ekvipotencijalne; to se može vidjeti iz jednadžbe ϕ = q ∕ r = const .

Analizirajući geometriju električnih silnica i ekvipotencijalnih ploha, može se ukazati na niz općih svojstava geometrije elektrostatskog polja.

Prvo, linije sile počinju od naboja. Oni ili idu u beskonačnost ili završavaju na drugim nabojima, kao na sl. .

Riža. 1.19:

Drugo, u potencijalnom polju linije sile ne mogu se zatvoriti. U suprotnom, bilo bi moguće naznačiti tako zatvorenu petlju da rad električnog polja pri pomicanju naboja duž te petlje nije jednak nuli.

Treće, linije sile sijeku svaki ekvipotencijal duž normale na njega. Doista, električno polje je posvuda usmjereno u smjeru najbržeg pada potencijala, a na ekvipotencijalnoj plohi potencijal je po definiciji konstantan (sl. ).
Riža. 1.20 :
I konačno, linije sile se nigdje ne sijeku osim u točkama gdje je E → = 0 . Sjecište linija polja znači da je polje u točki sjecišta višeznačna funkcija koordinata, a vektor E → nema određeni smjer. Jedini vektor koji ima ovo svojstvo je nulti vektor. Struktura električnog polja u blizini nulte točke analizirat će se u zadacima ?? .

Metoda linija sile, naravno, primjenjiva je na grafički prikaz bilo kojeg vektorskog polja. Dakle, u pogl upoznat ćemo pojam magnetskih linija sile. Međutim, geometrija magnetskog polja potpuno je drugačija od geometrije električnog polja.

Riža. 1.21:
Pojam linija sile usko je povezan s pojmom cijevi sile. Uzmimo proizvoljnu zatvorenu petlju L i povucimo električnu silnicu kroz svaku njezinu točku (sl. ). Ove linije tvore cijev sile. Promotrimo proizvoljni presjek cijevi plohom S . Crtamo pozitivnu normalu u istom smjeru u kojem su usmjerene silnice. Neka je N tok vektora E → kroz presjek S . Lako je vidjeti da ako unutar cijevi nema električnih naboja, tada tok N ostaje isti duž cijele duljine cijevi. Da bismo to dokazali, trebamo uzeti još jedan presjek S ′. Prema Gaussovom teoremu, protok električnog polja kroz zatvorenu površinu ograničenu bočnom površinom cijevi i presjecima S , S ′ jednak je nuli, jer unutar cijevi sile nema električnih naboja. Protok kroz bočnu plohu je nula jer vektor E → dodiruje tu plohu. Stoga je protok kroz presjek S ′ brojčano jednak N , ali suprotnog predznaka. Vanjska normala na zatvorenu plohu na ovom presjeku usmjerena je suprotno n → . Usmjerimo li normalu u istom smjeru, tada će se tokovi kroz presjeke S i S ′ podudarati i po veličini i po predznaku. Konkretno, ako je cijev beskonačno tanka i presjeci S i S′ su normalni na nju, tada

E S = E′ S′ .

Ispada potpuna analogija s protokom nestlačive tekućine. Gdje je cijev tanja, polje E → je jače. Na onim mjestima gdje je šire, polje E → jače. Prema tome, jakost električnog polja može se suditi po gustoći linija sile.

Prije izuma računala, za eksperimentalnu reprodukciju linija polja uzimala se staklena posuda s ravnim dnom i u nju se ulijevala nevodljiva tekućina, poput ricinusovog ulja ili glicerina. U tekućinu su ravnomjerno umiješani kristali gipsa, azbesta ili bilo koje druge duguljaste čestice u prahu. U tekućinu su uronjene metalne elektrode. Kada su spojene na izvore električne energije, elektrode pobuđuju električno polje. U tom se polju čestice naelektriziraju i, privlačeći jedna drugu suprotno naelektriziranim krajevima, poredaju se u obliku lanaca duž linija sile. Slika linija polja je iskrivljena strujanjem tekućine uzrokovanim silama koje djeluju na nju u nehomogenom električnom polju.

Još biti gotovo
Riža. 1.22:
Najbolji rezultati postižu se metodom koju je koristio Robert W. Pohl (1884-1976). Na staklenu ploču zalijepljene su čelične elektrode između kojih se stvara električni napon. Zatim se izdužene čestice, na primjer, kristali gipsa, izliju na ploču, lagano tapkajući po njoj. Nalaze se duž njega duž linija sile. Na sl. ?? prikazana je tako dobivena slika sila sila između dvije suprotno nabijene kružnice okvira.

▸ Zadatak 9.1

Napišite jednadžbu silnica polja u proizvoljnoj ortogonali koordinate.

▸ Zadatak 9.2

Napiši jednadžbu sila sila u sfernim koordinatama.

Grafički prikaz polja može se sastaviti ne samo s linijama napetosti, već i uz pomoć potencijalne razlike. Spojimo li točke s jednakim potencijalima u električnom polju, tada ćemo dobiti površine jednakog potencijala ili kako ih još nazivamo ekvipotencijalne površine. U sjecištu s ravninom crteža ekvipotencijalne plohe daju ekvipotencijalne linije. Povlačenjem ekvipotencijalnih linija koje odgovaraju različitim vrijednostima potencijala dobivamo jasnu sliku koja odražava kako se mijenja potencijal pojedinog polja. Kretanje po ekvipotencijalnoj površini naboja ne zahtijeva rad, jer sve točke polja duž takve površine imaju jednak potencijal i sila koja djeluje na naboj uvijek je okomita na kretanje.

Stoga su linije napetosti uvijek okomite na površine s jednakim potencijalima.

Najilustrativnija slika polja bit će prikazana ako se ekvipotencijalne linije prikažu s jednakim promjenama potencijala, npr. 10 V, 20 V, 30 V itd. U tom će slučaju brzina promjene potencijala biti obrnuto proporcionalna udaljenosti između susjednih ekvipotencijalnih linija. Odnosno, gustoća ekvipotencijalnih linija proporcionalna je jakosti polja (što je veća jakost polja, to su linije bliže povučene). Poznavajući ekvipotencijalne linije, moguće je konstruirati linije intenziteta razmatranog polja i obrnuto.

Stoga su slike polja uz pomoć ekvipotencijalnih linija i naponskih linija ekvivalentne.

Numeriranje ekvipotencijalnih linija na crtežu

Vrlo često su ekvipotencijalne linije na crtežu numerirane. Za označavanje razlike potencijala na crtežu je proizvoljna linija označena brojem 0, pored svih ostalih linija postavljeni su brojevi 1,2,3 itd. Ovi brojevi označavaju potencijalnu razliku u voltima između odabranog ekvipotencijalnog voda i voda koji je odabran kao nula. Pritom napominjemo da izbor nulte linije nije bitan, budući da fizikalni smisao ima samo razlika potencijala za dvije površine i ne ovisi o izboru nule.

Polje točkastog naboja s pozitivnim nabojem

Razmotrimo kao primjer polje točkastog naboja, koje ima pozitivan naboj. Linije polja točkastog naboja su radijalne ravne linije, dakle, ekvipotencijalne površine su sustav koncentričnih sfera. Linije polja su okomite na površine kugli u svakoj točki polja. Ekvipotencijalne linije su koncentrične kružnice. Za pozitivan naboj, slika 1 predstavlja ekvipotencijalne linije. Za negativni naboj, slika 2 predstavlja ekvipotencijalne linije.

Što je očito iz formule koja određuje potencijal polja točkastog naboja kada je potencijal normaliziran na beskonačnost ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\lijevo(1\desno).\]

Sustav paralelnih ravnina, koje su međusobno jednako udaljene, ekvipotencijalne su plohe jednolikog električnog polja.

Primjer 1

Zadatak: Potencijal polja koji stvara sustav naboja ima oblik:

\[\varphi =a\lijevo(x^2+y^2\desno)+bz^2,\]

gdje su $a,b$ konstante veće od nule. Kakav oblik imaju ekvipotencijalne plohe?

Ekvipotencijalne površine, kao što znamo, su površine u kojima su potencijali jednaki u bilo kojoj točki. Znajući gore navedeno, proučiti ćemo jednadžbu koja je predložena u uvjetima problema. Podijelimo desnu i lijevu stranu jednadžbe $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ s $\varphi $, dobivamo:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\desno).\]

Jednadžbu (1.1) zapisujemo u kanonskom obliku:

\[\frac(x^2)((\lijevo(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\desno))^2)+\frac(y^2)((\lijevo(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\desno))^2)+\frac(z^2)((\lijevo(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\desno))^2) =1\ (1.2)\]

Jednadžba $(1.2)\ $ pokazuje da je dana figura elipsoid revolucije. Njegove osovine

\[\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).\]

Odgovor: Ekvipotencijalna površina zadanog polja je elipsoid revolucije s poluosima ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt (\frac( \varphi )(b))$).

Primjer 2

Zadatak: Potencijal polja ima oblik:

\[\varphi =a\lijevo(x^2+y^2\desno)-bz^2,\]

gdje je $a,b$ -- $const$ veće od nule. Što su ekvipotencijalne površine?

Razmotrimo slučaj kada je $\varphi >0$. Dovedimo jednadžbu zadanu u uvjetima problema u kanonski oblik, za to podijelimo oba dijela jednadžbe s $\varphi ,$ i dobijemo:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\ pravo).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \lijevo(2.2\desno).\]

U (2.2) dobili smo kanoničku jednadžbu jednolistnog hiperboloida. Njegove poluosi su ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\lijevo(stvarna\ poluos\desno),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\lijevo(stvarna\ poluos\desno ),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(imaginarna\ poluos)$).

Razmotrimo slučaj u kojem $\varphi

Predstavimo $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Dovedimo jednadžbu danu u uvjetima problema u kanonski oblik, za to podijelimo oba dijela jednadžbe s minus modulom $\varphi ,$ dobivamo:

\[-\frac(a)(\lijevo|\varphi \desno|)x^2-(\frac(a)(\lijevo|\varphi \desno|)y)^2+\frac(b)(\ lijevo|\varphi \desno|)z^2=1\ \lijevo(2.3\desno).\]

Prepišimo jednadžbu (1.1) u obliku:

\[-\frac(x^2)(\frac(\lijevo|\varphi \desno|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\lijevo|\varphi \desno|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\lijevo|\varphi \desno|)(b))=1\ \lijevo(2,4\desno).\]

Dobili smo kanonsku jednadžbu dvolisnog hiperboloida, njegove poluosi:

($\sqrt(\frac(\lijevo|\varphi \desno|)(a))\lijevo(imaginarna\ poluos\desno),\ \sqrt(\frac(\lijevo|\varphi \desno|)(a) )\lijevo(imaginarna\ poluos\desno),\ \sqrt(\frac(\lijevo|\varphi \desno|)(b))(\ stvarna\ poluos)$).

Razmotrimo slučaj kada je $\varphi =0.$ Tada jednadžba polja ima oblik:

Prepišimo jednadžbu (2.5) u obliku:

\[\frac(x^2)((\lijevo(\frac(1)(\sqrt(a))\desno))^2)+\frac(y^2)((\lijevo(\frac(1) )(\sqrt(a))\desno))^2)-\frac(z^2)((\lijevo(\frac(1)(\sqrt(b))\desno))^2)=0\ lijevo(2,6\desno).\]

Dobili smo kanonsku jednadžbu pravog kružnog stošca na temelju elipse s poluosima $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b))(\ sqrt(a ))$).

Odgovor: Kao ekvipotencijalne plohe za zadanu jednadžbu potencijala dobili smo: za $\varphi >0$, jednolistni hiperboloid, za $\varphi