Koji se sustavi linearnih jednadžbi nazivaju kvadratnim. Sustavi linearnih jednadžbi: osnovni pojmovi

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Osnovni pojmovi. Matrična notacija.

Definicija sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Sustavno rješenje. Klasifikacija sustava.

Pod, ispod sustav linearnih algebarskih jednadžbi(SLAE) podrazumijevaju sustav

Pozivaju se parametri aij koeficijenti, i bi besplatni članovi SLAU. Ponekad, kako bi naglasili broj jednadžbi i nepoznanica, kažu "m × n sustav linearnih jednadžbi", čime se označava da SLAE sadrži m jednadžbi i n nepoznanica.

Ako su svi slobodni članovi bi=0 tada se poziva SLAE homogena. Ako među slobodnim članovima postoji barem jedan osim nule, poziva se SLAE heterogena.

Odluka SLAU(1) bilo koji uređeni skup brojeva naziva se (α1,α2,…,αn) ako elementi tog skupa, zamijenjeni danim redoslijedom umjesto nepoznanica x1,x2,…,xn, pretvaraju svaku SLAE jednadžbu u identitet .

Svaki homogeni SLAE ima barem jedno rješenje: nula(drugačijom terminologijom - trivijalno), tj. x1=x2=…=xn=0.

Ako SLAE (1) ima barem jedno rješenje, ono se naziva spojnica ako nema rješenja, nekompatibilan. Ako zajednički SLAE ima točno jedno rješenje, ono se naziva određeni, ako postoji beskonačan broj rješenja - neizvjestan.

Matrični oblik zapisa sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Nekoliko matrica može biti pridruženo svakom SLAE; štoviše, sam SLAE može se napisati kao matrična jednadžba. Za SLAE (1), razmotrite sljedeće matrice:

Matrica A se zove matrica sustava. Elementi ove matrice su koeficijenti zadanog SLAE.

Matrica A˜ naziva se sustav proširene matrice. Dobiva se tako da se matrici sustava doda stupac koji sadrži slobodne članove b1,b2,...,bm. Obično je ovaj stupac odvojen okomitom linijom radi jasnoće.

Stupac matrice B naziva se matrica slobodnih članova, a matrica stupca X je matrica nepoznanica.

Koristeći gore uvedenu notaciju, SLAE (1) se može napisati u obliku matrične jednadžbe: A⋅X=B.

Bilješka

Matrice povezane sa sustavom mogu se napisati na različite načine: sve ovisi o redoslijedu varijabli i jednadžbi razmatranog SLAE. Ali u svakom slučaju, redoslijed nepoznanica u svakoj jednadžbi danog SLAE mora biti isti

Kronecker-Capellijev teorem. Istraživanje sustava linearnih jednadžbi za kompatibilnost.

Kronecker-Capellijev teorem

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava, tj. rangA=rankA˜.

Sustav se naziva konzistentnim ako ima barem jedno rješenje. Kronecker-Capellijev teorem kaže sljedeće: ako rangA=rangA˜, tada postoji rješenje; ako rangA≠rangA˜, tada ovaj SLAE nema rješenja (nedosljedan). Odgovor na pitanje o broju tih rješenja daje korolar Kronecker-Capellijevog teorema. U formulaciji korolara koristi se slovo n koje je jednako broju varijabli zadanog SLAE.

Korolar iz Kronecker-Capellijevog teorema

Ako rangA≠rangA˜, tada je SLAE nekonzistentan (nema rješenja).

Ako je rangA=rankA˜

Ako je rangA=rangA˜=n, tada je SLAE definitivan (ima točno jedno rješenje).

Imajte na umu da formulirani teorem i njegova posljedica ne pokazuju kako pronaći rješenje za SLAE. Uz njihovu pomoć možete samo saznati postoje li ta rješenja ili ne, a ako postoje, koliko ih ima.

Metode rješavanja SLAE

Cramer metoda

Cramerova metoda namijenjena je rješavanju onih sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) za koje je determinanta matrice sustava različita od nule. Naravno, to implicira da je matrica sustava kvadratna (pojam determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština Cramerove metode može se izraziti u tri točke:

Sastavite determinantu matrice sustava (naziva se još i determinanta sustava) i uvjerite se da nije jednaka nuli, tj. ∆≠0.

Za svaku varijablu xi potrebno je sastaviti determinantu Δ X i dobivenu iz determinante Δ zamjenom i-tog stupca stupcem slobodnih članova zadanog SLAE.

Nađite vrijednosti nepoznanica po formuli xi= Δ X i /Δ

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi pomoću inverzne matrice.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) pomoću inverzne matrice (ponekad se ova metoda naziva i matrična metoda ili metoda inverzne matrice) zahtijeva prethodno upoznavanje s konceptom kao što je matrični oblik SLAE. Metoda inverzne matrice namijenjena je rješavanju onih sustava linearnih algebarskih jednadžbi kod kojih je determinanta matrice sustava različita od nule. Naravno, to implicira da je matrica sustava kvadratna (pojam determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština metode inverzne matrice može se izraziti u tri točke:

Napiši tri matrice: matricu sustava A, matricu nepoznanica X, matricu slobodnih članova B.

Nađi inverznu matricu A -1 .

Pomoću jednakosti X=A -1 ⋅B dobiti rješenje zadane SLAE.

Gaussova metoda. Primjeri rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi Gaussovom metodom.

Gaussova metoda jedan je od najvizualnijih i najjednostavnijih načina rješavanja sustavi linearnih algebarskih jednadžbi(SLOW): i homogeni i heterogeni. Ukratko, bit ove metode je sekvencijalno uklanjanje nepoznanica.

Transformacije dopuštene u Gaussovoj metodi:

Mijenjanje mjesta dviju linija;

Množenje svih elemenata niza nekim brojem koji nije nula.

Dodavanje elementima jednog retka odgovarajućih elemenata drugog retka, pomnoženih bilo kojim faktorom.

Precrtavanje crte čiji su svi elementi jednaki nuli.

Precrtavanje dvostrukih redaka.

Što se tiče posljednje dvije točke: linije koje se ponavljaju mogu se izbrisati u bilo kojoj fazi rješenja Gaussovom metodom - naravno, ostavljajući jednu od njih. Na primjer, ako se redovi br. 2, br. 5, br. 6 ponavljaju, tada se jedan od njih može ostaviti, na primjer redak br. 5. U ovom slučaju, linije #2 i #6 bit će izbrisane.

Nulti redovi uklanjaju se iz proširene matrice sustava onako kako se pojavljuju.

Sustavi linearnih jednadžbi. Predavanje 6

Sustavi linearnih jednadžbi.

Osnovni koncepti.

pogled sustav

nazvao sustav - linearne jednadžbe s nepoznanicama.

Brojevi , , se nazivaju koeficijenti sustava.

Brojevi se nazivaju besplatni članovi sustava, – varijable sustava. Matrica

nazvao glavna matrica sustava, i matricu

– sustav proširene matrice. Matrice – stupci

I shodno tome matrice slobodnih članova i nepoznanica sustava. Tada se u matričnom obliku sustav jednadžbi može napisati kao . Sustavno rješenje naziva se vrijednostima varijabli, pri zamjeni kojih se sve jednadžbe sustava pretvaraju u prave numeričke jednakosti. Bilo koje rješenje sustava može se prikazati kao matrica-stupac. Tada je matrična jednakost istinita.

Sustav jednadžbi naziva se spojnica ako ima barem jedno rješenje i nekompatibilan ako nema rješenja.

Riješiti sustav linearnih jednadžbi znači saznati je li on kompatibilan i, ako je kompatibilan, pronaći njegovo opće rješenje.

Sustav se zove homogena ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli. Homogen sustav je uvijek kompatibilan jer ima rješenje

Kronecker-Kopellijev teorem.

Odgovor na pitanje o postojanju rješenja linearnih sustava i njihovoj jedinstvenosti omogućuje nam da dobijemo sljedeći rezultat, koji se može formulirati kao sljedeće tvrdnje o sustavu linearnih jednadžbi s nepoznanicama

(1)

Teorem 2. Sustav linearnih jednadžbi (1) je konzistentan ako i samo ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene (.

Teorem 3. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sustava linearnih jednadžbi jednak broju nepoznanica, tada sustav ima jedinstveno rješenje.

Teorem 4. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sustava manji od broja nepoznanica, tada sustav ima beskonačan broj rješenja.

Pravila za rješavanje sustava.

3. Pronađite izraz glavnih varijabli preko slobodnih i dobijte opće rješenje sustava.

4. Zadavanjem proizvoljnih vrijednosti slobodnim varijablama dobivaju se sve vrijednosti glavnih varijabli.

Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi.

Metoda inverzne matrice.

i , tj. sustav ima jedinstveno rješenje. Sustav pišemo u matričnom obliku

gdje , , .

Pomnožite obje strane matrične jednadžbe s lijeve strane s matricom

Od , dobivamo , iz čega dobivamo jednakost za pronalaženje nepoznanica

Primjer 27. Metodom inverzne matrice riješiti sustav linearnih jednadžbi

Riješenje. Označimo s glavnom matricom sustava

Neka , tada rješenje nalazimo formulom .

Izračunajmo.

Budući da , tada sustav ima jedinstveno rješenje. Pronađite sve algebarske sabirke

, ,

Na ovaj način

Provjerimo

Inverzna matrica je ispravno pronađena. Odavde, pomoću formule , nalazimo matricu varijabli .

Uspoređujući vrijednosti matrica, dobivamo odgovor: .

Cramerova metoda.

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama

i , tj. sustav ima jedinstveno rješenje. Rješenje sustava zapisujemo u matričnom obliku odn

Označiti

. . . . . . . . . . . . . . ,

Tako dobivamo formule za pronalaženje vrijednosti nepoznanica koje se nazivaju Cramerove formule.

Primjer 28. Cramerovom metodom riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi .

Riješenje. Odredite determinantu glavne matrice sustava

Od , dakle , sustav ima jedinstveno rješenje.

Pronađite preostale determinante za Cramerove formule

Koristeći Cramerove formule, nalazimo vrijednosti varijabli

Gaussova metoda.

Metoda se sastoji u sekvencijalnom isključivanju varijabli.

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama.

Proces Gaussovog rješenja sastoji se od dva koraka:

U prvoj fazi, proširena matrica sustava se svodi na stepenasti oblik uz pomoć elementarnih transformacija.

gdje je , što odgovara sustavu

Nakon toga varijable smatraju se slobodnima i u svakoj se jednadžbi prenose na desnu stranu.

U drugoj fazi, varijabla se izražava iz posljednje jednadžbe, dobivena vrijednost se supstituira u jednadžbu. Iz ove jednadžbe

varijabla je izražena. Ovaj proces se nastavlja do prve jednadžbe. Rezultat je izraz glavnih varijabli u terminima slobodnih varijabli .

Primjer 29. Riješite sljedeći sustav Gaussovom metodom

Riješenje. Napišimo proširenu matricu sustava i svedimo je na oblik koraka

Jer veći od broja nepoznanica, tada je sustav kompatibilan i ima beskonačan broj rješenja. Zapišimo sustav za matricu koraka

Determinanta proširene matrice ovog sustava, sastavljena od prva tri stupca, nije jednaka nuli, pa je smatramo osnovnom. Varijable

Bit će osnovni, a varijabla će biti besplatna. Pomaknimo ga u svim jednadžbama na lijevu stranu

Iz posljednje jednadžbe izražavamo

Zamjenom ove vrijednosti u pretposljednju drugu jednadžbu, dobivamo

gdje . Zamjenom vrijednosti varijabli i u prvu jednadžbu, nalazimo . Odgovor pišemo u sljedećem obliku

Sustavi jednadžbi naširoko se koriste u gospodarstvu u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, pri rješavanju problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili postavljanja opreme.

Sustavi jednadžbi koriste se ne samo u području matematike, već iu fizici, kemiji i biologiji, pri rješavanju problema određivanja veličine populacije.

Sustav linearnih jednadžbi je pojam za dvije ili više jednadžbi s više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednadžbe postaju prave jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednadžbe oblika ax+by=c nazivamo linearnim. Oznake x, y su nepoznanice čiju vrijednost treba pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafa izgledat će kao ravna linija čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sustava linearnih jednadžbi

Najjednostavniji su primjeri sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcijske varijable.

Riješite sustav jednadžbi - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sustav postaje prava jednakost ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti x i y.

Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili rješenja nema, nazivaju se ekvivalentni.

Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sustav nije homogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bismo trebali govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri ili više varijabli.

Suočeni sa sustavima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi mora nužno podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama, može ih biti proizvoljno mnogo.

Jednostavne i složene metode rješavanja sustava jednadžbi

Ne postoji opći analitički način rješavanja takvih sustava, sve metode temelje se na numeričkim rješenjima. U školskom tečaju matematike detaljno su opisane metode kao što su permutacija, algebarsko zbrajanje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavi metodika rješavanja je naučiti pravilno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sustav pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi 7. razreda općeobrazovnog školskog programa prilično je jednostavno i vrlo je detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike ovom se odjeljku posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi metodom Gaussa i Cramera detaljnije se proučava u prvim tečajevima visokoškolskih ustanova.

Rješavanje sustava metodom supstitucije

Radnje metode supstitucije usmjerene su na izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se supstituira u preostalu jednadžbu, a zatim se reducira na oblik jedne varijable. Akcija se ponavlja ovisno o broju nepoznanica u sustavu

Navedimo primjer sustava linearnih jednadžbi 7. razreda metodom supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x izražena je kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbi sustava umjesto X, pomogao je dobiti jednu varijablu Y u 2. jednadžbi . Rješenje ovog primjera ne uzrokuje poteškoće i omogućuje vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sustava linearnih jednadžbi supstitucijom. Jednadžbe mogu biti složene, a izraz varijable u smislu druge nepoznanice bit će preglomazan za daljnje izračune. Kada u sustavu ima više od 3 nepoznanice, supstitucijsko rješenje je također nepraktično.

Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje pomoću algebarskog zbrajanja

Pri traženju rješenja sustava metodom zbrajanja provodi se počlano zbrajanje i množenje jednadžbi raznim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednadžba s jednom varijablom.

Primjena ove metode zahtijeva praksu i promatranje. Nije lako riješiti sustav linearnih jednadžbi metodom sabiranja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko zbrajanje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam djelovanja rješenja:

Pomnožite obje strane jednadžbe s nekim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
Dobiveni izraz zbrajajte član po član i pronađite jednu od nepoznanica.
Zamijenite dobivenu vrijednost u 2. jednadžbu sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla može se uvesti ako sustav treba pronaći rješenje za najviše dvije jednadžbe, broj nepoznanica također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednadžba se rješava s obzirom na unesenu nepoznanicu, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.

Iz primjera je vidljivo da je uvođenjem nove varijable t 1. jednadžbu sustava bilo moguće svesti na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminante.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminante pomoću poznate formule: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željena diskriminanta, b, a, c su množitelji polinoma. U navedenom primjeru a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant veći od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminant manji od nule, tada postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za nastale sustave nalazi se metodom adicije.

Vizualna metoda za rješavanje sustava

Prikladno za sustave s 3 jednadžbe. Metoda se sastoji u crtanju grafova svake jednadžbe uključene u sustav na koordinatnoj osi. Koordinate točaka sjecišta krivulja bit će opće rješenje sustava.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrite nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, dvije točke su konstruirane za svaku liniju, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Na grafu su označene točke s koordinatama (0, 3) i (3, 0) i spojene linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Sjecište pravaca je rješenje sustava.

U sljedećem primjeru potrebno je pronaći grafičko rješenje sustava linearnih jednadžbi: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što je vidljivo iz primjera, sustav nema rješenja jer su grafovi paralelni i ne sijeku se cijelom dužinom.

Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruiraju, postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrix i njegove vrste

Matrice se koriste za ukratko zapisivanje sustava linearnih jednadžbi. Matrica je posebna vrsta tablice ispunjene brojevima. n*m ima n - redaka i m - stupaca.

Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak. Matrica-vektor je matrica s jednim stupcem i beskonačno mogućim brojem redaka. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nula elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se izvorna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za pretvaranje sustava jednadžbi u matricu

U sustavima jednadžbi koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi zapisani su brojevima matrice, jedna jednadžba je jedan redak matrice.

Red matrice se naziva ne-nula ako barem jedan element retka nije jednak nuli. Dakle, ako se u nekoj od jednadžbi broj varijabli razlikuje, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznanice koja nedostaje.

Stupci matrice moraju strogo odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu pisati samo u jednom stupcu, primjerice prvom, koeficijent nepoznate y - samo u drugom.

Kod množenja matrice svi elementi matrice se sukcesivno množe brojem.

Mogućnosti pronalaženja inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je vrlo jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sustav ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva puta dva, potrebno je samo pomnožiti elemente dijagonalno jedan s drugim. Za opciju "tri sa tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu ili se možete sjetiti da trebate uzeti jedan element iz svakog retka i svakog stupca tako da se brojevi stupaca i redaka elemenata ne ponavljaju u umnošku.

Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućuje smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sustava s velikim brojem varijabli i jednadžbi.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješavanje sustava Gaussovom metodom

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja sustava naziva se Gauss-Cramerova metoda rješavanja. Ove se metode koriste za pronalaženje varijabli sustava s velikim brojem linearnih jednadžbi.

Gaussova metoda vrlo je slična rješenjima supstitucije i algebarskog zbrajanja, ali je sustavnija. U školskom kolegiju koristi se Gaussovo rješenje za sustave od 3 i 4 jednadžbe. Svrha metode je dovesti sustav u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama nalazi se vrijednost jedne varijable u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznanice, te 3 i 4 - s 3 odnosno 4 varijable.

Nakon dovođenja sustava u opisani oblik daljnje rješavanje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja opisan je na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dobivene su dvije jednadžbe 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje jednadžbe omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.

Teorem 5, koji se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednadžbi sustava zamijeni ekvivalentnom, tada će rezultirajući sustav također biti ekvivalentan izvornom.

Gaussova metoda teško je razumljiva srednjoškolcima, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje domišljatosti djece koja studiraju na naprednom studiju u nastavi matematike i fizike.

Radi lakšeg bilježenja izračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbe i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki redak matrice odgovara jednoj od jednadžbi sustava. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne strane. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.

Prvo zapišu matricu s kojom će raditi, zatim sve radnje koje se provode s jednim od redaka. Rezultirajuća matrica se piše nakon znaka "strelica" i nastavlja se izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat, trebala bi se dobiti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica je svedena na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti izračune s brojevima obje strane jednadžbe.

Ova notacija je manje glomazna i omogućuje vam da ne budete ometani nabrajanjem brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.

Primjer 1. Naći opće rješenje i neko posebno rješenje sustava

Riješenje učinite to pomoću kalkulatora. Ispisujemo proširenu i glavnu matricu:

Glavna matrica A odvojena je točkastom linijom.Odozgo upisujemo nepoznate sustave, imajući u vidu moguću permutaciju članova u jednadžbama sustava. Određivanjem ranga proširene matrice, istovremeno nalazimo rang glavne. U matrici B prvi i drugi stupac su proporcionalni. Od dva proporcionalna stupca samo jedan može pasti u osnovni minor, pa pomaknimo npr. prvi stupac iza crtkane crte sa suprotnim predznakom. Za sustav to znači prijenos članova s x 1 na desnu stranu jednadžbi.

Matricu dovodimo u trokutasti oblik. Radit ćemo samo s redovima, jer množenje retka matrice s brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sustav znači množenje jednadžbe s istim brojem i njegovo dodavanje u drugu jednadžbu, što ne mijenja rješenje sustava . Rad s prvim redom: pomnožite prvi redak matrice s (-3) i naizmjence dodajte drugom i trećem retku. Zatim pomnožimo prvi red s (-2) i dodamo ga četvrtom.

Druga i treća linija su proporcionalne, stoga se jedna od njih, na primjer druga, može precrtati. To je jednako brisanju druge jednadžbe sustava, jer je posljedica treće.

Sada radimo s drugom linijom: pomnožimo je s (-1) i dodamo trećoj.

Crtkani minor ima najviši red (od svih mogućih minora) i nije nula (jednak je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali), a taj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, dakle rangA = rangB = 3 .
Minor je osnovni. Sadrži koeficijente za nepoznate x 2, x 3, x 4, što znači da su nepoznate x 2, x 3, x 4 ovisne, a x 1, x 5 slobodne.
Transformiramo matricu ostavljajući samo osnovni minor s lijeve strane (što odgovara točki 4 gornjeg algoritma rješenja).

Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik

Metodom eliminacije nepoznanica nalazimo:
x 4 =3-4x 5, x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 2, x 3, x 4 kroz slobodne x 1 i x 5, odnosno našli smo opće rješenje:

Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo bilo koji broj pojedinačnih rješenja. Pronađimo dva posebna rješenja:
1) neka je x 1 = x 5 = 0, tada je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) stavite x 1 = 1, x 5 = -1, zatim x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako smo pronašli dva rješenja: (0.1, -3,3,0) - jedno rješenje, (1.4, -7.7, -1) - drugo rješenje.

Primjer 2. Istražite kompatibilnost, pronađite opće i jedno posebno rješenje sustava

Riješenje. Preuredimo prvu i drugu jednadžbu tako da imamo jedinicu u prvoj jednadžbi i napišimo matricu B.

Dobivamo nule u četvrtom stupcu, djelujući na prvi redak:

Sada uzmite nule u trećem stupcu koristeći drugi redak:

Treći i četvrti red su proporcionalni, pa se jedan od njih može precrtati bez promjene ranga:
Pomnožite treći red s (-2) i dodajte četvrtom:

Vidimo da su rangovi glavne i proširene matrice 4, a rang se podudara s brojem nepoznanica, dakle sustav ima jedinstveno rješenje:
-x 1 \u003d -3 → x 1 \u003d 3; x 2 \u003d 3-x 1 → x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1-2x 1 → x 3 \u003d 5.
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Primjer 3. Ispitajte kompatibilnost sustava i pronađite rješenje ako postoji.

Riješenje. Sastavljamo proširenu matricu sustava.

Preuredite prve dvije jednadžbe tako da u gornjem lijevom kutu bude 1:
Množenjem prvog reda s (-1), dodajemo ga trećem:

Pomnožite drugi redak s (-2) i dodajte trećem:

Sustav je nekonzistentan jer glavna matrica dobiva red sastavljen od nula, koji se precrtava kada se pronađe rang, a zadnji red ostaje u proširenoj matrici, odnosno r B > r A .

Vježbajte. Istražite ovaj sustav jednadžbi za kompatibilnost i riješite ga pomoću matričnog računa.
Riješenje

Primjer. Dokažite kompatibilnost sustava linearnih jednadžbi i riješite ga na dva načina: 1) Gaussovom metodom; 2) Cramerova metoda. (odgovor upiši u obliku: x1,x2,x3)
Rješenje :doc :doc :xls
Odgovor: 2,-1,3.

Primjer. Zadan je sustav linearnih jednadžbi. Dokažite njegovu kompatibilnost. Naći opće rješenje sustava i jedno posebno rješenje.
Riješenje
Odgovor: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Vježbajte. Pronađite opća i posebna rješenja za svaki sustav.
Riješenje. Ovaj sustav proučavamo pomoću Kronecker-Capellijevog teorema.
Ispisujemo proširenu i glavnu matricu:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Ovdje je matrica A podebljana.
Matricu dovodimo u trokutasti oblik. Radit ćemo samo s redovima, jer množenje retka matrice s brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sustav znači množenje jednadžbe s istim brojem i njegovo dodavanje u drugu jednadžbu, što ne mijenja rješenje sustava .
Pomnožite 1. red s (3). Pomnožite 2. red s (-1). Dodajmo 2. redak 1.:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Drugi red pomnožite s (2). Pomnožite 3. red s (-3). Dodajmo 3. redak 2.:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Pomnožite 2. red s (-1). Dodajmo 2. redak 1.:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Odabrani minor ima najviši red (među mogućim minorima) i različit je od nule (jednak je umnošku elemenata na recipročnoj dijagonali), a taj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, dakle rang( A) = rang(B) = 3 Budući da je rang glavne matrice jednak rangu proširene, tada sustav je suradnički.
Ovaj minor je osnovni. Sadrži koeficijente za nepoznate x 1, x 2, x 3, što znači da su nepoznate x 1, x 2, x 3 zavisne (osnovne), a x 4, x 5 slobodne.
Transformiramo matricu, ostavljajući samo osnovni minor s lijeve strane.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Metodom eliminacije nepoznanica nalazimo:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1, x 2, x 3 kroz slobodne x 4, x 5, tj. zajednička odluka:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neizvjestan, jer ima više od jednog rješenja.

Vježbajte. Riješite sustav jednadžbi.
Odgovor:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo bilo koji broj pojedinačnih rješenja. Sustav je neizvjestan