Eksponencijalno izglađivanje - metoda izglađivanja vremenskih nizova, čiji računski postupak uključuje obradu svih prethodnih opažanja, uzimajući u obzir zastarjelost informacija kako se odmiču od predviđenog razdoblja. Drugim riječima, što je opažanje "starije", manje bi trebalo utjecati na vrijednost procjene prognoze. Ideja eksponencijalno izglađivanje je da kako stare, odgovarajuća opažanja dobivaju sve manje težine.

Ova metoda predviđanja smatra se vrlo učinkovitom i temelji se na slučajevima. Glavne prednosti metode su mogućnost uzimanja u obzir težine popratne informacije, u jednostavnosti računskih operacija, u fleksibilnosti opisivanja različitih dinamika procesa. Metoda eksponencijalnog izglađivanja omogućuje dobivanje procjene parametara trenda koji karakteriziraju ne prosječna razina proces, već trend koji se razvio u vrijeme posljednjeg promatranja. Najveću primjenu metoda je našla za provedbu srednjoročnih prognoza. Za metodu eksponencijalnog izglađivanja glavna stvar je izbor parametra izglađivanja (konstante izglađivanja) i početni uvjeti.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje vremenskih serija koje sadrže trend dovodi do sustavna pogreška povezan s odmakom izglađenih vrijednosti od stvarnih razina vremenske serije. Kako bi se uzeo u obzir trend u nestacionarnim serijama, koristi se posebno dvoparametarsko linearno eksponencijalno izglađivanje. Za razliku od jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja s jednom konstantom (parametrom) izglađivanja, ovaj postupak izglađuje i slučajne poremećaje i trend pomoću dvije različite konstante (parametra). Metoda dvoparametarskog izglađivanja (Holt metoda) uključuje dvije jednadžbe. Prvi je namijenjen za izglađivanje promatranih vrijednosti, a drugi za izglađivanje trenda:

Gdje ja - 2, 3, 4 - razdoblja izglađivanja; 5, - izglađena vrijednost za razdoblje £; Y je stvarna vrijednost razine za razdoblje 1 5, 1 - izglađena vrijednost za razdoblje b-bg- izglađena vrijednost trenda za razdoblje 1 - izravnana vrijednost za razdoblje ja- 1; A i B su konstante izglađivanja (brojevi između 0 i 1).

Konstante izglađivanja A i B karakteriziraju težinski faktor promatranja. Obično L, U< 0.3. Od (1 - A)< 1, (1 - U)< 1, tada se eksponencijalno smanjuju kako se promatranje udaljava od trenutnog razdoblja ja Stoga se ovaj postupak naziva eksponencijalno izglađivanje.

Jednadžba se dodaje općoj proceduri kako bi se izgladio trend. Svaka nova procjena trenda dobiva se kao ponderirani zbroj razlike između posljednje dvije izglađene vrijednosti (trenutna procjena trenda) i prethodne izglađene procjene. Ova jednadžba omogućuje značajno smanjenje utjecaja slučajnih poremećaja na trend tijekom vremena.

Predviđanje pomoću eksponencijalnog izglađivanja slično je postupku naivnog predviđanja, gdje se pretpostavlja da je procjena prognoze za sutra jednaka današnjoj vrijednosti. U u ovom slučaju kao prognoza za jedno razdoblje unaprijed, uzima se u obzir izglađena vrijednost za tekuće razdoblje plus trenutna izglađena vrijednost trenda:

Ovaj se postupak može koristiti za predviđanje za bilo koji broj razdoblja, na primjer T razdoblja:

Procedura predviđanja počinje činjenicom da se izglađena vrijednost 51 pretpostavlja da je jednaka prvom opažanju Y, tj. 5, = Y,.

Problem se javlja kod određivanja početne vrijednosti trenda 6]. Postoje dva načina ocjenjivanja bx.

Metoda 1. Stavimo bx = 0. Ovaj pristup dobro funkcionira u slučaju dugog početnog vremenskog niza. Tada izglađeni trend nije veliki broj razdoblja približit će se stvarnoj vrijednosti trenda.

Metoda 2. Možete dobiti više točna procjena 6, koristeći prvih pet (ili više) promatranja vremenske serije. Na temelju njih, gyu metoda najmanjih kvadrata jednadžba je riješena Y(= a + b x g. Vrijednost b uzima se kao početna vrijednost trenda.

Koliko Prognoza ODMAH! bolji model Eksponencijalno izglađivanje (ES) možete vidjeti na grafikonu ispod. X os je broj proizvoda, Y os je postotak poboljšanja u kvaliteti predviđanja. U nastavku pročitajte opis modela, detaljna istraživanja i eksperimentalne rezultate.

Opis modela

Predviđanje metodom eksponencijalnog izglađivanja jedno je od naj jednostavnih načina predviđanje. Prognozu je moguće dobiti samo za jedno razdoblje unaprijed. Ako se predviđanje provodi u danima, onda samo jedan dan unaprijed, ako tjednima, onda jedan tjedan.

Za usporedbu, predviđanje je provedeno tjedan dana unaprijed za 8 tjedana.

Što je eksponencijalno izglađivanje?

Neka red S predstavlja izvornu seriju prodaje za predviđanje

C(1)- prodaja u prvom tjednu, S(2) u drugom i tako dalje.

Slika 1. Prodaja po tjednu, red S

Isto tako i serija S predstavlja eksponencijalno izglađenu seriju prodaje. Koeficijent α kreće se od nula do jedan. Ispada kako slijedi, ovdje je t trenutak u vremenu (dan, tjedan)

S (t+1) = S(t) + α *(S(t) - S(t))

Velike vrijednosti konstante izglađivanja α ubrzavaju odgovor prognoze na skok u promatranom procesu, ali mogu dovesti do nepredvidivih outliera jer izglađivanja gotovo da i neće biti.

Prvi put nakon početka promatranja, imati samo jedan rezultat promatranja C (1) , kada je prognoza S (1) ne, i dalje je nemoguće koristiti formulu (1) kao prognozu S (2) treba uzeti C (1) .

Formula se lako može prepisati u drugom obliku:

S (t+1) = (1 -α )* S (t)+α * S (t).

Dakle, s povećanjem konstante izglađivanja raste udio nedavne prodaje, a smanjuje udio izglađene prethodne prodaje.

Konstanta α odabire se eksperimentalno. Tipično se izrađuje nekoliko prognoza za različite konstante i odabire se najoptimalnija konstanta s gledišta odabranog kriterija.

Kriterij može biti točnost predviđanja za prethodna razdoblja.

U našoj studiji razmatrali smo modele eksponencijalnog izglađivanja u kojima α ima vrijednosti (0,2, 0,4, 0,6, 0,8). Za usporedbu s Prognozom ODMAH! Za svaki proizvod napravljene su prognoze za svaki α, te je odabrana najtočnija prognoza. U stvarnosti bi situacija bila puno kompliciranija, korisnik, ne znajući unaprijed točnost prognoze, treba se odlučiti za koeficijent α o kojemu uvelike ovisi kvaliteta prognoze. Ovo je tako začarani krug.

Jasno

Slika 2. α =0,2, stupanj eksponencijalnog izglađivanja je visok, stvarna prodaja se slabo uzima u obzir

Slika 3. α =0,4, stupanj eksponencijalnog izglađivanja je prosječan, realna prodaja je uzeta u obzir u prosječnom stupnju

Možete vidjeti kako, kako konstanta α raste, izglađeni niz sve više odgovara stvarnoj prodaji, a ako postoje odstupanja ili anomalije, dobit ćemo izuzetno netočnu prognozu.

Slika 4. α =0,6, stupanj eksponencijalnog izglađivanja je nizak, stvarna prodaja se značajno uzima u obzir

Vidimo da pri α=0,8 serija gotovo točno ponavlja originalnu, što znači da prognoza teži pravilu "isti iznos će biti prodan kao jučer"

Vrijedno je napomenuti da je ovdje apsolutno nemoguće usredotočiti se na pogrešku aproksimacije izvornih podataka. Možete postići savršeno pristajanje, ali i dalje dobiti neprihvatljivo predviđanje.

Slika 5. α =0,8, stupanj eksponencijalnog izglađivanja je izuzetno nizak, stvarna prodaja je uzeta u obzir

Primjeri prognoza

Sada pogledajmo predviđanja koja se dobivaju pomoću različita značenjaα. Kao što se može vidjeti na slikama 6 i 7, što je veći koeficijent izglađivanja, to točnije predviđanje ponavlja stvarnu prodaju s odgodom od jednog koraka. Takvo kašnjenje može se zapravo pokazati kritičnim, tako da ne možete jednostavno birati maksimalna vrijednostα. U protivnom ćemo doći u situaciju da kažemo da će se prodati točno onoliko koliko je prodano u prethodnom razdoblju.

Slika 6. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja pri α=0,2

Slika 7. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja pri α=0,6

Pogledajmo što se događa kada je α = 1,0. Podsjetimo se da je S predviđena (izglađena) prodaja, C stvarna prodaja.

S (t+1) = (1 -α )* S (t)+α * S (t).

S (t+1) = S (t).

Prodaja na dan t+1 prema prognozi jednaka je prodaji prethodnog dana. Stoga se izboru konstante mora pristupiti mudro.

Usporedba s prognozom ODMAH!

Sada razmotrimo ovu metodu predviđanje naspram predviđanja SADA!. Usporedba je rađena na 256 proizvoda koji imaju različitu prodaju, s kratkoročnom i dugotrajnom sezonalnošću, s “lošom” prodajom i nestašicama, akcijama i drugim outlierima. Za svaki proizvod napravljena je prognoza pomoću modela eksponencijalnog izglađivanja, za različite α odabrana je najbolja i uspoređena s prognozom pomoću modela Prognoza SADA!

U donjoj tablici možete vidjeti vrijednost pogreške predviđanja za svaki proizvod. Ovdje se greška smatra RMSE. Ovo je korijen standardna devijacija prognoza iz stvarnosti. Grubo rečeno, to pokazuje za koliko jedinica robe smo odstupili od prognoze. Poboljšanje pokazuje za koliko je postotaka Prognoza SADA! Bolje je ako je broj pozitivan, a još gore ako je negativan. Na slici 8, X-os prikazuje proizvode, a Y-os pokazuje koliko je Prognoza SADA! bolje od predviđanja pomoću eksponencijalnog izglađivanja. Kao što možete vidjeti na ovom grafikonu, točnost predviđanja programa Forecast NOW! gotovo uvijek dvostruko veći i gotovo nikada lošiji. To zapravo znači da korištenje Forecast NOW! omogućit će vam da prepolovite zalihe ili smanjite manjkove.

9 5. Metoda eksponencijalnog izglađivanja. Odabir konstante izglađivanja

Kada se koristi metoda najmanjih kvadrata za određivanje tendencije (trenda) prognoze, unaprijed se pretpostavlja da svi retrospektivni podaci (opažanja) imaju isti informacijski sadržaj. Očito bi bilo logičnije uzeti u obzir proces diskontiranja početnih informacija, odnosno nejednakost tih podataka za izradu prognoze. Ovo se postiže metodom eksponencijalnog izglađivanja davanjem potonjih opažanja vremenske serije(to jest, vrijednosti koje neposredno prethode prognoziranom vremenu izvedbe) značajnijih "težina" u usporedbi s početnim opažanjima. Prednosti metode eksponencijalnog izglađivanja također uključuju jednostavnost računskih operacija i fleksibilnost opisa različitih dinamika procesa. Najveću primjenu metoda je našla za provedbu srednjoročnih prognoza.

5.1. Bit metode eksponencijalnog izglađivanja

Bit metode je da se vremenska serija izglađuje pomoću ponderiranog "pomičnog prosjeka", u kojem se težine pokoravaju eksponencijalnom zakonu. Drugim riječima, što je točka za koju se izračunava ponderirani pomični prosjek dalje od kraja vremenske serije, to je manje "sudjelovanja" u izradi prognoze.

Neka se izvorni dinamički niz sastoji od razina (komponenti niza) y t , t = 1 , 2 ,...,n . Za svakih m uzastopnih razina ove serije

(m

dinamički niz s korakom jednakim jedan. Ako je m neparan broj, a poželjno je uzeti neparan broj razina, budući da će u tom slučaju izračunata vrijednost razine biti u središtu intervala izglađivanja i može lako zamijeniti stvarnu vrijednost, tada sljedeća formula može biti napisan za određivanje pomičnog prosjeka:

			t+ ξ			t+ ξ
			∑ y i			∑ y i
			i= t− ξ			i= t− ξ
			2ξ + 1

gdje je y t pomična prosječna vrijednost za trenutak t (t = 1, 2,...,n); y i je stvarna vrijednost razine u trenutku i;

i – redni broj razine u intervalu izravnavanja.

Vrijednost ξ određuje se iz trajanja intervala izravnavanja.

Jer

m =2 ξ +1

za neparno m, dakle

ξ = m 2 − 1 .

Izračun pomičnog prosjeka s velikim brojem razina može se pojednostaviti rekurzivnim određivanjem uzastopnih vrijednosti pomičnog prosjeka:

y t= y t− 1 +	yt + ξ	− y t − (ξ + 1 )
		2ξ + 1

Ali na temelju činjenice da je potrebno dati veću "težinu" nedavnim opažanjima, pomični prosjek treba drugačije tumačiti. Ona leži u činjenici da vrijednost dobivena usrednjavanjem ne zamjenjuje središnji član intervala usrednjavanja, već njegov posljednji član. U skladu s tim, posljednji izraz može se prepisati u obliku

Mi = Mi + 1		y i− y i− m

Ovdje je pomični prosjek koji se odnosi na kraj intervala označen novim simbolom M i . U suštini, M i je jednako y t pomaknutom ξ koraka udesno, odnosno M i = y t + ξ, gdje je i = t + ξ.

Uzimajući u obzir da je M i − 1 procjena veličine y i − m , izraz (5.1)

može se prepisati u obliku

				y i+ 1				M i − 1,
	M i , definiran izrazom (5.1).
gdje je M i procjena
Ako se izračuni (5.2) ponavljaju kako pristižu nove informacije
i prepišemo ga u drugom obliku, dobivamo izglađenu funkciju promatranja:
	Q i= α y i+ (1 − α ) Q i− 1 ,
ili u ekvivalentnom obliku
	Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1

Izračuni koji se provode pomoću izraza (5.3) sa svakim novim opažanjem nazivaju se eksponencijalno izglađivanje. U posljednjem izrazu, da bi se eksponencijalno izglađivanje razlikovalo od pomičnog prosjeka, uvedena je oznaka Q umjesto M. Količina α koja je

analog m 1, naziva se konstanta izglađivanja. Vrijednosti α leže u

interval [0, 1]. Ako je α predstavljen kao niz

α + α(1 − α) + α(1 − α) 2 + α(1 − α) 3 + ... + α(1 − α) n ,

tada je lako uočiti da se “težine” eksponencijalno smanjuju s vremenom. Na primjer, za α = 0, 2 dobivamo

0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + …

Zbroj niza teži jedinici, a članovi zbroja opadaju s vremenom.

Vrijednost Q t u izrazu (5.3) je eksponencijalni prosjek prvog reda, to jest prosjek dobiven izravno iz

izglađivanje podataka promatranja (primarno izglađivanje). Ponekad je pri razvoju statističkih modela korisno pribjeći izračunavanju eksponencijalnih prosjeka višeg reda, odnosno prosjeka dobivenih ponovljenim eksponencijalnim izglađivanjem.

Opća oznaka u rekurentnom obliku za eksponencijalni prosječni red k je:

Q t (k)= α Q t (k− 1 )+ (1 − α ) Q t (− k1 ).

Vrijednost k varira unutar 1, 2, ..., p, p+1, gdje je p red prognoznog polinoma (linearnog, kvadratnog i tako dalje).

Na temelju ove formule za eksponencijalni prosjek prvog, drugog i trećeg reda dobiveni su izrazi

Q t (1 )= α y t + (1 − α ) Q t (− 1 1 );

Q t (2 )= α Q t (1 )+ (1 − α ) Q t (− 2 1 ); Q t (3 )= α Q t (2 )+ (1 − α ) Q t (− 3 1 ).

5.2. Određivanje parametara prognostičkog modela metodom eksponencijalnog izglađivanja

Očito, da bi se razvile prognozirane vrijednosti na temelju vremenske serije koristeći metodu eksponencijalnog izglađivanja, potrebno je izračunati koeficijente jednadžbe trenda koristeći eksponencijalne prosjeke. Procjene koeficijenata određuju se pomoću temeljnog Brown-Meyerovog teorema, koji povezuje koeficijente prediktivnog polinoma s eksponencijalnim prosjekom odgovarajućih redova:

(− 1 )

aˆ str

α (1 − α )∞

−α )

j (p − 1 + j ) !

∑j

p= 0

p! (k− 1 ) !j = 0

gdje su aˆ p procjene koeficijenata polinoma stupnja.

Koeficijenti se nalaze rješavanjem sustava (p + 1) jednadžbi sp + 1

nepoznato.

Dakle, za linearni model

aˆ 0 = 2 Q t (1 ) − Q t (2 ) ; aˆ 1 = 1 − α α (Q t (1 ) − Q t (2 )) ;

za kvadratni model

aˆ 0 = 3 (Q t (1 )− Q t (2 )) + Q t (3 );

aˆ 1 =1 − α α [ (6 −5 α ) Q t (1 ) −2 (5 −4 α ) Q t (2 ) +(4 −3 α ) Q t (3 ) ] ;

aˆ 2 = (1 − α α ) 2 [ Q t (1 )− 2 Q t (2 )+ Q t (3 )] .

Prognoza se provodi korištenjem odabranog polinoma, odnosno, za linearni model

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ ;

za kvadratni model

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2 ,

gdje je τ korak predviđanja.

Treba napomenuti da se eksponencijalni prosjeci Q t (k) mogu izračunati samo s poznatim (odabranim) parametrom, poznavajući početne uvjete Q 0 (k).

Procjene početnih uvjeta, posebno za linearni model

Q(1)=a			1 − α
Q(2 ) = a− 2 (1 − α ) a

za kvadratni model

Q(1)=a

1 − α

+ (1 − α )(2 − α ) a

2(1− α )

(1− α)(3− 2α)

Q 0(2 ) = a 0−

2α 2

Q(3)=a

3(1− α )

(1 − α )(4 − 3 α ) a

gdje su koeficijenti a 0 i a 1 izračunati metodom najmanjih kvadrata.

Vrijednost parametra izglađivanja α približno se izračunava formulom

α ≈ m 2 + 1,

gdje je m broj promatranja (vrijednosti) u intervalu izravnavanja. Redoslijed izračuna prognoziranih vrijednosti prikazan je u

	Izračun koeficijenata niza metodom najmanjih kvadrata
	Definiranje intervala izravnavanja
	Izračun konstante izglađivanja
	Izračun početnih uvjeta
	Izračunavanje eksponencijalnih prosjeka
	Izračun procjena a 0 , a 1 itd.
	Izračun prognoziranih vrijednosti serije
	Riža. 5.1. Redoslijed izračuna predviđenih vrijednosti

Kao primjer, razmotrite postupak za dobivanje predviđene vrijednosti rada proizvoda bez kvarova, izražene srednjim vremenom između kvarova.

Početni podaci sažeti su u tablici. 5.1.

Odabiremo linearni model predviđanja u obliku y t = a 0 + a 1 τ

Rješenje je izvedivo sa sljedećim vrijednostima početnih veličina:

a 0,0 = 64,2; a 1,0 = 31,5; α = 0,305.

Tablica 5.1. Početni podaci

Broj opažanja, t

Duljina koraka, predviđanje, τ

MTBF, y (sat)

S ovim vrijednostima, izračunati "izglađeni" koeficijenti za

vrijednosti y 2 će biti jednake

= α Q (1) − Q (2) = 97, 9;

[ Q (1 ) − Q (2 )

31, 9 ,

1− α

u početnim uvjetima

1 − α

A 0 , 0 −

a 1, 0

= −7 , 6

1 − α

= −79 , 4

i eksponencijalni prosjeci

Q (1 )= α y + (1 − α ) Q (1 )

25, 2;

Q(2)

= α Q (1)

+ (1 −α ) Q (2 ) = −47 , 5 .

"Izglađena" vrijednost y 2 izračunava se pomoću formule

Qi (1)

Qi (2)

a 0 ,i

a 1 ,i

ˆyt

Prema tome (tablica 5.2), model linearne prognoze ima oblik

ˆy t + τ = 224,5+ 32τ .

Izračunajmo predviđene vrijednosti za vrijeme isporuke od 2 godine (τ = 1), 4 godine (τ = 2) i tako dalje između kvarova proizvoda (tablica 5.3).

Tablica 5.3. Predviđene vrijednostiˆy t

Jednadžba	t+2	t+4	t+6		t+8		t+20
regresija	(τ = 1)	(τ = 2)	(τ = 3)				(τ = 5)
				τ =
ˆy t = 224,5+ 32τ

Treba napomenuti da se ukupna "težina" zadnjih m vrijednosti vremenske serije može izračunati pomoću formule

c = 1 − (m (− 1 ) m ) . m+ 1

Dakle, za zadnja dva promatranja niza (m = 2), vrijednost c = 1 − (2 2 − + 1 1) 2 = 0,667.

5.3. Odabir početnih uvjeta i određivanje konstante izglađivanja

Kako slijedi iz izraza

Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1 ,

Kod eksponencijalnog izglađivanja potrebno je znati početnu (prethodnu) vrijednost izglađene funkcije. U nekim slučajevima, za početna vrijednost možete uzeti prvo promatranje; češće se početni uvjeti određuju prema izrazima (5.4) i (5.5). U ovom slučaju, vrijednosti a 0, 0, a 1, 0

i a 2 , 0 određuju se metodom najmanjih kvadrata.

Ako nemamo puno povjerenja u odabranu početnu vrijednost, tada će uzimanje velike vrijednosti konstante izglađivanja α kroz k promatranja dovesti do

“težinu” početne vrijednosti na vrijednost (1 − α ) k<< α , и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α может быть выбрано малым (близким к 0).

Prema tome, odabir konstante izglađivanja (ili broja opažanja u pomičnom prosjeku) uključuje donošenje odluke o kompromisu. Tipično, kao što praksa pokazuje, vrijednost konstante izglađivanja leži u rasponu od 0,01 do 0,3.

Poznato je nekoliko prijelaza koji omogućuju pronalaženje približne procjene α. Prvo proizlazi iz uvjeta jednakosti pomičnog i eksponencijalnog prosjeka

α = m 2 + 1,

gdje je m broj promatranja u intervalu izravnavanja. Drugi pristupi povezani su s točnošću prognoze.

Dakle, moguće je odrediti α na temelju Meyerove relacije:

α ≈ S y,

gdje je S y – korijen srednje kvadratne pogreške modela;

S 1 – korijen srednje kvadratne pogreške izvorne serije.

Međutim, korištenje posljednjeg odnosa je komplicirano činjenicom da je vrlo teško pouzdano odrediti S y i S 1 iz početnih informacija.

Često je parametar izglađivanja, a ujedno i koeficijenti a 0, 0 i a 0, 1

odabiru se optimalno ovisno o kriteriju

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − ˆyij ] 2 → min

j= 0

rješavanjem algebarskog sustava jednadžbi, koji se dobiva izjednačavanjem derivacija s nulom

∂S2		∂S2		∂S2
∂a 0, 0		∂a 1, 0		∂a 2, 0

Stoga je za model linearnog predviđanja početni kriterij jednak

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − a0 , 0 − a1 , 0 τ ] 2 → min.

j= 0

Rješavanje ovog sustava pomoću računala ne predstavlja nikakve poteškoće.

Da biste napravili razuman izbor α, također možete koristiti generalizirani postupak izglađivanja, koji vam omogućuje dobivanje sljedećih odnosa koji povezuju varijancu prognoze i parametar izglađivanja za linearni model:

S p 2 ≈[ 1 + α β ] 2 [ 1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β ) τ +2 α 2 τ 3 ] S y 2

za kvadratni model

S p 2≈ [ 2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ ] S y 2,

gdje je β = 1 − α ;Sg– RMS odstupanje aproksimacije izvorne vremenske serije.

Očito, u metodi ponderiranog pomičnog prosjeka postoji mnogo načina za postavljanje težina tako da njihov zbroj bude jednak 1. Jedna takva metoda naziva se eksponencijalno izglađivanje. U ovoj shemi metode ponderirane prosječne vrijednosti, za bilo koji t > 1, vrijednost prognoze u trenutku t+1 je ponderirani zbroj stvarnog obujma prodaje za vremensko razdoblje t i predviđenog obujma prodaje za vremensko razdoblje t Drugim riječima,

Eksponencijalno izglađivanje ima računalne prednosti u odnosu na pomični prosjek. Ovdje, da biste izračunali, trebate znati samo vrijednosti , i , (zajedno s vrijednošću α). Na primjer, ako tvrtka treba predvidjeti potražnju za 5.000 artikala u svakom vremenskom razdoblju, tada bi trebala pohraniti 10.001 vrijednost podataka (5.000 vrijednosti od , 5.000 vrijednosti od i vrijednost α), dok izrada prognoze na temelju pomičnog prosjeka od 8 čvorova zahtijevala je 40 000 vrijednosti podataka. Ovisno o ponašanju podataka, možda će biti potrebno pohraniti različite α vrijednosti za svaku stavku, ali čak i tada je količina pohranjenih informacija znatno manja od upotrebe pomičnog prosjeka. Pozitivna značajka eksponencijalnog izglađivanja je da se pohranjivanjem α i zadnje prognoze implicitno spremaju i sve prethodne prognoze.

Pogledajmo neka svojstva modela eksponencijalnog izglađivanja. Za početak napominjemo da ako je t > 2, tada se u formuli (1) t može zamijeniti s t–1, tj. Zamjenom ovog izraza u izvornu formulu (1) dobivamo

Izvodeći uzastopno slične zamjene, dobivamo sljedeći izraz Za

Budući da je iz nejednakosti 0< α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то Другими словами, наблюдение , имеет больший вес, чем наблюдение , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального сглаживания - коэффициенты при убывают при уменьшении номера k. Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая коэффициент при ), равна 1.

Iz formule (2) jasno je da je vrijednost ponderirani zbroj svih prethodnih opažanja (uključujući posljednje opažanje). Zadnji član zbroja (2) nije statističko promatranje, već “pretpostavka” (može se pretpostaviti, na primjer, da ). Očito, kako t raste, utjecaj , na prognozu se smanjuje, au određenom trenutku se može zanemariti. Čak i ako je vrijednost α dovoljno mala (tako da je (1 – α) približno jednaka 1), vrijednost će se brzo smanjivati.

Vrijednost parametra α uvelike utječe na izvedbu modela predviđanja, budući da α predstavlja težinu najnovijeg opažanja. To znači da biste trebali dodijeliti višu vrijednostα u slučaju kada je posljednje opažanje u modelu najpredvidljivije. Ako je α blizu 0, to znači gotovo potpuno povjerenje u prošlu prognozu i ignoriranje najnovijih opažanja.

Victor se suočio s problemom: kako najbolji način odaberite vrijednost α. Opet, alat Find Solution pomoći će u tome. Da biste pronašli optimalnu vrijednost α (tj. onu pri kojoj će krivulja predviđanja najmanje odstupati od krivulje vrijednosti vremenskog niza), slijedite ove korake.

1. Odaberite naredbu Alati -> Traži rješenje.
2. U dijaloškom okviru Solution Finder koji se otvori postavite ciljnu ćeliju G16 (pogledajte Expo sheet) i odredite da njezina vrijednost bude minimalna.
3. Navedite da je ćelija za promjenu ćelija B1.
4. Unesite ograničenja B1 > 0 i B1< 1
5. Klikom na gumb Pokreni, dobit ćete rezultat prikazan na sl. 8.

Opet, kao i kod metode ponderiranog pomičnog prosjeka, najbolja prognoza će se dobiti dodjeljivanjem cjelokupne težine posljednjem opažanju. Stoga je optimalna vrijednost α 1, a srednja vrijednost apsolutnih odstupanja iznosi 6,82 (ćelija G16). Victor je dobio prognozu koju je već vidio.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja dobro funkcionira u situacijama kada se varijabla koja nas zanima ponaša stacionarno, a njena odstupanja od konstantne vrijednosti uzrokovana su slučajnim faktorima i nisu regularne prirode. Ali: bez obzira na vrijednost parametra α, metoda eksponencijalnog izglađivanja neće moći predvidjeti monotono rastuće ili monotono opadajuće podatke (predviđene vrijednosti uvijek će biti manje ili više od promatranih). Također se može pokazati da u modelu sa sezonskim promjenama ovom metodom neće biti moguće dobiti zadovoljavajuće prognoze.

Ako statistički podaci variraju monotono ili su podložni sezonskim promjenama, to je neophodno posebne metode predviđanja, o čemu će biti riječi u nastavku.

Holtova metoda (eksponencijalno izglađivanje s trendom)

,

Holtova metoda omogućuje predviđanje k vremenskih razdoblja unaprijed. Metoda, kao što se može vidjeti, koristi dva parametra α i β. Vrijednosti ovih parametara kreću se od 0 do 1. Varijabla L, označava dugoročnu razinu vrijednosti ili osnovnu vrijednost podataka vremenske serije. T varijabla označava moguće povećanje ili smanjenje vrijednosti tijekom jednog razdoblja.

Pogledajmo kako ova metoda funkcionira na novom primjeru. Svetlana radi kao analitičar u velikoj brokerskoj tvrtki. Na temelju tromjesečnih izvješća koje ima od Startup Airlinesa, želi predvidjeti prihode tvrtke za sljedeće tromjesečje. Dostupni podaci i na temelju njih izgrađen dijagram nalaze se u radnoj knjizi Startup.xls (slika 9). Vidljivo je da podaci imaju jasan trend (gotovo monotono rastući). Svetlana želi koristiti Holtovu metodu za predviđanje zarade po dionici za trinaesti kvartal. Da biste to učinili, morate postaviti početne vrijednosti za L i T. Postoji nekoliko opcija za odabir: 1) L je jednak vrijednosti zarade po dionici za prvi kvartal i T = 0; 2) L je jednak prosječnoj zaradi po dionici za 12 kvartala, a T je jednak prosječnoj promjeni za svih 12 kvartala. Postoje i druge opcije za početne vrijednosti za L i T, ali Svetlana je odabrala prvu opciju.

Odlučila je pomoću alata Solution Finder pronaći optimalnu vrijednost parametara α i β pri kojoj vrijednost prosjeka apsolutne greške postotak bi bio minimalan. Da biste to učinili, morate slijediti ove korake.

Odaberite naredbu Servis -> Traži rješenje.

U dijaloškom okviru Search for a Solution koji se otvori, postavite ćeliju F18 kao ciljnu ćeliju i označite da njezinu vrijednost treba minimizirati.

U polje Promjena ćelija unesite raspon ćelija B1:B2. Dodajte ograničenja B1:B2 > 0 i B1:B2< 1.

Pritisnite gumb Izvrši.

Rezultirajuća prognoza prikazana je na sl. 10.

Kao što vidite, pokazalo se da su optimalne vrijednosti α = 0,59 i β = 0,42, a prosječne apsolutne pogreške u postocima iznose 38%.

Računovodstvo sezonske promjene

Prilikom predviđanja iz podataka vremenske serije, uzmite u obzir sezonske promjene. Sezonske promjene su fluktuacije gore i dolje s konstantnim razdobljem u vrijednostima varijable.

Na primjer, ako pogledate prodaju sladoleda po mjesecima, možete vidjeti toplih mjeseci(od lipnja do kolovoza na sjevernoj hemisferi) više visoka razina rasprodaje nego zimi, i tako svake godine. Ovdje sezonske fluktuacije imaju period od 12 mjeseci. Ako se koriste podaci prikupljeni po tjednu, onda struktura sezonske fluktuacije ponavljat će se svaka 52 tjedna Drugi primjer analizira tjedne izvještaje o broju gostiju koji su prespavali u hotelu koji se nalazi u poslovnom središtu grada.Za pretpostaviti je da se u noćima na utorak očekuje veliki broj gostiju. , srijeda i četvrtak, najmanje gostiju bit će u subotu i nedjelju navečer, a prosječan broj gostiju očekuje se u petak i ponedjeljak navečer. Ova struktura podataka prikazuje broj klijenata različiti dani tjedna, ponavljat će se svakih sedam dana.

Postupak koji vam omogućuje izradu prognoze uzimajući u obzir sezonske promjene sastoji se od sljedeća četiri koraka

1) Na temelju početnih podataka utvrđuje se struktura sezonskih kolebanja i razdoblje tih kolebanja.

3) Na temelju desezoniranih podataka izrađuje se najbolja moguća prognoza.

4) Rezultirajućoj prognozi dodaje se sezonska komponenta.

Ilustrirajmo ovaj pristup korištenjem podataka o prodaji ugljena (mjereno u tisućama tona) u Sjedinjenim Državama za devet godina. Frank je menadžer u Gillette Coal Mine Company i treba predvidjeti potražnju za ugljenom za sljedeća dva kvartala. U radnu bilježnicu Coal.xls unio je podatke za cjelokupnu industriju ugljena i na temelju tih podataka izgradio grafikon (slika 11). Grafikon pokazuje da je obujam prodaje iznad prosjeka u prvom i četvrtom kvartalu ( zimsko vrijeme godine) i ispod prosjeka u drugom i trećem kvartalu (proljetno-ljetni mjeseci).

Isključenje sezonske komponente

Najprije je potrebno izračunati prosjek svih odstupanja za jedno razdoblje sezonskih promjena. Za uklanjanje sezonske komponente unutar jedne godine koriste se podaci za četiri razdoblja (kvartala). A kako bi se isključila sezonska komponenta iz cijele vremenske serije, niz pomičnih prosjeka izračunava se preko T čvorova, gdje je T trajanje sezonskih fluktuacija. Za izvođenje potrebnih izračuna, Frank je koristio stupce C i D, kao što je prikazano u sl. ispod. Stupac C sadrži pomični prosjek od 4 čvora na temelju podataka u stupcu B.

Sada trebamo dodijeliti dobivene pomične prosječne vrijednosti srednjim točkama niza podataka iz kojih su te vrijednosti izračunate. Ova operacija se zove centriranje vrijednosti. Ako je T neparan, tada je prva vrijednost pomičnog prosjeka (prosjek vrijednosti od prve do T-točka) treba dodijeliti (T + 1)/2 točki (na primjer, ako je T = 7, tada će prvi pomični prosjek biti dodijeljen četvrtoj točki). Slično, prosjek vrijednosti od druge do (T + 1)-te točke centriran je u točki (T + 3)/2, itd. Središte n-tog intervala je u točki (T+(2n -1))/2.

Ako je T paran, kao u razmatranom slučaju, tada zadatak postaje nešto kompliciraniji, jer se ovdje središnje (srednje) točke nalaze između točaka iz kojih je izračunata pomična prosječna vrijednost. Stoga se centrirana vrijednost za treću točku izračunava kao prosjek prve i druge vrijednosti pomičnog prosjeka. Na primjer, prvi broj u stupcu D centrirane sredine na Sl. 12, lijevo jednako (1613 + 1594)/2 = 1603. Na sl. Slika 13 prikazuje grafikone izvornih podataka i centriranih prosjeka.

Zatim pronalazimo omjer vrijednosti podatkovnih točaka i odgovarajućih vrijednosti centriranih sredina. Budući da točke na početku i kraju niza podataka nemaju odgovarajuća središnja sredstva (vidi prvi i najnovije vrijednosti u stupcu D), ova radnja se ne odnosi na ove točke. Ovi omjeri pokazuju stupanj do kojeg vrijednosti podataka odstupaju od standardne razine definirane središnjim sredstvima. Imajte na umu da su vrijednosti omjera za treće četvrtine manje od 1, a za četvrte četvrtine su veće od 1.

Ovi odnosi su osnova za izradu sezonskih indeksa. Da bi ih izračunali, izračunati omjeri grupirani su po četvrtinama, kao što je prikazano na slici. 15 u stupcima G-O.

Zatim se pronađu prosječne vrijednosti omjera za svako tromjesečje (stupac E na slici 15). Na primjer, prosjek svih omjera za prvi kvartal je 1,108. Ova vrijednost je sezonski indeks za prvo tromjesečje, na temelju kojeg se može zaključiti da obujam prodaje ugljena za prvi kvartal u prosjeku iznosi oko 110,8% relativnog prosječnog godišnjeg obujma prodaje.

Sezonski indeks je prosječni omjer podataka koji se odnose na jednu sezonu (u ovom slučaju, sezona je četvrtina) prema svim podacima. Ako je sezonski indeks veći od 1, tada su pokazatelji za ovu sezonu iznad prosjeka godine, isto tako, ako je sezonski indeks ispod 1, tada su pokazatelji za sezonu ispod prosjeka godine.

Konačno, da biste uklonili sezonsku komponentu iz izvornih podataka, trebali biste podijeliti vrijednosti izvornih podataka s odgovarajućim sezonskim indeksom. Rezultati ove operacije prikazani su u stupcima F i G (slika 16). Grafikon podataka koji više ne sadrži sezonsku komponentu prikazan je na sl. 17.

Predviđanje

Prognoza se radi na temelju podataka iz kojih je isključena sezonska komponenta. Da bi se to postiglo, koristi se odgovarajuća metoda koja uzima u obzir prirodu ponašanja podataka (na primjer, podaci imaju trend ili su relativno konstantni). U ovom primjeru, prognoza je izgrađena pomoću jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja. Optimalna vrijednost parametra α nalazi se alatom Search Solution. Grafikon prognoze i stvarnih podataka bez sezonske komponente prikazan je na sl. 18.

Uzimajući u obzir sezonsku strukturu

Sada moramo uzeti u obzir sezonsku komponentu u dobivenoj prognozi (1726,5). Da biste to učinili, pomnožite 1726 sa sezonskim indeksom za prvo tromjesečje od 1,108, što rezultira vrijednošću od 1912. Slična operacija (množenjem 1726 sa sezonskim indeksom od 0,784) dat će prognozu za drugi kvartal jednaku 1353. rezultat dodavanja sezonske strukture dobivenoj prognozi prikazan je na sl. 19.

Mogućnosti zadatka:

Problem 1

S obzirom na vremenski niz

t
x

1. Nacrtajte graf od x = x(t).

1. Koristeći jednostavan pomični prosjek od 4 čvora, predvidite potražnju u trenutku 11.
2. Je li ova metoda predviđanja prikladna za ove podatke ili ne? Zašto?
3. Pokupiti linearna funkcija aproksimiranje podataka metodom najmanjih kvadrata.

Problem 2

Koristeći model predviđanja prihoda Startup Airlinesa (Startup.xls), pokrenite:

Problem 3

Za vremenske serije

t
x

čini:

1. Korištenjem ponderiranog pomičnog prosjeka od 4 čvora i dodjeljivanjem pondera 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, prognozirajte potražnju u 11. vremenskoj točki. Veću težinu treba pridati novijim opažanjima.
2. Je li ova aproksimacija bolja od jednostavnog pomičnog prosjeka od 4 čvora? Zašto?
3. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
4. Upotrijebite alat Find Solution kako biste pronašli optimalne težine čvorova. Koliko je smanjena pogreška aproksimacije?
5. Koristite metodu eksponencijalnog izglađivanja za predviđanje. Koja korištena metoda daje najbolji rezultat?

Problem 4

Analizirajte vremenske serije

Vrijeme

zahtijevajte

1. Upotrijebite metodu ponderiranog pomičnog prosjeka s 4 čvora, pridjeljujući težine 4/10, 3/10, 2/10, 1/10 da biste dobili prognozu u vremenima 5-13. Veću težinu treba pridati novijim opažanjima.
2. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
3. Mislite li da je ova aproksimacija bolja od modela jednostavnog pomičnog prosjeka s 4 čvora? Zašto?
4. Upotrijebite alat Find Solution kako biste pronašli optimalne težine čvorova. Koliko ste uspjeli smanjiti vrijednost greške?
5. Koristite metodu eksponencijalnog izglađivanja za predviđanje. Koja korištena metoda daje najbolji rezultat?

Problem 5

S obzirom na vremenski niz

Problem 7

Voditelj marketinga male tvrtke u razvoju koja sadrži lanac trgovina mješovitom robom ima informacije o obujmu prodaje za cijelo razdoblje postojanja najprofitabilnije trgovine (vidi tablicu).

Koristeći jednostavan pomični prosjek od 3 čvora, predvidite vrijednosti u čvorovima od 4 do 11.

Koristeći ponderirani pomični prosjek od 3 čvora, predvidite vrijednosti u čvorovima od 4 do 11. Upotrijebite alat Find Solution za određivanje optimalnih težina.

Koristite eksponencijalno izglađivanje za predviđanje vrijednosti u čvorovima 2-11. Odredite optimalnu vrijednost za parametar α pomoću alata Find Solution.

Koja je od dobivenih prognoza najtočnija i zašto?

Problem 8

S obzirom na vremenski niz

1. Nacrtajte grafikon ove vremenske serije. Spojite točke ravnim segmentima.
2. Koristeći jednostavan pomični prosjek od 4 čvora, predvidite potražnju za čvorove 5-13.
3. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
4. Je li prikladno koristiti ovu metodu predviđanja za prikazane podatke?
5. Je li ova aproksimacija bolja od jednostavnog pomičnog prosjeka od 3 čvora? Zašto?
6. Konstruirajte linearni i kvadratni trend iz podataka.
7. Koristite metodu eksponencijalnog izglađivanja za predviđanje. Koja korištena metoda daje najbolji rezultat?

Problem 10

Radna knjiga Business_Week.xls prikazuje podatke iz časopisa Business Week o mjesečnoj prodaji automobila za 43 mjeseca.

1. Uklonite sezonsku komponentu iz ovih podataka.
2. Definirati najbolja metoda predviđanje za dostupne podatke.
3. Kakva je prognoza za 44. razdoblje?

Problem 11

1. Jednostavna shema predviđanje, gdje se vrijednost za prethodni tjedan uzima kao prognoza za sljedeći tjedan.
2. Metoda pomičnog prosjeka (s brojem čvorova po vlastitom nahođenju). Pokušajte koristiti nekoliko različitih vrijednosti čvorova.

Problem 12

Radna knjiga Bank.xls prikazuje pokazatelje poslovanja banke. Smatrati sljedeće metode predviđanje vrijednosti ove vremenske serije.

Kao prognoza koristi se prosječna vrijednost indikatora za sve prethodne tjedne.

Metoda ponderiranog pomičnog prosjeka (s brojem čvorova po vlastitom nahođenju). Pokušajte koristiti nekoliko različitih vrijednosti čvorova. Za određivanje optimalnih težina koristite alat Find Solution.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja. Pomoću alata Solution Finder pronađite optimalnu vrijednost parametra α.

Koju biste od gore predloženih metoda predviđanja preporučili za predviđanje vrijednosti ove vremenske serije?

Književnost

Povezane informacije.

04/02/2011 – Čovjekova želja da podigne veo budućnosti i predvidi tijek događaja ima dugu povijest kao i njegovi pokušaji da shvati svijet. Očito je da se zanimanje za predviđanje temelji na dosta jakim životnim motivima (teorijskim i praktičnim). Prognoza djeluje kao najvažnija metoda testiranje znanstvenih teorija i hipoteza. Sposobnost predviđanja budućnosti sastavni je aspekt svijesti bez kojeg bi sam ljudski život bio nemoguć.

Koncept "predviđanja" (od grčke prognoze - predviđanje, predviđanje) znači proces razvijanja vjerojatnosne prosudbe o stanju bilo kojeg fenomena ili procesa u budućnosti, to je znanje o onome što još ne postoji, ali što može dogoditi u bližoj ili daljoj budućnosti.

Prognoza je po svom sadržaju složenija od predviđanja. S jedne strane, odražava najvjerojatnije stanje objekta, as druge, određuje načine i sredstva za postizanje željenog rezultata. Na temelju informacija dobivenih predviđanjem za postizanje željenog cilja donose se određene odluke.

Treba napomenuti da je dinamika ekonomskih procesa u modernim uvjetima karakterizira nestabilnost i neizvjesnost, što otežava korištenje tradicionalnih metoda predviđanja.

Eksponencijalno izglađivanje i modeli predviđanja pripadaju klasi adaptivnih metoda predviđanja, čija je glavna karakteristika sposobnost kontinuiranog uzimanja u obzir evolucije dinamičkih karakteristika procesa koji se proučavaju, prilagođavanja toj dinamici, dajući posebno veću težinu i veća vrijednost informacija dostupnim opažanjima, što su bliže trenutni trenutak vrijeme. Značenje pojma je da adaptivno predviđanje omogućuje ažuriranje prognoza uz minimalno kašnjenje i korištenjem relativno jednostavnih matematičkih postupaka.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja neovisno je otkrivena Smeđa(Brown R.G. Statističko predviđanje za kontrolu zaliha, 1959.) i Holtom(Holt C.C. Predviđanje sezonskih i trendova pomoću eksponencijalno ponderiranih pomičnih prosjeka, 1957.). Eksponencijalno izglađivanje, poput metode pomičnog prosjeka, koristi prošle vrijednosti vremenske serije za izradu prognoze.

Bit metode eksponencijalnog izglađivanja je da se vremenska serija izglađuje pomoću ponderiranog pomičnog prosjeka, u kojem se težine pokoravaju eksponencijalnom zakonu. Ponderirani pomični prosjek s eksponencijalno raspodijeljenim težinama karakterizira vrijednost procesa na kraju intervala izravnavanja, tj. prosječna karakteristika posljednje razine red. To je svojstvo koje se koristi za predviđanje.

Konvencionalno eksponencijalno izglađivanje koristi se kada u podacima nema trenda ili sezonskosti. U ovom slučaju, prognoza je ponderirani prosjek svih dostupnih prethodnih vrijednosti serije; težine se geometrijski smanjuju tijekom vremena kako se krećemo u prošlost (unatrag). Stoga (za razliku od metode pomičnog prosjeka) ne postoji točka u kojoj se težine lome, odnosno idu na nulu. Pragmatički jasan model jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja može se napisati na sljedeći način (sve formule članka možete preuzeti s navedene poveznice):

Pokažimo eksponencijalnu prirodu smanjenja pondera vrijednosti vremenske serije - od tekućeg do prethodnog, od prethodnog do prethodnog, i tako dalje:

Ako se formula primjenjuje rekurzivno, tada se svaka nova izglađena vrijednost (koja je ujedno i prognoza) izračunava kao ponderirani prosjek trenutnog opažanja i izglađene serije. Očito, rezultat izglađivanja ovisi o parametru prilagodbe alfa. Može se tumačiti kao diskontni faktor koji karakterizira mjeru devalvacije podataka po jedinici vremena. Štoviše, utjecaj podataka na prognozu eksponencijalno opada sa "starošću" podataka. Ovisnost utjecaja podataka na prognozu pri različite koeficijente alfa prikazano je na slici 1.

Slika 1. Ovisnost utjecaja podataka na prognozu za različite koeficijente prilagodbe

Treba napomenuti da vrijednost parametra izglađivanja ne može biti jednaka 0 ili 1, jer se u ovom slučaju odbacuje sama ideja eksponencijalnog izglađivanja. Dakle, ako alfa jednako 1, zatim predviđena vrijednost F t+1 poklapa se s trenutnom vrijednošću niza Xt, dok eksponencijalni model teži najjednostavnijem „naivnom“ modelu, odnosno u ovom slučaju predviđanje je apsolutno trivijalan proces. Ako alfa jednaka 0, tada je početna predviđena vrijednost F 0 (početna vrijednost) istovremeno će biti prognoza za sve sljedeće trenutke niza, odnosno prognoza će u ovom slučaju izgledati kao obična vodoravna linija.

Međutim, razmotrimo opcije za parametar izglađivanja koje su blizu 1 ili 0. Dakle, ako alfa blizu 1, tada se prethodna opažanja vremenske serije gotovo potpuno zanemaruju. Ako alfa blizu 0, tada se trenutna promatranja zanemaruju. Vrijednosti alfa između 0 i 1 dati između točne rezultate. Prema nizu autora, optimalna vrijednost alfa je u rasponu od 0,05 do 0,30. Međutim ponekad alfa, veći od 0,30 daje bolju prognozu.

Općenito, bolje je procijeniti optimalno alfa na temelju izvornih podataka (pomoću pretraživanja mreže), umjesto korištenja umjetnih preporuka. Međutim, ako vrijednost alfa, veći od 0,3, minimizira niz posebnih kriterija, što ukazuje da druga tehnika predviđanja (koristeći trend ili sezonalnost) može dati još preciznije rezultate. Da biste pronašli optimalnu vrijednost alfa(tj. minimiziranje posebnih kriterija). kvazi-Newtonov algoritam maksimizacije vjerojatnosti(vjerojatnosti), što je učinkovitije od konvencionalnog pretraživanja mreže.

Prepišimo jednadžbu (1) kao alternativu koja nam omogućuje da procijenimo kako model eksponencijalnog izglađivanja "uči" iz svojih prošlih pogrešaka:

Iz jednadžbe (3) jasno se vidi da je prognoza za razdoblje t+1 podložno promjenama prema gore ako stvarna vrijednost vremenske serije premašuje razdoblje t iznad prognozirane vrijednosti i, obrnuto, prognoze za razdoblje t+1 treba smanjiti ako X t manje od Ft.

Imajte na umu da kada koristite metode eksponencijalnog izglađivanja važno pitanje uvijek je određivanje početnih uvjeta (početna predviđena vrijednost F 0). Proces odabira početne vrijednosti izglađene serije naziva se inicijalizacija ( inicijaliziranje), ili, inače, "zagrijavanje" (" zagrijavanje") modeli. Činjenica je da početna vrijednost izglađenog procesa može značajno utjecati na prognozu za naknadna promatranja. S druge strane, utjecaj izbora opada s duljinom niza i postaje nekritičan kada je broj promatranja vrlo velik. Brown je prvi predložio korištenje prosjeka vremenske serije kao početne vrijednosti. Drugi autori predlažu korištenje prve stvarne vrijednosti vremenske serije kao početne prognoze.

Sredinom prošlog stoljeća Holt je predložio proširenje modela jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja uključivanjem faktora rasta ( faktor rasta), ili inače trend ( faktor trenda). Kao rezultat, Holtov model se može napisati na sljedeći način:

Ova metoda omogućuje vam da uzmete u obzir prisutnost linearnog trenda u podacima. Kasnije su predložene druge vrste trendova: eksponencijalni, prigušeni itd.

Zime predložio poboljšanje Holtovog modela sa stajališta mogućnosti opisivanja utjecaja sezonskih čimbenika (Winters P.R. Predviđanje prodaje pomoću eksponencijalno ponderiranih pomičnih prosjeka, 1960.).

Konkretno, dodatno je proširio Holtov model uključivanjem dodatne jednadžbe koja opisuje ponašanje sezonska komponenta(komponenta). Sustav jednadžbi Wintersovog modela je sljedeći:

Razlomak u prvoj jednadžbi služi za uklanjanje sezonalnosti iz izvorne serije. Nakon isključivanja sezonalnosti (koristeći metodu sezonske dekompozicije Popisja) algoritam radi s "čistim" podacima u kojima nema sezonskih fluktuacija. Oni se pojavljuju već u samoj konačnoj prognozi (15), kada se „čista“ prognoza, izračunata gotovo po Holtovoj metodi, pomnoži s sezonska komponenta (indeks sezonalnosti).