Metode proračuna. Računalne metode Računalne metode

Nakon što smo raspravljali o nekim važnim značajkama računalnih problema, obratimo pozornost na metode koje se koriste u računskoj matematici za pretvaranje problema u oblik pogodan za implementaciju na računalu i omogućuju nam konstruiranje računalnih algoritama. Ove ćemo metode nazvati računalnima. Uz određeni stupanj konvencije, računalne metode mogu se podijeliti u sljedeće klase: 1) metode ekvivalentnih transformacija; 2)

aproksimacijske metode; 3) izravne (egzaktne) metode; 4) iterativne metode; 5) statističke metode ispitivanja (Monte Carlo metode). Metoda koja izračunava rješenje određenog problema može imati prilično složenu strukturu, ali njeni elementarni koraci su u pravilu implementacija ovih metoda. Dajmo opću ideju o njima.

1. Metode ekvivalentnih transformacija.

Ove vam metode omogućuju da izvorni problem zamijenite drugim koji ima isto rješenje. Izvođenje ekvivalentnih transformacija pokazuje se korisnim ako je novi problem jednostavniji od izvornog ili ima bolja svojstva, ili ako postoji poznata metoda za njegovo rješavanje, a možda čak i gotov program.

Primjer 3.13. Ekvivalentna transformacija kvadratne jednadžbe u oblik (izdvajanje punog kvadrata) svodi problem na problem izračunavanja kvadratnog korijena i dovodi do formule (3.2) poznate po svojim korijenima.

Ekvivalentne transformacije ponekad omogućuju redukciju rješenja izvornog računskog problema na rješenje računalnog problema potpuno drugačijeg tipa.

Primjer 3.14. Problem pronalaženja korijena nelinearne jednadžbe može se svesti na ekvivalentan problem pronalaženja globalne minimalne točke funkcije. Doista, funkcija je nenegativna i postiže svoju minimalnu vrijednost jednaku nuli za one i samo one x za koje

2. Metode aproksimacije.

Ove metode omogućuju aproksimaciju (približavanje) izvornog problema drugom, čije je rješenje u određenom smislu blisko rješenju izvornog problema. Pogreška koja proizlazi iz takve zamjene naziva se pogreška aproksimacije. Problem aproksimacije u pravilu sadrži neke parametre koji vam omogućuju kontrolu vrijednosti pogreške aproksimacije ili utjecaj na druga svojstva problema. Uobičajeno je reći da metoda aproksimacije konvergira ako pogreška aproksimacije teži nuli jer parametri metode teže određenoj graničnoj vrijednosti.

Primjer 3.15. Jedan od najjednostavnijih načina za izračunavanje integrala je aproksimacija integrala na temelju formule pravokutnika s vrijednošću

Korak je ovdje parametar metode. Budući da se radi o integralnom zbroju konstruiranom na poseban način, iz definicije određenog integrala slijedi da za metodu pravokutnika konvergira,

Primjer 3.16. S obzirom na definiciju derivacije funkcije, za njen približni izračun možete koristiti formulu Pogreška aproksimacije ove formule za numeričko diferenciranje teži nuli kada

Jedna od uobičajenih metoda aproksimacije je diskretizacija - aproksimativna zamjena izvornog problema konačnodimenzionalnim problemom, tj. problem čiji se ulazni podaci i željeno rješenje mogu jednoznačno specificirati konačnim skupom brojeva. Za probleme koji nisu konačnodimenzionalni, ovaj korak je neophodan za naknadnu implementaciju na računalu, budući da računalo može raditi samo s konačnim brojem brojeva. Diskretizacija je korištena u gornjim primjerima 3.15 i 3.16. Iako točan izračun integrala uključuje korištenje beskonačnog broja vrijednosti (za sve, njegova približna vrijednost može se izračunati korištenjem konačnog broja vrijednosti u točkama svodi se na približni izračun derivacije u odnosu na dva vrijednosti funkcije.

Pri rješavanju nelinearnih problema naširoko se koriste različite metode linearizacije, koje se sastoje u približnoj zamjeni izvornog problema jednostavnijim linearnim problemima. Primjer 3.17. Neka se zahtijeva približno izračunavanje vrijednosti za na računalu koje može izvesti najjednostavnije aritmetičke operacije. Imajte na umu da je, po definiciji, x pozitivan korijen nelinearne jednadžbe Neka neka poznata aproksimacija za

točka s apscisom Točka presjeka ove tangente s osi daje bolju aproksimaciju od aproksimacije i nalazi se iz linearne jednadžbe Rješavajući je, dobivamo približnu formulu

Na primjer, ako uzmete za tada ćete dobiti rafiniranu vrijednost

Pri rješavanju različitih klasa računskih problema mogu se koristiti različite metode aproksimacije; To uključuje metode regularizacije za rješavanje pogrešno postavljenih problema. Imajte na umu da se metode regularizacije također naširoko koriste za rješavanje loše uvjetovanih problema.

3. Izravne metode.

Metoda rješavanja problema naziva se izravnom ako omogućuje dobivanje rješenja nakon izvođenja konačnog broja elementarnih operacija.

Primjer 3.18. Metoda izračunavanja korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula je izravna metoda. Ovdje se četiri aritmetičke operacije i operacija vađenja kvadratnog korijena smatraju elementarnim.

Imajte na umu da elementarna operacija izravne metode može biti prilično složena (izračun vrijednosti elementarne ili posebne funkcije, rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi, izračun određenog integrala itd.). Činjenica da je uzet kao elementaran implicira, u svakom slučaju, da je njegova implementacija puno jednostavnija od izračunavanja rješenja cjelokupnog problema.

Prilikom konstruiranja izravnih metoda značajna se pažnja posvećuje smanjenju broja elementarnih operacija.

Primjer 3.19 (Hornerova shema). Neka zadatak bude izračunati vrijednost polinoma

zadanim koeficijentima i vrijednošću argumenta x. Ako izračunate polinom izravno pomoću formule (3.12) i nađete ga uzastopnim množenjem s x, tada ćete morati izvesti operacije množenja i operacije zbrajanja.

Mnogo je ekonomičnija metoda proračuna nazvana Hornerova shema. Temelji se na pisanju polinoma u sljedećem ekvivalentnom obliku:

Postavljanje zagrada diktira sljedeći redoslijed izračuna: Ovdje je izračun vrijednosti zahtijevao samo množenje i zbrajanje.

Hornerova shema je zanimljiva po tome što daje primjer metode koja je optimalna s obzirom na broj elementarnih operacija. Općenito, vrijednost se ne može dobiti nijednom metodom kao rezultat izvođenja manjeg broja množenja i zbrajanja.

Ponekad se izravne metode nazivaju egzaktnim, što znači da ako nema pogrešaka u ulaznim podacima i ako su elementarne operacije izvedene točno, rezultat će također biti točan. Međutim, pri implementaciji metode na računalu neizbježna je pojava računske pogreške čija veličina ovisi o osjetljivosti metode na pogreške zaokruživanja. Mnoge izravne (egzaktne) metode razvijene u predstrojnom razdoblju pokazale su se neprikladnima za strojne proračune upravo zbog svoje pretjerane osjetljivosti na pogreške zaokruživanja. Nisu sve egzaktne metode takve, ali vrijedi napomenuti da ne sasvim uspješan izraz "egzaktno" karakterizira svojstva idealne implementacije metode, ali nikako kvalitetu rezultata dobivenog u stvarnim izračunima.

4. Iterativne metode.

To su posebne metode za konstruiranje uzastopnih aproksimacija rješenja problema. Primjena metode počinje odabirom jedne ili više početnih aproksimacija. Da bi se dobila svaka od sljedećih aproksimacija, izvodi se sličan skup radnji koristeći prethodno pronađene aproksimacije - iteracije. Neograničeni nastavak ovog iterativnog procesa teoretski nam omogućuje konstruiranje beskonačnog niza aproksimacija rješenja

redoslijed ponavljanja. Ako ovaj niz konvergira rješenju problema, tada se kaže da iterativna metoda konvergira. Skup početnih aproksimacija za koje metoda konvergira naziva se područjem konvergencije metode.

Imajte na umu da se iterativne metode naširoko koriste u rješavanju širokog spektra problema uz korištenje računala.

Primjer 3.20. Razmotrimo dobro poznatu iterativnu metodu namijenjenu proračunu (gdje je Newtonova metoda. Postavimo proizvoljnu početnu aproksimaciju. Sljedeću aproksimaciju izračunamo pomoću formule izvedene pomoću metode linearizacije u primjeru 3.17 (vidi formulu (3.11)) Nastavljajući ovaj proces dalje, dobivamo iterativni niz u kojem se sljedeća aproksimacija izračunava u smislu rekurzivne formule

Poznato je da ova metoda konvergira za bilo koju početnu aproksimaciju, pa je njezino područje konvergencije skup svih pozitivnih brojeva.

Izračunajmo uz njegovu pomoć vrijednost na -bitnom decimalnom računalu. Postavimo (kao u primjeru 3.17). Tada su daljnji izračuni besmisleni, budući da će zbog ograničene mreže bitova sva sljedeća poboljšanja dati isti rezultat. Međutim, usporedba s točnom vrijednošću pokazuje da je već u trećoj iteraciji dobiveno 6 točnih značajnih znamenki.

Raspravimo neke probleme tipične za iterativne metode (i ne samo za njih) na primjeru Newtonove metode. Iterativne metode su inherentno približne; nijedna od dobivenih aproksimacija nije točna vrijednost rješenja. Međutim, konvergentna iterativna metoda u načelu omogućuje pronalaženje rješenja s bilo kojom zadanom točnošću, stoga se pri primjeni iterativne metode zahtijevana točnost uvijek postavlja i iterativni proces se prekida čim se ona postigne.

Iako je sama činjenica konvergencije metode svakako važna, ona nije dovoljna da bi se metoda preporučila za primjenu u praksi. Ako metoda vrlo sporo konvergira (na primjer, da bi se dobilo rješenje s točnošću od 1%, moraju se izvoditi iteracije), tada je neprikladna za računalne izračune. Praktične su vrijednosti brzo konvergirajuće metode, među koje spada Newtonova metoda (podsjetimo se da je točnost izračuna postignuta u samo tri iteracije). Za teoretsko proučavanje stope konvergencije i uvjeta primjenjivosti iterativnih metoda izvedene su takozvane apriorne procjene pogreške, koje omogućuju izvođenje nekih zaključaka o kvaliteti metode i prije izračuna.

Predstavljamo dvije takve apriorne procjene za Newtonovu metodu. Neka je poznato da su tada za sve i pogreške dviju uzastopnih aproksimacija povezane sljedećom nejednakošću:

Ovdje je vrijednost koja karakterizira relativnu pogrešku aproksimacije. Ova nejednakost ukazuje na vrlo visoku kvadratnu stopu konvergencije metode: u svakoj iteraciji, "greška" je na kvadrat. Ako se izrazi u smislu pogreške početne aproksimacije, tada se dobiva nejednakost

od koje je uloga dobrog izbora početne aproksimacije. Što je vrijednost manja, metoda će brže konvergirati.

Praktična implementacija iterativnih metoda uvijek je povezana s potrebom odabira kriterija završetka za iterativni proces. Izračuni se ne mogu nastaviti beskonačno i moraju se prekinuti u skladu s nekim kriterijem koji se odnosi, na primjer, na postizanje zadane točnosti. Korištenje apriornih procjena u tu svrhu najčešće se pokaže nemogućim ili neučinkovitim. Kvalitativno ispravno opisujući ponašanje metode, takve su procjene precijenjene i daju vrlo nepouzdane kvantitativne informacije. Često apriorne procjene sadrže nepoznanice

količine (npr. procjene (3.14), (3.15) sadrže količinu a), ili impliciraju prisutnost i ozbiljnu upotrebu nekih dodatnih informacija o rješenju. Najčešće takve informacije nisu dostupne, a njihovo dobivanje povezano je s potrebom rješavanja dodatnih problema, često složenijih od izvornih.

Za formiranje kriterija prekida nakon postizanja zadane točnosti u pravilu se koriste takozvane aposteriorne procjene pogreške - nejednakosti u kojima se vrijednost pogreške procjenjuje preko poznatih ili dobivenih vrijednosti tijekom računskog procesa. Iako se takve procjene ne mogu koristiti prije početka izračuna, one omogućuju davanje specifične kvantitativne procjene pogreške tijekom procesa izračuna.

Na primjer, za Newtonovu metodu (3.13) vrijedi sljedeća aposteriorna procjena:

S. Ulam koristio je slučajne brojeve za računalnu simulaciju ponašanja neutrona u nuklearnom reaktoru. Ove metode bi se mogle pokazati neophodnima za modeliranje velikih sustava, ali njihov detaljan prikaz uključuje značajnu upotrebu aparata teorije vjerojatnosti i matematičke statistike i izvan je dosega ove knjige.

Prikaz početnih podataka u problemu i njegovo rješenje - kao broj ili skup brojeva

U sustavu obrazovanja inženjera tehničkih specijalnosti važna je komponenta.

Osnove računskih metoda su:

rješavanje sustava linearnih jednadžbi
interpolacija i aproksimativni izračun funkcija
numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi
numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (jednadžbi matematičke fizike)
rješavanje problema optimizacije

vidi također

Bilješke

Književnost

Kalitkin N. N. Numeričke metode. M., Znanost, 1978
Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. "Računalne metode za inženjere", 1994.
Fletcher K "Računalne metode u dinamici fluida", ur. Mir, 1991., 504 str
E. Alekseev "Rješenje problema računalne matematike u paketima Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9", 2006., 496 str.
Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. "Numeričke metode za rješavanje pogrešno postavljenih problema" (1990.)
Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Loše postavljeni problemi. Numeričke metode i primjene, ur. Moscov University Press, 1989
N. N. Kalitkin, A. B. Alšin, E. A. Alšina, V. B. Rogov. Računanje na kvaziuniformnim mrežama. Moskva, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 str.
Yu. Ryzhikov "Računalne metode" ed. BHV, 2007., 400 str., ISBN 978-5-9775-0137-8
Računalne metode u primijenjenoj matematici, Međunarodni časopis, ISSN 1609-4840

Linkovi

Znanstveni časopis “Računalne metode i programiranje. Nove računalne tehnologije»

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Računalna matematika i matematička fizika
Računalni cjevovod

Pogledajte što je "računske metode" u drugim rječnicima:

Metode elektroanalitičke kemije- Sadržaj 1 Metode elektroanalitičke kemije 2 Uvod 3 Teorijski dio ... Wikipedia

Metode kodiranja digitalnih signala- U ovom članku nedostaju poveznice na izvore informacija. Informacije moraju biti provjerljive, inače mogu biti dovedene u pitanje i uklonjene. Možete ... Wikipedia

NUMERIČKE METODE DINAMIKE PLINOVA- metode rješavanja problema plinske dinamike temeljene na računalnim algoritmima. Razmotrimo glavne aspekte teorije numeričkih metoda za rješavanje problema dinamike plina, pisanje jednadžbi dinamike plina u obliku zakona očuvanja u inercijskoj ... ... Matematička enciklopedija

DIFUZIJSKE METODE- metode rješavanja kinetičkih. jednadžbe za transport neutrona (ili drugih čestica) koje modificiraju jednadžbe aproksimacije difuzije. Budući da difuzijska aproksimacija daje ispravan oblik asimptotike rješavanje transportne jednadžbe (daleko od izvora i ... ... Matematička enciklopedija

METODE MINIMIZACIJE RAVAGE FUNKCIJA- Numeričke metode određivanja minimuma funkcija više varijabli. Neka je dana funkcija, ograničena odozdo, dvaput kontinuirano diferencijabilna u svojim argumentima, za koju je poznato da je za određeni vektor (transpozicijski znak) potrebno ... ... Matematička enciklopedija

GOST R 53622-2009: Informacijske tehnologije. Informacijski i računalni sustavi. Faze i faze životnog ciklusa, vrste i cjelovitost dokumenata- Terminologija GOST R 53622 2009: Informacijska tehnologija. Informacijski računalni sustavi. Faze i stupnjevi životnog ciklusa, vrste i potpunost dokumenata izvorni dokument: 3.1 hardverska i softverska platforma: jedan skup alata ... ...

Aplikativni računalni sustavi- Aplikativni računalni sustavi ili ABC uključuju sustave objektnog računa temeljene na kombinatornoj logici i lambda računu. Jedino što je bitno razvijeno u tim sustavima je reprezentacija objekta. U ... ... Wikipediji

GOST 24402-88: Daljinska obrada podataka i računalne mreže. Pojmovi i definicije- Terminologija GOST 24402 88: Teleprocesiranje podataka i računalne mreže. Pojmovi i definicije izvorni dokument: VRSTE SUSTAVA I MREŽA 90. Sustav za obradu podataka pretplatnika Sustav pretplatnika Sustav za obradu podataka, ... ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

ST SEV 4291-83: Računalni strojevi i sustavi za obradu podataka. Paketi magnetskih diskova kapaciteta 100 i 200 MB. Tehnički zahtjevi i metode ispitivanja- Terminologija ST SEV 4291 83: Računalni strojevi i sustavi za obradu podataka. Paketi magnetskih diskova kapaciteta 100 i 200 MB. Tehnički zahtjevi i metode ispitivanja: 8. Amplituda signala s informacijske površine VTAA Usrednjavanje po cijelom ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Geofizičke metode istraživanja- proučavanje građe zemljine kore fizikalnim metodama u svrhu traženja i istraživanja minerala; istražna geofizika je sastavni dio geofizike (Vidi Geofizika). G. m. na temelju proučavanja fizičkih polja ... ... Velika sovjetska enciklopedija

knjige

Računske metode. Udžbenik, Amosov Andrej Avenirovich, Dubininsky Julius Andreevich, Kopchenova Natalya Vasilievna. U knjizi se govori o računalnim metodama koje se najčešće koriste u praksi primijenjenih i znanstveno-tehničkih proračuna: metode rješavanja problema linearne algebre, nelinearnih jednadžbi, ...

Na temelju pojmova determinante drugog i trećeg reda možemo na sličan način uvesti koncept determinante reda n. Determinante reda višeg od trećeg izračunavaju se, u pravilu, pomoću svojstava determinanti formuliranih u odjeljku 1.3., koja vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Koristeći svojstvo determinanti broj 9 0, uvodimo definiciju determinante 4. reda:

Primjer 2 Izračunajte pomoću odgovarajućeg proširenja.

Slično se uvodi i pojam odrednice 5., 6. itd. narudžba. Dakle, determinanta reda n je:

Sva ranije razmatrana svojstva determinanti 2. i 3. reda vrijede i za determinante n-tog reda.

Razmotrite glavne metode za izračunavanje determinanti n-ti red.

Komentar: prije primjene ove metode korisno je, koristeći osnovna svojstva determinanti, postaviti na nulu sve osim jednog elementa određenog retka ili stupca. (Učinkovita metoda smanjenja narudžbi)

Metoda svođenja na trokutasti oblik sastoji se u takvoj transformaciji determinante, kada svi njezini elementi koji leže s jedne strane glavne dijagonale postaju jednaki nuli. U ovom slučaju determinanta je jednaka umnošku elemenata njegove glavne dijagonale.

Primjer 3 Izračunaj svođenjem na oblik trokuta.

Primjer 4 Izračunajte metodom efektivnog smanjenja narudžbe

Rješenje: prema svojstvu 4 0 determinanti, faktor 10 ćemo izbaciti iz prvog retka, a zatim ćemo drugi redak redom pomnožiti s 2, s 2, s 1 i zbrojiti redom s prvim, trećim i četvrti redovi (svojstvo 8 0).

Dobivenu determinantu možemo rastaviti na elemente prvog stupca. Ona će se svesti na determinantu trećeg reda, koja se izračunava prema Sarrusovom (trokut) pravilu.

Primjer 5 Izračunajte determinantu svođenjem na oblik trokuta.

Primjer 3 Izračunajte pomoću rekurentnih odnosa.

Predavanje 4. Inverzna matrica. Rang matrice.

1. Pojam inverzne matrice

Definicija 1. Kvadrat matrica A reda n naziva se nedegeneriran, ako je njegova odrednica | A| ≠ 0. U slučaju kada | A| = 0, naziva se matrica A degenerirati.

Samo za kvadratne nesingularne matrice A uvodi se pojam inverzne matrice A -1.

Definicija 2 . Matrica A -1 se zove obrnuti za kvadratnu nesingularnu matricu A, ako je A -1 A = AA -1 = E, gdje je E matrica identiteta reda n.

Definicija 3 . Matrica nazvao u prilogu, njegovi elementi su algebarski komplementi transponirana matrica
.

Algoritam za izračunavanje inverzne matrice metodom adjungirane matrice.

, gdje
.

Provjeravamo ispravnost izračuna A -1 A \u003d AA -1 \u003d E. (E je matrica identiteta)

Matrice A i A -1 recipročan. Ako a | A| = 0, tada inverzna matrica ne postoji.

Primjer 1 Dana je matrica A. Uvjerite se da nije singularna i pronađite inverznu matricu
.

Riješenje:
. Dakle, matrica je nedegenerirana.

Nađimo inverznu matricu. Sastavimo algebarske komplemente elemenata matrice A.

Dobivamo

.

Odrednice

Pojam determinante

Bilo kojoj kvadratnoj matrici n-tog reda može se pridružiti broj tzv odrednica (odrednica) matrice A i označava se na sljedeći način: , ili , ili detalj A.

Determinanta matrice prvog reda, ili determinanta prvog reda, je element

Odrednica drugog reda(determinanta matrice drugog reda) izračunava se na sljedeći način:

Riža. Shema za izračunavanje determinante drugog reda

Dakle, determinanta drugog reda je zbroj 2=2! pojmova, od kojih je svaki proizvod 2 faktora - elementa matrice A, po jedan iz svakog retka i svakog stupca. Jedan od pojmova uzet je sa znakom “+”, drugi sa znakom “-”.

Nađi determinantu

Determinanta trećeg reda (determinanta kvadratne matrice trećeg reda) dana je sa:

Dakle, determinanta trećeg reda je zbroj 6=3! pojmova, od kojih je svaki proizvod 3 faktora - elementa matrice A, po jedan iz svakog retka i svakog stupca. Jedna polovica pojmova uzima se sa znakom “+”, druga polovica sa znakom “-”.

Glavna metoda za izračunavanje determinante trećeg reda je tzv pravilo trokuta (Sarrusovo pravilo): prvi od tri člana uključena u zbroj sa znakom "+" je umnožak elemenata glavne dijagonale, drugi i treći su umnošci elemenata koji se nalaze na vrhovima dvaju trokuta. s bazama paralelnim s glavnom dijagonalom; tri člana uključena u zbroj sa znakom "-" definiraju se na sličan način, ali s obzirom na drugu (sporednu) dijagonalu. Ispod su 2 sheme za izračunavanje determinanti trećeg reda

Riža. Sheme za izračunavanje determinanti 3. reda

Pronađite odrednicu:

Determinanta kvadratne matrice n-tog reda (n 4) izračunava se pomoću svojstava determinanti.

Osnovna svojstva determinanti. Metode izračuna determinanti

Matrične determinante imaju sljedeća glavna svojstva:

1. Determinanta se ne mijenja kada se matrica transponira.

2. Ako se u determinanti izmijene dva retka (ili stupca), tada će determinanta promijeniti predznak.

3. Determinanta s dva proporcionalna (osobito jednaka) retka (stupca) jednaka je nuli.

4. Ako se redak (stupac) u determinanti sastoji od nula, tada je determinanta jednaka nuli.

5. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg retka (ili stupca) može se izbaciti iz predznaka determinante.

6. Determinanta se ne mijenja ako se svi elementi jednog retka (ili stupca) zbroje s odgovarajućim elementima drugog retka (ili stupca) pomnoženim s istim brojem.

7. Determinanta dijagonalne i trokutaste (gornje i donje) matrice jednaka je umnošku dijagonalnih elemenata.

8. Determinanta umnoška kvadratnih matrica jednaka je umnošku njihovih determinanti.

Metodičke upute studentima 1. godine

Bazey Alexander Anatolievich

Odesa 2008

KNJIŽEVNOST

1 Hemming R.W. Numeričke metode za znanstvenike i inženjere. – M.: Nauka, 1968. – 400 str.

2 Blažko S.N. Tečaj sferne astronomije. - Moskva, Lenjingrad, OGIZ, 1948. - 416 str.

3 Shchigolev B.M. Matematička obrada opažanja. – M.: Nauka, 1969. – 344 str.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Računske metode. - M.: Nauka, 1977. Svezak I, Svezak II - 400 str.

5 Hudson D. Statistika za fizičare. – M.: Mir, 1967. – 244 str.

6. Berman G.N. Prihvaćanje računa. - Moskva, 1953. - 88 str.

7. Rumshinsky L.Z. Matematička obrada rezultata pokusa. - Moskva, Nauka 1971. - 192 str.

8. Kalitkin N.N. Numeričke metode. - Moskva, Nauka 1978. - 512 str.

9. Filchakov P.F. Numeričke i grafičke metode primijenjene matematike. - Kijev, "Naukova Dumka", 1970. - 800 str.

10. Fikhtengolts G.M. Tečaj diferencijalnog i integralnog računa, v.1-3. - Moskva, Nauka 1966.

Približni izračuni 2

O spletkarenju

Zaglađivanje 10

Približavanje 12

Ravnanje (linearizacija) 13

Metoda najmanjeg kvadrata 15

Interpolacija 24

Lagrangeov interpolacijski polinom 26

Rezidualni član Lagrangeove formule 29

Newtonov interpolacijski polinom za varijabilni korak tablice 30

Interpolacija tablice s konstantnim korakom 34

Stirling, Bessel, Newton interpolacijski polinomi 37

Interpolacija preko tablice funkcija dvaju argumenata 42

Diferencijacija tablice 44

Numeričko rješavanje jednadžbi 46

Dihotomija (metoda bisekcije) 46

Metoda jednostavne iteracije 47

Newtonova metoda 50

Pronalaženje minimuma funkcije jedne varijable 51

Metoda zlatnog reza 51

Metoda parabole 54

Izračunavanje određenog integrala 56

Trapezoidna formula 59

Formula prosjeka ili formula pravokutnika 61

Simpsonova formula 62

Rješenje običnih diferencijalnih jednadžbi. Cauchyjev problem 64

Klasična Eulerova metoda 66

Pročišćena Eulerova metoda 67

Prognoza i metoda korekcije 69

Runge-Kutta metode 71

Harmonijska analiza 74

Ortogonalni sustavi funkcija 78

Metoda 12 ordinatira 79

PRIBLIŽNI IZRAČUNI

Riješimo jednostavan problem. Recimo da student živi na udaljenosti od 1247 m od stanice. Vlak polazi u 17:38. Koliko dugo prije polaska vlaka učenik mora otići od kuće ako mu je prosječna brzina 6 km/h?

Rješenje dobivamo odmah:

No, rijetko tko bi se zapravo poslužio ovim matematički egzaktnim rješenjem, a evo i zašto. Izračuni su savršeno točni, ali je li udaljenost do stanice točno izmjerena? Je li uopće moguće izmjeriti putanju pješaka bez greške? Može li se pješak kretati po strogo određenoj liniji u gradu punom ljudi i automobila koji se kreću u svim mogućim smjerovima? A brzina od 6 km/h - je li određena apsolutno točno? I tako dalje.

Sasvim je jasno da će svi u ovom slučaju dati prednost ne “matematičkom egzaktnom”, već “praktičnom” rješenju ovog problema, odnosno procijenit će da je potrebno 12-15 minuta hoda i dodati još nekoliko minuta za jamstvo.

Zašto onda računati sekunde i njihove razlomke i težiti takvom stupnju točnosti koji se ne može koristiti u praksi?

Matematika je egzaktna znanost, ali sam koncept "točnosti" zahtijeva pojašnjenje. Da biste to učinili, morate započeti s pojmom broja, budući da točnost rezultata izračuna uvelike ovisi o točnosti brojeva, o pouzdanosti početnih podataka.

Tri su izvora dobivanja brojeva: brojanje, mjerenje i izvođenje raznih matematičkih operacija

Ako je broj predmeta koji se broje mali i ako je konstantan u vremenu, tada ćemo dobiti apsolutno točno rezultate. Na primjer, na ruci je 5 prstiju, u kutiji 300 ležajeva. Drugačija je situacija kada kažu: u Odesi je 1979. bilo 1.000.000 stanovnika. Jer ljudi se rađaju i umiru, dolaze i odlaze; njihov broj se stalno mijenja čak i za vrijeme u kojem je izračun završen. Ono što se stvarno misli je da je bilo oko 1 000 000 stanovnika, možda 999 125, ili 100 1263, ili neki drugi broj blizu 1 000 000. U ovom slučaju, 1 000 000 daje približan broj stanovnika grada.

Bilo kakvo mjerenje nije moguće napraviti apsolutno točno. Svaki uređaj daje neku vrstu pogreške. Osim toga, dva promatrača mjereći istu veličinu istim instrumentom obično postižu nešto različite rezultate, dok je potpuno slaganje rezultata rijedak izuzetak.

Čak i tako jednostavan mjerni uređaj kao što je ravnalo ima "pogrešku uređaja" - rubovi i ravnine ravnala donekle se razlikuju od idealnih ravnih linija i ravnina, potezi na ravnalu ne mogu se primijeniti na apsolutno jednakim udaljenostima, a sami potezi imaju određenu debljinu; tako da pri mjerenju ne možemo dobiti rezultate točnije od debljine poteza.

Ako ste izmjerili duljinu stola i dobili vrijednost od 1360,5 mm, to uopće ne znači da je duljina stola točno 1360,5 mm - ako ovaj stol mjeri drugi ili ponovite mjerenje, tada možete dobiti vrijednost i 1360,4 mm i 1360,6 mm. Broj 1360,5 mm izražava duljinu stola približno.

Također nije moguće sve matematičke operacije izvesti bez pogrešaka. Izvadite korijen, pronađite sinus ili logaritam, čak ni dijeljenje nije uvijek apsolutno točno.

Sva mjerenja bez iznimke dovode do približnih vrijednosti izmjerenih veličina. U nekim slučajevima mjerenja se provode grubo, tada se dobivaju velike pogreške, pažljivim mjerenjima pogreške su manje. Nikada se ne postiže apsolutna točnost mjerenja.

Razmotrimo sada drugu stranu pitanja. Je li u praksi potrebna apsolutna točnost i koja je vrijednost približnog rezultata?

Pri proračunu dalekovoda ili plinovoda nitko neće odrediti udaljenost između nosača do najbližeg milimetra ili promjer cijevi do najbližeg mikrona. U strojarstvu i graditeljstvu svaki detalj ili konstrukciju moguće je izraditi samo unutar određene točnosti, koja je određena tzv. tolerancijama. Ta se odstupanja kreću od dijelova mikrona do milimetara i centimetara, ovisno o materijalu, veličini i namjeni dijela ili strukture. Stoga, za određivanje dimenzija dijela, nema smisla provoditi izračune s točnošću većom od one koja je potrebna.

1) Početni podaci za izračune u pravilu imaju pogreške, odnosno približni su;

2) Ove greške, često povećane, prelaze u rezultate izračuna. Ali praksa ne zahtijeva točne podatke, već se zadovoljava rezultatima s određenim dopuštenim pogreškama, čija veličina mora biti unaprijed određena.

3) Neophodnu točnost rezultata moguće je osigurati samo kada su početni podaci dovoljno točni i kada su uzete u obzir sve pogreške koje donose sami izračuni.

4) Izračune s približnim brojevima potrebno je izvesti približno, nastojeći postići minimalni utrošak rada i vremena pri rješavanju problema.

Obično, u tehničkim izračunima, margina pogreške je između 0,1 i 5%, ali u znanstvenim stvarima, može se smanjiti na tisućinke postotka. Primjerice, prilikom lansiranja prvog umjetnog satelita Mjeseca (31. ožujka 1966.) trebalo je osigurati brzinu lansiranja od oko 11 200 m/s s točnošću od nekoliko centimetara u sekundi kako bi satelit ušao u cirkumjesečeva, a ne cirkumsolarna orbita.

Štoviše, primijetite da su pravila aritmetike izvedena pod pretpostavkom da su svi brojevi točni. Dakle, ako se s približnim brojevima računa kao s točnim brojevima, stvara se opasan i štetan dojam točnosti tamo gdje je zapravo nema. Prava znanstvena, a posebno matematička preciznost sastoji se upravo u ukazivanju na prisutnost gotovo uvijek neizbježnih pogrešaka i određivanju njihovih granica.