24.1. Pojam funkcijskog diferencijala

Neka funkcija y=ƒ(x) ima derivaciju različitu od nule u točki x.

Tada, prema teoremu o povezanosti funkcije, njene granice i beskonačno male funkcije, možemo pisati D y / D x \u003d ƒ "(x) + α, gdje je α → 0 za ∆x → 0, ili ∆y \u003d ƒ" (x) ∆h+α ∆h.

Dakle, prirast funkcije ∆u je zbroj dva člana ƒ "(h) ∆h i a ∆h, koji su infinitezimalni pri ∆x→0. U ovom slučaju, prvi član je beskonačno mala funkcija funkcije isti redoslijed s ∆h, jer a drugi član je beskonačno mala funkcija višeg reda od ∆x:

Stoga se prvi član ƒ "(x) ∆x naziva glavni dio prirasta funkcije ∆u.

funkcija diferencijal y \u003d ƒ (x) u točki x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak proizvodu derivacije funkcije i prirasta argumenta, a označava se du (ili dƒ (x)):

dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24.1)

Također se naziva i diferencijal du diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, odnosno diferencijal funkcije y=x.

Kako je y"=x"=1, onda prema formuli (24.1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.

Stoga se formula (24.1) može napisati na sljedeći način:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (24.2)

drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je umnošku derivacije te funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Iz formule (24.2) slijedi jednakost dy / dx \u003d ƒ "(x). Sada oznaka

derivacija dy/dx može se promatrati kao omjer diferencijala dy i dx.

<< Пример 24.1

Nađite diferencijal funkcije ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Rješenje: Prema formuli dy \u003d ƒ "(x) dx nalazimo

dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

Pronađite diferencijal funkcije

Izračunajte dy pri x=0, dx=0,1.

Riješenje:

Zamjenom x=0 i dx=0,1 dobivamo

24.2. Geometrijsko značenje diferencijala funkcije

Otkrijmo geometrijsko značenje diferencijala.

Da bismo to učinili, nacrtamo tangentu MT na graf funkcije y \u003d ƒ (x) u točki M (x; y) i razmotrimo ordinatu ove tangente za točku x + ∆x (vidi sl. 138 ). Na slici ½ AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Iz pravokutnog trokuta MAB imamo:

Ali, prema geometrijskom značenju derivacije, tga \u003d ƒ "(x). Prema tome, AB \u003d ƒ" (x) ∆x.

Uspoređujući dobiveni rezultat s formulom (24.1), dobivamo dy=AB, tj. diferencijal funkcije y=ƒ(x) u točki x jednak je prirastu ordinate tangente na graf funkcije u ovoj točki, kada x dobije prirast ∆x.

Ovo je geometrijsko značenje diferencijala.

24.3 Temeljni diferencijalni teoremi

Glavne teoreme o diferencijalima lako je dobiti korištenjem odnosa između diferencijala i derivacije funkcije (dy=f"(x)dx) i odgovarajućih teorema o derivacijama.

Na primjer, budući da je derivacija funkcije y \u003d c jednaka nuli, tada je diferencijal konstantne vrijednosti jednak nuli: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.

Teorem 24.1. Diferencijal zbroja, umnoška i kvocijenta dviju diferencijabilnih funkcija definiran je sljedećim formulama:

Dokažimo, na primjer, drugu formulu. Po definiciji diferencijala imamo:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teorem 24.2. Diferencijal složene funkcije jednak je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na posredni argument i diferencijala tog posrednog argumenta.

Neka su y=ƒ(u) i u=φ(x) dvije diferencijabilne funkcije koje tvore složenu funkciju y=ƒ(φ(x)). Po teoremu o izvodu složene funkcije može se pisati

y" x = y" u u" x .

Množenjem oba dijela ove jednakosti s dx, saznajemo y "x dx \u003d y" u u "x dx. Ali y" x dx \u003d dy i u "x dx \u003d du. Stoga se posljednja jednakost može prepisati kao slijedi:

dy=y" u du.

Uspoređujući formule dy=y "x dx i dy=y" u du, vidimo da je prvi diferencijal funkcije y=ƒ(x) određen istom formulom, bez obzira je li njen argument nezavisna varijabla ili je funkcija drugog argumenta.

Ovo svojstvo diferencijala naziva se nepromjenjivost (invarijantnost) oblika prvog diferencijala.

Formula dy \u003d y "x dx po izgledu se podudara s formulom dy \u003d y" u du, ali postoji temeljna razlika između njih: u prvoj formuli x je nezavisna varijabla, dakle, dx \u003d ∆x, u drugoj formuli i postoji funkcija od x, pa je, općenito govoreći, du≠∆u.

Uz pomoć definicije diferencijala i temeljnih teorema o diferencijalima, lako je transformirati tablicu derivacija u tablicu diferencijala.

Na primjer: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Diferencijalna tablica

24.5. Primjena diferencijala na aproksimativne izračune

Kao što je već poznato, priraštaj ∆u funkcije y=ƒ(h) u točki x može se prikazati kao ∆u=ƒ"(h) ∆h+α ∆h, gdje je α→0 kao ∆h→0, ili dy+α ∆x Odbacivanjem infinitezimalnog α ∆x višeg reda od ∆x, dobivamo približnu jednakost

∆u≈dy, (24.3)

štoviše, ova je jednakost to točnija što je ∆x manji.

Ova nam jednakost omogućuje približno izračunavanje prirasta bilo koje diferencijabilne funkcije s velikom točnošću.

Diferencijal se obično nalazi mnogo lakše nego priraštaj funkcije, pa se formula (24.3) naširoko koristi u računskoj praksi.

<< Пример 24.3

Odredite približnu vrijednost prirasta funkcije y \u003d x 3 -2x + 1 za x \u003d 2 i ∆x \u003d 0,001.

Rješenje: Primjenjujemo formulu (24.3): ∆u≈dy=(h 3 -2h+1)" ∆h=(3h 2 -2) ∆h.

Dakle, ∆u» 0,01.

Pogledajmo koja je pogreška napravljena izračunavanjem diferencijala funkcije umjesto njenog prirasta. Da bismo to učinili, nalazimo ∆u:

∆y \u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);

Apsolutna pogreška aproksimacije jednaka je

|∆u-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Zamjenom u jednakost (24.3) vrijednosti ∆u i dy, dobivamo

ƒ(h+∆h)-ƒ(h)≈ƒ"(h)∆h

ƒ(h+∆h)≈ƒ(h)+ƒ"(h) ∆h. (24.4)

Formula (24.4) služi za izračunavanje približnih vrijednosti funkcija.

<< Пример 24.4

Izračunajte približno arctg(1,05).

Rješenje: Promotrimo funkciju ƒ(h)=arctgx. Prema formuli (24.4) imamo:

arctg(x+∆h)≈arctgx+(arctgx)" ∆h,

tj.

Kako je x+∆x=1,05, onda za x=1 i ∆x=0,05 dobivamo:

Može se pokazati da apsolutna pogreška formule (24.4) ne prelazi vrijednost M (∆x) 2, gdje je M najveća vrijednost |ƒ"(x)| na segmentu [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Koliki će put prijeći tijelo u slobodnom padu na Mjesecu za 10,04 s od početka pada. Jednadžba slobodnog pada tijela

H \u003d g l t 2 /2, g l \u003d 1,6 m / s 2.

Rješenje: Potrebno je pronaći H(10,04). Koristimo približnu formulu (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Pri t=10 s i ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, nalazimo

Zadatak (za samostalno rješavanje). Tijelo mase m=20 kg giba se brzinom ν=10,02 m/s. Izračunaj približno kinetičku energiju tijela

24.6. Diferencijali višeg reda

Neka je y=ƒ(x) diferencijabilna funkcija, a njen argument x je neovisna varijabla. Tada je njezin prvi diferencijal dy=ƒ"(x)dx također funkcija od x; može se pronaći diferencijal te funkcije.

Diferencijal od diferencijala funkcije y=ƒ(x) naziva se njezin drugi diferencijal(ili diferencijal drugog reda) i označava se d 2 y ili d 2 ƒ(x).

Dakle, po definiciji d 2 y=d(dy). Nađimo izraz za drugi diferencijal funkcije y=ƒ(x).

Budući da dx=∆x ne ovisi o x, pretpostavljamo da je dx konstantan pri diferenciranju:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 tj.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)

Ovdje dx 2 stoji za (dx) 2 .

Diferencijal trećeg reda je definiran i pronađen na sličan način

d 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

I, općenito, diferencijal n-tog reda je diferencijal diferencijala (n-1)-og reda: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Stoga nalazimo da, Posebno, za n=1,2,3

odnosno dobivamo:

tj. derivacija funkcije može se promatrati kao omjer njenog diferencijala odgovarajućeg reda i odgovarajuće potencije diferencijala nezavisne varijable.

Imajte na umu da su sve gornje formule važeće samo ako je x nezavisna varijabla. Ako je funkcija y \u003d ƒ (x), gdje x - funkciju neke druge nezavisne varijable, tada diferencijali drugog i višeg reda nemaju svojstvo invarijantnosti oblika i izračunavaju se pomoću drugih formula. Pokažimo to na primjeru diferencijala drugog reda.

Koristeći formulu diferencijalnog produkta (d(uv)=vdu+udv), dobivamo:

d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , tj.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24.6)

Uspoređujući formule (24.5) i (24.6), vidimo da se u slučaju složene funkcije diferencijalna formula drugog reda mijenja: pojavljuje se drugi član ƒ "(x) d 2 x.

Jasno je da ako je x nezavisna varijabla, tada

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

a formula (24.6) prelazi u formulu (24.5).

<< Пример 24.6

Nađite d 2 y ako je y=e 3x i x je nezavisna varijabla.

Rješenje: Kako je y"=3e 3x, y"=9e 3x, onda po formuli (24.5) imamo d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Nađite d 2 y ako je y=x 2 i x=t 3 +1 i t je nezavisna varijabla.

Rješenje: Koristimo formulu (24.6): budući da

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,

zatim d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Drugo rješenje: y=x 2 , x=t 3 +1. Prema tome, y \u003d (t 3 +1) 2. Tada po formuli (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2 ,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Diferencijali višeg reda.

Neka je funkcija y= ¦(x) definirana u nekom intervalu X (na primjer, intervalu) i ima derivacije svih redova u svakoj unutarnjoj točki. Tada je njegov diferencijal dy=y 1 dx. Nazvat ćemo ga diferencijalom prvog reda.

U svakoj određenoj točki, diferencijal funkcije je broj. Na intervalu je funkcija od x. Prema tome, možemo govoriti o diferencijalu iz prvog diferencijala.

Definicija: Diferencijal diferencijala prvog reda funkcije y \u003d ¦ (x) naziva se diferencijal drugog reda ove funkcije i simbolički se piše d (dy) \u003d d 2 y.

općenito: diferencijal n-tog reda funkcije y \u003d ¦ (x) naziva se diferencijal diferencijala (n-1) reda funkcije d n y \u003d d (d n-1 y).

Oznake d¦(x) , d 2 ¦(x) , d n ¦(x) su također primjenjive

Diferencijali reda višeg od prvog nazivaju se diferencijali viših redova.

Kod izračunavanja diferencijala viših redova mora se uzeti u obzir da je dx proizvoljan broj koji ne ovisi o x, a kod diferenciranja s obzirom na x mora se smatrati konstantnim faktorom.

Prema tome, dy = y 1 dx, d 2 y = d (dy) = d (y 1 dx) = dx d (y 1) = dx (y 11 dx) = y 11 (dx) 2 . Uobičajeno je da se stupanj diferencijala piše bez zagrada (dx) 2 = dx 2.

Dakle, d 2 y \u003d y ''dx 2, ali ovo ne treba brkati s d (x 2) \u003d 2xdx

Na sličan način: d 3 y \u003d d (y 11 dx 2) \u003d dx 2 d (y 11) \u003d dx 2 (y 111 dx) \u003d y 111 dx 3; d 3 y \u003d y 111 dx 3.

Ovdje opet dx 3 \u003d dx dx dx, a ne d (x 3) \u003d 3x 2 dx

d n y \u003d y n dx n

Ovdje je dx n = (dx) n kao i prije.

Iz opće formule za diferencijal n-tog reda posebno slijedi formula za derivaciju n-tog reda.

Y (n) \u003d d n y / dx n, tj. derivacija n-tog reda je kvocijent n-tog diferencijala funkcije i n-tog stupnja dif. nezavisna promijeniti.

Vidjeli smo da oblik prvog diferencijala dy=y 1 dx ne ovisi o tome je li x nezavisna varijabla ili je x sam funkcija neke varijable t.

Oblik diferencijala reda n=2 u ovom slučaju više nije sačuvan, on nema invarijantnost.

U slučaju nezavisne varijable x d 2 y \u003d y 11 dx 2 je diferencijal drugog reda. Neka je sada h= , du 1 =u 1 dh. Ali sada dx više nije proizvoljna konstanta, dx = dt, tj. dx- je funkcija t i stoga, kada nalazimo d 2 y, ne možemo uzeti dx iz diferencijalnog predznaka.

d 2 y \u003d d (y 1 dx) \u003d d (y 1) dx + y 1 d (dx) \u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, tj.

d 2 y \u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x - oblik diferencijala je promijenjen, dodan je član y 1 d 2 x. Štoviše, oblik d n y nije sačuvan. Dakle, u slučaju kada x nije nezavisna varijabla, oznaku y (n) = d p y / dx p treba shvatiti kao jedan simbol, a ne kao omjer diferencijala.

Parcijalne derivacije funkcija dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dviju varijabli i razmotriti, možda, najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Izvanredni studenti se u pravilu susreću s parcijalnim izvedenicama na 1. godini u 2. semestru. Štoviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih derivacija se gotovo uvijek nađe na ispitu.

Kako biste učinkovito proučili sljedeći materijal, vi potrebno moći više ili manje pouzdano pronaći "uobičajene" derivacije funkcije jedne varijable. U lekcijama možete naučiti kako pravilno postupati s izvedenicama Kako pronaći izvedenicu? i Derivacija složene funkcije. Potrebna nam je i tablica derivacija elementarnih funkcija i pravila diferenciranja, najprikladnije je ako je pri ruci u tiskanom obliku. Referentni materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tablice.

Brzo ponovimo koncept funkcije dviju varijabli, pokušat ću se ograničiti na minimum. Funkcija dviju varijabli obično se piše kao , a varijable se pozivaju nezavisne varijable ili argumenti.

Primjer: - funkcija dviju varijabli.

Ponekad se koristi notacija. Ima i zadataka gdje se umjesto slova koristi slovo.

S geometrijskog gledišta, funkcija dviju varijabli je najčešće ploha trodimenzionalnog prostora (ravnina, valjak, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, zapravo, ovo je već više analitička geometrija, a na dnevnom redu imamo matematičku analizu, za koju mi ​​profesor na fakultetu nikad nije dopustio da otpišem moj “konj”.

Okrećemo se pitanju pronalaženja parcijalnih derivacija prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za vas koji ste popili nekoliko šalica kave i raspoloženi ste za nezamislivo teško gradivo: parcijalne derivacije su gotovo iste kao i "obične" derivacije funkcije jedne varijable.

Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila diferenciranja i tablica derivacija elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika s kojima ćemo se sada upoznati:

... da, usput, za ovu sam temu napravio mala pdf knjiga, koji će vam omogućiti da "napunite ruku" u samo nekoliko sati. No, koristeći stranicu, dobit ćete i rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Naći parcijalne derivacije prvog i drugog reda funkcije

Prvo, nalazimo parcijalne derivacije prvog reda. Ima ih dvoje.

Notacija:
ili - parcijalna derivacija u odnosu na "x"
ili - djelomična derivacija u odnosu na "y"

Počnimo s . Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijabla smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari poduzetih radnji:

(1) Prvo što radimo kada nalazimo parcijalnu derivaciju je da zaključimo svi funkcija u zagradama ispod crtice s indeksom.

Pažnja važna! Indeksi NE GUBE tijekom rješenja. U ovom slučaju, ako nacrtate "udar" negdje bez, tada ga učitelj barem može staviti pored zadatka (odmah odgrizite dio rezultata zbog nepažnje).

(2) Koristite pravila razlikovanja , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba se pravila mogu primijeniti u istom koraku. Obratite pozornost na prvi pojam: budući da smatra se konstantom, a svaka se konstanta može uzeti iz predznaka derivacije, onda ga vadimo iz zagrade. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Sada pogledajmo treći pojam: ovdje se, naprotiv, nema što izvaditi. Budući da je konstanta, također je konstanta, iu tom smislu nije ništa bolji od posljednjeg pojma - "sedmice".

(3) Koristimo tablične izvedenice i .

(4) Odgovor pojednostavljujemo ili, kako ja volim reći, "kombiniramo".

Sada . Kada nađemo parcijalnu derivaciju u odnosu na "y", tada varijablasmatra se konstantom (konstantan broj).

(1) Koristimo ista pravila diferenciranja , . U prvom članu izbacimo konstantu iza predznaka izvoda, u drugom članu se ne može ništa izbaciti jer je on već konstanta.

(2) Koristimo tablicu derivacija elementarnih funkcija. Mentalno promijenite u tablici sve "X" u "Y". To jest, ova tablica jednako vrijedi za (i zapravo za gotovo svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Što znače parcijalne derivacije?

U svojoj srži, parcijalne derivacije 1. reda sliče "obična" izvedenica:

- ovo je funkcije, koji karakteriziraju stopa promjene funkcije u smjeru osi odnosno. Tako npr. funkcija karakterizira strminu "uspona" i "padina" površine u smjeru osi apscisa, a funkcija nam govori o "reljefu" iste površine u smjeru osi ordinata.

! Bilješka : ovdje se odnosi na upute koje su paralelni koordinatne osi.

Radi boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu točku ravnine i izračunajmo u njoj vrijednost funkcije (“visina”):
- a sada zamislite da ste ovdje (NA SAMOJ POVRŠINI).

Izračunavamo parcijalni izvod u odnosu na "x" u danoj točki:

Negativan predznak izvedenice "X" nam govori o silazni funkcionira u točki u smjeru x-osi. Drugim riječima, ako napravimo mali-mali (infinitezimalno) korak prema vrhu osi (paralelno s ovom osi), zatim se spustite niz padinu površine.

Sada otkrivamo prirodu "terena" u smjeru y-osi:

Derivacija u odnosu na "y" je pozitivna, dakle, u točki duž osi, funkcije povećava se. Ako je sasvim jednostavno, onda nas ovdje čeka uzbrdica.

Osim toga, parcijalna derivacija u točki karakterizira stopa promjene funkcionira u relevantnom smjeru. Što je veća rezultirajuća vrijednost modulo- što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru apscisne osi je strmiji od "planine" u smjeru ordinatne osi.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da iz točke u kojoj se nalazimo, (i općenito s bilo koje točke zadane površine) možemo krenuti u nekom drugom smjeru. Dakle, postoji interes za sastavljanje opće "navigacijske karte" koja bi nam govorila o "pejzažu" površine. ako je moguće u svakoj točki djelokrug ove funkcije na sve dostupne načine. O ovome i drugim zanimljivostima govorit ću u jednoj od sljedećih lekcija, ali za sada se vratimo tehničkoj strani problema.

Sistematiziramo osnovna primijenjena pravila:

1) Kada diferenciramo po , tada se varijabla smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija provodi prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tablica derivacija elementarnih funkcija vrijede i vrijede za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) s obzirom na koju se provodi diferenciranje.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne izvodnice drugog reda. Ima ih četiri.

Notacija:
ili - druga derivacija u odnosu na "x"
ili - drugi izvod u odnosu na "y"
ili - mješoviti izvedenica "x po y"
ili - mješoviti izvedenica "Y s X"

S drugom derivacijom nema problema. Jednostavno rečeno, druga derivacija je derivacija prve derivacije.

Radi praktičnosti, prepisat ću već pronađene parcijalne derivacije prvog reda:

Prvo nalazimo mješovite derivacije:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo djelomičnu derivaciju i ponovno je diferenciramo, ali u ovom slučaju već s "y".

Slično:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovitih izvodnica drugog reda vrlo je zgodno provjeriti jesmo li točno pronašli parcijalne izvodnice prvog reda.

Nalazimo drugu derivaciju u odnosu na "x".
Bez izuma, mi uzimamo i ponovno ga razlikujemo s "X":

Slično:

Treba napomenuti da prilikom pronalaska morate pokazati povećana pozornost, budući da ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih testirale.

Druge derivacije također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dviju varijabli. Ali sve ima svoje vrijeme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne derivacije prvog reda funkcije u točki . Nađite izvodnice drugog reda.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći izvedenicu? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti kako pronaći slične derivate u hodu.

Punimo ruku složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjerite to. Napiši ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Nalazimo parcijalne derivacije prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno napisati u zagradi da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna početnicima za lakše snalaženje u rješenju.

Dodatni komentari:

(1) Izvadimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i stoga se njihov umnožak smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijenje.

(1) Sve konstante izbacujemo iz predznaka izvoda, u ovom slučaju konstanta je .

(2) Pod primarnim brojem imamo umnožak dviju funkcija, stoga trebamo koristiti pravilo diferenciranja umnoška .

(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivacije drugog reda:

To znači da su svi izračuni točni.

Zapišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji razmatramo, nema smisla govoriti koliki je ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli. Važno je da upravo taj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim zadacima.

Ukupni diferencijal prvog reda funkcije dviju varijabli ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, u formuli samo trebate glupo samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivacije prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati brojnicima:

I na ponovni zahtjev čitatelja, puni diferencijal drugog reda.

Ovako izgleda:

PAŽLJIVO pronađite "jednoslovne" izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravite udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto činilo teškim, uvijek se možete vratiti na izvedenice kasnije, nakon što naučite tehniku ​​razlikovanja:

Primjer 4

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije . Provjerite to. Napiši ukupni diferencijal prvog reda.

Razmotrimo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Naći parcijalne derivacije prvog reda funkcije.

Riješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Neću objaviti kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbroja

(2) Prvi se član u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu ne postoji ništa što ovisi o "x" - samo "y". Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, ništa se u tom smislu ne bi promijenilo da se umjesto toga da neka funkcija - ovdje je to bitno proizvod dviju funkcija, SVAKI od kojih ovisi o "X", pa stoga morate koristiti pravilo razlikovanja proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije.

(1) Prvi izraz i u brojniku i u nazivniku sadrži "y", stoga morate koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta: . Drugi član ovisi SAMO o "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo diferenciranja složene funkcije.

Za one čitatelje koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam staru mekhmatovsku anegdotu za detant:

Jednom se zla izvedenica pojavila u prostoru funkcija i kako je išla diferencirati sve. Sve funkcije se razbježu na sve strane, nitko se ne želi okrenuti! A samo jedna funkcija ne bježi nigdje. Izvedenica mu prilazi i pita:

– Zašto ne bježiš od mene?

- Ha. Ali baš me briga, jer ja sam "e na potenciju x", i ne možete mi ništa!

Na što zla izvedenica s podmuklim osmijehom odgovara:

- Tu griješiš, ja ću te razlikovati po "y", pa neka ti bude nula.

Tko je shvatio šalu, taj je savladao izvedenice, barem za "trojku").

Primjer 8

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

Ovo je primjer "uradi sam". Cjelovito rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.

Pa to je skoro sve. Na kraju, ne mogu a da ne obradujem matematičare još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svatko ima različitu razinu matematičke naobrazbe - postoje ljudi (i ne tako rijetki) koji se vole natjecati s težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko kompliciran koliko je glomazan u smislu izračuna.

Neka je y \u003d f (x) diferencijabilna funkcija, a njen argument x nezavisna varijabla. Tada je njegov prvi diferencijal dy = f ′ (x )dx također funkcija otx ; naći diferencijal te funkcije.

Diferencijal od diferencijala funkcije y \u003d f (x) naziva se njegov drugi diferencijal(ili diferencijal drugog reda) i označava se d 2 y ili d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Ovdje dx 2 stoji za (dx )2 .

Diferencijal trećeg reda se definira i nalazi na sličan način: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3 .

Općenito, diferencijal n-tog reda je diferencijal diferencijala (n-1)-tog reda: d n y \u003d d (d n - 1 y ) \u003d f (n) (x) (dx) n.

Odavde nalazimo da je f (n) (x) = d n y . Konkretno, za n = 1, 2, 3, redom, dobivamo: dx n

f'(x)=			f′′(x)=	d2y		f′′′(x ) =	d 3 god	Oni. Derivacija funkcije može se promatrati kao

omjer njegovog diferencijala odgovarajućeg reda prema odgovarajućem stupnju diferencijala nezavisne varijable.

Imajte na umu da su sve gornje formule važeće samo ako je x nezavisna varijabla.

Primjer. Nađite d 2 y ako je y = e 3 x njihova nezavisna varijabla Rješenje: budući da je y ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x, tada imamo d 2 y = 9e 3 x dx 2 .

Pravila bolnice L'Hospital

L'Hopitalova pravila koriste se za otkrivanje nesigurnosti oblika 0 0 i ∞ ∞ , koje se nazivaju osnovnim.

Teorem 3. (L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika 0 0 ).

Neka su funkcije f (x) i g (x) kontinuirane i diferencijabilne u okolici točaka 0 i

nestati u ovoj točki: f (x 0 ) =g (x 0 ) = 0. Neka je g ′ (x )≠ 0 u okolini točke x 0 . Ako a

postoji granica

f'(x)

L, dakle

f(x)

f'(x)

g(x)

g (x)

x → x0

x → x0

x → x0

Primjer. Nađi lim1 − cos6 x .

x → 0

2x2

Rješenje: lim

1 − cos 6x

p. L.

6sin 6x

p. L.

36 cos 6x

x → 0

x → 0

x → 0

Teorem 4. (L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika ∞ ∞ ).

Neka su funkcije f (x) i g (x) kontinuirane i diferencijabilne u okolini točaka 0 (osim,
možda točke x 0 ), u ovom susjedstvu limf (x ) = limg (x ) = ∞ ,g ′ (x )≠ 0. Ako postoji
	f'(x)			f(x)			f'(x)	x → x0	x → x0
limit lim
	g (x)			g(x)
x → x0			x → x0			x → x0	g (x)

tg 3x

Primjer. Nađi lim tg 5x

x → π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim3cos

p. L.

p. L.

x→

tg5x

x→

x→

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10x

5 x →

− 6 cos 3x sin 3x

x→

grijeh6x

x→

6cos6x

Neodređenosti oblika , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], svode se na dva glavna načina identičnih transformacija.

Neka je f (x) → 0 i g (x) → 0 kao x → x 0. Tada su očite sljedeće transformacije:

lim(f (x ) g (x )) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x → x

x → x

x → x

g(x)

g(x)

Pronađite lim tg

x

(2 − x ).

x → 2

2 − x

0=lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

p. L.

x → 2

x → 2

x

ctg 4

x → 2

2 x

Neka je f (x) → ∞ i g (x) → ∞ kao x → x 0. Tada možete učiniti ovo:

lim (f (x ) −g (x )) = [ ∞ − ∞] = lim

g(x)

f(x)

x → x0

x → x0

x → x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Neka je f (x) → 1, i g (x) → ∞, ili f (x) → ∞, i g (x) → 0, ili f (x) → 0, i g (x) → 0 s x → x 0.

Da bismo pronašli granicu oblika lim f (x) g (x), prisjetimo se svojstva logaritma

x → x0

e lnf (x) g (x) \u003d f (x) g (x).

Primjer. Nađi lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .