Nestandardni zadaci. Nestandardni zadaci kao sredstvo oblikovanja interesa učenika za matematiku

NESTANDARDNI ZADACI NA SATOVIMA MATEMATIKE

Učiteljica razredne nastave Shamalova S.V.

Svaka generacija ljudi postavlja svoje zahtjeve školi. Starorimska poslovica kaže: „Ne učimo za školu, nego za život“. Značenje ove poslovice aktualno je i danas. Suvremeno društvo obrazovnom sustavu diktira nalog za obrazovanje osobe spremne za život u stalno promjenjivim uvjetima, za kontinuirano obrazovanje, sposobne učiti cijeli život.

Među duhovnim sposobnostima čovjeka postoji jedna koja je stoljećima bila predmet pomne pozornosti znanstvenika, a koja je, u isto vrijeme, još uvijek najteži i najtajanstveniji predmet znanosti. Ovo je sposobnost razmišljanja. Stalno se s njom susrećemo u radu, u nastavi, u svakodnevnom životu.

Svaka aktivnost radnika, učenika i znanstvenika neodvojiva je od umnog rada. U svakoj pravoj stvari potrebno je razbiti glavu, baciti pamet, odnosno, jezikom znanosti, treba izvršiti mentalnu radnju, intelektualni rad. Poznato je da se problem može riješiti, a ne riješiti, jedan će se brzo nositi s njim, drugi dugo razmišlja. Postoje zadaci koji su izvedivi i za dijete, a oko nekih se cijeli timovi znanstvenika bore godinama. Dakle, postoji sposobnost razmišljanja. Neki su u tome bolji, drugi lošiji. Što je ovo vještina? Na koje načine nastaje? Kako ga kupiti?

Nitko se neće raspravljati s činjenicom da svaki učitelj mora razviti logičko razmišljanje učenika. To stoji u metodičkoj literaturi, u obrazloženjima nastavnog plana i programa. Međutim, mi učitelji ne znamo uvijek kako to učiniti. Često to dovodi do toga da je razvoj logičkog mišljenja u velikoj mjeri spontan, pa većina učenika, pa čak ni srednjoškolaca, ne ovlada početnim metodama logičkog mišljenja (analiza, usporedba, sinteza, apstrakcija i dr.).

Prema stručnjacima, razina logičke kulture školske djece danas se ne može smatrati zadovoljavajućom. Stručnjaci smatraju da razlog tome leži u nedostatku rada na svrhovitom logičkom razvoju učenika u ranim fazama obrazovanja. Većina modernih priručnika za predškolce i osnovnoškolce sadrži skup različitih zadataka koji se zaustavljaju na takvim metodama mentalne aktivnosti kao što su analiza, sinteza, analogija, generalizacija, klasifikacija, fleksibilnost i varijabilnost mišljenja. Drugim riječima, razvoj logičkog mišljenja odvija se uglavnom spontano, pa većina učenika ne ovlada tehnikama mišljenja ni u višim razredima, te se te tehnike moraju učiti mlađim učenicima.

U svojoj praksi koristim suvremene obrazovne tehnologije, različite oblike organizacije obrazovnog procesa, sustav razvojnih zadataka. Ovi zadaci trebaju biti razvojne prirode (poučavati određene tehnike mišljenja), trebaju uvažavati dobne karakteristike učenika.

U procesu rješavanja obrazovnih problema, djeca razvijaju takvu vještinu kao što je odvraćanje pažnje od nevažnih detalja. Ova radnja daje se mlađim učenicima s ne manje poteškoća od isticanja bitnog. Kao rezultat učenja u školi, kada je potrebno redovito izvršavati zadatke bez greške, mlađi učenici uče kontrolirati svoje mišljenje, razmišljati kada je to potrebno. Prvo se uvode logičke vježbe dostupne djeci, usmjerene na poboljšanje mentalnih operacija.

U procesu izvođenja takvih logičkih vježbi učenici praktički uče uspoređivati ​​različite objekte, uključujući i matematičke, kako bi izgradili ispravne prosudbe na temelju dostupnih i jednostavnih dokaza na temelju svog životnog iskustva. Logičke vježbe postupno postaju teže.

U svojoj praksi koristim i nestandardne razvojne logičke zadatke. Postoji velik broj takvih problema; posebno je mnogo takve specijalizirane literature objavljeno posljednjih godina.

U metodičkoj literaturi razvijajućim zadacima dodijeljeni su sljedeći nazivi: zadaci za domišljatost, zadaci za domišljatost, zadaci s "zaletom". U svoj svojoj raznolikosti moguće je izdvojiti u posebnu klasu zadatke koji se nazivaju zadaci – zamke, provokativni zadaci. U uvjetima takvih zadataka postoje razne vrste referenci, indikacija, savjeta koji potiču na odabir pogrešnog puta rješenja ili pogrešnog odgovora. Navest ću primjere takvih zadataka.

Zadaci koji nameću jedan, sasvim određen odgovor.

Koji od brojeva 333, 555, 666, 999 nije djeljiv s 3?

Zadaci koji vas potiču na pogrešan odabir odgovora od ponuđenih točnih i netočnih odgovora.

Jedan magarac nosi 10 kg šećera, a drugi 10 kg kokica. Tko je imao najveći teret?

Zadaci čiji vas uvjeti tjeraju da izvršite neku radnju sa zadanim brojevima, kada tu radnju uopće ne morate izvršiti.

Automobil Mercedes je prešao 100 km. Koliko je milja prešao svaki kotač?

Petya je jednom rekao svojim prijateljima: "Prekjučer sam imao 9 godina, a sljedeće godine ću imati 12 godina." Kojeg je datuma rođena Petja?

Rješavanje logičkih problema pomoću zaključivanja.

Vadim, Sergej i Mihail uče različite strane jezike: kineski, japanski, arapski. Na pitanje koji jezik svaki od njih uči, jedan je odgovorio: "Vadim uči kineski, Sergej ne uči kineski, a Mihail ne uči arapski." Naknadno se pokazalo da je u ovoj tvrdnji samo jedna tvrdnja istinita. Koji jezik svaki od njih uči?

Mališani iz Cvjetnog grada posadili su lubenicu. Za njegovo zalijevanje potrebna je točno 1 litra vode. Imaju samo dvije prazne kante od 3 litre. I 5 l. Kako koristiti ove limenke. Birajte točno 1 litru iz rijeke. voda?

Koliko je godina Ilya Muromets sjedio na peći? Zna se da kad bi još 2 puta sjedio na toliko, onda bi mu godine bile najveći dvoznamenkasti broj.

Barun Munchausen je izbrojao broj čarobnih dlaka u bradi starog Hottabycha. Pokazalo se da je jednak zbroju najmanjeg troznamenkastog broja i najvećeg dvoznamenkastog broja. Koji je ovo broj?

Kada učim rješavati nestandardne probleme, pridržavam se sljedećih uvjeta:u prvi , zadatke treba uvoditi u proces učenja u određenom sustavu s postupnim povećanjem složenosti, budući da će preopterećen zadatak imati malo utjecaja na razvoj učenika;u o drugo , potrebno je omogućiti učenicima maksimalnu samostalnost u pronalaženju rješenja problema, dati im priliku da idu do kraja krivim putem kako bi se uvjerili u pogrešku, vratili se na početak i potražili drugi, pravi put rješavanja;treći , trebate pomoći učenicima da razumiju neke od načina, tehnika i općih pristupa rješavanju nestandardnih aritmetičkih problema. Najčešće predložene logičke vježbe ne zahtijevaju izračune, već samo prisiljavaju djecu da donose ispravne prosudbe i daju jednostavne dokaze. Same vježbe su zabavne, pa doprinose nastanku interesa kod djece u procesu mentalne aktivnosti. A to je jedna od kardinalnih zadaća odgojno-obrazovnog procesa u školi.

Primjeri zadataka korištenih u mojoj praksi.

Pronađite uzorak i nastavite s vijencima

Pronađite uzorak i nastavite niz

a B C D E F, …

1, 2, 4, 8, 16,…

Rad je započeo razvijanjem kod djece sposobnosti uočavanja obrazaca, sličnosti i razlika uz postupno usložnjavanje zadataka. U tu svrhu odabrao samzadatke za prepoznavanje obrazaca, ovisnosti i formuliranje generalizacijeuz postupno povećanje razine težine zadataka.Rad na razvoju logičkog mišljenja trebao bi postati predmet ozbiljne pozornosti učitelja i sustavno se provoditi na nastavi matematike. U tu svrhu vježbe iz logike treba stalno uključivati ​​u usmeni rad na satu. Na primjer:

Pronađite rezultat pomoću ove jednadžbe:

3+5=8

3+6=

3+7=

3+8=

Usporedite izraze, pronađite dodirne točke u dobivenim nejednakostima, formulirajte zaključak:

2+3*2x3

4+4*3x4

4+5*4x5

5+6*5x6

Nastavite s brojevima.

3. 5, 7, 9, 11…

1, 4, 7, 10…

Smislite sličan primjer za svaki navedeni primjer.

12+6=18

16-4=12

Što je uobičajeno u pisanju brojeva svakog retka?

12 24 20 22

30 37 13 83

Zadani brojevi:

23 74 41 14

40 17 60 50

Koji broj nedostaje u svakom retku?

U osnovnoj školi često koristim štapiće za brojanje na satu matematike. Riječ je o zadacima geometrijske prirode, jer u tijeku rješavanja u pravilu dolazi do transfiguracije, pretvaranja jednog lika u drugi, a ne samo do promjene njihova broja. Ne mogu se riješiti na bilo koji prethodno naučeni način. U tijeku rješavanja svakog novog problema dijete je uključeno u aktivno traženje rješenja, težeći krajnjem cilju, potrebnoj modifikaciji figure.

Vježbe sa štapićima za brojanje mogu se spojiti u 3 skupine: zadaci za sastavljanje zadane figure od određenog broja štapića; zadaci za mijenjanje figura, za čije je rješavanje potrebno ukloniti ili dodati određeni broj štapića; zadaci čije je rješenje pomaknuti palice kako bi se modificirala, preobrazila zadana figura.

Vježbe sa štapićima za brojanje.

Zadaci za crtanje likova iz određenog broja štapića.

Napravite dva različita kvadrata od 7 štapića.

Zadaci za promjenu figure, gdje trebate ukloniti ili dodati određeni broj štapića.

Dana je figura od 6 kvadrata. Morate ukloniti 2 štapića tako da ostanu 4 kvadrata"

Zadaci za pomicanje palica u svrhu transformacije.

Pomaknite dva štapića tako da dobijete 3 trokuta.

Redovito vježbanje jedan je od uvjeta uspješnog razvoja učenika. Prije svega, iz lekcije u lekciju, potrebno je razvijati djetetovu sposobnost analize i sinteze, kratkotrajna obuka logičkih pojmova ne daje učinka.

Rješavanjem nestandardnih zadataka kod učenika se formira sposobnost da stvaraju pretpostavke, provjeravaju njihovu pouzdanost i logički ih obrazlažu. Govoreći u svrhu dokazivanja, pridonosi razvoju govora, razvoju sposobnosti zaključivanja, izvlačenja zaključaka. U procesu korištenja ovih vježbi u nastavi iu izvannastavnom radu iz matematike pojavila se pozitivna dinamika utjecaja ovih vježbi na razinu razvoja logičkog mišljenja učenika.

Testovi i upitnici 3. razred.

Poznato je da rješavanje tekstualnih zadataka učenicima predstavlja velike poteškoće. Zna se i koja je faza rješenja posebno teška. Ovo je prva faza - analiza teksta problema. Učenici su slabo orijentirani u tekstu problema, u njegovim uvjetima i zahtjevima. Tekst problema je priča o nekim životnim činjenicama: "Maša je trčala 100 m, a prema njoj ...",

“Učenici prvog razreda kupili su 12 karanfila, a učenici drugog…”, “Majstor je u smjeni napravio 20 dijelova, a njegov učenik…”.

U tekstu je sve važno; i glumci, i njihovi postupci, i brojčane karakteristike. Kada radite s matematičkim modelom problema (numeričkim izrazom ili jednadžbom), neki od ovih detalja su izostavljeni. Ali mi upravo podučavamo sposobnost apstrahiranja od nekih svojstava i korištenja drugih.

Sposobnost snalaženja u tekstu matematičkog zadatka važan je rezultat i važan uvjet za cjelokupni razvoj učenika. I to trebate činiti ne samo na satovima matematike, već i na satovima čitanja i likovne umjetnosti. Neki zadaci su dobre teme za crtanje. A svaki zadatak je dobra tema za prepričavanje. A ako u razredu ima kazališnih sati, onda se mogu postaviti i neki matematički problemi. Naravno, sve ove tehnike: prepričavanje, crtanje, inscenacija - mogu se odvijati i na samoj nastavi matematike. Dakle, rad na tekstovima matematičkih zadataka važan je element u cjelokupnom razvoju djeteta, element razvojnog učenja.

No jesu li za to dovoljni zadatci koji su dostupni u sadašnjim udžbenicima i čije je rješavanje uvršteno u obvezni minimum? Ne, nedovoljno. Obvezni minimum uključuje sposobnost rješavanja problema određenih vrsta:

o broju elemenata određenog skupa;

o kretanju, njegovoj brzini, putu i vremenu;

o cijeni i vrijednosti;

o poslu, njegovom vremenu, obimu i produktivnosti.

Ove četiri teme su standardne. Vjeruje se da sposobnost rješavanja problema na ove teme može naučiti kako rješavati probleme općenito. Nažalost, nije. Dobri učenici koji znaju praktično rješavati

bilo koji zadatak iz udžbenika o navedenim temama, često ne razumiju uvjet zadatka o nekoj drugoj temi.

Izlaz nije ograničavanje na bilo koju temu tekstualnih zadataka, već rješavanje nestandardnih zadataka, odnosno zadataka čiji predmet nije sam po sebi predmet proučavanja. Uostalom, ne ograničavamo zaplete priča na satovima lektire!

Nestandardne probleme potrebno je rješavati u učionici svaki dan. Ima ih u udžbenicima matematike za 5-6 razrede te u časopisima Osnovna škola, Matematika u školi, pa čak i Kvant.

Broj zadataka je toliki da među njima možete birati zadatke za svaku lekciju: jednu po lekciji. Problemi se rješavaju kod kuće. Ali vrlo često ih morate rastaviti u učionici. Među predloženim zadacima ima i onih koje jak učenik rješava odmah. Ipak, od snažne djece potrebno je zahtijevati dovoljno obrazloženja, objašnjavajući da na lakim problemima osoba uči metode zaključivanja koje će biti potrebne pri rješavanju teških problema. Potrebno je odgajati kod djece ljubav prema ljepoti logičkog zaključivanja. Kao zadnje sredstvo, moguće je prisiliti takvo rezoniranje od jakih učenika, zahtijevajući od njih da konstruiraju objašnjenje koje je razumljivo drugima - za one koji ne razumiju brzo rješenje.

Među zadacima ima apsolutno istog tipa u matematičkom smislu. Ako djeca ovo vide, super. Učitelj to može sam pokazati. Međutim, neprihvatljivo je reći: riješimo ovaj problem kao onaj, a odgovor će biti isti. Činjenica je da, prvo, nisu svi studenti sposobni za takve analogije. I drugo, u nestandardnim problemima zaplet nije ništa manje važan od matematičkog sadržaja. Stoga je bolje istaknuti povezanost zadataka slične fabule.

Ne moraju se riješiti svi zadaci (ima ih više nego što ima sati matematike u školskoj godini). Možda želite promijeniti redoslijed zadataka ili dodati zadatak koji nije ovdje.

Lyabina T.I.

Profesor matematike najviše kategorije

MOU "Srednja škola Moshok"

Nestandardni zadaci kao sredstvo za razvoj logičkog mišljenja

Koji se problem u matematici može nazvati nestandardnim? U knjizi je dana dobra definicija

Nestandardni zadaci su oni za koje u matematici ne postoje opća pravila i propisi koji određuju točan program za njihovo rješavanje. Ne treba ih brkati sa zadacima povećane složenosti. Uvjeti zadataka povećane složenosti takvi su da učenicima omogućuju prilično jednostavan odabir matematičkog aparata koji je potreban za rješavanje matematičkog problema. Nastavnik kontrolira proces učvršćivanja znanja predviđenog programom obuke rješavanjem zadataka ove vrste. Ali nestandardni zadatak podrazumijeva prisutnost istraživačke prirode. Međutim, ako je rješenje matematičkog zadatka za jednog učenika nestandardno, jer nije upoznat s metodama rješavanja zadataka ove vrste, onda se za drugog rješavanje zadatka odvija na standardan način, jer ima već riješio takve probleme i više od jednog. Isti je zadatak iz matematike u 5. razredu nestandardan, a u 6. razredu običan, čak niti povećane složenosti.

Dakle, ako učenik ne zna na koji se teorijski materijal osloniti za rješavanje problema, on također ne zna, tada se u ovom slučaju problem iz matematike može nazvati nestandardnim za određeno vremensko razdoblje.

Koje su metode poučavanja rješavanja problema iz matematike, koje trenutno smatramo nestandardnim? Nažalost, nitko nije došao do univerzalnog recepta, s obzirom na jedinstvenost ovih zadataka. Neki učitelji, kako kažu, treniraju šablonske vježbe. To se događa na sljedeći način: učitelj pokazuje način rješavanja, a zatim učenik to ponavlja pri rješavanju problema mnogo puta. Pritom se ubija interes učenika za matematiku, što je u najmanju ruku žalosno.

Djecu možete naučiti rješavati probleme nestandardnog tipa ako pobudite interes, drugim riječima, ponudite zadatke koji su zanimljivi i smisleni za modernog učenika. Ili zamijenite formulaciju pitanja problematičnim životnim situacijama. Na primjer, umjesto zadatka "riješi Diaphantian jednadžbu", ponudite da riješite sljedeći problem. Limenka

student platiti kupnju u vrijednosti od 19 rubalja, ako ima samo novčanice od tri rublje, a prodavač ima novčanice od deset rubalja?

Učinkovita je i metoda odabira pomoćnih zadataka. Ovaj način poučavanja rješavanja problema ukazuje na određenu razinu postignuća u rješavanju problema. Obično u takvim slučajevima učenik koji razmišlja pokušava sam, bez pomoći učitelja, pronaći pomoćne probleme ili pojednostaviti i modificirati uvjete tih zadataka.

Sposobnost rješavanja nestandardnih problema stječe se vježbom. Nije ni čudo što kažu da matematiku ne možeš naučiti gledajući svog susjeda kako to radi. Samoučenje i pomoć učitelja ključ su uspješnog učenja.

1.Nestandardni zadaci i njihove karakteristike.

Zapažanja pokazuju da matematiku najviše vole oni učenici koji znaju rješavati probleme. Dakle, poučavajući djecu da ovladaju sposobnošću rješavanja problema, značajno ćemo utjecati na njihov interes za predmet, na razvoj mišljenja i govora.

Nestandardni zadaci u još većoj mjeri doprinose razvoju logičkog mišljenja. Osim toga, snažno su sredstvo za aktiviranje kognitivne aktivnosti, odnosno kod djece pobuđuju veliko zanimanje i želju za radom. Navedimo primjer nestandardnih zadataka.

ja Zadaci za domišljatost.

1. Masa čaplje koja stoji na jednoj nozi je 12 kg. Koliko će težiti čaplja ako stoji na 2 noge?

2. Par konja pretrčao je 40 km. Koliko je svaki konj pretrčao?

3. Sedam braće imaju jednu sestru. Koliko djece ima obitelj?

4. Šest mačaka pojede šest miševa u šest minuta. Koliko je mačaka potrebno da pojedu 100 miševa u 100 minuta?

5. Ima 6 čaša, 3 s vodom, 3 prazne. Kako ih rasporediti tako da se izmjenjuju čaše vode i prazne? Dopušteno je pomicanje samo jedne čaše.

6. Geolozi su pronašli 7 kamenova. Težina svakog kamena: 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg i 7 kg. Ovo je kamenje bilo poslagano u 4 ruksaka tako

da je u svakom ruksaku masa kamenja ispala ista.

Kako su to uspjeli?

7. U razredu ima počešljanih djevojčica koliko i neočešljanih dječaka. Koga je više u razredu, djevojaka ili neurednih učenika?

8. Poletjele su patke: jedna naprijed i dvije iza, jedna iza i dvije naprijed, jedna između dvije i tri u nizu. Koliko je pataka ukupno letjelo?

9. Misha kaže: “Prekjučer sam imao 10 godina, a sljedeće godine ću imati 13 godina.” Je li moguće?

10. Andrej i Borja imaju 11 bombona, Boris i Vova imaju 13 bombona, a Andrej i Vova imaju 12. Koliko ukupno bombona imaju dječaci?

11. Otac s dvojicom sinova vozio se biciklima: s dva i s tri kotača. Imali su ukupno 7 kotača. Koliko je bilo bicikala i kojih?

12. Kokoši i praščići u dvorištu. Svi imaju 5 glava i 14 nogu. Koliko kokoši, a koliko svinja?

13. Kokoši i zečevi šeću po dvorištu. Imaju ukupno 12 nogu. Koliko kokoši, a koliko zečeva?

14. Svaki Marsovac ima 3 ruke. Može li se 13 Marsovaca uhvatiti za ruke na takav način da ne ostane nijedna slobodna ruka?

15. Dok su se igrale, svaka od tri djevojčice - Katya, Galya, Olya - sakrila je po jednu od igračaka - medvjeda, zeca i slona. Katja nije sakrila zeca, Olja nije sakrila ni zeca ni medvjeda. Tko je sakrio igračku?

II. Zabavni zadaci.

1. Kako rasporediti 6 stolica uz 4 zida tako da svaki zid ima 2 stolice.

2. Tata i njegova dva sina otišli su na kampiranje. Na putu su sreli rijeku. Na obali je splav. Stoji na vodi jedan tata ili dva sina. Kako prijeći na drugu stranu oca sa sinovima?

3. Za jednog konja i dvije krave dnevno se daje 34 kg sijena, a za dva konja i jednu kravu - 35 kg sijena. Koliko se dnevno daje sijena jednom konju, a koliko jednoj kravi?

4. Četiri pačića i pet guščića teški su 4kg100g, a pet pačića i četiri guščića 4kg. Koliko je teška jedna patka?

5. Dječak je imao 22 kovanice - od pet i deset rubalja, ukupno 150 rubalja. Koliko je bilo kovanica od pet i deset rubalja?

6. U stanu br. 1, 2, 3 žive tri mačića: bijeli, crni i crveni. U stanovima 1 i 2 nije živjelo crno mače. Bijeli mačić nije živio u stanu broj 1. U kojem je stanu živio svaki od mačića?

7. Pet tjedana gusar Yerema može popiti bačvu ruma. A gusaru Emeliju za to bi trebalo dva tjedna. Za koliko će dana pirati zajedno popiti rum?

8. Konj pojede kola sijena za mjesec dana, koza za dva mjeseca, ovca za tri mjeseca. Koliko će trebati konju, kozi, ovci da zajedno pojedu isti tovar sijena?

9. Dvoje ljudi je ogulilo 400 krumpira; jedan čistio 3 komada u minuti, drugi -2. Drugi je radio 25 minuta više od prvog. Koliko je svaki radio?

10. Među nogometnim loptama crvena je teža od smeđe, a smeđa od zelene. Koja je lopta teža: zelena ili crvena?

11. Tri pereca, pet medenjaka i šest peciva zajedno koštaju 24 rublje. Što je skuplje: perec ili pecivo?

12. Kako trima vaganjima na vagi bez utega pronaći jedan lažni (lakši) novčić od 20 novčića?

13. Iz gornjeg kuta sobe dvije su muhe dopuzale niz zid. Spustivši se na pod, otpuzali su natrag. Prva je muha puzala u oba smjera istom brzinom, a druga, iako se uspinjala dvostruko sporije od prve, ali se spuštala dvostruko brže od nje. Koja će od muha prva dopuzati natrag?

14. U kavezu su fazani i zečevi. Sve životinje imaju 35 glava i 94 noge. Koliko zečeva u kavezu, a koliko fazana?

15. Kažu da je na pitanje koliko je učenika imao, starogrčki matematičar Pitagora odgovorio ovako: “Polovica mojih učenika uči matematiku, četvrtina proučava prirodu, sedmina provodi vrijeme u tihom razmišljanju, ostali su 3 djevice” Kako mnogo učenika je bilo kod Pitagore?

III. Geometrijski problemi.

1. Pravokutnu tortu podijelite na dvije kriške tako da budu trokutaste. Koliko je dijelova napravio?

2. Nacrtajte figuru bez podizanja vrha olovke s papira i bez povlačenja iste linije dva puta.

3. Kvadrat prerezati na 4 dijela i saviti ih u 2 kvadrata. Kako to učiniti?

4. Izvadite 4 štapića tako da ostane 5 kvadrata.

5. Izrežite trokut na dva trokuta, četverokut i peterokut, povlačeći dvije ravne crte.

6. Može li se kvadrat podijeliti na 5 dijelova i sastaviti osmerokut?

IV. Logički kvadrati.

1. U kvadratić (4 x 4) upiši brojeve 1, 2, 3, 6 tako da zbroj brojeva u svim recima, stupcima i dijagonalama bude isti. Brojevi u redovima, stupcima i dijagonalama ne smiju se ponavljati.

2. Oboji kvadrat crvenom, zelenom, žutom i plavom bojom tako da se boje u recima, stupcima i dijagonalama ne ponavljaju.

3. U kvadratu trebate staviti više brojeva 2,2,2,3,3,3 tako da za sve retke dobijete ukupno 6.

5. U ćelije kvadrata upiši brojeve 4,6,7,9,10,11,12 tako da u stupcima, u redovima i po dijagonalama dobiješ zbroj 24.

v. Kombinatorni problemi.

1. Daša ima 2 suknje: crvenu i plavu, i 2 bluze: na pruge i na točkice. Koliko različitih odjevnih kombinacija ima Dasha?

2. Koliko ima dvoznamenkastih brojeva u kojima su sve znamenke neparne?

3. Roditelji su kupili kartu za Grčku. Do Grčke se može doći koristeći jedan od tri načina prijevoza: avionom, brodom ili autobusom. Izmislite sve moguće mogućnosti korištenja ovih načina prijevoza.

4. Koliko se različitih riječi može sastaviti od slova riječi "veza"?

5. Od brojeva 1, 3, 5 sastavi razne troznamenkaste brojeve tako da u broju nema istih brojeva.

6. Srela su se tri prijatelja: kipar Belov, violinist Černov i umjetnik Rižov. “Super je što je jedna od nas plavuša, druga brineta, a treća crvenokosa. Ali nitko od njih nema boju kose koju označava njegovo prezime - rekla je brineta. "U pravu ste", rekao je Belov. Koje je boje umjetnikova kosa?

7. Tri prijateljice izašle su u šetnju u bijelim, zelenim i plavim haljinama i cipelama istih boja. Poznato je da samo Anya ima istu boju haljine i cipela. Ni cipele ni Valina haljina nisu bile bijele. Natasha je nosila zelene cipele. Odredite boju haljine i cipela na svakoj od prijateljica.

8. U poslovnici banke rade blagajnik, kontrolor i voditelj. Prezivaju se Borisov, Ivanov i Sidorov. Blagajnik nema braće ni sestara i najniži je od svih. Sidorov je oženjen Borisovljevom sestrom i viši je od kontrolora. Navedite imena kontrolora i upravitelja.

9. Sladokusica Maša je na piknik uzela bombone, kekse i tortu u tri identične kutije. Kutije su bile označene "slatkiši", "kolačići" i "torta". No Maša je znala da se njezina majka voli šaliti i uvijek stavlja hranu

kutije s natpisima koji ne odgovaraju njihovom sadržaju. Maša je bila sigurna da slatkiši nisu u kutiji na kojoj je pisalo "Torta". U kojoj kutiji je torta?

10. Ivanov, Petrov, Markov, Karpov sjede u krugu. Zovu se Andrej, Sergej, Timofej, Aleksej. Poznato je da Ivanov nije ni Andrej ni Aleksej. Sergej sjedi između Markova i Timofeja. Petrov sjedi između Karpova i Andreja. Kako se zovu Ivanova, Petrov, Markov i Karpov?

VI. Transfuzijski zadaci.

1. Je li moguće sa samo dvije posude zapremine 3 i 5 litara iz slavine izvući 4 litre vode?

2. Kako ravnomjerno podijeliti između dvije obitelji 12 litara krušnog kvasa koji se nalazi u posudi od dvanaest litara, koristeći za to dvije prazne posude: od osam i tri litre?

3. Kako, imajući dvije posude od 9 litara i 5 litara, izvući točno 3 litre vode iz rezervoara?

4. Limenka zapremine 10 litara napunjena je sokom. Ima još praznih posuda od 7 i 2 litre. Kako sipati sok u dvije posude od po 5 litara?

5. Dvije su posude. Kapacitet jednog od njih je 9 litara, a drugog 4 litre. Kako pomoću ovih posuda skupiti 6 litara neke tekućine iz spremnika? (Tekućina se može ispustiti natrag u spremnik).

Analiza predloženih tekstualnih zadataka pokazuje da se njihovo rješavanje ne uklapa u okvir određenog sustava tipskih zadataka. Takvi se problemi nazivaju nestandardnim (I. K. Andronov, A. S. Pchelko, itd.) ili nestandardnim (Yu. M. Kolyagin, K. I. Neshkov, D. Poya, itd.)

Sažimajući različite pristupe metodičara u razumijevanju standardnih i nestandardnih zadataka (D. Poya, Ya. M. Fridman i dr.), pod nestandardni zadatak razumijevamo takav zadatak čiji algoritam učeniku nije poznat i nije dalje oblikovan kao programski zahtjev.

Analiza udžbenika i nastavnih pomagala iz matematike pokazuje da svaka tekstualna zadaća pod određenim uvjetima može biti nestandardna, au drugim obična, standardna. Standardni problem u jednom kolegiju matematike može biti nestandardan u drugom kolegiju.

Na primjer. “Na aerodromu je bilo 57 aviona i 79 helikoptera, poletjelo je 60 automobila. Može li se tvrditi da postoji: a) najmanje 1 zrakoplov u zraku; b) najmanje 1 helikopter?

Takvi su zadaci bili izborni za sve učenike, bili su namijenjeni najsposobnijima za matematiku.

“Ako želiš naučiti kako rješavati probleme, onda ih riješi!” - savjetuje D. Poya.

Glavna stvar u ovom slučaju je formiranje takvog općeg pristupa rješavanju problema, kada se problem smatra predmetom istraživanja, a njegovo rješenje - kao dizajn i izum metode rješenja.

Naravno, takav pristup ne zahtijeva nepromišljeno rješavanje ogromnog broja problema, već ležerno, pažljivo i temeljito rješavanje mnogo manjeg broja problema, ali uz naknadnu analizu rješenja.

Dakle, ne postoje opća pravila za rješavanje nestandardnih problema (zato se ti problemi nazivaju nestandardni). Međutim, izvanredni matematičari i učitelji (S.A. Yanovskaya, L.M. Fridman,

E.N. Balayan) pronašao je niz općih smjernica i preporuka koje se mogu slijediti u rješavanju nestandardnih problema. Ove se smjernice obično nazivaju heurističkim pravilima ili, jednostavno, heuristikama. Riječ "heuristika" grčkog je podrijetla i znači "umijeće pronalaženja istine".

Za razliku od matematičkih pravila, heuristika je u prirodi neobaveznih preporuka, savjeta, čije praćenje može (ili ne mora) dovesti do rješenja problema.

Proces rješavanja bilo kojeg nestandardnog zadatka (prema

S.A. Yanovskaya) sastoji se u uzastopnoj primjeni dviju operacija:

1. smanjenje pomoću transformacija nestandardnog zadatka na drugi, njemu sličan, ali već standardni zadatak;

2. cijepanje nestandardnog zadatka u nekoliko standardnih podzadataka.

Ne postoje posebna pravila za smanjivanje nestandardnog zadatka na standardni. Međutim, ako pažljivo, promišljeno analizirate, riješite svaki problem, fiksirajući u svom sjećanju sve metode kojima su rješenja pronađena, kojim metodama su problemi riješeni, tada se razvija vještina u takvim informacijama.

Razmotrite primjer zadatka:

Uz stazu, uz grmlje, hodalo je desetak repova,

Pa, moje pitanje je sljedeće - koliko je pijetlova bilo?

A bilo bi mi drago znati - koliko je bilo svinja?

Ukoliko ovaj problem nije moguće riješiti, pokušat ćemo ga svesti na sličan.

Preformulirajmo:

1. Izmislimo i riješimo nešto slično, ali jednostavnije.

2. Koristimo njegovo rješenje da riješimo ovaj.

Poteškoća je u tome što u problemu postoje dvije vrste životinja. Neka svi budu prasci, pa će biti 40 nogu.

Kreirajmo sličan problem:

Uz stazu, uz grmlje, hodalo je desetak repova.

Zajedno su nekamo išli pijetlovi i praščići.

Pa, moje pitanje je - koliko je bilo pijetlova?

A bilo bi mi drago znati - koliko je bilo svinja?

Jasno je da ako ima 4 puta više nogu nego repova, onda su sve životinje prasadi.

U sličnom zadatku uzeto je 40 nogu, a u glavnom ih je bilo 30. Kako smanjiti broj nogu? Zamijenite odojka pijetlom.

Rješenje glavnog problema: da su sve životinje prasadi, imale bi 40 nogu. Kada svinju zamijenimo pijetlom, broj nogu se smanjuje za dvije. Ukupno morate napraviti pet zamjena da biste dobili 30 nogu. Dakle, prošetalo je 5 pijetlova i 5 praščića.

Kako doći do "sličnog" problema?

2 način rješavanja problema.

U ovom problemu možete primijeniti princip izjednačavanja.

Neka sve svinje stanu na stražnje noge.

10 * 2 \u003d 20 toliko stopa hoda stazom

30 - 20 \u003d 10 toliko prednjih nogu praščića

10:2 = 5 svinja hodalo je stazom

Pa, pijetlovi 10 -5 \u003d 5.

Formulirajmo nekoliko pravila za rješavanje nestandardnih problema.

1. "Lako" pravilo: ne preskačite najlakši zadatak.

Obično se zanemaruje jednostavan zadatak. I morate početi s njom.

2. Pravilo “sljedeće”: ako je moguće, uvjete treba mijenjati jedan po jedan. Broj uvjeta je konačan, pa će svi prije ili kasnije doći na red.

3. "Nepoznato" pravilo: nakon promjene jednog uvjeta, označite drugi pridružen s njim s x, a zatim ga odaberite tako da se pomoćni problem riješi pri danoj vrijednosti, a ne kada se x poveća za jedan.

3. Pravilo "zanimljivosti": uvjete problema učinite zanimljivijima.

4. "Privremeno" pravilo: ako se u zadatku odvija neki proces i konačno stanje je određenije od početnog, vrijedi započeti vrijeme u suprotnom smjeru: razmotrite posljednji korak procesa, a zatim pretposljednji itd.

Razmotrite primjenu ovih pravila.

Zadatak broj 1. Pet dječaka pronašlo je devet gljiva. Dokažite da su barem dvojica od njih našla jednak broj gljiva.

1. korak Ima puno dječaka. Neka ih u sljedećem zadatku bude 2 manje.

“Tri dječaka su pronašla x gljiva. Dokažite da su barem dvojica jednako pronašla gljive.

Da bismo to dokazali, utvrdimo za koje x problem ima rješenje.

Za x=0, x=1, x=2 problem ima rješenje, za x=3 problem nema rješenja.

Formulirajmo sličan problem.

Tri dječaka su pronašla 2 gljive. Dokažite da su barem dvojica od njih našla jednak broj gljiva.

Neka sva tri dječaka pronađu različiti broj gljiva. Tada je najmanji broj gljiva 3, jer je 3=0+1+2. Ali prema stanju, broj gljiva je manji od 3, pa su dva od tri dječaka našla isti broj gljiva.

Prilikom rješavanja izvornog problema, obrazloženje je potpuno isto. Neka svatko, pet dječaka, pronađe različiti broj gljiva. Minimalni broj gljiva tada bi trebao biti 10. (10 =0+1+2+3+4). No, prema stanju, broj gljiva je manji od 10, pa su dva dječaka našla isti broj gljiva.

Prilikom rješavanja korišteno je pravilo "nepoznato".

Zadatak broj 2. Labudovi su letjeli iznad jezera. Na svaku je sletjelo pola labudova i pola labuda, ostali su odletjeli dalje. Svi su sjeli na sedam jezera. Koliko je bilo labudova?

1. korak Postoji proces, početno stanje nije definirano, konačno stanje je nula, tj. nije bilo letećih labudova.

Pokrećemo vrijeme u suprotnom smjeru, smislivši sljedeći zadatak:

Labudovi su letjeli iznad jezera. Na svakom je poletjelo pola labuda i još toliko koliko ih je sada poletjelo. Svi su poletjeli sa sedam jezera. Koliko je bilo labudova?

2 korak. Počinjemo od nule:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2 =127.

Zadatak broj 3.

Na mostu preko rijeke susreli su se lutalica i vrag. Dokoličina se žalio na svoje siromaštvo. Kao odgovor, đavao je predložio:

Mogu ti pomoći. Svaki put kad prijeđete ovaj most, vaš novac će se udvostručiti. Ali svaki put kad prijeđete most, morat ćete mi dati 24 kopejke. Doklinjar je tri puta prešao most, a kad je pogledao u novčanik, bio je prazan. Koliko je novca imao lijenčina?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

Pri rješavanju zadataka br. 2 i br. 3 korišteno je "privremeno" pravilo.

Zadatak broj 4. Kovač zabije jedno kopito za 15 minuta. Koliko će vremena trebati 8 kovača da potkuje 10 konja. (Konj ne može stajati na dvije noge.)

1. korak Previše je konja i kovača, proporcionalno smanjimo njihov broj, nadoknađujući problem.

Potkivač potkuje jedno kopito za pet minuta. Koliko je vremena potrebno četvorici kovača da potkuje pet konja?

Jasno je da je minimalno moguće vrijeme 25 minuta, no može li se to postići? Potrebno je organizirati rad kovača bez zastoja. Djelujmo bez narušavanja simetrije. Postavite pet konja u krug. Nakon što su četiri kovača potkovala po jedno konjsko kopito, kovači pokreću po jednog konja u krug. Za obilazak punog kruga trebat će pet ciklusa rada po pet minuta. Tijekom 4 ciklusa svaki konj će biti pokovan i jedan ciklus će se odmarati. Kao rezultat toga, svi će konji biti potkovani za 25 minuta.

2 korak. Vraćajući se na izvorni problem, primijetite da je 8=2*4 i 10=2*5. Zatim 8 kovača treba podijeliti u dvije brigade

Po 4 osobe, a konji - dva stada od po 5 konja.

Za 25 minuta prva ekipa kovača iskovat će prvo stado, a druga - drugo.

Prilikom rješavanja korišteno je pravilo “sljedeći”.

Naravno, može postojati problem na koji se ne može primijeniti niti jedno od gore navedenih pravila. Zatim morate izmisliti posebnu metodu za rješavanje ovog problema.

Mora se imati na umu da je rješavanje nestandardnih problema umjetnost koja se može savladati samo kao rezultat stalne introspekcije radnji za rješavanje problema.

2. Obrazovne funkcije nestandardnih zadataka.

Uloga nestandardnih zadataka u formiranju logičkog mišljenja.

Na sadašnjem stupnju obrazovanja postoji tendencija da se zadaci koriste kao nužna komponenta poučavanja učenika matematike. To se objašnjava, prije svega, sve većim zahtjevima usmjerenim na jačanje razvojnih funkcija treninga.

Koncept "nestandardnog zadatka" koriste mnogi metodičari. Tako, Yu. M. Kolyagin proširuje ovaj pojam na sljedeći način: nestandardni razumjeli zadatak, nakon čijeg prezentiranja učenici ne znaju unaprijed ni način rješavanja, ni na kojem se nastavnom gradivu rješenje temelji.

Na temelju analize teorije i prakse primjene nestandardnih zadataka u nastavi matematike utvrđena je njihova opća i posebna uloga.

Nestandardni zadaci:

Uče djecu koristiti ne samo gotove algoritme, već i samostalno pronalaziti nove načine rješavanja problema, odnosno doprinose sposobnosti pronalaženja originalnih načina rješavanja problema;

Utjecati na razvoj domišljatosti, domišljatosti učenika;

spriječiti razvoj štetnih klišea pri rješavanju problema, uništiti pogrešne asocijacije u znanjima i vještinama učenika, uključiti ne toliko usvajanje algoritamskih tehnika, koliko pronalaženje novih veza u znanju, do prijenosa

znanje u novim uvjetima, do ovladavanja različitim metodama mentalne aktivnosti;

Oni stvaraju povoljne uvjete za povećanje snage i dubine znanja učenika, osiguravaju svjesnu asimilaciju matematičkih pojmova.

Nestandardni zadaci:

Ne bi smjeli imati gotove algoritme koje su djeca naučila napamet;

Sadržaj bi trebao biti dostupan svim učenicima;

Mora biti sadržajno zanimljiv;

Za rješavanje nestandardnih zadataka učenici trebaju imati dovoljno znanja stečenog u programu.

3.Metodika za formiranje sposobnosti rješavanja nestandardnih zadataka.

Zadatak broj 1.

Pustinjom se polako kreće karavan deva, ukupno ih ima 40. Ako prebrojite sve grbe ovih deva, dobijete 57 grba. Koliko je jednogrbih deva u ovom karavanu?

Koliko grba mogu imati deve?

(mogu biti dva ili jedan)

Pričvrstimo cvijet na svaku devu na jednu grbu.

Koliko će vam cvijeća trebati? (40 deva - 40 cvjetova)

Koliko će deva ostati bez cvijeća?

(Bit će ih 57-40=17. To su druge grbe dvogrbe deve).

Koliko baktrijskih deva? (17)

Koliko je jedna grbava deva? (40-17=23)

Koji je odgovor na problem? (17 i 23 deve).

Zadatak broj 2.

U garaži su bili automobili i motocikli s prikolicom, ukupno 18. Automobili i motocikli imali su 65 kotača. Koliko je motocikala s prikolicom bilo u garaži ako su automobili imali 4 kotača, a motocikl 3 kotača?

Preformulirajmo problem. Razbojnici koji su došli do garaže, u kojoj je bilo 18 automobila i motocikala s prikolicom, skinuli su sa svakog automobila i motocikla po tri kotača i odnijeli ih. Koliko je kotača ostalo u garaži ako ih je bilo 65? Pripadaju li automobilu ili motociklu?

Koliko su kotača odnijeli razbojnici? (3*18=54 kotača)

Koliko je kotača ostalo? (65-54=11)

Koliko je automobila bilo u garaži?

U garaži je bilo 18 automobila i motocikala s prikolicom. Automobili i motocikli imaju 65 kotača. Koliko je motocikala u garaži ako se u svaku prikolicu stavi rezervna guma?

Koliko su kotača zajedno imali automobil i motocikl? (4*18=72)

Koliko ste rezervnih kotača stavili u svaka kolica? (72-65=7)

Koliko je automobila u garaži? (18-7=1)

Zadatak broj 3.

Za jednog konja i dvije krave dnevno se daje 34 kg sijena, a za dva konja i jednu kravu 35 kg sijena. Koliko se sijena daje jednom konju, a koliko jednoj kravi?

Napišimo ukratko stanje problema:

1 konj i 2 krave -34kg.

2 konja i 1 krava -35kg.

Može li se znati koliko je sijena potrebno za 3 konja i 3 krave? (za 3 konja i 3 krave - 34+35=69 kg)

Može li se znati koliko sijena treba za jednog konja i jednu kravu? (69: 3 - 23 kg)

Koliko je sijena potrebno za jednog konja? (35-23=12kg)

Koliko je sijena potrebno za jednu kravu? (23 -13 =11 kg)

Odgovor: 12kg i 11kg

Zadatak broj 4.

- Guske su letjele: 2 ispred, 1 iza, 1 ispred, 2 iza.

Koliko je gusaka letjelo?

Koliko je gusaka doletjelo, kako je navedeno u uvjetu? (2 ispred, 1 iza)

Nacrtajte ga točkicama.

Crtajte točkicama.

Izbroji što imaš (2 ispred, 1, 1, 2 iza)

Je li to ono što uvjet kaže? (Ne)

Dakle, nacrtali ste dodatne guske. Na crtežu možete vidjeti da je 2 ispred, a 4 iza, ili da je 4 ispred, a 2 iza. A ovo nije uvjet. Što treba učiniti? (ukloni zadnje 3 točke)

Što će se dogoditi?

Dakle, koliko je gusaka letjelo? (3)

Zadatak broj 5.

Četiri pačića i pet guščića imaju 4 kg 100 g, pet pačića i četiri guščića imaju 4 kg. Koliko je teška jedna patka?

Preformulirajmo problem.

Četiri pačića i pet guščića imaju 4 kg 100 g, pet pačića i četiri guščića imaju 4 kg.

Koliko su zajedno teški jedno pače i jedno guščiće?

Koliko zajedno teže 9 pačića i 9 guščića?

Primijeniti rješenje pomoćnog zadatka za rješavanje glavnog, znajući koliko zajedno teže 3 pačića i 3 gusjenice?

Zadaci s elementima kombinatorike i domišljatosti.

Zadatak broj 6.

Marina je odlučila doručkovati u školskoj kantini. Pogledaj jelovnik i reci mi na koliko načina može izabrati piće i slatkiš?

Pretpostavimo da Marina od pića bira čaj. Koje slastice može izabrati za čaj? (čaj - kolač od sira, čaj - keksi, čaj - pecivo)

Na koliko načina? (3)

A ako kompot? (također 3)

Pa kako znaš na koliko načina Marina može izabrati svoj ručak? (3+3+3=9)

Da, u pravu si. No, da bismo lakše riješili takav problem, poslužit ćemo se grafikonima. Označimo točkicama pića i slastice i spojimo parove onih jela koje Marina izabere.

čaj mlijeko kompot

cheesecake kolačići lepinja

Sada izbrojimo broj redaka. Ima ih 9. Dakle, postoji 9 načina odabira jela.

Zadatak broj 7.

Tri heroja - Ilya Muromets, Alyosha Popovich i Dobrynya Nikitich, braneći svoju domovinu od invazije, posjekli su svih 13 glava zmije Gorynych. Najviše glava posjekao je Ilja Muromec, a najmanje Aljoša Popović. Koliko bi svaki od njih glava mogao posjeći?

Tko može odgovoriti na ovo pitanje?

(učitelj pita nekoliko ljudi - svatko ima različite odgovore)

Zašto postoje različiti odgovori? (jer se ne kaže konkretno koliko je glava posjekao barem jedan od junaka)

Pokušajmo pronaći sva moguća rješenja za ovaj problem. U tome će nam pomoći tablica.

Koji uvjet moramo zadovoljiti pri rješavanju ovog problema? (Svi su junaci posjekli različit broj glava, a Aljoša je imao najmanje, Ilja je imao najviše)

Koliko mogućih rješenja ima ovaj problem? (osam)

Takvi se problemi nazivaju problemima s više rješenja.

Sastavite svoj problem s više rješenja.

Zadatak broj 8.

-U borbi s troglavom i trorepom Zmijom Gorynych

Ivan Carević jednim udarcem mača može odrubiti ili jednu glavu, ili dvije glave, ili jedan rep, ili dva repa. Ako odrežeš jednu glavu, izrasće ti nova; ako odrežeš jedan rep, izrasće dva nova; ako odrežeš dva repa, izrasće ti glava; ako odrežeš dvije glave, ništa neće rasti. Savjetujte Ivana Carevića što da učini kako bi mogao odsjeći sve glave i repove Zmije.

Što će se dogoditi ako Ivan Tsarevich odsiječe jednu glavu? (nova glava će izrasti)

Ima li smisla odsjeći jednu glavu? (ne, ništa se neće promijeniti)

Dakle, odsijecanje jedne glave je isključeno - dodatni gubitak vremena i truda.

Što se događa ako se odreže jedan rep? (narasti će dva nova repa)

A ako odrežete dva repa? (glava raste)

Što je s dvije glave? (ništa neće rasti)

Dakle, ne možemo odsjeći jednu glavu, jer se ništa neće promijeniti, glava će opet narasti. Potrebno je postići takvo stanje da bude paran broj glava, a da nema repova. Ali za to je potrebno da postoji paran broj repova.

Kako možete postići željeni rezultat?

jedan). 1. pogodak: odsjeci 2 repa - bit će 4 glave i 1 rep;

2. pogodak: odsjeci 1 rep - bit će 4 glave i 2 repa;

3. pogodak: odsjeci 1 rep - bit će 4 glave i 3 repa;

4. pogodak: odsjeci 1 rep - bit će 4 glave i 4 repa;

5. pogodak: odsjeći 2 repa - bit će 5 glava i 2 repa;

6. pogodak: odsjeci 2 repa - bit će 6 glava i 0 repova;

7. pogodak: odsjeci 2 glave - bit će 4 glave;

2). 1. pogodak: odsjeći 2 glave - postaje 1 glava i 3 repa;

2. pogodak: odsjeci 1 rep - bit će 1 glava i 4 repa;

3. pogodak: odsjeci 1 rep - bit će 1 glava i 5 repova;

4. pogodak: odsjeći 1 rep - bit će 1 glava i 6 repova;

5. pogodak: odsjeci 2 repa - bit će 2 glave i 4 repa;

6. pogodak: odsjeći 2 repa - bit će 3 glave i 2 repa;

7. pogodak: odsjeci 2 repa - bit će 4 glave;

8. pogodak: odsjeci 2 glave - bit će 2 glave;

9. pogodak: posjeći 2 glave - postaje 0 glava.

Zadatak broj 9.

U obitelji je četvero djece: Seryozha, Ira, Vitya i Galya. Imaju 5, 7, 9 i 11 godina. Koliko svaki od njih ima godina, ako jedan od dječaka ide u vrtić, Ira je mlađa od Seryozhe, a zbroj godina djevojčica djeljiv je s 3?

Ponovite tvrdnju problema.

Kako se ne bismo zbunili u procesu zaključivanja, crtamo tablicu.

Što znamo o jednom od dječaka? (ide u vrtić)

Koliko je star ovaj dječak? (5)

Može li se ovaj dječak zvati Serjoža? (ne, Seryozha je stariji od Ire, pa se zove Vitya)

Stavimo znak "+" u redak "Vitya", stupac "5". Dakle, najmlađe dijete se zove Vitya i ima 5 godina.

Što znamo o Iri? (ona je mlađa od Serezhe, a ako njezinoj dobi dodamo dob druge sestre, tada će se ovaj iznos podijeliti s 3)

Pokušajmo izračunati sve zbrojeve brojeva 7, 9 i 11.

16 i 20 nisu djeljivi s 3, ali je 18 djeljivo s 3.

Dakle, djevojčice imaju 7 i 11 godina.

Koliko godina ima Seryozha? (9)

A Ire? (7, jer je mlađa od Sereže)

A Gale? (11 godina)

Unos podataka u tablicu:

Koji je odgovor na problem? (Vita ima 5 godina, Ira ima 7 godina, Serezha ima 9 godina, a Galya ima 11 godina)

Zadatak broj 10.

Katya, Sonya, Galya i Toma rođeni su 2. ožujka, 17. svibnja, 2. lipnja, 20. ožujka. Sonya i Galya rođene su istog mjeseca, dok su Galya i Katya imale isti rođendan. Tko je rođen, kojeg datuma i u kojem mjesecu?

Pročitaj zadatak.

Što znamo? (da su Sonya i Galya rođene istog mjeseca, a Galya i Katya su rođene istog datuma)

Dakle, u kojem mjesecu je rođendan Sonye i Galye? (u ožujku)

A što možete reći o Galyi, znajući da je rođena u ožujku, pa čak i njezin broj odgovara broju Katye? (Galja je rođena 2. marta)

Koncept "nestandardnog zadatka" koriste mnogi metodičari. Dakle, Yu. M. Kolyagin otkriva ovaj koncept na sljedeći način: „Ispod nestandardni razumjeli zadatak, nakon čijeg prezentiranja učenici ne znaju unaprijed ni način rješavanja, ni na kojem se nastavnom gradivu rješenje temelji.

Definicija nestandardnog problema također je dana u knjizi "Kako naučiti rješavati probleme" autora L.M. Fridman, E.N. turski: " Nestandardni zadaci- to su oni za koje u matematici ne postoje opća pravila i propisi koji određuju točan program za njihovo rješavanje.

Ne brkajte nestandardne zadatke sa zadacima povećane složenosti. Uvjeti zadataka povećane složenosti takvi su da učenicima omogućuju prilično jednostavan odabir matematičkog aparata koji je potreban za rješavanje matematičkog problema. Nastavnik kontrolira proces učvršćivanja znanja predviđenog programom obuke rješavanjem zadataka ove vrste. Ali nestandardni zadatak podrazumijeva prisutnost istraživačke prirode. Međutim, ako je rješenje matematičkog zadatka za jednog učenika nestandardno, jer nije upoznat s metodama rješavanja zadataka ove vrste, onda se za drugog rješavanje zadatka odvija na standardan način, jer ima već riješio takve probleme i više od jednog. Isti je zadatak iz matematike u 5. razredu nestandardan, a u 6. razredu običan, čak niti povećane složenosti.

Analiza udžbenika i nastavnih pomagala iz matematike pokazuje da svaka tekstualna zadaća pod određenim uvjetima može biti nestandardna, au drugim obična, standardna. Standardni problem u jednom kolegiju matematike može biti nestandardan u drugom kolegiju.

Na temelju analize teorije i prakse korištenja nestandardnih zadataka u nastavi matematike može se utvrditi njihova opća i posebna uloga. Nestandardni zadaci:

• · naučiti djecu ne samo koristiti gotove algoritme, već i samostalno pronaći nove načine rješavanja problema, tj. pridonijeti sposobnosti pronalaženja originalnih načina rješavanja problema;
• utjecati na razvoj domišljatosti, domišljatosti učenika;
• One sprječavaju razvoj štetnih klišeja pri rješavanju problema, uništavaju pogrešne asocijacije u znanjima i vještinama učenika, uključuju ne toliko usvajanje algoritamskih tehnika, koliko otkrivanje novih veza u znanju, prijenos znanja u nove uvjete i ovladavanje različitim metodama mentalne aktivnosti;
• stvoriti povoljne uvjete za povećanje snage i dubine znanja učenika, osigurati svjesnu asimilaciju matematičkih pojmova.

Nestandardni zadaci:

• ne smije imati gotove algoritme koje su djeca naučila napamet;
• treba biti sadržajno dostupan svim učenicima;
• mora biti sadržajno zanimljiv;
• Za rješavanje nestandardnih problema studenti trebaju imati dovoljno znanja stečenog u programu.

Rješavanje nestandardnih zadataka aktivira aktivnost učenika. Učenici uče uspoređivati, klasificirati, generalizirati, analizirati, a to pridonosi jačem i svjesnijem usvajanju znanja.

Kao što je praksa pokazala, nestandardni zadaci vrlo su korisni ne samo za nastavu, već i za izvannastavne aktivnosti, za zadatke na Olimpijadi, jer to otvara priliku za istinsko razlikovanje rezultata svakog sudionika. Takvi se zadaci mogu uspješno koristiti kao samostalni zadaci za one učenike koji lako i brzo svladavaju glavni dio samostalnog rada na satu ili za one koji žele kao dodatni zadaci. Kao rezultat toga, učenici dobivaju intelektualni razvoj i pripremu za aktivne praktične aktivnosti.

Ne postoji općeprihvaćena klasifikacija nestandardnih zadataka, ali B.A. Kordemsky identificira sljedeće vrste takvih zadataka:

• · Zadaci vezani za školski tečaj matematike, ali povećane težine - kao što su zadaci matematičkih olimpijada. Namijenjeni su uglavnom školarcima s izrazitim interesom za matematiku; tematski, ti su zadaci obično vezani uz jedan ili drugi dio školskog programa. S time povezane vježbe produbljuju nastavno gradivo, dopunjuju i uopćavaju pojedine odredbe školskog tečaja, proširuju matematičke vidike i razvijaju vještine rješavanja teških problema.
• · Zadaci tipa matematičke zabave. Nisu izravno povezani sa školskim programom i u pravilu ne zahtijevaju veliku matematičku pripremu. To, međutim, ne znači da druga kategorija zadataka uključuje samo jednostavne vježbe. Ovdje postoje problemi s vrlo teškim rješenjem i takvi problemi čije rješenje još nije dobiveno. “Nestandardni zadaci, predstavljeni na zabavan način, unose emocionalni moment u mentalne aktivnosti. Nisu povezani s potrebom da se uvijek primjenjuju napamet naučena pravila i tehnike za njihovo rješavanje, oni zahtijevaju mobilizaciju cjelokupnog akumuliranog znanja, uče ih traganju za originalnim, nestandardnim načinima rješavanja, obogaćuju umijeće rješavanja lijepim primjerima, čine ih diviti se snazi ​​uma.

Ove vrste zadataka uključuju:

razne numeričke zagonetke ("... primjeri u kojima su svi ili neki brojevi zamijenjeni zvjezdicama ili slovima. Ista slova zamjenjuju iste brojke, različita slova - različite brojke" .) i zagonetke za domišljatost;

logičke zadatke čije rješenje ne zahtijeva izračune, već se temelji na konstrukciji lanca točnog zaključivanja;

zadaci čije se rješavanje temelji na kombinaciji matematičkog razvoja i praktične domišljatosti: vaganje i transfuzije u teškim uvjetima;

matematička sofistika je namjeran, pogrešan zaključak koji izgleda kao točan. (Sofizam je dokaz lažne tvrdnje, a greška u dokazu je vješto prikrivena. Sofizam na grčkom znači lukav izum, trik, zagonetka);

šaljivi zadaci;

kombinatorni problemi, u kojima se razmatraju različite kombinacije zadanih objekata koji zadovoljavaju određene uvjete (B.A. Kordemsky, 1958).

Ništa manje zanimljiva nije ni klasifikacija nestandardnih problema koju je dao I.V. Jegorčenko:

• zadaci usmjereni na pronalaženje odnosa između zadanih predmeta, procesa ili pojava;
• zadaci koji su nerješivi ili nerješivi putem školskog predmeta na zadanoj razini znanja učenika;
• Zadaci koji zahtijevaju:

provođenje i korištenje analogija, utvrđivanje razlika između zadanih predmeta, procesa ili pojava, utvrđivanje suprotnosti zadanih pojava i procesa ili njihovih antipoda;

provedba praktične demonstracije, apstrahiranje određenih svojstava predmeta, procesa, pojave ili konkretizacija jedne ili druge strane te pojave;

uspostavljanje uzročno-posljedičnih veza između danih predmeta, procesa ili pojava;

konstrukcija kauzalnih lanaca na analitički ili sintetički način s naknadnom analizom rezultirajućih opcija;

ispravna provedba niza određenih radnji, izbjegavanje pogrešaka - "zamki";

provedba prijelaza iz planarne u prostornu verziju danog procesa, objekta, pojave ili obrnuto (I.V. Egorchenko, 2003).

Dakle, ne postoji jedinstvena klasifikacija nestandardnih zadataka. Ima ih nekoliko, ali autor je rada koristio klasifikaciju koju je predložio I.V. Jegorčenko.

Zbirka sadrži materijale o formiranju vještina učenika za rješavanje nestandardnih problema. Sposobnost rješavanja nestandardnih problema, tj. onih čiji algoritam rješenja nije unaprijed poznat, važna je sastavnica školskog obrazovanja. Kako naučiti učenike rješavati nestandardne probleme? Jedna od mogućih opcija za takvu obuku - stalno natjecanje u rješavanju zadataka opisana je na stranicama aplikacije "Matematika" (br. 28-29, 38-40 / 96). Predstavljeni skup zadataka može se koristiti iu izvannastavnim aktivnostima. Materijal je pripremljen na zahtjev nastavnika iz grada Kostroma.

Sposobnost rješavanja zadataka najvažnija je (i najlakše kontrolirana) sastavnica matematičkog razvoja učenika. Ovdje se ne radi o tipskim zadacima (vježbama), već o zadacima nestandardno, algoritam za rješavanje koji nije unaprijed poznat (granica između ovih vrsta zadataka je uvjetna, a ono što je nestandardno za učenika šestog razreda može biti poznato učeniku sedmog razreda!. 150 zadataka predloženih u nastavku (izravan nastavak nestandardni zadaci za učenike petog razreda) namijenjeni su godišnje natjecanje u 6. razredu. Ovi se zadaci mogu koristiti iu izvannastavnim aktivnostima.

Komentar zadataka

Sve zadatke možemo podijeliti u tri skupine:

1.Zadaci za domišljatost. Za rješavanje takvih problema u pravilu nije potrebno duboko znanje, potrebna je samo pamet i želja da se prevladaju poteškoće koje se susreću na putu do rješenja. Između ostalog, ovo je prilika da zainteresirate učenike koji ne pokazuju previše žara za učenjem, a posebno za matematikom.

2.Zadaci za utvrđivanje gradiva. S vremena na vrijeme potrebno je rješavati probleme koji su osmišljeni isključivo za učvršćivanje naučenih ideja. Imajte na umu da je poželjno provjeriti stupanj asimilacije novog materijala neko vrijeme nakon njegovog proučavanja.

3.Zadaci za propedeutiku novih ideja. Zadaci ove vrste pripremaju učenike za sustavno proučavanje programskog gradiva, a ideje i činjenice sadržane u njima dobivaju prirodnu i jednostavnu generalizaciju u budućnosti. Tako će, primjerice, izračunavanje različitih brojčanih zbrojeva pomoći učenicima da razumiju izvođenje formule za zbroj aritmetičke progresije, a ideje i činjenice sadržane u nekim od tekstualnih zadataka ovog skupa pripremaju ih za proučavanje tema: Sustavi linearnih jednadžbi, "Jednomjerno gibanje" itd. Kako iskustvo pokazuje da što se dulje uči gradivo se lakše uči.

O rješavanju problema

Napominjemo najvažnije točke:

1. Dajemo "čisto aritmetička" rješenja tekstualnih problema gdje je to moguće, čak i ako ih učenici mogu lako riješiti pomoću jednadžbi. To je zbog činjenice da reprodukcija materijala u verbalnom obliku zahtijeva mnogo veći logički napor i stoga najučinkovitije razvija mišljenje učenika. Sposobnost verbalnog izlaganja materijala najvažniji je pokazatelj razine matematičkog mišljenja.

2. Proučavani materijal se bolje apsorbira ako je u svijesti učenika povezan s drugim materijalom, stoga se u pravilu pozivamo na već riješene probleme (takve poveznice ispisane su kurzivom).

3. Korisno je rješavati probleme na različite načine (pozitivna ocjena daje se za svaki način rješavanja). Stoga, za sve tekstualne probleme osim aritmetika razmatran algebarski rješenje (jednadžbe). Preporuča se nastavniku da provede komparativnu analizu predloženih rješenja.

Uvjeti zadatka

▼ 1.1. S kojim jednoznamenkastim brojem treba pomnožiti da bi rezultat bio novi broj zapisan jedinicama?

1.2. Ako Anya ide u školu pješice i vraća se autobusom, onda na putu provede 1,5 sat, a ako ide u oba smjera autobusom, onda joj cijelo putovanje traje 30 minuta. Koliko će vremena Anna provesti na putu ako ide pješice u školu i iz škole?

1.3. Cijene krumpira pale su za 20%. Koliko posto više krumpira možete kupiti za isti iznos?

1.4. Kanta od šest litara sadrži 4 litre kvasa, a kanta od sedam litara sadrži 6 litara. Kako podijeliti sav raspoloživi kvas na pola pomoću ovih kanti i prazne staklenke od tri litre?

1.5. Je li moguće pomaknuti šahovskog skakača iz donjeg lijevog kuta ploče u gornji desni kut, posjećujući svako polje točno jednom? Ako je moguće, navedite rutu, ako nije, objasnite zašto.

▼ 2.1. Je li izjava istinita: Ako negativnom broju dodate kvadrat istog broja, hoćete li uvijek dobiti pozitivan broj?

2.2. Ja od kuće do škole hodam za 30 minuta, a mom bratu treba 40 minuta. Za koliko minuta ću stići brata ako je izašao iz kuće 5 minuta prije mene?

2.3. Učenik je na ploču napisao primjer množenja dvoznamenkastih brojeva. Zatim je obrisao sve brojeve i zamijenio ih slovima. Rezultat je jednakost: . Dokažite da je učenik bio u krivu.

2.4. Vrč uravnotežuje dekanter i čašu, dva vrča teže koliko i tri šalice, a čaša i šalica u ravnoteži su dekanter. Koliko čaša uravnotežuje dekanter?

▼ 3.1. Putnik je, prešavši polovicu cijelog puta, legao u krevet i spavao sve dok mu nije ostala polovica puta koju je prešao spavajući. Koliki je dio puta prešao spavajući?

3.2. Koja je riječ šifrirana u zapisu broja ako je svako slovo zamijenjeno svojim brojem u abecedi?

3.3. Dana su 173 broja od kojih je svaki jednak 1 ili -1. Je li ih moguće podijeliti u dvije skupine tako da zbrojevi brojeva u skupinama budu jednaki?

3.4. Učenik je knjigu pročitao za 3 dana. Prvog dana pročitao je 0,2 cijele knjige i još 16 stranica, drugog dana 0,3 ostatka i još 20 stranica, a trećeg dana 0,75 ostatka i zadnjih 30 stranica. Koliko stranica ima knjiga?

3.5. Oslikana kocka brida 10 cm razrezana je na kocke brida 1 cm.Koliko će među njima biti kockica s jednom oslikanom plohom? S dva obojana ruba?

▼ 4.1. Od brojeva 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 odaberi tri takva broja čiji je zbroj 50.

4.2. Auto se kreće brzinom 60 km/h. Za koliko trebaš povećati brzinu da bi kilometar priješao jednu minutu brže?

4.3. Jedna ćelija dodana je na tik-tak-toe ploču (vidi sliku). Kako treba igrati prvi igrač da bi sigurno osigurao pobjedu?

4.4. Na turniru u šahu sudjelovalo je 7 osoba. Svaki je šahist odigrao sa svakim po jednu partiju. Koliko je utakmica odigrano?

4.5. Je li moguće šahovsku ploču izrezati na pravokutnike 3x1?

▼ 5.1. Knjigu sam platio 5000 kn. I ostaje platiti onoliko koliko bi ostalo platiti da su za to platili koliko je ostalo platiti. Koliko košta knjiga?

5.2. Nećak je pitao strica koliko ima godina. Ujak je odgovorio: "Ako na pola mojih godina dodate 7, saznat ćete koliko sam star prije 13 godina." Koliko godina ima stric?

5.3. Ako između znamenki dvoznamenkastog broja unesete 0, tada će dobiveni troznamenkasti broj biti 9 puta veći od izvornog. Pronađite ovaj dvoznamenkasti broj.

5.4. Odredi zbroj brojeva 1 + 2 + ... + 870 + 871.

5.5. Ima 6 štapića, svaki 1 cm dug, 3 štapića - 2 cm svaki, 6 štapića - 3 cm svaki, 5 štapića - 4 cm svaki.Da li je moguće od ovog seta napraviti kvadrat koristeći sve štapiće, a da ih ne slomite i ne stavljati jedno na drugo?

▼ 6.1. Množitelj se povećava za 10%, a množitelj se smanjuje za 10%. Kako je to promijenilo rad?

6.2. Tri trkača ALI , B i NA natjecao se na 100 m. Kada je ALI istrčao do kraja utrke B zaostao za njim 10 m, kada je B dotrčao do cilja NA zaostao za njim 10 m. Koliko je metara zaostao NA iz ALI , kada ALI završio?

6.3. Broj odsutnih učenika u razredu jednak je broju prisutnih. Nakon što je jedan učenik napustio razred, broj izostalih izjednačio se s brojem prisutnih. Koliko je učenika u razredu?

6.4 . Lubenica uravnotežuje dinju i ciklu. Dinja uravnotežuje kupus i ciklu. Dvije lubenice teže koliko i tri kupusa. Koliko je puta dinja teža od cikle?

6.5. Može li se pravokutnik 4x8 razrezati na 9 kvadrata?

▼ 7.1. Cijena proizvoda je snižena za 10%, pa opet za 10%. Hoće li proizvod pojeftiniti ako mu se cijena odmah smanji za 20%?

7.2. Veslač je ploveći niz rijeku izgubio šešir ispod mosta. Nakon 15 minuta primijetio je gubitak, vratio se i uhvatio šešir 1 km od mosta. Kolika je brzina rijeke?

7.3. Poznato je da je jedan od novčića lažan i lakši je od ostalih. Koliko vaganja na vagi bez utega može odrediti koji je novčić krivotvoren?

7.4. Je li moguće, prema pravilima igre, svih 28 domina posložiti u lanac tako da na jednom kraju bude "šestica", a na drugom - "pet"?

7.5. Ima 19 telefona. Je li ih moguće spojiti u parove tako da svaki bude povezan s točno njih trinaest?

▼ 8.1. U natjecanjima po olimpijskom sustavu sudjeluje 47 boksača (poraženi ispada). Koliko borbi morate voditi da odredite pobjednika?

8.2. U vrtu rastu stabla jabuka i trešanja. Ako uzmemo sve trešnje i sva stabla jabuka, onda će i ta i druga stabla ostati jednako, a ukupno u vrtu ima 360 stabala. Koliko je stabala jabuka i trešanja bilo u vrtu?

8.3. Kolja, Borja, Vova i Jura zauzeli su prva četiri mjesta na natjecanju, a dva dječaka nisu podijelila mjesta među sobom. Na pitanje tko je koje mjesto uvenuo, Kolja je odgovorio: “Ni prvi, ni četvrti.” Borja je rekao: “Drugi”, a Vova je primijetio da nije posljednji. Koje je mjesto zauzeo svaki od dječaka ako su svi rekli istinu?

8.4. Je li broj djeljiv s 9?

8.5. Pravokutnik duljine 9 cm i širine 4 cm prerežite na dva jednaka dijela tako da se mogu saviti u kvadrat.

▼ 9.1. Sakupljeno 100 kg gljiva. Ispostavilo se da je njihova vlažnost 99%. Kada se gljive suše, vlažnost

pao na 98%. Kolika je bila masa gljiva nakon sušenja?

9.2. Je li moguće od brojeva 1, 2, 3, ..., 11, 12 napraviti tablicu od 3 retka i 4 stupca tako da zbroj brojeva u svakom od stupaca bude isti?

9.3. Kojom znamenkom završava zbroj 135x + 31y + 56x+y ako su x i y – cijeli brojevi?

9.4. Pet dječaka Andrej, Borja, Volodja, Gena i Dima različite su dobi: jedan ima 1 godinu, drugi 2 godine, a ostali imaju 3, 4 i 5 godina. Volodja je najmanji, Dima je star koliko i Andrej i Gena zajedno. Koliko Bora ima godina? Čija se dob može odrediti?

9.5. Sa šahovske ploče su ispiljena dva polja: donje lijevo i gornje desno. Je li moguće takvu šahovsku ploču prekriti "kostima" domina 2x1?

▼ 10.1. Može li se iz brojeva 1,2,3,…. 11.12 napraviti tablicu od 3 retka i 4 stupca tako da je zbroj brojeva u svakom od tri retka isti?

10.2. Upravitelj tvornice obično dolazi vlakom u grad u 8 sati, baš u to vrijeme dolazi auto i vozi ga u tvornicu. Jednog dana direktor je stigao na stanicu u 7 sati i otišao pješice u tvornicu. Upoznavši automobil, ušao je u njega i stigao u tvornicu 20 minuta ranije nego inače. Koliko je sati pokazivao sat kad je direktor sreo stroj?

10.3 . Dvije vreće sadrže 140 kg brašna. Ako se 1/8 brašna iz prve vreće prebaci iz prve vreće u drugu, tada će brašna biti jednako u obje vreće. Koliko je brašna izvorno bilo u svakoj vreći?

10.4. U jednom su mjesecu tri srijede pale na parne brojeve. Koji je datum druga nedjelja u ovom mjesecu?

10.5. Nakon 7 pranja, duljina, širina i debljina sapuna se prepolovila. Koliko će istih pranja trajati preostali sapun?

▼ 11.1. Nastavite s nizom brojeva: 10, 8, 11, 9, 12, 10 do osmog broja. Na kojem se pravilu temelji?

11.2. Od kuće do škole Jura kasnio 5 minuta Lena, ali je hodao dvostruko brže od nje. Koliko minuta nakon odlaska Jura nadoknaditi Lena?

11.3. 2100?

11.4. Dva učenika šestog razreda kupila su 737 udžbenika, a svaki je kupio jednak broj udžbenika. Koliko je šestaša bilo i koliko je svaki od njih udžbenika kupio?

11.5 . Pronađite površinu trokuta prikazanog na slici (površina svake ćelije je 1 sq. cm).

▼ 12.1. Vlažnost svježe pokošene trave je 60%, a sijena 15%. Koliko će se sijena napraviti od jedne tone svježe pokošene trave?

12.2. Pet učenika kupilo je 100 bilježnica. Kolja i Vasja kupio 52 bilježnice, Vasja i Jura– 43, Jura i Sasha - 34, Sasha i Serjoža– 30. Koliko je svaki od njih kupio bilježnica?

12.3. Koliko je šahista nastupilo na kružnom turniru ako je ukupno odigrano 190 partija?

12.4. Kojom znamenkom završava Z100?

12.5. Poznato je da su duljine stranica trokuta cijeli brojevi, pri čemu je jedna stranica jednaka 5, a druga 1. Kolika je duljina treće stranice?

▼ 13.1. Ulaznica košta Rs. Nakon sniženja cijene karata, broj putnika porastao je za 50%, dok su prihodi porasli za 25%. Koliko je koštala karta nakon sniženja?

13.2. Od Nižnjeg Novgoroda do Astrahana brod ide 5 dana, a natrag - 7 dana. Koliko dugo će splavi ploviti od Nižnjeg Novgoroda do Astrahana?

13.3. Jura uzeo knjigu na 3 dana. Prvog dana pročitao je pola knjige, drugog dana je pročitao jednu trećinu preostalih stranica, a broj pročitanih stranica trećeg dana jednak je polovini pročitanih stranica u prva dva dana. Jeste li uspjeli Jura pročitati knjigu za 3 dana?

13.4. Aljoša, Borja i Vitya učiti u istom razredu. Jedan ide iz škole autobusom, drugi tramvajem, treći trolejbusom. Jedan dan nakon nastave Aljoša otišao vidjeti prijatelja na autobusnu stanicu. Kad je pored njih prošao trolejbus, treći prijatelj je viknuo s prozora: “ Borja, zaboravio si bilježnicu u školi!” Kojim prijevoznim sredstvom svi idu kući?

13.5. Sada sam dvostruko stariji nego što si ti bio kad sam ja imao godina koliko ti sada imaš. Sada smo zajedno 35 godina. Koliko svatko od vas ima godina?

▼ 14.1. Dana je 2001. Poznato je da je zbroj bilo koja četiri od njih pozitivan. Je li točno da je zbroj svih brojeva pozitivan?

14.2. Kad je biciklist prošao tračnicama, pukla je guma. Ostatak puta je prošao pješice i na njemu potrošio 2 puta više vremena nego na vožnju biciklom. Koliko je puta biciklist vozio brže nego što je hodao?

14.3. Postoje dvije tavarske vage i utezi za vaganje od 1, 3, 9, 27 i 81 g. Teret se stavlja na jednu vagu, a utege je dopušteno staviti na obje tegle. Dokažite da se vaga može uravnotežiti ako je masa tereta: a) 13 g; b) 19 g; c) 23 g; d) 31

14.4. Učenik je na ploču napisao primjer množenja dvoznamenkastih brojeva. Zatim je izbrisao sve brojeve i zamijenio ih slovima: isti brojevi - ista slova, a različiti - različiti. Rezultat je jednakost: . Dokažite da je učenik bio u krivu.

14.5. Među glazbenicima svaki sedmi je šahist, a među šahistima svaki deveti je glazbenik. Tko je više: glazbenici ili šahisti? Zašto?

▼ 15.1. Duljina pravokutnog područja povećana je za 35%, a širina smanjena za 14%. Za koliko posto se promijenila površina?

15.2. Izračunaj zbroj znamenki broja 109! Zatim su izračunali zbroj znamenki novodobivenog broja i tako nastavili dok se nije dobio jednoznamenkasti broj. Koji je ovo broj?

15.3. Tri petka u određenom mjesecu padala su na parne datume. Koji je dan u tjednu bio 18. ovog mjeseca?

15.4. Slučaj se rješava Brown, Jones i Smith. Jedan od njih počinio je zločin. U istrazi je svaki od njih dao po dvije izjave:

Smeđa: 1. Nisam kriminalac. 2. Jones također.

Jones: 1, Nije Brown. 2. Ovo je Smith.

Živi: 1. Zločinac Brown. 2. Nisam ja.

Utvrđeno je da je jedan od njih dva puta lagao, drugi dva puta rekao istinu, a treći jednom slagao i jednom rekao istinu. Tko je počinio zločin?

15.5. Na satu 19 h 15 min. Koliki je kut između minutne i satne kazaljke?

▼ 16.1. Ako je osoba ispred vas u redu bila viša od osobe iza osobe ispred vas, je li osoba ispred vas viša od vas?

16.2. U razredu ima manje od 50 učenika. Za kontrolni rad, sedmi dio učenika dobio je ocjenu "5", treći dio - "4", a polovina - "3". Ostali su dobili "2". Koliko je bilo takvih poslova?

16.3. Sa kontrolnih točaka istovremeno su krenula dva biciklista ALI i NA jedan prema drugom i sreli se 70 km od ALI. Nastavljajući se kretati istim brzinama, stigli su do krajnjih odredišta i, odmorivši se isto toliko vremena, vratili se natrag. Drugi susret dogodio se 90 km od NA. Pronađite udaljenost od ALI prije NA.

16.4. Je li broj djeljiv 111…111 (999 jedinica) za 37?

16.5. Podijelite pravokutnik 18x8 na dijelove tako da se dijelovi mogu saviti u kvadrat.

▼ 17.1. Kada Vanja upitao koliko ima godina, pomislio je i rekao: "Ja sam tri puta mlađi od tate, ali tri puta stariji od Serjože." Dotrčao je mali Serezanje i rekao da je tata 40 godina stariji od njega. Koliko godina Kombi?

17.2. Teret je isporučen u tri skladišta. U prvo i drugo skladište dopremljeno je 400 tona, u drugo i treće zajedno 300 tona, a u prvo i treće skladište 440 tona.Koliko je tona tereta dopremljeno u svako skladište posebno?

17.3. Sa stropa sobe dvije su muhe gmizale okomito niz zid. Spustivši se na pod, otpuzali su natrag. Prva je muha puzala u oba smjera istom brzinom, a druga, iako se uspinjala dvostruko sporije od prve, ipak se spuštala dvostruko brže. Koja će od muha prva dopuzati natrag?

17.4. U trgovinu je dovezeno 25 sanduka jabuka tri sorte, au svakom od sanduka bile su jabuke jedne sorte. Možete li pronaći 9 gajbi jabuka iste sorte?

17.5. Pronađite dva prosta broja čiji je zbroj i razlika također prost broj.

▼ 18.1. Zamišljen je troznamenkasti broj u kojem se jedna znamenka poklapa s bilo kojim od brojeva 543, 142 i 562, a druge dvije se ne poklapaju. Koji je planirani broj?

18.2. Na balu je svaki gospodin plesao s tri dame, a svaka dama s tri gospodina. Dokažite da je broj dama na balu bio jednak broju gospode.

18.3. Škola ima 33 odjeljenja, 1150 učenika. Postoji li razred u ovoj školi s najmanje 35 učenika?

18.4. U jednom dijelu grada više od 94% kuća ima više od 5 katova. Koji je najmanji mogući broj kuća u tom području?

18.5. Nađi sve trokute čije su duljine stranica cijeli brojevi centimetara, a duljina svakog od njih nije veća od 2 cm.

▼ 19.1. Dokažite da ako je zbroj dva prirodna broja manji od 13, onda je njihov umnožak najviše 36.

19.2. Od 75 identičnih prstenova, jedan se razlikuje po težini od ostalih. Kako možete znati je li ovaj prsten lakši ili teži od ostalih u dva vaganja na vagi?

19.3. Avion je od A do B prvo letio brzinom od 180 km/h, ali kada mu je ostalo 320 km manje nego što je već preletio, povećao je brzinu na 250 km/h. Ispostavilo se da je prosječna brzina zrakoplova za cijelo putovanje bila 200 km/h. Odredite udaljenost od ALI do V.

19.4. Na zvuk razbijanja stakla policajac se okrenuo i ugledao četiri tinejdžera kako bježe od razbijenog izloga. Za 5 minuta bili su u policijskoj postaji. Andrija rekao da je staklo razbijeno Viktore, Viktore tvrdio da je kriv Sergej.Sergej uvjerio da Pobjednik laži, i Jurij inzistirao da to nije učinio. Iz daljnjeg razgovora pokazalo se da je samo jedan od momaka govorio istinu. Tko je razbio staklo?

19.5. Na ploči su napisani svi prirodni brojevi od 1 do 99. Kojih je brojeva više na ploči – parnih ili neparnih?

▼ 20.1. Iz sela su u grad otišla dva seljaka. Nakon što su prošli stazu, sjeli su da se odmore. "Koliko još treba ići?" upita jedan drugog. “Imamo još 12 km više nego što smo već prošli”, bio je odgovor. Kolika je udaljenost između grada i sela?

20.2. Dokažite da broj 7777 + 1 nije djeljiv s 5.

20.3. U obitelji je četvero djece, imaju 5, 8, 13 i 15 godina. Ime djece Anya, Borya, Vera i Galya. Koliko svako dijete ima godina ako jedna od djevojčica ide u vrtić, Anya stariji Bori i zbroj godina Ani i Vjera je djeljiv sa 3?

20.4. U mračnoj sobi nalazi se 10 lubenica i 8 dinja (dinje i lubenice se ne razlikuju na dodir). Koliko voća treba uzeti da među njima budu najmanje dvije lubenice?

20.5. Pravokutna školska parcela ima opseg 160 m. Kako će se promijeniti njezina površina ako se duljina svake stranice poveća za 10 m?

▼ 21.1. Nađi zbroj 1 + 5 + ... + 97 + 101.

21.2. Jučer je na nastavi bilo 8 puta više prisutnih učenika nego izostalih. Danas nisu došla još 2 učenika i pokazalo se da nedostaje 20% učenika od ukupnog broja prisutnih u razredu. Koliko je učenika u razredu?

21.3. Što je više od 3200 ili 2300?

21.4. Koliko dijagonala ima tridesetčetvorka?

21.5. U sredini kvadratnog prostora nalazi se cvjetnjak, koji također ima oblik kvadrata. Površina parcele je 100 m2. Strana cvjetnjaka je upola manja od strane stranice. Koja je površina cvjetnjaka?

▼ 22.1. Smanjite razlomak

22.2. Komad žice duljine 102 cm mora se izrezati na komade duljine 15 i 12 cm tako da nema nikakvih ukrasa. Kako to učiniti? Koliko rješenja ima zadatak?

22.3. U kutiji se nalazi 7 crvenih i 5 plavih olovaka. Olovke se iz kutije uzimaju u mraku. Koliko olovaka treba uzeti da među njima budu najmanje dvije crvene i tri plave?

22.4. U jednoj posudi 2a litara vode, a druga je prazna. Pola vode se prelije iz prve posude u drugu,

zatim se voda iz 2. prelije u 1. pa se voda iz 1. ulije u 2. itd. Koliko će litara vode biti u prvoj posudi nakon transfuzije 1995.?

8. Precrtaj stotinu znamenki iz broja ... 5960 tako da dobiveni broj bude najveći.

▼ 23.1. Prvo su popili šalice crne kave i dolili je mlijekom. Zatim su popili čaše i ponovno je napunili mlijekom. Zatim su popili još pola šalice i opet dolili mlijekom. Na kraju su popili cijelu čašu. Što ste više popili: kavu ili mlijeko?

23.2. Troznamenkastom broju s lijeve strane dodano je 3 i povećalo se 9 puta. Koji je ovo broj?

23.3. Iz paragrafa ALI paragrafu NA dvije kornjaše pužu i vraćaju se. Prva je kornjaša jednakom brzinom puzala u oba smjera. Drugi se uvukao NA 1,5 puta brže i nazad 1,5 puta sporije od prvog. Koja se buba vratila ALI prije?

23.4. Koji je broj veći: 2379∙23 ili 2378∙23?

23.5. Površina kvadrata je 16 m2. Kolika će biti površina kvadrata ako:

a) povećati stranicu kvadrata, 2 puta?

b) povećati stranicu kvadrata 3 puta?

C) povećati stranicu kvadrata za 2 dm?

▼ 24.1. S kojim brojem treba pomnožiti da bi se dobio broj koji je napisan samo peticama?

24.2. Je li točno da je broj 1 kvadrat nekog prirodnog broja?

24.3. auto iz ALI u NA putovao prosječnom brzinom od 50 km/h i vratio se natrag brzinom od 30 km/h. Kolika je njegova prosječna brzina?

24.4. Dokažite da se svaki iznos cijelog broja rubalja veći od sedam može platiti bez sitniša u novčanicama od 3 i 5 rubalja?

24.5. U pogon su dovezene dvije vrste trupaca: dužine 6 i 7 m. Potrebno ih je raspiliti na metarske trupce. Kakve je trupce isplativije piliti?

▼ 25.1. Zbroj više brojeva je 1. Može li zbroj njihovih kvadrata biti manji od 0,01?

25.2. Ima 10 vrećica kovanica. Devet vrećica sadrži prave kovanice (svaka težine 10 g), a jedna sadrži lažne kovanice (svaka težine 11 g). Jednim vaganjem na elektronskoj vagi odredite u kojoj se vrećici nalaze krivotvoreni novčići.

25.3. Dokažite da zbroj bilo koja četiri uzastopna prirodna broja nije djeljiv s 4.

25.3. Iz broja ... 5960 precrtaj sto znamenki tako da dobiveni broj bude najmanji.

25.4. Kupljeno nekoliko identičnih knjiga i identičnih albuma. Knjige su se plaćale 10 rubalja. 56 kop. Koliko je knjiga kupljeno ako je cijena jedne knjige više od rublje veća od cijene albuma, a knjiga je kupljeno 6 više od albuma.

▼ 26.1. Dvije nasuprotne stranice pravokutnika povećamo za svoj dio, a druge dvije smanjimo za dio. Kako se promijenila površina pravokutnika?

26.2. Na nogometnom turniru sudjeluje deset ekipa. Dokažite da će za bilo koji raspored utakmica uvijek postojati dvije momčadi koje su odigrale isti broj utakmica.

26.3. Zrakoplov leti pravocrtno od grada A do grada B i zatim natrag. Njegova vlastita brzina je konstantna. Kada će avion brže preletjeti cijeli put: bez vjetra ili s vjetrom koji stalno puše u smjeru od A do B?

26.4. Brojevi 100 i 90 podijeljeni su istim brojem. U prvom slučaju ostatak je bio 4, au drugom - 18. Kojim je brojem izvršeno dijeljenje?

26.5. Šest prozirnih tikvica s vodom postavljeno je u dva paralelna reda po 3 tikvice u svakom. Na sl. 1 vidljive su tri prednje tikvice, a na sl. 2 - dvije desne strane. Kroz prozirne stijenke tikvica vidljive su razine vode u svakoj vidljivoj tikvi i u svim tikvicama iza njih. Odredi redoslijed tikvica i kolika je razina vode u svakoj od njih.

▼ 27.1. Prvog dana ekipa kosaca pokosila je pola livade i još 2 ha, a drugog dana 25% preostalog dijela i zadnjih 6 ha. Pronađite površinu livade.

27.2. Ima 11 vreća kovanica. Deset vrećica sadrži prave kovanice (svaka težine 10 g), a jedna sadrži lažne kovanice (svaka težine 11 g). U jednom vaganju odredite u kojoj se vrećici nalaze krivotvoreni novčići.

27.3. U kutiji je 10 crvenih, 8 plavih i 4 žute olovke. Olovke se uzimaju iz ladice u mraku. Koji najmanji broj olovaka treba uzeti da među njima budu: a) najmanje 4 olovke iste boje? B) najmanje 6 olovaka iste boje? C) najmanje 1 olovka svake boje?

D) najmanje 6 plavih olovaka?

27.4. Vasya je rekao da zna rješenje jednadžbe hu 8+ x 8y= 1995. u prirodnim brojevima. Dokažite da je Vasya bio u krivu.

27.5. Nacrtajte takav mnogokut i unutar njega točku tako da se iz te točke ne vidi u cijelosti niti jedna stranica mnogokuta (na sl. 3 stranica nije u potpunosti vidljiva iz točke O AB).

▼ 28.1. Grisha i tata otišli su u streljanu. Dogovor je bio sljedeći: Grisha puca 5 udaraca i za svaki pogodak u metu dobiva pravo još 2 udarca. Ukupno je Grisha ispalio 17 hitaca. Koliko je puta pogodio metu?

28.2. List papira je izrezan na 4 komada, zatim su neki (možda svi) od tih dijelova također izrezani na 4 komada, itd. Može li rezultat biti točno 50 komada papira?

28.3. Prvu polovicu puta jahač je vozio brzinom 20 km/h, a drugu polovicu 12 km/h. Pronađite prosječnu brzinu vozača.

28.4. Postoje 4 lubenice različite težine. Kako ih pomoću tavaste vage bez utega, u najviše pet vaganja, rasporediti po rastućoj masi?

28.5. Dokažite da je nemoguće povući pravac tako da siječe sve stranice 1001-kuta (a da ne prolazi kroz njegove vrhove).

▼ 29.1. Prosti broj 1?

29.2. Jedna boca sadrži bijelo vino, a druga crno vino. Jednu kap crnog vina stavimo u bijelo, a zatim iz dobivene smjese jednu kap vratimo u crno vino. Što više - bijelo vino u crnom ili crno vino u bijelom?

29.3. Kuriri se jednolično, ali različitim brzinama kreću od ALI u NA jedni prema drugima. Nakon sastanka, jedan je trebao potrošiti još 16 sati da stigne na odredište, a drugi - 9 sati.Koliko vremena treba svakom od njih da prijeđe cijeli put od A do B?

29.4. Što je veće od 3111 ili 1714?

29.5. a) Zbroj stranica kvadrata je 40 cm. Kolika je površina kvadrata?

b) Površina kvadrata 64. Koliki mu je opseg?

▼ 30.1. Može li se broj 203 prikazati kao zbroj više članova čiji je umnožak također jednak 203?

30.2. Stotinu gradova povezano je zračnim linijama. Dokažite da među njima postoje dva grada kroz koje prolazi isti broj zrakoplovnih linija.

30.3. Od četiri izvana ista dijela, jedan se razlikuje po masi od ostala tri, ali se ne zna je li mu masa veća ili manja. Kako otkriti taj detalj dvama vaganjima na vagi bez utega?

30.4. Kojom znamenkom završava broj

13 + 23 + … + 9993?

30.5. Nacrtajte 3 ravne linije tako da list bilježnice bude podijeljen na najveći broj dijelova. Koliko će dijelova biti potrebno? Nacrtajte 4 ravne linije s istim uvjetom. Koliko sada ima dijelova?

RJEŠENJA PROBLEMA

1.1. Provjerom se uvjeravamo: ako se broj pomnoži s 9, rezultat će biti Pitanje za učenike: zašto treba “provjeravati” samo broj 9?)

1.2. Ako Anya ide povratno putovanje autobusom, tada joj cijelo putovanje traje 30 minuta, dakle, na jedan kraj autobusom stiže za 15 minuta. Ako Anya ide u školu pješice i natrag autobusom, onda na putu provede 1,5 sat, što znači da ona stigne pješice za 1 sat i 15 minuta. Ako Anya ide pješice do i iz škole, tada na putu provede 2 sata i 30 minuta.

1.3. Budući da je krumpir pojeftinio za 20%, sada na sav ranije kupljeni krumpir treba potrošiti 80% raspoloživog novca, a za preostalih 20%, što je 25%, kupiti još 1/4 krumpira. četiri

1.4. Tijek rješenja vidljiv je iz tablice:

	u koraku	1. korak	2. korak	3. po njima	4. korak	5. korak

1.5. Kako bi obišli sve 64 ćelije šahovske ploče, posjetivši svako polje točno jednom. Vitez mora napraviti 63 poteza. Svakim potezom skakač prelazi s bijelog polja na crno (ili s crnog polja na bijelo), dakle, nakon poteza s parnim brojevima, skakač će ići na polja iste boje kao prvotno, a nakon “čudnih” poteza na polja suprotne boje. Stoga, na 63. potezu, skakač ne može ući u gornji desni kut ploče, jer je iste boje kao gornji desni kut.