Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili dimenzije. Formule su prikazane u obliku slike, a ovdje su objašnjenja za primjenu ili obrazloženje njihove ispravnosti. Također, posebna slika prikazuje korespondenciju slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti donje formule, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formule za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer opisane kružnice oko trokuta
h- visina trokuta, spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta, spuštena na stranicu a, b, c

Imajte na umu da navedena oznaka odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog problema u geometriji bilo vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice na koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika s dimenzijama b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog s nas, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga upisanog u njega zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (lakše je zapamtiti na ovaj način)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu duljina njegovih stranica i njegovog poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga opisanog oko njega i sinusa svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznati duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice, podijeljen s dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutovi (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao po Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućuje izračunavanje površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su dane kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličan onom koji nije ovdje - pišite o tome na forumu. U rješenjima se funkcija sqrt() može koristiti umjesto simbola "kvadratnog korijena", u kojem je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz naveden je u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm, a kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz tvrdnje problema:
S=1/2*5*6*sin60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija nalazimo i zamjenjujemo u izrazu vrijednost sinusa od 60 stupnjeva. Bit će jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima nastavnika, vjerojatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta će imati oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetverostruče?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je prikazano u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta dane su varijablama a, b, c.
Ako se strane povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može staviti u zagrade iz sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 savršeno je izvučen kvadratni korijen pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte petu liniju donje slike)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, dovoljno nam je podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Omjere površina određujemo tako da izraze podijelimo jedan u drugi i smanjimo dobiveni razlomak.

Na internetu se može pronaći više od 10 formula za izračunavanje površine trokuta. Mnoge od njih se koriste u problemima s poznatim stranicama i kutovima trokuta. Međutim, postoji niz složenih primjera gdje su prema uvjetu zadatka poznati samo jedna stranica i kutovi trokuta, odnosno polumjer opisane ili upisane kružnice i još jedna karakteristika. U takvim slučajevima ne može se primijeniti jednostavna formula.

Formule u nastavku riješit će 95 posto problema u kojima trebate pronaći površinu trokuta.
Prijeđimo na razmatranje formula zajedničke površine.
Razmotrite trokut prikazan na donjoj slici

Na slici i dalje u formulama uvedene su klasične oznake svih njegovih karakteristika
a,b,c su stranice trokuta,
R je polumjer opisane kružnice,
r je polumjer upisane kružnice,
h[b],h[a],h[c] - visine nacrtane u skladu sa stranicama a,b,c.
alfa, beta, hamma - kutovi blizu vrhova.

Osnovne formule za površinu trokuta

1. Površina je jednaka polovici umnoška stranice trokuta i visine spuštene na ovu stranicu. U jeziku formula, ova se definicija može napisati kao

Dakle, ako su poznata stranica i visina, tada će svaki učenik pronaći površinu.
Usput, iz ove formule može se izvesti jedan koristan odnos između visina

2. Ako uzmemo u obzir da se visina trokuta kroz susjednu stranicu izražava ovisnošću

Zatim iz prve formule površine slijedi isti tip druge

Pažljivo pogledajte formule - lako ih je zapamtiti, jer rad sadrži dvije strane i kut između njih. Ako ispravno označimo stranice i kutove trokuta (kao na gornjoj slici), tada ćemo dobiti dvije strane a, b a kut se odnosi na treći C (hamma).

3. Za kutove trokuta relacija

Ovisnost vam omogućuje primjenu sljedećih formula za područje trokuta u izračunima

Primjeri ove ovisnosti izuzetno su rijetki, ali morate zapamtiti da postoji takva formula.

4. Ako su poznata stranica i dva susjedna kuta, tada se površina nalazi po formuli

5. Formula za površinu u smislu stranice i kotangensa susjednih kutova je sljedeća

Preuređivanjem indeksa možete dobiti ovisnosti za druge strane.

6. Donja formula površine koristi se u zadacima kada su vrhovi trokuta zadani na ravnini s koordinatama. U ovom slučaju površina je jednaka polovici modulo determinante.

7. Heronova formula koristi se u primjerima s poznatim stranicama trokuta.
Najprije pronađite poluopseg trokuta

Zatim odredite područje formulom

ili

Često se koristi u kodu programa kalkulatora.

8. Ako su poznate sve visine trokuta, tada se površina određuje formulom

Na kalkulatoru je teško izračunati, međutim u paketima MathCad, Mathematica, Maple površina je "jedan dva".

9. Sljedeće formule koriste poznate radijuse upisanih i opisanih kružnica.

Konkretno, ako su poznati polumjer i stranice trokuta ili njegov opseg, tada se površina izračunava prema formuli

10. U primjerima gdje su dane stranice i polumjer ili promjer opisane kružnice, površina se nalazi prema formuli

11. Sljedeća formula određuje površinu trokuta u smislu stranice i kutova trokuta.

I na kraju - posebni slučajevi:
Površina pravokutnog trokuta s katetama a i b jednaka je polovici njihova umnoška

Formula za površinu jednakostraničnog (pravilnog) trokuta=

\u003d jedna četvrtina umnoška kvadrata stranice i korijena iz tri.

Pojam područja

Koncept područja bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s takvom figurom kao što je kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Za cjelovitost, prisjećamo se dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.

Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.

Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.

Razmotrite primjer.

Primjer 1

Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika kojemu je jedna stranica duljine $5$ (od $5$ ćelija), a druga $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15 dolara.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i područje jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta pomoću visine i baze

Teorem 1

Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine povučene na tu stranicu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$ gdje je $AC=α$. Na ovu stranicu povučena je visina $BH$ i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Stoga je željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem je dokazan.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnovica ovog trokuta je $9$ (jer je $9$ $9$ ćelija). Visina je također $9$. Tada prema teoremu 1 dobivamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 dolara.

Heronova formula

Teorem 2

Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo

Iz trokuta $CBH$, po Pitagorinom teoremu, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trokut je jedan od najčešćih geometrijskih oblika, s kojim smo već upoznati u osnovnoj školi. Pitanje kako pronaći područje trokuta suočava se s svakim učenikom na nastavi geometrije. Dakle, koje se značajke pronalaženja područja dane figure mogu razlikovati? U ovom ćemo članku razmotriti osnovne formule potrebne za dovršenje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trokuta

Područje trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figure koja sadrži tri kuta. Ove vrste uključuju:

• tupi.
• Jednakostraničan (ispravan).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokračan.

Pogledajmo pobliže svaku od postojećih vrsta trokuta.

Takav geometrijski lik smatra se najčešćim u rješavanju geometrijskih problema. Kada postane potrebno nacrtati proizvoljni trokut, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrokutnom trokutu, kao što naziv implicira, svi kutovi su oštri i zbroj njih iznosi 180°.

Takav je trokut također vrlo čest, ali je nešto rjeđi od trokuta s oštrim kutom. Na primjer, kada rješavate trokut (to jest, znate nekoliko njegovih stranica i kutova i trebate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li kut tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

Vrijednost jednog od kutova prelazi 90 °, tako da preostala dva kuta mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15 ° ili čak 3 °).

Da biste pronašli područje trokuta ove vrste, morate znati neke od nijansi o kojima ćemo dalje govoriti.

Pravilni i jednakokračni trokut

Pravilan mnogokut je lik koji ima n kutova, u kojem su sve stranice i kutovi jednaki. Ovo je pravokutni trokut. Kako je zbroj svih kutova trokuta 180°, svaki od triju kutova iznosi 60°.

Pravokutni trokut, zbog svog svojstva, nazivamo i jednakostranični lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedna kružnica i samo jedna kružnica može biti opisana oko njega, a njihova središta se nalaze u jednoj točki.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokračni trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom su trokutu dvije stranice i dva kuta međusobno jednaki, a treća stranica (na koju prianjaju jednaki kutovi) je osnovica.

Na slici je prikazan jednakokračni trokut DEF kojemu su kutovi D i F jednaki, a DF je osnovica.

Pravokutni trokut

Pravokutni trokut je tako nazvan jer je jedan od njegovih kutova pravi kut, tj. jednak 90°. Zbroj druga dva kuta iznosi 90°.

Najveća stranica takvog trokuta, koja leži nasuprot kutu od 90 °, je hipotenuza, dok su druge dvije njegove strane noge. Za ovu vrstu trokuta primjenjiva je Pitagorina teorema:

Zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravokutni trokut BAC s hipotenuzom AC i katetama AB i BC.

Da biste pronašli područje trokuta s pravim kutom, morate znati brojčane vrijednosti njegovih nogu.

Prijeđimo na formule za pronalaženje površine zadane figure.

Osnovne formule za određivanje površine

U geometriji se mogu razlikovati dvije formule koje su prikladne za pronalaženje površine većine vrsta trokuta, naime za oštrokutne, tupokutne, pravilne i jednakokračne trokute. Analizirajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje područja figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu stranice i duljinu visine nacrtane na nju. Sama formula (polovica umnoška baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica zadanog trokuta, a H visina trokuta.

Na primjer, da biste pronašli područje oštrokutnog trokuta ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB s visinom CD i podijeliti dobivenu vrijednost s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći područje trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste upotrijebili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate nastaviti jednu njegovu stranicu i tek onda joj nacrtati visinu.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

Dvije strane i kut

Ova je formula, kao i prethodna, prikladna za većinu trokuta i po svom je značenju posljedica formule za određivanje površine stranice i visine trokuta. Odnosno, formula koja se razmatra može se lako izvesti iz prethodne. Njegov tekst izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O kut između stranica A i B.

Podsjetimo se da se sinus kuta može vidjeti u posebnoj tablici nazvanoj po izvanrednom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

A sada prijeđimo na druge formule koje su prikladne samo za iznimne vrste trokuta.

Površina pravokutnog trokuta

Osim univerzalne formule, koja uključuje potrebu crtanja visine u trokutu, područje trokuta koji sadrži pravi kut može se pronaći iz njegovih nogu.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi kut je pola umnoška njegovih krakova, ili:

gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.

pravokutni trokut

Ova vrsta geometrijskih figura razlikuje se po tome što se njezino područje može pronaći s navedenom vrijednošću samo jedne njegove strane (budući da su sve strane pravilnog trokuta jednake). Dakle, nakon što ste se susreli sa zadatkom "pronaći područje trokuta kada su strane jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trokuta.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati duljine triju stranica figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

gdje su a, b i c stranice zadanog trokuta.

Ponekad se daje zadatak: "površina pravilnog trokuta je pronaći duljinu njegove strane." U ovom slučaju trebate upotrijebiti već poznatu formulu za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njezinog kvadrata):

A 2 \u003d 4S / √3.

Ispitni problemi

Mnogo je formula u zadacima GIA iz matematike. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najprikladnije je nacrtati visinu na jednu od strana figure, odrediti njezinu duljinu ćelijama i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.

Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma iz geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri ugla, odgovor će biti jednako točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, razlikuju se takvi trokuti kao što su jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, oštrokutni i tupokutni.

Postoje mnoge formule za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Zato zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje vam mogu dobro doći ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. U nastavku će biti dane najrazumljivije i najkompliciranije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i dobro će vam doći kako za kućne potrebe, tako i za pomoć djeci. Sjetimo se kako izračunati površinu trokuta jednostavno kao guljenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 sq. cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut čiji je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni trokut). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju međusobno podijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje naučiti kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo ovaj će pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trokuta koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo koristiti prvu formulu i to s malim mrljama (crtali smo u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo pravi izračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokračnog trokuta, tada je najlakši način koristiti glavnu i, kao što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo područje jednakokračnog trokuta, saznat ćemo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut čije su dvije stranice jednake duljine. Ove dvije stranice nazivaju se stranice, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim, tj. jednakostranični trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate: