Prikazana su svojstva i grafovi funkcija snage za različite vrijednosti eksponenta. Osnovne formule, domene i skupovi vrijednosti, paritet, monotonost, porast i pad, ekstremi, konveksnost, infleksije, točke presjeka s koordinatnim osima, limiti, partikularne vrijednosti.

Formule funkcije snage

Na domeni funkcije snage y = x p vrijede formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Svojstva funkcija snage i njihovih grafova

Funkcija stepena s eksponentom jednakim nuli, p = 0

Ako je eksponent funkcije potencije y = x p jednak nuli, p = 0 , tada je funkcija potencije definirana za sve x ≠ 0 i konstantna je, jednaka jedinici:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funkcija potencije s prirodnim neparnim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim neparnim eksponentom n = 1, 3, 5, ... . Takav se pokazatelj također može napisati kao: n = 2k + 1, gdje je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativan cijeli broj. Ispod su svojstva i grafovi takvih funkcija.

Graf potencije y = x n s prirodnim neparnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 1, 3, 5, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Prijelomne točke: x=0, y=0
x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 1, funkcija je inverzna sama sebi: x = y
za n ≠ 1, inverzna funkcija je korijen stupnja n:

Funkcija potencije s prirodnim parnim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim parnim eksponentom n = 2, 4, 6, ... . Takav pokazatelj se također može napisati kao: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj. Svojstva i grafovi takvih funkcija dati su u nastavku.

Grafik potencije y = x n s prirodnim parnim eksponentom za razne vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
za x ≤ 0 monotono opada
za x ≥ 0 monotono raste
Ekstremi: minimum, x=0, y=0
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 2, kvadratni korijen:
za n ≠ 2, korijen stupnja n:

Funkcija potencije s cjelobrojnim negativnim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmotrimo funkciju potencije y = x p = x n s negativnim cijelim eksponentom n = -1, -2, -3, ... . Ako stavimo n = -k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj, tada se može prikazati kao:

Graf potencije y = x n s negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ... .

Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono se smanjuje
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = -1,
za n< -2 ,

Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s parnim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuća
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = -2,
za n< -2 ,

Funkcija stepena s racionalnim (frakcijskim) eksponentom

Razmotrimo funkciju potencije y = x p s racionalnim (frakcijskim) eksponentom, gdje je n cijeli broj, m > 1 je prirodan broj. Štoviše, n, m nemaju zajedničkih djelitelja.

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je neparan

Neka je nazivnik razlomljenog eksponenta neparan: m = 3, 5, 7, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p definirana je i za pozitivne i za negativne x vrijednosti. Razmotrimo svojstva takvih funkcija snage kada je eksponent p unutar određenih granica.

p je negativan, p< 0

Neka racionalni eksponent (s neparnim nazivnikom m = 3, 5, 7, ... ) bude manji od nule: .

Grafovi eksponencijalnih funkcija s racionalnim negativnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojnik, n = -1, -3, -5, ...

Ovdje su svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -1, -3, -5, ... neparan negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni broj.

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono se smanjuje
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = -2, -4, -6, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -2, -4, -6, ... paran negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... neparan prirodan broj .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuća
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

P-vrijednost je pozitivna, manja od jedan, 0< p < 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Neparni brojnik, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: -∞ < y < +∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вниз
za x > 0 : konveksno gore
Prijelomne točke: x=0, y=0
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 2, 4, 6, ...

Prikazana su svojstva funkcije snage y = x p s racionalnim eksponentom unutar 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< +∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно убывает
za x > 0 : monotono rastuće
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksan prema gore na x ≠ 0
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Znak: za x ≠ 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Eksponent p je veći od jedan, p > 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (p > 1) za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojnik, n = 5, 7, 9, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 5, 7, 9, ... neparan prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Prijelomne točke: x=0, y=0
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 4, 6, 8, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 4, 6, 8, ... paran prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 монотонно убывает
za x > 0 monotono raste
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je paran

Neka je nazivnik razlomačkog eksponenta paran: m = 2, 4, 6, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p nije definirana za negativne vrijednosti argumenta. Njegova svojstva podudaraju se sa svojstvima funkcije potencije s iracionalnim eksponentom (vidi sljedeći odjeljak).

Funkcija potencije s iracionalnim eksponentom

Promotrimo funkciju potencije y = x p s iracionalnim eksponentom p . Svojstva takvih funkcija razlikuju se od gore navedenih po tome što nisu definirana za negativne vrijednosti argumenta x. Za pozitivne vrijednosti argumenta, svojstva ovise samo o vrijednosti eksponenta p i ne ovise o tome je li p cijeli broj, racionalan ili iracionalan.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Funkcija potencije s negativnim p< 0

Domena: x > 0
Više vrijednosti: y > 0
Monotonija: monotono se smanjuje
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Ograničenja: ;
privatna vrijednost: Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funkcija potencije s pozitivnim eksponentom p > 0

Indikator je manji od jedne 0< p < 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno gore
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikator je veći od jednog p > 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Odjeljak sadrži referentni materijal o osnovnim elementarnim funkcijama i njihovim svojstvima. Dana je klasifikacija elementarnih funkcija. Dolje se nalaze poveznice na pododjeljke koji raspravljaju o svojstvima specifičnih funkcija - grafovima, formulama, derivacijama, antiderivacijama (integralima), proširenjima u nizove, izrazima u smislu kompleksnih varijabli.

Referentne stranice za elementarne funkcije

Klasifikacija elementarnih funkcija

Algebarska funkcija je funkcija koja zadovoljava jednadžbu:
,
gdje je polinom u ovisnoj varijabli y i nezavisnoj varijabli x. Može se napisati kao:
,
gdje su polinomi.

Algebarske funkcije se dijele na polinome (cijele racionalne funkcije), racionalne funkcije i iracionalne funkcije.

Cjelokupna racionalna funkcija, koji se također naziva polinom ili polinom, dobiva se iz varijable x i konačnog broja brojeva pomoću aritmetičkih operacija zbrajanja (oduzimanja) i množenja. Nakon otvaranja zagrada polinom se svodi na kanonski oblik:
.

Razlomačka racionalna funkcija, ili jednostavno racionalna funkcija, dobiva se iz varijable x i konačnog broja brojeva pomoću aritmetičkih operacija zbrajanja (oduzimanja), množenja i dijeljenja. Racionalna funkcija može se svesti na formu
,
gdje su i polinomi.

Iracionalna funkcija je algebarska funkcija koja nije racionalna. U pravilu se pod iracionalnom funkcijom podrazumijevaju korijeni i njihovi sastavi s racionalnim funkcijama. Korijen stupnja n definiran je kao rješenje jednadžbe
.
Označava se ovako:
.

Transcendentne funkcije nazivaju se nealgebarske funkcije. To su eksponencijalne, trigonometrijske, hiperboličke i inverzne funkcije.

Pregled osnovnih elementarnih funkcija

Sve elementarne funkcije mogu se prikazati kao konačni broj operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja koje se izvode na izrazu oblika:
z t .
Inverzne funkcije također se mogu izraziti logaritmima. Glavne elementarne funkcije navedene su u nastavku.

Funkcija snage:
y(x) = x p,
gdje je p eksponent. Ovisi o bazi x.
Inverzna funkcija snage također je funkcija snage:
.
Za cjelobrojnu nenegativnu vrijednost eksponenta p, to je polinom. Za cjelobrojnu vrijednost p je racionalna funkcija. Uz racionalnu vrijednost – iracionalna funkcija.

Transcendentne funkcije

Eksponencijalna funkcija:
y(x) = a x,
gdje je a baza stupnja. Ovisi o eksponentu x.
Inverzna funkcija je logaritam s bazom a:
x= prijavite se.

Eksponent, e na potenciju x:
y(x) = e x,
Ovo je eksponencijalna funkcija čija je derivacija jednaka samoj funkciji:
.
Baza eksponenta je broj e:
≈ 2,718281828459045... .
Inverzna funkcija - prirodni logaritam - logaritam na bazu e :
x= ln y ≡ log e y.

Trigonometrijske funkcije:
Sinus : ;
Kosinus : ;
Tangenta : ;
Kotangens : ;
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = -1.

Inverzne trigonometrijske funkcije:
Arkusinus: x = arcsin y, ;
Arkosinus: x = luk cos y, ;
Arktangens: x = arctg y, ;
Arkus tangens: x = arcctg y, .

Da biste razumjeli ovu temu, razmotrite funkciju prikazanu na grafikonu // Pokažimo kako vam graf funkcije omogućuje određivanje njegovih svojstava.

Analiziramo svojstva funkcije na primjeru

Opseg funkcije je yavl. interval [ 3,5; 5.5].

Raspon funkcije yavl. interval [ 1; 3].

1. Pri x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, vrijednost funkcije je nula.

Vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije nula naziva se nula funkcije.

//oni. za ovu funkciju brojevi -3;-1;1.5; 4,5 su nule.

2. Na intervalima [ 4.5; 3) i (1; 1.5) i (4.5; 5.5] graf funkcije f nalazi se iznad apscisne osi, a na intervalima (-3; -1) i (1.5; 4.5) ispod apscisne osi, to je objasniti na sljedeći način - na intervalima [ 4.5; 3) i (1; 1.5) i (4.5; 5.5] funkcija poprima pozitivne vrijednosti, a na intervalima (-3; -1) i ( 1.5; 4.5) negativne.

Svaki od navedenih intervala (gdje funkcija uzima vrijednosti istog predznaka) naziva se intervalom konstantnog predznaka funkcije f.//tj. na primjer, ako uzmemo interval (0; 3), onda to nije interval konstantnog predznaka zadane funkcije.

U matematici, kada se traže intervali konstantnog predznaka funkcije, uobičajeno je označiti intervale maksimalne duljine. //Oni. interval (2; 3) je interval postojanosti funkcija f, ali odgovor treba sadržavati interval [ 4,5; 3) koji sadrži interval (2; 3).

3. Ako se pomaknete po x-osi od 4,5 do 2, primijetit ćete da graf funkcije ide prema dolje, odnosno da se vrijednosti funkcije smanjuju. //U matematici je uobičajeno reći da na intervalu [ 4,5; 2] funkcija je opadajuća.

Kako x raste od 2 do 0, graf funkcije ide gore, tj. vrijednosti funkcije rastu. //U matematici je uobičajeno reći da na intervalu [ 2; 0] funkcija raste.

Funkcija f se poziva ako je za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x1 i x2 iz ovog intervala tako da je x2 > x1 zadovoljena nejednakost f (x2) > f (x1). // ili Funkcija je pozvana povećavajući se u nekom intervalu, ako za bilo koju vrijednost argumenta iz ovog intervala, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.//tj. što je više x, to je više y.

Poziva se funkcija f opadajući u nekom intervalu, ako je za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x1 i x2 iz ovog intervala takve da je x2 > x1 zadovoljena nejednakost f(x2) koja opada na nekom intervalu, ako je za bilo koju vrijednost argumenta iz tog intervala veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. //oni. što je više x, to je manje y.

Ako je funkcija rastuća u cijeloj domeni definicije, tada se zove povećavajući se.

Ako je funkcija opadajuća u cijeloj domeni definicije, tada se poziva opadajući.

Primjer 1 graf rastućih i padajućih funkcija.

Primjer 2

Definirajte yavl. raste li linearna funkcija f(x) = 3x + 5 ili pada?

Dokaz. Poslužimo se definicijama. Neka su x1 i x2 proizvoljne vrijednosti argumenta, a x1< x2., например х1=1, х2=7

Funkcije i njihova svojstva

Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova.Funkcija je takva ovisnost varijable y o varijabli x, u kojoj svakoj vrijednosti varijable x odgovara jedna vrijednost varijable y.

varijabla x nazvao neovisna varijabla ili argument. varijabla na nazvao zavisna varijabla. Kažu i tovarijabla y je funkcija varijable x. Vrijednosti zavisne varijable se nazivajuvrijednosti funkcije.

Ako je ovisnost varijablena iz varijablex je funkcija, može se napisati na sljedeći način:g= f( x ). (Čitati:na jednakif izx .) Simbolf( x) označavaju vrijednost funkcije koja odgovara vrijednosti argumenta jednakogx .

Sve vrijednosti nezavisne varijable oblikujuopseg funkcije . Sve vrijednosti koje zavisna varijabla poprimaraspon funkcija .

Ako je funkcija dana formulom, a njena domena definicije nije navedena, tada se smatra da se domena funkcije sastoji od svih vrijednosti argumenta za koje formula ima smisla.

Načini postavljanja funkcije:

1.analitička metoda (funkcija se postavlja pomoću matematičke formule;

2.tabularno (funkcija se postavlja pomoću tablice)

3.opisni način (funkcija je dana verbalnim opisom)

4.grafička metoda (funkcija se postavlja pomoću grafa).

Grafikon funkcije nazivamo skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate - odgovarajuće vrijednosti funkcije.

GLAVNA SVOJSTVA FUNKCIJA

1. Funkcijske nule

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

2. Funkcijski intervali

Intervali konstantnog predznaka funkcije su takvi skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

3. Rastuća (opadajuća) funkcija.

Povećavajući se u određenom intervalu funkcija je ona funkcija u kojoj većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara veća vrijednost funkcije.

Funkcija y= f ( x ) nazvao povećavajući se na intervalu (a; b ), ako za bilo koji x 1 i x 2 iz ovog intervala tako dax 1 < x 2 , nejednakostf ( x 1 )< f ( x 2 ).

opadajući u nekom intervalu funkcija je ona funkcija čijoj većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara manja vrijednost funkcije.

Funkcija na = f ( x ) nazvao opadajući na intervalu (a; b ) , ako postoji x 1 i x 2 iz ovog intervala tako da x 1 < x 2 , nejednakostf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Parne (neparne) funkcije

Ravnomjerna funkcija - funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo kojix iz domene definicije jednakostf (- x ) = f ( x ) . Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu.

Na primjer, y = x 2 je parna funkcija.

neparna funkcija- funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f (- x ) = - f (x ). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Na primjer: y = x 3 - neparna funkcija .

Opća funkcija nije ni parna ni neparna (y = x 2 +x ).

Svojstva nekih funkcija i njihove grafike

1. Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje k i b - brojevi.

Područje definiranja linearne funkcije je skupR realni brojevi.

Grafikon linearne funkcijena = kx + b ( k ≠ 0) je pravac koji prolazi točkom (0;b ) a paralelna s pravcemna = kx .

Ravno, ne paralelno s osiOU, je graf linearne funkcije.

Svojstva linearne funkcije.

1. Kada k > 0 funkcija na = kx + b

2. Kada k < 0 funkcija y= kx + b opadajući u domeni definicije.

g = kx + b ( k ≠ 0 ) je cijeli brojevni pravac, tj. MnogoR realni brojevi.

Na k = 0 skup vrijednosti funkcijey= kx + b sastoji se od jednog brojab .

3. Kada b = 0 i k = 0 funkcija nije ni parna ni neparna.

Na k = 0 linearna funkcija ima obliky= b i kod b ≠ 0 ravnomjerno je.

Na k = 0 i b = 0 linearna funkcija ima obliky= 0 i istovremeno su i parni i neparni.

Grafikon linearne funkcijey= b je pravac koji prolazi točkom (0; b ) a paralelno s osiOh. Imajte na umu da kada b = 0 graf funkcijey= b poklapaju s osi Oh .

5. Kada k > 0 mi to imamo na> 0 ako i na< 0 ako . Na k < 0 imamo da je y > 0 ako i kod< 0, если .

2. Funkcija g = x 2

Rrealni brojevi.

Davanjem varijablex višestruke vrijednosti iz opsega funkcije i izračunavanje odgovarajućih vrijednostina prema formuli g = x 2 , grafički nacrtajte funkciju.

Grafikon funkcije g = x 2 nazvao parabola.

Svojstva funkcije y = x 2 .

1. Ako x= 0, tada y= 0, tj. parabola ima zajedničku točku (0; 0) s koordinatnim osama – ishodištem.

2. Ako x ≠ 0 , zatim na > 0, tj. sve točke parabole, osim ishodišta, leže iznad x-osi.

3. Skup vrijednosti funkcijena = x 2 je funkcija rasponana = x 2 smanjuje se.

x

3. Funkcija

Opseg ove funkcije je funkcija rasponag = | x | smanjuje se.

7. Funkcija poprima najmanju vrijednost u točkiX, to je 0. Ne postoji najveća vrijednost.

6. Funkcija

Opseg funkcije: .

Raspon funkcija: .

Grafikon je hiperbola.

1. Funkcijske nule.

y ≠ 0, bez nula.

2. Intervali konstantnosti predznaka,

Ako a k > 0, dakle na> 0 pri x > 0; na < 0 при x < О.

Ako a k < 0, то na < 0 при x > 0; na> 0 pri x < 0.

3. Intervali povećanja i smanjenja.

Ako a k > 0, tada funkcija opada kada .

Ako a k < 0, то функция возрастает при .

4. Parne (neparne) funkcije.

Funkcija je čudna.

Kvadratni trinom

Vrsta jednadžbe sjekira 2 + bx + c = 0, gdje je a , b i S - neki brojevi, ia≠ 0, zove se kvadrat.

U kvadratnoj jednadžbisjekira 2 + bx + c = 0 koeficijent a nazvao prvi koeficijent b - drugi koeficijenti, sa - slobodan član.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe je:

.

Izraz se zove diskriminirajući kvadratna jednadžba i označava se saD .

Ako a D = 0, tada postoji samo jedan broj koji zadovoljava jednadžbu sjekira 2 + bx + c = 0. Međutim, dogovorili smo se reći da u ovom slučaju kvadratna jednadžba ima dva jednaka realna korijena, a sam broj nazvao dvostruki korijen.

Ako a D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ako a D > 0, tada kvadratna jednadžba ima dva različita realna korijena.

Neka je kvadratna jednadžbasjekira 2 + bx + c = 0. Budući da a≠ 0, dakle, dijeleći obje strane ove jednadžbe sa, dobivamo jednadžbu . Pretpostavljajući i , dolazimo do jednadžbe , u kojoj je prvi koeficijent jednak 1. Takva se jednadžba nazivadano.

Formula za korijene gornje kvadratne jednadžbe je:

.

Jednadžbe oblika

a x 2 + bx = 0, sjekira 2 + sa = 0, a x 2 = 0

nazvao nepotpune kvadratne jednadžbe. Nepotpune kvadratne jednadžbe rješavaju se rastavljanjem lijeve strane jednadžbe na faktore.

Vietin teorem .

Zbroj korijena kvadratne jednadžbe jednak je omjeru drugog koeficijenta prema prvom, uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena je omjer slobodnog člana prema prvom koeficijentu, tj.

Inverzni teorem.

Ako je zbroj bilo koja dva brojax 1 i x 2 jednako je , a njihov proizvod je, onda su ovi brojevi korijeni kvadratne jednadžbeOh 2 + b x + c = 0.

funkcija pogleda Oh 2 + b x + c nazvao kvadratni trinom. Korijeni ove funkcije su korijeni odgovarajuće kvadratne jednadžbeOh 2 + b x + c = 0.

Ako je diskriminant kvadratnog trinoma veći od nule, tada se taj trinom može predstaviti kao:

Oh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 )

gdje x 1 i x 2 - tročlani korijeni

Ako je diskriminant kvadratnog trinoma nula, tada se taj trinom može predstaviti kao:

Oh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 ) 2

gdje x 1 je korijen trinoma.

Na primjer, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Vrsta jednadžbe Oh 4 + b x 2 + sa= 0 se zove bi-kvadrat. Promjenom varijable prema formulix 2 = g svodi se na kvadratnu jednadžbua g 2 + po + sa = 0.

kvadratna funkcija

kvadratna funkcija je funkcija koja se može napisati kao formulag = sjekira 2 + bx + c , gdje x je nezavisna varijabla,a , b i c su neki brojevi, ia ≠ 0.

Svojstva funkcije i vrsta njezinog grafikona određuju se uglavnom vrijednostima koeficijentaa i diskriminirajuće.

Svojstva kvadratne funkcije

Domena:R;

Raspon vrijednosti:

na a > 0 [- D/(4 a); ∞)

na a < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Parni, neparni:

na b = 0 funkcija je parna

na b ≠ 0 funkcija nije ni parna ni neparna

na D> 0 dvije nule: ,

na D= 0 jedna nula:

na D < 0 нулей нет

Intervali postojanosti:

ako je a > 0, D> 0, dakle

ako je a > 0, D= 0, tada

e ako je a > 0, D < 0, то

ako a< 0, D> 0, dakle

ako a< 0, D= 0, tada

ako a< 0, D < 0, то

- Intervali monotonosti

za a > 0

na a< 0

Graf kvadratne funkcije jeparabola - krivulja simetrična u odnosu na ravnu liniju koja prolazi vrhom parabole (vrh parabole je presječna točka parabole s osi simetrije).

Da biste nacrtali kvadratnu funkciju, trebate:

1) pronaći koordinate vrha parabole i označiti ga u koordinatnoj ravnini;

2) izgraditi još nekoliko točaka koje pripadaju paraboli;

3) spojite označene točke glatkom linijom.

Koordinate vrha parabole određene su formulama:

; .

Pretvaranje grafova funkcija

1. rastezanje grafička umjetnosty = x 2 duž osina u|a| puta (kada|a| < 1 je kompresija u 1/|a| jednom).

Ako, a< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси x (granovi parabole bit će usmjereni prema dolje).

Proizlaziti: graf funkcijey=ah 2 .

2. Paralelni prijenos graf funkcijey=ah 2 duž osix na| m | (desno na

m > 0 i lijevo nat< 0).

Rezultat: graf funkcijey \u003d a (x - t) 2 .

3. Paralelni prijenos graf funkcije duž osina na| n | (gore un> 0 i dolje naP< 0).

Rezultat: graf funkcijey \u003d a (x - t) 2 + str.

Kvadratne nejednadžbe

Nejednakosti oblikaOh 2 + b x + c > 0 iOh 2 + bx + c< 0, gdjex - varijabla,a , b iS - neki brojevi, i,a≠ 0 nazivaju se nejednakosti drugog stupnja s jednom varijablom.

Rješavanje nejednadžbe drugog stupnja s jednom varijablom može se promatrati kao pronalaženje intervala u kojima odgovarajuća kvadratna funkcija poprima pozitivne ili negativne vrijednosti.

Za rješavanje nejednakosti oblikaOh 2 + bx + c > 0 iOh 2 + bx + c< 0 učinite sljedeće:

1) pronaći diskriminant kvadratnog trinoma i otkriti ima li trinom korijene;

2) ako trinom ima korijene, označite ih na osix a kroz označene točke shematski je nacrtana parabola čiji su krakovi usmjereni prema gore naa > 0 ili dolje naa< 0; ako trinom nema korijena, tada shematski prikažite parabolu koja se nalazi u gornjoj poluravnini naa > 0 ili na dnu kadaa < 0;

3) nađi na osix intervali za koje se točke parabole nalaze iznad osix (ako riješe nejednadžbuOh 2 + bx + c > 0) ili ispod osix (ako riješe nejednadžbuOh 2 + bx + c < 0).

Primjer:

Riješimo nejednadžbu .

Razmotrite funkciju

Njegov graf je parabola, čije su grane usmjerene prema dolje (jer ).

Saznajte kako se graf nalazi u odnosu na osX. Riješimo jednadžbu za ovo . Shvaćamo tox = 4. Jednadžba ima jedan korijen. Dakle, parabola dodiruje osX.

Nakon što smo shematski prikazali parabolu, nalazimo da funkcija uzima negativne vrijednosti za bilo kojuX, osim 4.

Odgovor se može napisati ovako:x - bilo koji broj koji nije jednak 4.

Rješavanje nejednadžbi metodom intervala

shema rješenja

1. Pronađite nule funkcija na lijevoj strani nejednadžbe.

2. Označi položaj nula na brojevnoj osi i odredi njihov višekratnik (akok ja paran, onda nula parnog višestrukosti, akok ja neparan - pa neparan).

3. Pronađite znakove funkcije u intervalima između svojih nula, počevši od krajnjeg desnog intervala: u tom intervalu je funkcija na lijevoj strani nejednadžbe uvijek pozitivna za reducirani oblik nejednakosti. Pri prelasku s desna na lijevo kroz nulu funkcije s jednog intervala na susjedni treba uzeti u obzir:

ako je nula neparna višestrukost, predznak funkcije se mijenja,

ako je nula parna višestrukost, znak funkcije je sačuvan.

4. Zapiši odgovor.

Primjer:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Pronađene nulte funkcije. Oni su jednaki:x 1 = -6; x 2 = -1; x 3 = 4.

Na koordinatnoj liniji označavamo nulte točke funkcijef ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Pronađite predznake ove funkcije u svakom od intervala (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) i

Sa slike je vidljivo da je skup rješenja nejednadžbe unija intervala (-∞; -6) i (-1; 4).

Odgovor: (-∞ ; -6) i (-1; 4).

Razmatrani način rješavanja nejednadžbi naziva semetoda intervala.