Interpolacija. Uvod. Opća izjava problema

Pri rješavanju različitih praktičnih problema rezultati istraživanja prikazuju se u obliku tablica koje prikazuju ovisnost jedne ili više mjerenih veličina o jednom određujućem parametru (argumentu). Ovakve tablice obično se prikazuju u obliku dva ili više redaka (stupaca) i koriste se za oblikovanje matematičkih modela.

Tablično navedeno u matematički modeli funkcije se obično pišu u tablicama oblika:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Ograničene informacije koje pružaju takve tablice u nekim slučajevima zahtijevaju dobivanje vrijednosti funkcija Y j (X) (j=1,2,…,m) u točkama X koje se ne podudaraju s nodalnim točkama tablice X i (i=0,1,2,… ,n) . U takvim slučajevima potrebno je odrediti neki analitički izraz φ j (X) za izračunavanje približnih vrijednosti funkcije koja se proučava Y j (X) u proizvoljno određenim točkama X. Funkcija φ j (X) koja se koristi za određivanje približnih vrijednosti funkcije Y j (X) naziva se aproksimirajuća funkcija (od latinskog approximo - približavanje). Blizina aproksimirajuće funkcije φ j (X) aproksimiranoj funkciji Y j (X) osigurava se odabirom odgovarajućeg aproksimacijskog algoritma.

svi daljnja razmatranja i izvući ćemo zaključke za tablice koje sadrže početne podatke jedne funkcije koja se proučava (tj. za tablice s m=1).

1. Metode interpolacije

1.1 Postavka problema interpolacije

Najčešće se za određivanje funkcije φ(X) koristi formulacija koja se naziva formulacija problema interpolacije.

U ovoj klasičnoj formulaciji problema interpolacije potrebno je odrediti približnu analitičku funkciju φ(X), čije su vrijednosti u čvornim točkama X i odgovaraju vrijednostima Y(H i ) izvorne tablice, tj. Uvjeti

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n)

Ovako konstruirana aproksimirajuća funkcija φ(X) omogućuje dobivanje prilično bliske aproksimacije interpolirane funkcije Y(X) unutar raspona vrijednosti argumenta [X 0 ; X n ], određeno tablicom. Prilikom određivanja vrijednosti argumenta X, ne pripadajući ovom intervalu, problem interpolacije pretvara se u problem ekstrapolacije. U tim slučajevima, točnost

vrijednosti dobivene prilikom izračunavanja vrijednosti funkcije φ(X) ovise o udaljenosti vrijednosti argumenta X od X 0, ako je X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Na matematičko modeliranje interpolirajuća funkcija može se koristiti za izračunavanje približnih vrijednosti funkcije koja se proučava u srednjim točkama podintervala [H i ; X i+1]. Ovaj postupak se zove zbijanje stola.

Algoritam interpolacije određen je metodom izračunavanja vrijednosti funkcije φ(X). Najjednostavnija i najočitija opcija za implementaciju interpolacijske funkcije je zamjena funkcije koja se proučava Y(X) na intervalu [X i ; X i+1 ] ravnom linijom koja spaja točke Y i , Y i+1 . Ova metoda se naziva metoda linearne interpolacije.

1.2 Linearna interpolacija

S linearnom interpolacijom, vrijednost funkcije u točki X, koja se nalazi između čvorova X i i X i+1, određena je formulom ravne linije koja povezuje dvije susjedne točke tablice.

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 )− Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	X i+ 1− X i

Na sl. Na slici 1 prikazan je primjer tablice dobivene kao rezultat mjerenja određene veličine Y(X). Redci izvorne tablice su istaknuti. Desno od tablice nalazi se dijagram raspršenosti koji odgovara ovoj tablici. Tablica je sabijena pomoću formule

(3) vrijednosti aproksimirane funkcije u točkama X koje odgovaraju srednjim točkama podintervala (i=0, 1, 2, …, n).

Sl. 1. Sažeta tablica funkcije Y(X) i njezin odgovarajući dijagram

Kada se razmatra graf na Sl. 1 može se vidjeti da točke dobivene kao rezultat zbijanja tablice metodom linearne interpolacije leže na ravnim segmentima koji povezuju točke izvorne tablice. Linearna točnost

interpolacije, značajno ovisi o prirodi interpolirane funkcije i o udaljenosti između čvorova tablice X i, , X i+1.

Očito, ako je funkcija glatka, tada, čak i uz relativno veliku udaljenost između čvorova, graf konstruiran povezivanjem točaka s ravnim segmentima omogućuje prilično točnu procjenu prirode funkcije Y(X). Ako se funkcija mijenja dosta brzo, a udaljenosti između čvorova su velike, tada funkcija linearne interpolacije ne dopušta dobivanje dovoljno točne aproksimacije stvarne funkcije.

Funkcija linearne interpolacije može se koristiti za opću preliminarnu analizu i ocjenu točnosti rezultata interpolacije, koji se zatim dobivaju drugim više precizne metode. Ova procjena postaje posebno relevantna u slučajevima kada se izračuni izvode ručno.

1.3 Interpolacija kanonskim polinomom

Metoda interpolacije funkcije kanonskim polinomom temelji se na konstruiranju interpolacijske funkcije kao polinoma u obliku [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn

Koeficijenti c i polinoma (4) su slobodni interpolacijski parametri, koji se određuju iz Lagrangeovih uvjeta:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Pomoću (4) i (5) zapisujemo sustav jednadžbi

	C x+ c x2				C xn = Y
	C x+ c x2				C xn
			C x2			C xn = Y

Vektor rješenja s i (i = 0, 1, 2, …, n) sustava linearnih algebarske jednadžbe(6) postoji i može se pronaći ako među i nema odgovarajućih čvorova. Determinanta sustava (6) naziva se Vandermondeova determinanta1 i ima analitički izraz [2].

1 Vandermondeova odrednica naziva determinanta

Jednak je nuli ako i samo ako je xi = xj za neke. (Materijal iz Wikipedije - slobodne enciklopedije)

Za određivanje vrijednosti koeficijenata s i (i = 0, 1, 2, … , n)

jednadžbe (5) mogu se napisati u vektorsko-matričnom obliku

A* C= Y,

gdje je A, matrica koeficijenata određena tablicom stupnjeva vektora argumenata X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C je vektor stupac koeficijenata i (i = 0, 1, 2, … , n), a Y je vektor stupac vrijednosti Y i (i = 0, 1, 2, … , n) interpoliranih funkcija u interpolacijskim čvorovima.

Rješenje ovog sustava linearnih algebarskih jednadžbi može se dobiti pomoću jedne od metoda opisanih u [3]. Na primjer, prema formuli

C = A− 1 Y,

gdje je A -1 inverzna matrica matrice A. Za dobivanje inverzna matrica A -1 možete koristiti funkciju MOBR() uključenu u set standardne karakteristike programa Microsoft Excel.

Nakon što se pomoću funkcije (4) odrede vrijednosti koeficijenata s i, vrijednosti interpolirane funkcije mogu se izračunati za bilo koju vrijednost argumenata.

Napišimo matricu A za tablicu prikazanu na slici 1, ne uzimajući u obzir retke koji sažimaju tablicu.

Slika 2. Matrica sustava jednadžbi za izračun koeficijenata kanoničkog polinoma

Pomoću funkcije MOBR() dobivamo matricu A -1 inverznu matrici A (slika 3). Nakon čega prema formuli (9) dobivamo vektor koeficijenata C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T prikazan na sl. 4.

Da bismo izračunali vrijednosti kanonskog polinoma u ćeliji Y kanonskog stupca koji odgovara vrijednostima x 0, unosimo transformirano u sljedeći pogled formula koja odgovara nultoj liniji sustava (6)

=((((c 5	* x 0 +c 4 )*x 0 +c 3 )*x 0 +c 2 )*x 0 +c 1 )*x 0 +c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Umjesto pisanja " c i " u formuli unesenoj u ćeliju Excel tablice, mora postojati apsolutna veza s odgovarajućom ćelijom koja sadrži ovaj koeficijent (vidi sliku 4). Umjesto "x 0" - relativna referenca na ćeliju u stupcu X (vidi sl. 5).

Y kanonski(0) vrijednosti koja odgovara vrijednosti u ćeliji Ylin(0) . Prilikom rastezanja formule zapisane u ćeliju Y canonical (0), vrijednosti Y canonical (i) koje odgovaraju čvornim točkama izvornika također se moraju podudarati

tablice (vidi sl. 5).

Riža. 5. Dijagrami izgrađeni pomoću linearnih i kanoničkih interpolacijskih tablica

Uspoređujući grafove funkcija konstruiranih iz tablica izračunatih linearnom i kanoničkom interpolacijskom formulom, vidimo u određenom broju međučvorova značajno odstupanje vrijednosti dobivenih linearnom i kanoničkom interpolacijskom formulom. Razumnija prosudba o točnosti interpolacije može se temeljiti na dobivanju dodatne informacije o prirodi modeliranog procesa.

Interpolacija je vrsta aproksimacije u kojoj krivulja konstruirane funkcije prolazi točno kroz dostupne podatkovne točke.

Postoji i zadatak blizak interpolaciji, koji se sastoji u aproksimaciji nekih složena funkcija drugu, jednostavniju funkciju. Ako je određena funkcija presložena za produktivne izračune, možete pokušati izračunati njezinu vrijednost u nekoliko točaka, te iz njih izgraditi, odnosno interpolirati više jednostavna funkcija. Naravno, korištenje pojednostavljene funkcije ne daje rezultate tako točne kao izvorna funkcija. Ali u nekim klasama problema, postignuti dobitak u jednostavnosti i brzini izračuna može nadmašiti rezultirajuću pogrešku u rezultatima.

Također vrijedi spomenuti potpuno drugačiji tip matematičke interpolacije poznat kao operatorska interpolacija. Klasični radovi o operatorskoj interpolaciji uključuju Riesz-Thorin teorem i Marcinkiewiczev teorem, koji su osnova za mnoge druge radove.

Definicije

Razmotrimo sustav točaka koje se ne podudaraju () iz određene regije. Neka su vrijednosti funkcije poznate samo u ovim točkama:

Problem interpolacije je pronaći funkciju iz dane klase funkcija tako da

Primjer

1. Dopustite nam funkcija stola, poput onog opisanog u nastavku, koji za nekoliko vrijednosti određuje odgovarajuće vrijednosti:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolacija nam pomaže otkriti koju vrijednost takva funkcija može imati u točki koja nije navedena (na primjer, u x = 2,5).

Do sada ih je mnogo na razne načine interpolacija. Odabir najprikladnijeg algoritma ovisi o odgovorima na pitanja: koliko je točna odabrana metoda, kolika je cijena njezine uporabe, koliko je glatka funkcija interpolacije, koliko podatkovnih točaka zahtijeva itd.

2. Pronađite međuvrijednost (linearnom interpolacijom).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Metode interpolacije

Interpolacija najbližeg susjeda

Najjednostavnija metoda interpolacije je interpolacija najbližeg susjeda.

Interpolacija polinomima

U praksi se najčešće koristi interpolacija polinomima. To je prije svega zbog činjenice da je polinome lako izračunati, njihove derivacije lako analitički pronaći, a skup polinoma je prostorno gust kontinuirane funkcije(Weierstrassov teorem).

• IMN-1 i IMN-2
• Lagrangeov polinom (interpolacijski polinom)
• Prema Aitkenovoj shemi

Inverzna interpolacija (izračunavanje x danog y)

• Obrnuta interpolacija pomoću Newtonove formule

Interpolacija funkcije više varijabli

Ostale metode interpolacije

• Trigonometrijska interpolacija

Povezani pojmovi

• Ekstrapolacija - metode za pronalaženje točaka izvana navedeni interval(proširenje krivulje)
• Aproksimacija - metode za konstruiranje aproksimativnih krivulja

vidi također

• Izglađivanje eksperimentalnih podataka

Zaklada Wikimedia. 2010.

Sinonimi:

Pogledajte što je "Interpolacija" u drugim rječnicima:

1) način da se iz niza zadanih vrijednosti bilo kojeg matematičkog izraza odrede njegove međuvrijednosti; tako, na primjer, prema dometu leta topovske kugle pri kutu elevacije osi kanala topa od 1°, 2°, 3°, 4° itd., može se odrediti pomoću... ... Rječnik strane riječi ruski jezik

Umetanje, interpolacija, uključivanje, pretraživanje Rječnik ruskih sinonima. interpolacija, vidi okvir Rječnik sinonima ruskog jezika. Praktični vodič. M.: Ruski jezik. Z. E. Aleksandrova. 2... Rječnik sinonima

interpolacija- Izračun srednjih vrijednosti između dvije poznate točke. Na primjer: linearna linearna interpolacija exponential eksponencijalan interpolacija Proces ispisa slike u boji kada pikseli pripadaju području između dvije boje... ... Vodič za tehničke prevoditelje

- (interpolacija) Procjena vrijednosti nepoznate veličine koja se nalazi između dvije točke u nizu poznatih veličina. Na primjer, poznavajući pokazatelje stanovništva zemlje dobivene iz popisa stanovništva koji se provodi u intervalima od 10 godina, možete... ... Rječnik poslovnih pojmova

Iz latinskog, zapravo, "lažni". Ovo je naziv za pogrešne izmjene ili kasnije umetke u rukopisima koje su napravili prepisivači ili čitatelji. Ovaj se izraz posebno često koristi u kritici rukopisa antičkih pisaca. U ovim rukopisima..... Književna enciklopedija

Pronalaženje međuvrijednosti određenog uzorka (funkcije) na temelju niza njegovih poznatih vrijednosti. Na engleskom: Interpolacija Vidi također: Transformacije podataka Financijski rječnik Finam... Financijski rječnik

interpolacija- i, f. interpolacija f. lat. interpolatio promjena; izmjena, iskrivljenje. 1. Umetak kasnijeg podrijetla u kojem je l. tekst koji ne pripada izvorniku. BAS 1. U starim rukopisima postoje mnoge interpolacije koje su uveli pisari. Ush 1934. 2 … Povijesni rječnik Galicizmi ruskog jezika

INTERPOLACIJA- (interpolatio), nadopuna empirijskih. niz vrijednosti veličine s međuvrijednostima koje nedostaju. Interpolacija se može izvesti na tri načina: matematički, grafički. i logično. Temelje se na zajedničkoj hipotezi da... Velik medicinska enciklopedija

- (od latinskog interpolatio promjena, alteracija), pronalaženje srednjih vrijednosti veličine na temelju neke od njezinih poznatih vrijednosti. Na primjer, pronalaženje vrijednosti funkcije y = f(x) u točkama x koje leže između točaka x0 i xn, x0 ... Moderna enciklopedija

- (od latinskog interpolatio promjena alteracija), u matematici i statistici, pronalaženje srednjih vrijednosti veličine na temelju neke od njezinih poznatih vrijednosti. Na primjer, pronalaženje vrijednosti funkcije f(x) u točkama x koje leže između točaka xo x1 ... xn, pomoću... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Interpolacija. O funkciji vidi: Interpolant.

Interpolacija, interpolacija (iz lat. inter-polis - « izglađen, obnovljen, obnovljen; pretvoreni") - u računalnoj matematici, metoda pronalaženja srednjih vrijednosti veličine iz postojećeg diskretnog skupa poznate vrijednosti. Pojam "interpolacija" prvi je upotrijebio John Wallis u svojoj raspravi "Aritmetika beskonačnog" (1656.).

U funkcionalnoj analizi, interpolacija linearnih operatora dio je koji tretira Banachove prostore kao elemente neke kategorije.

Mnogi od onih koji se bave znanstvenim i inženjerskim izračunima često moraju raditi sa skupovima vrijednosti dobivenih eksperimentalno ili metodom. nasumični uzorak. U pravilu, na temelju tih skupova potrebno je konstruirati funkciju koja se može visoka točnost pogodi druge rezultirajuće vrijednosti. Ovaj problem se naziva aproksimacija. Interpolacija je vrsta aproksimacije u kojoj krivulja konstruirane funkcije prolazi točno kroz dostupne podatkovne točke.

Postoji i zadatak blizak interpolaciji, koji se sastoji u aproksimaciji složene funkcije drugom, jednostavnijom funkcijom. Ako je određena funkcija presložena za produktivne izračune, možete pokušati izračunati njezinu vrijednost u nekoliko točaka, te iz njih konstruirati, odnosno interpolirati, jednostavniju funkciju. Naravno, korištenje pojednostavljene funkcije ne dopušta vam da dobijete istu točne rezultate, što bi izvorna funkcija dala. Ali u nekim klasama problema, postignuti dobitak u jednostavnosti i brzini izračuna može nadmašiti rezultirajuću pogrešku u rezultatima.

Također vrijedi spomenuti potpuno drugačiji tip matematičke interpolacije poznat kao operatorska interpolacija. Klasični radovi o operatorskoj interpolaciji uključuju Riesz-Thorin teorem i Marcinkiewiczev teorem, koji su osnova za mnoge druge radove.

Definicije

Razmotrimo sustav točaka koje se ne podudaraju x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) iz nekog područja D ( \displaystyle D) . Neka su vrijednosti funkcije f (\displaystyle f) poznate samo u ovim točkama:

Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Problem interpolacije je pronaći funkciju F (\displaystyle F) iz dane klase funkcija tako da

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Pozivaju se točke x i (\displaystyle x_(i)). interpolacijski čvorovi, a njihova ukupnost je interpolacijska mreža.
• Parovi (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) nazivaju se podatkovne točke ili bazne točke.
• Razlika između “susjednih” vrijednosti Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - korak interpolacijske mreže. Može biti varijabilna ili konstantna.
• Funkcija F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolirajuća funkcija ili interpolant.

Primjer

1. Neka nam bude funkcija tablice, poput one opisane u nastavku, koja za nekoliko vrijednosti x (\displaystyle x) određuje odgovarajuće vrijednosti f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolacija nam pomaže da znamo koju bi vrijednost takva funkcija mogla imati u točki različitoj od navedenih točaka (na primjer, kada x = 2,5).

Do danas postoji mnogo različitih metoda interpolacije. Odabir najprikladnijeg algoritma ovisi o odgovorima na pitanja: koliko je točna odabrana metoda, kolika je cijena njezine uporabe, koliko je glatka funkcija interpolacije, koliko podatkovnih točaka zahtijeva itd.

2. Pronađite međuvrijednost (linearnom interpolacijom).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19.2- 15.5))(1))=16.1993)

U programskim jezicima

Primjer linearne interpolacije za funkciju y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Korisnik može unijeti broj od 1 do 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimenzija x(10) dimenzija y(10) poziv prisv(x, i) poziv funkcija(x, y, i) zapis(*,*) "unesi broj: " čitaj(*,*) xv ako ((xv >= 1).i.(xv xv)) tada yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end potprogram

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, koliko, status; system("echo Interpolation X1 - X2 "); system("echo Enter broj: "); cin >> ob; sustav ("echo Na primjer 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Metode interpolacije

Interpolacija najbližeg susjeda

Najjednostavnija metoda interpolacije je metoda interpolacije najbližeg susjeda.

Interpolacija polinomima

U praksi se najčešće koristi interpolacija polinomima. To je prvenstveno zbog činjenice da je polinome lako izračunati, njihove derivacije lako pronaći analitički, a skup polinoma je gust u prostoru neprekidnih funkcija (Weierstrassov teorem).

• Linearna interpolacija
• Newtonova interpolacijska formula
• Metoda konačnih razlika
• IMN-1 i IMN-2
• Lagrangeov polinom (interpolacijski polinom)
• Aitkenova shema
• Spline funkcija
• Kubični spline

Inverzna interpolacija (izračunavanje x danog y)

• Lagrangeov polinom
• Obrnuta interpolacija pomoću Newtonove formule
• Inverzna interpolacija pomoću Gaussove formule

Interpolacija funkcije više varijabli

• Bilinearna interpolacija
• Bikubična interpolacija

Ostale metode interpolacije

• Racionalna interpolacija
• Trigonometrijska interpolacija

Povezani pojmovi

• Ekstrapolacija - metode pronalaženja točaka izvan zadanog intervala (proširenje krivulje)
• Aproksimacija - metode za konstruiranje aproksimativnih krivulja

Obrnuta interpolacija

na klasi funkcija iz prostora C2 čiji grafovi prolaze kroz točke niza (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Riješenje. Među svim funkcijama koje prolaze kroz referentne točke (xi, f(xi)) i pripadaju spomenutom prostoru, to je kubni spline S(x), koji zadovoljava rubne uvjete S00(a) = S00(b) = 0 , koji osigurava ekstremni (minimalni) funkcional I(f).

Često se u praksi javlja problem traženja vrijednosti argumenta pomoću zadane vrijednosti funkcije. Ovaj problem se rješava metodama inverzne interpolacije. Ako dana funkcija je monoton, tada se obrnuta interpolacija najlakše postiže zamjenom funkcije argumentom i obrnuto i zatim interpolacijom. Ako dana funkcija nije monotona, tada se ova tehnika ne može koristiti. Zatim, bez mijenjanja uloga funkcije i argumenta, zapisujemo jednu ili drugu formulu interpolacije; Koristeći poznate vrijednosti argumenta i, uz pretpostavku da je funkcija poznata, rješavamo dobivenu jednadžbu s obzirom na argument.

Procjena člana ostatka pri korištenju prve tehnike bit će ista kao kod izravne interpolacije, samo se derivacije izravne funkcije trebaju zamijeniti derivacijama inverzna funkcija. Procijenimo pogrešku druge metode. Ako nam je dana funkcija f(x) i Ln (x) je Lagrangeov interpolacijski polinom konstruiran za ovu funkciju iz čvorova x0, x1, x2, . . . , xn, tada

f (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .

Pretpostavimo da trebamo pronaći vrijednost x¯ za koju je f (¯x) = y¯ (y¯ je dano). Riješit ćemo jednadžbu Ln (x) = y¯. Uzmimo neku vrijednost x¯. Zamjenom u prethodnu jednadžbu dobivamo:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Primjenom Langrangeove formule dobivamo
(x¯ − x¯) f0 (η) =
gdje je η između x¯ i x¯. Ako je interval koji sadrži x¯ i x¯ i min

Iz posljednjeg izraza slijedi:

|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n(x¯)| .

U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da smo točno riješili jednadžbu Ln (x) = y¯.

Korištenje interpolacije za izradu tablica

Teorija interpolacije ima primjenu u sastavljanju tablica funkcija. Dobivši takav problem, matematičar mora riješiti niz pitanja prije nego što započne s izračunima. Mora se odabrati formula po kojoj će se izvršiti izračuni. Ova se formula može razlikovati od mjesta do mjesta. Tipično, formule za izračunavanje vrijednosti funkcije su glomazne i stoga se koriste za dobivanje nekih referentnih vrijednosti, a zatim se podtabulacijom tablica sažima. Formula koja daje referentne vrijednosti funkcije mora osigurati traženu točnost tablica, uzimajući u obzir sljedeću podtabelu. Ako trebate izraditi tablice s konstantnim korakom, prvo morate odrediti njegov korak.

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Idi na indeks

Najčešće se tablice funkcija sastavljaju tako da je moguća linearna interpolacija (odnosno interpolacija pomoću prva dva člana Taylorove formule). U ovom slučaju, preostali član će imati oblik

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Ovdje ξ pripada intervalu između dviju susjednih tabličnih vrijednosti argumenta, u kojem se nalazi x, a t je između 0 i 1. Umnožak t(t − 1) uzima najveći modulo

vrijednost pri t = 12. Ova vrijednost je 14. Tako,

Treba imati na umu da će uz ovu pogrešku - pogrešku metode - u praktičnom izračunu međuvrijednosti također nastati neuklonjiva pogreška i pogreška zaokruživanja. Kao što smo vidjeli ranije, fatalna pogreška u linearnoj interpolaciji bit će jednaka pogrešci u tabličnim vrijednostima funkcije. Pogreška zaokruživanja ovisit će o računalnim sredstvima i programu za izračun.

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Idi na indeks

Indeks predmeta

odvojene razlike drugog reda, 8 prvog reda, 8

spline, 15

interpolacijski čvorovi, 4

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Idi na indeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Kako izvesti interpolaciju

Formula za interpolaciju tabličnih podataka

Koristi se u 2. radnji, kada je količina NHR (Q, t) iz stanja je posrednik između 100 t i 300 t.

(Iznimka: ako je Q prema uvjetu jednak 100 ili 300, tada interpolacija nije potrebna).

g o- Vaša početna količina NHR iz stanja, u tonama

(odgovara slovu Q)

g 1 – manji

(iz tablica 11-16, obično iznosi 100).

g 2 – više vrijednost količine NHR najbliže vašoj, u tonama

(iz tablica 11-16, obično iznosi 300).

x 1 g 1 (x 1 smješten nasuprot g 1 ), km.

x 2 – tablična vrijednost dubine distribucije oblaka onečišćenog zraka (Gt), odn g 2 (x 2 smješten nasuprot g 2 ), km.

x 0 – tražena vrijednost G T prikladno g o(prema formuli).

Primjer.

NHR – klor; Q = 120 t;

Tip SVSP (stupanj vertikalnog otpora zraka) – inverzija.

Pronaći G T- tablična vrijednost dubine distribucije oblaka kontaminiranog zraka.

Pregledavamo tablice 11-16 i nalazimo podatke koji odgovaraju vašem stanju (klor, inverzija).

Tablica 11 je prikladna.

Odabir vrijednosti g 1 , g 2, x 1 , x 2 . Važno – uzmite brzinu vjetra od 1 m/s, uzmite temperaturu od 20 °C.

Zamjenjujemo odabrane vrijednosti u formulu i pronalazimo x 0 .

Važno – izračun je točan ako x 0 će imati vrijednost negdje između x 1 , x 2 .

1.4. Lagrangeova interpolacijska formula

Algoritam koji je predložio Lagrange za konstruiranje interpolacije

funkcije iz tablica (1) omogućuje konstrukciju interpolacijskog polinoma Ln(x) u obliku

Očito, ispunjenje uvjeta (11) za (10) određuje ispunjenje uvjeta (2) za postavljanje problema interpolacije.

Polinomi li(x) pišu se na sljedeći način

Imajte na umu da niti jedan faktor u nazivniku formule (14) nije jednak nuli. Nakon što ste izračunali vrijednosti konstanti ci, možete ih koristiti za izračunavanje vrijednosti interpolirane funkcije u danim točkama.

Formula za Lagrangeov interpolacijski polinom (11), uzimajući u obzir formule (13) i (14), može se napisati kao

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organizacija ručnih izračuna pomoću Lagrangeove formule

Izravna primjena Lagrangeove formule dovodi do velikog broja sličnih izračuna. Za tablice male veličine, ti se izračuni mogu izvesti ili ručno ili u programskom okruženju

U prvoj fazi razmotrit ćemo algoritam za ručne izračune. U budućnosti bi te iste izračune trebalo ponoviti u okruženju

Microsoft Excel ili OpenOffice.org Calc.

Na sl. Slika 6 prikazuje primjer izvorne tablice interpolirane funkcije definirane s četiri čvora.

sl.6. Tablica koja sadrži početne podatke za četiri čvora interpolirane funkcije

U treći stupac tablice upisujemo vrijednosti koeficijenata qi izračunate pomoću formula (14). Ispod je zapis ovih formula za n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Sljedeći korak u implementaciji ručnih izračuna je izračunavanje vrijednosti li(x) (j=0,1,2,3), izvedeno prema formulama (13).

Napišimo ove formule za verziju tablice s četiri čvora koju razmatramo:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Izračunajmo vrijednosti polinoma li(xj) (j=0,1,2,3) i upišimo ih u ćelije tablice. Vrijednosti funkcije Ycalc(x), prema formuli (11), dobit će se kao rezultat zbrajanja vrijednosti li(xj) po redu.

Format tablice, uključujući stupce izračunatih vrijednosti li(xj) i stupac vrijednosti Ycalc(x), prikazan je na slici 8.

Riža. 8. Tablica s rezultatima ručnih izračuna izvedenih pomoću formula (16), (17) i (11) za sve vrijednosti argumenta xi

Generirajući tablicu prikazanu na Sl. 8, pomoću formula (17) i (11) možete izračunati vrijednost interpolirane funkcije za bilo koju vrijednost argumenta X. Na primjer, za X=1 izračunavamo vrijednosti li(1) (i=0, 1,2,3):

l0(1)= 0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Zbrajanjem vrijednosti li(1) dobivamo vrijednost Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Implementacija interpolacijskog algoritma pomoću Lagrangeovih formula u programskom okruženju Microsoft Excel

Implementacija algoritma interpolacije počinje, kao i kod ručnih izračuna, ispisivanjem formula za izračunavanje koeficijenata qi Na sl. 9 prikazuje stupce tablice s zadane vrijednosti argument, interpolirana funkcija i koeficijenti qi. Desno od ove tablice nalaze se formule napisane u ćelijama stupca C za izračunavanje vrijednosti koeficijenata qi.

VS2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ž q0

VS3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ž q1

VS4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ž q2

VS5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Ž q3

Riža. 9 Tablica koeficijenata qi i formule za izračun

Nakon unosa formule q0 u ćeliju C2, ona se proširuje kroz ćelije C3 do C5. Nakon toga se formule u tim ćelijama prilagođavaju u skladu s (16) u oblik prikazan na sl. 9.

Ycalc(xi),

Implementacijom formule (17) u ćelije stupaca D, E, F i G upisujemo formule za izračunavanje vrijednosti li(x) (i=0,1,2,3). U ćeliji D2 za izračunavanje vrijednosti l0(x0) zapisujemo formulu:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

dobivamo vrijednosti l0 (xi) (i=0,1,2,3).

$A2 format veze omogućuje vam da protegnete formulu preko stupaca E, F, G kako biste formirali računalne formule za izračun li(x0) (i=1,2,3). Kada povučete formulu preko retka, indeks stupca argumenata se ne mijenja. Za izračun li(x0) (i=1,2,3) nakon crtanja formule l0(x0) potrebno ih je korigirati prema formulama (17).

U stupac H stavljamo Excel formule zbrojiti li(x) pomoću formule

(11) algoritam.

Na sl. Slika 10 prikazuje tablicu implementiranu u okruženju Microsoft programi Excel. Znak ispravnosti formula zapisanih u ćelijama tablice i izvršenih računskih operacija jesu dobivena dijagonalna matrica li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), ponavljajući rezultate prikazane na sl. 8, i stupac vrijednosti koje se podudaraju s vrijednostima interpolirane funkcije u čvorovima izvorne tablice.

Riža. 10. Tablica vrijednosti li(xj) (j=0,1,2,3) i Ycalc(xj)

Dovoljno je izračunati vrijednosti u nekim srednjim točkama

U ćelije stupca A, počevši od ćelije A6, unesite vrijednosti argumenta X za koje želite odrediti vrijednosti interpolirane funkcije. Izaberi

u zadnjem (5.) retku tablice, ćelije od l0(xn) do Ycalc(xn) i rastegnite formule napisane u odabranim ćelijama do retka koji sadrži posljednju

navedena vrijednost argumenta x.

Na sl. 11 prikazuje tablicu u kojoj je izračunata vrijednost funkcije tri boda: x=1, x=2 i x=3. U tablicu je uveden dodatni stupac s brojevima redaka tablice izvornih podataka.

Riža. 11. Izračunavanje vrijednosti interpoliranih funkcija pomoću Lagrangeovih formula

Radi veće jasnoće u prikazivanju rezultata interpolacije, izgradit ćemo tablicu koja uključuje stupac vrijednosti argumenata X poredanih uzlaznim redoslijedom, stupac početnih vrijednosti funkcije Y(X) i stupac

Recite mi kako koristiti formulu interpolacije i koju u rješavanju problema u termodinamici (toplinska tehnika)

Ivan Šestakovič

Najjednostavnija, ali često nedovoljno precizna interpolacija je linearna. Kada već imate dvije poznate točke (X1 Y1) i (X2 Y2) i trebate pronaći vrijednosti Y dana nekog X koji se nalazi između X1 i X2. Tada je formula jednostavna.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+U1
Usput, ova formula također radi za X vrijednosti izvan intervala X1..X2, ali to se već zove ekstrapolacija i na značajnoj udaljenosti od ovog intervala daje vrlo veliku pogrešku.
Ima još mnogo drugih psovki. metode interpolacije - savjetujem vam da pročitate udžbenik ili pretražite internet.
Moguća je i metoda grafičke interpolacije - ručno nacrtati graf kroz poznate točke i pronaći Y iz grafa za traženi X. ;)

Roman

Imate dva značenja. I približno ovisnost (linearna, kvadratna,..)
Graf ove funkcije prolazi kroz vaše dvije točke. Potrebna vam je vrijednost negdje između. Pa ti to izrazi!
Na primjer. U tablici, na temperaturi od 22 stupnja, tlak zasićene pare je 120 000 Pa, a na 26 124 000 Pa. Zatim na temperaturi od 23 stupnja 121000 Pa.

Interpolacija (koordinate)

Na karti (slika) nalazi se koordinatna mreža.
Na njoj se nalaze neke dobro poznate referentne točke (n>3), od kojih svaka ima po dvije vrijednosti x,y- koordinate u pikselima, a koordinate u metrima.
Potrebno je pronaći srednje vrijednosti koordinata u metrima, znajući koordinate u pikselima.
Linearna interpolacija nije prikladna - pogreška izvan linije je prevelika.
Ovako: (Xc je koordinata u metrima duž ox, Xp je koordinata u pikselima duž ox, Xc3 je željena vrijednost u ox)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Kako pronaći istu formulu za pronalaženje Xc i Yc, uzimajući u obzir ne dvije (kao ovdje), već N poznatih referentnih točaka?

Joka paprat lowd

Sudeći po napisanim formulama, poklapaju li se osi koordinatnih sustava u pikselima i metrima?
To jest, Xp -> Xc je interpoliran neovisno, a Yp -> Yc je neovisno interpoliran. Ako nije, tada morate koristiti dvodimenzionalnu interpolaciju Xp,Yp->Xc i Xp,Yp->Yc, što donekle komplicira zadatak.
Nadalje se pretpostavlja da su koordinate Xp i Xc povezane nekom ovisnošću.
Ako je priroda ovisnosti poznata (ili se pretpostavlja, na primjer, pretpostavimo da je Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), tada možemo dobiti parametre ove ovisnosti (za zadanu ovisnost a, b, c) pomoću regresijska analiza(Metoda najmanjih kvadrata) . U ovoj metodi, ako pitate određena ovisnost Xc(Xp) možemo dobiti formulu za parametre ovisno o referentnim podacima. Ova metoda omogućuje, posebice, pronaći i linearna ovisnost, najbolji način zadovoljavajući zadani skup podataka.
Nedostatak: U ovoj metodi, koordinate Xc dobivene iz podataka kontrolnih točaka Xp mogu se razlikovati od navedenih. Na primjer, aproksimativna ravna crta povučena kroz eksperimentalne točke ne prolazi točno kroz same te točke.
Ako je potrebna točna podudarnost, a priroda ovisnosti je nepoznata, moraju se koristiti metode interpolacije. Najjednostavniji matematički je Lagrangeov interpolacijski polinom, koji prolazi točno kroz referentne točke. Međutim, zbog visok stupanj ovaj polinom na veliki broj referentne točke i Loša kvaliteta interpolaciju, bolje ju je ne koristiti. Prednost je relativno jednostavna formula.
Bolje je koristiti spline interpolaciju. Bit ove metode je da se u svakom odsječku između dvije susjedne točke, ovisnost koja se proučava interpolira polinomom, a uvjeti glatkoće se zapisuju na spojnim točkama dvaju intervala. Prednost ove metode je kvaliteta interpolacije. Nedostaci - gotovo nemoguće povući opća formula, morate algoritamski pronaći koeficijente polinoma u svakom odjeljku. Još jedan nedostatak je teškoća generalizacije na dvodimenzionalnu interpolaciju.

Postoji situacija kada u nizu poznatih vrijednosti trebate pronaći međurezultati. U matematici se to zove interpolacija. U Excelu ovu metodu može se koristiti i za tablične podatke i za izradu grafikona. Pogledajmo svaku od ovih metoda.

Glavni uvjet pod kojim se interpolacija može koristiti je da željena vrijednost mora biti unutar podatkovnog polja, a ne izvan njegovog ograničenja. Na primjer, ako imamo skup argumenata 15, 21 i 29, tada možemo koristiti interpolaciju da pronađemo funkciju za argument 25. Ali više ne postoji način da se pronađe odgovarajuća vrijednost za argument 30. Ovo je glavna razlika između ovog postupka i ekstrapolacije.

Metoda 1: Interpolacija za tablične podatke

Prije svega, pogledajmo primjene interpolacije za podatke koji se nalaze u tablici. Na primjer, uzmimo niz argumenata i njihovih odgovarajućih funkcijskih vrijednosti, čiji se odnos može opisati Linearna jednadžba. Ovi podaci prikazani su u donjoj tablici. Moramo pronaći odgovarajuću funkciju za argument 28 . Najlakši način da to učinite je pomoću operatora PREDVIĐANJE.

Metoda 2: Interpolirajte grafikon pomoću njegovih postavki

Postupak interpolacije također se može koristiti kod konstruiranja grafova funkcija. Relevantno je ako tablica na kojoj se temelji grafikon ne pokazuje odgovarajuću vrijednost funkcije za jedan od argumenata, kao na slici ispod.

Kao što vidite, grafikon je ispravljen, a praznina je uklonjena pomoću interpolacije.

Metoda 3: Interpolirajte grafikon pomoću funkcije

Također možete interpolirati grafikon pomoću posebne funkcije ND. Vraća nedefinirane vrijednosti u navedenoj ćeliji.

Možete to učiniti još lakše bez trčanja Čarobnjak za funkcije, i samo pomoću tipkovnice unesite vrijednost u praznu ćeliju "#N/A" bez navodnika. Ali ovisi što je kom korisniku zgodnije.

Kao što vidite, u Excelu možete interpolirati kao tablične podatke pomoću funkcije PREDVIĐANJE, i grafika. U potonji slučaj to se može učiniti pomoću postavki grafikona ili pomoću funkcije ND uzrokujući grešku "#N/A". Izbor metode koja će se koristiti ovisi o postavci problema, kao io osobnim preferencijama korisnika.

Ovo je poglavlje iz knjige Billa Jelena.

Izazov: Neki problemi inženjerskog dizajna zahtijevaju korištenje tablica za izračunavanje vrijednosti parametara. Budući da su tablice diskretne, dizajner koristi linearnu interpolaciju za dobivanje srednje vrijednosti parametra. Tablica (slika 1) uključuje visinu iznad tla (kontrolni parametar) i brzinu vjetra (izračunati parametar). Na primjer, ako trebate pronaći brzinu vjetra koja odgovara visini od 47 metara, tada biste trebali primijeniti formulu: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/s.

Preuzmite bilješku u ili formatu, primjere u formatu

Što ako postoje dva kontrolna parametra? Je li moguće izvesti izračune pomoću jedne formule? Tablica (slika 2) prikazuje vrijednosti tlaka vjetra za razne visine i veličine raspona konstrukcija. Potrebno je izračunati tlak vjetra na visini od 25 metara i rasponu od 300 metara.

Rješenje: Problem rješavamo proširenjem metode korištene za slučaj s jednim kontrolnim parametrom. Prati ove korake:

Počnite s tablicom prikazanom na sl. 2. Dodajte izvorne ćelije za visinu i raspon u J1 odnosno J2 (Slika 3).

Riža. 3. Formule u ćelijama J3:J17 objašnjavaju rad megaformule

Radi lakšeg korištenja formula, definirajte imena (slika 4).

Promatrajte kako formula radi pomicanjem uzastopno od ćelije J3 do ćelije J17.

Upotrijebite obrnutu sekvencijalnu zamjenu za konstruiranje megaformule. Kopirajte tekst formule iz ćelije J17 u J19. Zamijenite referencu na J15 u formuli s vrijednošću u ćeliji J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. I tako dalje. Rezultat je formula koja se sastoji od 984 znaka, koja se ne mogu percipirati u ovom obliku. Možete ga pogledati u priloženoj Excel datoteci. Nisam siguran da je ova vrsta megaformule korisna za korištenje.

Sažetak: Linearna interpolacija koristi se za dobivanje srednje vrijednosti parametra if tablične vrijednosti navedeno samo za granice raspona; Predložena je metoda izračuna koja koristi dva kontrolna parametra.