Rješavanje algebarskih linearnih jednadžbi matričnom metodom. Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi pomoću inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je poseban slučaj matrična jednadžba

Riješite sustav matričnom metodom

Riješenje: Sustav zapisujemo u matričnom obliku.Rješenje sustava nalazimo po formuli (vidi posljednju formulu)

Inverznu matricu nalazimo po formuli:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice .

Prvo, pozabavimo se determinantom:

Ovdje je determinanta proširena prvim redom.

Pažnja! Ako, tada inverzna matrica ne postoji, te je nemoguće riješiti sustav matričnom metodom. U ovom slučaju sustav se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada treba izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

Referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj retka u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

Odnosno, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, treći stupac, dok je npr. element u 3. redu, 2. stupac

U tijeku rješavanja bolje je potanko opisati izračun minora, iako se uz određeno iskustvo mogu usmeno prilagoditi računanju s pogreškama.

Redoslijed izračuna minora apsolutno nije bitan, ovdje sam ih računao s lijeva na desno red po red. Bilo je moguće izračunati maloljetnike po stupcima (ovo je još prikladnije).

Na ovaj način:

je matrica minora odgovarajućih elemenata matrice .

je matrica algebarskih sabiranja.

je transponirana matrica algebarskih sabiranja.

Ponavljam, koraci koje smo izvodili detaljno su analizirani u lekciji. Kako pronaći inverznu matricu?

Sada pišemo inverznu matricu:

Ni u kojem slučaju nismo ušli u matricu, to će ozbiljno zakomplicirati daljnje izračune. Dijeljenje bi se moralo izvršiti kada bi svi brojevi u matrici bili djeljivi sa 60 bez ostatka. Ali dodati minus matrici u ovom slučaju je vrlo potrebno, naprotiv, to će pojednostaviti daljnje izračune.

Ostaje izvršiti množenje matrice. U lekciji možete naučiti kako množiti matrice Akcije s matricama. Usput, postoji potpuno isti primjer.

Imajte na umu da je dijeljenje sa 60 izvršeno posljednji.
Ponekad možda nije potpuno podijeljen, tj. mogu dobiti "loše" razlomke. Što učiniti u takvim slučajevima, već sam rekao kada smo analizirali Cramerovo pravilo.

Odgovor:

Primjer 12

Riješite sustav pomoću inverzne matrice.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (završni uzorak i odgovor na kraju lekcije).

Najuniverzalniji način rješavanja sustava je metoda eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda). Nije lako objasniti algoritam na pristupačan način, ali pokušao sam!.

Želim ti uspjeh!

odgovori:

Primjer 3:

Primjer 6:

Primjer 8: , . Možete pogledati ili preuzeti primjer rješenja za ovaj primjer (link ispod).

Primjeri 10, 12:

Nastavljamo s razmatranjem sustava linearnih jednadžbi. Ova lekcija je treća na tu temu. Ako imate nejasnu predodžbu o tome što je sustav linearnih jednadžbi općenito, osjećate se kao čajnik, preporučujem da počnete s osnovama na stranici Dalje, korisno je proučiti lekciju.

Gaussova metoda je jednostavna! Zašto? Slavni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje najvećeg matematičara svih vremena, genijalca, pa čak i nadimak "Kralj matematike". A sve genijalno, kao što znate, jednostavno je! Usput, u novac ne padaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret se vijorio na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se i danas zagonetno smiješi Nijemcima s običnih poštanskih markica.

Gaussova metoda je jednostavna utoliko što JE DOVOLJNO ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA da ju svladate. Mora znati zbrajati i množiti! Nije slučajno da metodu sukcesivnog uklanjanja nepoznanica često razmatraju učitelji na školskim izbornim predmetima matematike. Paradoksalno, ali Gaussova metoda zadaje najveće poteškoće učenicima. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a ja ću pokušati u pristupačnom obliku reći o algoritmu metode.

Prvo ćemo malo usustaviti znanja o sustavima linearnih jednadžbi. Sustav linearnih jednadžbi može:

1) Imajte jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti nekompatibilan).

Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sustavi linearnih jednadžbi. Kako se sjećamo Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Metoda sukcesivne eliminacije nepoznanica svejedno dovedite nas do odgovora! U ovoj lekciji ponovno ćemo razmatrati Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje sustava), članak je rezerviran za situacije točaka br. 2-3. Napominjem da sam algoritam metode radi na isti način u sva tri slučaja.

Vratimo se najjednostavnijem sustavu iz lekcije Kako riješiti sustav linearnih jednadžbi?
i riješiti Gaussovom metodom.

Prvi korak je pisanje sustav proširene matrice:
. Po kojem principu se snimaju koeficijenti, mislim da svi mogu vidjeti. Okomita crta unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo precrtano radi lakšeg dizajna.

Referenca: Preporučam zapamtitiPojmovi Linearna algebra.Matrica sustava je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznanice, u ovom primjeru, matrica sustava: . Matrica proširenog sustava je ista matrica sustava plus stupac slobodnih članova, u ovom slučaju: . Bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom radi sažetosti.

Nakon što je prošireni matrični sustav napisan, potrebno je s njim izvršiti neke radnje koje se također nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Žice matrice može se preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete sigurno preurediti prvi i drugi redak:

2) Ako u matrici postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi, tada slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu . U ovoj matrici posljednja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti redak pojavio u matrici tijekom transformacija, tada također slijedi izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.

4) Redak matrice može biti množiti (dijeliti) za bilo koji broj različit od nule. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti s -3, a drugi red pomnožiti s 2: . Ova radnja je vrlo korisna jer pojednostavljuje daljnje transformacije matrice.

5) Ova transformacija uzrokuje najviše poteškoća, ali zapravo nema ništa komplicirano. U red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen s brojem, različit od nule. Razmotrite našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red s -2: , i drugom retku dodamo prvi red pomnožen s -2: . Sada se prvi red može podijeliti "natrag" s -2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Je uvijek mijenja se linija, KOJOJ DOD UT.

U praksi, naravno, ne slikaju tako detaljno, već pišu kraće:

Još jednom: u drugu liniju dodao prvi red pomnožen s -2. Crta se obično množi usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tijek računanja otprilike ovakav:

"Prepisujem matricu i prepisujem prvi redak:"

Prvo prvi stupac. Ispod trebam dobiti nulu. Stoga gornju jedinicu množim s -2: i dodajem prvu u drugi redak: 2 + (-2) = 0. Rezultat upisujem u drugi redak: »

“Sada drugi stupac. Iznad -1 puta -2: . Prvom pribrajam drugi redak: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi redak: "

“I treći stupac. Iznad -5 puta -2: . Prvi redak dodajem drugom retku: -7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi redak: »

Molimo vas da pažljivo razmislite o ovom primjeru i shvatite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako to razumijete, onda je Gaussova metoda praktički "u vašem džepu". Ali, naravno, još uvijek radimo na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi

! PAŽNJA: smatraju manipulacijama ne može koristiti, ako vam se ponudi zadatak gdje su matrice zadane "same od sebe". Na primjer, s "klasičnim" matrice ni u kom slučaju ne smijete preuređivati nešto unutar matrica!

Vratimo se našem sustavu. Skoro je gotova.

Napišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija svedimo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s -2. Usput, zašto prvi redak množimo s -2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači riješiti se jedne varijable u drugom retku.

(2) Drugi red podijelite s 3.

Svrha elementarnih transformacija– pretvorite matricu u oblik koraka: . U dizajnu zadatka jednostavnom olovkom izravno crtaju „ljestve“, a također zaokružuju brojeve koji se nalaze na „stepenicama“. Sam pojam "stepenasti pogled" nije sasvim teorijski, u znanstvenoj i obrazovnoj literaturi često se tako naziva trapezoidni pogled ili trokutasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalent izvorni sustav jednadžbi:

Sada sustav treba "odvrnuti" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove reverzna Gaussova metoda.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .

Razmotrite prvu jednadžbu sustava i zamijenite već poznatu vrijednost "y" u nju:

Razmotrimo najčešću situaciju, kada je Gaussova metoda potrebna za rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice.

Primjer 1

Riješite sustav jednadžbi Gaussovom metodom:

Napišimo proširenu matricu sustava:

Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći u tijeku rješenja:

I ponavljam, naš cilj je dovesti matricu u stepenasti oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje započeti s djelovanjem?

Prvo pogledajte gornji lijevi broj:

Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Općenito govoreći, -1 (a ponekad i drugi brojevi) će također odgovarati, ali nekako se tradicionalno dogodilo da se jedinica obično stavlja tamo. Kako organizirati jedinicu? Pogledamo prvi stupac - imamo gotovu jedinicu! Transformacija jedan: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prvi red ostati nepromijenjen do kraja rješenja. Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada trebate dobiti nule na ovim mjestima:

Nule se dobivaju upravo uz pomoć "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, -1, 3, 13). Što treba učiniti da dobijemo nulu na prvoj poziciji? Potreba drugom retku dodajte prvi red pomnožen s -2. Mentalno ili na nacrtu, prvi redak množimo s -2: (-2, -4, 2, -18). I dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) zbrajanje, drugom retku dodamo prvi red, već pomnožen s -2:

Rezultat se upisuje u drugi red:

Slično, postupamo s trećom linijom (3, 2, -5, -1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate trećem retku dodajte prvi red pomnožen s -3. Mentalno ili na nacrtu, prvi redak množimo s -3: (-3, -6, 3, -27). I trećem retku dodamo prvi red pomnožen s -3:

Rezultat se upisuje u treći red:

U praksi se te radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku:

Nema potrebe brojati sve odjednom i u isto vrijeme. Redoslijed izračuna i "umetanje" rezultata dosljedan a obično ovako: prvo prepišemo prvi redak, pa se tiho puhnemo - DOSLJEDNO i PAŽLJIVO:

I već sam gore razmotrio mentalni tijek samih izračuna.

U ovom primjeru to je lako učiniti, drugi red dijelimo s -5 (jer su svi brojevi tamo djeljivi s 5 bez ostatka). Istodobno dijelimo treći redak s -2, jer što je broj manji, to je rješenje jednostavnije:

U završnoj fazi elementarnih transformacija ovdje se mora dobiti još jedna nula:

Za ovo trećem retku dodamo drugi red, pomnožen s -2:

Pokušajte sami raščlaniti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi redak s -2 i izvedite zbrajanje.

Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, treću liniju podijelite s 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobiven je ekvivalentni početni sustav linearnih jednadžbi:

Cool.

Sada dolazi na scenu obrnuti tijek Gaussove metode. Jednadžbe se "odmotavaju" odozdo prema gore.

U trećoj jednadžbi već imamo gotov rezultat:

Pogledajmo drugu jednadžbu: . Značenje "z" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba: . "Y" i "Z" se znaju, stvar je mala:

Odgovor:

Kao što je više puta navedeno, za svaki sustav jednadžbi moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, srećom, to nije teško i brzo.

Primjer 2

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, uzorak dovršavanja i odgovor na kraju lekcije.

Treba napomenuti da vaš tok akcije možda se ne poklapa s mojim smjerom djelovanja, a to je značajka Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Napišemo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo u oblik koraka:

Gledamo gornju lijevu "stepenicu". Tamo bismo trebali imati jedinicu. Problem je što u prvom stupcu uopće nema nijednog, pa se ništa ne može riješiti preslagivanjem redova. U takvim slučajevima jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Napravio sam ovo: (1) Prvom retku dodamo drugi red, pomnožen s -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi redak s -1 i izvršili zbrajanje prvog i drugog retka, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo -1, što nam sasvim odgovara. Tko želi dobiti +1 može napraviti dodatnu gestu: prvi red pomnožiti s -1 (promijeniti mu predznak).

(2) Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen s 5. Trećem retku dodan je prvi redak pomnožen s 3.

(3) Prvi red je pomnožen s -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak trećeg retka je također promijenjen i pomaknut na drugo mjesto, tako da smo na drugom koraku imali željenu jedinicu.

(4) Drugi redak pomnožen s 2 dodan je trećem redu.

(5) Treći red je podijeljen s 3.

Loš znak koji ukazuje na pogrešku u izračunu (rjeđe pogrešku pri upisu) je "loša" donja crta. To jest, ako dobijemo nešto kao ispod, i, prema tome, , onda se s velikim stupnjem vjerojatnosti može tvrditi da je učinjena pogreška u tijeku elementarnih transformacija.

Naplaćujemo obrnuti potez, u dizajnu primjera, sam sustav se često ne prepisuje, a jednadžbe se "uzimaju izravno iz zadane matrice". Obrnuti potez, podsjećam vas, radi odozdo prema gore:
Da, evo poklona:

Odgovor: .

Primjer 4

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Ovo je primjer za neovisno rješenje, nešto je kompliciranije. U redu je ako se netko zbuni. Cijelo rješenje i uzorak dizajna na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog.

U posljednjem dijelu razmatramo neke značajke Gaussovog algoritma.
Prva značajka je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sustava, na primjer:

Kako pravilno napisati proširenu matricu sustava? Već sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sustava stavili smo nule na mjesto varijabli koje nedostaju:

Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, jer već postoji jedna nula u prvom stupcu, a ima manje elementarnih transformacija koje treba izvesti.

Druga značajka je ova. U svim razmatranim primjerima stavili smo ili –1 ili +1 na “korake”. Mogu li postojati drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sustav: .

Ovdje na gornjoj lijevoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi s 2 bez ostatka - a drugi dva i šest. I dvojka gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku trebate izvršiti sljedeće transformacije: drugom retku dodati prvi redak pomnožen s -1; trećem retku dodajte prvi red pomnožen s -3. Tako ćemo u prvom stupcu dobiti željene nule.

Ili još jedan hipotetski primjer: . Ovdje nam odgovara i trojka na drugoj “prečki” jer je 12 (mjesto gdje trebamo dobiti nulu) djeljivo s 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: u treću liniju dodajte drugu liniju, pomnoženu s -4, zbog čega ćemo dobiti nulu koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali ima jednu osobitost. Možete pouzdano naučiti rješavati sustave drugim metodama (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno od prvog puta - postoji vrlo kruti algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste "napuniti ruku" i riješiti barem 5-10 deset sustava. Stoga u početku može doći do zabune, pogrešaka u izračunima iu tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesensko vrijeme izvan prozora .... Stoga, za sve, složeniji primjer za neovisno rješenje:

Primjer 5

Riješite sustav od 4 linearne jednadžbe s četiri nepoznanice koristeći Gaussovu metodu.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da čak i čajnik koji je detaljno proučio ovu stranicu intuitivno razumije algoritam za rješavanje takvog sustava. U osnovi isto - samo više akcije.

U lekciji se razmatraju slučajevi kada sustav nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja. Nekompatibilni sustavi i sustavi sa zajedničkim rješenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Zapišimo proširenu matricu sustava i uz pomoć elementarnih transformacija dovedemo je do stupnjevitog oblika.

Izvedene elementarne transformacije:
(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s -2. Prvi red je dodan trećem retku, pomnožen s -1.Pažnja! Ovdje bi moglo biti primamljivo oduzeti prvi od trećeg retka, snažno ne preporučujem oduzimanje - rizik od pogreške uvelike se povećava. Samo odustajemo!
(2) Promijenjen je predznak drugog retka (pomnoženo s -1). Drugi i treći red su zamijenjeni.Bilješka da se na “koracima” ne zadovoljimo samo s jedinicom, nego i s -1, što je još zgodnije.
(3) Trećem retku dodajte drugi redak pomnožen s 5.
(4) Promijenjen je predznak drugog retka (pomnoženo s -1). Treći red je podijeljen sa 14.

Obrnuti potez:

Odgovor: .

Primjer 4: Napišemo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo do stupnjevitog oblika:

Provedene konverzije:
(1) Drugi red je dodan prvom retku. Tako je željena jedinica organizirana na gornjoj lijevoj “stepenici”.
(2) Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen sa 7. Trećem retku dodan je prvi redak pomnožen sa 6.

S drugim "korakom" sve je gore , "kandidati" za njega su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) će biti usmjerene na dobivanje željene jedinice

(3) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s -1.
(4) Treći redak, pomnožen s -3, dodan je drugom retku.
Potrebna stvar na drugom koraku je primljena .
(5) Trećem redu dodan je drugi, pomnožen sa 6.
(6) Drugi red je pomnožen s -1, treći red je podijeljen s -83..Očito je ravnina jednoznačno određena trima različitim točkama koje ne leže na jednoj ravnoj liniji. Stoga su troslovne oznake ravnina vrlo popularne - prema točkama koje im pripadaju, na primjer; .Ako slobodni članovi

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica, u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prolaze iz gornjeg lijevog kuta u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice koje imaju isti broj redaka i stupaca.

Teorem o uvjetu postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da bude nedegenerirana.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran ako su vektori stupci linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice neophodno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i desno (na mjesto desnih dijelova jednadžbi) dodijelite joj matricu E.
Koristeći Jordanove transformacije, dovedite matricu A u matricu koja se sastoji od pojedinačnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) posljednje tablice tako da se dobije matrica identiteta E ispod matrice A izvorne tablice.
Napišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.

Primjer 1

Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Zapisujemo matricu A i desno pridružujemo matricu identiteta E. Pomoću Jordanovih transformacija reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su prikazani u tablici 31.1.

Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrica dobiva se matrica identiteta. Dakle, izračuni su točni.

Odgovor:

Rješenje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C zadane matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, trebate pomnožiti ovu jednadžbu s s lijeve strane.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.

Primjer 2

Riješite jednadžbu AX = B ako

Riješenje: Budući da je inverz matrice jednak (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Zajedno s drugima, oni također nalaze primjenu matrične metode. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve metode koriste se za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno usporediti funkcioniranje organizacija i njihovih strukturnih odjela.

U procesu primjene matričnih metoda analize može se razlikovati nekoliko faza.

U prvoj fazi provodi se formiranje sustava ekonomskih pokazatelja i na temelju njega sastavlja se matrica početnih podataka, koja je tablica u kojoj su brojevi sustava prikazani u njegovim pojedinačnim recima (i = 1,2,....,n), a duž okomitih grafikona - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi za svaki okomiti stupac otkriva se najveća od dostupnih vrijednosti pokazatelja, koja se uzima kao jedinica.

Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje vještak.

Na posljednjem četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena Rj grupirani prema rastućem ili opadajućem redoslijedu.

Navedene matrične metode trebale bi se koristiti, primjerice, u komparativnoj analizi različitih investicijskih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja uspješnosti organizacija.

Ovaj online kalkulator rješava sustav linearnih jednadžbi koristeći matričnu metodu. Dano je vrlo detaljno rješenje. Za rješavanje sustava linearnih jednadžbi odaberite broj varijabli. Odaberite metodu za izračunavanje inverzne matrice. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na gumb "Izračunaj".

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputa za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak mora biti upisan kao a/b, gdje su a i b cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Razmotrimo sljedeći sustav linearnih jednadžbi:

Uzimajući u obzir definiciju inverzne matrice, imamo A −1 A=E, gdje E je matrica identiteta. Stoga se (4) može napisati na sljedeći način:

Stoga je za rješavanje sustava linearnih jednadžbi (1) (ili (2)) dovoljno pomnožiti inverz s A matrica po vektoru ograničenja b.

Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Primjer 1. Riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi koristeći matričnu metodu:

Nađimo inverz matrice A Jordan-Gaussovom metodom. Na desnoj strani matrice A napišite matricu identiteta:

Isključimo elemente 1. stupca matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte retke 2, 3 s redom 1, pomnoženo s -1/3, odnosno -1/3:

Isključimo elemente 2. stupca matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, zbrojite redak 3 s redkom 2 pomnoženim s -24/51:

Isključimo elemente 2. stupca matrice iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 1 s redom 2, pomnoženo s -3/17:

Odvojite desnu stranu matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna od A :

Matrični oblik zapisa sustava linearnih jednadžbi: sjekira=b, gdje

Izračunajte sve algebarske komplemente matrice A:

Inverzna matrica se izračunava iz sljedećeg izraza.

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Jednadžbe čovjek koristi od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Matrična metoda omogućuje pronalaženje rješenja za SLAE (sustav linearnih algebarskih jednadžbi) bilo koje složenosti. Cijeli proces rješavanja SLAE svodi se na dva glavna koraka:

Određivanje inverzne matrice na temelju glavne matrice:

Množenje dobivene inverzne matrice s vektorom stupcem rješenja.

Pretpostavimo da nam je dan SLAE sljedećeg oblika:

\[\lijevo\(\begin(matrica) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrica)\desno.\]

Počnimo rješavati ovu jednadžbu ispisivanjem matrice sustava:

Matrica s desne strane:

Definirajmo inverznu matricu. Matricu 2. reda možete pronaći na sljedeći način: 1 - sama matrica mora biti nesingularna; 2 - izmjenjuju se njegovi elementi koji se nalaze na glavnoj dijagonali, a za elemente sporedne dijagonale vršimo promjenu predznaka u suprotno, nakon čega dobivene elemente dijelimo determinantom matrice. Dobivamo:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ početak(pmatrica) -11 \\ 31 \kraj(pmatrica) \]

2 matrice se smatraju jednakima ako su im odgovarajući elementi jednaki. Kao rezultat, imamo sljedeći odgovor SLAE rješenja:

Gdje mogu riješiti sustav jednadžbi pomoću matrične metode online?

Sustav jednadžbi možete riješiti na našoj web stranici. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj grupi Vkontakte.

Tema 2. SUSTAVI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI.

Osnovni koncepti.

Definicija 1. sustav m linearne jednadžbe sa n nepoznat je sustav oblika:

gdje su i brojevi.

Definicija 2. Rješenje sustava (I) je takav skup nepoznanica, u kojem se svaka jednadžba ovog sustava pretvara u identitet.

Definicija 3. Sustav (I) se zove spojnica ako ima barem jedno rješenje i nekompatibilan ako nema rješenja. Zglobni sustav naziva se određeni ako ima jedinstveno rješenje, i neizvjestan inače.

Definicija 4. Vrsta jednadžbe

nazvao nula, i jednadžba oblika

nazvao nekompatibilan. Očito je da je sustav jednadžbi koji sadrži nekonzistentnu jednadžbu nekonzistentan.

Definicija 5. Dva sustava linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalent ako je svako rješenje jednog sustava rješenje drugog i, obrnuto, svako rješenje drugog sustava rješenje je prvog.

Matrična notacija za sustav linearnih jednadžbi.

Razmotrimo sustav (I) (vidi §1).

Označiti:

Matrica koeficijenata za nepoznanice

Matrica - stupac slobodnih članova

Matrica - stupac nepoznanica

Definicija 1. Matrica se zove glavna matrica sustava(I), a matrica je proširena matrica sustava (I).

Po definiciji matrične jednakosti sustav (I) odgovara matričnoj jednakosti:

Desna strana ove jednakosti po definiciji umnoška matrica ( vidi definiciju 3 § 5 poglavlje 1) može se faktorizirati:

, tj.

Jednakost (2) nazvao matrični zapis sustava (I).

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Neka u sustavu (I) (vidi §1) m=n, tj. broj jednadžbi je jednak broju nepoznanica, a glavna matrica sustava je nedegenerirana, tj. . Tada sustav (I) iz §1 ima jedinstveno rješenje

gdje je ∆ = detalj A naziva glavnim sustavna odrednica(I), ∆ ja dobiva se iz determinante Δ zamjenom ja-ti stupac u stupac slobodnih članova sustava (I).

Primjer Riješite sustav Cramerovom metodom:

Po formulama (3) .

Izračunavamo determinante sustava:

Da bismo dobili determinantu, prvi stupac u determinanti zamijenili smo stupcem slobodnih članova; zamjenom 2. stupca u determinanti stupcem slobodnih članova dobivamo ; slično, zamjenom 3. stupca u determinanti stupcem slobodnih članova dobivamo . Sustavno rješenje:

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice.

Neka u sustavu (I) (vidi §1) m=n a glavna matrica sustava je nedegenerirana. Sustav (I) zapisujemo u matričnom obliku ( vidi §2):

jer matrica A nedegenerirana, tada ima inverznu matricu ( vidi teorem 1 §6 u 1. poglavlju). Pomnožite obje strane jednadžbe (2) u matricu, dakle

Po definiciji inverzne matrice . Iz ravnopravnosti (3) imamo

Riješite sustav pomoću inverzne matrice

Označiti

U primjeru (§ 3) izračunali smo determinantu, dakle matricu A ima inverznu matricu. Tada na snazi (4) , tj.

. (5)

Pronađite matricu ( vidi §6 poglavlje 1)

, , ,

Gaussova metoda.

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi:

. (ja)

Potrebno je pronaći sva rješenja sustava (I) ili se uvjeriti da je sustav nekonzistentan.

Definicija 1.Nazovimo elementarnu transformaciju sustava(I) bilo koja od tri radnje:

1) brisanje nulte jednadžbe;

2) dodavanjem oba dijela jednadžbe odgovarajućih dijelova druge jednadžbe, pomnoženih s brojem l;

3) zamjena članova u jednadžbama sustava tako da nepoznanice s istim brojevima u svim jednadžbama zauzimaju ista mjesta, tj. ako smo npr. u 1. jednadžbi promijenili 2. i 3. član, onda isto moramo učiniti u svim jednadžbama sustava.

Gaussova metoda sastoji se u tome da se sustav (I) uz pomoć elementarnih transformacija reducira na ekvivalentni sustav, čije se rješenje nalazi izravno ili se utvrđuje njegova nerješivost.

Kao što je opisano u §2, sustav (I) je jedinstveno određen svojom proširenom matricom, a svaka elementarna transformacija sustava (I) odgovara elementarnoj transformaciji proširene matrice:

Transformacija 1) odgovara brisanju nultog retka u matrici, transformacija 2) je ekvivalentna dodavanju odgovarajućem retku matrice njenog drugog retka pomnoženog s brojem l, transformacija 3) je ekvivalentna preraspodjeli stupaca u matrici.

Lako je vidjeti da, naprotiv, svaka elementarna transformacija matrice odgovara elementarnoj transformaciji sustava (I). S obzirom na rečeno, umjesto operacija sa sustavom (I), radit ćemo s proširenom matricom ovog sustava.

U matrici, 1. stupac se sastoji od koeficijenata at x 1, 2. stupac - iz koeficijenata pri x 2 itd. U slučaju preraspodjele stupaca, treba uzeti u obzir da je ovaj uvjet prekršen. Na primjer, ako zamijenimo 1. i 2. stupac, tada će sada u 1. stupcu biti koeficijenti pri x 2, au 2. stupcu - koeficijenti pri x 1.

Sustav (I) ćemo riješiti Gaussovom metodom.

1. Precrtajte sve nulte retke u matrici, ako ih ima (tj. prekrižite sve nulte jednadžbe u sustavu (I).

2. Provjeriti da li među redovima matrice postoji red u kojem su svi elementi osim posljednjeg jednaki nuli (nazovimo takav red nekonzistentnim). Očito, takva linija odgovara nekonzistentnoj jednadžbi u sustavu (I), dakle sustav (I) nema rješenja i tu proces završava.

3. Neka matrica ne sadrži nekonzistentne retke (sustav (I) ne sadrži nekonzistentne jednadžbe). Ako a a 11 =0, tada u 1. retku nalazimo neki element (osim zadnjeg) koji je različit od nule i preslagujemo stupce tako da u 1. retku na 1. mjestu nema nule. Sada pretpostavljamo da (tj. mijenjamo odgovarajuće članove u jednadžbama sustava (I)).

4. Pomnožite 1. red s i dodajte rezultat u 2. red, zatim pomnožite 1. red s i dodajte rezultat u 3. red, itd. Očito, ovaj proces je ekvivalentan uklanjanju nepoznatog x 1 iz svih jednadžbi sustava (I), osim 1. U novoj matrici dobivamo nule u 1. stupcu ispod elementa a 11:

5. Precrtajte sve nulte retke u matrici, ako ih ima, provjerite postoji li nekonzistentan red (ako postoji, sustav je nekonzistentan i tu rješenje završava). Provjerimo je li a 22 / =0, ako da, tada nalazimo element u 2. retku koji je različit od nule i preuređujemo stupce tako da . Zatim množimo elemente 2. reda s i zbrajati s odgovarajućim elementima 3. reda, zatim - elemente 2. reda na i zbrajati s odgovarajućim elementima 4. reda itd., dok ne dobijemo nule ispod a 22 /

Izvedene radnje ekvivalentne su uklanjanju nepoznatog x 2 iz svih jednadžbi sustava (I), osim 1. i 2. Budući da je broj redaka konačan, dakle, nakon konačnog broja koraka dobit ćemo da je ili sustav nekonzistentan ili ćemo doći do matrice koraka ( vidi definiciju 2 §7 poglavlje 1) :

Zapišimo sustav jednadžbi koji odgovara matrici . Ovaj sustav je ekvivalentan sustavu (I)

Iz posljednje jednadžbe izražavamo ; zamjenjujemo u prethodnu jednadžbu, nalazimo itd., dok ne dobijemo .

Napomena 1. Dakle, pri rješavanju sustava (I) Gaussovom metodom dolazimo do jednog od sljedećih slučajeva.

1. Sustav (I) je nekonzistentan.

2. Sustav (I) ima jedinstveno rješenje ako je broj redaka u matrici jednak broju nepoznanica ().

3. Sustav (I) ima beskonačan broj rješenja ako je broj redaka u matrici manji od broja nepoznanica ().

Stoga vrijedi sljedeći teorem.

Teorema. Sustav linearnih jednadžbi je ili nekonzistentan, ili ima jedinstveno rješenje, ili postoji beskonačan skup rješenja.

Primjeri. Riješite sustav jednadžbi Gaussovom metodom ili dokažite njegovu nekonzistentnost:

b) ;

a) Zadani sustav prepišimo u obliku:

Zamijenili smo 1. i 2. jednadžbu izvornog sustava kako bismo pojednostavili izračune (umjesto s razlomcima, radit ćemo samo s cijelim brojevima koristeći takvu permutaciju).

Sastavljamo proširenu matricu:

Nema nultih linija; nema nekompatibilnih redaka, ; isključujemo 1. nepoznanicu iz svih jednadžbi sustava, osim 1. nepoznanice. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente 1. retka matrice s "-2" i dodamo ih odgovarajućim elementima 2. retka, što je ekvivalentno množenju 1. jednadžbe s "-2" i njezinom dodavanju u 2. jednadžba. Zatim pomnožimo elemente 1. reda sa "-3" i dodamo ih odgovarajućim elementima trećeg reda, tj. pomnožite 2. jednadžbu zadanog sustava s "-3" i dodajte je 3. jednadžbi. Dobiti

Matrica odgovara sustavu jednadžbi). - (vidi definiciju 3 § 7 poglavlja 1).