n Primjer 2.3. Pronađite korijene jednadžbe

x- tg (x)= 0. (2.18)

Prva faza rješenja (faza odvajanje korijena) implementiran je u Odjeljku 2.1 (Primjer 2.2). Traženi korijen jednadžbe je na segmentu x O, što se može vidjeti na grafikonu (sl. 2.9).

sl.2.9. Korak odvajanja korijena

Faza prečišćavanja korijena implementiran pomoću programa Excel. Pokažimo to primjerom metoda polovična podjela . Sheme proračuna za tangentne metode i akord malo drugačiji od dijagrama ispod.

Redoslijed:

1. Pripremite tablicu kao što je prikazano na slici 2.10 i unesite vrijednosti a, b, ε redom u ćelije V3, V4, V5.

2. Ispunite prvi redak tablice:

D4=0 broj iteracije;

E4=B3, F4=B4, za izračunavanje fa): G4=E4-TAN(E4),

Slično, u ćelijama H4, I4, J4 uvest ćemo formule za izračunavanje, odnosno f(b), x n=(a+b)/2 i f(x n);

U ćeliji K4 izračunajte duljinu segmenta [ a, b]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, za formiranje broja iteracije.

4. U ćelije E5, F5 uvodimo formule za formiranje krajeva ugniježđenih segmenata u skladu s algoritmom opisanim u odjeljku 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Odaberite ćelije G4:K4 i kopirajte ih u jedna linija.

6. Odaberite ćelije D5:K5 i kopirajte ih na kraj tablice.

sl.2.10. Shema za rješavanje nelinearne jednadžbe metodom bisekcije

Nastavljamo dijeliti segmente sve dok duljina potonjeg ne postane manja od zadanog ε, tj. dok se ne ispuni uvjet.

Da bismo vizualizirali kraj iterativnog procesa, koristimo uvjetno oblikovanje

Uvjetno oblikovanje - to je formatiranje odabranih ćelija prema nekom kriteriju, uslijed čega će biti obojane ćelije čiji sadržaji zadovoljavaju zadani uvjet (u našem slučaju ).

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

Odaberimo ćelije posljednjeg stupca (K) računske sheme (sl. 2.10), gdje će biti postavljen kriterij za završetak iterativnog procesa;

Izvršite naredbu

Početna\Stilovi\ Uvjetno oblikovanje;

sl.2.11. Prozor na oblikovanje riječi

U prozoru koji se pojavi (Sl. 2.11), odaberite liniju:

Pravila odabira ćelija \ Manje od;

Na lijevoj strani dijaloškog okvira koji se pojavljuje Manji (Sl. 2.12) postavite vrijednost koja će se koristiti kao kriterij (u našem primjeru to je adresa ćelije B5, gdje se nalazi vrijednost ε ).

sl.2.12. Dijaloški prozor Manji

Na desnoj strani prozora Manji odabrati boju kojom će se obojiti ćelije koje zadovoljavaju navedeni uvjet; i pritisnite tipku U REDU.

Kao rezultat ovog oblikovanja, ćelije stupca K , čije vrijednosti manje od 0,1, tonirano, sl.2.10.

Dakle, za približnu vrijednost korijena jednadžbe x- tg (x)= 0 s točnošću e=0,1, prihvaća se 3. iteracija, tj. x*" 4,46875. Za e=0,01 - x * » 4,49609(6. ponavljanje).

Odluka ne linearne jednadžbe pomoću dodatka "Odaberi parametar".

Rješavanje nelinearnih jednadžbi moguće je implementirati u MS aplikaciji excel korištenjem Odabir parametara dodataka, gdje se implementira neki iterativni proces.

Nađimo korijene gornje jednadžbe (2.18).

Za nultu aproksimaciju rješenja jednadžbe, kao što se može vidjeti na sl. 2.13, možemo uzeti x 0 =4 ili x 0 =4,5.

Sekvenciranje

1. Pripremite tablicu, kao što je prikazano na slici 2.13. U ćeliju A2 unesite neku vrijednost x 0 (na primjer x 0 =4) iz funkcije ODZ y=f(x). Ovo će biti početna aproksimacija za iterativni proces koji provodi aplikacija Izbor parametara.

2. Ćelija U 2 je promjenjiva stanica dok je dodatak pokrenut. Stavimo ovu vrijednost u to. x 0 , i u ćeliji C3 izračunati vrijednost funkcije f(xn) za ovu aproksimaciju.

3. Odaberite naredbu:

Podaci \ Rad s podacima \ "Što-ako" analiza \ Odabir parametra.

4. U prozoru "Odabir parametra" izvršite postavke kao što je prikazano na slici 2.13 i pritisnite gumb OK.

sl.2.13. Rješavanje nelinearne jednadžbe pomoću dodatka za traženje parametara

Ako je sve učinjeno ispravno, tada će se u ćeliji B2 (slika 2.13) dobiti približna vrijednost korijena naše jednadžbe.

Izvedite sve ove operacije ponovno s drugom vrijednošću početne aproksimacije, na primjer x 0 \u003d 4,5.

ispitna pitanja

1. Koja se jednadžba naziva nelinearnom. Što je rješenje nelinearne jednadžbe.

2. Geometrijska interpretacija rješenja nelinearne jednadžbe.

3. Metode rješavanja nelinearne jednadžbe (direktne i iterativne), u čemu je razlika.

4. Dvije faze numeričko rješenje nelinearna jednadžba. Koji su zadaci u prvoj i drugoj fazi.

5. Prva faza rješavanja nelinearne jednadžbe. Kako se bira nulta aproksimacija (nulta iteracija).

6. Konstrukcija iterativnog niza. Pojam konvergencije iterativnog niza. Određivanje približne vrijednosti korijena nelinearne jednadžbe s točnošću ε.

7. Geometrijska interpretacija numeričkih metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe: poludijeljenje, Newton (tangenta), tetive.

Poglavlje 3

Dana je jednadžba F(x)=0. to - opći oblik nelinearna jednadžba s jednom nepoznatom. U pravilu, algoritam za pronalaženje korijena sastoji se od dvije faze:

1. Pronalaženje približne vrijednosti korijena ili segmenta na x-osi koji ga sadrži.

2. Pročišćavanje približne vrijednosti korijena do neke točnosti.

U prvoj fazi primjenjuje se korak metoda odvajanja korijena, u drugoj - jedna od metoda usklađivanja (metoda poludijeljenja, Newtonova metoda, metoda akorda ili metoda jednostavne iteracije).

metoda koraka

Kao primjer, razmotrite jednadžbu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretraživanja, korak h = 0,3. Riješimo to pomoću posebne mogućnosti Excel paket. Redoslijed radnji (vidi sliku 1):

1. Stilizirajte zaglavlje u retku 1 " Numeričke metode rješenja nelinearnih jednadžbi”.

2. Dizajnirajte naslov u retku 3 "Metoda koraka".

3. U ćelije A6 te C6 i B6 upišite podatke o zadatku.

4. U ćelije B9 i C9 upiši naslove redaka - redom x i F(x).

5. U ćelije B10 i B11 unesite prve dvije vrijednosti argumenta - 3 i 3.3.

6. Odaberite ćelije B5-B6 i povucite niz podataka do konačne vrijednosti (3.3), pazeći da je aritmetička progresija ispravno poravnata.

7. Unesite formulu u ćeliju C10"=B10*B10-11*B10+30".

8. Kopirajte formulu u ostatak retka koristeći povlačenje i ispuštanje. U intervalu C10:C18 dobiven je niz rezultata izračuna funkcije F(x). Vidi se da funkcija jednom mijenja predznak. Korijen jednadžbe nalazi se u intervalu.

9. Za izradu grafikona ovisnosti F(x) koristite Insert - Dijagram (tip "Spot", markeri su povezani glatkim krivuljama).

Metoda bisekcije

Kao primjer, razmotrite jednadžbu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretraživanja, s točnošću ε=0,01. Riješimo to pomoću posebnih mogućnosti Excel paketa.

1. Unesite u ćeliju B21 naslov "Metoda dijeljenja segmenata na pola."

2. Unesite podatke zadatka u ćeliju A23, C23, E23.

3. U području B25:H25 nacrtajte zaglavlje tablice (red B - lijeva granica segmenta "a", red C - sredina segmenta "x", red D - desna granica segmenta "b" ", red E - vrijednost funkcije na lijevoj granici segmenta "F( a)", serija F - vrijednost funkcije u sredini segmenta "F(x)", serija G - umnožak "F(a) * F(x)", serija H - provjera postignuća točnosti "ê F(x)ê<е».

4. Unesite početne vrijednosti krajeva segmenta: u ćeliju B26 "4.8", u ćeliju D26 "5.1".

5. Unesite formulu "=(B26+D26)/2" u ćeliju C26.

6. Unesite formulu u ćeliju E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Unesite formulu u ćeliju F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Unesite formulu "=E26*F26" u ćeliju G26.

9. U ćeliju H26 unesite formulu "=IF(ABS(F26)<0.01; ² korijen² )".

1 0. Odaberite područje B21:H21 i povucite ga okomito dok se poruka “root” ne pojavi u retku H (ćelija H29, H30).

Metoda tangente (Newton)

1. Unesite u ćeliju J23 naslov "Tangentna metoda (Newton)".

2. Unesite tekst “e=” u ćeliju L23, a vrijednost točnosti “0,00001” u ćeliju M23.

3. U području K25:N25 nacrtajte zaglavlje tablice (red K - vrijednost argumenta "x", red L - vrijednost funkcije "F (x)", red M - derivacija funkcije " F¢ (x)", serija N - provjera postignuća točnosti "ê F(x)ê<е».

4. U ćeliju K26 unesite prvu početna vrijednost argument"-2".

5. Unesite formulu "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" u ćeliju L26.

6. Unesite formulu "=3*K26*K26+4*K26+3" u ćeliju M26.

7. U ćeliju N26 unesite formulu "=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Unesite formulu u ćeliju K27"=K26-L26/M26".

9. Odaberite područje L27:N27 i povucite ga okomito dok se poruka "korijen" ne pojavi u retku N (ćelija N30).

metoda akorda

Kao primjer, razmotrite jednadžbu x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Točnost ε=0,01. Riješimo to pomoću posebnih mogućnosti Excel paketa.

1. Unesite naslov “Metoda akorda” u ćeliju B32.

2. Unesite tekst "e=" u ćeliju C34, a vrijednost "0,00001" u ćeliju E34.

3. U području B36:D36 nacrtajte zaglavlje tablice (red B - vrijednost argumenta "x", red C - vrijednost funkcije "F(x)", red D - provjera postignuća točnosti "ê F(x)ê<е».

4. U ćelije B37 i B38 unesite početnu vrijednost argumenta"-2" i. "-1"

5. U ćeliju C37 unesite formulu "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5".

6. Unesite formulu u ćeliju D37"=IF(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Unesite formulu u ćeliju B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)".

8. Odaberite područje C39:D39 i povucite ga okomito dok se poruka "korijen" ne pojavi u retku D (ćelija D43).

Metoda jednostavne iteracije

Kao primjer, razmotrite jednadžbu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretraživanja je , s točnošću e = 0,05.

1. Unesite u ćeliju K32 naslov "Metoda jednostavne iteracije"

2. Unesite tekst “e =” u ćeliju N34, a vrijednost točnosti “0,05” u ćeliju O34.

3. Odaberite funkciju j (x) koja zadovoljava uvjet konvergencije. U našem slučaju takva funkcija je funkcija S(x)=(x*x+30)/11.

4. U području K38:N38 nacrtajte zaglavlje tablice (red K - vrijednost argumenta "x", red L - vrijednost funkcije "F (x)", red M - vrijednost pomoćne funkcije " S (x)", red N - provjera postignuća točnosti "ê F(x)ê<е».

5. U ćeliju K39 unesite početnu vrijednost argumenta "4,8".

6. Unesite formulu u ćeliju L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Unesite formulu "=(K39*K39+30)/11" u ćeliju M39.

8. U ćeliju N39 unesite formulu "=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Unesite formulu "=M39" u ćeliju K40.

1 0. Kopirajte ćelije L39:N39 u ćelije L40:N40.

jedanaest . Odaberite područje L40:N40 i povucite ga okomito dok se poruka "korijen" ne pojavi u retku N (ćelija N53).

Sl.1 Rješavanje nelinearnih jednadžbi u Excelu

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I ZNANOSTI RUSKE FEDERACIJE

PRORAČUN SAVEZNE DRŽAVE

OBRAZOVNA USTANOVA

VISOKA STRUČNA OBRAZOVANJA

«DRŽAVA SAMARA

ARHITEKTONSKO-GRAĐEVINSKO SVEUČILIŠTE»

Zavod za primijenjenu matematiku i računalno inženjerstvo

exceliMathcad

METODIČKE UPUTE

za laboratorijski rad

u disciplini "Računalna matematika"

Rješenje nelinearnih jednadžbi uExcel iMathcad: metoda. dekret. / Comp. , - Samara: SGASU, 20. str.

Metodičke upute izrađene su u skladu s Državnim obrazovnim standardom za proučavanje discipline "Računalna matematika".

Razmatra se implementacija numeričkih metoda za rješavanje nelinearnih jednadžbi i sustava jednadžbi u programima Excel i MathCad. Dane su varijante zadataka za samostalnu izvedbu i pitanja za samokontrolu i provjeru znanja.

Namijenjen studentima specijalnosti 230201 - "Informacijski sustavi i tehnologije" svih oblika obrazovanja.

Recenzent dr.sc. n.

Ó , kompilacija, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 Odvajanje korijena
1.5 Metoda akorda
1.6 Newtonova metoda (tangente)
1.7 Kombinirana metoda
1.8 Metoda ponavljanja
2.2. Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi Newtonovom metodom
3 Zadaci za laboratorijski rad
Laboratorij br. 1. Odvajanje korijena i standardni alati za rješavanje nelinearne jednadžbe
Laboratorij br. 2. Usporedba metoda za pročišćavanje korijena nelinearne jednadžbe
Laboratorij br. 3. Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi
Laboratorij br. 4. Metode programiranja za rješavanje nelinearnih jednadžbi i sustava
4 Pitanja i testovi za samokontrolu

1 Rješavanje nelinearne jednadžbe

1.1 Opće informacije o rješenju nelinearne jednadžbe

U pravilu nelinearne jednadžbe općeg oblika f(x)=0 ne može se analitički riješiti. Za praktične probleme dovoljno je pronaći približnu vrijednost x, što je u određenom smislu blizu točnom rješenju jednadžbe khtochn.

U većini slučajeva potraga za približnim rješenjem uključuje dvije faze. Na prva razina odvojiti korijene, tj. pronaći takve segmente unutar kojih se nalazi točno jedan korijen. Na druga faza razjasniti korijen na jednom od ovih segmenata, tj. pronaći njegovu vrijednost sa potrebnom točnošću.

Ostvarena točnost može se ocijeniti ili “po funkciji” (na pronađenoj točki x, funkcija je dovoljno blizu 0, tj. uvjet | f(x)|≤ef, gdje ef potrebna točnost duž y-osi), ili "po argumentu" (pronađen je dovoljno mali segment [ a,b], unutar kojeg se nalazi korijen, t.j. | b–a|≤ex, gdje ex potrebna točnost na x-osi).

1.2 Odvajanje korijena

Odvajanje korijena može se izvesti kombinacijom grafički i analitički istraživanje funkcije. Takvo proučavanje temelji se na Weierstrassovom teoremu, prema kojem za kontinuiran na segmentu [ a,b] funkcije f(x) i bilo koji broj g, koji ispunjava uvjet f(a)≤y≤f(b), postoji točka na ovom segmentu x, u kojem je funkcija jednaka g. Dakle, za kontinuiranu funkciju dovoljno je pronaći odsječak na čijim krajevima funkcija ima različite predznake i možete biti sigurni da taj odsječak ima korijen jednadžbe f(x)=0.

Za niz metoda preciziranja, poželjno je da segment pronađen u prvoj fazi sadrži samo jedan korijen jednadžbe. Ovaj uvjet je zadovoljen ako je funkcija na intervalu monotona. Monotonost se može provjeriti bilo grafom funkcije, bilo predznakom derivacije.

Primjer Pronađite do cijelih brojeva Svi korijeni nelinearne jednadžbe y(x)=x3-10x+7=0 a) konstruiranjem tablice i b) konstruiranjem grafikona. Pronađite korijen jednadžbe na odabranom segmentu pomoću opcija "Odabir parametra" i "Traži rješenje".

Odluka Kreirajmo tablicu u Excelu koja sadrži argumente i vrijednosti funkcije i nadogradimo je dijagram raspršenosti . Slika 1 je snimka rješenja.

Grafikon pokazuje da jednadžba ima tri korijena koji pripadaju segmentima [-4, -3] i . Ti se segmenti mogu identificirati i promatranjem promjene predznaka funkcije u tablici. Prema izgrađenom grafu možemo zaključiti da na naznačenim segmentima funkcija f(x) je monoton i, prema tome, svaki od njih sadrži samo jedan korijen.

Ista analiza može se izvršiti u paketu Mathcad. Da biste to učinili, dovoljno je upisati definiciju funkcije f(x) , pomoću operatora dodjele (:=) i prirodnih konvencija matematičkih operacija i standardnih funkcija, postavite petlju za promjenu argumenta, na primjer, a zatim prikažite tablicu vrijednosti funkcije​​(nalazi se u istoj liniji s naredbama x= f(x)= ) i grafikon. Ciklus se može odrediti, na primjer, naredbom x:=-5,-4.5…5 . Korak ciklusa formira se postavljanjem početne i sljedeće vrijednosti varijable, a ispred konačne vrijednosti varijable stavlja se točka-zarez koji će se vizualno prikazati na ekranu kao elipsa.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Slika 1 - Tablica i grafikon za odvajanje korijena nelinearne jednadžbe

1.3 Pročišćavanje korijena korištenjem standardnih Excel i Mathcad alata

U svim metodama pročišćavanja korijena potrebno je postaviti početnu aproksimaciju koja će se zatim pročišćavati. Ako jednadžba ima više korijena, jedan od njih će se pronaći ovisno o odabranoj početnoj aproksimaciji. Uz neuspješno odabranu početnu aproksimaciju, rješenje se možda neće pronaći. Ako je kao rezultat prve faze izračuna segment koji sadrži jedan korijen jednadžbe već odabran, bilo koja točka tog segmenta može se uzeti kao početna aproksimacija.

U Excelu, za pročišćavanje vrijednosti korijena, možete koristiti opcije "Odabir parametra" i "Traži rješenje". Primjer projektiranja rješenja prikazan je na slikama 2 i 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Slika 3 - Rezultati korištenja sredstava rješavanja jednadžbe uexcel

U Mathcadu, za pročišćavanje korijena jednadžbe, možete koristiti funkciju korijen(….) ili blok odluke. Primjer korištenja funkcije root(…) prikazan je na slici 4, a bloka odluke na slici 5. Imajte na umu da u bloku odluke (nakon zaglavlja bloka S obzirom) između lijeve i desne strane jednadžbe treba biti podebljani znak jednakosti(identiteti), koji se mogu dobiti odabirom iz odgovarajuće palete alata ili istovremenim pritiskom na tipku ctrl i = .

243" height="31">

Slika 5 - Rješavanje jednadžbe pomoću bloka rješavanjaMathcad

Kao što vidite, svaki standardni alat pronalazi rješenje jednadžbe s određenom točnošću. Ta točnost ovisi o metodi korištenoj u paketu i, donekle, o postavkama paketa. Kontrola točnosti rezultata ovdje je prilično teška, a često i nemoguća.

U isto vrijeme, vrlo je lako izgraditi vlastitu tablicu ili napisati program koji implementira jednu od metoda preciziranja korijena. Ovdje možete koristiti kriterije točnosti izračuna koje je odredio korisnik. U isto vrijeme, razumijevanje procesa izračuna također se postiže bez oslanjanja na načelo Mitrofanushka: "Postoji vozač, on će vas odvesti."

U nastavku su neke od uobičajenih metoda. Imajte na umu očitu točku: za druge jednakim uvjetima ta metoda prečišćavanje korijena će biti učinkovitije, u kojem se nalazi rezultat s istom pogreškom manji broj evaluacija funkcija f(x)(Time se također postiže maksimalna točnost na isti broj proračuni funkcija).

1.4 Metoda bisekcije

U ovoj metodi, u svakom koraku, segment se dijeli na dva jednaka dijela. Zatim uspoređuju predznake funkcije na krajevima svake od dviju polovica (npr. predznakom umnoška vrijednosti funkcija na krajevima), određuju onu koja sadrži rješenje (znakovi funkcije na krajevima moraju biti različiti), i. suzite segment, prebacujući njegovu granicu na pronađenu točku ( a ili b). Završni uvjet je malenost segmenta koji sadrži korijen („točnost u x“), ili blizina 0 vrijednosti funkcije u sredini segmenta (“točnost u y”). Rješenje jednadžbe je sredina segmenta pronađenog na zadnjem koraku.

Primjer. Napravite tablicu da precizirate korijen jednadžbe x3 –10 x+7=0 na segmentu [-4, -3] dijeljenjem segmenta na pola. Odredite koliko koraka treba poduzeti dijeljenjem segmenta na pola i koja se točnost postiže u ovom slučaju. X, postići točnost u g jednako 0,1; 0,01; 0,001.

Odluka Možete koristiti proračunsku tablicu za rješavanje Excel procesor, što omogućuje automatski nastavak linija. U prvom koraku u tablicu upisujemo vrijednosti lijevog i desnog kraja odabranog početnog segmenta i izračunavamo vrijednost sredine segmenta S=(a+b)/2, a zatim uvodimo formulu za izračunavanje funkcije u točki a (f(a)) i rastegnite (kopirajte) za izračun f(c) i f(b). U zadnjem stupcu izračunavamo izraz ( b-a)/2 karakteriziraju stupanj točnosti proračuna. Sve upisane formule mogu se kopirati u drugi redak tablice.

U drugom koraku potrebno je automatizirati proces traženja one polovice segmenta koja sadrži korijen. Da biste to učinili, upotrijebite logičku funkciju IF ( izbornik: InsertFunctionBoolean). Za novi lijevi rub segmenta provjeravamo istinitost uvjeta f(a)*f(c)>0, ako je istina, tada uzimamo broj kao novu vrijednost lijevog kraja segmenta c a, c a. Slično, za novi desni rub segmenta, provjeravamo istinitost uvjeta f(c)* f(b)>0, ako je istina, tada uzimamo broj kao novu vrijednost desnog kraja segmenta c(jer ovaj uvjet pokazuje da je korijen na intervalu [ c, b] ne), inače ostavite vrijednost b.

Drugi redak tablice može se nastaviti (kopirati) za potreban broj sljedećih redaka.

Iterativni proces završava kada sljedeća vrijednost u zadnjem stupcu postane manja od specificirane točnosti ex. U tom slučaju vrijednost sredine segmenta u zadnjoj aproksimaciji uzima se kao približna vrijednost željenog korijena nelinearne jednadžbe. Slika 6 prikazuje snimku rješenja. Za izgradnju sličnog procesa u Mathcadu, možete koristiti obrazac sličan onom prikazanom na slici 7. Broj koraka N može varirati dok se ne postigne potrebna točnost u tablici rezultata. Tablica će se automatski produžiti ili skratiti.

Dakle, jedan od tri korijena nelinearne jednadžbe x 3 – 10x+ 7=0 pronađeno s preciznošću e=0,0001 je x= - 3,46686. Kao što vidimo, stvarno pripada segmentu [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Slika 7 - Pročišćavanje korijena dijeljenjem segmenta na polaMathcad

1.5 Metoda akorda

U ovoj metodi nelinearna funkcija f(x) na razdvojenom intervalu [ a, b] zamijenjena je linearnom - jednadžbom tetive, tj. ravnom linijom koja povezuje granične točke grafa na segmentu. Uvjet za primjenjivost metode je monotonost funkcije na početnom segmentu, koja osigurava jedinstvenost korijena na tom segmentu. Izračun metodom akorda sličan je izračunu metodom dijeljenja segmenta na pola, ali sada u svakom koraku nova točka x unutar segmenta [ a, b] izračunava se korištenjem bilo koje od sljedećih formula:

(x) > 0 ), ili njegova desna granica: x0 = b(ako f (b) f "(x)> 0). Izračun nove aproksimacije u sljedećem koraku ja+1 proizveden po formuli:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Slika 8 - Pročišćavanje korijena metodom tangente u Excel

Izračuni u Mathcadu se izvode na sličan način. Istodobno, značajno olakšanje pruža prisutnost u ovom paketu operatora koji automatski izračunava izvod funkcije.

Najdugotrajniji element Newtonovih izračuna je izračun derivacije u svakom koraku.

Može se koristiti pod određenim uvjetima pojednostavio Newtonovu metodu, u kojem se derivacija izračunava samo jednom – u početnoj točki. U ovom slučaju koristi se modificirana formula

.

Naravno, pojednostavljena metoda, u pravilu, zahtijeva više korake.

Ako je izračun derivacije povezan s ozbiljnim poteškoćama (na primjer, ako funkcija nije dana analitičkim izrazom, već programom koji izračunava njezine vrijednosti), koristi se modificirana metoda Newton, tzv sekantna metoda. Ovdje se derivacija približno izračunava iz vrijednosti funkcije u dvije uzastopne točke, odnosno koristi se formula

.

U metodi sekante potrebno je odrediti ne jednu, već dvije početne točke - x0 i x1 . Točka x1 obično daje smjena x0 na drugu granicu segmenta za mali iznos, na primjer, za 0,01.

1.7 Kombinirana metoda

Može se pokazati da ako na početnom segmentu funkcije f(x) predznaci prve i druge derivacije ostaju nepromijenjeni, tada metode akorda i Newton pristupaju korijenu s različitih točaka. Kombinirana metoda koristi oba algoritma u isto vrijeme za povećanje učinkovitosti u svakom koraku. U tom slučaju se interval koji sadrži korijen smanjuje s obje strane, što dovodi do još jednog uvjeta za prekid pretrage. Pretraživanje se može zaustaviti čim u sredini intervala dobivenog u sljedećem koraku vrijednost funkcije postane modulo manja od unaprijed određene pogreške ef.

Ako se, u skladu s gore formuliranim pravilom, Newtonova metoda primjenjuje na desnu granicu segmenta, za izračune se koriste sljedeće formule:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Ako se Newtonova metoda primijeni na lijevu granicu, - u prethodnim formulama oznake su obrnute a i b.

1.8 Metoda ponavljanja

Za primjenu ove metode, izvorna jednadžba f(x)=0 pretvoreno u oblik: x=g(X). Zatim odaberite početnu vrijednost x0 i zamijenite ga na lijevoj strani jednadžbe, dobivajući, in opći slučaj, x1 = g(x0)¹ x0¹ g(x1), jer x0 uzet proizvoljno i nije korijen jednadžbe. Primljena vrijednost x1 smatra se još jednom aproksimacijom korijena. Ponovno mu je namješteno desna strana jednadžbe i dobiti sljedeća vrijednost x2=g(x1)). Izračun se nastavlja prema formuli xi+1=g(xi). Dobiveni niz je: x0, x1, x2, x3 x4,... konvergiraju korijenu pod određenim uvjetima khtochn.

Može se pokazati da iterativni proces konvergira pod uvjetom
|g’ (x) | < 1 на [a, b].

postojati razne načine transformacije jednadžbi f(x)= 0 prema vrsti g(X) = x, au konkretnom slučaju neki će od njih dovesti do konvergentnog, a drugi do divergentnog procesa računanja.

Jedan od načina je primijeniti formulu

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

gdje M= max | g’ (x)| dana [ a, b].

2 Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi

2.1 Općenito o rješavanju sustava nelinearnih jednadžbi

sustav n nelinearne jednadžbe sa n nepoznato x1, x2, ..., xn zapisuju se u obliku:

gdje F1, F2,…, fn su funkcije nezavisnih varijabli, među kojima ima i nelinearnih.

Kao iu slučaju sustava linearnih jednadžbi, rješenje sustava je takav vektor x*, koji, kada se supstituira, istovremeno pretvara sve jednadžbe sustava u identitete.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Početne vrijednosti x0 i g0 definiran grafički. Za pronalaženje svake uzastopne aproksimacije (xi+1 , yi+1 ) koristiti vektor vrijednosti funkcije i matricu vrijednosti njihovih prvih izvoda izračunatih u prethodnoj točki (xi, yi) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

Za izračun novih aproksimacija u koraku i+1 koristi se matrična formula

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Gornje formule je posebno lako napisati u Mathcadu, gdje postoje operatori za izračunavanje derivacija i operacije s matricama. Međutim, kada pravilnu upotrebu matrične operacije te su formule vrlo jednostavno napisane u Excelu. Istina, ovdje je potrebno unaprijed dobiti formule za izračun derivata. Mathcad se također može koristiti za analitički izračun izvedenica.

2.3. Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi iteracijskim metodama

Za implementaciju ovih metoda, izvorni sustav jednadžbi mora biti algebarske transformacije eksplicitno izraziti svaku varijablu u smislu ostalih. Za slučaj dviju jednadžbi s dvije nepoznanice novi sustavće izgledati

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Ako jedno od rješenja sustava i početne vrijednosti x0 i g0 ležati u području D zadan nejednakostima: a ≤ x ≤ b, c ≤ g ≤ d, zatim obračun po metodi jednostavne iteracije konvergira kada se izvrši u regiji D omjeri:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

NA Seidelova iteracijska metoda za svaki izračun koriste se najtočnije vrijednosti koje su već pronađene za svaku varijablu. Za razmatrani slučaj dviju varijabli takva logika vodi do formula

0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

Alat (opcija)

Početna aproksimacija

Korijenx

f(x)

3. Razvrstaj rezultate po točnosti rješenja.

Neka se pronađe približna vrijednost korijena jednadžbe f(x) = 0, označimo ga x n. Formula za izračun Newtonova metoda za određivanje sljedeće aproksimacije x n+1 se može dobiti na dva načina.

Prvi način izražava geometrijski smisao Newtonova metoda i sastoji se u tome da umjesto sjecišta grafa funkcije g = f(x) s osi VOL, tražimo točku sjecišta s osi VOL tangenta povučena na graf funkcije u točki ( x n, f(x n)) kao što je prikazano na sl. 2.6. Jednadžba tangente ima oblik .

Riža. 2.7. Newtonova metoda (tangenta)

U sjecištu tangente s osi VOL varijabla y= 0. Izjednačavanje g nula, izražavamo x i dobiti formulu metoda tangente:

(2.6)

Drugi način. Proširite funkciju f(x) u Taylorov niz u blizini točke x = x n:

Ograničavamo se na linearno u odnosu na ( x-xn) izraze, izjednačavamo s nulom f(x) i izražavanje nepoznanice iz rezultirajuće jednadžbe x i označavajući ga kroz x n+1 , dobivamo formulu (2.6).

Navedimo dostatne uvjete za konvergenciju Newtonove metode.

Teorem 2.3. Neka su na intervalu zadovoljeni sljedeći uvjeti:

1) funkcija i njezine derivacije su neprekidne;

2) izvodnice i različite su od nule i zadržavaju određene konstantne predznake;

3) (funkcija mijenja predznak na segmentu).

Zatim postoji segment koji sadrži traženi korijen jednadžbe , na kojem konvergira iterativni niz. Ako kao nultu aproksimaciju odaberemo graničnu točku u kojoj se predznak funkcije podudara s predznakom druge derivacije, tj. , tada iterativni niz monotono konvergira (slika 2.8).

Dokaz. Budući da je kontinuiran, mijenja predznak i monoton je na , tada je interval izolacije korijena. Označimo željeni korijen sa . Razmotrite funkciju i pronaći njegovu izvedenicu. Dakle, kontinuirano je na , nestaje u točki , Budući da funkcija nestaje u ovoj točki. Stoga postoji takav segment () koji . Ako uzmemo onaj dio segmenta gdje , tada je, dakle, funkcija rastuća, ali tada je niz monoton.

Riža. 2.8. Dovoljni uvjeti konvergencija Newtonove metode

Komentar. Imajte na umu da metoda akorda dolazi samo s suprotna strana, i tako obje ove metode mogu se nadopunjavati, a moguća je i kombinacija metoda tetive-tangente.

Primjer 2.7. Pročistite korijen jednadžbe Newtonovom metodom na 0,000001
grijeh 5 x+ x 2 – 1 = 0. Uzmi kao početnu vrijednost x 0 = – 0,7.

Odluka. Nađimo izvod .

NA Excel program predstaviti formule za izračun:

1) Uvedimo formule i zapise u ćelije raspona A 1:D 3 i kopirajte ga s markerom za popunjavanje ćelije s formulama: B 3 - prije B 5,
C 2 - prije C 5, D 2 - prije D 5;

Tablica 2.9

	A	B	C	D
	k	x	f(x)	f"(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

Rezultati proračuna prikazani su u tablici 2.10. Dobivena je korijenska vrijednost - 0,726631609 ≈ - 0,726632 s pogreškom od 0,000001.

Tablica 2.10

	A	B	C	D	A
	k	x	f(x)	f"(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1.00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1,45328E-13	-5,861238543	1.71955E-07

Kreirajmo funkcije u Excelu riješiti jednadžbu iz primjera 2.7 Newtonovom metodom.

„Za razliku od metode tetiva, u metodi tangenti, umjesto tetive, na svakom koraku se povlači tangenta na krivulju. y=F(x) na x=x n i traži se sjecište tangente s osi apscisa:

Formula za aproksimaciju (n+1) je:

Ako F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, inače x 0 =b.

Iterativni proces se nastavlja sve dok se ne utvrdi da:

Primjer:

Neka je dan sljedeći zadatak: Pročistite korijene jednadžbe cos(2x)+x-5=0 tangentna metoda s točnošću od 0,00001.

U početku morate odlučiti čemu je x0 jednako: a ili b. Da biste to učinili, morate izvršiti sljedeće korake:

Nađite derivaciju prvog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Nađite derivaciju drugog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f2(x)=-4cos(2x).

Rezultat je sljedeći:

Budući da je x0=b, morate učiniti sljedeće:

Ispunite polja na sljedeći način (pri popunjavanju obratite pozornost na nazive i brojeve stupaca - moraju biti isti kao na slici):

U ćeliju A6 unesite formulu =D5.

Odaberite raspon ćelija B5:E5 i ispunite raspon ćelija B6:E6 povlačenjem.

Odaberite raspon ćelija A6:E5 i ispunite raspon niže ležećih ćelija povlačenjem dok se rezultat ne dobije u jednoj od ćelija stupca E (raspon ćelija A6:E9).

Kao rezultat toga dobivamo sljedeće:

4. Kombinirana metoda tetiva i tangenti

Da bi se postigla što preciznija pogreška, potrebno je istovremeno koristiti metode tetiva i tangenti. „Prema formuli akorda nalaze x n+1, a prema formuli tangente - z n+1. Proces pronalaženja približnog korijena prestaje čim:

Kao približni korijen uzmite vrijednost jednaku (11) :"[2 ]

Neka se zahtijeva pročišćavanje korijena jednadžbe cos(2x)+x-5=0 kombiniranom metodom s točnošću od 0,00001.

Da biste riješili takav problem pomoću programa Excel, morate izvršiti sljedeće korake:

Budući da je u kombiniranoj metodi potrebno koristiti jednu od formula tetiva i formulu tangenti, radi jednostavnosti treba uvesti sljedeću oznaku:

Za formule akorda označite:

Varijabla c igrat će ulogu a ili b ovisno o situaciji.

Preostale oznake slične su onima danima u formulama akorda, samo uzimajući u obzir gore navedene varijable.

Za formulu tangente označite:

Preostale oznake slične su onima danima u formuli tangente, samo uzimajući u obzir gore navedene varijable.

Nađite derivaciju prvog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Nađite derivaciju drugog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f2(x)=-4cos(2x).

Ispunite polja na sljedeći način (pri popunjavanju obratite pozornost na nazive i brojeve stupaca - moraju biti isti kao na slici):

Rezultat je sljedeći:

U ćeliju G1 upišite e, au G2 broj 0,00001.

U ćeliju H1 upišite c, au H2 broj 6, budući da je c=b (vidi ćeliju F2).

U ćeliju I1 upiši f(c), a u I2 formulu =COS(2*H2)+H2-5.

Ispunite ćelije redom na sljedeći način (pri popunjavanju obratite pažnju na nazive i brojeve stupaca - moraju biti isti kao na slici):

U ćeliju A6 unesite formulu =E5.

U ćeliju F6 unesite formulu =I5.

Odaberite raspon ćelija B5:E5 i pomoću markera za automatsko popunjavanje ispunite raspon ćelija B6:E6.

Odaberite raspon ćelija G5:K5 i ispunite raspon ćelija G6:K6 markerom za automatsko popunjavanje.

Odaberite raspon ćelija A6:K6 i ispunite sve donje ćelije povlačenjem dok se odgovor ne dobije u jednoj od ćelija stupca K (raspon ćelija A6:K9).

Kao rezultat toga dobivamo sljedeće:

Odgovor: Korijen jednadžbe cos(2x)+x-5=0 je 5,32976.