Poznato je da je formuliranje problema često važnije i teže nego njegovo rješavanje. “U znanosti”, napisao je engleski kemičar F. Soddy, “ispravno postavljen problem više je od pola riješen. Proces mentalne pripreme koji je potreban da se otkrije postojanje određenog problema često oduzima više vremena od samog rješavanja problema.
Oblici u kojima se problemska situacija manifestira i ostvaruje vrlo su raznoliki. Daleko od uvijek, otkriva se u obliku izravnog pitanja koje se pojavilo na samom početku studije. Svijet problema je složen koliko i proces spoznaje koji ih stvara. Identificiranje problema srž je kreativnog razmišljanja. Paradoksi su najzanimljiviji slučaj implicitnih, neupitnih načina postavljanja problema. Paradoksi su česti u ranim fazama razvoja znanstvenih teorija, kada se poduzimaju prvi koraci u još neistraženom području i pipaju najopćenitiji principi pristupa istom.

Paradoksi i logika

U širem smislu, paradoks je stav koji se oštro razlikuje od općeprihvaćenih, ustaljenih, ortodoksnih mišljenja. “Općeprihvaćena mišljenja i ono što se smatra pitanjem dugoročne odluke, najčešće zaslužuju istraživanje” (Glichtenberg). Paradox je početak takvih istraživanja.
Paradoks u užem i specijaliziranijem smislu su dvije suprotstavljene, nekompatibilne tvrdnje, za svaku od njih postoje naizgled uvjerljivi argumenti.
Najoštriji oblik paradoksa je antinomija, obrazloženje koje dokazuje istovjetnost dviju izjava, od kojih je jedna negacija druge.
Paradoksi su posebno poznati u najstrožim i najegzaktnijim znanostima – matematici i logici. I to nije slučajnost.

Logike- apstraktna znanost. U njemu nema eksperimenata, čak ni činjenica u uobičajenom smislu te riječi. U izgradnji svojih sustava, logika u konačnici polazi od analize stvarnog mišljenja. Ali rezultati ove analize su sintetički, nediferencirani. Oni nisu iskazi bilo kakvih zasebnih procesa ili događaja koje bi teorija trebala objasniti. Očito se takva analiza ne može nazvati opažanjem: uvijek se promatra konkretna pojava.
Konstruirajući novu teoriju, znanstvenik obično polazi od činjenica, od onoga što se može uočiti u eksperimentu. Koliko god njegova kreativna mašta bila slobodna, ona mora računati s jednom neizostavnom okolnošću: teorija ima smisla samo ako se slaže s činjenicama koje se na nju odnose. Teorija koja se ne slaže s činjenicama i zapažanjima je nategnuta i nema nikakvu vrijednost.
Ali ako nema eksperimenata u logici, nema činjenica, niti samog promatranja, što onda koči logičku fantaziju? Koji se faktori, ako ne činjenice, uzimaju u obzir pri stvaranju novih logičkih teorija?
Raskorak između logičke teorije i prakse stvarnog mišljenja često se otkriva u obliku više ili manje oštrog logičkog paradoksa, a ponekad čak i u obliku logičke antinomije, što govori o unutarnjoj nedosljednosti teorije. To samo objašnjava značaj koji se u logici pridaje paradoksima i veliku pažnju koju oni u tome uživaju.

Varijante paradoksa "lažljivca".

Najpoznatiji i možda najzanimljiviji od svih logičkih paradoksa je paradoks "lažljivca". Upravo je on proslavio ime Eubulida iz Mileta koji ga je otkrio.
Postoje varijante ovog paradoksa ili antinomije, od kojih su mnoge samo naizgled paradoksalne.
U najjednostavnijoj verziji "Lažljivca" osoba kaže samo jednu frazu: "Lažem." Ili kaže: "Izjava koju sada dajem je lažna." Ili: "Ova izjava je lažna."

Ako je izjava lažna, onda je govornik rekao istinu, pa stoga ono što je rekao nije laž. Ako izjava nije lažna, a govornik tvrdi da je lažna, onda je ta izjava lažna. Ispada, dakle, da govornik, ako laže, govori istinu, i obrnuto.

U srednjem vijeku bila je uobičajena sljedeća formulacija:

"Ono što je Platon rekao je laž", kaže Sokrat.

“Ono što je Sokrat rekao je istina”, kaže Platon.

Postavlja se pitanje koja od njih izražava istinu, a koja je laž?
I evo modernog paradoksa ovog paradoksa. Pretpostavimo da su na prednjoj strani kartice ispisane samo riječi: "Na drugoj strani ove kartice napisana je istinita izjava." Jasno je da ove riječi predstavljaju smislenu izjavu. Okrećući karticu, moramo ili pronaći obećanu izjavu ili je nema. Ako piše na poleđini, onda je ili istina ili nije. Međutim, na poleđini su riječi: "Na drugoj strani ove kartice je napisana lažna izjava" - i ništa više. Pretpostavimo da je izjava na prednjoj strani točna. Tada izjava na poleđini mora biti istinita, a prema tome izjava na prednjoj strani mora biti lažna. Ali ako je izjava na prednjoj strani lažna, onda izjava na poleđini također mora biti lažna, pa stoga izjava na prednjoj strani mora biti istinita. Krajnji rezultat je paradoks.
Paradoks lažljivca ostavio je snažan dojam na Grke. I lako je vidjeti zašto. Pitanje koje postavlja na prvi pogled izgleda sasvim jednostavno: laže li onaj tko kaže samo da laže? Ali odgovor "da" vodi do odgovora "ne", i obrnuto. A razmišljanje uopće ne razjašnjava situaciju. Iza jednostavnosti, pa čak i rutine pitanja, ono otkriva neku nejasnu i neizmjernu dubinu.
Postoji čak i legenda da je izvjesni Filit Kossky, očajnički želeći razriješiti ovaj paradoks, počinio samoubojstvo. Priča se i da se jedan od poznatih starogrčkih logičara, Diodor Kronos, već u poodmaklim godinama, zavjetovao da neće jesti dok ne pronađe rješenje "Lažljivca", te ubrzo umro, ne postigavši ​​ništa.
U srednjem vijeku ovaj paradoks je svrstan u takozvane nerješive rečenice i postao je predmetom sustavne analize, au moderno doba “Lažljivac” dugo nije privlačio pažnju. Nisu vidjeli nikakve, čak ni manje, poteškoće u korištenju jezika. I tek u naše, takozvano moderno doba, razvoj logike je konačno dosegao razinu kada je postalo moguće formulirati probleme koji se čine iza ovog paradoksa u strogim terminima.
Sada se "Lažljivac" - ovaj tipični bivši sofizam - često naziva kraljem logičkih paradoksa. Njemu je posvećena opsežna znanstvena literatura. Pa ipak, kao i u slučaju mnogih drugih paradoksa, ostaje nejasno koji problemi leže iza toga i kako ih se riješiti.

Jezik i metajezik

Sada se "Lažljivac" obično smatra karakterističnim primjerom poteškoća do kojih dovodi brkanje dva jezika: jezika u kojem se govori o stvarnosti koja se nalazi izvan nje, i jezika u kojem se govori o samoj prvi jezik.

U svakodnevnom jeziku nema razlike između ovih razina: govorimo istim jezikom o stvarnosti i o jeziku. Na primjer, osoba čiji je materinji jezik ruski ne vidi veliku razliku između izjava: "Staklo je prozirno" i "Istina je da je staklo prozirno", iako jedna od njih govori o staklu, a druga o izjavi o staklu .
Ako bi netko imao ideju o potrebi da se o svijetu govori na jednom jeziku, a o svojstvima ovog jezika na drugom, mogao bi koristiti dva različita postojeća jezika, recimo ruski i engleski. Umjesto da samo kažem “Krava je imenica”, rekao bih “Krava je imenica”, a umjesto “Izjava “Staklo nije prozirno” je lažna”, rekao bih “Tvrdnja “Staklo nije prozirno” je lažno”. Uz ovu upotrebu dva različita jezika, ono što je rečeno o svijetu jasno bi se razlikovalo od onoga što je rečeno o jeziku kojim se govori o svijetu. Dapače, prvi bi se iskazi odnosili na ruski, a drugi na engleski.

Ukoliko bi dalje naš stručnjak za jezike želio govoriti o nekim okolnostima koje se već tiču ​​engleskog jezika, mogao bi se poslužiti drugim jezikom. Recimo njemački. Da bi se govorilo o ovom posljednjem, moglo bi se pribjeći, recimo, španjolskom jeziku, i tako dalje.
Ispada, dakle, neka vrsta ljestvice ili hijerarhije jezika, od kojih se svaki koristi za vrlo specifičnu svrhu: u prvom se govori o objektivnom svijetu, u drugom - o ovom prvom jeziku, u treći - o drugom jeziku itd. Takvo razlikovanje jezika prema području njihove primjene rijetka je pojava u svakodnevnom životu. Ali u znanostima, koje se poput logike bave upravo jezicima, ponekad se pokaže vrlo korisnim. Jezik kojim se govori o svijetu obično se naziva objektni jezik. Jezik koji se koristi za opisivanje predmetnog jezika naziva se metajezik.

Jasno je da ako se jezik i metajezik razgraniče na ovaj način, iskaz "lažem" više se ne može formulirati. Govori o lažnosti onoga što je rečeno na ruskom i, prema tome, pripada metajeziku i mora se izraziti na engleskom. Konkretno, trebalo bi zvučati ovako: “Everything I speak in Russian is false” (“Sve što govorim na ruskom je laž”); ova engleska izjava ne govori ništa o sebi i ne dolazi do paradoksa.
Razlika između jezika i metajezika omogućuje eliminiranje paradoksa "lažljivca". Tako postaje moguće ispravno, bez proturječja, definirati klasični koncept istine: istinita je izjava koja odgovara stvarnosti koju opisuje.
Pojam istine, kao i svi drugi semantički pojmovi, ima relativan karakter: uvijek se može pripisati određenom jeziku.

Kao što je pokazao poljski logičar Atarsky, klasična definicija istine mora biti formulirana u jeziku širem od jezika kojemu je namijenjena. Drugim riječima, ako želimo naznačiti što znači fraza "tvrdnja istinita u datom jeziku", moramo, osim izraza ovog jezika, koristiti i izraze koji nisu u njemu.
Tarski je uveo koncept semantički zatvorenog jezika. Takav jezik uključuje, osim svojih izraza, i njihova imena, ali i, što je važno naglasiti, iskaze o istinitosti rečenica koje su u njemu formulirane.

Ne postoji granica između jezika i metajezika u semantički zatvorenom jeziku. Njegova su sredstva toliko bogata da omogućuju ne samo ustvrditi nešto o izvanjezičnoj stvarnosti, već i procijeniti istinitost takvih izjava. Ova su sredstva dovoljna, posebice, za reprodukciju antinomije “Lažljivac” u jeziku. Semantički zatvoren jezik tako se ispostavlja proturječnim. Svaki je prirodni jezik očito semantički zatvoren.
Jedini prihvatljiv način za uklanjanje antinomije, a time i unutarnje nedosljednosti, prema Tarskom, jest napuštanje uporabe semantički zatvorenog jezika. Ovaj je put prihvatljiv, naravno, samo u slučaju umjetnih, formaliziranih jezika koji dopuštaju jasnu podjelu na jezik i metajezik. U prirodnim jezicima, s njihovom opskurnom strukturom i sposobnošću da se o svemu govori istim jezikom, ovaj pristup nije baš realan. Nema smisla postavljati pitanje unutarnje konzistentnosti tih jezika. Njihove bogate izražajne mogućnosti imaju i svoju lošu stranu – paradokse.

Druga rješenja paradoksa

Dakle, postoje izjave koje govore o vlastitoj istini ili lažnosti. Ideja da ovakve izjave nemaju smisla vrlo je stara. Branio ju je starogrčki logičar Krizip.
U srednjem vijeku engleski filozof i logičar W. Ockham izjavio je da je izjava “Svaka tvrdnja lažna” besmislena, jer govori, između ostalog, o vlastitoj lažnosti. Iz ove tvrdnje izravno proizlazi kontradikcija. Ako je svaka tvrdnja lažna, onda je lažna i sama tvrdnja; ali da je lažna znači da nije svaka propozicija lažna.

Slična je situacija i s izjavom “Svaka tvrdnja je istinita”. Ona se također mora klasificirati kao besmislena i također dovodi do kontradikcije: ako je svaki iskaz istinit, tada je istinita i negacija samog tog iskaza, odnosno iskaz da nije svaki iskaz istinit.
Zašto, međutim, izjava ne može smisleno govoriti o vlastitoj istini ili lažnosti?
Već Ockhamov suvremenik, francuski filozof XIV. J. Buridan se nije složio s njegovom odlukom. Sa stajališta uobičajenih ideja o besmislu, izrazi poput “Lažem”, “Svaka izjava je istinita (neistinita)” itd. sasvim smisleno. O čemu možete razmišljati, što možete reći - takav je opći princip Buridana. Čovjek može razmišljati o istinitosti izjave koju izgovara, što znači da može govoriti o njoj. Nisu sve izjave o sebi besmislene. Na primjer, izjava "Ova je rečenica napisana na ruskom" je istinita, ali izjava "U ovoj rečenici ima deset riječi" je lažna. I oboje imaju savršenog smisla. Ako se priznaje da iskaz može govoriti sam o sebi, zašto onda nije sposoban smisleno govoriti o takvom vlastitom svojstvu kao što je istina?
Sam Buridan smatrao je da izjava "Lažem" nije besmislena, već lažna. On je to ovako opravdao.

Kada osoba potvrdi propoziciju, on time tvrdi da je ona istinita. Ako rečenica sama za sebe kaže da je lažna, onda je to samo skraćena formulacija složenijeg izraza koji potvrđuje i svoju istinitost i lažnost. Ovaj izraz je kontradiktoran i stoga lažan. Ali to nikako nije besmisleno.

Buridanov argument još uvijek se ponekad smatra uvjerljivim.
Postoje i druge linije kritike rješenja paradoksa "lažljivca", koje je detaljno razvio Tarski. Ne postoji li doista protuotrov protiv paradoksa ove vrste u semantički zatvorenim jezicima - a svi prirodni jezici to, uostalom, jesu?
Kad bi to bio slučaj, onda bi se koncept istine mogao definirati na rigorozan način samo u formaliziranim jezicima. Samo je u njima moguće razlikovati objektivni jezik kojim ljudi govore o svijetu koji ih okružuje i metajezik kojim govore o tom jeziku. Ova hijerarhija jezika oblikovana je po uzoru na usvajanje stranog jezika uz pomoć materinjeg jezika. Proučavanje takve hijerarhije dovelo je do mnogih zanimljivih zaključaka, au određenim je slučajevima i bitno. Ali ne postoji u prirodnom jeziku. Diskreditira li ga? I ako da, u kojoj mjeri? Uostalom, u njemu se i dalje koristi pojam istine, i to obično bez ikakvih komplikacija. Je li uvođenje hijerarhije jedini način da se uklone paradoksi poput "Lažljivca?"

Tridesetih godina 20. stoljeća odgovori na ta pitanja izgledali su nedvojbeno potvrdni. No, sada više nema nekadašnjeg jednoumlja, iako ostaje dominantna tradicija otklanjanja paradoksa ove vrste “raslojavanjem” jezika.
U posljednje vrijeme sve više pozornosti privlače egocentrični izrazi. Sadrže riječi poput “ja”, “ovo”, “ovdje”, “sada”, a njihova istinitost ovisi o tome kada, tko ih koristi, gdje ih koristi.

U izjavi “Ova izjava je netočna” pojavljuje se riječ “ovo”. Na koji se objekt odnosi? "Lažljivac" može značiti da se riječ "to" ne odnosi na značenje date izjave. Ali na što se onda to odnosi, što to znači? I zašto se ovo značenje još uvijek ne može označiti riječju "ovo"?
Ne ulazeći ovdje u detalje, samo je vrijedno napomenuti da je u kontekstu analize egocentričnih izraza, “Lažljivac” ispunjen sasvim drugačijim sadržajem od dosadašnjeg. Ispostavilo se da on više ne upozorava na brkanje jezika i metajezika, već ukazuje na opasnosti povezane sa zlouporabom riječi "ovo" i sličnih egocentričnih riječi.
Problemi koji su se stoljećima povezivali s "Lažljivcem" radikalno su se promijenili ovisno o tome je li se na njega gledalo kao na primjer dvosmislenosti, ili kao na izraz koji se izvana predstavljao kao primjer mješavine jezika i metajezika, ili, konačno, kao tipičan primjer zlouporabe egocentričnih izraza. I nema sigurnosti da s ovim paradoksom u budućnosti neće biti povezani i drugi problemi.

Poznati suvremeni finski logičar i filozof H. von Wright u svom djelu “Lažljivac” napisao je da ovaj paradoks nikako ne treba shvatiti kao lokalnu, izoliranu prepreku koja se može ukloniti jednim inventivnim pokretom misli. Lažljivac se dotiče mnogih najvažnijih tema u logici i semantici. To je i definicija istine, i tumačenje proturječja i dokaza, i čitav niz važnih razlika: između rečenice i njome izražene misli, između uporabe izraza i njegova spominjanja, između značenja imena i predmet koji označava.
Slična je situacija i s drugim logičkim paradoksima. “Antinomije logike”, piše von Wrigg, “zbunjuju nas od svog otkrića i vjerojatno će nas nastaviti zagonetati zauvijek. Mislim da ih trebamo smatrati ne toliko problemima koji čekaju da budu riješeni, koliko neiscrpnom sirovinom za razmišljanje. Oni su važni jer razmišljanje o njima dotiče najtemeljnija pitanja svake logike, a samim tim i cjelokupne misli.”

U zaključku ovog razgovora o "Lažljivcu" možemo se prisjetiti jedne neobične epizode iz vremena kada se formalna logika još učila u školi. U udžbeniku logike objavljenom kasnih 1940-ih, od učenika osmog razreda za domaću zadaću - kao zagrijavanje, da tako kažem - traženo je pronaći pogrešku učinjenu u ovoj jednostavnoj izjavi: "Lažem." I, neka ne bude čudno, vjerovalo se da se većina školaraca uspješno nosi s takvim zadatkom.

§ 2. Russellov paradoks

Najpoznatiji od paradoksa otkrivenih već u našem stoljeću je antinomija koju je otkrio B. Russell i priopćio u pismu G. Fergeu. O istoj su antinomiji istodobno u Göttingenu raspravljali njemački matematičari Z. Zermelo i D. Hilbert.
Ideja je lebdjela u zraku, a njezina objava ostavila je dojam eksplodirajuće bombe. Taj je paradoks izazvao u matematici, prema Hilbertu, učinak potpune katastrofe. Najjednostavnije i najvažnije logičke metode, najčešći i najkorisniji pojmovi, ugroženi su.
Odmah se pokazalo da ni u logici ni u matematici, u cijeloj dugoj povijesti njihova postojanja, nije ništa odlučno razrađeno što bi moglo poslužiti kao osnova. uklanjanje antinomije. Jasno je da je odmak od uobičajenog načina razmišljanja bio neophodan. Ali odakle i u kojem smjeru? Koliko je odbacivanje ustaljenih načina teoretiziranja trebalo biti radikalno?
S daljnjim proučavanjem antinomije, stalno je raslo uvjerenje o potrebi za temeljno novim pristupom. Pola stoljeća nakon otkrića, specijalisti za temelje logike i matematike L. Frenkel i I. Bar-Hillel već su bez ikakvih rezervi izjavili: , do sada uvijek neuspješni, očito su nedostatni za ovu svrhu.
Suvremeni američki logičar H. Curry nešto kasnije je napisao o ovom paradoksu: “U terminima logike poznate u 19. stoljeću, situacija je jednostavno prkosila objašnjenju, iako, naravno, u našem obrazovanom dobu možda postoje ljudi koji će vidjeti ( ili misle da će vidjeti), koja je pogreška?

Russellov paradoks u svom izvornom obliku povezan je s konceptom skupa, odnosno klase.
Možemo govoriti o skupovima različitih objekata, na primjer, o skupu svih ljudi ili o skupu prirodnih brojeva. Element prvog skupa bit će svaka pojedinačna osoba, element drugog - svaki prirodni broj. Također je moguće same skupove promatrati kao neke objekte i govoriti o skupovima skupova. Čak se mogu uvesti pojmovi kao što su skup svih skupova ili skup svih pojmova.

Set običnih garnitura

S obzirom na bilo koji proizvoljno uzet skup, čini se razumnim pitati je li on vlastiti element ili nije. Skupove koji ne sadrže sebe kao element nazivamo običnim. Na primjer, skup svih ljudi nije osoba, kao što ni skup atoma nije atom. Skupovi koji su pravi elementi bit će neobični. Na primjer, skup koji ujedinjuje sve skupove je skup i stoga sadrži sebe kao element.
Razmotrimo sada skup svih običnih skupova. Budući da se radi o kompletu, može se i o njemu pitati je li običan ili neobičan. Odgovor je, međutim, obeshrabrujući. Ako je običan, onda po definiciji mora sadržavati sebe kao element, budući da sadrži sve obične skupove. Ali to znači da je to neobičan set. Pretpostavka da je naš skup običan skup dovodi do kontradikcije. Pa ne može biti normalno. S druge strane, ni on ne može biti neobičan: neobičan skup sadrži sebe kao element, a elementi našeg skupa su samo obični skupovi. Kao rezultat dolazimo do zaključka da skup svih običnih skupova ne može biti niti običan niti izvanredan.

Dakle, skup svih skupova koji nisu vlastiti elementi je vlastiti element ako i samo ako nije takav element. Ovo je jasna kontradikcija. A dobiven je na temelju najvjerojatnijih pretpostavki i uz pomoć naizgled neosporivih koraka.Proturječnost sugerira da takav skup jednostavno ne postoji. Ali zašto ne može postojati? Naposljetku, sastoji se od objekata koji zadovoljavaju dobro definiran uvjet, a sam uvjet se ne čini iznimno ili nejasnim. Ako tako jednostavno i jasno definiran skup ne može postojati, koja je onda zapravo razlika između mogućih i nemogućih skupova? Zaključak o nepostojanju razmatranog skupa zvuči neočekivano i izaziva tjeskobu. To našu opću predodžbu skupa čini amorfnom i kaotičnom i nema jamstva da ne može dovesti do nekih novih paradoksa.

Russellov paradoks je izvanredan zbog svoje ekstremne općenitosti. Za njegovu konstrukciju nisu potrebni složeni tehnički pojmovi, kao što su u slučaju nekih drugih paradoksa dovoljni pojmovi “skupa” i “elementa skupa”. Ali ta jednostavnost samo govori o njegovoj temeljnoj prirodi: ona zadire u najdublje temelje našeg razmišljanja o skupovima, budući da ne govori o nekim posebnim slučajevima, već o skupovima općenito.

Druge varijante paradoksa

Russellov paradoks nije specifično matematički. Koristi koncept skupa, ali ne dotiče nikakva posebna svojstva povezana s matematikom.
Ovo postaje očito kada se paradoks preformulira u čisto logičkim terminima.

Za svako se svojstvo može, po svoj prilici, postaviti pitanje je li primjenjivo na samo sebe ili nije.
Svojstvo vrućeg, na primjer, ne odnosi se na njega samoga, budući da ono samo po sebi nije vruće; svojstvo biti konkretan također se ne odnosi na samoga sebe, jer je to apstraktno svojstvo. Ali svojstvo biti apstraktan, biti apstraktan, primjenjivo je na sebe. Nazovimo ta svojstva neprimjenjiva na sebe neprimjenjivima. Primjenjuje li se svojstvo neprimjenjivosti na sebe? Ispada da je neprimjenjivost neprimjenjiva samo ako nije. To je, naravno, paradoksalno.
Logička raznolikost Russellove antinomije vezana uz svojstva jednako je paradoksalna kao i matematička raznolikost koja se odnosi na skup.
Russell je također predložio sljedeću popularnu verziju paradoksa koji je otkrio.

Zamislite da je vijeće jednog sela definiralo dužnosti brijača na sljedeći način: brijati sve muškarce u selu koji se sami ne briju, i samo ove muškarce. Treba li se sam obrijati? Ako je tako, to će se odnositi na one koji se briju, a oni koji se briju, on se ne treba brijati. Ako ne, pripadat će onima koji se sami ne briju, pa će se stoga morati sam obrijati. Dolazimo dakle do zaključka da se ovaj brijač brije sam ako i samo ako se sam ne brije. To je, naravno, nemoguće. Argument o brijaču temelji se na pretpostavci da takav brijač postoji. Nastala kontradikcija znači da je ova pretpostavka pogrešna i da nema tog seljaka koji bi brijao sve one i samo one seljane koji se sami ne briju.
Poslovi frizera na prvi se pogled ne čine kontradiktornima, pa zaključak da ga ne može biti zvuči pomalo neočekivano. Ali ovaj zaključak nije paradoksalan. Uvjet koji seoski brijač mora zadovoljiti zapravo je kontradiktoran sam sebi i stoga nemoguć. U selu ne može biti takvog frizera iz istog razloga što u njemu nema osobe koja bi bila starija od njega samog ili koja bi bila rođena prije njegova rođenja.
Raspravu o frizeru možemo nazvati pseudoparadoksom. Po svom tijeku je strogo analogan Russellovom paradoksu i to ga čini zanimljivim. Ali to još uvijek nije pravi paradoks.

Još jedan primjer istog pseudoparadoksa je dobro poznati kataloški argument.
Određena knjižnica odlučila je sastaviti bibliografski katalog koji bi uključivao sve one i samo one bibliografske kataloge koji ne sadrže reference za sebe. Treba li takav imenik sadržavati poveznicu na sebe?
Lako je pokazati da ideja o izradi takvog kataloga nije izvediva; jednostavno ne može postojati, jer mora istodobno uključivati ​​referencu na sebe i ne uključivati.
Zanimljivo je primijetiti da se katalogiziranje svih imenika koji ne sadrže reference na sebe može smatrati beskonačnim procesom koji nikada ne završava. Recimo da je u nekom trenutku direktorij, recimo K1, sastavljen, uključujući sve ostale direktorije koji ne sadrže reference na sebe. Stvaranjem K1 pojavio se još jedan direktorij koji ne sadrži poveznicu na sebe. Budući da je cilj napraviti kompletan katalog svih imenika koji sami sebe ne spominju, očito je da K1 nije rješenje. Ne spominje jedan od tih imenika – sebe. Uključujući njegovo spominjanje u K1, dobivamo katalog K2. Spominje K1, ali ne i sam K2. Dodavanjem takvog spomena K2 dobivamo KZ, koji opet nije potpun jer sam sebe ne spominje. I tako dalje bez kraja.

§ 3. Paradoksi Grellinga i Berryja

Zanimljiv logički paradoks otkrili su njemački logičari K. Grelling i L. Nelson (Grellingov paradoks). Ovaj se paradoks može vrlo jednostavno formulirati.

Autološke i heterološke riječi

Neke riječi koje označavaju svojstva imaju upravo svojstvo koje imenuju. Na primjer, pridjev "ruski" je sam po sebi ruski, "višesložni" je sam po sebi višesložan, a "petosložni" sam po sebi ima pet slogova. Takve riječi koje se odnose na same sebe nazivaju se samosmislenim ili autologičkim.
Takvih riječi nema toliko, velika većina pridjeva nema svojstva koja imenuju. “New” nije, naravno, novo, “vruće” je vruće, “one-syllable” je jednosložno, a “engleski” je engleski. Riječi koje nemaju svojstvo koje se njima označava nazivaju se heterologne ili heterologne. Očito, svi pridjevi koji označavaju svojstva koja nisu primjenjiva na riječi bit će heterološki.
Ovakva podjela pridjeva u dvije skupine čini se jasnom i bez prigovora. Može se proširiti na imenice: "riječ" je riječ, "imenica" je imenica, ali "sat" nije sat, a "glagol" nije glagol.
Paradoks se javlja čim se postavi pitanje kojoj od dviju skupina pripada sam pridjev “heterološki”? Ako je autologičan, ima svojstvo koje označava i mora biti heterologičan. Ako je heterološki, nema svojstvo koje naziva, i stoga mora biti autologičan. Postoji paradoks.

Analogno ovom paradoksu, lako je formulirati druge paradokse iste strukture. Na primjer, je li ili nije suicidalna osoba koja ubije svaku nesuicidalnu osobu, a ne ubije niti jednu suicidalnu osobu?

Pokazalo se da je Grelligov paradoks bio poznat u srednjem vijeku kao antinomija izraza koji sam sebe ne imenuje. Može se zamisliti kakav je odnos prema sofizmima i paradoksima u moderno doba, kad bi problem koji je zahtijevao odgovor i izazvao žustru raspravu odjednom zaboravljen i ponovno otkriven tek pet stotina godina kasnije!

Drugu, naizgled jednostavnu antinomiju naznačio je na samom početku našeg stoljeća D. Berry.

Skup prirodnih brojeva je beskonačan. Konačan je skup onih naziva tih brojeva koji su dostupni, na primjer, u ruskom jeziku i sadrže manje od, recimo, stotinu riječi. To znači da postoje takvi prirodni brojevi za koje u ruskom nema naziva koji se sastoje od manje od stotinu riječi. Među tim brojevima očito je najmanji broj. Ne može se nazvati ruskim izrazom koji sadrži manje od stotinu riječi. Ali izraz: "Najmanji prirodni broj, za koji njegovo složeno ime ne postoji na ruskom, sastoji se od manje od stotinu riječi" samo je naziv ovog broja! Ovo ime je upravo formulirano na ruskom i sadrži samo devetnaest riječi. Očigledni paradoks: imenovani broj ispao je onaj za koji nema imena!

§ 4. Nerazrješiv spor

Slavni sofist Protagora, koji je živio u 5.st. Kr., postojao je student po imenu Euathlus, koji je studirao pravo. Prema sporazumu koji su sklopili između njih, Euathlus je morao platiti obuku samo ako dobije svoju prvu parnicu. Ako izgubi ovaj proces, uopće nije dužan platiti. Međutim, nakon završetka studija Evatl nije sudjelovao u procesima. Trajalo je to dosta dugo, učitelju je ponestalo strpljenja, pa je podigao tužbu protiv svog učenika. Dakle, za Euathlusa je ovo bilo prvo suđenje. Protagora je obrazložio svoj zahtjev na sljedeći način:

“Kakva god bila odluka suda, Euathlus će mi morati platiti. Ili će dobiti svoje prvo suđenje ili izgubiti. Ako pobijedi, platit će na temelju našeg ugovora. Ako izgubi, platit će po ovoj odluci.

Očito je Euatl bio sposoban učenik, jer je odgovorio Protagori:

- Zaista, ili dobivam proces ili ga gubim. Ako dobijem, sudskom odlukom oslobađam se obveze plaćanja. Ako sudska odluka ne bude u moju korist, onda sam izgubio svoj prvi spor i neću platiti na temelju našeg ugovora.

Rješenja paradoksa "Protagora i Euathlus"

Zbunjen ovakvim obratom stvari, Protagora je ovom sporu s Euathlom posvetio poseban esej, “Parnica za isplatu”. Nažalost, ono, kao i većina onoga što je napisao Protagora, nije dospjelo do nas. Ipak, treba odati priznanje Protagori, koji je odmah naslutio problem iza jednostavnog sudskog incidenta koji zaslužuje posebnu studiju.

G. Leibniz, i sam pravnik po obrazovanju, također je ozbiljno shvatio ovaj spor. U svojoj doktorskoj disertaciji "Proučavanje zamršenih slučajeva u pravu" pokušao je dokazati da svi slučajevi, pa i oni najzamršeniji, poput parnice Protagore i Euathla, moraju pronaći ispravno rješenje na temelju zdravog razuma. Prema Leibnizu, sud bi trebao odbiti Protagoru zbog nepravodobnog podnošenja tužbe, ali mu ipak ostaviti pravo da od Evatla traži isplatu novca kasnije, naime nakon prvog procesa koji je dobio.

Predložena su mnoga druga rješenja za ovaj paradoks.

Osobito su se osvrnuli na to da bi sudska odluka trebala imati veću snagu od privatnog dogovora dviju osoba. Može se odgovoriti da bez tog sporazuma, koliko god on izgledao beznačajan, ne bi bilo ni suda ni njegove odluke. Uostalom, sud mora donijeti odluku upravo povodom i na temelju nje.

Također su se pozivali na opće načelo da se svaki rad, pa tako i Protagorin rad, mora platiti. No poznato je da je to načelo uvijek imalo izuzetaka, pogotovo u robovlasničkom društvu. Osim toga, to jednostavno nije primjenjivo na specifičnu situaciju spora: na kraju krajeva, Protagora je, jamčeći visoku razinu obrazovanja, sam odbio prihvatiti plaćanje u slučaju neuspjeha njegovog učenika u prvom procesu.

Ponekad pričaju ovako. I Protagora i Euathlus su djelomično u pravu, a nijedan od njih općenito. Svaki od njih uzima u obzir samo polovicu mogućnosti koje su mu korisne. Cjelovito ili cjelovito razmatranje otvara četiri mogućnosti, od kojih je samo polovica korisna za jednog od sudionika spora. Koja će se od ovih mogućnosti ostvariti, odlučit će ne logika, nego život. Ako će presuda sudaca imati veću snagu od ugovora, Euathl će morati platiti samo ako izgubi proces, tj. temeljem sudske odluke. Međutim, ako je privatni dogovor postavljen iznad odluke sudaca, tada će Protagora primiti isplatu samo u slučaju da izgubi proces od Evatlusa, tj. na temelju sporazuma s Protagorom.Ovo pozivanje na život potpuno sve zbunjuje. Čime se, ako ne logikom, suci mogu voditi u uvjetima kada su sve relevantne okolnosti potpuno jasne? A kakvo će to vodstvo biti ako Protagora, koji naplatu traži preko suda, to postigne samo gubitkom procesa?

No, Leibnizovo rješenje, koje se na prvi pogled čini uvjerljivim, malo je bolje od nejasne suprotnosti logike i života. U biti, Leibniz retrospektivno predlaže da se promijeni tekst ugovora i odredi da prva parnica koja uključuje Euathlus, čiji će ishod odlučiti pitanje plaćanja, ne bi trebala biti suđenje po Protagorinoj tužbi. Ova misao je duboka, ali nije vezana za određeni sud. Da je takva klauzula postojala u izvornom ugovoru, uopće ne bi bilo potrebe za parničenjem.

Ako pod rješenjem ove poteškoće razumijemo odgovor na pitanje treba li Euat ​​platiti Protagori ili ne, onda su sva ova, kao i sva druga zamisliva rješenja, naravno, neodrživa. Oni nisu ništa drugo nego odmak od suštine spora, oni su, da tako kažemo, sofistički trikovi i lukavstva u bezizlaznoj i nerješivoj situaciji. Jer niti zdrav razum niti bilo kakva opća načela koja se tiču ​​društvenih odnosa ne mogu riješiti spor.
Nemoguće je zajedno izvršiti ugovor u izvornom obliku i odluku suda, kakva god ona bila. Da bi se to dokazalo, dovoljna su jednostavna logika. Na isti način se također može pokazati da je ugovor, unatoč svom potpuno nevinom izgledu, proturječan sam sebi. Zahtijeva realizaciju logički nemogućeg prijedloga: Euathlus mora i platiti obrazovanje i u isto vrijeme ne platiti.

Pravila koja vode u slijepu ulicu

Ljudski um, naviknut ne samo na njegovu snagu, nego i na gipkost, pa i snalažljivost, teško se, dakako, pomiriti s tim apsolutnim beznađem i priznati da je stjeran u slijepu ulicu. To je posebno teško kad bezizlaz stvara sam um: on, da tako kažem, posrne iz vedra neba i upadne u vlastite mreže. Ipak, valja priznati da ponekad, a inače ne tako rijetko, sporazumi i sustavi pravila, nastali spontano ili svjesno uvedeni, dovode do nerješivih, bezizlaznih situacija.

Primjer iz novijeg šahovskog života još jednom će potvrditi tu misao.

Međunarodna pravila šahovskih natjecanja obvezuju šahiste da jasno i čitko bilježe potez po potez. Donedavno je u pravilima stajalo i da šahist koji je zbog nedostatka vremena propustio snimanje nekoliko poteza mora, “čim završi njegova minutaža, odmah ispuniti svoj obrazac, upisujući propuštene poteze”. Na temelju ove upute, jedan sudac na Šahovskoj olimpijadi 1980. (Malta) prekinuo je partiju, koja se odvijala u teškom vremenu, i zaustavio sat, izjavivši da su kontrolni potezi napravljeni i da je, prema tome, vrijeme da se stavi zapise igara po redu.

“Ali oprostite”, povikao je sudionik koji je bio na rubu poraza i računao samo na žestinu strasti na kraju igre, “uostalom, još nijedna zastava nije pala i nitko nikada (kao također je napisano u pravilima) može reći koliko je poteza napravljeno.
No, suca je podržao i glavni sudac rekavši da je, doista, s obzirom da je vremenska nevolja završila, potrebno po slovu pravila krenuti s bilježenjem promašenih poteza.
Bilo je besmisleno raspravljati u ovoj situaciji: pravila su sama vodila u slijepu ulicu. Preostalo je samo promijeniti njihov tekst na način da se slični slučajevi više ne pojavljuju u budućnosti.
To je učinjeno na kongresu Međunarodne šahovske federacije, koji se održavao u isto vrijeme: umjesto riječi “čim vremenska nevolja završi”, pravila sada glase: “čim zastavica označi kraj od vremena".
Ovaj primjer jasno pokazuje kako se nositi sa situacijama zastoja. Beskorisno je raspravljati o tome koja je strana u pravu: spor je nerješiv i u njemu neće biti pobjednika. Ostaje samo pomiriti se sa sadašnjošću i pobrinuti se za budućnost. Da biste to učinili, morate preformulirati izvorne sporazume ili pravila na takav način da nikoga drugoga ne dovedu u istu bezizlaznu situaciju.
Naravno, takvo postupanje nije rješenje za nerješiv spor niti izlaz iz bezizlazne situacije. To je više zaustavljanje pred nepremostivom preprekom i put oko nje.

Paradoks "krokodil i majka"

U staroj Grčkoj bila je vrlo popularna priča o krokodilu i majci, koja se po svom logičnom sadržaju podudarala s paradoksom Protagore i Euathla.
Krokodil je oteo njezino dijete Egipćanki koja je stajala na obali rijeke. Na njenu molbu da vrati dijete, krokodil je, puštajući, kao i uvijek, krokodilsku suzu, odgovorio:

“Tvoja me nesreća dirnula i dat ću ti priliku da vratiš svoje dijete. Pogodi hoću li ti dati ili ne. Ako odgovorite točno, vratit ću dijete. Ako ne pogodiš, neću ga vratiti.

Razmišljajući, majka odgovori:

Nećeš mi dati dijete.

- Nećeš ga dobiti - zaključio je krokodil. Ili si rekao istinu ili nisi rekao istinu. Ako je istina da se neću odreći djeteta, onda ga se neću odreći, jer inače neće biti istina. Ako ono što je rečeno nije istina, onda niste pogodili, a dijete po dogovoru ne dam.

No, majci se to obrazloženje nije učinilo uvjerljivim.

“Ali ako sam rekao istinu, onda ćeš mi dati dijete, kao što smo se dogovorili.” Ako nisam pogodio da nećeš dati dijete, onda ga moraš dati meni, inače neće biti neistina ono što sam rekao.

Tko je u pravu: majka ili krokodil? Na što obvezuje obećanje dano krokodilu? Da bi dao dijete, ili, naprotiv, da ga ne da? I to obojici u isto vrijeme. Ovo obećanje je kontradiktorno samo po sebi i stoga se ne može ispuniti na temelju zakona logike.
Misionar se našao s kanibalima i stigao taman na vrijeme za večeru. Pustili su ga da bira kako će biti pojeden. Da bi to učinio, mora izgovoriti neku izjavu s tim da će je, ako se ta izjava pokaže istinitom, skuhati, a ako se pokaže lažnom, ispeći je.

Što bi misionar trebao reći?

Naravno, trebao bi reći: "Spržit ćeš me."

Ako je stvarno spržen, pokazat će se da je govorio istinu i zato ga treba skuhati. Ako je kuhan, njegova će izjava biti lažna i treba ga samo ispeći. Kanibali neće imati izlaza: od "pržiti" slijedi "kuhati", i obrnuto.

Ova epizoda lukavog misionara je, naravno, još jedna parafraza spora između Protagore i Euatla.

Paradoks Sancha Panze

Jedan stari paradoks poznat u antičkoj Grčkoj prikazan je u “Don Quijoteu” M. Cervantesa. Sancho Panza je postao guverner otoka Barataria i upravlja sudom.
Prvi mu dolazi neki posjetitelj i kaže: „Senior, neko imanje je dubokom rijekom podijeljeno na dvije polovice ... Dakle, preko ove rijeke je prebačen most, a tu na samom rubu nalazi se vješala i ima nešto kao sud, u kojemu obično sjede četiri suca, te sude na temelju zakona, izdanog od vlastnika rijeke, mosta i cijeloga imanja, koji je zakon ovako sastavljen: neka se viješala, a mnoga sudilišta, mjesta i citava vlastelina, po zakonu izdaju. oni kroz, a tko laže, bez imalo popustljivosti, poslati na vješala koja se nalaze upravo tamo i pogubiti ih. Od vremena kada je ovaj zakon proglašen u svoj svojoj strogosti, mnogi su uspjeli prijeći preko mosta, a čim su se suci uvjerili da prolaznici govore istinu, pustili su ih. Ali onda se jednoga dana čovjek koji je prisegao zakleo i rekao: kune se da je došao da bi ga objesili baš na ova vješala, i ni zbog čega drugoga. Ova zakletva je zbunila suce, pa su rekli: “Ako se ovom čovjeku dopusti da nastavi nesmetano, onda će to značiti da je prekršio zakletvu i, prema zakonu, odgovoran je na smrt; ako ga objesimo, onda se zakleo da je došao samo da bude obješen na ova vješala, dakle, njegova zakletva, pokazuje se, nije lažna, i na temelju istog zakona treba ga pustiti da prođe. I zato vas pitam, señor guverneru, što bi suci trebali učiniti s ovim čovjekom, jer su još uvijek zbunjeni i oklijevaju...
Sancho je predložio, možda ne bez lukavstva, da se polovica osobe koja je govorila istinu propusti, a ona koja je lagala da se objesi i na taj način će se poštovati pravila prelaska mosta u svim oblicima. Ovaj je odlomak zanimljiv s više aspekata.
Prije svega, to je jasna ilustracija činjenice da se s bezizlaznom situacijom opisanom u paradoksu može suočiti – i to ne u čistoj teoriji, nego u praksi – ako ne stvarna osoba, onda barem književni junak.

Izlaz koji je predložio Sancho Panza nije, naravno, rješenje paradoksa. Ali to je bilo samo rješenje kojem je preostalo samo pribjeći u njegovom položaju.
Svojedobno je Aleksandar Veliki, umjesto da razmrsi lukavi Gordijev čvor, što još nikome nije pošlo za rukom, jednostavno ga je presjekao. Sancho učini isto. Pokušaj rješavanja zagonetke pod vlastitim uvjetima bio je beskoristan - jednostavno je bila nerješiva. Ostalo je odbaciti te uvjete i uvesti vlastite.
I jedan trenutak. Ovom epizodom Cervantes jasno osuđuje pretjerano formalne razmjere srednjovjekovne pravde, prožete duhom skolastičke logike. Ali koliko su u njegovo vrijeme - a bilo je to prije otprilike četiri stotine godina - bile raširene informacije s područja logike! Ovaj paradoks nije poznat samo Cervantesu. Pisac svom junaku, nepismenom seljaku, pripisuje sposobnost da shvati da je pred njim nerješiv zadatak!

§ 5. Ostali paradoksi

Gornji paradoksi su argumenti čiji je rezultat kontradikcija. Ali postoje i druge vrste paradoksa u logici. Ističu i neke poteškoće i probleme, ali to čine na manje oštar i beskompromisan način. Takvi su, posebno, paradoksi o kojima se raspravlja u nastavku.

Paradoksi nepreciznih pojmova

Većina pojmova ne samo prirodnog jezika, već i jezika znanosti su netočni, ili, kako ih još nazivaju, zamagljeni. Često se ispostavi da je to uzrok nesporazuma, sporova ili čak jednostavno dovodi do zastoja.
Ako je koncept netočan, granica područja objekata na koje se primjenjuje je lišena oštrine, zamagljena. Uzmimo, na primjer, koncept "hrpe". Jedno zrno (zrnce pijeska, kamen i sl.) još nije hrpa. Tisuću zrna je već, očito, hrpa. A tri zrna? A deset? Koliki je broj zrnaca dodan da se formira hrpa? Nije baš jasno. Isto tako, nije jasno s uklanjanjem kojeg zrna hrpa nestaje.
Empirijske karakteristike "velik", "težak", "uzak" itd. su netočne. Takvi uobičajeni pojmovi kao što su "mudar čovjek", "konj", "kuća" itd. su netočni.
Ne postoji zrnce pijeska za koje, kada se ukloni, možemo reći da se njegovim uklanjanjem ono što ostaje više ne može zvati domom. No, to kao da uostalom znači da niti u jednom trenutku postupnog raspadanja kuće – sve do njezina potpunog nestanka – nema temelja proglasiti da kuće nema! Zaključak je očito paradoksalan i obeshrabrujući.
Lako je vidjeti da se argument o nemogućnosti formiranja gomile izvodi pomoću poznate metode matematičke indukcije. Jedno zrno ne čini hrpu. Ako n zrna ne tvore hrpe, tada n+1 zrna ne tvore hrpe. Prema tome, niti jedan broj zrna ne može formirati hrpe.
Mogućnost da ovaj i slični dokazi dovedu do apsurdnih zaključaka znači da načelo matematičke indukcije ima ograničen opseg. Ne smije se koristiti u zaključivanju s netočnim, nejasnim pojmovima.

Dobar primjer kako ovi koncepti mogu dovesti do nerazrješivih sporova je zanimljivo suđenje koje se održalo 1927. godine u Sjedinjenim Državama. Kipar C. Brancusi obratio se sudu tražeći da se njegova djela priznaju umjetničkim djelima. Među radovima poslanim u New York na izložbu bila je i skulptura "Ptica", koja se danas smatra klasikom apstraktnog stila. To je modulirani stup od polirane bronce visok oko jedan i pol metar, koji nema nikakve vanjske sličnosti s pticom. Carinici su Brancusijeve apstraktne kreacije kategorički odbili priznati kao umjetnička djela. Stavili su ih pod "Metalno bolničko posuđe i kućanske predmete" i nametnuli veliku carinu. Ogorčen, Brancusi je tužio.

Carinu su podržali umjetnici - članovi Nacionalne akademije, koji su branili tradicionalne metode u umjetnosti. Oni su na suđenju svjedočili obrani i kategorički tvrdili da je pokušaj da se “Ptica” predstavi kao umjetničko djelo bila obična prijevara.
Taj sukob zorno naglašava teškoću operiranja pojmom “umjetničkog djela”. Skulptura se tradicionalno smatra oblikom likovne umjetnosti. Ali stupanj sličnosti skulpturalne slike s izvornikom može varirati u vrlo širokim granicama. I u kojem trenutku kiparska slika, sve više udaljavajući se od izvornika, prestaje biti umjetničko djelo i postaje “metalno posuđe”? Na ovo pitanje jednako je teško odgovoriti kao i na pitanje gdje je granica između kuće i njenih ruševina, između konja s repom i konja bez repa itd. Inače, modernisti su općenito uvjereni da je skulptura objekt izražajne forme i da uopće ne mora biti slika.

Rukovanje nepreciznim konceptima stoga zahtijeva određenu dozu opreza. Ne bi li ih bilo bolje u potpunosti izbjegavati?

Njemački filozof E. Husserl bio je sklon od znanja zahtijevati tako izuzetnu strogost i preciznost kakve nema čak ni u matematici. S tim u vezi Husserlovi se biografi s ironijom prisjećaju jednog događaja koji mu se dogodio u djetinjstvu. Dobio je perorez i, odlučivši da oštricu učini što je moguće oštrijom, oštrio ju je sve dok od oštrice nije ostalo ništa.
U mnogim su situacijama precizniji koncepti poželjniji od nepreciznih. Uobičajena želja za razjašnjavanjem korištenih pojmova sasvim je opravdana. Ali to, naravno, mora imati svoje granice. Čak iu jeziku znanosti, značajan dio pojmova je netočan. I to nije povezano sa subjektivnim i slučajnim pogreškama pojedinih znanstvenika, već sa samom prirodom znanstvenog znanja. U prirodnom jeziku, neprecizni koncepti su neodoljivi; to između ostalog govori o njegovoj fleksibilnosti i pritajenoj snazi. Svatko tko od svih pojmova zahtijeva najveću preciznost, izlaže se opasnosti da u potpunosti ostane bez jezika. “Lišite riječi svake dvosmislenosti, svake nesigurnosti”, napisao je francuski estetičar J. Joubert, “pretvorite ih ... u jednoznamenkaste brojeve - igru ​​će napustiti govor, a s njime rječitost i poezija: sve što je pokretljivo i promjenjivo u privrženosti duše, neće moći pronaći svoj izraz. Ali što govorim: lišiti ... reći ću više. Lišite riječi svake netočnosti - i izgubit ćete čak i aksiome.
Dugo vremena ni logičari ni matematičari nisu obraćali pozornost na poteškoće povezane s nejasnim konceptima i njima odgovarajućim skupovima. Pitanje je postavljeno na sljedeći način: pojmovi moraju biti precizni, a sve nejasno nije vrijedno ozbiljnog zanimanja. Međutim, u posljednjim je desetljećima taj pretjerano strog stav izgubio svoju privlačnost. Izgrađene su logičke teorije koje posebno uzimaju u obzir jedinstvenost zaključivanja s netočnim konceptima.
Aktivno se razvija matematička teorija tzv. neizrazitih skupova, nejasno definiranih skupova objekata.
Analiza problema netočnosti korak je ka približavanju logike praksi uobičajenog mišljenja. A možemo pretpostaviti da će donijeti još mnogo zanimljivih rezultata.

Paradoksi induktivne logike

Možda nema dijela logike koji nema svoje paradokse.
Induktivna logika ima svoje paradokse protiv kojih se aktivno, ali zasad bez većih uspjeha, bori već gotovo pola stoljeća. Posebno je zanimljiv paradoks potvrde koji je otkrio američki filozof K. Hempel. Prirodno je smatrati da su opći stavovi, posebno znanstveni zakoni, potvrđeni svojim pozitivnim primjerima. Ako se, recimo, razmatra tvrdnja "Sve A je B", tada će njeni pozitivni primjeri biti objekti koji imaju svojstva A i B. Konkretno, potporni primjeri za tvrdnju "Svi gavrani su crni" su objekti koji su i gavranovi i crni. Ova izjava je, međutim, jednaka izjavi "Sve što nije crno, nije ni vrana", a potvrda ove druge mora biti i potvrda prve. Ali "Sve što nije crno nije vrana" potvrđuje svaki slučaj necrnog predmeta koji nije vrana. Ispada, dakle, da zapažanja “Bijela krava”, “Smeđe cipele” itd. potvrdite tvrdnju "Sve su vrane crne."

Neočekivani paradoksalan rezultat proizlazi iz naizgled nevinih premisa.

U logici normi zabrinjava niz njezinih zakona. Kada se formuliraju smislenim terminima, postaje očita njihova nedosljednost s uobičajenim predodžbama o ispravnom i lošem. Na primjer, jedan od zakona kaže da iz naloga "Pošalji pismo!" slijedi naredba “Pošalji pismo ili ga spali!”.
Drugi zakon kaže da ako je osoba prekršila jednu od svojih dužnosti, ima pravo raditi što god želi. Naša logična intuicija ne želi se pomiriti s ovakvim “zakonima obveze”.
U logici znanja jako se raspravlja o paradoksu logičkog sveznanja. Tvrdi da čovjek zna sve logične posljedice koje proizlaze iz pozicija koje zauzima. Na primjer, ako osoba zna pet postulata Euklidove geometrije, onda, dakle, poznaje svu ovu geometriju, jer ona proizlazi iz njih. Ali nije. Osoba se može složiti s postulatima, au isto vrijeme ne moći dokazati Pitagorin teorem i stoga sumnjati da je općenito istinit.

§ 6. Što je logički paradoks

Ne postoji iscrpan popis logičkih paradoksa i to je nemoguće.
Razmatrani paradoksi samo su dio svih do sada otkrivenih. Vjerojatno će u budućnosti biti otkriveni i mnogi drugi paradoksi, pa čak i njihove potpuno nove vrste. Sam pojam paradoksa nije toliko određen da bi bilo moguće sastaviti popis barem već poznatih paradoksa.
“Paradoksi teorije skupova vrlo su ozbiljan problem, međutim, ne za matematiku, već prije za logiku i teoriju znanja”, piše austrijski matematičar i logičar K. Gödel. “Logika je dosljedna. Nema logičnih paradoksa”, kaže matematičar D. Bochvar. Takve su razlike ponekad značajne, ponekad verbalne. Stvar je uglavnom u tome što se točno podrazumijeva pod logičkim paradoksom.

Osobitost logičkih paradoksa

Nužna značajka logičkih paradoksa je logički rječnik.
Paradoksi koji su logični moraju biti formulirani u logičkim terminima. Međutim, u logici ne postoje jasni kriteriji za podjelu pojmova na logične i nelogičke. Logika, koja se bavi ispravnošću rasuđivanja, nastoji pojmove o kojima ovisi ispravnost praktično primijenjenih zaključaka svesti na minimum. Ali ovaj minimum nije unaprijed određen jednoznačno. Osim toga, nelogički iskazi također se mogu formulirati u logičkim terminima. Koristi li određeni paradoks samo čisto logičke premise nije uvijek moguće nedvosmisleno odrediti.
Logički paradoksi nisu strogo odvojeni od svih ostalih paradoksa, kao što se potonji ne razlikuju jasno od svega što nije paradoksalno i što je u skladu s prevladavajućim idejama. Na početku proučavanja logičkih paradoksa činilo se da se oni mogu razlikovati po kršenju nekog još neistraženog stava ili pravila logike. Načelo začaranog kruga koje je uveo B. Russell posebno je aktivno pretendiralo na ulogu takvog pravila. Ovo načelo navodi da kolekcija objekata ne može sadržavati članove definirane samo istom kolekcijom.
Svi paradoksi imaju jednu zajedničku stvar - samoprimjenjivost, odnosno cirkularnost. U svakom od njih predmetni predmet je karakteriziran nekim skupom objekata kojima i sam pripada. Odaberemo li, primjerice, najlukaviju osobu, to činimo uz pomoć populacije ljudi kojoj ta osoba pripada. A ako kažemo: "Ova izjava je lažna", karakteriziramo izjavu koja nas zanima pozivajući se na ukupnost svih lažnih izjava koje je uključuju.

U svim paradoksima postoji samoprimjenjivost pojmova, što znači da postoji, takoreći, kretanje u krugu koje na kraju vodi do početne točke. U nastojanju da karakteriziramo predmet koji nas zanima, okrećemo se skupu objekata koji ga uključuje. Međutim, pokazuje se da je za svoju određenost on sam potreban predmet koji se razmatra i bez njega se ne može jasno razumjeti. U tom krugu možda leži izvor paradoksa.
Situaciju, međutim, komplicira činjenica da takav krug postoji u mnogim potpuno neparadoksalnim argumentima. Kružni je veliki izbor najčešćih, bezopasnih i istovremeno prikladnih načina izražavanja. Takvi primjeri kao što su “najveći od svih gradova”, “najmanji od svih prirodnih brojeva”, “jedan od elektrona atoma željeza” itd., pokazuju da svaki slučaj samoprimjenjivosti ne dovodi do proturječja i da je važan ne samo u običnom jeziku, već iu jeziku znanosti.
Puko upućivanje na korištenje samoprimjenjivih koncepata stoga je nedostatno za diskreditiranje paradoksa. Potreban je neki dodatni kriterij za odvajanje samoprimjenjivosti, koja dovodi do paradoksa, od svih drugih slučajeva iste.
Bilo je mnogo prijedloga u tom smislu, ali nije pronađeno uspješno pojašnjenje cirkularnosti. Pokazalo se da je nemoguće cirkularnost okarakterizirati na način da svako kružno razmišljanje vodi do paradoksa, a svaki je paradoks rezultat nekog kružnog razmišljanja.
Pokušaj pronalaženja nekog specifičnog načela logike, čije bi kršenje bilo obilježje svih logičkih paradoksa, nije doveo ni do čega određenog.
Nedvojbeno bi bila korisna neka vrsta klasifikacije paradoksa, koja bi ih dodatno podijelila na tipove i tipove, grupirajući neke paradokse i suprotstavljajući ih drugima. No, ni u ovom slučaju nije postignuto ništa održivo.

Engleski logičar F. Ramsey, koji je umro 1930. godine, kada još nije imao dvadeset sedam godina, predložio je podijeliti sve paradokse na sintaktičke i semantičke. Prvi uključuje, na primjer, Russellov paradoks, drugi - paradokse "Lažljivca", Grellinga itd.
Prema Ramseyu, paradoksi prve skupine sadrže samo pojmove koji pripadaju logici ili matematici. Potonji uključuju koncepte kao što su "istina", "definibilnost", "imenovanje", "jezik", koji nisu striktno matematički, već više povezani s lingvistikom ili čak teorijom znanja. Čini se da semantički paradoksi svoju pojavu ne duguju nekoj pogrešci u logici, već nejasnoći ili dvosmislenosti nekih nelogičkih pojmova, stoga se problemi koje postavljaju tiču ​​jezika i moraju se riješiti lingvistikom.

Ramseyu se činilo da matematičare i logičare ne moraju zanimati semantički paradoksi. Kasnije se međutim pokazalo da su neki od najznačajnijih rezultata moderne logike dobiveni upravo u vezi s dubljim proučavanjem upravo tih nelogičkih paradoksa.
Podjela paradoksa koju je predložio Ramsey isprva je bila široko korištena, a čak i sada zadržava određenu važnost. Pritom je sve jasnije da je ta podjela prilično nejasna i da se oslanja prvenstveno na primjere, a ne na dubinsku komparativnu analizu dviju skupina paradoksa. Semantički koncepti sada su dobro definirani i teško je ne prepoznati da su ti koncepti doista logični. S razvojem semantike, koja definira svoje osnovne koncepte u terminima teorije skupova, razlika koju je napravio Ramsey sve je više zamagljena.

Paradoksi i moderna logika

Koji zaključci za logiku proizlaze iz postojanja paradoksa?
Prije svega, prisutnost velikog broja paradoksa govori o snazi ​​logike kao znanosti, a ne o njezinoj slabosti, kako bi se moglo činiti.

Nije slučajno što se otkriće paradoksa poklopilo s razdobljem najintenzivnijeg razvoja moderne logike i njezinih najvećih uspjeha.
Prvi paradoksi otkriveni su i prije nastanka logike kao posebne znanosti. U srednjem vijeku otkriveni su mnogi paradoksi. Međutim, kasnije se pokazalo da su zaboravljeni i da su ponovno otkriveni već u našem stoljeću.
Srednjovjekovni logičari nisu poznavali pojmove "skupa" i "elementa skupa", uvedenih u znanost tek u drugoj polovici 19. stoljeća. Ali smisao za paradokse izbrusio se u srednjem vijeku do te mjere da su već u to rano doba izražene određene brige o samoprimjenjivim konceptima. Najjednostavniji primjer za to je pojam "biti sam svoj element" koji se pojavljuje u mnogim današnjim paradoksima.
Međutim, takvi strahovi, kao i sva upozorenja na paradokse općenito, nisu bili sustavni i definitivni sve do našeg stoljeća. Oni nisu doveli do jasnih prijedloga za preispitivanje uobičajenih načina razmišljanja i izražavanja.
Tek je moderna logika otrgla od zaborava sam problem paradoksa, otkrila ili ponovno otkrila većinu specifičnih logičkih paradoksa. Nadalje je pokazala da su načini mišljenja koje tradicionalno istražuje logika potpuno neadekvatni za uklanjanje paradoksa, te naznačila temeljno nove metode suočavanja s njima.
Paradoksi postavljaju važno pitanje: gdje nam, zapravo, ne uspijevaju neke od uobičajenih metoda oblikovanja pojmova i zaključivanja? Uostalom, djelovale su potpuno prirodno i uvjerljivo, dok se nije pokazalo da su paradoksalne.

Paradoksi potkopavaju uvjerenje da uobičajene metode teorijskog mišljenja same po sebi i bez posebne kontrole nad njima osiguravaju pouzdan napredak prema istini.
Zahtijevajući radikalnu promjenu u pretjerano lakovjernom pristupu teoretiziranju, paradoksi su oštra kritika logike u njenom naivnom, intuitivnom obliku. Oni igraju ulogu čimbenika koji kontrolira i ograničava način izgradnje deduktivnih logičkih sustava. A ova njihova uloga može se usporediti s ulogom eksperimenta koji testira ispravnost hipoteza u takvim znanostima kao što su fizika i kemija, i prisiljava ih da unesu promjene u te hipoteze.
Paradoks u teoriji govori o nekompatibilnosti pretpostavki na kojima se temelji. Djeluje kao pravodobno otkriveni simptom bolesti, bez kojeg bi se ona mogla previdjeti.
Naravno, bolest se manifestira na mnogo načina, a na kraju ju je moguće otkriti bez tako akutnih simptoma kao što su paradoksi. Na primjer, temelji teorije skupova bili bi analizirani i pročišćeni čak i da se ne otkriju paradoksi u ovom području. Ali ne bi bilo one oštrine i hitnosti s kojom su paradoksi otkriveni u njoj pokrenuli problem revizije teorije skupova.

Paradoksima je posvećena opsežna literatura, predložen je velik broj njihovih objašnjenja. Ali nijedno od ovih objašnjenja nije univerzalno prihvaćeno, a ne postoji potpuna suglasnost o podrijetlu paradoksa i kako ih se riješiti.
“Tijekom proteklih šezdeset godina stotine knjiga i članaka posvećeno je cilju rješavanja paradoksa, ali rezultati su nevjerojatno loši u usporedbi s uloženim naporima”, piše A. Frenkel. “Čini se kao”, H. Curry zaključuje svoju analizu paradoksa, “da je potrebna potpuna reforma logike, a matematička logika može postati glavno oruđe za provođenje te reforme.”

Poznato je da je formuliranje problema često važnije i teže nego njegovo rješavanje. “U znanosti”, napisao je engleski kemičar F. Soddy, “ispravno postavljen problem više je od pola riješen. Proces mentalne pripreme potreban da se otkrije da postoji određeni zadatak često oduzima više vremena nego sam zadatak.

Oblici u kojima se problemska situacija manifestira i ostvaruje vrlo su raznoliki. Daleko od uvijek, otkriva se u obliku izravnog pitanja koje se pojavilo na samom početku studije. Svijet problema je složen koliko i proces spoznaje koji ih stvara. Identificiranje problema srž je kreativnog razmišljanja. Paradoksi su najzanimljiviji slučaj implicitnih, neupitnih načina postavljanja problema. Paradoksi su česti u ranim fazama razvoja znanstvenih teorija, kada se poduzimaju prvi koraci u još neistraženom području i pipaju najopćenitiji principi pristupa istom.

U širem smislu, paradoks je stav koji se oštro razlikuje od općeprihvaćenih, ustaljenih, ortodoksnih mišljenja. “Općeprihvaćena mišljenja i ono što se smatra davno odlučenim, najčešće zaslužuju istraživanje” (G. Lichtenberg). Paradox je početak takvih istraživanja.

Paradoks u užem i specijaliziranijem smislu su dvije suprotne, nespojive tvrdnje, za svaku od njih postoje naizgled uvjerljivi argumenti.

Najoštriji oblik paradoksa je antinomija, obrazloženje koje dokazuje istovjetnost dviju izjava, od kojih je jedna negacija druge.

Paradoksi su posebno poznati u najstrožim i najegzaktnijim znanostima – matematici i logici. I to nije slučajnost.

Logika je apstraktna znanost. U njemu nema eksperimenata, čak ni činjenica u uobičajenom smislu te riječi. U izgradnji svojih sustava, logika u konačnici polazi od analize stvarnog mišljenja. Ali rezultati ove analize su sintetički, nediferencirani. Oni nisu iskazi bilo kakvih zasebnih procesa ili događaja koje bi teorija trebala objasniti. Očito se takva analiza ne može nazvati opažanjem: uvijek se promatra konkretna pojava.

Konstruirajući novu teoriju, znanstvenik obično polazi od činjenica, od onoga što se može uočiti u eksperimentu. Koliko god njegova kreativna mašta bila slobodna, ona mora računati s jednom neizostavnom okolnošću: teorija ima smisla samo ako se slaže s činjenicama koje se na nju odnose. Teorija koja se ne slaže s činjenicama i zapažanjima je nategnuta i nema nikakvu vrijednost.

Ali ako nema eksperimenata u logici, nema činjenica, niti samog promatranja, što onda koči logičku fantaziju? Koji se faktori, ako ne činjenice, uzimaju u obzir pri stvaranju novih logičkih teorija?

Raskorak između logičke teorije i prakse stvarnog mišljenja često se otkriva u obliku više ili manje oštrog logičkog paradoksa, a ponekad čak i u obliku logičke antinomije, što govori o unutarnjoj nedosljednosti teorije. To samo objašnjava značaj koji se u logici pridaje paradoksima i veliku pažnju koju oni u tome uživaju.

Najpoznatiji i možda najzanimljiviji od svih logičkih paradoksa je paradoks lažljivca. Upravo je on proslavio ime Eubulida iz Mileta koji ga je otkrio.

Postoje varijante ovog paradoksa ili antinomije, od kojih su mnoge samo naizgled paradoksalne.

U najjednostavnijoj verziji "Lažljivca" osoba kaže samo jednu frazu: "Lažem." Ili kaže: "Izjava koju sada dajem je lažna." Ili: "Ova izjava je lažna."

Ako je izjava lažna, onda je govornik rekao istinu, pa stoga ono što je rekao nije laž. Ako izjava nije lažna, a govornik tvrdi da je lažna, onda je ta izjava lažna. Ispada, dakle, da govornik, ako laže, govori istinu, i obrnuto.

U srednjem vijeku bila je uobičajena sljedeća formulacija:

"Ono što je Platon rekao je laž", kaže Sokrat.

“Ono što je Sokrat rekao je istina”, kaže Platon.

Postavlja se pitanje koja od njih izražava istinu, a koja je laž?

I evo modernog paradoksa ovog paradoksa. Pretpostavimo da su na prednjoj strani kartice ispisane samo riječi: "Na drugoj strani ove kartice napisana je istinita izjava." Jasno je da ove riječi predstavljaju smislenu izjavu. Okrećući karticu, moramo ili pronaći obećanu izjavu ili je nema. Ako piše na poleđini, onda je ili istina ili nije. Međutim, na poleđini su riječi: "Na drugoj strani ove kartice je napisana lažna izjava" - i ništa više. Pretpostavimo da je izjava na prednjoj strani točna. Tada izjava na poleđini mora biti istinita, a prema tome izjava na prednjoj strani mora biti lažna. Ali ako je izjava na prednjoj strani lažna, onda izjava na poleđini također mora biti lažna, pa stoga izjava na prednjoj strani mora biti istinita. Rezultat je paradoks.

Paradoks lažljivca ostavio je snažan dojam na Grke. I lako je vidjeti zašto. Pitanje koje postavlja na prvi pogled izgleda sasvim jednostavno: laže li onaj tko kaže samo da laže? Ali odgovor "da" vodi do odgovora "ne", i obrnuto. A razmišljanje uopće ne razjašnjava situaciju. Iza jednostavnosti, pa čak i rutine pitanja, ono otkriva neku nejasnu i neizmjernu dubinu.

Postoji čak i legenda da je izvjesni Filit Kossky, očajnički želeći razriješiti ovaj paradoks, počinio samoubojstvo. Priča se i da se jedan od poznatih starogrčkih logičara, Diodor Kronos, već u poodmaklim godinama, zavjetovao da neće jesti dok ne pronađe rješenje "Lažljivca", te ubrzo umro ne postigavši ​​ništa.

U srednjem vijeku ovaj je paradoks svrstan u tzv. neodlučne rečenice i postao predmetom sustavne analize.

U moderno doba, "Lažljivac" dugo nije privlačio pozornost. Nisu vidjeli nikakve, čak ni manje, poteškoće u korištenju jezika. I tek u naše, takozvano moderno doba, razvoj logike je konačno dosegao razinu kada je postalo moguće formulirati probleme koji se čine iza ovog paradoksa u strogim terminima.

Sada se "Lažljivac" - ovaj tipični bivši sofizam - često naziva kraljem logičkih paradoksa. Njemu je posvećena opsežna znanstvena literatura. Pa ipak, kao i u slučaju mnogih drugih paradoksa, ostaje nejasno koji problemi leže iza toga i kako ih se riješiti.

Sada se "Lažljivac" obično smatra karakterističnim primjerom poteškoća do kojih dovodi brkanje dva jezika: jezika u kojem se govori o stvarnosti koja se nalazi izvan nje, i jezika u kojem se govori o samoj prvi jezik.

U svakodnevnom jeziku nema razlike između ovih razina: govorimo istim jezikom o stvarnosti i o jeziku. Na primjer, osoba čiji je materinji jezik ruski ne vidi nikakvu posebnu razliku između izjava: "Staklo je prozirno" i "Istina je da je staklo prozirno", iako jedna od njih govori o staklu, a druga o tvrdnji o staklu.

Kad bi netko imao ideju o potrebi da se o svijetu govori na jednom jeziku, a o svojstvima tog jezika na drugom, mogao bi koristiti dva različita postojeća jezika, recimo ruski i engleski. Umjesto da samo kažem "Krava je imenica", rekao bih "Krava je imenica", a umjesto "Izjava 'Staklo nije prozirno' je lažna", rekao bih "Tvrdnja 'Staklo nije prozirno' je lažna ". Uz ovu upotrebu dva različita jezika, ono što je rečeno o svijetu jasno bi se razlikovalo od onoga što je rečeno o jeziku kojim se govori o svijetu. Dapače, prve tvrdnje bi se odnosile na ruski jezik, dok bi se druge odnosile na engleski.

Ukoliko bi dalje naš stručnjak za jezike želio govoriti o nekim okolnostima koje se već tiču ​​engleskog jezika, mogao bi se poslužiti drugim jezikom. Recimo njemački. Da bi se govorilo o ovom posljednjem, moglo bi se pribjeći, recimo, španjolskom jeziku, i tako dalje.

Ispada, dakle, neka vrsta ljestvice ili hijerarhije jezika, od kojih se svaki koristi za vrlo specifičnu svrhu: u prvom se govori o objektivnom svijetu, u drugom - o ovom prvom jeziku, u treći - o drugom jeziku itd. Takvo razlikovanje jezika prema području njihove primjene rijetka je pojava u svakodnevnom životu. Ali u znanostima, koje se poput logike bave upravo jezicima, ponekad se pokaže vrlo korisnim. Jezik kojim se govori o svijetu obično se naziva objektni jezik. Jezik koji se koristi za opisivanje predmetnog jezika naziva se metajezik.

Jasno je da ako se jezik i metajezik razgraniče na ovaj način, iskaz "lažem" više se ne može formulirati. Govori o lažnosti onoga što je rečeno na ruskom i, prema tome, pripada metajeziku i mora se izraziti na engleskom. Konkretno, trebalo bi zvučati ovako: “Everything I speak in Russian is false” (“Sve što govorim na ruskom je laž”); ova engleska izjava ne govori ništa o sebi i ne dolazi do paradoksa.

Razlika između jezika i metajezika omogućuje uklanjanje paradoksa "lažljivca". Tako postaje moguće ispravno, bez proturječja, definirati klasični koncept istine: istinita je izjava koja odgovara stvarnosti koju opisuje.

Pojam istine, kao i svi drugi semantički pojmovi, ima relativan karakter: uvijek se može pripisati određenom jeziku.

Kao što je pokazao poljski logičar A. Tarski, klasična definicija istine trebala bi biti formulirana u jeziku širem od jezika kojemu je namijenjena. Drugim riječima, ako želimo naznačiti što znači fraza "tvrdnja istinita u datom jeziku", moramo, osim izraza ovog jezika, koristiti i izraze koji nisu u njemu.

Tarski je uveo koncept semantički zatvorenog jezika. Takav jezik uključuje, osim svojih izraza, i njihova imena, ali i, što je važno naglasiti, iskaze o istinitosti rečenica koje su u njemu formulirane.

Ne postoji granica između jezika i metajezika u semantički zatvorenom jeziku. Njegova su sredstva toliko bogata da omogućuju ne samo ustvrditi nešto o izvanjezičnoj stvarnosti, već i procijeniti istinitost takvih izjava. Ova su sredstva dovoljna, posebice, za reprodukciju antinomije "Lažljivac" u jeziku. Semantički zatvoren jezik tako se ispostavlja proturječnim. Svaki je prirodni jezik očito semantički zatvoren.

Jedini prihvatljiv način za uklanjanje antinomije, a time i unutarnje nedosljednosti, prema Tarskom, jest napuštanje uporabe semantički zatvorenog jezika. Ovaj je put prihvatljiv, naravno, samo u slučaju umjetnih, formaliziranih jezika koji dopuštaju jasnu podjelu na jezik i metajezik. U prirodnim jezicima, s njihovom opskurnom strukturom i sposobnošću da se o svemu govori istim jezikom, ovaj pristup nije baš realan. Nema smisla postavljati pitanje unutarnje konzistentnosti tih jezika. Njihove bogate izražajne mogućnosti imaju i svoju lošu stranu – paradokse.

Dakle, postoje izjave koje govore o vlastitoj istini ili lažnosti. Ideja da ovakve izjave nemaju smisla vrlo je stara. Branio ju je starogrčki logičar Krizip.

U srednjem vijeku engleski filozof i logičar W. Ockham izjavio je da je izjava “Svaka tvrdnja lažna” besmislena, jer govori, između ostalog, o vlastitoj lažnosti. Iz ove tvrdnje izravno proizlazi kontradikcija. Ako je svaka tvrdnja lažna, onda je lažna i sama tvrdnja; ali da je lažna znači da nije svaka propozicija lažna. Slična je situacija i s tvrdnjom „Svaka tvrdnja je istinita“. Ona se također mora klasificirati kao besmislena i također dovodi do kontradikcije: ako je svaki iskaz istinit, tada je istinita i negacija samog tog iskaza, odnosno iskaz da nije svaki iskaz istinit.

Zašto, međutim, izjava ne može smisleno govoriti o vlastitoj istini ili lažnosti?

Već Ockhamov suvremenik, francuski filozof XIV. J. Buridan se nije složio s njegovom odlukom. Sa stajališta uobičajenih ideja o besmislu, izrazi poput "lažem", "svaka izjava je istinita (neistinita)" itd. sasvim smisleno. Ono o čemu možete misliti, što možete reći - to je opći princip Buridana. Čovjek može razmišljati o istinitosti izjave koju izgovara, što znači da može govoriti o njoj. Nisu sve izjave o sebi besmislene. Na primjer, izjava "Ova je rečenica napisana na ruskom" je istinita, ali izjava "U ovoj rečenici ima deset riječi" je lažna. I oboje imaju savršenog smisla. Ako se priznaje da iskaz može govoriti sam o sebi, zašto onda nije sposoban smisleno govoriti o takvom vlastitom svojstvu kao što je istina?

Sam Buridan je izjavu "Lažem" smatrao ne besmislenom, već lažnom. On je to ovako opravdao. Kada osoba potvrdi propoziciju, on time tvrdi da je ona istinita. Ako rečenica sama za sebe kaže da je lažna, onda je to samo skraćena formulacija složenijeg izraza koji potvrđuje i svoju istinitost i lažnost. Ovaj izraz je kontradiktoran i stoga lažan. Ali to nikako nije besmisleno.

Buridanov argument još uvijek se ponekad smatra uvjerljivim.

Postoje i druge linije kritike rješenja paradoksa "lažljivca", koje je detaljno razvio Tarski. Ne postoji li doista protuotrov za paradokse ove vrste u semantički zatvorenim jezicima - a svi prirodni jezici, naposljetku, jesu?

Kad bi to bio slučaj, onda bi se koncept istine mogao definirati na rigorozan način samo u formaliziranim jezicima. Samo je u njima moguće razlikovati objektivni jezik kojim ljudi govore o svijetu koji ih okružuje i metajezik kojim govore o tom jeziku. Ova hijerarhija jezika oblikovana je po uzoru na usvajanje stranog jezika uz pomoć materinjeg jezika. Proučavanje takve hijerarhije dovelo je do mnogih zanimljivih zaključaka, au određenim je slučajevima i bitno. Ali ne postoji u prirodnom jeziku. Diskreditira li ga? I ako da, u kojoj mjeri? Uostalom, u njemu se i dalje koristi pojam istine, i to obično bez ikakvih komplikacija. Je li uvođenje hijerarhije jedini način da se uklone paradoksi poput Lažljivca?

Tridesetih godina 20. stoljeća odgovori na ta pitanja izgledali su nedvojbeno potvrdni. No, sada više nema nekadašnjeg jednoumlja, iako ostaje dominantna tradicija otklanjanja paradoksa ove vrste “raslojavanjem” jezika.

U posljednje vrijeme sve više pozornosti privlače egocentrični izrazi. Sadrže riječi poput "ja", "ovo", "ovdje", "sada", a njihova istinitost ovisi o tome kada, tko ih koristi, gdje ih koristi.

U izjavi "Ova izjava je netočna" pojavljuje se riječ "ovo". Na koji se objekt odnosi? "Lažljivac" može značiti da se riječ "to" ne odnosi na značenje date izjave. Ali na što se onda to odnosi, što to znači? I zašto se ovo značenje još uvijek ne može označiti riječju "ovo"?

Ne ulazeći ovdje u detalje, samo je vrijedno napomenuti da je u kontekstu analize egocentričnih izraza "Lažljivac" ispunjen potpuno drugačijim sadržajem od dosadašnjeg. Ispostavilo se da on više ne upozorava na brkanje jezika i metajezika, već ukazuje na opasnosti povezane sa zlouporabom riječi "ovo" i sličnih egocentričnih riječi.

Problemi koji su se stoljećima povezivali s "Lažljivcem" radikalno su se promijenili ovisno o tome je li se na njega gledalo kao na primjer dvosmislenosti, ili kao na izraz koji se izvana predstavljao kao primjer mješavine jezika i metajezika, ili, konačno, kao tipičan primjer zlouporabe egocentričnih izraza. I nema sigurnosti da s ovim paradoksom u budućnosti neće biti povezani i drugi problemi.

Poznati suvremeni finski logičar i filozof G. von Wright u svom djelu Lažljivac napisao je da ovaj paradoks nikako ne treba shvatiti kao lokalnu, izoliranu prepreku koja se može ukloniti jednim inventivnim pokretom misli. Lažljivac se dotiče mnogih najvažnijih tema u logici i semantici. To je i definicija istine, i tumačenje proturječja i dokaza, i čitav niz važnih razlika: između rečenice i njome izražene misli, između uporabe izraza i njegova spominjanja, između značenja imena i predmet koji označava.

Slična je situacija i s drugim logičkim paradoksima. “Antinomije logike”, piše von Wright, “zbunjuju nas od njihova otkrića i vjerojatno će nas uvijek zbunjivati. Mislim da ih trebamo smatrati ne toliko problemima koji čekaju da budu riješeni, koliko neiscrpnom sirovinom za razmišljanje. Oni su važni jer razmišljanje o njima dotiče najtemeljnija pitanja sve logike, a samim tim i sve misli.”

U zaključku ovog razgovora o "Lažljivcu" možemo se prisjetiti jedne neobične epizode iz vremena kada se formalna logika još učila u školi. U udžbeniku logike objavljenom kasnih 1940-ih, učenicima osmog razreda je za domaću zadaću - kao zagrijavanje, da tako kažem - zatraženo da pronađu pogrešku učinjenu u ovoj jednostavnoj izjavi: "Lažem." I, neka ne bude čudno, vjerovalo se da se većina školaraca uspješno nosi s takvim zadatkom.

Najpoznatiji od paradoksa otkrivenih već u našem stoljeću je antinomija koju je otkrio B. Russell i priopćio u pismu G. Fergeu. O istoj su antinomiji istodobno u Göttingenu raspravljali njemački matematičari Z. Zermelo i D. Hilbert.

Ideja je lebdjela u zraku, a njezina objava ostavila je dojam eksplodirajuće bombe. Taj je paradoks izazvao u matematici, prema Hilbertu, učinak potpune katastrofe. Najjednostavnije i najvažnije logičke metode, najčešći i najkorisniji pojmovi, ugroženi su.

Odmah se pokazalo da ni u logici ni u matematici, u cijeloj dugoj povijesti njihova postojanja, nije bilo ništa odlučno razrađeno što bi moglo poslužiti kao osnova za uklanjanje antinomije. Jasno je da je odmak od uobičajenog načina razmišljanja bio neophodan. Ali odakle i u kojem smjeru? Koliko je odbacivanje ustaljenih načina teoretiziranja trebalo biti radikalno?

S daljnjim proučavanjem antinomije, stalno je raslo uvjerenje o potrebi za temeljno novim pristupom. Pola stoljeća nakon otkrića, specijalisti za temelje logike i matematike L. Frenkel i I. Bar-Hillel već su bez ikakvih rezervi izjavili: , do sada uvijek neuspješni, očito su nedostatni za ovu svrhu.

Suvremeni američki logičar H. Curry je nešto kasnije napisao o ovom paradoksu: “U terminima logike poznate u 19. stoljeću, situacija je jednostavno prkosila objašnjenju, iako, naravno, u našem obrazovanom dobu možda postoje ljudi koji vide (ili misle da vide ), koja je pogreška?

Russellov paradoks u svom izvornom obliku povezan je s konceptom skupa, odnosno klase.

Možemo govoriti o skupovima različitih objekata, na primjer, o skupu svih ljudi ili o skupu prirodnih brojeva. Element prvog skupa bit će svaka pojedinačna osoba, element drugog - svaki prirodni broj. Također je moguće same skupove promatrati kao neke objekte i govoriti o skupovima skupova. Čak se mogu uvesti pojmovi kao što su skup svih skupova ili skup svih pojmova.

S obzirom na bilo koji proizvoljno uzet skup, čini se razumnim pitati je li on vlastiti element ili nije. Skupove koji ne sadrže sebe kao element nazivamo običnim. Na primjer, skup svih ljudi nije osoba, kao što ni skup atoma nije atom. Skupovi koji su pravi elementi bit će neobični. Na primjer, skup koji ujedinjuje sve skupove je skup i stoga sadrži sebe kao element.

Razmotrimo sada skup svih običnih skupova. Budući da se radi o kompletu, može se i o njemu pitati je li običan ili neobičan. Odgovor je, međutim, obeshrabrujući. Ako je običan, onda po definiciji mora sadržavati sebe kao element, budući da sadrži sve obične skupove. Ali to znači da je to neobičan set. Pretpostavka da je naš skup običan skup dovodi do kontradikcije. Pa ne može biti normalno. S druge strane, ni on ne može biti neobičan: neobičan skup sadrži sebe kao element, a elementi našeg skupa su samo obični skupovi. Kao rezultat dolazimo do zaključka da skup svih običnih skupova ne može biti niti običan niti izvanredan.

Dakle, skup svih skupova koji nisu vlastiti elementi je vlastiti element ako i samo ako nije takav element. Ovo je jasna kontradikcija. A dobivena je na temelju najvjerojatnijih pretpostavki i uz pomoć naizgled neosporivih koraka.

Proturječnost kaže da takav skup jednostavno ne postoji. Ali zašto ne može postojati? Naposljetku, sastoji se od objekata koji zadovoljavaju dobro definiran uvjet, a sam uvjet se ne čini iznimno ili nejasnim. Ako tako jednostavno i jasno definiran skup ne može postojati, koja je onda zapravo razlika između mogućih i nemogućih skupova? Zaključak o nepostojanju razmatranog skupa zvuči neočekivano i izaziva tjeskobu. To našu opću predodžbu skupa čini amorfnom i kaotičnom i nema jamstva da ne može dovesti do nekih novih paradoksa.

Russellov paradoks je izvanredan zbog svoje ekstremne općenitosti. Za njegovu konstrukciju nisu potrebni složeni tehnički pojmovi, kao što su u slučaju nekih drugih paradoksa dovoljni pojmovi "skupa" i "elementa skupa". Ali ta jednostavnost samo govori o njegovoj temeljnoj prirodi: ona zadire u najdublje temelje našeg razmišljanja o skupovima, budući da ne govori o nekim posebnim slučajevima, već o skupovima općenito.

Russellov paradoks nije specifično matematički. Koristi koncept skupa, ali ne dotiče nikakva posebna svojstva povezana s matematikom.

Ovo postaje očito kada se paradoks preformulira u čisto logičkim terminima.

Za svako se svojstvo može, po svoj prilici, postaviti pitanje je li primjenjivo na samo sebe ili nije.

Svojstvo vrućeg, na primjer, ne odnosi se na njega samoga, budući da ono samo po sebi nije vruće; svojstvo biti konkretan također se ne odnosi na samoga sebe, jer je to apstraktno svojstvo. Ali svojstvo biti apstraktan, biti apstraktan, primjenjivo je na sebe. Nazovimo ta svojstva neprimjenjiva na sebe neprimjenjivima. Primjenjuje li se svojstvo neprimjenjivosti na sebe? Ispada da je neprimjenjivost neprimjenjiva samo ako nije. To je, naravno, paradoksalno.

Logička raznolikost Russellove antinomije vezana uz svojstva jednako je paradoksalna kao i matematička raznolikost koja se odnosi na skup.

Russell je također predložio sljedeću popularnu verziju paradoksa koji je otkrio.

Zamislite da je vijeće jednog sela definiralo dužnosti brijača na sljedeći način: brijati sve muškarce u selu koji se sami ne briju, i samo ove muškarce. Treba li se sam obrijati? Ako je tako, to će se odnositi na one koji se briju, a oni koji se briju, on se ne treba brijati. Ako ne, pripadat će onima koji se sami ne briju, pa će se stoga morati sam obrijati. Dolazimo dakle do zaključka da se ovaj brijač brije sam ako i samo ako se sam ne brije. To je, naravno, nemoguće.

Argument o brijaču temelji se na pretpostavci da takav brijač postoji. Nastala kontradikcija znači da je ova pretpostavka pogrešna i da nema tog seljaka koji bi brijao sve one i samo one seljane koji se sami ne briju.

Poslovi frizera na prvi se pogled ne čine kontradiktornima, pa zaključak da ga ne može biti zvuči pomalo neočekivano. Međutim, ovaj zaključak nije paradoksalan. Uvjet koji seoski brijač mora zadovoljiti zapravo je kontradiktoran sam sebi i stoga nemoguć. U selu ne može biti takvog frizera iz istog razloga što u njemu nema osobe koja bi bila starija od njega samog ili koja bi bila rođena prije njegova rođenja.

Raspravu o frizeru možemo nazvati pseudoparadoksom. Po svom tijeku je strogo analogan Russellovom paradoksu i to ga čini zanimljivim. Ali to još uvijek nije pravi paradoks.

Još jedan primjer istog pseudoparadoksa je dobro poznati kataloški argument.

Određena knjižnica odlučila je sastaviti bibliografski katalog koji bi uključivao sve one i samo one bibliografske kataloge koji ne sadrže reference za sebe. Treba li takav imenik sadržavati poveznicu na sebe?

Lako je pokazati da ideja o izradi takvog kataloga nije izvediva; jednostavno ne može postojati, jer mora istodobno uključivati ​​referencu na sebe i ne uključivati.

Zanimljivo je primijetiti da se katalogiziranje svih imenika koji ne sadrže reference na sebe može smatrati beskonačnim procesom koji nikada ne završava. Recimo da je u nekom trenutku direktorij, recimo K1, sastavljen, uključujući sve ostale direktorije koji ne sadrže reference na sebe. Stvaranjem K1 pojavio se još jedan direktorij koji ne sadrži poveznicu na sebe. Budući da je cilj napraviti kompletan katalog svih imenika koji sami sebe ne spominju, očito je da K1 nije rješenje. Ne spominje jedan od tih imenika – sebe. Uključujući njegovo spominjanje u K1, dobivamo katalog K2. Spominje K1, ali ne i sam K2. Dodavanjem takvog spomena K2 dobivamo KZ, koji opet nije potpun jer sam sebe ne spominje. I tako dalje bez kraja.

Zanimljiv logički paradoks otkrili su njemački logičari K. Grelling i L. Nelson (Grellingov paradoks). Ovaj se paradoks može vrlo jednostavno formulirati.

Neke riječi koje označavaju svojstva imaju upravo svojstvo koje imenuju. Na primjer, pridjev "ruski" je sam po sebi ruski, "višesložni" je sam po sebi višesložan, a "petosložni" sam po sebi ima pet slogova. Takve riječi koje se odnose na same sebe nazivaju se samosmislenim ili autologičkim.

Takvih riječi nema toliko, velika većina pridjeva nema svojstva koja imenuju. "New" nije, naravno, novo, "vruće" je vruće, "one-syllable" je jednosložno, a "engleski" je engleski. Riječi koje nemaju svojstvo koje označuju nazivaju se pseudonimima ili heterološkim. Očito, svi pridjevi koji označavaju svojstva koja nisu primjenjiva na riječi bit će heterološki.

Ovakva podjela pridjeva u dvije skupine čini se jasnom i bez prigovora. Može se proširiti na imenice: "riječ" je riječ, "imenica" je imenica, ali "sat" nije sat, a "glagol" nije glagol.

Paradoks se javlja čim se postavi pitanje kojoj od dviju skupina pripada sam pridjev "heterološki"? Ako je autologičan, ima svojstvo koje označava i mora biti heterologičan. Ako je heterološki, nema svojstvo koje naziva, i stoga mora biti autologičan. Postoji paradoks.

Analogno ovom paradoksu, lako je formulirati druge paradokse iste strukture. Na primjer, je li ili nije suicidalna osoba koja ubije svaku nesuicidalnu osobu, a ne ubije niti jednu suicidalnu osobu?

Pokazalo se da je Grelligov paradoks bio poznat u srednjem vijeku kao antinomija izraza koji sam sebe ne imenuje. Može se zamisliti kakav je odnos prema sofizmima i paradoksima u moderno doba, kad bi problem koji je zahtijevao odgovor i izazvao žustru raspravu odjednom zaboravljen i ponovno otkriven tek pet stotina godina kasnije!

Drugu, naizgled jednostavnu antinomiju naznačio je na samom početku našeg stoljeća D. Berry.

Skup prirodnih brojeva je beskonačan. Konačan je skup onih naziva tih brojeva koji su dostupni, na primjer, u ruskom jeziku i sadrže manje od, recimo, stotinu riječi. To znači da postoje takvi prirodni brojevi za koje u ruskom nema naziva koji se sastoje od manje od stotinu riječi. Među tim brojevima očito je najmanji broj. Ne može se nazvati ruskim izrazom koji sadrži manje od stotinu riječi. Ali izraz: "Najmanji prirodni broj za koji njegov složeni naziv ne postoji na ruskom, koji se sastoji od manje od stotinu riječi" samo je naziv ovog broja! Ovo ime je upravo formulirano na ruskom i sadrži samo devetnaest riječi. Očigledni paradoks: imenovani broj ispao je onaj za koji nema imena!

U središtu jednog poznatog paradoksa leži, čini se, mali incident koji se dogodio prije više od dvije tisuće godina i do danas nije zaboravljen.

Slavni sofist Protagora, koji je živio u 5.st. Kr., postojao je student po imenu Euathlus, koji je studirao pravo. Prema sporazumu koji su sklopili između njih, Euathlus je morao platiti obuku samo ako dobije svoju prvu parnicu. Ako izgubi ovaj proces, uopće nije dužan platiti. Međutim, nakon završetka studija Evatl nije sudjelovao u procesima. Trajalo je to dosta dugo, učitelju je ponestalo strpljenja, pa je podigao tužbu protiv svog učenika. Dakle, za Euathlusa je ovo bilo prvo suđenje. Protagora je obrazložio svoj zahtjev na sljedeći način:

“Kakva god bila odluka suda, Euathlus će mi morati platiti. Ili će dobiti svoje prvo suđenje ili izgubiti. Ako pobijedi, platit će na temelju našeg ugovora. Ako izgubi, platit će po ovoj odluci.

Očito je Euatl bio sposoban učenik, jer je odgovorio Protagori:

- Zaista, ili dobivam proces ili ga gubim. Ako dobijem, sudskom odlukom oslobađam se obveze plaćanja. Ako sudska odluka ne bude u moju korist, onda sam izgubio svoj prvi spor i neću platiti na temelju našeg ugovora.

Zbunjen ovakvim obratom stvari, Protagora je ovom sporu s Euathlom posvetio poseban esej, "Parnica za plaćanje". Nažalost, ono, kao i većina onoga što je napisao Protagora, nije dospjelo do nas. Ipak, treba odati priznanje Protagori, koji je odmah naslutio problem iza jednostavnog sudskog incidenta koji zaslužuje posebnu studiju.

G. Leibniz, i sam pravnik po obrazovanju, također je ozbiljno shvatio ovaj spor. U svojoj doktorskoj disertaciji "Proučavanje zamršenih slučajeva u pravu" pokušao je dokazati da svi slučajevi, pa i oni najzamršeniji, poput parnice Protagore i Euathla, moraju pronaći ispravno rješenje na temelju zdravog razuma. Prema Leibnizu, sud bi trebao odbiti Protagoru zbog nepravodobnog podnošenja tužbe, ali mu ipak ostaviti pravo da od Evatla traži isplatu novca kasnije, naime nakon prvog procesa koji je dobio.

Predložena su mnoga druga rješenja za ovaj paradoks.

Osobito su se osvrnuli na to da bi sudska odluka trebala imati veću snagu od privatnog dogovora dviju osoba. Može se odgovoriti da bez tog sporazuma, koliko god on izgledao beznačajan, ne bi bilo ni suda ni njegove odluke. Uostalom, sud mora donijeti odluku upravo povodom i na temelju nje.

Također su se pozivali na opće načelo da se svaki rad, pa tako i Protagorin rad, mora platiti. No poznato je da je to načelo uvijek imalo izuzetaka, pogotovo u robovlasničkom društvu. Osim toga, to jednostavno nije primjenjivo na specifičnu situaciju spora: na kraju krajeva, Protagora je, jamčeći visoku razinu obrazovanja, sam odbio prihvatiti plaćanje u slučaju neuspjeha njegovog učenika u prvom procesu.

Ponekad pričaju ovako. I Protagora i Euathlus su djelomično u pravu, a nijedan od njih općenito. Svaki od njih uzima u obzir samo polovicu mogućnosti koje su mu korisne. Cjelovito ili cjelovito razmatranje otvara četiri mogućnosti, od kojih je samo polovica korisna za jednog od sudionika spora. Koja će se od ovih mogućnosti ostvariti, odlučit će ne logika, nego život. Ako će presuda sudaca imati veću snagu od ugovora, Euathl će morati platiti samo ako izgubi proces, tj. temeljem sudske odluke. Međutim, ako je privatni dogovor postavljen iznad odluke sudaca, tada će Protagora primiti isplatu samo u slučaju da izgubi proces od Evatlusa, tj. na temelju sporazuma s Protagorom.

Ovo pozivanje na život konačno sve zbuni. Čime se, ako ne logikom, suci mogu voditi u uvjetima kada su sve relevantne okolnosti potpuno jasne? A kakvo će to vodstvo biti ako Protagora, koji naplatu traži preko suda, to postigne samo gubitkom procesa?

No, Leibnizovo rješenje, koje se na prvi pogled čini uvjerljivim, malo je bolje od nejasne suprotnosti logike i života. U biti, Leibniz retrospektivno predlaže da se promijeni tekst ugovora i odredi da prva parnica koja uključuje Euathlus, čiji će ishod odlučiti pitanje plaćanja, ne bi trebala biti suđenje po Protagorinoj tužbi. Ova misao je duboka, ali nije vezana za određeni sud. Da je takva klauzula postojala u izvornom ugovoru, uopće ne bi bilo potrebe za parničenjem.

Ako pod rješenjem ove poteškoće razumijemo odgovor na pitanje treba li Euat ​​platiti Protagori ili ne, onda su sva ova, kao i sva druga zamisliva rješenja, naravno, neodrživa. Oni nisu ništa drugo nego odmak od suštine spora, oni su, da tako kažemo, sofistički trikovi i lukavstva u bezizlaznoj i nerješivoj situaciji. Jer niti zdrav razum niti bilo kakva opća načela koja se tiču ​​društvenih odnosa ne mogu riješiti spor.

Nemoguće je zajedno izvršiti ugovor u izvornom obliku i odluku suda, kakva god ona bila. Da bi se to dokazalo, dovoljna su jednostavna logika. Na isti način se također može pokazati da je ugovor, unatoč svom potpuno nevinom izgledu, proturječan sam sebi. Zahtijeva realizaciju logički nemogućeg prijedloga: Euathlus mora i platiti obrazovanje i u isto vrijeme ne platiti.

Ljudski um, naviknut ne samo na njegovu snagu, nego i na gipkost, pa i snalažljivost, teško se, dakako, pomiriti s tim apsolutnim beznađem i priznati da je stjeran u slijepu ulicu. To je posebno teško kad bezizlaz stvara sam um: on, da tako kažem, posrne iz vedra neba i upadne u vlastite mreže. Ipak, valja priznati da ponekad, a inače ne tako rijetko, sporazumi i sustavi pravila, nastali spontano ili svjesno uvedeni, dovode do nerješivih, bezizlaznih situacija.

Primjer iz novijeg šahovskog života još jednom će potvrditi tu misao.

Međunarodna pravila šahovskih natjecanja obvezuju šahiste da jasno i čitko bilježe potez po potez. Donedavno je u pravilima stajalo i da šahist koji je zbog nedostatka vremena propustio snimanje nekoliko poteza mora, "čim završi njegova minutaža, odmah ispuniti svoj formular, upisujući propuštene poteze". Na temelju ove upute, jedan sudac na Šahovskoj olimpijadi 1980. (Malta) prekinuo je partiju, koja se odvijala u teškom vremenu, i zaustavio sat, izjavivši da su kontrolni potezi napravljeni i da je, prema tome, vrijeme da se stavi zapise igara po redu.

“Ali oprostite”, povikao je sudionik koji je bio na rubu poraza i računao samo na žestinu strasti na kraju igre, “uostalom, još nijedna zastava nije pala i nitko nikada (kao također je napisano u pravilima) može reći koliko je poteza napravljeno.

No, suca je podržao i glavni sudac rekavši da je, doista, s obzirom da je vremenska nevolja završila, potrebno po slovu pravila krenuti s bilježenjem promašenih poteza.

Bilo je besmisleno raspravljati u ovoj situaciji: pravila su sama vodila u slijepu ulicu. Preostalo je samo promijeniti njihov tekst na način da se slični slučajevi više ne pojavljuju u budućnosti.

To je učinjeno na kongresu Međunarodne šahovske federacije, koji se održavao u isto vrijeme: umjesto riječi “čim vremenska nevolja završi”, pravila sada glase: “čim zastavica označi kraj od vremena".

Ovaj primjer jasno pokazuje kako se nositi sa situacijama zastoja. Beskorisno je raspravljati o tome koja je strana u pravu: spor je nerješiv i u njemu neće biti pobjednika. Ostaje samo pomiriti se sa sadašnjošću i pobrinuti se za budućnost. Da biste to učinili, morate preformulirati izvorne sporazume ili pravila na takav način da nikoga drugoga ne dovedu u istu bezizlaznu situaciju.

Naravno, takvo postupanje nije rješenje za nerješiv spor niti izlaz iz bezizlazne situacije. To je više zaustavljanje pred nepremostivom preprekom i put oko nje.

U antičkoj Grčkoj bila je vrlo popularna priča o krokodilu i majci, koja se po svom logičnom sadržaju podudarala s paradoksom "Protagora i Euathlus".

Krokodil je oteo njezino dijete Egipćanki koja je stajala na obali rijeke. Na njenu molbu da vrati dijete, krokodil je, puštajući, kao i uvijek, krokodilsku suzu, odgovorio:

“Tvoja me nesreća dirnula i dat ću ti priliku da vratiš svoje dijete. Pogodi hoću li ti dati ili ne. Ako odgovorite točno, vratit ću dijete. Ako ne pogodiš, neću ga vratiti.

Razmišljajući, majka odgovori:

Nećeš mi dati dijete.

"Nećeš ga dobiti", zaključio je krokodil. Ili si rekao istinu ili nisi. Ako je istina da se neću odreći djeteta, onda ga se neću odreći, jer inače neće biti istina. Ako ono što je rečeno nije istina, onda niste pogodili, a dijete po dogovoru ne dam.

No, majci se to obrazloženje nije učinilo uvjerljivim.

- Ali ako sam rekao istinu, onda ćeš mi dati dijete, kao što smo se dogovorili. Ako nisam pogodio da nećeš dati dijete, onda ga moraš dati meni, inače neće biti neistina ono što sam rekao.

Tko je u pravu: majka ili krokodil? Na što obvezuje obećanje dano krokodilu? Da bi dao dijete, ili, naprotiv, da ga ne da? I to obojici u isto vrijeme. Ovo obećanje je kontradiktorno samo po sebi i stoga se ne može ispuniti na temelju zakona logike.

Misionar se našao s kanibalima i stigao taman na vrijeme za večeru. Pustili su ga da bira kako će biti pojeden. Da bi to učinio, mora izgovoriti neku izjavu s tim da će je, ako se ta izjava pokaže istinitom, skuhati, a ako se pokaže lažnom, ispeći je.

Što bi misionar trebao reći?

Naravno, trebao bi reći: "Spržit ćeš me."

Ako je stvarno spržen, pokazat će se da je govorio istinu i zato ga treba skuhati. Ako je kuhan, njegova će izjava biti lažna i treba ga samo ispeći. Kanibali neće imati izlaza: od "pržiti" slijedi "kuhati", i obrnuto.

Ova epizoda lukavog misionara je, naravno, još jedna parafraza spora između Protagore i Euatla.

Jedan stari paradoks poznat u staroj Grčkoj prikazan je u Don Quijoteu M. Cervantesa. Sancho Panza je postao guverner otoka Barataria i upravlja sudom.

Prvi mu dolazi neki posjetitelj i kaže: „Seniore, neko imanje je dubokom rijekom podijeljeno na dvije polovice ... Dakle, most je prebačen preko ove rijeke, a tamo na rubu stoji vješala i ima nešto kao sud, u kojemu obično sjede četiri čovjeka.suci, a oni sude na temelju zakona, izdanog od vlasnika rijeke, mosta i cijelog imanja, koji je zakon ovako sastavljen: i tko god laže, bez imalo popustljivosti, pošaljite ih na vješala koja se nalaze upravo tamo i pogubite ih. Od vremena kada je ovaj zakon proglašen u svoj svojoj strogosti, mnogi su uspjeli prijeći preko mosta, a čim su se suci uvjerili da prolaznici govore istinu, pustili su ih. Ali onda se jednoga dana čovjek koji je prisegao zakleo i rekao: kune se da je došao da bi ga objesili baš na ova vješala, i ni zbog čega drugoga. Ova zakletva je zbunila suce, pa su rekli: “Ako se ovom čovjeku dopusti da nastavi nesmetano, onda će to značiti da je prekršio zakletvu i, prema zakonu, odgovoran je na smrt; ako ga objesimo, onda se zakleo da je došao samo da bude obješen na ova vješala, dakle, njegova zakletva, pokazuje se, nije lažna, i na temelju istog zakona treba ga pustiti da prođe. I zato vas pitam, señor guverneru, što da suci učine s ovim čovjekom, jer su još uvijek zbunjeni i oklijevaju...

Sancho je predložio, možda ne bez lukavstva, da se polovica osobe koja je govorila istinu propusti, a ona koja je lagala da se objesi i na taj način će se poštovati pravila prelaska mosta u svim oblicima. Ovaj je odlomak zanimljiv s više aspekata.

Prije svega, to je jasna ilustracija činjenice da se s bezizlaznom situacijom opisanom u paradoksu može suočiti – i to ne u čistoj teoriji, nego u praksi – ako ne stvarna osoba, onda barem književni junak.

Izlaz koji je predložio Sancho Panza nije, naravno, rješenje paradoksa. Ali to je bilo samo rješenje kojem je preostalo samo pribjeći u njegovom položaju.

Svojedobno je Aleksandar Veliki, umjesto da razmrsi lukavi Gordijev čvor, što još nikome nije pošlo za rukom, jednostavno ga je presjekao. Sancho učini isto. Pokušaj rješavanja zagonetke pod vlastitim uvjetima bio je beskoristan - jednostavno je bila nerješiva. Ostalo je odbaciti te uvjete i uvesti vlastite.

I jedan trenutak. Ovom epizodom Cervantes jasno osuđuje pretjerano formalne razmjere srednjovjekovne pravde, prožete duhom skolastičke logike. Ali koliko su u njegovo vrijeme - a bilo je to prije otprilike četiri stotine godina - bile raširene informacije s područja logike! Ovaj paradoks nije poznat samo Cervantesu. Pisac svom junaku, nepismenom seljaku, pripisuje sposobnost da shvati da je pred njim nerješiv zadatak!

Gornji paradoksi su argumenti čiji je rezultat kontradikcija. Ali postoje i druge vrste paradoksa u logici. Ističu i neke poteškoće i probleme, ali to čine na manje oštar i beskompromisan način. Takvi su, posebno, paradoksi o kojima se raspravlja u nastavku.

Većina pojmova ne samo prirodnog jezika, već i jezika znanosti su netočni, ili, kako ih još nazivaju, zamagljeni. Često se ispostavi da je to uzrok nesporazuma, sporova ili čak jednostavno dovodi do zastoja.

Ako je koncept netočan, granica područja objekata na koje se primjenjuje je lišena oštrine, zamagljena. Uzmimo, na primjer, koncept "hrpe". Jedno zrno (zrnce pijeska, kamen i sl.) još nije hrpa. Tisuću zrna je već, očito, hrpa. A tri zrna? A deset? Koliki je broj zrnaca dodan da se formira hrpa? Nije baš jasno. Isto tako, nije jasno s uklanjanjem kojeg zrna hrpa nestaje.

Netočne su empirijske karakteristike "velikog", "teškog", "uskog" itd. Takvi uobičajeni pojmovi kao što su "mudar čovjek", "konj", "kuća" itd. su netočni.

Ne postoji zrnce pijeska za koje, kada se ukloni, možemo reći da se njegovim uklanjanjem ono što ostaje više ne može zvati domom. No, to kao da uostalom znači da niti u jednom trenutku postupnog raspadanja kuće – sve do njezina potpunog nestanka – nema temelja proglasiti da kuće nema! Zaključak je očito paradoksalan i obeshrabrujući.

Lako je vidjeti da se argument o nemogućnosti formiranja gomile izvodi pomoću poznate metode matematičke indukcije. Jedno zrno ne čini hrpu. Ako n zrna ne tvore hrpe, tada n+1 zrna ne tvore hrpe. Prema tome, niti jedan broj zrna ne može formirati hrpe.

Mogućnost da ovaj i slični dokazi dovedu do apsurdnih zaključaka znači da načelo matematičke indukcije ima ograničen opseg. Ne smije se koristiti u zaključivanju s netočnim, nejasnim pojmovima.

Dobar primjer kako ovi koncepti mogu dovesti do nerazrješivih sporova je zanimljivo suđenje koje se održalo 1927. godine u Sjedinjenim Državama. Kipar C. Brancusi obratio se sudu tražeći da se njegova djela priznaju umjetničkim djelima. Među radovima poslanim u New York na izložbu bila je i skulptura "Ptica", koja se danas smatra klasikom apstraktnog stila. To je modulirani stup od polirane bronce visok oko jedan i pol metar, koji nema nikakve vanjske sličnosti s pticom. Carinici su Brancusijeve apstraktne kreacije kategorički odbili priznati kao umjetnička djela. Stavili su ih pod rubriku "Metalni bolnički i kućanski pribor" i nametnuli im veliku carinu. Ogorčen, Brancusi je tužio.

Carinu su podržali umjetnici - članovi Nacionalne akademije, koji su branili tradicionalne metode u umjetnosti. Oni su na suđenju svjedočili obrani i kategorički tvrdili da je pokušaj predstavljanja "Ptice" kao umjetničkog djela bila obična prijevara.

Taj sukob zorno naglašava težinu operiranja pojmom "umjetničkog djela". Skulptura se tradicionalno smatra oblikom likovne umjetnosti. Ali stupanj sličnosti skulpturalne slike s izvornikom može varirati u vrlo širokim granicama. I u kojem trenutku skulpturalna slika, sve više udaljavajući se od izvornika, prestaje biti umjetničko djelo i postaje "metalno posuđe"? Na ovo pitanje jednako je teško odgovoriti kao i na pitanje gdje je granica između kuće i njenih ruševina, između konja s repom i konja bez repa itd. Inače, modernisti su općenito uvjereni da je skulptura objekt izražajne forme i da uopće ne mora biti slika.

Rukovanje nepreciznim konceptima stoga zahtijeva određenu dozu opreza. Ne bi li ih bilo bolje u potpunosti izbjegavati?

Njemački filozof E. Husserl bio je sklon od znanja zahtijevati tako izuzetnu strogost i preciznost kakve nema čak ni u matematici. S tim u vezi Husserlovi se biografi s ironijom prisjećaju jednog događaja koji mu se dogodio u djetinjstvu. Dobio je perorez i, odlučivši da oštricu učini što je moguće oštrijom, oštrio ju je sve dok od oštrice nije ostalo ništa.

U mnogim su situacijama precizniji koncepti poželjniji od nepreciznih. Uobičajena želja za razjašnjavanjem korištenih pojmova sasvim je opravdana. Ali to, naravno, mora imati svoje granice. Čak iu jeziku znanosti, značajan dio pojmova je netočan. I to nije povezano sa subjektivnim i slučajnim pogreškama pojedinih znanstvenika, već sa samom prirodom znanstvenog znanja. U prirodnom jeziku, neprecizni koncepti su neodoljivi; to između ostalog govori o njegovoj fleksibilnosti i pritajenoj snazi. Svatko tko od svih pojmova zahtijeva najveću preciznost, izlaže se opasnosti da u potpunosti ostane bez jezika. “Lišite riječi svake dvosmislenosti, svake nesigurnosti”, napisao je francuski estetičar J. Joubert, “pretvorite ih ... u jednoznamenkaste brojeve - igru ​​će napustiti govor, a s njime rječitost i poezija: sve što je pokretljivo i promjenjivo u osjećaji duše, ne mogu naći svoj izraz. Ali što govorim: lišiti ... reći ću više. Lišite riječi svake netočnosti - i izgubit ćete čak i aksiome.

Dugo vremena ni logičari ni matematičari nisu obraćali pozornost na poteškoće povezane s nejasnim konceptima i njima odgovarajućim skupovima. Pitanje je postavljeno na sljedeći način: pojmovi moraju biti precizni, a sve nejasno nije vrijedno ozbiljnog zanimanja. Međutim, u posljednjim je desetljećima taj pretjerano strog stav izgubio svoju privlačnost. Izgrađene su logičke teorije koje posebno uzimaju u obzir jedinstvenost zaključivanja s netočnim konceptima.

Aktivno se razvija matematička teorija tzv. neizrazitih skupova, nejasno definiranih skupova objekata.

Analiza problema netočnosti korak je ka približavanju logike praksi uobičajenog mišljenja. A možemo pretpostaviti da će donijeti još mnogo zanimljivih rezultata.

Možda nema dijela logike koji nema svoje paradokse.

Induktivna logika ima svoje paradokse protiv kojih se aktivno, ali zasad bez većih uspjeha, bori već gotovo pola stoljeća. Posebno je zanimljiv paradoks potvrde koji je otkrio američki filozof K. Hempel. Prirodno je smatrati da su opći stavovi, posebno znanstveni zakoni, potvrđeni svojim pozitivnim primjerima. Ako se, recimo, razmatra tvrdnja "Sve A je B", tada će njeni pozitivni primjeri biti objekti koji imaju svojstva A i B. Konkretno, potporni primjeri za tvrdnju "Svi gavrani su crni" su objekti koji su i gavrani i crno. Ova izjava je, međutim, jednaka izjavi "Sve stvari koje nisu crne nisu vrane", a potvrda ove druge mora biti i potvrda prve. Ali "Sve što nije crno nije vrana" potvrđuje svaki slučaj necrnog predmeta koji nije vrana. Ispada, dakle, da zapažanja "Krava je bijela", "Cipele su smeđe" itd. potvrdite tvrdnju "Sve su vrane crne."

Neočekivani paradoksalan rezultat proizlazi iz naizgled nevinih premisa.

U logici normi zabrinjava niz njezinih zakona. Kada se formuliraju smislenim terminima, postaje očita njihova nedosljednost s uobičajenim predodžbama o ispravnom i lošem. Na primjer, jedan od zakona kaže da od naloga "Pošalji pismo!" slijedi naredba “Pošalji pismo ili ga spali!”.

Drugi zakon kaže da ako je osoba prekršila jednu od svojih dužnosti, ima pravo raditi što god želi. Naša logična intuicija ne želi se pomiriti s ovakvim "zakonima obveze".

U logici znanja jako se raspravlja o paradoksu logičkog sveznanja. Tvrdi da čovjek zna sve logične posljedice koje proizlaze iz pozicija koje zauzima. Na primjer, ako osoba zna pet postulata Euklidove geometrije, onda, dakle, poznaje svu ovu geometriju, jer ona proizlazi iz njih. Ali nije. Osoba se može složiti s postulatima, au isto vrijeme ne moći dokazati Pitagorin teorem i stoga sumnjati da je općenito istinit.

Ne postoji iscrpan popis logičkih paradoksa i to je nemoguće.

Razmatrani paradoksi samo su dio svih do sada otkrivenih. Vjerojatno će u budućnosti biti otkriveni i mnogi drugi paradoksi, pa čak i njihove potpuno nove vrste. Sam pojam paradoksa nije toliko određen da bi bilo moguće sastaviti popis barem već poznatih paradoksa.

“Paradoksi teorije skupova vrlo su ozbiljan problem, međutim, ne za matematiku, već prije za logiku i epistemologiju”, piše austrijski matematičar i logičar K. Gödel. “Logika je nedosljedna. Nema logičnih paradoksa”, kaže matematičar D. Bochvar. Takve su razlike ponekad značajne, ponekad verbalne. Stvar je uglavnom u tome što se točno podrazumijeva pod logičkim paradoksom.

Nužna značajka logičkih paradoksa je logički rječnik.

Paradoksi koji su logični moraju biti formulirani u logičkim terminima. Međutim, u logici ne postoje jasni kriteriji za podjelu pojmova na logične i nelogičke. Logika, koja se bavi ispravnošću rasuđivanja, nastoji pojmove o kojima ovisi ispravnost praktično primijenjenih zaključaka svesti na minimum. Ali ovaj minimum nije unaprijed određen jednoznačno. Osim toga, nelogički iskazi također se mogu formulirati u logičkim terminima. Koristi li određeni paradoks samo čisto logičke premise nije uvijek moguće nedvosmisleno odrediti.

Logički paradoksi nisu strogo odvojeni od svih ostalih paradoksa, kao što se potonji ne razlikuju jasno od svega što nije paradoksalno i što je u skladu s prevladavajućim idejama.

Na početku proučavanja logičkih paradoksa činilo se da se oni mogu razlikovati po kršenju nekog još neistraženog stava ili pravila logike. Načelo začaranog kruga koje je uveo B. Russell posebno je aktivno pretendiralo na ulogu takvog pravila. Ovo načelo navodi da kolekcija objekata ne može sadržavati članove definirane samo istom kolekcijom.

Svi paradoksi imaju jednu zajedničku stvar - samoprimjenjivost, odnosno cirkularnost. U svakom od njih predmetni predmet je karakteriziran nekim skupom objekata kojima i sam pripada. Odaberemo li, primjerice, najlukaviju osobu, to činimo uz pomoć populacije ljudi kojoj ta osoba pripada. A ako kažemo: "Ova izjava je lažna", karakteriziramo izjavu koja nas zanima pozivajući se na ukupnost svih lažnih izjava koje je uključuju.

U svim paradoksima postoji samoprimjenjivost pojmova, što znači da postoji, takoreći, kretanje u krugu koje na kraju vodi do početne točke. U nastojanju da karakteriziramo predmet koji nas zanima, okrećemo se skupu objekata koji ga uključuje. Međutim, pokazuje se da je za svoju određenost on sam potreban predmet koji se razmatra i bez njega se ne može jasno razumjeti. U tom krugu možda leži izvor paradoksa.

Situaciju, međutim, komplicira činjenica da takav krug postoji u mnogim potpuno neparadoksalnim argumentima. Kružni je veliki izbor najčešćih, bezopasnih i istovremeno prikladnih načina izražavanja. Takvi primjeri kao što su “najveći od svih gradova”, “najmanji od svih prirodnih brojeva”, “jedan od elektrona atoma željeza” itd., pokazuju da svaki slučaj samoprimjenjivosti ne dovodi do proturječja i da je važan ne samo u običnom jeziku, već iu jeziku znanosti.

Puko upućivanje na korištenje samoprimjenjivih koncepata stoga je nedostatno za diskreditiranje paradoksa. Potreban je neki dodatni kriterij za odvajanje samoprimjenjivosti, koja dovodi do paradoksa, od svih drugih slučajeva iste.

Bilo je mnogo prijedloga u tom smislu, ali nije pronađeno uspješno pojašnjenje cirkularnosti. Pokazalo se da je nemoguće cirkularnost okarakterizirati na način da svako kružno razmišljanje vodi do paradoksa, a svaki je paradoks rezultat nekog kružnog razmišljanja.

Pokušaj pronalaženja nekog specifičnog načela logike, čije bi kršenje bilo obilježje svih logičkih paradoksa, nije doveo ni do čega određenog.

Nedvojbeno bi bila korisna neka vrsta klasifikacije paradoksa, koja bi ih dodatno podijelila na tipove i tipove, grupirajući neke paradokse i suprotstavljajući ih drugima. No, ni u ovom slučaju nije postignuto ništa održivo.

Engleski logičar F. Ramsey, koji je umro 1930. godine, kada još nije imao dvadeset sedam godina, predložio je podijeliti sve paradokse na sintaktičke i semantičke. Prvi uključuje, na primjer, Russellov paradoks, drugi - paradokse "Lažljivca", Grellinga itd.

Prema Ramseyu, paradoksi prve skupine sadrže samo pojmove koji pripadaju logici ili matematici. Potonji uključuju koncepte kao što su "istina", "definibilnost", "imenovanje", "jezik", koji nisu strogo matematički, već su povezani s lingvistikom ili čak teorijom znanja. Čini se da semantički paradoksi svoju pojavu ne duguju nekoj pogrešci u logici, već nejasnoći ili dvosmislenosti nekih nelogičkih pojmova, stoga se problemi koje postavljaju tiču ​​jezika i moraju se riješiti lingvistikom.

Ramseyu se činilo da matematičare i logičare ne moraju zanimati semantički paradoksi. Kasnije se međutim pokazalo da su neki od najznačajnijih rezultata moderne logike dobiveni upravo u vezi s dubljim proučavanjem upravo tih nelogičkih paradoksa.

Podjela paradoksa koju je predložio Ramsey isprva je bila široko korištena, a čak i sada zadržava određenu važnost. Pritom je sve jasnije da je ta podjela prilično nejasna i da se oslanja prvenstveno na primjere, a ne na dubinsku komparativnu analizu dviju skupina paradoksa. Semantički koncepti sada su dobro definirani i teško je ne prepoznati da su ti koncepti doista logični. S razvojem semantike, koja definira svoje osnovne koncepte u terminima teorije skupova, razlika koju je napravio Ramsey sve je više zamagljena.

Koji zaključci za logiku proizlaze iz postojanja paradoksa?

Prije svega, prisutnost velikog broja paradoksa govori o snazi ​​logike kao znanosti, a ne o njezinoj slabosti, kako bi se moglo činiti.

Nije slučajno što se otkriće paradoksa poklopilo s razdobljem najintenzivnijeg razvoja moderne logike i njezinih najvećih uspjeha.

Prvi paradoksi otkriveni su i prije nastanka logike kao posebne znanosti. U srednjem vijeku otkriveni su mnogi paradoksi. Međutim, kasnije se pokazalo da su zaboravljeni i da su ponovno otkriveni već u našem stoljeću.

Srednjovjekovni logičari nisu poznavali pojmove "skupa" i "elementa skupa", uvedenih u znanost tek u drugoj polovici 19. stoljeća. Ali smisao za paradokse izbrusio se u srednjem vijeku do te mjere da su već u to rano doba izražene određene brige o samoprimjenjivim konceptima. Najjednostavniji primjer za to je pojam "biti sam svoj element" koji se pojavljuje u mnogim današnjim paradoksima.

Međutim, takvi strahovi, kao i sva upozorenja na paradokse općenito, nisu bili sustavni i definitivni sve do našeg stoljeća. Oni nisu doveli do jasnih prijedloga za preispitivanje uobičajenih načina razmišljanja i izražavanja.

Tek je moderna logika otrgla od zaborava sam problem paradoksa, otkrila ili ponovno otkrila većinu specifičnih logičkih paradoksa. Nadalje je pokazala da su načini mišljenja koje tradicionalno istražuje logika potpuno neadekvatni za uklanjanje paradoksa, te naznačila temeljno nove metode suočavanja s njima.

Paradoksi postavljaju važno pitanje: gdje nam, zapravo, ne uspijevaju neke od uobičajenih metoda oblikovanja pojmova i zaključivanja? Uostalom, djelovale su potpuno prirodno i uvjerljivo, dok se nije pokazalo da su paradoksalne.

Paradoksi potkopavaju uvjerenje da uobičajene metode teorijskog mišljenja same po sebi i bez posebne kontrole nad njima osiguravaju pouzdan napredak prema istini.

Zahtijevajući radikalnu promjenu u pretjerano lakovjernom pristupu teoretiziranju, paradoksi su oštra kritika logike u njenom naivnom, intuitivnom obliku. Oni igraju ulogu čimbenika koji kontrolira i ograničava način izgradnje deduktivnih logičkih sustava. A ova njihova uloga može se usporediti s ulogom eksperimenta koji testira ispravnost hipoteza u takvim znanostima kao što su fizika i kemija, i prisiljava ih da unesu promjene u te hipoteze.

Paradoks u teoriji govori o nekompatibilnosti pretpostavki na kojima se temelji. Djeluje kao pravodobno otkriveni simptom bolesti, bez kojeg bi se ona mogla previdjeti.

Naravno, bolest se manifestira na mnogo načina, a na kraju ju je moguće otkriti bez tako akutnih simptoma kao što su paradoksi. Na primjer, temelji teorije skupova bili bi analizirani i pročišćeni čak i da se ne otkriju paradoksi u ovom području. Ali ne bi bilo one oštrine i hitnosti s kojom su paradoksi otkriveni u njoj pokrenuli problem revizije teorije skupova.

Paradoksima je posvećena opsežna literatura, predložen je velik broj njihovih objašnjenja. Ali nijedno od ovih objašnjenja nije univerzalno prihvaćeno, a ne postoji potpuna suglasnost o podrijetlu paradoksa i kako ih se riješiti.

“Tijekom proteklih šezdeset godina stotine knjiga i članaka posvećeno je cilju rješavanja paradoksa, ali rezultati su nevjerojatno loši u usporedbi s uloženim naporima”, piše A. Frenkel. “Čini se kao”, H. Curry zaključuje svoju analizu paradoksa, “da je potrebna potpuna reforma logike, a matematička logika može postati glavno oruđe za provođenje te reforme.”

Treba uočiti jednu važnu razliku.

Uklanjanje paradoksa i njihovo rješavanje nije ista stvar. Ukloniti paradoks iz neke teorije znači preustrojiti je na takav način da se paradoksalna tvrdnja u njoj pokaže nedokazivom. Svaki paradoks se oslanja na veliki broj definicija, pretpostavki i argumenata. Njegov zaključak u teoriji je određeni lanac zaključivanja. Formalno gledano, može se dovesti u pitanje bilo koja njegova karika, odbaciti je i time prekinuti lanac i otkloniti paradoks. U mnogim djelima to se radi i ograničava se na ovo.

Ali to još nije rješenje paradoksa. Nije dovoljno pronaći način da se to isključi, potrebno je uvjerljivo obrazložiti predloženo rješenje. Sama sumnja da neki korak vodi do paradoksa mora biti dobro utemeljena.

Prije svega, odluka o napuštanju nekih logičkih sredstava korištenih u izvođenju paradoksalne izjave mora biti povezana s našim općim razmatranjima u vezi s prirodom logičkog dokaza i drugih logičkih intuicija. Ako to nije slučaj, otklanjanje paradoksa pokazuje se lišenim čvrstih i stabilnih temelja i degenerira se u pretežito tehnički zadatak.

Štoviše, odbacivanje neke pretpostavke, čak i ako omogućuje uklanjanje nekog određenog paradoksa, ne jamči automatski uklanjanje svih paradoksa. To sugerira da paradokse ne treba "loviti" jedan po jedan. Isključivanje jednog od njih uvijek treba biti tako opravdano da postoji određeno jamstvo da će se i drugi paradoksi eliminirati istim korakom.

Svaki put kad se otkrije paradoks, piše A. Tarsky, “moramo podvrgnuti temeljitoj reviziji naše načine razmišljanja, odbaciti neke pretpostavke u koje smo vjerovali i poboljšati metode argumentacije koje smo koristili. Činimo to u nastojanju ne samo da se riješimo antinomija, već i da spriječimo pojavu novih.

I na kraju, nepromišljeno i nemarno odbacivanje previše ili prejakih pretpostavki može jednostavno dovesti do toga da, iako ne sadrži paradokse, ispadne bitno slabija teorija koja ima samo partikularni interes.

Koji može biti minimalni, najmanje radikalan skup mjera za izbjegavanje poznatih paradoksa?

Jedan od načina je da se uz istinite i netočne rečenice izdvajaju i besmislene rečenice. Taj je put usvojio B. Russell. On je proglasio paradoksalno razmišljanje besmislenim na temelju toga što krši zahtjeve logičke gramatike. Nije smislena svaka rečenica koja ne krši pravila obične gramatike – ona mora zadovoljiti i pravila posebne, logičke gramatike.

Russell je izgradio teoriju logičkih tipova, neku vrstu logičke gramatike, čiji je zadatak bio eliminirati sve poznate antinomije. Kasnije je ova teorija bitno pojednostavljena i nazvana je jednostavna teorija tipova.

Glavna ideja teorije tipova je dodjela logički različitih vrsta objekata, uvođenje neke vrste hijerarhije ili ljestvice objekata koji se razmatraju. Najniži ili nulti tip uključuje pojedinačne objekte koji nisu skupovi. Prvi tip uključuje skupove objekata nultog tipa, tj. pojedinci; na drugu - skupovi skupova pojedinaca, itd. Drugim riječima, pravi se razlika između predmeta, svojstava predmeta, svojstava svojstava predmeta itd. Istodobno se uvode određena ograničenja za izradu prijedloga. Svojstva se mogu pripisati objektima, svojstva svojstava svojstvima i tako dalje. Ali nemoguće je smisleno ustvrditi da objekti imaju svojstva svojstava.

Uzmimo niz prijedloga:

Ova kuća je crvena.

Crveno je boja.

Boja je optički fenomen.

U ovim rečenicama, izraz "ova kuća" označava određeni objekt, riječ "crvena" označava svojstvo svojstveno ovom objektu, "biti boja" - na svojstvo ovog svojstva ("biti crveno") i " biti optički fenomen" - označava svojstvo svojstva "biti boja" koje pripada svojstvu "biti crveno". Ovdje se ne bavimo samo objektima i njihovim svojstvima, već i svojstvima svojstava („svojstvo crvene boje ima svojstvo boje“), pa čak i svojstvima svojstava svojstava.

Sve tri rečenice iz gornjeg niza su, naravno, smislene. Izgrađeni su u skladu sa zahtjevima teorije tipova. I recimo da rečenica "Ova kuća je boja" krši te zahtjeve. Predmetu pripisuje ono svojstvo koje može pripadati samo svojstvima, ali ne i predmetima. Slično kršenje sadržano je u rečenici "Ova kuća je optički fenomen." Oba ova prijedloga moraju se klasificirati kao besmislena.

Jednostavna teorija tipova eliminira Russellov paradoks. Međutim, da bi se uklonili paradoksi Lažljivca i Berryja, jednostavno dijeljenje predmeta koji se razmatraju na vrste više nije dovoljno. Potrebno je uvesti dodatno sređivanje unutar samih tipova.

Uklanjanje paradoksa može se postići i izbjegavanjem upotrebe prevelikih skupova, slično skupu svih skupova. Taj je put predložio njemački matematičar E. Zermelo, koji je pojavu paradoksa povezao s neograničenom konstrukcijom skupova. Dopuštene skupove definirao je nekim popisom aksioma formuliranih na takav način da se iz njih ne deduciraju poznati paradoksi. Istovremeno, ti su aksiomi bili dovoljno jaki da iz njih izvedu uobičajene argumente klasične matematike, ali bez paradoksa.

Niti ova dva niti drugi predloženi načini otklanjanja paradoksa nisu općeprihvaćeni. Ne postoji uobičajeno uvjerenje da bilo koja od predloženih teorija rješava logičke paradokse, a ne samo da ih odbacuje bez dubljeg objašnjenja. Problem objašnjenja paradoksa još je uvijek otvoren i još uvijek važan.

G. Frege, najveći logičar prošlog stoljeća, nažalost je imao vrlo loš karakter. Osim toga, bio je bezrezervan, pa čak i surov prema kritici svojih suvremenika.

Možda zato njegov doprinos logici i utemeljenju matematike dugo nije dobio priznanje. A kad ga je počela stizati slava, mladi engleski logičar B. Russell napisao mu je da se pojavljuje proturječje u sustavu objavljenom u prvom svesku njegove knjige The Fundamental Laws of Arithmetic. Drugi svezak ove knjige već je bio u tisku, a Frege mu je mogao dodati samo poseban dodatak, u kojem je skicirao ovu kontradikciju (kasnije nazvanu "Russellov paradoks") i priznao da je nije u stanju otkloniti.

Međutim, posljedice tog priznanja bile su tragične za Fregea. Doživio je najveći šok. I premda je tada imao samo 55 godina, nije objavio još jedno značajnije djelo iz logike, iako je živio više od dvadeset godina. Nije čak ni odgovorio na žustru raspravu koju je izazvao Russellov paradoks, a nije ni na koji način reagirao na mnoga predložena rješenja tog paradoksa.

Dojam koji su novootkriveni paradoksi ostavili na matematičare i logičare dobro je izrazio D. Hilbert: „... Stanje u kojem se sada nalazimo u odnosu na paradokse dugo je nepodnošljivo. Razmislite o tome: u matematici - tom modelu izvjesnosti i istine - formiranje pojmova i tijek zaključivanja, kako ih svi proučavaju, podučavaju i primjenjuju, vodi do apsurda. Gdje tražiti pouzdanost i istinu, ako čak i samo matematičko razmišljanje zakaže?

Frege je bio tipičan predstavnik logike kasnog devetnaestog stoljeća, oslobođene bilo kakvih paradoksa, logike, uvjerene u svoje mogućnosti i pretendirale da budu kriterij strogosti čak i za matematiku. Paradoksi su pokazali da apsolutna strogost postignuta navodnom logikom nije ništa više od iluzije. Nedvojbeno su pokazali da je logici - u intuitivnom obliku kakav je imala na prijelazu stoljeća - potrebna duboka revizija.

Prošlo je otprilike jedno stoljeće otkako je započela živa rasprava o paradoksima. Poduzeta revizija logike nije, međutim, dovela do njihova jednoznačnog rješenja.

A pritom se takvo stanje danas gotovo nikoga ne tiče. S vremenom su stavovi prema paradoksima postali mirniji i čak tolerantniji nego u vrijeme kada su otkriveni. Ne radi se samo o tome da su paradoksi postali nešto poznato. I, naravno, ne da ih trpe. I dalje su u središtu pozornosti logičara, potraga za njihovim rješenjima aktivno se nastavlja. Situacija se promijenila ponajprije zato što su se paradoksi pokazali, da tako kažem, lokalizirani. Našli su svoje određeno, iako turbulentno, mjesto u širokom spektru logičkih studija. Postalo je jasno da je apsolutna štednja, kako se to prikazivalo krajem prošlog, a ponekad i početkom ovog stoljeća, načelno nedostižan ideal.

Također se uvidjelo da ne postoji niti jedan problem paradoksa koji stoji sam za sebe. Problemi povezani s njima su različitih vrsta i utječu, zapravo, na sve glavne dijelove logike. Otkriće paradoksa tjera nas da dublje analiziramo svoje logičke intuicije i da se uključimo u sustavnu preradu temelja znanosti logike. Pritom želja da se izbjegnu paradoksi nije ni jedina, a možda ni glavna zadaća. Iako su važne, one su samo povod za razmišljanje o središnjim temama logike. Nastavljajući usporedbu paradoksa s posebno izraženim simptomima bolesti, može se reći da bi želja za hitnim uklanjanjem paradoksa bila kao želja za uklanjanjem takvih simptoma bez velike brige za samu bolest. Ono što se traži nije samo razrješenje paradoksa, već i njihovo objašnjenje, koje produbljuje naše razumijevanje logičkih obrazaca mišljenja.

I da zaključimo ovu kratku raspravu o logičkim paradoksima, evo nekoliko problema o kojima bi čitatelj mogao razmisliti. Potrebno je odlučiti jesu li navedene tvrdnje i obrazloženja doista logični paradoksi ili se samo čine. Da bi se to postiglo, očito, treba nekako restrukturirati izvorni materijal i pokušati iz njega izvesti proturječje: i afirmaciju i poricanje iste stvari o istoj stvari. Ako se pronađe paradoks, možete razmisliti o tome što uzrokuje njegovu pojavu i kako ga eliminirati. Možete čak pokušati smisliti vlastiti paradoks iste vrste, tj. izgrađen prema istoj shemi, ali na temelju drugih koncepata.

1. Onaj tko kaže: "Ne znam ništa" daje naizgled paradoksalnu, kontradiktornu izjavu. On u biti izjavljuje: "Ja znam da ne znam ništa." Ali spoznaja da znanja nema i dalje je znanje. To znači da govornik, s jedne strane, uvjerava da nema nikakvog znanja, a s druge strane, samom tvrdnjom o tome kaže da on ima neko znanje. Što je ovdje?

Razmišljajući o ovoj poteškoći, može se prisjetiti da je Sokrat pažljivije izrazio sličnu ideju. Rekao je: "Ja samo znam da ne znam ništa." S druge strane, drugi stari Grk, Metrodorus, tvrdio je s potpunim uvjerenjem: "Ne znam ništa i ne znam čak ni da ništa ne znam." Postoji li paradoks u ovoj izjavi?

2. Povijesni događaji su jedinstveni. Povijest je, ako se ponavlja, po poznatom izrazu, prvi put kao tragedija, a drugi put kao farsa. Iz jedinstvenosti povijesnih događaja ponekad se izvodi ideja da povijest ničemu ne uči. “Možda najveća lekcija povijesti”, piše O. Huxley, “doista leži u činjenici da nitko nikad ništa nije naučio iz povijesti.”

Malo je vjerojatno da je ova ideja točna. Prošlost je upravo ono što se proučava uglavnom kako bi se bolje razumjela sadašnjost i budućnost. Druga stvar je da su "lekcije" prošlosti, u pravilu, dvosmislene.

Nije li uvjerenje da povijest ničemu ne uči proturječno? Uostalom, i sama proizlazi iz povijesti kao jedna od njezinih lekcija. Ne bi li bilo bolje da zagovornici ove ideje formuliraju na način da se ne odnosi na njih same: “Povijest uči jedino – iz nje se ništa ne može naučiti” ili “Povijest ne uči ništa osim ove lekcije. njezin"?

3. "Dokazano da nema dokaza." Čini se da je ovo interno kontradiktorna izjava: to je dokaz ili pretpostavlja dokaz koji je već učinjen ("dokazano je da..."), au isto vrijeme tvrdi da nema dokaza.

Poznati antički skeptik Sextus Empiricus predložio je sljedeće rješenje: umjesto gornje tvrdnje prihvatiti tvrdnju “Dokazano je da nema drugog dokaza osim ovoga” (ili: “Dokazano je da nema dokazanog drugog dokaza od ovoga"). Ali nije li ovaj izlaz iluzoran? Uostalom, tvrdi se, u suštini, da postoji samo jedan i jedini dokaz - dokaz o nepostojanju ikakvih dokaza ("Postoji jedan i jedini dokaz: dokaz da nema drugih dokaza"). Što je onda operacija samog dokaza, ako ga je, sudeći po ovoj tvrdnji, bilo moguće izvesti samo jednom? U svakom slučaju, Sextovo vlastito mišljenje o vrijednosti dokaza nije bilo visoko. Posebno je napisao: “Kao što su u pravu oni koji rade bez dokaza, tako su u pravu i oni koji, budući da su skloni sumnji, neutemeljeno iznose suprotno mišljenje.”

4. "Nijedna izjava nije negativna", ili jednostavnije: "Ne postoje negativne izjave." Međutim, sam ovaj izraz je izjava i upravo je negativan. Čini se kao paradoks. Koja bi preformulacija ove izjave mogla izbjeći paradoks?

Srednjovjekovni filozof i logičar Zh. Magarac, kao i svaka druga životinja, nastoji odabrati najbolje od dvije stvari. Dva se naručja potpuno ne razlikuju jedan od drugoga i stoga on ne može preferirati niti jedan od njih. Međutim, ovog "buridanskog magarca" nema u spisima samog Buridana. U logici je Buridan poznat, a posebno po svojoj knjizi o sofizmima. Sadrži sljedeći zaključak, relevantan za našu temu: nijedan iskaz nije negativan; dakle, postoji niječna propozicija. Je li ovaj zaključak opravdan?

5. Poznat je opis N. V. Gogolja Čičikovljeve igre dame s Nozdrevom. Njihova igra nikad nije završila, Chichikov je primijetio da Nozdryov vara i odbio je igrati iz straha od gubitka. Nedavno je stručnjak za nacrte rekonstruirao na temelju primjedbi onih koji su igrali tijek ove igre i pokazao da Čičikovljev položaj još nije beznadan.

Pretpostavimo da je Čičikov ipak nastavio igru ​​i na kraju osvojio partiju, unatoč partnerovoj varki. Prema dogovoru, gubitnik Nozdrjov morao je dati Čičikovu pedeset rubalja i "neko štene srednje klase ili zlatni pečat za sat". Ali Nozdryov bi najvjerojatnije odbio platiti, ističući da je on sam cijelu igru ​​varao, a igranje po pravilima nije, takoreći, igra. Čičikov bi mogao prigovoriti da je ovdje neumjesno govoriti o prijevari: gubitnik je sam varao, što znači da mora platiti tim više.

Doista, bi li Nozdryov morao platiti u takvoj situaciji ili ne? S jedne strane da, jer je izgubio. Ali s druge strane, ne, jer igra koja nije po pravilima uopće nije igra; U takvoj "igri" ne može biti pobjednika ili gubitnika. Da je sam Čičikov varao, Nozdrjev, naravno, ne bi bio dužan platiti. Ali, međutim, varao je gubitnik Nozdryov ...

Ovdje se osjeća nešto paradoksalno: “s jedne strane...”, “s druge strane...”, štoviše, s obje strane jednako je uvjerljivo, iako su te strane nespojive.

Treba li Nozdryov ipak platiti ili ne?

6. "Svako pravilo ima iznimke." Ali ova izjava je sama po sebi pravilo. Kao i sva druga pravila, mora imati iznimke. Takva bi iznimka očito bila pravilo "Postoje pravila koja nemaju iznimke." Ne postoji li u svemu paradoks? Koji od prethodnih primjera sliče ova dva pravila? Je li dopušteno razmišljati ovako: svako pravilo ima iznimke; Znači li to da postoje pravila bez iznimaka?

7. "Svaka generalizacija je pogrešna." Jasno je da ova izjava sažima iskustvo mentalne operacije generalizacije i sama je generalizacija. Kao i sve druge generalizacije, mora biti pogrešna. Dakle, mora postojati istinska generalizacija. Međutim, je li ispravno ovako raspravljati: svaka generalizacija je pogrešna, dakle, postoje istinite generalizacije?

8. Određeni pisac sastavio je "Epitaf svim žanrovima" s ciljem da dokaže da su književni žanrovi, čija je razlika izazvala toliko kontroverzi, mrtvi i da ih se ne može zapamtiti.

No, i epitaf je na određeni način žanr, žanr nadgrobnih natpisa, koji se razvio još u antičko doba i u književnost ušao kao vrsta epigrama:

Ovdje se odmaram: Jimmy Hogg.
Neka mi Bog oprosti moje grijehe,
Što bih ja da sam Bog
A on je pokojni Jimmy Hogg.

Tako epitaf svim žanrovima, bez iznimke, griješi kao nedosljednošću. Koji je najbolji način da se preformulira?

9. "Nikad ne reci nikad." Zabranjujući korištenje riječi "nikad", ovu riječ morate upotrijebiti dva puta!

Čini se da je isti slučaj i sa savjetom: "Vrijeme je da oni koji kažu 'vrijeme je' kažu nešto drugo osim 'vrijeme je'."

Postoji li neobična nedosljednost u takvim savjetima i može li se to izbjeći?

10. U pjesmi „Ne vjeruj“, objavljenoj, naravno, u rubrici „Ironična poezija“, njen autor preporuča da se ne vjeruje ni u što:

... Ne vjerujte u magičnu moć vatre:
Gori dok se u njega stavljaju drva za ogrjev.
Ne vjeruj u konja zlatogrivog
Ni za kakve slatke medenjake!
Ne vjerujte da zvijezda stada
Juri u beskrajnom vihoru.
Ali što će vam onda ostati?
Ne vjeruj što sam rekao.
Ne vjeruj.

(V. Prudovski)

Ali je li ta opća nevjerica stvarna? Naizgled, to je kontradiktorno i stoga logički nemoguće.

11. Pretpostavimo da, suprotno uvriježenom mišljenju, još uvijek postoje nezanimljivi ljudi. Sakupimo ih mentalno zajedno i između njih izaberimo najmanju visinu, najveću težinu ili neku drugu "najviše ...". Ovu osobu bi bilo zanimljivo pogledati pa smo je bespotrebno uvrstili na listu nezanimljivih. Isključivši ga, opet ćemo među preostalima naći “onaj...” u istom smislu, i tako dalje. I sve to dok ne ostane samo jedna osoba s kojom se nema s kim usporediti. No ispada da je upravo to ono što njega zanima! Kao rezultat toga, dolazimo do zaključka da nema nezanimljivih ljudi. A svađa je počela činjenicom da takvi ljudi postoje.

Osobito se može pokušati među nezanimljivim ljudima pronaći najnezanimljiviji od svih nezanimljivih. U tome će on bez sumnje biti zanimljiv, a morat će biti isključen iz nezanimljivih ljudi. Među ostalim, opet, ima najmanje zanimljivih, i tako dalje.

Definitivno postoji dašak paradoksa u ovim argumentima. Postoji li ovdje greška, i ako postoji, koja je?

12. Recimo da ste dobili prazan list papira i uputili ga da na njemu opišete ovaj list. Vi pišete: ovo je pravokutna ploča, bijela, takvih i takvih dimenzija, od prešanih drvenih vlakana itd.

Čini se da je opis potpun. Ali očito je nepotpun! U procesu opisa objekt se promijenio: na njemu se pojavio tekst. Stoga je također potrebno dodati opisu: a osim toga, na ovom listu papira je napisano: ovo je list pravokutnog oblika, bijele boje ... itd. do beskonačnosti.

Ovdje se čini kao paradoks, zar ne?

Dobro poznata dječja pjesmica:

Svećenik je imao psa
Volio ju je
Pojela je komad mesa
On ju je ubio.
Ubijen i pokopan
I na ploči je napisao:
"Svećenik je imao psa..."

Može li ovaj pop ljubitelj ikada završiti svoj nadgrobni spomenik? Ne podsjeća li sastav ovog natpisa na puni opis lista papira na sebi?

13. Jedan autor daje ovaj "suptilan" savjet: "Ako vam mali trikovi ne dopuštaju da postignete ono što želite, pribjegnite velikim trikovima." Ovaj savjet nudi se pod naslovom "Trikovi zanata". Ali je li on doista jedan od onih trikova? Uostalom, "mali trikovi" ne pomažu i upravo zbog toga morate pribjeći ovom savjetu.

14. Igru nazivamo normalnom ako završi u konačnom broju poteza. Primjeri normalnih igara su šah, dama, domine: ove igre uvijek završavaju pobjedom jedne od strana ili neodlučenim rezultatom. Igra, što nije normalno, traje unedogled bez rezultata. Uvedimo i pojam superigre: prvi potez takve igre je odrediti koju igru ​​treba igrati. Ako, na primjer, ti i ja namjeravamo igrati super partiju i ja sam prvi potez, mogu reći: "Igrajmo šah." Tada vi kao odgovor povlačite prvi potez šahovske partije, recimo e2 - e4, a mi nastavljamo partiju do kraja (osobito zbog isteka vremena predviđenog pravilima turnira). Kao prvi potez mogu predložiti igranje tic-tac-toe i slično. Ali igra koju odaberem mora biti normalna; ne možete odabrati igru ​​koja nije normalna.

Pojavljuje se problem: je li sama superigra normalna ili nije? Pretpostavimo da je ovo normalna igra. Budući da može izabrati bilo koju od normalnih igara kao svoj prvi potez, mogu reći, "Igrajmo super igru." Nakon toga, super igra je počela, a sljedeći potez u njoj je vaš. Imate pravo reći: "Igrajmo super igru." Mogu ponoviti: "Igrajmo super igru" i tako se proces može nastaviti unedogled. Stoga se superigra ne odnosi na normalne igre. Ali zbog činjenice da superigra nije normalna, ne mogu predložiti superigru svojim prvim potezom u superigri; Moram izabrati normalnu igru. Ali izbor normalne igre koja ima kraj proturječi dokazanoj činjenici da superigra ne pripada normalnim.

Dakle, je li supergame normalna igra ili nije?

Pokušavajući odgovoriti na ovo pitanje, ne treba, naravno, slijediti jednostavan put čisto verbalnih razlika. Najjednostavnije je reći da je normalna igra igra, a super igrica samo zezancija.

Na koje druge paradokse podsjeća ovaj paradoks da je superigra istovremeno i normalna i abnormalna?

Bayif J.K. Logički zadaci. - M., 1983.

Bourbaki N. Ogledi o povijesti matematike. - M., 1963.

Gardner M. Hajde pogađaj! – M.: 1984.

Ivin A.A. Prema zakonima logike. - M., 1983.

Klini S.K. Matematička logika. - M., 1973.

Smallian R.M. Kako se zove ova knjiga? – M.: 1982.

Smallian R.M. Princeza ili tigar? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Temelji teorije skupova. - M., 1966.

Kakav je značaj paradoksa za logiku?

Koja su rješenja predložena za paradoks lažljivca?

Koje su značajke semantički zatvorenog jezika?

Što je bit paradoksa mnogih običnih skupova?

Postoji li rješenje za spor između Protagore i Euathla? Koja su rješenja predložena za ovaj spor?

Što je bit paradoksa netočnih imena?

Što bi mogla biti osobitost logičkih paradoksa?

Koji zaključci za logiku proizlaze iz postojanja logičkih paradoksa?

Koja je razlika između eliminiranja i objašnjenja paradoksa? Kakva je budućnost logičkih paradoksa?

Pojam logičkog paradoksa

Paradoks lažljivca

Russellov paradoks

Paradoks "Protagora i Euathlus"

Uloga paradoksa u razvoju logike

Izgledi za rješavanje paradoksa

Razlika između jezika i metajezika

Eliminacija i razrješenje paradoksa

Ne postoji iscrpan popis logičkih paradoksa i to je nemoguće.

Razmatrani paradoksi samo su dio svih do sada otkrivenih. Vjerojatno će u budućnosti biti otkriveni i mnogi drugi paradoksi, pa čak i njihove potpuno nove vrste. Sam pojam paradoksa nije toliko određen da bi bilo moguće sastaviti popis barem već poznatih paradoksa.

“Paradoksi teorije skupova vrlo su ozbiljan problem, međutim, ne za matematiku, već prije za logiku i epistemologiju”, piše austrijski matematičar i logičar K. Gödel. “Logika je nedosljedna. Nema logičnih paradoksa”, kaže matematičar D. Bochvar. Takve su razlike ponekad značajne, ponekad verbalne. Stvar je uglavnom u tome što se točno podrazumijeva pod logičkim paradoksom.

Osobitost logičkih paradoksa

Nužna značajka logičkih paradoksa je logički rječnik.

Paradoksi koji su logični moraju biti formulirani u logičkim terminima. Međutim, u logici ne postoje jasni kriteriji za podjelu pojmova na logične i nelogičke. Logika, koja se bavi ispravnošću rasuđivanja, nastoji pojmove o kojima ovisi ispravnost praktično primijenjenih zaključaka svesti na minimum. Ali ovaj minimum nije unaprijed određen jednoznačno. Osim toga, nelogički iskazi također se mogu formulirati u logičkim terminima. Koristi li određeni paradoks samo čisto logičke premise nije uvijek moguće nedvosmisleno odrediti.

Logički paradoksi nisu strogo odvojeni od svih ostalih paradoksa, kao što se potonji ne razlikuju jasno od svega što nije paradoksalno i što je u skladu s prevladavajućim idejama.

Na početku proučavanja logičkih paradoksa činilo se da se oni mogu razlikovati po kršenju nekog još neistraženog stava ili pravila logike. Načelo začaranog kruga koje je uveo B. Russell posebno je aktivno pretendiralo na ulogu takvog pravila. Ovo načelo navodi da kolekcija objekata ne može sadržavati članove definirane samo istom kolekcijom.

Svi paradoksi imaju jednu zajedničku stvar - samoprimjenjivost, odnosno cirkularnost. U svakom od njih predmetni predmet je karakteriziran nekim skupom objekata kojima i sam pripada. Odaberemo li, primjerice, najlukaviju osobu, to činimo uz pomoć populacije ljudi kojoj ta osoba pripada. A ako kažemo: "Ova izjava je lažna", karakteriziramo izjavu koja nas zanima pozivajući se na ukupnost svih lažnih izjava koje je uključuju.

U svim paradoksima postoji samoprimjenjivost pojmova, što znači da postoji, takoreći, kretanje u krugu koje na kraju vodi do početne točke. U nastojanju da karakteriziramo predmet koji nas zanima, okrećemo se skupu objekata koji ga uključuje. Međutim, pokazuje se da je za svoju određenost on sam potreban predmet koji se razmatra i bez njega se ne može jasno razumjeti. U tom krugu možda leži izvor paradoksa.

Situaciju, međutim, komplicira činjenica da takav krug postoji u mnogim potpuno neparadoksalnim argumentima. Kružni je veliki izbor najčešćih, bezopasnih i istovremeno prikladnih načina izražavanja. Takvi primjeri kao što su “najveći od svih gradova”, “najmanji od svih prirodnih brojeva”, “jedan od elektrona atoma željeza” itd., pokazuju da svaki slučaj samoprimjenjivosti ne dovodi do proturječja i da je važan ne samo u običnom jeziku, već iu jeziku znanosti.

Puko upućivanje na korištenje samoprimjenjivih koncepata stoga je nedostatno za diskreditiranje paradoksa. Potreban je neki dodatni kriterij za odvajanje samoprimjenjivosti, koja dovodi do paradoksa, od svih drugih slučajeva iste.

Bilo je mnogo prijedloga u tom smislu, ali nije pronađeno uspješno pojašnjenje cirkularnosti. Pokazalo se da je nemoguće cirkularnost okarakterizirati na način da svako kružno razmišljanje vodi do paradoksa, a svaki je paradoks rezultat nekog kružnog razmišljanja.

Pokušaj pronalaženja nekog specifičnog načela logike, čije bi kršenje bilo obilježje svih logičkih paradoksa, nije doveo ni do čega određenog.

Nedvojbeno bi bila korisna neka vrsta klasifikacije paradoksa, koja bi ih dodatno podijelila na tipove i tipove, grupirajući neke paradokse i suprotstavljajući ih drugima. No, ni u ovom slučaju nije postignuto ništa održivo.

Engleski logičar F. Ramsey, koji je umro 1930. godine, kada još nije imao dvadeset sedam godina, predložio je podijeliti sve paradokse na sintaktičke i semantičke. Prvi uključuje, na primjer, Russellov paradoks, drugi - paradokse "Lažljivca", Grellinga itd.

Prema Ramseyu, paradoksi prve skupine sadrže samo pojmove koji pripadaju logici ili matematici. Potonji uključuju koncepte kao što su "istina", "definibilnost", "imenovanje", "jezik", koji nisu strogo matematički, već su povezani s lingvistikom ili čak teorijom znanja. Čini se da semantički paradoksi svoju pojavu ne duguju nekoj pogrešci u logici, već nejasnoći ili dvosmislenosti nekih nelogičkih pojmova, stoga se problemi koje postavljaju tiču ​​jezika i moraju se riješiti lingvistikom.

Ramseyu se činilo da matematičare i logičare ne moraju zanimati semantički paradoksi. Kasnije se međutim pokazalo da su neki od najznačajnijih rezultata moderne logike dobiveni upravo u vezi s dubljim proučavanjem upravo tih nelogičkih paradoksa.

Podjela paradoksa koju je predložio Ramsey isprva je bila široko korištena, a čak i sada zadržava određenu važnost. Pritom je sve jasnije da je ta podjela prilično nejasna i da se oslanja prvenstveno na primjere, a ne na dubinsku komparativnu analizu dviju skupina paradoksa. Semantički koncepti sada su dobro definirani i teško je ne prepoznati da su ti koncepti doista logični. S razvojem semantike, koja definira svoje osnovne koncepte u terminima teorije skupova, razlika koju je napravio Ramsey sve je više zamagljena.

Paradoksi i moderna logika

Koji zaključci za logiku proizlaze iz postojanja paradoksa?

Prije svega, prisutnost velikog broja paradoksa govori o snazi ​​logike kao znanosti, a ne o njezinoj slabosti, kako bi se moglo činiti.

Nije slučajno što se otkriće paradoksa poklopilo s razdobljem najintenzivnijeg razvoja moderne logike i njezinih najvećih uspjeha.

Prvi paradoksi otkriveni su i prije nastanka logike kao posebne znanosti. U srednjem vijeku otkriveni su mnogi paradoksi. Međutim, kasnije se pokazalo da su zaboravljeni i da su ponovno otkriveni već u našem stoljeću.

Srednjovjekovni logičari nisu poznavali pojmove "skupa" i "elementa skupa", uvedenih u znanost tek u drugoj polovici 19. stoljeća. Ali smisao za paradokse izbrusio se u srednjem vijeku do te mjere da su već u to rano doba izražene određene brige o samoprimjenjivim konceptima. Najjednostavniji primjer za to je pojam "biti sam svoj element" koji se pojavljuje u mnogim današnjim paradoksima.

Međutim, takvi strahovi, kao i sva upozorenja na paradokse općenito, nisu bili sustavni i definitivni sve do našeg stoljeća. Oni nisu doveli do jasnih prijedloga za preispitivanje uobičajenih načina razmišljanja i izražavanja.

Tek je moderna logika otrgla od zaborava sam problem paradoksa, otkrila ili ponovno otkrila većinu specifičnih logičkih paradoksa. Nadalje je pokazala da su načini mišljenja koje tradicionalno istražuje logika potpuno neadekvatni za uklanjanje paradoksa, te naznačila temeljno nove metode suočavanja s njima.

Paradoksi postavljaju važno pitanje: gdje nam, zapravo, ne uspijevaju neke od uobičajenih metoda oblikovanja pojmova i zaključivanja? Uostalom, djelovale su potpuno prirodno i uvjerljivo, dok se nije pokazalo da su paradoksalne.

Paradoksi potkopavaju uvjerenje da uobičajene metode teorijskog mišljenja same po sebi i bez posebne kontrole nad njima osiguravaju pouzdan napredak prema istini.

Zahtijevajući radikalnu promjenu u pretjerano lakovjernom pristupu teoretiziranju, paradoksi su oštra kritika logike u njenom naivnom, intuitivnom obliku. Oni igraju ulogu čimbenika koji kontrolira i ograničava način izgradnje deduktivnih logičkih sustava. A ova njihova uloga može se usporediti s ulogom eksperimenta koji testira ispravnost hipoteza u takvim znanostima kao što su fizika i kemija, i prisiljava ih da unesu promjene u te hipoteze.

Paradoks u teoriji govori o nekompatibilnosti pretpostavki na kojima se temelji. Djeluje kao pravodobno otkriveni simptom bolesti, bez kojeg bi se ona mogla previdjeti.

Naravno, bolest se manifestira na mnogo načina, a na kraju ju je moguće otkriti bez tako akutnih simptoma kao što su paradoksi. Na primjer, temelji teorije skupova bili bi analizirani i pročišćeni čak i da se ne otkriju paradoksi u ovom području. Ali ne bi bilo one oštrine i hitnosti s kojom su paradoksi otkriveni u njoj pokrenuli problem revizije teorije skupova.

Paradoksima je posvećena opsežna literatura, predložen je velik broj njihovih objašnjenja. Ali nijedno od ovih objašnjenja nije univerzalno prihvaćeno, a ne postoji potpuna suglasnost o podrijetlu paradoksa i kako ih se riješiti.

“Tijekom proteklih šezdeset godina stotine knjiga i članaka posvećeno je cilju rješavanja paradoksa, ali rezultati su nevjerojatno loši u usporedbi s uloženim naporima”, piše A. Frenkel. “Čini se kao”, H. Curry zaključuje svoju analizu paradoksa, “da je potrebna potpuna reforma logike, a matematička logika može postati glavno oruđe za provođenje te reforme.”

Eliminacija i objašnjenje paradoksa

Treba uočiti jednu važnu razliku.

Uklanjanje paradoksa i njihovo rješavanje uopće nije ista stvar. Eliminirati paradoks iz neke teorije znači rekonstruirati je na način da se paradoksalna tvrdnja u njoj pokaže nedokazivom. Svaki paradoks se oslanja na veliki broj definicija, pretpostavki i argumenata. Njegov zaključak u teoriji je određeni lanac zaključivanja. Formalno gledano, može se dovesti u pitanje bilo koja njegova karika, odbaciti je i time prekinuti lanac i otkloniti paradoks. U mnogim djelima to se radi i ograničava se na ovo.

Ali to još nije rješenje paradoksa. Nije dovoljno pronaći način da se to isključi, potrebno je uvjerljivo obrazložiti predloženo rješenje. Sama sumnja da neki korak vodi do paradoksa mora biti dobro utemeljena.

Prije svega, odluka o napuštanju nekih logičkih sredstava korištenih u izvođenju paradoksalne izjave mora biti povezana s našim općim razmatranjima u vezi s prirodom logičkog dokaza i drugih logičkih intuicija. Ako to nije slučaj, otklanjanje paradoksa pokazuje se lišenim čvrstih i stabilnih temelja i degenerira se u pretežito tehnički zadatak.

Štoviše, odbacivanje neke pretpostavke, čak i ako omogućuje uklanjanje nekog određenog paradoksa, ne jamči automatski uklanjanje svih paradoksa. To sugerira da paradokse ne treba "loviti" jedan po jedan. Isključivanje jednog od njih uvijek treba biti tako opravdano da postoji određeno jamstvo da će se i drugi paradoksi eliminirati istim korakom.

Svaki put kad se otkrije paradoks, piše A. Tarsky, “moramo podvrgnuti temeljitoj reviziji naše načine razmišljanja, odbaciti neke pretpostavke u koje smo vjerovali i poboljšati metode argumentacije koje smo koristili. Činimo to u nastojanju ne samo da se riješimo antinomija, već i da spriječimo pojavu novih.

I na kraju, nepromišljeno i nemarno odbacivanje previše ili prejakih pretpostavki može jednostavno dovesti do toga da, iako ne sadrži paradokse, ispadne bitno slabija teorija koja ima samo partikularni interes.

Koji može biti minimalni, najmanje radikalan skup mjera za izbjegavanje poznatih paradoksa?

Logička gramatika

Jedan od načina je da se uz istinite i netočne rečenice izdvajaju i besmislene rečenice. Taj je put usvojio B. Russell. On je proglasio paradoksalno razmišljanje besmislenim na temelju toga što krši zahtjeve logičke gramatike. Nije smislena svaka rečenica koja ne krši pravila obične gramatike – ona mora zadovoljiti i pravila posebne, logičke gramatike.

Russell je izgradio teoriju logičkih tipova, neku vrstu logičke gramatike, čiji je zadatak bio eliminirati sve poznate antinomije. Kasnije je ova teorija bitno pojednostavljena i nazvana je jednostavna teorija tipova.

Glavna ideja teorije tipova je dodjela logički različitih vrsta objekata, uvođenje neke vrste hijerarhije ili ljestvice objekata koji se razmatraju. Najniži ili nulti tip uključuje pojedinačne objekte koji nisu skupovi. Prvi tip uključuje skupove objekata nultog tipa, tj. pojedinci; na drugu - skupovi skupova pojedinaca, itd. Drugim riječima, pravi se razlika između predmeta, svojstava predmeta, svojstava svojstava predmeta itd. Istodobno se uvode određena ograničenja za izradu prijedloga. Svojstva se mogu pripisati objektima, svojstva svojstava svojstvima i tako dalje. Ali nemoguće je smisleno ustvrditi da objekti imaju svojstva svojstava.

Uzmimo niz prijedloga:

Ova kuća je crvena.

Crveno je boja.

Boja je optički fenomen.

U ovim rečenicama, izraz "ova kuća" označava određeni objekt, riječ "crvena" označava svojstvo svojstveno ovom objektu, "biti boja" - na svojstvo ovog svojstva ("biti crveno") i " biti optički fenomen" - označava svojstvo svojstva "biti boja" koje pripada svojstvu "biti crveno". Ovdje se ne bavimo samo objektima i njihovim svojstvima, već i svojstvima svojstava („svojstvo crvene boje ima svojstvo boje“), pa čak i svojstvima svojstava svojstava.

Sve tri rečenice iz gornjeg niza su, naravno, smislene. Izgrađeni su u skladu sa zahtjevima teorije tipova. I recimo da rečenica "Ova kuća je boja" krši te zahtjeve. Predmetu pripisuje ono svojstvo koje može pripadati samo svojstvima, ali ne i predmetima. Slično kršenje sadržano je u rečenici "Ova kuća je optički fenomen." Oba ova prijedloga moraju se klasificirati kao besmislena.

Jednostavna teorija tipova eliminira Russellov paradoks. Međutim, da bi se uklonili paradoksi Lažljivca i Berryja, jednostavno dijeljenje predmeta koji se razmatraju na vrste više nije dovoljno. Potrebno je uvesti dodatno sređivanje unutar samih tipova.

Uklanjanje paradoksa može se postići i izbjegavanjem upotrebe prevelikih skupova, slično skupu svih skupova. Taj je put predložio njemački matematičar E. Zermelo, koji je pojavu paradoksa povezao s neograničenom konstrukcijom skupova. Dopuštene skupove definirao je nekim popisom aksioma formuliranih na takav način da se iz njih ne deduciraju poznati paradoksi. Istovremeno, ti su aksiomi bili dovoljno jaki da iz njih izvedu uobičajene argumente klasične matematike, ali bez paradoksa.

Niti ova dva niti drugi predloženi načini otklanjanja paradoksa nisu općeprihvaćeni. Ne postoji uobičajeno uvjerenje da bilo koja od predloženih teorija rješava logičke paradokse, a ne samo da ih odbacuje bez dubljeg objašnjenja. Problem objašnjenja paradoksa još je uvijek otvoren i još uvijek važan.

Budućnost paradoksa

G. Frege, najveći logičar prošlog stoljeća, nažalost je imao vrlo loš karakter. Osim toga, bio je bezrezervan, pa čak i surov prema kritici svojih suvremenika.

Možda zato njegov doprinos logici i utemeljenju matematike dugo nije dobio priznanje. A kad ga je počela stizati slava, mladi engleski logičar B. Russell napisao mu je da se pojavljuje proturječje u sustavu objavljenom u prvom svesku njegove knjige The Fundamental Laws of Arithmetic. Drugi svezak ove knjige već je bio u tisku, a Frege mu je mogao dodati samo poseban dodatak, u kojem je skicirao ovu kontradikciju (kasnije nazvanu "Russellov paradoks") i priznao da je nije u stanju otkloniti.

Međutim, posljedice tog priznanja bile su tragične za Fregea. Doživio je najveći šok. I premda je tada imao samo 55 godina, nije objavio još jedno značajnije djelo iz logike, iako je živio više od dvadeset godina. Nije čak ni odgovorio na žustru raspravu koju je izazvao Russellov paradoks, a nije ni na koji način reagirao na mnoga predložena rješenja tog paradoksa.

Dojam koji su novootkriveni paradoksi ostavili na matematičare i logičare dobro je izrazio D. Hilbert: „... Stanje u kojem se sada nalazimo u odnosu na paradokse dugo je nepodnošljivo. Razmislite: u matematici - tom modelu izvjesnosti i istine - formiranje pojmova i tijek zaključivanja, kako ih svi proučavaju, podučavaju i primjenjuju, vodi do apsurda. Gdje tražiti pouzdanost i istinu, ako čak i samo matematičko razmišljanje zakaže?

Frege je bio tipičan predstavnik logike kasnog devetnaestog stoljeća, oslobođene bilo kakvih paradoksa, logike, uvjerene u svoje mogućnosti i pretendirale da budu kriterij strogosti čak i za matematiku. Paradoksi su pokazali da apsolutna strogost postignuta navodnom logikom nije ništa više od iluzije. Nedvojbeno su pokazali da je logici - u intuitivnom obliku kakav je imala na prijelazu stoljeća - potrebna duboka revizija.

Prošlo je otprilike jedno stoljeće otkako je započela živa rasprava o paradoksima. Poduzeta revizija logike nije, međutim, dovela do njihova jednoznačnog rješenja.

A pritom se takvo stanje danas gotovo nikoga ne tiče. S vremenom su stavovi prema paradoksima postali mirniji i čak tolerantniji nego u vrijeme kada su otkriveni. Ne radi se samo o tome da su paradoksi postali nešto poznato. I, naravno, ne da ih trpe. I dalje su u središtu pozornosti logičara, potraga za njihovim rješenjima aktivno se nastavlja. Situacija se promijenila ponajprije zato što su se paradoksi pokazali, da tako kažem, lokalizirani. Našli su svoje određeno, iako turbulentno, mjesto u širokom spektru logičkih studija. Postalo je jasno da je apsolutna štednja, kako se to prikazivalo krajem prošlog, a ponekad i početkom ovog stoljeća, načelno nedostižan ideal.

Također se uvidjelo da ne postoji niti jedan problem paradoksa koji stoji sam za sebe. Problemi povezani s njima su različitih vrsta i utječu, zapravo, na sve glavne dijelove logike. Otkriće paradoksa tjera nas da dublje analiziramo svoje logičke intuicije i da se uključimo u sustavnu preradu temelja znanosti logike. Pritom želja da se izbjegnu paradoksi nije ni jedina, a možda ni glavna zadaća. Iako su važne, one su samo povod za razmišljanje o središnjim temama logike. Nastavljajući usporedbu paradoksa s posebno izraženim simptomima bolesti, može se reći da bi želja za hitnim uklanjanjem paradoksa bila kao želja za uklanjanjem takvih simptoma bez velike brige za samu bolest. Ono što se traži nije samo razrješenje paradoksa, već i njihovo objašnjenje, koje produbljuje naše razumijevanje logičkih obrazaca mišljenja.

Prema zakonima logike Ivin Alexander Arkhipovich

ŠTO JE LOGIČKI PARADOKS?

Ne postoji iscrpan popis logičkih paradoksa i to je nemoguće.

Razmatrani paradoksi samo su dio svih do sada otkrivenih. Vjerojatno će u budućnosti biti otkriveni mnogi drugi, pa čak i potpuno novi tipovi. Sam pojam paradoksa nije toliko određen da bi bilo moguće sastaviti popis barem već poznatih paradoksa.

“Paradoksi teorije skupova vrlo su ozbiljan problem, međutim, ne za matematiku, već prije za logiku i epistemologiju”, piše austrijski matematičar i logičar K. Gödel. “Logika je nedosljedna. Nema logičnih paradoksa, - kaže sovjetski matematičar D. Bochvar. - Takva odstupanja nekad su značajna, nekad verbalna. Stvar je uglavnom u tome što se točno podrazumijeva pod "logičkim paradoksom".

Nužna značajka logičkih paradoksa je logički rječnik. Paradoksi koji su logični moraju biti formulirani u logičkim terminima. Međutim, u logici ne postoje jasni kriteriji za podjelu pojmova na logičke i izvanlogičke. Logika, koja se bavi ispravnošću rasuđivanja, nastoji pojmove o kojima ovisi ispravnost praktično primijenjenih zaključaka svesti na minimum. Ali ovaj minimum nije unaprijed određen jednoznačno. Osim toga, nelogički iskazi također se mogu formulirati u logičkim terminima. Koristi li određeni paradoks samo čisto logičke premise nije uvijek moguće nedvosmisleno odrediti.

Logički paradoksi nisu strogo odvojeni od svih ostalih paradoksa, kao što se potonji ne razlikuju jasno od svega što nije paradoksalno i što je u skladu s prevladavajućim idejama.

Na početku proučavanja logičkih paradoksa činilo se da se oni mogu razlikovati po kršenju nekog još neistraženog stava ili pravila logike. Posebno je aktivan u preuzimanju uloge takvog pravila bio “princip začaranog kruga” koji je uveo B. Russell. Ovo načelo navodi da kolekcija objekata ne može sadržavati članove definirane samo istom kolekcijom.

Svi paradoksi imaju jednu zajedničku stvar - samoprimjenjivost, odnosno cirkularnost. U svakom od njih predmetni predmet je karakteriziran nekim skupom objekata kojima i sam pripada. Ako izdvojimo npr. neku osobu kao najlukaviju u razredu, to činimo uz pomoć skupa ljudi kojem i ta osoba pripada (uz pomoć "njegovog razreda"). A ako kažemo: "Ova izjava je lažna", karakteriziramo izjavu koja nas zanima pozivajući se na ukupnost svih lažnih izjava koje je uključuju.

U svim paradoksima dolazi do samoprimjenjivosti, što znači da postoji, takoreći, kretanje u krugu koje na kraju vodi do polazišta. U nastojanju da karakteriziramo predmet koji nas zanima, okrećemo se skupu objekata koji ga uključuje. Međutim, pokazuje se da je za svoju određenost on sam potreban predmet koji se razmatra i bez njega se ne može jasno razumjeti. U tom krugu možda leži izvor paradoksa.

Situaciju, međutim, komplicira činjenica da takav krug postoji iu mnogim posve neparadoksalnim argumentima. Kružni je veliki izbor najčešćih, bezopasnih i istovremeno prikladnih načina izražavanja. Takvi primjeri kao što su “najveći od svih gradova”, “najmanji od svih prirodnih brojeva”, “jedan od elektrona atoma željeza” itd., pokazuju da svaki slučaj samoprimjenjivosti ne dovodi do proturječja i da je važan ne samo u običnom jeziku, već iu jeziku znanosti.

Puko upućivanje na korištenje samoprimjenjivih koncepata stoga je nedostatno za diskreditiranje paradoksa. Potreban je neki dodatni kriterij za odvajanje samoprimjenjivosti, koja dovodi do paradoksa, od svih drugih slučajeva iste.

Bilo je mnogo prijedloga u tom smislu, ali nije pronađeno uspješno pojašnjenje cirkularnosti. Pokazalo se da je nemoguće cirkularnost okarakterizirati na način da svako kružno razmišljanje vodi do paradoksa, a svaki je paradoks rezultat nekog kružnog razmišljanja.

Pokušaj pronalaženja nekog specifičnog načela logike, čije bi kršenje bilo obilježje svih logičkih paradoksa, nije doveo ni do čega određenog.

Nedvojbeno bi bila korisna neka vrsta klasifikacije paradoksa, koja bi ih dodatno podijelila na tipove i tipove, grupirajući neke paradokse i suprotstavljajući ih drugima. No, ni u ovom slučaju nije postignuto ništa održivo.

Engleski logičar F. Ramsey, koji je umro 1930. godine, kada još nije imao dvadeset sedam godina, predložio je podijeliti sve paradokse na sintaktičke i semantičke. Prvi uključuje, na primjer, Russellov paradoks, drugi - paradokse "lažljivca", Grellinga itd.

Prema F. Ramseyu, paradoksi prve skupine sadrže samo pojmove koji pripadaju logici ili matematici. Potonji uključuju koncepte kao što su "istina", "definibilnost", "imenovanje", "jezik", koji nisu strogo matematički, već su povezani s lingvistikom ili čak teorijom znanja. Čini se da semantički paradoksi svoju pojavu ne duguju nekoj pogrešci u logici, već nejasnoći ili dvosmislenosti nekih nelogičkih pojmova, stoga se problemi koje postavljaju tiču ​​jezika i moraju se riješiti lingvistikom.

F. Ramseyu se činilo da matematičare i logičare ne moraju zanimati semantički paradoksi.

Kasnije se međutim pokazalo da su neki od najznačajnijih rezultata moderne logike dobiveni upravo u vezi s dubljim proučavanjem upravo tih "nelogičkih" paradoksa.

Podjela paradoksa koju je predložio F. Ramsey isprva je bila široko korištena i zadržala je određeno značenje čak i sada. Pritom je sve jasnije da je ta podjela prilično nejasna i da se oslanja prvenstveno na primjere, a ne na dubinsku komparativnu analizu dviju skupina paradoksa. Semantički koncepti sada su dobro definirani i teško je ne prepoznati da su ti koncepti doista logični. S razvojem semantike, koja svoje temeljne koncepte definira u terminima teorije skupova, razlika koju je napravio F. Ramsey sve je više zamagljena.