Formulacija Pitagorinog teorema Pitagorinih trokuta. Različiti načini dokazivanja Pitagorinog teorema

Shapovalova L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH br. 11)

1. Glazer G.I. Istorija matematike u školi VII - VIII razreda, priručnik za nastavnike, - M: Prosvjeta, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Iza stranica udžbenika matematike“ Priručnik za učenike 5.-6. – M.: Prosvjetljenje, 1989.

3. Zenkevich I.G. „Estetika nastave matematike“. – M.: Prosvjetljenje, 1981.

4. Litzman V. Pitagorin poučak. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pitagora". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Izvan stranica udžbenika algebre". - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometrija u 10. razredu." - M., 1986.

8. List "Matematika" 17/1996.

9. List "Matematika" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Zbirka zadataka iz elementarne matematike". - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. „Matematički priručnik“. - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pitagorina doktrina broja i veličine". - Novosibirsk, 1997.

13. “Realni brojevi. Iracionalni izrazi» 8. razred. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometrija" razred 7-9. – M.: Prosvjetljenje, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Ove akademske godine upoznao sam se sa zanimljivim teoremom, poznatim, kako se pokazalo, od davnina:

"Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na katetama."

Obično se otkriće ove izjave pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VI stoljeće prije Krista). Ali proučavanje drevnih rukopisa pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije rođenja Pitagore.

Pitao sam se zašto se, u ovom slučaju, povezuje s imenom Pitagore.

Relevantnost teme: Pitagorin teorem je od velike važnosti: koristi se u geometriji doslovno na svakom koraku. Vjerujem da su Pitagorina djela još uvijek relevantna, jer kamo god pogledamo, posvuda možemo vidjeti plodove njegovih velikih ideja, utjelovljenih u raznim granama modernog života.

Svrha mog istraživanja bila je: saznati tko je bio Pitagora i kakav je on odnos prema ovom teoremu.

Proučavajući povijest teorema, odlučio sam saznati:

Postoje li drugi dokazi za ovaj teorem?

Kakvo je značenje ovog teorema u životima ljudi?

Kakvu je ulogu u razvoju matematike odigrao Pitagora?

Iz Pitagorine biografije

Pitagora sa Samosa veliki je grčki znanstvenik. Njegova slava povezana je s imenom Pitagorinog teorema. Iako sada već znamo da je ovaj teorem bio poznat u starom Babilonu 1200 godina prije Pitagore, au Egiptu 2000 godina prije njega bio je poznat pravokutni trokut sa stranicama 3, 4, 5, još uvijek ga nazivamo imenom ovog drevnog znanstvenik.

O Pitagorinom životu ne zna se gotovo ništa sa sigurnošću, ali uz njegovo ime veže se velik broj legendi.

Pitagora je rođen 570. godine prije Krista na otoku Samosu.

Pitagora je bio lijepog izgleda, nosio je dugu bradu i zlatnu dijademu na glavi. Pitagora nije ime, već nadimak koji je filozof dobio jer je uvijek govorio ispravno i uvjerljivo, poput grčkog proročišta. (Pitagora - "uvjerljivi govor").

550. godine prije Krista Pitagora donosi odluku i odlazi u Egipat. Dakle, pred Pitagorom se otvara nepoznata zemlja i nepoznata kultura. Mnogo zadivljen i iznenađen Pitagora u ovoj zemlji, a nakon nekoliko promatranja života Egipćana, Pitagora je shvatio da put do znanja, zaštićen od strane svećenika, leži kroz religiju.

Nakon jedanaest godina studija u Egiptu, Pitagora odlazi u svoju domovinu, gdje usput pada u babilonsko sužanjstvo. Tu se upoznaje s babilonskom znanošću, koja je bila razvijenija od egipatske. Babilonci su znali rješavati linearne, kvadratne i neke vrste kubnih jednadžbi. Pobjegavši iz zarobljeništva, nije mogao dugo ostati u domovini zbog atmosfere nasilja i tiranije koja je tamo vladala. Odlučio se preseliti u Croton (grčka kolonija u sjevernoj Italiji).

Upravo u Crotonu počinje najslavnije razdoblje u životu Pitagore. Tamo je osnovao nešto poput vjersko-etičkog bratstva ili tajnog monaškog reda, čiji su članovi bili dužni voditi tzv. pitagorejski način života.

Pitagora i pitagorejci

Pitagora je u grčkoj koloniji na jugu Apeninskog poluotoka organizirao vjersko i etičko bratstvo, poput monaškog reda, koji će kasnije biti nazvan Pitagorina unija. Članovi unije morali su se pridržavati određenih načela: prvo, težiti lijepom i veličanstvenom, drugo, biti korisni, i treće, težiti visokom zadovoljstvu.

Sustav moralnih i etičkih pravila, koje je Pitagora ostavio u naslijeđe svojim učenicima, sastavljen je u svojevrsni moralni kodeks Pitagorejaca "Zlatni stihovi", koji su bili vrlo popularni u doba antike, srednjeg vijeka i renesanse.

Pitagorejski sustav učenja sastojao se od tri dijela:

Učenje o brojevima - aritmetika,

Učenje o figurama - geometrija,

Učenja o građi svemira – astronomija.

Obrazovni sustav koji je postavio Pitagora trajao je mnoga stoljeća.

Pitagorina škola učinila je mnogo da geometrija dobije karakter znanosti. Glavna značajka Pitagorine metode bila je kombinacija geometrije i aritmetike.

Pitagora se dosta bavio proporcijama i progresijama te, vjerojatno, sličnošću figura, budući da je on zaslužan za rješenje problema: “Na temelju zadanih dviju figura konstruiraj treću, jednaku veličini jednoj od podataka i sličnu drugi."

Pitagora i njegovi učenici uveli su koncept poligonalnih, prijateljskih, savršenih brojeva i proučavali njihova svojstva. Aritmetika, kao praksa računanja, nije zanimala Pitagoru, a on je ponosno izjavio da je "aritmetiku stavio iznad interesa trgovca".

Članovi Pitagorejske unije bili su stanovnici mnogih gradova u Grčkoj.

Pitagorejci su također primali žene u svoje društvo. Sindikat je cvjetao više od dvadeset godina, a onda su počeli progoni njegovih članova, mnogi studenti su ubijeni.

Bilo je mnogo različitih legendi o smrti samog Pitagore. Ali učenja Pitagore i njegovih učenika nastavila su živjeti.

Iz povijesti nastanka Pitagorinog teorema

Trenutno je poznato da ovaj teorem nije otkrio Pitagora. Međutim, neki vjeruju da je Pitagora prvi dao njezin potpuni dokaz, dok mu drugi odriču tu zaslugu. Neki pripisuju Pitagori dokaz koji Euklid daje u prvoj knjizi svojih Elemenata. S druge strane, Proklo tvrdi da je dokaz u Elementima zaslužan sam Euklid. Kao što vidimo, povijest matematike nema gotovo nikakvih pouzdanih konkretnih podataka o Pitagorinom životu i njegovoj matematičkoj djelatnosti.

Započnimo naš povijesni pregled Pitagorinog teorema s drevnom Kinom. Ovdje posebnu pozornost privlači matematička knjiga Chu-peija. Ovaj esej govori ovo o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5:

"Ako se pravi kut razloži na njegove sastavne dijelove, tada će crta koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5 kada je baza 3, a visina 4."

Geometrija je kod Hindusa bila usko povezana s kultom. Vrlo je vjerojatno da je teorem o kvadratu hipotenuze već bio poznat u Indiji oko 8. stoljeća pr. Uz čisto ritualne propise, postoje djela geometrijski teološke prirode. U tim spisima, koji datiraju iz 4. ili 5. stoljeća prije Krista, susrećemo konstrukciju pravog kuta pomoću trokuta sa stranicama 15, 36, 39.

U srednjem vijeku Pitagorin poučak definirao je granicu, ako ne najvećeg mogućeg, onda barem dobrog matematičkog znanja. Karakterističan crtež Pitagorinog poučka, koji sada školarci ponekad pretvaraju, na primjer, u cilindar obučen u mantiju profesora ili muškarca, često se u to vrijeme koristio kao simbol matematike.

U zaključku predstavljamo različite formulacije Pitagorinog teorema prevedene s grčkog, latinskog i njemačkog jezika.

Euklidov teorem glasi (doslovan prijevod):

"U pravokutnom trokutu, kvadrat stranice koja obuhvaća pravi kut jednak je kvadratima stranica koje zatvaraju pravi kut."

Kao što vidite, u različitim zemljama i različitim jezicima postoje različite verzije formulacije poznatog teorema. Stvoreni u različito vrijeme i na različitim jezicima, oni odražavaju bit jednog matematičkog obrasca, čiji dokaz također ima nekoliko opcija.

Pet načina za dokazivanje Pitagorinog teorema

drevni kineski dokaz

Na drevnom kineskom crtežu četiri jednaka pravokutna trokuta s katetama a, b i hipotenuzom c složena su tako da njihova vanjska kontura tvori kvadrat sa stranicom a + b, a unutarnja oblikuje kvadrat sa stranicom c, izgrađen na hipotenuza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dokaz J. Gardfielda (1882.)

Posložimo dva jednaka pravokutna trokuta tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog.

Površina razmatranog trapeza nalazi se kao umnožak polovice zbroja baza i visine

S druge strane, površina trapeza jednaka je zbroju površina dobivenih trokuta:

Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo:

Dokaz je jednostavan

Ovaj dokaz dobivamo u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Vjerojatno je teorem započeo s njim.

Doista, dovoljno je samo pogledati popločavanje jednakokračnih pravokutnih trokuta da bismo vidjeli da je teorem točan.

Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 početna trokuta, a kvadrati izgrađeni na katetama sadrže dva. Teorem je dokazan.

Dokaz drevnih Hindusa

Kvadrat sa stranicom (a + b) može se podijeliti na dijelove kao na sl. 12. a, ili kao na si. 12b. Jasno je da su dijelovi 1, 2, 3, 4 isti na obje slike. A ako se od jednakih (površina) oduzmu jednaki, onda će ostati jednaki, tj. c2 = a2 + b2.

Euklidov dokaz

Dva tisućljeća najčešći je bio dokaz Pitagorinog teorema, koji je izmislio Euklid. Nalazi se u njegovoj poznatoj knjizi "Počeci".

Euklid je spustio visinu BH s vrha pravog kuta na hipotenuzu i dokazao da njezin produžetak dijeli kvadrat na hipotenuzi navršen na dva pravokutnika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama.

Crtež korišten u dokazu ovog teorema u šali se naziva "Pitagorine hlače". Dugo je smatran jednim od simbola matematičke znanosti.

Primjena Pitagorinog teorema

Značaj Pitagorinog poučka je u tome što se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina geometrijskih teorema i riješiti mnogi problemi. Osim toga, praktični značaj Pitagorinog teorema i njegovog obrnutog teorema je da se mogu koristiti za pronalaženje duljina segmenata bez mjerenja samih segmenata. To, takoreći, otvara put od ravne linije do ravnine, od ravnine do volumetrijskog prostora i šire. Upravo je iz tog razloga Pitagorin teorem toliko važan za čovječanstvo, koje nastoji otkriti više dimenzija i stvoriti tehnologije u tim dimenzijama.

Zaključak

Pitagorin teorem je toliko poznat da je teško zamisliti osobu koja nije čula za njega. Naučio sam da postoji nekoliko načina da se dokaže Pitagorin teorem. Proučavao sam niz povijesnih i matematičkih izvora, uključujući informacije na internetu, i shvatio da je Pitagorin teorem zanimljiv ne samo zbog svoje povijesti, već i zato što zauzima važno mjesto u životu i znanosti. O tome svjedoče različite interpretacije teksta ovog teorema koje sam dao u ovom radu i načini njegovih dokaza.

Dakle, Pitagorin teorem jedan je od glavnih i, moglo bi se reći, najvažniji teorem geometrije. Njegovo značenje je u tome što se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina geometrijskih teorema. Pitagorin teorem je također izvanredan po tome što sam po sebi nije nimalo očit. Na primjer, svojstva jednakokračnog trokuta mogu se vidjeti izravno na crtežu. Ali koliko god gledali u pravokutni trokut, nikada nećete vidjeti da između njegovih stranica postoji jednostavan odnos: c2 = a2 + b2. Stoga se vizualizacija često koristi za dokazivanje. Zasluga Pitagore bila je u tome što je dao potpuni znanstveni dokaz ovog teorema. Zanimljiva je osobnost samog znanstvenika čije sjećanje nije slučajno sačuvano ovim teoremom. Pitagora je divan govornik, učitelj i odgojitelj, organizator svoje škole, usmjerene na sklad glazbe i brojeva, dobrote i pravde, znanja i zdravog načina života. On bi mogao poslužiti kao primjer nama, dalekim potomcima.

Bibliografska poveznica

Tumanova S.V. NEKOLIKO NAČINA DOKAZIVANJA PITAGORINOG TEOREMA // Start in science. - 2016. - br. 2. - str. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (datum pristupa: 06.04.2019.).

Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanističkim znanostima, ostavljajući prirodno znanstvenu analizu, praktični pristup i suhoparni jezik formula i brojki. Matematika se ne može svrstati u humanističke predmete. Ali bez kreativnosti u "kraljici svih znanosti" nećete daleko stići - za to se zna već dugo. Još od vremena Pitagore, na primjer.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da u matematici nije važno samo natrpati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegova temeljna načela. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um klišeja i elementarnih istina - samo u takvim uvjetima rađaju se sva velika otkrića.

Takva otkrića uključuju i ono koje danas poznajemo kao Pitagorin teorem. Pomoću nje pokušat ćemo pokazati da matematika ne samo da može, nego i treba biti zabavna. I da je ova avantura prikladna ne samo za štrebere s debelim naočalama, već za sve koji su jakog uma i snažnog duha.

Iz povijesti pitanja

Strogo govoreći, iako se teorem naziva "Pitagorin teorem", sam Pitagora ga nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su puno prije njega. Postoje dva polarna gledišta o ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je prvi pronašao potpuni dokaz teorema. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti tko je u pravu, a tko u krivu. Zna se samo da Pitagorin dokaz, ako je i postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da bi poznati dokaz iz Euklidovih Elemenata mogao pripadati Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je također poznato da se problemi o pravokutnom trokutu nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemheta I., na babilonskim glinenim pločicama iz vremena vladavine kralja Hammurabija, u staroindijskoj raspravi Sulva Sutra i starokineskom djelu Zhou -bi suan jin.

Kao što vidite, Pitagorin teorem zaokuplja umove matematičara od davnina. Kao potvrda tome služi oko 367 raznih dokaza koji danas postoje. Nijedan drugi teorem ne može mu se natjecati u tom pogledu. Značajni autori dokaza uključuju Leonarda da Vincija i 20. predsjednika Sjedinjenih Država, Jamesa Garfielda. Sve to govori o iznimnoj važnosti ovog teorema za matematiku: većina geometrijskih teorema je izvedena iz njega ili je na ovaj ili onaj način povezana s njim.

Dokazi Pitagorinog teorema

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali bit teoreme je u geometriji, pa razmotrimo prije svega one dokaze poznatog teoreme koji se temelje na ovoj znanosti.

Dokaz 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorinog poučka za pravokutni trokut potrebno je postaviti idealne uvjete: neka trokut nije samo pravokutan, već i jednakokračan. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari izvorno razmatrali takav trokut.

Izjava "kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim katetama" može se ilustrirati sljedećim crtežom:

Pogledajte jednakokračni pravokutni trokut ABC: Na hipotenuzi AC možete sastaviti kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka izvornom ABC. A na nogama AB i BC izgrađenim na kvadratu od kojih svaka sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj je crtež bio temelj brojnih anegdota i karikatura posvećenih Pitagorinom teoremu. Možda je najpoznatiji "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima":

Dokaz 2

Ova metoda kombinira algebru i geometriju i može se promatrati kao varijanta staroindijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruirajte pravokutni trokut sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim izgradite dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju duljina dva kraka - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri ista trokuta kao na slici 1. Kao rezultat, dobivena su dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu konstruirana četiri slična trokuta tvore kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Zbroj površina konstruiranih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruirali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površina kvadrata na sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimajući površine četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranicom (a+b).

Stavljajući sve ovo dolje, imamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Proširite zagrade, napravite sve potrebne algebarske izračune i dobijte to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. U isto vrijeme, područje upisanog na sl.3. kvadrat se također može izračunati pomoću tradicionalne formule S=c2. Oni. a2+b2=c2 Dokazali ste Pitagorin teorem.

Dokaz 3

Isti taj staroindijski dokaz opisan je u 12. stoljeću u raspravi “Kruna znanja” (“Siddhanta Shiromani”), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkom talentu i moći zapažanja učenika i učenika. sljedbenici: “Vidi!”.

No ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Unutar kvadrata izgradite četiri pravokutna trokuta kao što je prikazano na crtežu. Označena je stranica velikog kvadrata, koja je ujedno i hipotenuza S. Nazovimo noge trokuta a i b. Prema crtežu stranica unutarnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu kvadratne površine S=c2 izračunati površinu vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost zbrajanjem površine unutarnjeg kvadrata i površine sva četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I to vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja dobit ćete formulu Pitagorinog poučka c2=a2+b2. Teorem je dokazan.

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestinska stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. I unutarnji kvadrat sa stranicom c konstruiran je na isti način kao u staroindijskim dokazima danim gore.

Ako mentalno odsiječete dva zelena pravokutna trokuta sa crteža na slici 1, premjestite ih na suprotne strane kvadrata sa stranom c i spojite hipotenuze s hipotenuzama lila trokuta, dobit ćete figuru koja se zove "mladenkin stolac". ” (slika 2). Radi jasnoće, možete učiniti isto s papirnatim kvadratima i trokutima. Vidjet ćete da se "mladenkin stolac" sastoji od dva kvadrata: malih sa stranicom b a velika sa strane a.

Ove su konstrukcije omogućile drevnim kineskim matematičarima i nama koji smo ih slijedili da dođemo do zaključka da c2=a2+b2.

Dokaz 5

Ovo je još jedan način da se na temelju geometrije pronađe rješenje Pitagorinog teorema. Zove se Garfieldova metoda.

Konstruiraj pravokutni trokut ABC. Moramo to dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i izgraditi segment CD, koji je jednak kraku AB. Donja okomica OGLAS segment linije ED. Segmenti ED i AC su jednaki. spoji točke E i NA, kao i E i IZ i dobiti crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovno pribjegavamo metodi koju smo već testirali: nalazimo površinu dobivene figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedan s drugim.

Pronađite površinu poligona KREVET može se učiniti zbrajanjem površina triju trokuta koji ga čine. I jedan od njih ERU, nije samo pravokutan, već i jednakokračan. Ne zaboravimo ni to AB=CD, AC=ED i prije Krista=CE- to će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopteretimo ga. Tako, S KREVET \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Pritom je očito da KREVET je trapez. Stoga njegovu površinu izračunavamo pomoću formule: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Za naše izračune prikladnije je i jasnije prikazati segment OGLAS kao zbroj segmenata AC i CD.

Zapišimo oba načina za izračunavanje površine figure stavljanjem znaka jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata koja nam je već poznata i gore opisana kako bismo pojednostavili desnu stranu notacije: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. A sada otvaramo zagrade i transformiramo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobivamo upravo ono što nam je potrebno: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Teorem smo dokazali.

Naravno, ovaj popis dokaza je daleko od potpunog. Pitagorin teorem također se može dokazati pomoću vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se npr. tekućina ulije u kvadratne i trokutaste volumene slične onima prikazanim na crtežima. Ulijevanjem tekućine moguće je dokazati jednakost površina i sam teorem kao rezultat.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Ovo pitanje se malo ili nikako ne proučava u školskom kurikulumu. U međuvremenu, vrlo je zanimljiv i od velike je važnosti u geometriji. Pitagorine trojke koriste se za rješavanje mnogih matematičkih problema. Ideja o njima može vam koristiti u daljnjem obrazovanju.

Dakle, što su Pitagorine trojke? Takozvani prirodni brojevi, skupljeni u tri, od kojih je zbroj kvadrata dva jednak trećem broju na kvadrat.

Pitagorine trojke mogu biti:

primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
neprimitivnu (ako se svaki broj trojke pomnoži istim brojem, dobiva se nova trojka koja nije primitivna).

Još prije naše ere stari Egipćani bili su fascinirani manijom za brojevima Pitagorinih trojki: u zadacima su razmatrali pravokutni trokut sa stranicama 3,4 i 5 jedinica. Inače, svaki trokut čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke standardno je pravokutan.

Primjeri Pitagorinih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teorema

Pitagorin teorem nalazi primjenu ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorin teorem se u njemu široko koristi u problemima različitih razina složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se radijus velikog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Polumjer manjih polukružnica također se može izraziti u smislu b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima polumjer unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorin teorem samo dobro dođe za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen točkastom linijom. Hipotenuza trokuta sastoji se od dva radijusa: b/4+str. Jedan krak je radijus b/4, drugi b/2-str. Koristeći Pitagorinu teoremu, pišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Pretvorimo ovaj izraz u bp/2=b 2 /4-bp. A onda sve pojmove dijelimo na b, dajemo slične dobiti 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je i trebalo.

Pomoću teorema možete izračunati duljinu rogova za zabatni krov. Odredite kolika je visina mobilnog tornja potrebna da signal stigne do određenog naselja. Pa čak i postojano postavljati božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ovaj teorem ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često koristan u stvarnom životu.

Što se književnosti tiče, Pitagorin je teorem nadahnjivao pisce od antike, a to čini i danas. Na primjer, njemački pisac iz devetnaestog stoljeća Adelbert von Chamisso bio je inspiriran njome da napiše sonet:

Svjetlo istine neće uskoro nestati,
Ali, nakon što je zasjao, malo je vjerojatno da će se raspršiti
I, kao prije tisuća godina,
Neće izazvati sumnje i sporove.

Najmudrije kad dirne u oko
Svjetlo istine, hvala bogovima;
I stotinu bikova, izbodeni, lažu -
Povratni dar sretnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek probudio pleme bikova
događaj spomenut ovdje.

Misle da je krajnje vrijeme
I opet će biti žrtvovani
Neki veliki teorem.

(preveo Viktor Toporov)

A u dvadesetom stoljeću, sovjetski pisac Jevgenij Veltistov u svojoj knjizi "Avanture elektronike" posvetio je cijelo poglavlje dokazima Pitagorinog teorema. I pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorin teorem postao temeljni zakon pa čak i religija za jedan svijet. U njemu bi bilo mnogo lakše živjeti, ali i mnogo dosadnije: tamo, primjerice, nitko ne razumije značenje riječi "okruglo" i "pahuljasto".

A u knjizi “Avanture elektronike” autor kroz usta učiteljice matematike Taratare kaže: “Glavna stvar u matematici je kretanje misli, nove ideje.” Upravo taj kreativni let misli generira Pitagorin teorem - nije uzalud toliko raznolikih dokaza. Pomaže otići dalje od uobičajenog i pogledati poznate stvari na nov način.

Zaključak

Ovaj članak je stvoren kako biste mogli pogledati dalje od školskog kurikuluma iz matematike i naučiti ne samo one dokaze Pitagorinog teorema koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), ali i drugi zanimljivi načini dokazivanja poznatog teorema. Također pogledajte primjere kako se Pitagorin teorem može primijeniti u svakodnevnom životu.

Prvo, ove informacije će vam omogućiti da dobijete više rezultate u nastavi matematike - informacije o toj temi iz dodatnih izvora uvijek su visoko cijenjene.

Drugo, htjeli smo vam pomoći da osjetite koliko je matematika zanimljiva. Da se na konkretnim primjerima uvjeri da u njoj uvijek ima mjesta za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorin teorem i ovaj članak potaknuti na vlastita istraživanja i uzbudljiva otkrića u matematici i drugim znanostima.

Recite nam u komentarima jesu li vam dokazi predstavljeni u članku bili zanimljivi. Jesu li vam ove informacije bile korisne u vašem studiranju? Recite nam što mislite o Pitagorinom teoremu i ovom članku - rado ćemo s vama razgovarati o svemu tome.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

Pitagorin poučak: Zbroj površina kvadrata poduprtih krakovima ( a i b), jednaka je površini kvadrata izgrađenog na hipotenuzi ( c).

Geometrijska formulacija:

Teorem je izvorno formuliran na sljedeći način:

Algebarska formulacija:

To jest, označavanje duljine hipotenuze trokuta kroz c, a duljine krakova kroz a i b :

a 2 + b 2 = c 2

Obje formulacije teorema su ekvivalentne, ali je druga formulacija elementarnija, ne zahtijeva pojam površine. To jest, drugu tvrdnju moguće je provjeriti bez znanja o površini i mjerenjem samo duljina stranica pravokutnog trokuta.

Obrnuta Pitagorina teorema:

Dokaz

Trenutno je u znanstvenoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ovog teorema. Vjerojatno je Pitagorin teorem jedini teorem s tako impresivnim brojem dokaza. Takva se raznolikost može objasniti samo temeljnim značenjem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, pomoću diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trokute

Sljedeći dokaz algebarske formulacije najjednostavniji je od dokaza izgrađenih izravno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravokutni trokut C. Nacrtajmo visinu od C a njegovu bazu označimo sa H. Trokut ACH sličan trokutu ABC na dva ugla. Isto tako, trokut CBH sličan ABC. Uvođenje notnog zapisa

dobivamo

Što je ekvivalentno

Dodavanjem, dobivamo

Dokazi područja

Sljedeći dokazi, unatoč njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz kompliciraniji od dokaza samog Pitagorinog teorema.

Dokaz putem ekvivalencije

Rasporedite četiri jednaka pravokutna trokuta kao što je prikazano na slici 1.
Četverokut sa stranicama c je kvadrat jer je zbroj dva šiljasta kuta 90°, a ravnog kuta 180°.
Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), a s druge strane, zbroju površina četiri trokuta i dva unutarnja kvadrati.

Q.E.D.

Dokazi putem ekvivalencije

Elegantan dokaz permutacije

Primjer jednog od ovih dokaza prikazan je na crtežu desno, gdje se kvadrat izgrađen na hipotenuzi permutacijom pretvara u dva kvadrata izgrađena na katetama.

Euklidov dokaz

Crtež za Euklidov dokaz

Ilustracija za Euklidov dokaz

Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovica površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovica površina kvadrata izgrađenih na katetama, a zatim površine veliki i dva mala kvadrata su jednaki.

Razmotrite crtež s lijeve strane. Na njemu smo sagradili kvadrate stranica pravokutnog trokuta i iz vrha pravog kuta C povukli zraku s okomito na hipotenuzu AB, ona siječe kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravokutnika - BHJI i HAKJ. , odnosno. Ispada da su površine tih pravokutnika točno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim krakovima.

Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK Da bismo to učinili, koristimo se pomoćnim opažanjem: Površina trokuta s istom visinom i bazom kao što je zadano pravokutnik jednak je polovici površine zadanog pravokutnika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao polovice umnoška baze i visine. Iz ovog opažanja slijedi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazano), koji je pak jednak polovici površine pravokutnika AHJK.

Dokažimo sada da je površina trokuta ACK također jednaka polovici površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (jer je površina trokuta BDA jednaka polovici površine kvadrata prema gornjem svojstvu). Ova jednakost je očita, trokuti su jednaki po dvije stranice i kutu između njih. Naime - AB=AK,AD=AC - jednakost kutova CAK i BAD lako je dokazati metodom gibanja: zakrenimo trokut CAK za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očito da će odgovarajuće stranice dvaju razmatranih trokuta podudaraju (zbog činjenice da je kut na vrhu kvadrata 90°).

Argument o jednakosti površina kvadrata BCFG i pravokutnika BHJI potpuno je analogan.

Dakle, dokazali smo da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi zbroj površina kvadrata izgrađenih na nogama. Ideja iza ovog dokaza dodatno je ilustrirana gornjom animacijom.

Dokaz Leonarda da Vincija

Glavni elementi dokaza su simetrija i kretanje.

Razmotrite crtež, kao što se može vidjeti iz simetrije, segmenta Cja secira trg ABHJ na dva identična dijela (od trokuta ABC i JHja jednaki su po konstrukciji). Koristeći rotaciju od 90 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, vidimo jednakost osjenčanih figura CAJja i GDAB . Sada je jasno da je površina figure koju smo osjenčali jednaka zbroju polovice površina kvadrata izgrađenih na nogama i površine izvornog trokuta. S druge strane, jednaka je polovici površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, plus površina izvornog trokuta. Posljednji korak u dokazu prepuštamo čitatelju.

Dokaz infinitezimalnom metodom

Sljedeći dokaz pomoću diferencijalnih jednadžbi često se pripisuje poznatom engleskom matematičaru Hardyju, koji je živio u prvoj polovici 20. stoljeća.

Razmatrajući crtež prikazan na slici i promatrajući promjenu strane a, možemo napisati sljedeću relaciju za infinitezimalne inkremente strane S i a(koristeći slične trokute):

Dokaz infinitezimalnom metodom

Metodom razdvajanja varijabli nalazimo

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja obiju kateta

Integrirajući ovu jednadžbu i koristeći početne uvjete, dobivamo

c 2 = a 2 + b 2 + konstanta.

Tako dolazimo do željenog odgovora

c 2 = a 2 + b 2 .

Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli pojavljuje se zbog linearne proporcionalnosti između stranica trokuta i prirasta, dok je zbroj posljedica neovisnih doprinosa od prirasta različitih krakova.

Jednostavniji dokaz možemo dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast (u ovom slučaju krak b). Zatim za konstantu integracije koju dobivamo

Varijacije i generalizacije

Ako su umjesto kvadrata na nogama konstruirane druge slične figure, tada je sljedeća generalizacija Pitagorinog teorema istinita: U pravokutnom trokutu zbroj površina sličnih figura izgrađenih na nogama jednak je površini figure izgrađene na hipotenuzi. Posebno:
- Zbroj površina pravilnih trokuta izgrađenih na katetama jednak je površini pravilnog trokuta izgrađenog na hipotenuzi.
- Zbroj površina polukruga izgrađenih na nogama (kao na promjeru) jednak je površini polukruga izgrađenog na hipotenuzi. Ovaj primjer služi za dokazivanje svojstava figura omeđenih lukovima dviju kružnica koje nose naziv Hipokratova lunula.

Priča

Chu-pei 500–200 pr. S lijeve strane je natpis: zbroj kvadrata duljina visine i osnovice je kvadrat duljine hipotenuze.

Drevna kineska knjiga Chu-pei govori o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5: U istoj knjizi predlaže se crtež koji se podudara s jednim od crteža hinduističke geometrije Baskhare.

Kantor (najveći njemački povjesničar matematike) smatra da je jednakost 3 ² + 4 ² = 5² bila poznata već Egipćanima oko 2300. pr. e., za vrijeme kralja Amenemheta I. (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonapti ili "strunari" gradili su prave kutove koristeći pravokutne trokute sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmite uže duljine 12 m i privežite ga za njega duž obojene trake na udaljenosti od 3 m. s jednog kraja i 4 metra s drugog. Između stranica duljine 3 i 4 metra bit će zatvoren pravi kut. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se upotrijebi, na primjer, drveni ugao koji koriste svi stolari. Doista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolarsku radionicu.

Nešto više se zna o Pitagorinom teoremu kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, tj. do 2000. pr. e. dan je približan izračun hipotenuze pravokutnog trokuta. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi izračune s pravokutnim trokutima, barem u nekim slučajevima. Na temelju, s jedne strane, današnjeg stupnja znanja egipatske i babilonske matematike, as druge strane, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (nizozemski matematičar) je zaključio sljedeće:

Književnost

Na ruskom

Skopets Z. A. Geometrijske minijature. M., 1990
Yelensky Sh. Na tragu Pitagore. M., 1961
Van der Waerden B. L. Buđenje znanosti. Matematika starog Egipta, Babilona i Grčke. M., 1959
Glazer G.I. Povijest matematike u školi. M., 1982
W. Litzman, "Pitagorin teorem" M., 1960.
- Stranica o Pitagorinom teoremu s velikim brojem dokaza, materijal je preuzet iz knjige W. Litzmana, velik broj crteža predstavljen je kao zasebne grafičke datoteke.
Pitagorin teorem i Pitagorine trojke poglavlje iz knjige D. V. Anosova “Pogled na matematiku i nešto iz nje”
O Pitagorinom teoremu i metodama njegova dokazivanja G. Glaser, akademik Ruske akademije obrazovanja, Moskva

Na engleskom

Pitagorin teorem na WolframMathWorld
Cut-The-Knot, odjeljak o Pitagorinom teoremu, oko 70 dokaza i opširne dodatne informacije (eng.)

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Iz povijesti pitanja

Dokazi Pitagorinog teorema

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali bit teoreme je u geometriji, pa razmotrimo prije svega one dokaze poznatog teoreme koji se temelje na ovoj znanosti.

Dokaz 1

Izjava "kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim katetama" može se ilustrirati sljedećim crtežom:

Inače, ovaj je crtež bio temelj brojnih anegdota i karikatura posvećenih Pitagorinom teoremu. Možda je najpoznatiji "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima":

Dokaz 2

Ova metoda kombinira algebru i geometriju i može se promatrati kao varijanta staroindijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

U prvom kvadratu izgradite četiri ista trokuta kao na slici 1. Kao rezultat, dobivena su dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu konstruirana četiri slična trokuta tvore kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Dokaz 3

No ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestinska stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. I unutarnji kvadrat sa stranicom c konstruiran je na isti način kao u staroindijskim dokazima danim gore.

Ove su konstrukcije omogućile drevnim kineskim matematičarima i nama koji smo ih slijedili da dođemo do zaključka da c2=a2+b2.

Dokaz 5

Ovo je još jedan način da se na temelju geometrije pronađe rješenje Pitagorinog teorema. Zove se Garfieldova metoda.

Konstruiraj pravokutni trokut ABC. Moramo to dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Da bismo dokazali toranj, ponovno pribjegavamo metodi koju smo već testirali: nalazimo površinu dobivene figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedan s drugim.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Dakle, što su Pitagorine trojke? Takozvani prirodni brojevi, skupljeni u tri, od kojih je zbroj kvadrata dva jednak trećem broju na kvadrat.

Pitagorine trojke mogu biti:

primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
neprimitivnu (ako se svaki broj trojke pomnoži istim brojem, dobiva se nova trojka koja nije primitivna).

Praktična primjena teorema

Pitagorin teorem nalazi primjenu ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorin teorem se u njemu široko koristi u problemima različitih razina složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Svjetlo istine neće uskoro nestati,
Ali, nakon što je zasjao, malo je vjerojatno da će se raspršiti
I, kao prije tisuća godina,
Neće izazvati sumnje i sporove.

Najmudrije kad dirne u oko
Svjetlo istine, hvala bogovima;
I stotinu bikova, izbodeni, lažu -
Povratni dar sretnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek probudio pleme bikova
događaj spomenut ovdje.

Misle da je krajnje vrijeme
I opet će biti žrtvovani
Neki veliki teorem.

(preveo Viktor Toporov)

Zaključak

Prvo, ove informacije će vam omogućiti da dobijete više rezultate u nastavi matematike - informacije o toj temi iz dodatnih izvora uvijek su visoko cijenjene.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Pitagorin poučak- jedan od temeljnih teorema euklidske geometrije, koji uspostavlja relaciju

između stranica pravokutnog trokuta.

Vjeruje se da ju je dokazao grčki matematičar Pitagora, po kojem je i dobila ime.

Geometrijska formulacija Pitagorinog poučka.

Teorem je izvorno formuliran na sljedeći način:

U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata,

izgrađen na kateterima.

Algebarska formulacija Pitagorinog teorema.

U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.

To jest, označavanje duljine hipotenuze trokuta kroz c, a duljine krakova kroz a i b:

Obje formulacije pitagorini teoremi su ekvivalentni, ali druga formulacija je elementarnija, nije

zahtijeva koncept područja. Odnosno, druga se izjava može provjeriti bez da se zna nešto o području i

mjerenjem samo duljina stranica pravokutnog trokuta.

Obrnuta Pitagorina teorema.

Ako je kvadrat jedne stranice trokuta jednak zbroju kvadrata druge dvije stranice, tada

trokut je pravokutan.

Ili, drugim riječima:

Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c, tako da

postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuza c.

Pitagorin poučak za jednakokračni trokut.

Pitagorin poučak za jednakostranični trokut.

Dokazi Pitagorinog teorema.

Trenutno je u znanstvenoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ovog teorema. Vjerojatno teorem

Pitagorin je teorem jedini s tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost

može se objasniti samo temeljnim značenjem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih:

dokaz metoda područja, aksiomatski i egzotične dokaze(na primjer,

pomoću diferencijalne jednadžbe).

1. Dokaz Pitagorinog teorema u terminima sličnih trokuta.

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od konstruiranih dokaza

izravno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept područja figure.

Neka ABC postoji pravokutni trokut C. Nacrtajmo visinu od C i označavaju

svoje utemeljenje kroz H.

Trokut ACH sličan trokutu AB C na dva ugla. Isto tako, trokut CBH sličan ABC.

Uvođenjem oznake:

dobivamo:

koji odgovara -

Nakon što je sklopio a 2 i b 2, dobivamo:

ili , što je trebalo dokazati.

2. Dokaz Pitagorinog teorema metodom površina.

Sljedeći dokazi, unatoč njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni

koristiti svojstva površine, čiji je dokaz kompliciraniji od dokaza samog Pitagorinog teorema.

Dokaz ekvikomplementacijom.

Složite četiri jednaka pravokutna

trokuta kao što je prikazano na slici

desno.

Četverokut sa stranicama c- kvadrat,

budući da je zbroj dva šiljasta kuta 90°, i

razvijeni kut je 180°.

Površina cijele figure je, s jedne strane,

površina kvadrata sa stranicom ( a+b), a s druge strane, zbroj površina četiriju trokuta i

Q.E.D.

3. Dokaz Pitagorinog teorema infinitezimalnom metodom.

S obzirom na crtež prikazan na slici, i

promatrajući promjenu stranea, možemo

napišite sljedeću relaciju za beskonačno

mali bočni prirastS i a(koristeći sličnost

trokuta):

Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo:

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja obiju kateta:

Integrirajući ovu jednadžbu i koristeći početne uvjete, dobivamo:

Tako dolazimo do željenog odgovora:

Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli pojavljuje se zbog linearne

razmjernost između stranica trokuta i prirasta, dok je zbroj povezan s nezavisnim

doprinosi od prirasta različitih nogu.

Jednostavniji dokaz možemo dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast

(u ovom slučaju, noga b). Tada za konstantu integracije dobivamo: