Množenje broja običnim razlomkom. Pravila množenja razlomaka brojem

§ 87. Zbrajanje razlomaka.

Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko zadanih brojeva (članova) kombinira u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica pojmova.

Razmotrit ćemo redom tri slučaja:

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer: 1/5 + 2/5.

Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite ga na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 segmenta AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.

Iz crteža se može vidjeti da ako uzmemo segment AD, tada će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenta AC i CD. Dakle, možemo napisati:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Promatrajući te članove i dobiveni iznos, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.

Iz ovoga dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.

Razmotrite primjer:

2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Zbrojimo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:

Međukarika 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.

Dakle, da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zbrojiti njihove brojnike i potpisati zajednički nazivnik.

Razmotrimo primjer (zapisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):

3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

Zbrojimo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Dovedimo najprije razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih prepišimo:

Sada redom zbrojite cijeli i razlomački dio:

§ 88. Oduzimanje razlomaka.

Oduzimanje razlomaka definirano je na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja kojom se, zadanim zbrojem dva člana i jednog od njih, pronalazi drugi član. Razmotrimo redom tri slučaja:

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrite primjer:

13 / 15 - 4 / 15

Uzmimo segment AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Ostavimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.

Trebamo oduzeti 4/15 od 13/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Dakle, možemo napisati:

Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, a nazivnik je ostao isti.

Dakle, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik umanjenika od brojnika umanjenika i ostaviti isti nazivnik.

2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer. 3/4 - 5/8

Prvo, svedimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:

Međukarika 6 / 8 - 5 / 8 je ovdje napisana radi jasnoće, ali se ubuduće može preskočiti.

Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika umanjenika oduzeti brojnik umanjenika i pod njihovu razliku potpisati zajednički nazivnik.

Razmotrite primjer:

3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

Primjer. 10 3/4 - 7 2/3.

Dovedimo razlomke manjeg i umanjenog na najmanji zajednički nazivnik:

Oduzeli smo cjelinu od cjeline i razlomak od razlomka. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio umanjenika veći od razlomačkog dijela umanjenika. U takvim slučajevima treba uzeti jednu jedinicu od cijelog dijela reduciranog, podijeliti ga na one dijelove u kojima je izražen razlomački dio i dodati razlomačkom dijelu reduciranog. I tada će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:

§ 89. Množenje razlomaka.

Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam kamate.
7. Određivanje postotaka zadanog broja. Razmotrimo ih redom.

1. Množenje razlomka cijelim brojem.

Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množnika) cijelim brojem (množiteljem) znači sastavljanje zbroja istih članova, pri čemu je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, onda to možete učiniti ovako:

Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Posljedično,

Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka s cijelim brojem jednako povećanju ovog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegovog brojnika

ili smanjenjem njegovog nazivnika , onda možemo ili pomnožiti brojnik s cijelim brojem, ili podijeliti nazivnik s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste pomnožili razlomak s cijelim brojem, morate pomnožiti brojnik s ovim cijelim brojem i ostaviti nazivnik istim ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik s tim brojem, ostavljajući brojnik nepromijenjenim.

Prilikom množenja moguće su kratice, npr.

2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Postoje mnogi problemi u kojima morate pronaći, odnosno izračunati, dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i ostalih je u tome što daju broj nekih predmeta ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je i ovdje označen određenim razlomkom. Radi lakšeg razumijevanja, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.

Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca sam potrošio na kupovinu knjiga. Koliko su koštale knjige?

Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prevalio 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?

Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, od kojih su 3/4 zidane, ostale su drvene. Koliko ima kuća od cigle?

Evo nekih od mnogih problema s kojima se moramo suočiti da bismo pronašli razlomak zadanog broja. Obično se nazivaju zadacima traženja razlomka zadanog broja.

Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 s 3:

Problem 2 rješenje. Smisao problema je da trebate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunajte prvu 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni kvocijent, odnosno pomnožiti s 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, koje su 3/4 od 400. Hajde prvo pronaći 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Da bismo izračunali tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent treba utrostručiti, odnosno pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:

Da biste pronašli vrijednost razlomka određenog broja, morate taj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti dobiveni kvocijent s njegovim brojnikom.

3. Množenje cijelog broja razlomkom.

Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje identičnih članova (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). U ovom stavku (stavak 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja identičnih članova koji su jednaki tom razlomku.

U oba slučaja množenje se sastojalo u pronalaženju zbroja identičnih članova.

Sada prelazimo na množenje cijelog broja razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očito da prethodna definicija množenja ne vrijedi za ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.

Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba razumjeti pod množenjem razlomkom, kako tu radnju treba razumjeti.

Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množiteljem) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalazak 2/3 od devet jedinica. U prethodnom odlomku takvi su problemi riješeni; tako da je lako shvatiti da na kraju imamo 6.

Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto se takve naizgled različite radnje kao što su pronalaženje zbroja jednakih brojeva i pronalaženje ulomka broja u aritmetici nazivaju istom riječju "množenje"?

To se događa jer prethodna radnja (više puta ponavljanje broja s članovima) i nova radnja (traženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od toga da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.

Da biste to razumjeli, razmislite o sljedećem problemu: „1 metar tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?

Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalja).

Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?

Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).

Također možete promijeniti brojeve u njemu nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzeti 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.

Kako su ovi zadaci istog sadržaja i razlikuju se samo u brojevima, radnje kojima se rješavaju nazivamo istom riječju – množenje.

Kako se cijeli broj množi razlomkom?

Uzmimo brojeve na koje smo naišli u posljednjem problemu:

Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 od 50 je .

Slijedom toga.

Razmotrite još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?

1/8 od 12 je 12/8,

5/8 od broja 12 je .

Posljedično,

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste pomnožili cijeli broj s razlomkom, morate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i taj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.

Ovo pravilo pišemo slovima:

Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom množenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38.

Morate imati na umu da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) posjekotine, na primjer:

4. Množenje razlomka razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kod množenja razlomka razlomkom treba pronaći razlomak u množitelju iz prvog razlomka (množnika).

Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.

Kako se množi razlomak s razlomkom?

Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da trebate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7

1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:

5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:

Na ovaj način,

Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.

1/9 od 5/8 je,

4/9 brojevi 5/8 su .

Na ovaj način,

Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:

Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i tako da prvi umnožak bude brojnik, a drugi umnožak nazivnik umnoška.

Ovo se pravilo općenito može napisati na sljedeći način:

Prilikom množenja potrebno je (ako je moguće) smanjiti. Razmotrite primjere:

5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi mogu lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ta se okolnost obično koristi pri množenju mješovitih brojeva. To znači da u onim slučajevima gdje su množenik, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, tada se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvorimo u nepravi razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom:

Pravilo. Da biste množili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim množiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom.

Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:

6. Pojam kamate. Prilikom rješavanja zadataka i izvođenja raznih praktičnih izračuna koristimo sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine za sebe ne dopuštaju bilo kakve, već prirodne potpodjele. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotine su 2 kopejke, tri stotinke su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktički ne Ne uzimajte, na primjer, 2/7 rublje jer se rublja ne dijeli na sedmine.

Mjerna jedinica za težinu, tj. kilogram, dopušta prije svega decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve dijelove kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/ 13 je neuobičajeno.

Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalno dijeljenje.

Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (ujednačenu) metodu podjele količina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je takva opravdana podjela podjela na "stotinke". Razmotrimo nekoliko primjera koji se odnose na najrazličitija područja ljudske prakse.

1. Cijena knjiga smanjena je za 12/100 prethodne cijene.

Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Pala je za 1 rublju. 20 kop.

2. Štedionice isplaćuju tijekom godine štedišama 2/100 iznosa položenog na štednju.

Primjer. U blagajnu se stavlja 500 rubalja, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.

3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.

PRIMJER U školi je studiralo samo 1200 učenika, a 60 ih je završilo školu.

Stoti dio broja naziva se postotak..

Riječ "posto" je posuđena iz latinskog jezika i njen korijen "cent" znači stotinu. Zajedno s prijedlogom (pro centum), ova riječ znači "za sto". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u starom Rimu kamata bila novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svaku stotinu". Riječ "cent" čuje se u tako poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).

Na primjer, umjesto da kažemo da je tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tijekom prošlog mjeseca, reći ćemo ovo: tvornica je proizvela jedan posto otpada tijekom prošlog mjeseca. Umjesto da kažemo: tvornica je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: tvornica je premašila plan za 4 posto.

Gornji primjeri mogu se izraziti drugačije:

1. Cijena knjiga snižena je za 12 posto u odnosu na prethodnu cijenu.

2. Štedionice isplaćuju štedišama 2 posto godišnje od iznosa položenog na štednju.

3. Broj maturanata jedne škole bio je 5 posto od broja svih učenika škole.

Da bi se slovo skratilo, uobičajeno je da se umjesto riječi "postotak" piše znak %.

Međutim, treba imati na umu da se znak % obično ne piše u izračunima, može se napisati u izjavi problema iu konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovom ikonom.

Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj s navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:

Nasuprot tome, morate se naviknuti pisati cijeli broj s označenom ikonom umjesto razlomka s nazivnikom 100:

7. Određivanje postotaka zadanog broja.

Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, od čega ogrjevno drvo breze čini 30%. Koliko je bilo brezovih drva?

Značenje ovog problema je da je ogrjevno drvo od breze bilo samo dio drva za ogrjev koji je isporučen školi, a taj dio je izražen razlomkom od 30/100. Dakle, suočeni smo sa zadatkom da pronađemo razlomak broja. Da bismo ga riješili, moramo pomnožiti 200 sa 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja razlomkom.).

Dakle, 30% od 200 je jednako 60.

Razlomak 30 / 100 koji se susreće u ovom problemu može se smanjiti za 10. Bilo bi moguće izvršiti ovu redukciju od samog početka; rješenje problema ne bi se promijenilo.

Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djece od 11 godina bilo je 21%, djece od 12 godina bilo je 61% i konačno 13-godišnjaka bilo je 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u kampu?

U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri izračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.

Dakle, ovdje će biti potrebno tri puta pronaći razlomak broja. Učinimo to:

1) Koliko je djece imalo 11 godina?

2) Koliko je djece imalo 12 godina?

3) Koliko je djece imalo 13 godina?

Nakon rješavanja zadatka korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Također treba obratiti pozornost na činjenicu da je zbroj postotaka danih u uvjetu zadatka 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To sugerira da je ukupan broj djece u logoru uzet kao 100%.

3 a da cha 3. Radnik je dobivao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% trošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% je uštedio. Koliko je novca potrošeno za potrebe navedene u zadatku?

Da biste riješili ovaj problem, morate 5 puta pronaći razlomak broja 1200. Učinimo to.

1) Koliko se novca troši na hranu? U zadatku stoji da je taj trošak 65% svih zarada, odnosno 65/100 od broja 1200. Izračunajmo:

2) Koliko je novca plaćen stan s grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedećeg izračuna:

3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?

4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?

5) Koliko je novca radnik uštedio?

Za provjeru je korisno zbrojiti brojeve iz ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sva zarada je uzeta kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u tvrdnji problema.

Riješili smo tri problema. Unatoč tome što su ti zadaci bili različiti (doprema drva za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima trebalo pronaći nekoliko postotaka od zadanih brojeva.

§ 90. Dijeljenje razlomaka.

Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

Razmotrimo ih redom.

1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.

Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u tome da se za umnožak dva faktora (dividenda) i jednog od tih faktora (djelitelj) pronađe drugi faktor.

Dijeljenje cijelog broja s cijelim brojem razmatrali smo u odjelu cijelih brojeva. Tu smo susreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, odnosno "u cijelosti" (150 : 10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100 : 9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva možemo smatrati mogućim (isključuje se samo dijeljenje nulom).

Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronalaženje broja čiji bi umnožak puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.

Dakle, da biste cijeli broj podijelili s cijelim brojem, morate napraviti razlomak, čiji je brojnik jednak djelitelju, a nazivnik je djelitelj.

2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.

Razlomak 6 / 7 podijelite s 3. Prema gore navedenoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6 / 7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor koji bi, kada se pomnoži s 3, dao zadani umnožak 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji smo postavili bio smanjiti razlomak 6/7 3 puta.

Već znamo da se razlomak može smanjiti smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:

U ovom slučaju je brojnik 6 djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti 3 puta.

Uzmimo još jedan primjer: 5/8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da će se nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:

Na temelju toga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili s cijelim brojem, morate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.

3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.

Neka se traži 5 podijeliti s 1/2, tj. pronaći broj koji će nakon množenja s 1/2 dati umnožak 5. Očito, taj broj mora biti veći od 5, budući da je 1/2 pravilan razlomak, a kod množenja broja pravilnim razlomkom umnožak mora biti manji od množenika. Da bi bilo jasnije, zapišimo svoje radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , dakle x 1/2 \u003d 5.

Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada se pomnoži s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 tog broja, tada, dakle, 1/2 nepoznatog broja x je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 \u003d 10.

Dakle, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Provjerimo:

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 s 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).

Sl.19

Nacrtaj odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, te svaku jedinicu podijeli na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobivenih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinica 9 puta, odnosno, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Posljedično,

Kako doći do ovog rezultata bez crteža koristeći samo izračune? Raspravljat ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 s 2/3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko je puta 2/3 sadržano u 6. Utvrdimo prvo: koliko je puta 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, tj. 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo pomnožiti 6 s 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje puta, tj. 18: 2 = 9 . Stoga smo pri dijeljenju 6 s 2/3 učinili sljedeće:

Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, morate taj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom zadanog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.

Pravilo pišemo slovima:

Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.

Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.

4. Dijeljenje razlomka razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 3/4 s 3/8. Što će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko je puta razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).

Uzmite dužinu AB, uzmite je kao jedinicu, podijelite je na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će segment AB biti podijeljen na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta lukovima, tada će svaki od segmenta AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja može se napisati ovako:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 s 3/32:

Možemo razmišljati ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon što se pomnoži s 3/32, dati umnožak jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 nepoznati broj x čine 15/16

1/32 nepoznati broj x je,

32 / 32 broja x šminka .

Posljedično,

Dakle, da biste razlomak podijelili s razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti s brojnikom drugog i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugo nazivnik.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.

5. Dijeljenje mješovitih brojeva.

Kod dijeljenja mješovitih brojeva treba ih prvo pretvoriti u neprave razlomke, a zatim dobivene razlomke podijeliti prema pravilima dijeljenja razlomaka. Razmotrite primjer:

Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke:

Sada podijelimo:

Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u neprave razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.

6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.

Među raznim zadacima o razlomcima ponekad se nalaze i oni u kojima je zadana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ova vrsta problema bit će inverzna problemu pronalaženja razlomka zadanog broja; tamo je dan broj i potrebno je pronaći neki razlomak ovog broja, ovdje je dan razlomak broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.

Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima ova kuća?

Odluka. Zadatak kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da ukupno ima 3 puta više prozora, tj.

Kuća je imala 150 prozora.

Zadatak 2. Trgovina je prodala 1500 kg brašna, što je 3/8 ukupnih zaliha brašna u trgovini. Kolika je bila početna zaliha brašna u trgovini?

Odluka. Iz uvjeta zadatka je vidljivo da prodanih 1.500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste je izračunali, trebate smanjiti 1500 3 puta:

1500: 3 = 500 (to je 1/8 dionica).

Očito će cjelokupna zaliha biti 8 puta veća. Posljedično,

500 8 \u003d 4000 (kg).

Početna zaliha brašna u trgovini bila je 4000 kg.

Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.

Da biste pronašli broj prema zadanoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je tu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti s nazivnikom razlomka.

Riješili smo dva zadatka o pronalaženju broja zadanog njegovog razlomka. Takvi se zadaci, kao što se posebno dobro vidi iz posljednjeg, rješavaju dvije radnje: dijeljenjem (kada se nađe jedan dio) i množenjem (kada se nađe cijeli broj).

Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, gore navedene probleme možemo riješiti jednom radnjom, naime: dijeljenjem razlomkom.

Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti jednom akcijom ovako:

Ubuduće ćemo problem nalaženja broja njegovim razlomkom rješavati jednom radnjom – dijeljenjem.

7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, znajući nekoliko postotaka tog broja.

Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio na štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)

Značenje problema je u tome što sam određeni iznos novca položio u štedionicu i tamo ležao godinu dana. Nakon godinu dana dobio sam od nje 60 rubalja. prihoda, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?

Dakle, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Podjelom se rješavaju sljedeći zadaci:

Dakle, 3000 rubalja stavljeno je u štedionicu.

Zadatak 2. Ribiči su u dva tjedna ispunili mjesečni plan za 64 posto, ulovivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?

Iz stanja problema poznato je da su ribari dio plana ispunili. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Koliko tona ribe treba uloviti prema planu, ne znamo. Rješenje problema sastoji se u pronalaženju tog broja.

Takvi se zadaci rješavaju dijeljenjem:

Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.

Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera koji je prolazio koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: “Već smo prešli 30% cijelog puta.” Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?

Iz uvjeta zadatka vidljivo je da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cijeli:

§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.

Uzmite razlomak 2/3 i premjestite brojnik na mjesto nazivnika, dobit ćemo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročnu vrijednost ovoga.

Da biste dobili razlomak koji je recipročan razlomku, potrebno je njegov brojnik staviti na mjesto nazivnika, a nazivnik na mjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:

3/4, obrnuto 4/3; 5/6 , obrnuto 6/5

Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvoga nazivnik drugoga, a nazivnik prvoga brojnik drugoga nazivaju se međusobno inverzni.

Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročna vrijednost 1/2. Očito će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije usamljen; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročne vrijednosti će biti cijeli brojevi, na primjer:

1/3, obrnuto 3; 1/5, obrnuto 5

Budući da smo se pri pronalaženju recipročnih veličina susreli i s cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim veličinama, već o recipročnim veličinama.

Smislimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke se to rješava jednostavno: trebate staviti nazivnik na mjesto brojnika. Na isti način možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. Stoga će recipročna vrijednost broja 7 biti 1/7, jer 7 = 7/1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1

Ova ideja se može izraziti na drugi način: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan sa zadanim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Doista, ako želite napisati broj koji je recipročan razlomku 5/9, tada možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, tj.

Istaknimo sada jednu vlasništvo međusobno recipročne brojeve, koji će nam biti od koristi: umnožak međusobno recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:

Koristeći ovo svojstvo, recipročne vrijednosti možemo pronaći na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost od 8.

Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1/8. Nađimo još jedan broj, inverzan od 7/12, označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1:7 / 12 ili x = 12 / 7 .

Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o dijeljenju razlomaka.

Kada podijelimo broj 6 sa 3 / 5, tada radimo sljedeće:

Obratite posebnu pozornost na izraz i usporedite ga sa zadanim: .

Ako izraz uzmemo zasebno, bez veze s prethodnim, tada je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende recipročnom vrijednošću djelitelja.

Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.

) a nazivnik nazivnikom (dobivamo nazivnik umnoška).

Formula množenja razlomaka:

Na primjer:

Prije nastavka množenja brojnika i nazivnika potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, bit će vam lakše nastaviti s izračunima.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojem.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti mješovite razlomke u neprave;
• množiti brojnike i nazivnike razlomaka;
• smanjujemo razlomak;
• ako dobijemo nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti.

Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravih razlomaka, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da bismo razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.

Višerazinski razlomci.

U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se dijeljenje kroz 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.

Bilješka, na primjer:

Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve proračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u svojoj glavi.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka – prijeći na vrstu običnih razlomaka.

3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.

4. Donosimo višerazinske frakcijske izraze u obične, koristeći dijeljenje kroz 2 točke.

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.

Zadnji put smo naučili zbrajati i oduzimati razlomke (vidi lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su te operacije još lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate zasebno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj bit će brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, morate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim.

Oznaka:

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste preokrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja može nastati smanjeni ulomak (i ​​često nastaje) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokazao netočnim, u njemu treba izdvojiti cijeli dio. Ali ono što se točno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: nema unakrsnih metoda, maksimalni faktori i najmanji zajednički višekratnici.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim i negativnim razlomcima

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dvije negativne riječi čine potvrdnu.

Do sada su se ova pravila susrela samo kod zbrajanja i oduzimanja negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

1. Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije pronašao podudaranje;
2. Ako nema preostalih minusa, operacija je završena - možete započeti množenje. Ako zadnji minus nije prekrižen, budući da nije našao par, izbacujemo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Sve razlomke prevodimo u neprave, a zatim minuse izbacujemo izvan granica množenja. Ono što ostane umnožava se prema uobičajenim pravilima. Dobivamo:

Još jednom podsjećam da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli dio (ovo se odnosi na zadnja dva primjera).

Također obratite pozornost na negativne brojeve: kada se množe, oni su u zagradama. To je učinjeno kako bi se odvojili minusi od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje razlomaka u hodu

Množenje je vrlo naporna operacija. Ovdje su brojke prilično velike, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu reducirati korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima crvenom bojom označeni su brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svom mjestu, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpuno smanjenje, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku ​​pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje samo želite smanjiti. Evo, pogledajte:

Ne možete to učiniti!

Pogreška se javlja zbog činjenice da se pri zbrajanju razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da se to svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjivanje razlomaka, pa ispravno rješenje prethodnog zadatka izgleda ovako:

Točno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Množenje običnih razlomaka

Razmotrite primjer.

Neka se na tanjuru nalazi $\frac(1)(3)$ dio jabuke. Moramo pronaći $\frac(1)(2)$ dio toga. Traženi dio je rezultat množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je obični razlomak.

Množenje dva obična razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka s razlomkom je razlomak čiji je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženih razlomaka, a nazivnik jednak umnošku nazivnika:

Primjer 1

Pomnožite obične razlomke $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Odluka.

Poslužimo se pravilom množenja običnih razlomaka:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Odgovor:$\frac(15)(77)$

Ako se kao rezultat množenja razlomaka dobije poništivi ili nepravi razlomak, potrebno ga je pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Odluka.

Za množenje običnih razlomaka koristimo pravilo:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kao rezultat, dobili smo svodivi razlomak (na temelju dijeljenja s $3$. Podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s $3$, dobivamo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Odgovor:$\frac(1)(24).$

Kada množite razlomke, možete smanjiti brojnike i nazivnike kako biste pronašli njihov umnožak. U tom se slučaju brojnik i nazivnik razlomka rastavljaju na jednostavne faktore, nakon čega se reduciraju ponavljajući faktori i pronalazi rezultat.

Primjer 3

Izračunajte umnožak razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Odluka.

Upotrijebimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očito, brojnik i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu reducirati brojevima $2$, $3$ i $5$. Rastavljamo brojnik i nazivnik na jednostavne faktore i vršimo redukciju:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Odgovor:$\frac(1)(20).$

Pri množenju razlomaka može se primijeniti komutativni zakon:

Množenje razlomka prirodnim brojem

Pravilo množenja običnog razlomka prirodnim brojem:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka s prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $\frac(a)(b)$ obični razlomak, $n$ je prirodni broj.

Primjer 4

Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ sa $4$.

Odluka.

Poslužimo se pravilom množenja običnog razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja na kontraktibilnost razlomka ili nepravilnog razlomka.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ sa $3$.

Odluka.

Upotrijebimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Prema kriteriju dijeljenja s brojem $3$), može se odrediti da se dobiveni razlomak može smanjiti:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je nepravi razlomak. Uzmimo cijeli dio:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (pet)\]

Također je bilo moguće smanjiti razlomke zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim proširenjem na proste faktore. U ovom slučaju rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Odgovor:$1\frac(2)(5).$

Kada razlomak množite prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:

Dijeljenje običnih razlomaka

Operacija dijeljenja je obratna od množenja, a njen rezultat je razlomak s kojim trebate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznati umnožak dvaju razlomaka.

Dijeljenje dva obična razlomka

Pravilo dijeljenja običnih razlomaka: Očito, brojnik i nazivnik dobivenog razlomka mogu se rastaviti na jednostavne faktore i smanjiti:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak, iz kojeg odabiremo cijeli dio:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Odgovor:$1\frac(5)(9).$

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo konstantne jedinice vremena na recipročne. S fizičke strane to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:

U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača puzati sto koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još uvijek su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba miješati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 4. srpnja 2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, kod kojih je um odsutan od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta za vrijeme ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i rasporedimo ga na stolu u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzmemo po jednu novčanicu i damo matematičaru njegovu "matematičku plaću". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.

Prije svega, proradit će zastupnička logika: "možete na druge, ali ne na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar izbezumljeno prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki je novčić jedinstven...

I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir nazive istih stadiona, dobivamo puno, jer su nazivi različiti. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup u isto vrijeme. Kako u redu? I tu matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to elementarno mogu.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u brojčani grafički simbol. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku režemo na više slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dobivene brojeve zbrojite. E sad, to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stajališta matematike nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima brojeva zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavarati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nisu samo brojke.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko izvodi tu radnju.

Znak na vratima Otvara vrata i kaže:

Joj! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neograničene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica prema dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.