Urna sadrži crne i bijele. Problemi s loptama
Zadatak 174tv
a) 3 bijele kuglice;
b) manje od 3 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Zadatak 176tv
Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da se među njima nalazi:
a) 3 bijele kuglice;
b) manje od 3 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Zadatak 178tv
Urna sadrži 4 crne i 5 bijelih kuglica. Nasumično se izvlače 4 kuglice. Odredite vjerojatnost da se među njima nalazi:
a) 2 bijele kuglice;
b) manje od 2 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Zadatak 180tv
Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlače 4 kuglice. Odredite vjerojatnost da se među njima nalazi:
a) 4 bijele kuglice;
b) manje od 4 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Zadatak 184tv
Urna sadrži 8 crnih i 6 bijelih kuglica. Nasumično se izvlače 4 kuglice. Odredite vjerojatnost da se među njima nalazi:
a) 3 bijele kuglice;
b) manje od 3 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Zadatak 186tv
Urna sadrži 4 crne i 6 bijelih kuglica. Nasumično se izvlače 4 kuglice. Odredite vjerojatnost da se među njima nalazi:
a) 3 bijele kuglice;
b) manje od 3 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Zadatak 188tv
Urna sadrži 5 crnih i 6 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da se među njima nalazi:
a) 4 bijele kuglice;
b) manje od 4 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Posao #1
slučajni događaji
6 opcija.
Zadatak 1.1. Baci tri novčića. Nađite vjerojatnost da se "grb" pojavljuje na samo dva novčića.
Istraženi događaj A - samo dva novčića od tri imat će grb. Novčić ima dvije strane, što znači da će pri bacanju tri novčića biti 8 događaja.U tri slučaja samo dva novčića će imati grb. Vjerojatnost događaja A izračunava se pomoću formule:
P(A) = m/n = 3/8.
Odgovor: vjerojatnost 3/8.
Zadatak 1.2. Riječ DOGAĐAJ sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Zatim se karte miješaju i vade bez vraćanja jedna po jedna. Odredite vjerojatnost da su slova izvađena redoslijedom zadane riječi.
Test se sastoji u vađenju kartica sa slovima nasumičnim redoslijedom bez vraćanja. Elementarni događaj je primljeni niz slova. Događaj A treba primiti prava riječ DOGAĐAJ . Elementarni događaji su permutacije od 7 slova, što znači da prema formuli imamo n= 7!
Slova u riječi DOGAĐAJ se ne ponavljaju, pa nisu moguće permutacije u kojima se riječ ne mijenja. Njihov broj je 1.
Na ovaj način,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Odgovor: P(A) = 1/5040.
Zadatak 1.3. Kao iu prethodnom zadatku, pronađite odgovarajuću vjerojatnost slučaja kada je zadana riječ riječ ANTONOV ILYA.
Ovaj problem se rješava slično kao i prethodni.
n=11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Odgovor: P(A)=1/9979200.
Zadatak 1.4. Urna sadrži 8 crnih i 6 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da se među njima nalazi:
a) 3 bijele kuglice;
b) manje od 3 bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
8 sati Test će biti nasumično izvlačenje 5 loptica. Osnovno
6 b događaji su sve moguće kombinacije 5 od 14 kuglica. Njihov broj je
a) A 1 - među izvučenim kuglicama 3 su bijele. Dakle, među izvučenim kuglicama 3 su bijele i 2 crne. Koristeći pravilo množenja, dobivamo
P (A 1) \u003d 560/2002 \u003d 280/1001.
b) A 2 - među izvučenim kuglicama ima manje od 3 bijele. Ovaj događaj sastoji se od tri nekompatibilna događaja:
U 1 - među izvučenim kuglicama samo su 2 bijele i 3 crne kuglice,
B 2 - među izvučenim kuglicama samo jedna bijela i 4 crne kuglice
U 3 - među izvučenim kuglicama nema niti jedne bijele kuglice, svih 5 kuglica su crne:
A 2 \u003d B 1 B 2 B 3.
Budući da su događaji B 1 , B 2 i B 3 nekompatibilni, možete koristiti formulu:
P (A 2) \u003d P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);
P (A 2) \u003d 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 \u003d 483/1001.
c) - među izvučenim kuglicama nema niti jedne bijele. U ovom slučaju:
P (A 3) \u003d 1 - P () \u003d 1 - 28/1001 \u003d 973/1001.
Odgovor: P (A 1) = 280/1001, P (A 2) = 483/1001, P (A 3) = 973/1001.
Problem 1.6. Prva urna sadrži 5 bijelih i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 6 bijelih i 4 crne kuglice. 2 kuglice se nasumično izvlače iz prve urne i 2 kuglice iz druge urne. Odredite vjerojatnost da među izvučenim kuglicama:
a) sve kuglice iste boje;
b) samo tri bijele kuglice;
c) najmanje jednu bijelu kuglicu.
Urna 1 Urna 2 Kuglice su izvučene iz obje urne neovisno. suđenja
5 b 6 b izvlače dvije kuglice iz prve urne i dvije kuglice
7h 4h od druge urne. Elementarni događaji bit će kombinacije
2 ili 2 od 12 odnosno 10 loptica.
2 2 a) A 1 - sve izvučene kuglice iste boje, tj. svi su bijeli
ili sve crno.
Za svaku urnu definiramo sve moguće događaje:
Za 1 - 2 bijele kugle se vade iz prve urne;
B 2 - 1 bijela i 1 crna kuglica izvlače se iz prve urne;
U 3 - 2 crne kugle se izvlače iz prve urne;
C 1 - 2 bijele kugle su izvučene iz druge urne;
C 2 - 1 bijela i 1 crna kuglica izvlače se iz druge urne;
C 3 - 2 crne kugle su izvučene iz druge urne.
Dakle, A 1 = 
, odakle, uzimajući u obzir neovisnost i nekompatibilnost događaja, dobivamo
P (A 1) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).
Pronađimo količinu elementarni događaji n 1 i n 2 za prvu i drugu urnu, redom. Imamo:
Pronađite broj svakog elementa događaja koji određuju sljedeće događaje:
B 1: m 11 = C 1: m 21 =
B 2: m 12 \u003d C 2: m 22 \u003d
B 3: m 13 \u003d C 3: m 23 \u003d
Posljedično,
P (A 1) \u003d 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 \u003d 5/99 + 7/165 \u003d 46/495.
b) A 2 - među izvučenim kuglicama samo su 3 bijele. U ovom slučaju
A 2 \u003d (B 1 C 2 (B 2 C 1);
P (A 2) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 2) * P (C 2)
P (A 2) \u003d 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 \u003d 33/99 \u003d 1/3.
c) A 3 - među izvučenim kuglicama nalazi se barem jedna bijela.
Među izvučenim kuglicama nema bijelih kuglica. Zatim
P() = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P (A 3) \u003d 1 - P () \u003d 1 - 7/165 \u003d 158/165.
Odgovor: P (A 1) \u003d 46/495, P (A 2) = 1/3, P (A 3) = 158/165.
Problem 1.7. Urna sadrži 5 crnih i bijelih kuglica, dodane su im 4 bijele kuglice. Nakon toga se iz urne nasumično izvlače 3 kuglice. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice bijele, pod pretpostavkom da su sve moguće rečenice o izvornom sadržaju urne jednako vjerojatne.
Ovdje postoje dvije vrste testova: prvo se daje početni sadržaj urne, a zatim se nasumično izvlači 3. kuglica, a rezultat drugog testa ovisi o rezultatu prvog. Stoga se koristi formula ukupne vjerojatnosti.
događaj A - 3 bijele kuglice su nasumično izvučene. Vjerojatnost ovog događaja ovisi o tome kako izvorna kompozicija kuglice u urni.
Razmotrite događaje:
U 1 - u urni je bilo 5 bijelih kuglica;
U 2 - u urni su bile 4 bijele i 1 crna kugla;
U 3 - u urni su bile 3 bijele i 2 crne kugle;
U 4 - u urni su bile 2 bijele i 3 crne kugle;
Na 5 - u urni su bile 1 bijela i 4 crne kuglice.
U 6 - bilo je 5 crnih kuglica u urni;
Ukupan broj elementarnih ishoda
Nađimo uvjetne vjerojatnosti događaja A pod različitim uvjetima.
P (A / B 1) \u003d 1.
P (A / B 2) \u003d 56/84 \u003d 2/3.
P (A / B 3) \u003d 35/84 \u003d 5/12.
P (A / B 4) \u003d 5/21.
P (A / B 5) \u003d 5/42.
P (A / B 6) \u003d 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Odgovor: P(A) = 209/504.
Problem 1.9. U piramidi se nalazi 11 pušaka, od kojih su 3 s optičkim nišanom. Strijelac koji puca iz puške s teleskopskim nišanom može pogoditi metu s vjerojatnošću 87/100, a pucajući iz puške bez optičkog nišana s vjerojatnošću od 52/100. Odredite vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu pucajući iz slučajno odabrane puške.
Uzimajući u obzir da su puške odabrane jedna po jedna, dobivamo i redom (za B 1) i (za B 2); dakle P (B 1) \u003d 3/11, P (B 2) \u003d 8/11.
Uvjetne vjerojatnosti navedene su u izjavi problema:
P(A / B 1) = 0,87 i P (A.B 2) = 0,52.
Posljedično,
P(A) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.
Odgovor: P(A)=0,615.
Problem 1.10. U montažnoj radionici na uređaj je spojen elektromotor. Elektromotore isporučuju tri proizvođača. U skladištu se nalaze elektromotori ovih tvornica u količini od M 1 =13, M 2 =12 i M 3 = 17 komada, koji mogu raditi bez kvara do kraja jamstvenog roka s vjerojatnošću od 0,91. , 0,82, odnosno 0,77. Radnik nasumično uzima jedan elektromotor i montira ga na uređaj. Nađite vjerojatnost da je elektromotor koji je montiran i radi bez kvara do kraja jamstvenog roka isporučio prvi, drugi odnosno treći proizvođač.
Uvjetne vjerojatnosti dane su u uvjetu problema: P (A / B 1) \u003d 0,91, P (A / B 2) \u003d 0,82, P (A / B 3) = 0,77.
Slično prethodnom problemu, nalazimo vjerojatnosti:
P (B 1) \u003d 13/42 \u003d 0,3095; P (B 2) \u003d 12/42 \u003d 0,2857; P (B 3) \u003d 17/42 \u003d 0,4048;
P(A) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.
Prema Bayesovoj formuli (1.8.) izračunavamo uvjetne vjerojatnosti događaja (hipoteze) B 1:
P (B 1 / A) \u003d 
P (B 2 / A) \u003d 
P (B 3 / A) \u003d 
Odgovor: P (B 1 / A) \u003d 0,3403, P (B 2 / A) \u003d 0,2831, P (B 3 / A) = 0,3766
Posao #2
slučajne varijable.
6 - opcija.
Zadatak 2.1. U svakom od n nezavisni testovi događaj A se događa s konstantnom vjerojatnošću od 0,36. Izračunajte sve vjerojatnosti p k , k = 0, 1, 2, ..., 11, gdje je k učestalost događaja A. Nacrtajte vjerojatnosti p k . Pronađite najvjerojatniju učestalost.
dano: n=11, p=0,36, q=1 - p=0,64.
Pronaći: p 0 , p 1 , p 2 , ..., p 11 i k.
Korištenje Bernoullijeve formule. Vrijednost p 0 izračunava se prvom od formula, a preostale vjerojatnosti p k - drugom.
Za formulu izračunavamo konstantni faktor
p / q = 0,36 / 0,64 = 0,5625, p 0 = * 0,36 0 * 0,64 11 = 0,0073787.
Rezultate izračuna upisujemo u tablicu 1. Ako su izračuni točni onda je jednakost
Na temelju pronađenih vjerojatnosti konstruiramo njihov graf (slika 1).
Pronađimo najvjerojatnije frekvencije prema zadanim uvjetima:
np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32
Dakle, najvjerojatnija frekvencija je k = 4 i, kao što je ranije dobiveno, vrijednost p 3 je maksimalna.
stol 1
| k | (n-k-1)/ k | p k | k | (n-k-1)/ k | p k |
| - | 0,9926213 |
Slika 1 Grafikon vjerojatnosti p k
Zadatak 2.2. U svakom od n neovisnih pokusa, događaj A se pojavljuje s konstantnom vjerojatnošću od 0,47. Odredite vjerojatnost da se dogodi događaj A:
a) točno 330 puta;
b) manje od 330 i više od 284 puta;
c) više od 330 puta.
a) dano: n = 760, p = 0,47, M = 330.
Pronaći: P 760 (330).
Koristimo lokalni teorem Moivre - Laplace. Pronašli smo:
Vrijednost funkcije j(x) nalazimo iz tablice:
j(1,98) = 0,0562, P 760 (330) = 0,0562/13,76 = 0,00408.
b) Pronaći: 760 R (284 Koristimo integralni teorem Moivre-Laplacea. Pronašli smo: Vrijednost funkcije F(h) nalazimo iz tablice: 760 R (284 u) Pronaći: 760 R (330 Imamo: x 1 \u003d -1,98, 760 R (330 Zadatak 2.4. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 1/800. Odredite vjerojatnost da među 5600 veza postoji: a) točno 2 netočna spoja; b) manje od 3 neispravna spajanja; c) više od 8 netočnih veza. a) Dano: n=5600, p=1/800, k=2. Pronaći: P 800 (2). Dobivamo: l \u003d 5600 * 1/800 \u003d 7. P 800 (2) = b) S obzirom k<3. Pronaći: P 200 (k<3). P 800 (k<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. u) S obzirom k > 8. Pronaći: P 800 (k > 8). Ovaj se problem može riješiti jednostavnije, pronaći vjerojatnost suprotnog događaja, jer u ovom slučaju morate izračunati manje članova. Uzimajući u obzir prethodni slučaj, imamo P 800 (k>8) = 1 - P 800 (k8) = 1 - P 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. Problem 2.6. Slučajna varijabla X dana je nizom distribucija. Pronađite funkciju distribucije F(x) slučajne varijable X i izgradite njezin graf. Izračunajte za X njegovu srednju vrijednost EX, varijancu DX i način Mo. Nacrtajmo funkciju distribucije F(x) . Prosječna vrijednost EX izračunava se formulom: EX \u003d 8 * 0,11 + 12 * 0,14 + 16 * 0,5 + 24 * 0,25 \u003d 16,56. Disperzija: E (X 2) \u003d 8 2 * 0,11 + 12 2 * 0,14 + 16 2 * 0,5 + 24 2 * 0,25 \u003d 299,2 DX = 299,2 - 16,52 2 = 26,2896. Grafik funkcije distribucije Problem 2.7. Slučajna varijabla X dana je funkcijom gustoće vjerojatnosti f(x) = Pronađite funkciju distribucije F(x) slučajne varijable X. Nacrtajte funkciju f(x) i F(x). Izračunajte za X njegovu srednju vrijednost EX, varijancu DX, način Mo i medijan Me. K = 8, R = 12. Funkcija distribucije F(x) kontinuirane slučajne varijable nalazi se formulom: Konstruirajte grafove funkcija f(x) i F(x). Prosječna vrijednost X izračunava se formulom: EX = Da bismo pronašli varijancu X, koristimo se formulama: E (X 2) \u003d DX = 40,5 - (4,5) 2 . Grafikon pokazuje da f (x) doseže maksimum u točki x \u003d 1/2 i, prema tome, Mo \u003d 12. Da biste pronašli medijan Me, trebate riješiti jednadžbu x 2 / 256 \u003d 1/2 , odnosno x 2 \u003d 128. Imamo x = ± 11,31, Me = 11,31. Graf funkcije raspodjele F(x). Rad broj 3. Zadatak 3.1 Za uzorke A i B Napravite seriju varijacija; Izračunati relativne frekvencije (frekvencije) i akumulirane frekvencije; Graditi grafove varijacijskih serija (poligon i histogram); Sastaviti empirijsku funkciju distribucije i izgraditi njezin graf; Izračunajte numeričke karakteristike niza varijacija: prosjek, varijanca, standardna devijacija, srednji Me. Zadatak 3.2. Izračunajte nepristrane procjene parametara populacije ,S 2 , S prema uzorci A i B (koristeći rezultate dobivene u problemu 3.1.), kao i prvi stupac uzorka B. Uzorak A6 N = 73 Prvi početak intervala: 0 Duljina intervala: 1 Uzorak B6 N = 237 Početak prvog intervala: 285 Duljina intervala: 7 Rješavanje problema. Zadatak 3.1. Najprije rješavamo problem za uzorak A. Nalazimo: x min \u003d 0 i x max \u003d 11. Raspon (11 - 0 + 1 \u003d 12) je prilično mali, pa ćemo napraviti niz varijacija po vrijednostima (Tablica 1). stol 1 Sve relativne frekvencije izračunate su s istom točnošću. Prilikom crtanja prikazujemo vrijednosti od 0 do 11 na x-osi i vrijednosti od 0 do 0,25 na n i /n osi (sl. 1 i 2). Riža. 1. Poligon varijacijske serije uzorka A Riža. 2. Histogram serije varijacija uzorka A. Empirijska funkcija distribucije F * (x) nalazi se pomoću formule i akumuliranih frekvencija iz tablice. 1. Imamo: Prilikom crtanja F * (x) izdvajamo vrijednosti funkcije u rasponu od 0 do 1,2 (slika 3). sl.3. Graf empirijske funkcije distribucije uzorka A. Izračun zbrojeva za aritmetičku sredinu i varijancu prema formulama i prema nizu varijacija (vidi tablicu 1) prikazan je u tablici. 2. Na temelju maksimalne frekvencije određujemo c = 7, a korak tablice je k = 1.
.x
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
Standardna devijacija 
Mod Mo je vrijednost s maksimalnom frekvencijom, tj. Mo = 7. Medijan Me je 37. vrijednost niza varijacija: Me = 7.
Sada, koristeći uzorak B, nalazimo x min = 288 i x max = 350. Raspon (350 - 288 + 1 = 63) je prilično velik, pa ćemo sastaviti niz varijacija prema intervalima vrijednosti, koristeći zadani početak prvi interval i duljina intervala prilikom uzorkovanja (tablica 3).
Tablica 3
Riža. 4. Poligon varijacijske serije uzorka B.
Riža. 5. Histogram serije varijacija uzorka B.
Prilikom konstruiranja grafikona, iscrtavamo vrijednosti od 285 do 355 duž x-osi i vrijednosti od 0 do 0,3 duž n i /n osi (sl. 4 i 5).
Nadalje, uzimamo u obzir da je njegov kraj uzet kao predstavnik svakog intervala. Uzimajući za koordinate točaka krajeve intervala i odgovarajuće akumulirane frekvencije (vidi tablicu 3) i povezujući te točke ravnim linijama, konstruiramo grafikon empirijske funkcije distribucije (slika 6).
Riža. 6. Grafikon empirijske funkcije distribucije uzorka B.
Izračunati aritmetičku sredinu i disperziju prema formulama i prema tablici. 3, definiramo c \u003d 316 i k \u003d 7. Izračunamo iznose pomoću tablice. 4 (tablica 4).
Pomoću formula izračunavamo aritmetičku sredinu 
i disperzija 227,8
Medijan se nalazi po formuli: Me =.
Zadatak 3.2.
Pomoću formule nalazimo nepristrane procjene varijance i standardne devijacije:
n=73, S-2=5,8143, S2=73/72×5,8143=5,8951, S==2,43.
Za uzorak B imamo
393,92, = 177,47, n = 237, S 2 = 237/236×177,47 = 178,222, S = 13,35.
Nepristrane procjene za prvi stupac uzorka B dobivaju se na sličan način (ako ovaj uzorak sadrži malo ponavljajućih elemenata, varijacijski niz može se izostaviti).
Primjer 1. U prvoj urni: tri crvene, jedna bijela kugla. U drugoj urni: jedna crvena, tri bijele kugle. Novčić se baca nasumce: ako se bira grb iz prve urne, u suprotnom, iz druge.
Riješenje:
a) vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice
A - dobio crvenu loptu
P 1 - ispao je grb, P 2 - inače
b) Izabrana je crvena kuglica. Nađite vjerojatnost da je uzeto iz prve urne, iz druge urne.
B 1 - iz prve urne, B 2 - iz druge urne
,
Primjer 2. U kutiji su 4 kuglice. Može biti: samo bijelo, samo crno ili bijelo i crno. (Sastav nepoznat).
Riješenje:
A je vjerojatnost da se pojavi bijela kuglica
a) Sve bijele:
(vjerojatnost da je uhvaćena jedna od tri opcije gdje je bijelo)
(vjerojatnost da se bijela kugla pojavi tamo gdje su sve bijele)
b) Izvukao se tamo gdje su svi crni
c) izvukao varijantu gdje su svi bijeli i/ili crni
- barem jedan od njih je bijelac
P a + P b + P c =
Primjer 3. Urna sadrži 5 bijelih i 4 crne kugle. Iz njega se redom vade 2 kuglice. Odredite vjerojatnost da su obje kuglice bijele.
Riješenje:
5 bijelih, 4 crne kuglice
P(A 1) - izvučena bijela kuglica
P(A 2) je vjerojatnost da je i druga kuglica bijela
P(A) – Bijele kuglice odabrane u nizu
Primjer 3a. U paketu su 2 krivotvorene i 8 pravih novčanica. Iz paketa su izvučene 2 novčanice u nizu. Nađite vjerojatnost da su oba lažna.
Riješenje:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Primjer 4. Ima 10 urni. 9 urni sadrži 2 crne i 2 bijele kugle. Postoji 5 bijelih i 1 crna u 1 urni. Kuglica se izvlači iz nasumično uzete urne.
Riješenje:
GODIŠNJE)-? bijela kugla se uzima iz urne koja sadrži 5 bijelih
B - vjerojatnost vađenja iz urne, gdje je 5 bijelo
, - izvađeno od drugih
C 1 - vjerojatnost pojavljivanja bijele kuglice u lvl 9.
C 2 - vjerojatnost pojavljivanja bijele kuglice, gdje ih ima 5
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Primjer 5. 20 cilindričnih valjaka i 15 konusnih. Berač uzima 1 valjak, a zatim još jedan.
Riješenje:
a) oba valjka su cilindrična
P(C 1)=; P(C 2)=
C 1 - prvi cilindar, C 2 - drugi cilindar
P(A)=P(C 1)P(C 2) =
b) Najmanje jedan cilindar
K 1 - prvi stožac.
K 2 - drugi stožac.
P(B)=P(C 1)P(K 2)+P(C 2)P(K 1)+P(C 1)P(C 2)
;
c) prvi cilindar, a drugi nije
P(C)=P(C 1)P(K 2)
e) Niti jedan cilindar.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Točno 1 cilindar
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Primjer 6. U kutiji je 10 standardnih dijelova i 5 neispravnih dijelova.
Nasumično se izvlače tri komada.
a) Jedan od njih je neispravan
P n (K)=C n k p k q n-k ,
P je vjerojatnost neispravnih proizvoda
q je vjerojatnost standardnih dijelova
n=3, tri dijela
b) dva od tri dijela su neispravna P(2)
c) najmanje jedan standard
P(0) - nema kvara
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - vjerojatnost da će barem jedan dio biti standardan
Primjer 7. Prva urna sadrži 3 bijele i 3 crne kugle, a 2. urna sadrži 3 bijele i 4 crne kugle. 2 kuglice se prebacuju iz 1. urne u 2. urnu bez gledanja, a zatim se izvlače 2 kuglice iz 2. urne. Kolika je vjerojatnost da su različite boje?
Riješenje:
Prilikom prijenosa kuglica iz prve urne moguće su sljedeće opcije:
a) Izvučene su 2 bijele kuglice u nizu
P WB 1 =
U drugom koraku će uvijek biti jedna loptica manje, jer je jedna loptica već izvađena u prvom koraku.
b) izvučena je jedna bijela i jedna crna kuglica
Situacija kada je prvo izvučena bijela kuglica, a zatim crna
P BC =
Situacija kada je prvo izvučena crna kuglica, a zatim bijela
P BW =
Ukupno: P CU 1 =
c) Izvučene su 2 crne kuglice u nizu
P HH 1 =
Budući da su 2 kuglice prebačene iz prve urne u drugu urnu, ukupan broj kuglica u drugoj urni bit će 9 (7 + 2). Sukladno tome, tražit ćemo sve moguće opcije:
a) Prvo bijela, a zatim crna kugla izvučena je iz druge urne
P BC 2 P BB 1 - označava vjerojatnost da je prvo izvučena bijela kugla, a zatim crna kugla, pod uvjetom da su iz prve urne u nizu izvučene 2 bijele kugle. Zato je broj bijelih kuglica u ovom slučaju 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - znači vjerojatnost da je prvo izvučena bijela kugla, a zatim crna kugla, pod uvjetom da su bijela i crna kugla izvučene iz prve urne. Zato je broj bijelih kuglica u ovom slučaju 4 (3+1), a broj crnih pet (4+1).
P BC 2 P BC 1 - označava vjerojatnost da je prvo izvađena bijela kugla, a zatim crna kugla, pod uvjetom da su obje crne kugle izvađene iz prve urne u nizu. Zato je broj crnih kuglica u ovom slučaju 6 (4+2).
Vjerojatnost da će izvučene 2 kuglice biti različitih boja jednaka je:
Odgovor: P = 0,54
Primjer 7a. Iz 1. urne, koja sadrži 5 bijelih i 3 crne kugle, 2 kugle se nasumično prebacuju u 2. urnu, koja sadrži 2 bijele i 6 crnih kugli. Zatim se 1 kuglica nasumično izvlači iz 2. urne.
1) Kolika je vjerojatnost da je kuglica izvučena iz urne 2 bijela?
2) Kuglica izvučena iz 2. urne pokazala se bijelom. Izračunajte vjerojatnost da su kuglice različitih boja prebačene iz urne 1 u urnu 2.
Riješenje.
1) Događaj A - kuglica izvučena iz 2. urne je bijela. Razmotrite sljedeće opcije za pojavu ovog događaja.
a) Dvije bijele kuglice su postavljene iz prve urne u drugu: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
U drugoj urni nalaze se 4 bijele kugle. Tada je vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz druge urne P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Bijele i crne kuglice stavljaju se iz prve urne u drugu: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
U drugoj urni su 3 bijele kugle. Tada je vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz druge urne P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Dvije crne kuglice su postavljene iz prve urne u drugu: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
U drugoj urni nalaze se 2 bijele kugle. Tada je vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz druge urne P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Tada je vjerojatnost da je kuglica izvučena iz 2. urne bijela jednaka:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Kugla izvučena iz 2. urne pokazala se bijelom, tj. ukupna vjerojatnost je P(A)=13/32.
Vjerojatnost da su kuglice različitih boja (crna i bijela) prebačene u drugu urnu i odabrana je bijela: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Primjer 7b. Prva urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kugle, druga urna sadrži 5 bijelih i 3 crne kugle. Iz prve se nasumično bira jedna kuglica, a iz druge dvije. Nakon toga se od odabrane tri kuglice nasumično uzima jedna kuglica. Ova zadnja lopta je ispala crna. Odredite vjerojatnost da je bijela kugla odabrana iz prve urne.
Riješenje.
Razmotrimo sve varijante događaja A - od tri kuglice izvučena kuglica je ispala crna. Kako se moglo dogoditi da je među te tri kuglice crna?
a) Iz prve urne izvučena je crna kugla, a iz druge dvije bijele kugle.
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
b) Crna kugla je izvučena iz prve urne, a dvije crne kugle su izvučene iz druge urne.
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
c) Iz prve urne je izvučena crna kugla, a iz druge urne jedna bijela i jedna crna kugla.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Iz prve urne se izvlači bijela kugla, a iz druge urne dvije crne kugle.
P4 = (8/11) (3/8*2/7) = 6/77
e) Iz prve urne je izvađena bijela kugla, a iz druge jedna bijela i jedna crna kugla.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Ukupna vjerojatnost je: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Vjerojatnost da je bijela kugla odabrana iz bijele urne je:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Tada je vjerojatnost da je bijela kugla odabrana iz prve urne, pod uvjetom da je crna odabrana od tri kugle, jednaka:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57
Primjer 7c. Prva urna sadrži 12 bijelih i 16 crnih kuglica, druga urna sadrži 8 bijelih i 10 crnih kuglica. U isto vrijeme se iz 1. i 2. urne izvlači kuglica, miješa i vraća jedna po jedna u svaku urnu. Zatim se iz svake urne izvlači kuglica. Ispostavilo se da su iste boje. Odredite vjerojatnost da je u 1. urni ostalo onoliko bijelih kuglica koliko ih je bilo na početku.
Riješenje.
Događaj A - u isto vrijeme iz 1. i 2. urne izvlači se kuglica.
Vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz prve urne: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Vjerojatnost izvlačenja crne kuglice iz prve urne: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Vjerojatnost izvlačenja bijele kugle iz druge urne: P2(B) = 8/18 = 4/9
Vjerojatnost izvlačenja crne kugle iz druge urne: P2(H) = 10/18 = 5/9
Događaj A se dogodio. Događaj B - iz svake urne je izvučena kuglica. Nakon miješanja, vjerojatnost vraćanja loptice u urnu bijele ili crne loptice je ½.
Razmotrite varijante događaja B - pokazalo se da su iste boje.
Za prvu urnu
1) bijela kugla je stavljena u prvu urnu, a bijela je izvučena, pod uvjetom da je bijela kugla prethodno izvučena, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) bijela kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena je bijela kugla, pod uvjetom da je ranije izvučena crna kugla, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) bijela kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena je crna, pod uvjetom da je prethodno izvučena bijela kugla, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) bijela kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena je crna, pod uvjetom da je ranije izvučena crna kugla, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) crna kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena je bijela kugla, pod uvjetom da je prethodno izvučena bijela kugla, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392.
6) crna kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena bijela, pod uvjetom da je prethodno izvučena crna kugla, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) crna kugla je stavljena u prvu urnu, a crna je izvučena, uz uvjet da je prethodno izvučena bijela kugla, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) crna kugla je stavljena u prvu urnu, a crna je izvučena, pod uvjetom da je crna kugla ranije izvučena, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Za drugu urnu
1) bijela kugla je stavljena u prvu urnu, a bijela je izvučena, pod uvjetom da je bijela kugla prethodno izvučena, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) bijela kugla je stavljena u prvu urnu, a bijela kugla je izvučena, pod uvjetom da je ranije izvučena crna kugla, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) bijela kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena je crna, pod uvjetom da je bijela kugla izvučena ranije, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) bijela kuglica je stavljena u prvu urnu i izvučena je crna, pod uvjetom da je ranije izvučena crna kuglica, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) crna kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena je bijela kugla, pod uvjetom da je bijela kugla prethodno izvučena, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12.
6) crna kugla je stavljena u prvu urnu i izvučena bijela, pod uvjetom da je prethodno izvučena crna kugla, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63.
7) crna kugla je stavljena u prvu urnu, a crna je izvučena, uz uvjet da je prethodno izvučena bijela kugla, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84.
8) crna kugla je stavljena u prvu urnu, a crna je izvučena, pod uvjetom da je crna kugla ranije izvučena, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Pokazalo se da su kuglice iste boje:
a) bijela
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) crna
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Primjer 7g. Prva kutija sadrži 5 bijelih i 4 plave kuglice, druga 3 i 1, a treća 4 odnosno 5 kuglica. Nasumično se izabere kutija, a kuglica izvučena iz nje je plava. Kolika je vjerojatnost da je ova kuglica iz druge kutije?
Riješenje.
A - događaj izvlačenja plavog balona. Razmotrite sve opcije za ishod takvog događaja.
H1 - izvučena kuglica iz prve kutije,
H2 - izvučena kuglica iz druge kutije,
H3 - izvučena kuglica iz treće kutije.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Prema uvjetu problema, uvjetne vjerojatnosti događaja A su:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Vjerojatnost da je ova kuglica iz druge kutije je:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Primjer 8. Pet kutija sa po 30 kuglica sadrži 5 crvenih kuglica (ovo je kutija sa sastavom H1), ostalih šest kutija sa po 20 kuglica sadrži 4 crvene kuglice (ovo je kutija sa sastavom H2). Odredite vjerojatnost da se nasumično izvučena crvena kuglica nalazi u jednoj od prvih pet kutija.
Rješenje: Zadatak primjene formule ukupne vjerojatnosti.
P(H1) = 5/11
Vjerojatnost da bilo koji Uzeta lopta nalazi se u jednoj od šest kutija:
P(H2) = 6/11
Događaj se dogodio - izvučena je crvena kuglica. Stoga se to može dogoditi u dva slučaja:
a) izvučeni iz prvih pet kutija.
P 5 = 5 crvenih kuglica * 5 kutija / (30 kuglica * 5 kutija) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) izvučen iz šest drugih kutija.
P 6 = 4 crvene kuglice * 6 kutija / (20 kuglica * 6 kutija) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Ukupno: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Stoga je vjerojatnost da se nasumično izvučena crvena kuglica nalazi u jednoj od prvih pet kutija:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Primjer 9 . Urna sadrži 2 bijele, 3 crne i 4 crvene kugle. Nasumično se izvlače tri kuglice. Kolika je vjerojatnost da su barem dvije kuglice iste boje?
Riješenje. Postoje tri moguća ishoda događaja:
a) među tri izvučene kuglice najmanje dvije su bijele.
P b (2) = P 2b
Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda za ove pokuse jednak je broju načina na koje se mogu izvući 3 loptice od 9:
Odredite vjerojatnost da su 2 od 3 kuglice bijele.
Broj opcija za odabir između 2 bijele kuglice:
Broj opcija koje možete izabrati između 7 drugih kuglica, treća kuglica:
b) među tri izvučene kuglice najmanje dvije su crne (tj. 2 crne ili 3 crne).
Odredite vjerojatnost da su 2 od 3 kuglice crne.
Broj opcija za odabir između 3 crne kuglice:
Broj opcija za odabir između 6 drugih kuglica jedne kuglice:
P 2h = 0,214
Odredite vjerojatnost da su sve odabrane kuglice crne.
P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
c) među tri izvučene kuglice najmanje dvije su crvene (tj. 2 crvene ili 3 crvene).
Nađimo vjerojatnost da su među odabrane 3 kuglice 2 crvene.
Broj opcija za odabir između 4 crne kuglice:
Broj opcija za odabir od 5 bijelih kuglica od kojih je 1 bijela:
Odredite vjerojatnost da su sve odabrane kuglice crvene.
P do (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Tada je vjerojatnost da će barem dvije kuglice biti iste boje: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Primjer 10. Prva urna sadrži 10 kuglica, od kojih je 7 bijelih; Druga urna sadrži 20 kuglica, od kojih je 5 bijelih. Jedna kuglica se nasumično izvlači iz svake urne, a zatim se jedna kuglica nasumično izvlači iz ove dvije kuglice. Odredite vjerojatnost da je bijela kuglica izvučena.
Riješenje. Vjerojatnost da je bijela kugla izvučena iz prve urne je P(b)1 = 7/10. Prema tome, vjerojatnost izvlačenja crne kuglice je P(h)1 = 3/10.
Vjerojatnost da je bijela kugla izvučena iz druge urne je P(b)2 = 5/20 = 1/4. Prema tome, vjerojatnost izvlačenja crne kuglice je P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Događaj A - bijela kuglica je uzeta iz dvije kuglice
Razmotrite ishod događaja A.
- Iz prve urne se izvlači bijela kugla, a iz druge urne bijela kugla. Zatim je iz te dvije kuglice izvučena bijela kuglica. P1=7/10*1/4=7/40
- Iz prve urne se izvlači bijela kugla, a iz druge urne crna. Zatim je iz te dvije kuglice izvučena bijela kuglica. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Iz prve urne se izvlači crna kugla, a iz druge bijela kugla. Zatim je iz te dvije kuglice izvučena bijela kuglica. P3=3/10*1/4=3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Primjer 11. U kutiji je n teniskih loptica. Od njih je igrao m . Za prvu utakmicu nasumce su uzeli dvije lopte i vratili ih nakon utakmice. Za drugu utakmicu također su nasumično uzeli dvije lopte. Kolika je vjerojatnost da će se druga utakmica igrati s novim loptama?
Riješenje. Razmotrimo događaj A - igra je po drugi put odigrana s novim loptama. Pogledajmo koji događaji mogu dovesti do toga.
Označimo s g = n-m, broj novih kuglica prije izvlačenja.
a) Izvlače se dvije nove kuglice za prvu igru.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) za prvu igru izvukli su jednu novu loptu i jednu već odigranu.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
c) za prvu igru izvučene su dvije odigrane lopte.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Razmotrite događaje iz druge igre.
a) Izvučene su dvije nove kuglice, pod uvjetom P1: budući da su nove kuglice već bile izvučene za prvu igru, tada se za drugu igru njihov broj smanjio za 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Izvučene su dvije nove kuglice, prema P2: budući da je jedna nova kuglica već bila izvučena za prvu igru, tada se za drugu igru njihov broj smanjio za 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Izvukli su dvije nove lopte uz uvjet P3: budući da u prvoj igri nisu korištene nove lopte, njihov se broj nije promijenio u drugoj igri g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Ukupna vjerojatnost P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Odgovor: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Primjer 12. Prva, druga i treća kutija sadrže po 2 bijele i 3 crne kuglice, četvrta i peta kutija sadrže po 1 bijelu i 1 crnu kuglicu. Kutija se nasumično odabire i iz nje se izvlači kuglica. Kolika je uvjetna vjerojatnost da je odabrana četvrta ili peta kutija ako je izvučena kuglica bijela?
Riješenje.
Vjerojatnost odabira svake kutije je P(H) = 1/5.
Razmotrimo uvjetne vjerojatnosti događaja A - izvlačenje bijele kuglice.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Ukupna vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Uvjetna vjerojatnost da je odabran četvrti okvir
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Uvjetna vjerojatnost da je odabrana peta kutija
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Dakle, uvjetna vjerojatnost da se izabere četvrta ili peta kutija je
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Primjer 13. Urna sadrži 7 bijelih i 4 crvene kuglice. Zatim je još jedna bijela ili crvena ili crna kugla stavljena u urnu i nakon miješanja jedna kugla je izvađena. Ispostavilo se da je crven. Kolika je vjerojatnost da je a) postavljena crvena kuglica? b) crna kugla?
Riješenje.
a) crvena lopta
Događaj A - izvučena je crvena kuglica. Događaj H - stavite crvenu kuglu. Vjerojatnost da je crvena kugla stavljena u urnu P(H=K) = 1 / 3
Tada je P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) crna kugla
Događaj A - izvučena je crvena kuglica. Događaj H - staviti crnu kuglu.
Vjerojatnost da je crna kugla stavljena u urnu je P(H=H) = 1/3
Tada je P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111
Primjer 14. Dvije su urne s kuglicama. Jedan ima 10 crvenih i 5 plavih kuglica, drugi ima 5 crvenih i 7 plavih kuglica. Kolika je vjerojatnost da će crvena kuglica biti nasumično izvučena iz prve urne, a plava iz druge?
Riješenje. Neka je događaj A1 - crvena kuglica izvučena iz prve urne; A2 - plava kuglica je izvučena iz druge urne:
,
Događaji A1 i A2 su neovisni. Vjerojatnost zajedničke pojave događaja A1 i A2 jednaka je
Primjer 15. Postoji špil karata (36 komada). Nasumično se izvlače dvije karte. Kolika je vjerojatnost da su obje izvučene karte crvene?
Riješenje. Neka događaj A 1 bude prva izvučena karta crvene boje. Događaj A 2 - druga izvučena karta crvene boje. B - obje izvučene karte crvene boje. Budući da se i događaj A 1 i događaj A 2 moraju dogoditi, tada je B = A 1 · A 2 . Događaji A1 i A2 su ovisni, dakle P(B) :
,
Odavde
Primjer 16. U dvije urne nalaze se kuglice koje se razlikuju samo po boji, au prvoj urni nalazi se 5 bijelih kuglica, 11 crnih i 8 crvenih, au drugoj 10, 8 i 6 kuglica. Iz obiju urni se nasumično izvlači jedna kuglica. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice iste boje?
Riješenje. Neka indeks 1 znači bijelo, indeks 2 crno; 3 - crvena boja. Neka je događaj A i - kuglica i-te boje izvučena iz prve urne; događaj B j - iz druge urne uzeta je kuglica j -te boje; događaj A - obje kuglice su iste boje.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Događaji A i i B j su neovisni, dok su A i · B i i A j · B j nekompatibilni za i ≠ j . Posljedično,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Primjer 17. Iz urne s 3 bijele i 2 crne kuglice izvlače se jedna po jedna dok se ne pojavi crna. Kolika je vjerojatnost da će iz urne biti izvučene 3 kuglice? 5 loptica?
Riješenje.
1) vjerojatnost da će 3 kuglice biti izvučene iz urne (tj. treća kuglica će biti crna, a prve dvije će biti bijele).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) vjerojatnost da će iz urne biti izvučeno 5 kuglica
takva situacija nije moguća, jer samo 3 bijele kuglice.
P=0
Klasična definicija vjerojatnosti svodi pojam vjerojatnosti na pojam jednakovjerojatnosti (jednake mogućnosti) događaja, koji se smatra glavnim i ne podliježe formalnoj definiciji. Ova definicija primjenjiva je u slučajevima kada je moguće izdvojiti cjelovitu skupinu nekompatibilnih i jednako vjerojatnih događaja – elementarnih ishoda. Na primjer, razmislite o urni s kuglicama.
Neka urna sadrži 7 identičnih, pažljivo izmiješanih kuglica, od kojih su 2 crvene, 1 plava i 4 bijele. Test će se sastojati u tome da se iz urne nasumično uzme jedna kugla. Svaki događaj koji se može dogoditi u suđenju koje je u tijeku elementarni je ishod. U ovom primjeru, sedam elementarnih ishoda, koje ćemo označiti E 1 , E 2 ,..., E 7. ishodi E 1 , E 2 - pojava crvene lopte, E 3 - izgled plave lopte, E 4 , E 5 , E 6 , E 7 - pojava bijele lopte. U našem primjeru događaji E 1 , E 2 ,... E 7 - upareno nekompatibilno. Osim toga, oni su također jednako vjerojatni u ovom testu. Neka događaj ALI je da je kuglica nasumično uzeta iz urne obojena (crvena ili plava).
Oni elementarni ishodi u kojima je događaj koji nas zanima ALI dolazi, zove se povoljni ishodi događaj ALI. U našem primjeru, ishodi koji idu u prilog događaju ALI, su ishodi E 1 , E 2 i E 3 . Razuman kao mjera mogućnosti da se događaj dogodi ALI, odnosno vjerojatnosti R(ALI), prihvatiti broj jednak omjeru ishoda koji pogoduju pojavi događaja ALI, na sve moguće ishode. U našem primjeru
R Gornji primjer doveo nas je do definicije vjerojatnosti, koja se obično naziva klasični .
Vjerojatnost događaja ALI naziva omjerom broja m ishoda povoljnih za ovaj događaj na ukupan broj n svi osnovni ishodi:
R(ALI) = . (1.4.4)
Klasična definicija vjerojatnosti služi kao dobar matematički model onih slučajnih eksperimenata, čiji je broj ishoda konačan, a sami ishodi jednako vjerojatni.
PRIMJER 2. Baca se kocka. Odredite vjerojatnost da ne dobijete više od četiri boda.
Riješenje. Ukupan broj elementarnih ishoda n= 6 (može baciti 1, 2, 3, 4, 5, 6). Među tim ishodima favorizira događaj ALI(neće pasti više od četiri boda) samo četiri ishoda m= 4. Dakle, željena vjerojatnost
PRIMJER 3. Kolika je vjerojatnost da pogodite 4 broja ispunjavanjem kartice sportskog lota "6" od "49"?
Riješenje. Ukupan broj elementarnih ishoda iskustva jednak je broju načina na koji se može precrtati 6 brojeva od 49, tj. n = C. Pronađite broj ishoda koji idu u prilog događaju koji nas zanima
ALI= (pogođena 4 broja), 4 broja od 6 dobitnika mogu se precrtati C načina, dok preostala dva broja ne smiju biti dobitna. Možete prekrižiti 2 pogrešna broja od 43 nedobitna broja C načine. Stoga broj povoljnih ishoda m = C× C. Uzimajući u obzir da su svi ishodi eksperimenta nekompatibilni i jednako mogući, željenu vjerojatnost nalazimo koristeći klasičnu formulu vjerojatnosti:
P(A) = 
PRIMJER 4. Nasumično odabran telefonski broj sastoji se od 5 znamenki. Kolika je vjerojatnost da su u njemu: 1) svi brojevi različiti; 2) jesu li svi brojevi neparni?
Riješenje. 1. Budući da svako od pet mjesta u peteroznamenkastim brojevima može sadržavati bilo koji od brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tada će svi različiti peteroznamenkasti brojevi biti 10 5 (00000 - 1 -ti, 00001 - 2., 00002 -3., ..., 99998 - 99999. i konačno 99999 - 100 000.). Brojevi u kojima su svi brojevi različiti su rasporedi od 10 elemenata od 5.
Formula za broj plasmani iz n elementi po k:
K! == n (n - 1) ... (n - k + 1).
Stoga, broj povoljnih slučajeva m= = 10× 9× 8× 7× 6 i željenu vjerojatnost
P(A) = 
= 0,3024.
2. Od 5 neparnih brojeva (1, 3, 5, 7, 9) možete sastaviti 5 5 različitih peteroznamenkastih brojeva. 5 5 je broj povoljnih ishoda m . Budući da svi jednako mogući slučajevi n= 10 5 , zatim željenu vjerojatnost
P(A) ====0,03125.
PRIMJER 5. Cijeli špil karata (52 lista) podijeljen je nasumično u dva jednaka paketa od 26 listova. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
ALI- u svakom od paketa će biti dva asa;
NA- u jednom od paketa neće biti aseva, au drugom - sva četiri;
IZ- u jednom od paketa bit će jedan as, au drugom - tri.
Riješenje. Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju načina na koji se može izvući 26 karata od 52, odnosno broju kombinacija od 52 do 26, n= . Broj povoljnih događaja ALI slučajeva
m= (prema osnovnom pravilu kombinatorike), gdje prvi faktor pokazuje da se dva asa od četiri mogu uzeti na načine, drugi faktor pokazuje da se preostale 24 karte uzimaju od 48 karata koje ne sadrže asove na načine. Željena vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju događaju ALI, na ukupan broj svih ishoda:
Događaj NA može se realizirati na dva jednako moguća načina: ili će u prvom paketu biti sva četiri asa, au drugom - nijedan, ili obrnuto:
Slično:
Napominjemo da je klasična definicija vjerojatnosti uvedena za slučaj kada je prostor elementarnih događaja konačan, a svi ishodi i pokušaji jednako mogući i nekompatibilni.
Govorništvo kao prototip novinarstva
Citati o Napoleonu - dslinkov — LiveJournal
Moja osveta Čovjek na buldožeru uništio je grad