Sferna trigonometrija

matematička disciplina koja proučava odnose između kutova i stranica sfernih trokuta (vidi Sferna geometrija). Neka ALI, B, C - kutovi i a, b, c - suprotne stranice sfernog trokuta ABC(cm. riža. ). Kutovi i stranice sfernog trokuta povezani su sljedećim osnovnim formulama S. t.:

cos a= cos b cos S+ grijeh b grijeh S cos ALI, (2)

cos A=- cos B cos S+ grijeh B grijeh IZ cos a, (2 1)

grijeh a cos B = cosb grijeh c- grijeh b cos S cos ALI, (3)

grijeh ALI cos b= cos B grijeh C+ grijeh B cos IZ cos a; (3 1)

u ovim formulama a, b, c mjereno odgovarajućim središnjim kutovima, duljine tih stranica su jednake aR, bR, cR, gdje R- polumjer sfere. Promjena oznaka uglova (i stranica) prema pravilu kružne permutacije: ALI→NA→IZ→ALI(a→b→S→a), moguće je napisati i druge formule S. t., slične navedenima. Formule sfernih trokuta omogućuju određivanje preostala tri elementa iz bilo koja tri elementa sfernog trokuta (riješiti trokut).

Za pravokutne sferne trokute ( ALI= 90°, a - hipotenuza, b, c - noge) formule S. t. su pojednostavljene, na primjer:

grijeh b= grijeh a grijeh NA, (1")

cos a = cos b cos c, (2")

grijeh a cos B= cos b grijeh c. (3")

Da biste dobili formule koje povezuju elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemoničko pravilo (Napierovo pravilo): ako katete pravokutnog sfernog trokuta zamijenite njihovim komplementima i rasporedite elemente trokuta (isključujući pravi kut ALI) u krugu redoslijedom kojim su u trokutu (to jest, kako slijedi: Vas, 90° - b, 90 ° - c), tada je kosinus svakog elementa jednak proizvodu sinusa nesusjednih elemenata, na primjer,

cos a= sin (90° - S) sin (90° - b)

ili nakon transformacije,

cos a = cos b cos S(formula 2").

Pri rješavanju problema prikladne su sljedeće Delambreove formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:

Pri rješavanju mnogih problema sferne astronomije, ovisno o potrebnoj točnosti, često je dovoljno koristiti približne formule: za male sferne trokute (to jest, one čije su stranice male u usporedbi s polumjerom sfere), možete koristiti formule ravninske trigonometrije; za uske sferne trokute (tj. one s jednom stranom, npr a, mala u usporedbi s drugima) koristite sljedeće formule:

(3’’)

ili preciznije formule:

S. t. je nastao mnogo ranije od ravne trigonometrije. Svojstva pravokutnih sfernih trokuta, izražena formulama (1")-(3"), i razne slučajeve njihova rješenja poznavali su još grčki znanstvenici Menelaj (1. st.) i Ptolomej (2. st.). Grčki su znanstvenici sveli rješenje kosih sfernih trokuta na rješenje pravokutnih. Azerbajdžanski znanstvenik Nasiraddin Tuei (13. st.) sustavno je ispitivao sve slučajeve rješavanja kosih sfernih trokuta, prvi put naznačivši rješenje u dva najteža slučaja. Osnovne formule za kose sferne trokute pronašli su arapski znanstvenik Abul-Vefa (10. st.) [formula (1)], njemački matematičar I. Regiomontan (sredina 15. st.) [formule poput (2)], a francuski matematičar F. Viet (2. pol. 16. st.) [formule tipa (2 1)] i L. Euler (Rusija, 18. st.) [formule tipa (3) i (3 1)]. Euler (1753. i 1779.) dao je cijeli sustav formula za S. T. Neke formule za S. T. prikladne za praksu ustanovili su škotski matematičar J. Napier (kraj 16. - početak 17. st.), engleski matematičar G. 17. st.), ruski astronom. A. I. Leksel (druga polovica 18. st.), francuski astronom J. Delambre (kraj 18. - početak 19. st.) i drugi.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte što je "sferna trigonometrija" u drugim rječnicima:

Sferna trigonometrija dio je trigonometrije koji proučava odnos između kutova i duljina stranica sfernih trokuta. Koristi se za rješavanje raznih geodetskih i astronomskih problema. Sadržaj 1 Povijest ... Wikipedia

Grana matematike koja proučava odnose između stranica i kutova sfernih trokuta (tj. trokuta na površini sfere) nastalih kada se sijeku tri velike kružnice. Sferna trigonometrija je usko povezana sa ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Istražuje svojstva trokuta., Nacrtan na sferni. površine koje na lopti oblikuju lukovi kružnica. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Pavlenkov F., 1907 ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika

Grana matematike koja proučava odnose između stranica i kutova sfernih trokuta (tj. trokuta na površini sfere) nastalih kada se sijeku tri velike kružnice. Sferna trigonometrija je usko povezana sa ... ... enciklopedijski rječnik

Matematički disciplina koja proučava odnose između kutova i stranica sfernih trokuta (vidi sferna geometrija). Neka su A, B, C kutovi i a, b, c nasuprotne stranice sfernog trokuta ABC. Kutovi i stranice su sferni. trokut... Matematička enciklopedija

Područje matematike u kojem se proučavaju ovisnosti između stranica i kutova sfere. trokuta (tj. trokuta na površini sfere) koji nastaju na sjecištu tri velika kruga. S. t. je usko povezan s kuglastim. astronomija... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Sferni trokut Kurtosis sfernog trokuta, ili sferni višak vrijednosti u sf ... Wikipedia

Legendreov teorem u sfernoj trigonometriji omogućuje pojednostavljenje rješenja sfernog trokuta ako se zna da su njegove stranice dovoljno male u usporedbi s polumjerom sfere na kojoj se nalazi. Formulacija ... Wikipedia

Pravokutni sferni trokut s hipotenuzom c, katetama a i b i pravim kutom C. Sferni Pitagorin teorem je teorem koji utvrđuje odnos između stranica pravokutnog ... Wikipedia

Veliki krug uvijek dijeli sferu na dvije jednake polovice. Središte velikog kruga poklapa se sa središtem sfere ... Wikipedia

knjige

• Sferna trigonometrija, Stepanov N.N. , Tečaj sferne trigonometrije N. N. Stepanove udžbenik je za studente: astronome, geodete, topografe, rudare; U isto vrijeme, može poslužiti svrsi... Kategorija: Matematika Izdavač: YoYo Media, Proizvođač: YoYo Media,
• Sferna trigonometrija, Stepanov N.N. , Tečaj sferne trigonometrije N. N. Stepanove udžbenik je za studente: astronome, geodete, topografe, rudare; u isto vrijeme može poslužiti u svrhe... Kategorija:

4)Formula bočnog kosinusa.

Koordinatni sustavi

Koordinatni sustav - skup definicija koji implementira koordinatni metod, odnosno način određivanja položaja točke ili tijela pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuje položaj određene točke naziva se koordinatama te točke. U matematici su koordinate skup brojeva pridruženih točkama mnogostrukosti na nekoj karti određenog atlasa. U elementarnoj geometriji koordinate su veličine koje određuju položaj točke na ravnini i u prostoru. Na ravnini se položaj točke najčešće određuje udaljenostima od dviju ravnih linija (koordinatnih osi) koje se sijeku u jednoj točki (ishodištu) pod pravim kutom; jedna od koordinata naziva se ordinata, a druga apscisa. U prostoru, prema Descartesovom sustavu, položaj točke određen je udaljenostima od tri koordinatne ravnine koje se sijeku u jednoj točki pod pravim kutom jedna prema drugoj ili sfernim koordinatama, gdje je ishodište u središtu kugle. U geografiji, koordinate su zemljopisna širina, dužina i visina iznad poznate zajedničke razine (na primjer, ocean). Vidi geografske koordinate. U astronomiji, koordinate su veličine koje određuju položaj zvijezde, na primjer, rektascenzija i deklinacija. Nebeske koordinate su brojevi koji određuju položaj svjetiljki i pomoćnih točaka na nebeskoj sferi. U astronomiji se koriste različiti sustavi nebeskih koordinata. Svaki od njih je u biti sustav polarnih koordinata na sferi s odgovarajuće odabranim polom. Nebeski koordinatni sustav postavljen je velikom kružnicom nebeske sfere (ili njezinim polom, udaljenim 90° od bilo koje točke te kružnice), označavajući na njoj početnu točku jedne od koordinata. Ovisno o izboru tog kruga, nebeski koordinatni sustavi nazivani su horizontalni, ekvatorijalni, ekliptički i galaktički. Prilikom rješavanja određenog matematičkog ili fizikalnog problema metodom koordinata, možete koristiti različite koordinatne sustave, birajući onaj u kojem se problem rješava lakše ili prikladnije u konkretnom slučaju.

11) Polumjeri zakrivljenosti paralelnog, meridijanskog i normalnog presjeka.

Kroz proizvoljnu točku na površini zemljinog elipsoida može se povući beskonačno mnogo okomitih ravnina koje s površinom elipsoida čine normalne presjeke. Dva od njih: meridijan i presjek prve okomice okomite na njega - nazivaju se glavnim normalnim presjecima. Zakrivljenost površine zemljinog elipsoida u različitim točkama je različita. Štoviše, u istoj točki svi normalni presjeci imaju različite zakrivljenosti. Polumjeri zakrivljenosti glavnih normalnih presjeka u danoj točki su ekstremni, tj. najveći i najmanji među svim ostalim polumjerima zakrivljenosti normalnih presjeka. Vrijednosti polumjera zakrivljenosti meridijana M i prve okomice N na danoj zemljopisnoj širini φ određene su formulama: M = a(1-e²) ​​​​/ (1 - e²*sin² φ) 3/ 2; N = a / (1 - e²*sin² φ) ½

Polumjer zakrivljenosti r proizvoljne paralele elipsoida povezan je s polumjerom zakrivljenosti odsječka prve vertikale relacijom r = N cos φ. Vrijednosti polumjera zakrivljenosti glavnih odsječaka elipsoid M i N karakteriziraju njegov oblik u blizini dane točke. Za proizvoljnu točku na površini elipsoida, omjer polumjera

M / N = 1 - e² / 1 - e²*sin² φ

12) Duljina lukova paralela i meridijana.

L \u003d 2pR \u003d 2. 3.14 6371 "40000 km.

Određivanjem duljine velikog kruga, možete pronaći duljinu luka meridijana (ekvatora) u 1° ili u 1¢:1° luka meridijana (ekvatora) = L/360°= 111 km, 1¢ od meridijanski (ekvatorski) luk 111/60¢ = 1,853 km Duljina svake paralele manja je od duljine ekvatora i ovisi o zemljopisnoj širini mjesta.

Jednaka je L par \u003d L eq cosj par.Položaj točke na površini zemljinog elipsoida može se odrediti geodetskim koordinatama - geodetskom širinom i geodetskom dužinom. Za određivanje položaja točke na površini geoida koriste se astronomske koordinate, dobivene matematičkom obradom rezultata astronomskih mjerenja. Međutim, u nekim slučajevima, kada nije potrebno voditi računa o razlikama geodetskih i astronomskih koordinata, za određivanje položaja točke u zrakoplovnoj navigaciji koristi se pojam geografskih koordinata.Zemljopisna širina j je kut između ekvatorskog ravnina i normala na plohu elipsoida u danoj točki. Geografska širina se mjeri od ravnine ekvatora do polova od 0 do 90° sjeverno ili južno. Sjeverna geografska širina smatra se pozitivnom, južna - negativnom.

13) Transformacija koordinata.

Transformacija koordinatnog sustava je prijelaz iz jednog koordinatnog sustava u drugi.Kod takve zamjene potrebno je uspostaviti formule koje omogućuju, pomoću poznatih koordinata točke u jednom koordinatnom sustavu, odrediti njezine koordinate u drugom.

Glavni cilj transformacije koordinata je odrediti takav koordinatni sustav u kojem jednadžba zadanog pravca postaje najjednostavnija. Dobrim rasporedom koordinatnih osi moguće je osigurati da jednadžba krivulje poprimi najjednostavniji oblik. Ovo je važno za proučavanje svojstava krivulje.

14) Geodetska linija. Direktni i inverzni geodetski problem.

Geodetska linija, krivulja, čije se glavne normale svih točaka poklapaju s normalama plohe na kojoj se nalazi. Najkraća udaljenost između dviju točaka na površini je linija G. ali ne uvijek suprotna.Geodetski problem vezan je za određivanje međusobnog položaja točaka na zemljinoj površini i dijeli se na izravne i inverzne probleme. Izravni G. z. zove se izračunavanje geodetskih koordinata - zemljopisne širine i dužine određene točke koja leži na zemljinom elipsoidu, prema koordinatama druge točke i po duljini i azimutu geodetske linije koja povezuje te točke. Revers G. h. sastoji se u određivanju geodetskih koordinata dviju točaka na zemljinom elipsoidu, duljine i azimuta geodetske linije između tih točaka

15) Konvergencija meridijana.Konvergencija meridijani u nekoj točki zemljinog elipsoida - kut g s između tangente na meridijan te točke i tangente na elipsoid, povučene u istoj točki paralelno s ravninom nekog početnog meridijana. C. m. g s je funkcija razlike između dužina l naznačenih meridijana, geografske širine B točke i parametara elipsoida. Približno, S. m. se izražava formulom g s \u003d lsin. S. m. na ravnini geodetske projekcije, ili kartografske projekcije (ili Gaussove S. m.) je kut g, koji tvori tangentu na slika bilo kojeg meridijana s prvom koordinatnom osi (apscisom) te projekcije, koja je obično slika srednjeg (aksijalnog) meridijana prikazanog teritorija.

16) Opće načelo prikazivanja površina rasklapanjem.

Razvitak jedne plohe u drugu savijanjem je takva transformacija prve plohe, pri kojoj su sačuvani elementi njezine unutarnje geometrije, tj. kutovi. KVADRAT, Gaussova zakrivljenost plohe pa svojstvo najkraćih linija ostaju najkraće Polumjeri zakrivljenosti Ch. normalni presjeci nazivaju se Ch. polumjeri zakrivljenosti u datoj točki površine..R=1/R1*R2- Gaussova zakrivljenost površine.

Elementi sferne trigonometrije

Sferna trigonometrija bavi se proučavanjem odnosa stranica i kutova sfernih trokuta (npr. na površini Zemlje i na nebeskoj sferi).Sferni trokuti. Na površini lopte mjeri se najkraća udaljenost između dviju točaka duž opsega velike kružnice, odnosno kružnice čija ravnina prolazi središtem lopte. Vrhovi sfernog trokuta su sjecišta triju zraka koje izlaze iz središta lopte i sferne plohe. Stranice a, b, c sfernog trokuta su oni kutovi između zraka koji su manji od 180 (ako je jedan od tih kutova 180, tada se sferni trokut degenerira u polukružnicu velike kružnice). Svaka stranica trokuta odgovara luku velikog kruga na površini lopte (vidi sliku).

Kutovi A, B, C sfernog trokuta, suprotne stranice a, b, c, po definiciji su manji od 180, kutovi između lukova velikih kružnica koje odgovaraju stranicama trokuta, odnosno kutovi između ravnine definirane tim zrakama Geometrija na površini lopte je neeuklidska; u svakom sfernom trokutu zbroj stranica je između 0 i 360, zbroj kutova je između 180 i 540. U svakom sfernom trokutu nasuprot veće stranice nalazi se veći kut. Zbroj bilo koje dvije stranice veći je od treće stranice, zbroj bilo koja dva kuta manji je od 180 plus treći kut. Sferni trokut je jedinstveno definiran (do transformacije simetrije): 1) tri stranice, 2) tri kutovi, 3) dvije stranice i između njih zatvoreni kut, 4) stranica i dva kuta uz nju.

4)Formula bočnog kosinusa.

Formula kosinusa stranice povezuje tri stranice i jedan od kutova sfernog trokuta. Pogodno za pronalaženje nepoznatog kuta ili stranice nasuprot ovom kutu, a glasi kako slijedi: "u sfernom trokutu, kosinus stranice jednak je umnošku kosinusa druge dvije stranice plus umnožak sinusa ovih stranica i kosinus kuta između njih"

Za neke od naših klijenata kupnja nakita po narudžbi isplativo je ulaganje u obiteljski kapital, u stabilnu budućnost za djecu i unuke. Za druge klijentice, posebno lijepe dame, ekskluzivni nakit je još jedan način da istaknu svoj stil, ljepotu i zavidan društveni status. Za muškarce - mogućnost pokazivanja ljubavi i pažnje odabranom.

G.P. Matvijevskaja Sferika i sferna trigonometrija u antici i na srednjovjekovnom Istoku / Razvoj metoda za astronomska istraživanja. Broj 8, Moskva-Lenjingrad, 1979

G.P. Matvijevskaja

Sfere i sferna trigonometrija u antici i na srednjovjekovnom Istoku

1. U antici iu srednjem vijeku potrebe astronomije poslužile su kao najvažniji poticaj za razvoj mnogih grana, matematike, a prije svega sferne trigonometrije, koja je bila matematički aparat za rješavanje specifičnih astronomskih problema. S razvojem astronomije, složenošću njezine problematike i povećanjem zahtjeva za točnosti proračuna, ovaj aparat se postupno usavršavao i, sukladno tome, obogaćivao sadržaj sferne trigonometrije. Izlagana je kako u astronomskim raspravama - kao uvodni dio astronomije - tako iu posebnim matematičkim djelima.

Od posebne važnosti za povijest sferne trigonometrije su starogrčki spisi o sferi - znanosti koja je uključivala elemente astronomije, geometrije o sferi i trigonometrije. Do 4.st. PRIJE KRISTA e. bila je potpuno razvijena i smatrana je pomoćnom astronomskom disciplinom. Najraniji poznati radovi o sferi napisani su u razdoblju 4. stoljeća pr. PRIJE KRISTA e. - I stoljeće. n. e. tako istaknuti znanstvenici antike kao što su Autolik, Euklid, Teodozije, Hipsikle, Menelaj.

Ovi radovi omogućuju vam vizualno upoznavanje s početnom fazom razvoja sferne trigonometrije.

Svi rezultati do kojih su Grci došli na području astronomije i trigonometrije bili su, kao što je poznato, generalizirani u 2. stoljeću pr. u Ptolemejevu djelu pod naslovom Matematička zbirka u 13 knjiga. Kasnije, vjerojatno u 3. stoljeću, nazvana je "velika" knjiga, odakle je u srednjem vijeku nastao naziv "Almagest", koji je postao općeprihvaćen: tako se izgovarala riječ "al-majisti" u Latinski - arabizirani oblik od “megiste” (najveći).

Za razliku od "velike" Ptolomejeve knjige, spisi njegovih prethodnika, potrebni za astronomske proračune i spojeni u kasnom helenističkom razdoblju (najkasnije od 4. stoljeća) u jednu zbirku, nazvani su "Mala astronomija". Morali su se proučavati nakon Euklidovih Elemenata, kako bi se Almagest mogao razumjeti. U arapskoj literaturi se, dakle, pojavljuju pod nazivom "srednje knjige" (kutub al-mutawasita).

Ova zbirka uključuje djela Euklida "Podaci", "Optika", "Fenomeni" i pseudoeuklidski "Katoptrik", djela Arhimeda ("O lopti i valjku", "Mjerenje kruga", "Leme" "), Aristarh ("O količinama i udaljenostima Sunca i Mjeseca"), Hipsikle ("O usponu sazviježđa po ekliptici"), Autolika ("O pokretnoj sferi", "O izlasku i zalasku zvijezda fiksnih "), Teodozije ("Kugla", "O danima i noćima", "O stanovima") i Menelaj ("Kugla"). Menelajevo djelo je dodano Maloj astronomiji, vjerojatno kasnije.

Arapski prijevod "srednjih" knjiga, uključujući djela o sferi, pojavio se među prvim prijevodima djela klasika grčke znanosti. Kasnije su više puta komentirani. Među prevodiocima i komentatorima mogu se navesti tako istaknuti znanstvenici kao što su Kosta ibn Luka (IX stoljeće), al-Makhani (IX stoljeće), Sabit ibn Korra (X stoljeće), Ibn Irak (X-XI stoljeća), Nasir ad-Din at -Tusi (XIII st.) i drugi.

Grčkoj “Maloj astronomiji” istočnjački učenjaci kasnije su dodali djela “O mjerenju figura” od Banu Muse, “Podatke” i “Knjigu potpunog četverokuta” od Sabita ibn Korre, “Raspravu o potpunom četverokutu” od Nasir ad-Din at-Tusi.

Potrebu dubljeg poznavanja "srednjih" knjiga dobro su prepoznali istočnjački matematičari i astronomi, a naglašavali su je još u 17. stoljeću. u nadaleko poznatoj bibliografskoj enciklopediji Hadži Halife „Skidanje vela s naslova knjiga i nauka“. Tekst ovih rasprava, kao i komentari na njih, sačuvan je u brojnim arapskim rukopisima. To uključuje, na primjer, rukopisnu zbirku koju još nitko nije proučavao, pohranjenu u Državnoj javnoj knjižnici. M. E. Saltykov-Shchedrin u Lenjingradu (zbirka Khanykov, br. 144).

Još 1902. godine poznati povjesničar matematike A. Bjornbo sa žaljenjem je primijetio da se premalo pažnje pridavalo tom području antičke znanosti, koje se može definirati kao "uvod u astronomiju" i koje se ogleda u "prosječnoj "knjige. Posebno je inzistirao na potrebi cjelovitog kritičkog izdanja teksta djela i, u vezi s tim, postavio pitanje proučavanja njihovih arapskih verzija. Veliku zaslugu u proučavanju "male astronomije" ima i sam A. Bjornbo, kao i F. Gulch, I.L. Geiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Mozhene i dr. Međutim, daleko od toga da je sve do sada učinjeno u tom smjeru. Ovo se posebno odnosi na "srednje" knjige u arapskom tumačenju.

Znanstvenici istočnog srednjeg vijeka često su činili značajne dodatke grčkim djelima, nudili vlastite dokaze teorema i ponekad unosili nove ideje u antičku teoriju. S ove točke gledišta, arapske verzije djela posvećenih ovoj sferi zaslužuju veliku pažnju. Od posebne je važnosti proučavanje komentara na Menelajevo djelo, koje su sastavili Abu Nasr ibn Iraq i Nasir ad-Din at-Tusi, koji su odigrali značajnu ulogu u povijesti sferne trigonometrije.

2. Najstariji spisi o sferi koji su došli do nas - i, općenito, iz matematičkih spisa Grka - su rasprave Autolika iz Pitane (oko 310. pr. Kr.) "O rotirajućoj sferi" i "O izlascima sunca". i zalascima sunca”. Obojica se bave pitanjima geometrije na sferi primijenjenoj na astronomiju.

Autolik proučava sferu koja rotira oko osi i kružne isječke na njoj: velike kružnice koje prolaze kroz oba pola, male kružnice dobivene presjecanjem kugle ravninama okomitim na os i velike kružnice koje prolaze koso na nju. Kretanje točaka ovih kružnica razmatra se u odnosu na neku fiksnu sekansnu ravninu koja prolazi središtem. Ovdje je lako vidjeti model nebeske sfere s nebeskim meridijanima, paralelama, ekvatorom, ekliptikom i horizontom. Prezentacija se, međutim, vodi čisto geometrijskim jezikom i ne koriste se astronomski pojmovi.

U eseju od 12 rečenica "O pokretnoj sferi", Autolik uvodi koncept jednolikog gibanja ("točka se jednoliko giba ako putuje jednakim stazama u jednakim vremenima") i primjenjuje taj koncept na rotirajuću sferu. Najprije pokazuje da točke njezine plohe koje ne leže na osi pri jednolikoj rotaciji opisuju paralelne kružnice s istim polovima kao i sfera, a ravninama okomitima na os (tvrdnja 1). Nadalje, dokazuje se da sve točke plohe u jednakom vremenu opisuju slične lukove (tvrdnja 2) i obrnuto, tj. ako se dva luka paralelnih kružnica prijeđu u jednakom vremenu, onda su one slične (tvrdnja 3).

Uvodeći pojam horizonta - velikog kruga koji dijeli dio ove sfere vidljiv promatraču koji se nalazi u središtu sfere od nevidljivog - Autolik razmatra kretanje točaka površine u odnosu na njega. Istražuju se različiti mogući položaji horizonta, kada je okomit na os, prolazi kroz polove i nagnut je na os. U prvom slučaju (koji se odvija na zemaljskom polu), nijedna točka na površini sfere, s ravnomjernom rotacijom, neće se uzdizati ili zalaziti; sve točke vidljivog dijela uvijek ostaju vidljive, a sve točke nevidljivog dijela ostaju nevidljive (tvrdnja 4).

U drugom slučaju, koji se odvija na zemljinom ekvatoru, sve točke na površini sfere se dižu i zalaze, a nalaze se u isto vrijeme iznad i ispod horizonta (propozicija 5).

Konačno, u posljednjem - općem - slučaju, horizont dodiruje dva jednaka paralelna kruga, od kojih je onaj koji leži na vidljivom polu uvijek vidljiv, a drugi je uvijek nevidljiv (tvrdnja 6). Površinske točke između tih kružnica dižu se i zalaze te uvijek prolaze kroz iste točke na horizontu, krećući se kružnice okomito na os i nagnute prema horizontu pod istim kutom (tvrdnja 7). Svaki veliki krug fiksiran na površini kugle, koji dodiruje iste paralelne kružnice kao i horizont, poklopit će se s horizontom kada kugla rotira (tvrdnja 8). Osim toga, utvrđeno je da ako je horizont nagnut prema osi, tada od dviju točaka koje se istodobno penju kasnije zalazi ona koja je bliža vidljivom polu; ako dvije točke zalaze istodobno, tada ona koja se nalazi bliže vidljivom polu ustaje ranije.

Pokazujući nadalje da će u slučaju kada je horizont nagnut prema osi, veliki krug koji prolazi kroz polove sfere (tj. meridijan) biti dva puta okomit na horizont tijekom svoje revolucije (tvrdnja 10), Autolik formulira i dokazuje teorem (Propozicija 11), koji se bitno bavi ekliptikom. Govorimo o tome kako izlazak i zalazak točaka koje leže na ovom velikom krugu ovisi o njegovom položaju u odnosu na horizont. Dokazano je da ako su obje nagnute prema osi, a ekliptika dodiruje dvije kružnice na sferi međusobno paralelne i okomite na os, veće od onih koje dodiruje horizont, tada će točke ekliptike uvijek imaju svoje izlaske i zalaske na segmentu horizonta koji leži između paralelnih kružnica tangentnih na ekliptiku.

Posljednja rečenica glasi: Ako fiksni krug na površini sfere uvijek raspolavlja drugi krug koji rotira sa sferom, pri čemu oba nisu okomita na os i ne prolaze kroz polove, tada su to velike kružnice.

Autolikova rasprava "O izlascima i zalascima sunca", koja se sastoji od dvije knjige, temelji se na recenziranom eseju. Opisuje kretanje zvijezda fiksnih (knjiga 1), s posebnim osvrtom na dvanaest zviježđa smještenih na; ekliptika (II. knjiga). Ispada kada zvijezde izlaze i zalaze, imaju različite položaje na nebeskoj sferi, i pod kojim okolnostima su vidljive ili nevidljive.

Autolikovi spisi o kugli, koji su imali karakter elementarnih udžbenika, nisu izgubili na aktualnosti ni u antici ni u srednjem vijeku. Sadržaj rasprave "O pokretnoj sferi" iznio je u 6. knjizi svoje "Matematičke zbirke" Papus iz Aleksandrije (3. st. po Kr.). O značaju uloge Autolika u razvoju znanosti zapisano je u 6.st. Simplicija i Ivana Filopona. Grčki tekst oba njegova djela u potpunosti je sačuvan do danas.

Autolika su djela prevedena na arapski u 9. i ranom 10. stoljeću. među prvim grčkim spisima koji su pobudili zanimanje istočnih učenjaka. Prijevod traktata "O sferi koja se kreće" sa izvornog grčkog izvršio je poznati prevodilac Ishak ibn Hunejn (u. 910/911). Njegov suvremenik, astronom, filozof i liječnik Kusta ibn Luka al-Baalbaki (u. 912.) preveo je raspravu O izlascima i zalascima sunca. Ove prijevode je potom revidirao poznati matematičar i astronom Thabit ibn Korra (umro 901.). Kasnije, u XIII.st. radove Autolika komentirao je istaknuti znanstvenik, voditelj zvjezdarnice Maraga Nasir ad-Din at-Tusi (1201. - 1274.) .

U Europi su arapske verzije Autolikovih djela postale poznate u 12. stoljeću. Do tada je latinski prijevod traktata "O pokretnoj sferi" napravio najveći srednjovjekovni prevoditelj Gerardo iz Cremone (1114-1187).

Grčki tekst Autolikovih spisa, sačuvan u nekoliko rukopisa 10.-15. stoljeća, privukao je pozornost znanstvenika u 16. stoljeću, kada je u Europi pod utjecajem humanističkih ideja počelo pomno proučavanje antičke znanstvene baštine. Prvi put latinica; prijevod obiju rasprava s grčkog izvornika objavljen je u enciklopediji talijanskog prosvjetitelja Georgea Balle (G. Valla, oko 1447.-1500.) 1501., a zatim u zbirci antičkih spisa o sferi, koja je izašla god. 1558. u Messini Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575).

Aktivan rad na objavljivanju matematičkih i astronomskih djela antičkih autora odvijao se u tom razdoblju u Francuskoj, gdje ga je pokrenuo jedan od istaknutih ličnosti francuske renesanse, strastveni propagandist antičke znanosti P. Ramus (P. Ramus , Pierre de la Ramée, 1515.-1572.); Posvećen je prvom grčkom izdanju djela Autolika, koje je izveo Konrad Dazipodije (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600); objavljena je 1572. u Strasbourgu, zajedno s latinskim prijevodom. Drugi učenik Ramusa P. Forcadela (Pierre Forcadel, oko 1520.-1574.) objavio je 1572. francuski prijevod obiju Autolikovih rasprava.

Godine 1587.-1588. pojavilo se još jedno latinsko izdanje, koje je napravio I. Auria (I. Auria) na nekoliko grčkih rukopisa iz Vatikanske knjižnice, a 1644. M. Mersenne (M. Megsenn, 1588-1648) objavio je skraćeni latinski prijevod djela Autolika dr. Grčki spisi o matematici i astronomiji.

Cjelovito kritičko izdanje grčkog teksta Autolikovih rasprava, zajedno s latinskim prijevodom, izvršio je 1855. F. Gulch. Bio je temelj njemačkog prijevoda A. Chvalina, objavljenog 1931. godine.

Naposljetku, novo izdanje grčkog teksta, temeljeno na temeljitom proučavanju svih sačuvanih rukopisa, poduzeo je J. Maugenet 1950.; tekstu prethodi temeljita studija povijesti europskih izdanja Autolikovih djela. Godine 1971. u Bejrutu je objavljen engleski prijevod ovog teksta, koji je, međutim, izazvao ozbiljne kritike O. Neugebauera.

Autolikovi spisi privukli su pozornost mnogih povjesničara astronomije i matematike. Proučavaju se i Autolikova teorija i tekst njegovih spisa. Pokazuje se, primjerice, da su dvije knjige koje čine "O izlasku i zalasku sunca" po svoj prilici dvije verzije istoga djela.

Arapske verzije rasprava Autolik, koje su bile među "srednjim knjigama", još su najmanje proučavane, iako postoje u brojnim rukopisima pohranjenim u raznim knjižnicama u Europi i Aziji.

3. U drugoj polovici 4.st. PRIJE KRISTA e., pojavio se još jedan esej o sferi, sadržajem blizak Autolikovim djelima, a napisao ga je njegov mlađi suvremenik Euklid, slavni autor Početaka. U ovoj raspravi pod naslovom "Fenomeni" Euklid umnogome ponavlja svog prethodnika, ali je kod njega mnogo jasnije izražena veza između sfere i praktične astronomije.

Euklidov “Fenomen” sastoji se od 18 rečenica. Prvi formulira izjavu na kojoj se temelji geocentrični sustav svijeta da se Zemlja uzima kao središte svemira. Budući da položaj promatrača na zemljinoj površini treba smatrati proizvoljnim, iz ove tvrdnje proizlazi da se u odnosu na cijeli svemir Zemlja smatra točkom u kojoj se promatrač nalazi.

Ponovivši u 2. i 3. rečenici sedmi Autolikov teorem iz traktata “O pokretnoj sferi”, Euklid prelazi na proučavanje izlaska i zalaska znakova zodijaka - 12 zviježđa smještenih na ekliptici, tj. svaki od dvanaest lukova, ekliptika, jednaka 30 ° i uvjetno odgovara ovim konstelacijama. On dokazuje (propozicija 4) da ako se ekliptika ne siječe s najvećim od uvijek vidljivih krugova na nebeskoj sferi, tj. ako je geografska širina mjesta promatranja manja od 66°, tada prva zalaze i zviježđa koja se prva uspinju. ; ako se siječe s njim, odnosno ako je širina mjesta promatranja veća od 66 °, tada se zviježđa koja se nalaze na sjeveru dižu ranije i zalaze kasnije od onih koja se nalaze na jugu (propozicija 5). Dakle, značajke izlaska i zalaska zviježđa ovise o geografskoj širini mjesta promatranja, odnosno o veličini kuta između osi svijeta i horizonta.

Nakon što je nadalje pokazao da su izlazak i zalazak zvijezda koje se nalaze na suprotnim krajevima promjera ekliptike međusobno suprotni (propozicija 6), Euklid objašnjava jedanaesti teorem iz Autolikove rasprave "O pokretnoj sferi": zvijezde smještene na ekliptici , tijekom svog izlaska i zalaska, prelaze dio horizonta zatvorenog između tropskih područja, a to se sjecište događa u stalnim točkama (tvrdnja 7).

Zatim dokazuje da se jednaki lukovi znakova zodijaka dižu i zalaze na nejednake lukove horizonta, tim veći što su bliže ekvinocijima; u isto vrijeme, lukovi jednako udaljeni od ekvatora penju se i zalaze na jednake lukove horizonta (tvrdnja 8).

Sljedeći teoremi tiču ​​se trajanja izlaska i zalaska sunca za različite znakove zodijaka. Najprije je utvrđeno da će vrijeme potrebno za izlazak polovice ekliptike biti različito ovisno o položaju početne referentne točke (propozicija 9). To odgovara tvrdnji o različitoj duljini dana i noći u različitim godišnjim dobima, kada je Sunce u različitim znakovima zodijaka. Zatim se razmatra vrijeme potrebno za izlazak i zalazak jednakih i suprotnih znakova zodijaka.

Rješenje pitanja koja je postavio Euklid bilo je izuzetno važno za stare astronome, budući da se ticalo metoda za određivanje sata dana i noći, uspostavljanje kalendara itd.

4. Tako su u razmatranim Autolikovim i Euklidovim djelima ocrtani teorijski i praktični temelji starogrčke sferike. Oba su autora, međutim, slijedila neki raniji obrazac, jer su iznijeli brojne tvrdnje o sferi bez dokaza, vjerojatno ih smatrajući poznatima. Moguće je da je autor takvog djela o sferi, općepriznatog u to vrijeme, bio veliki matematičar i astronom Eudoks iz Knida (oko 408.-355. pr. Kr.).

O ovom izgubljenom djelu sada se sudi po Teodozijevoj Sferi, koja je napisana kasnije, ali nedvojbeno ponavlja njegov sadržaj u glavnom.

5. O životu i životopisu Teodozija postoje različita mišljenja, koja se temelje na često oprečnim izvješćima antičkih povjesničara, koji su greškom spojili nekoliko osoba koje su nosile ovo ime u jednoj osobi. Sada je utvrđeno da je autor Sfere došao iz Bitinije, a ne iz Tripolija, kako se ranije vjerovalo i naznačeno u naslovima mnogih izdanja njegovih djela. Vjerojatno je živio u 2. polovici 2. st. pr. PRIJE KRISTA e., iako su ga obično nazivali Ciceronovim suvremenikom (oko 50. pr. Kr.).

Osim Sfera, sačuvana su još dva Teodozijeva spisa, također uvrštena u "srednje knjige", na izvornom grčkom jeziku. Najveća rasprava "O stanovima" uključuje 12 rečenica i posvećena je opisu zvjezdanog neba s gledišta promatrača koji se nalaze na različitim geografskim širinama. Druga rasprava, pod naslovom "O danima i noćima" i sastoji se od dvije knjige, razmatra luk ekliptike kroz koji sunce putuje u jednom danu i ispituje uvjete potrebne, na primjer, da dan i noć stvarno budu jednaki. na ekvinocije.

Ove spise su proučavali i komentirali mnogi arapski znanstvenici, a privukli su pozornost u Europi u 16. stoljeću, kada su otkriveni njihovi grčki rukopisi. Prvu je od njih u latinskom prijevodu 1558. objavio F. Mavroliko, uz niz drugih radova o sferi, a zatim je 1572. K. Dasipodius objavio grčke i latinske formulacije teorema iz ove rasprave u knjizi navedeno gore. Iste 1572. godine objavljen je francuski prijevod Teodozijeva djela u verziji Dasipodija, koju je napravio P. Forcadel. Sljedeća latinska izdanja nastala su 1587. (I. Auria) i 1644. (M, Mersenne). Puni grčki tekst rasprave "O stanovima" zajedno s latinskim prijevodom objavio je tek 1927. R. Fecht. U istom izdanju prvi put se reproducira izvorni tekst djela "O danima i noćima" i njegov latinski prijevod. Ranije je bila poznata zahvaljujući tekstu rečenica na grčkom i latinskom koji je 1572. objavio K. Dasipodius i cjelovitom latinskom prijevodu u izdanju I. Auria.

Teodozijevo najpoznatije djelo bila je njegova "Kugla" koja zauzima važno mjesto u povijesti astronomije, sferne trigonometrije i neeuklidske geometrije.

Teodozije detaljno proučava svojstva linija na površini kugle dobivene njezinim presjecanjem različitim ravninama. Treba naglasiti da se sferni trokut kod njega još ne pojavljuje. Djelo je nastalo po uzoru na Euklidove “Početke” i sastoji se od tri knjige. Prva knjiga, koja uključuje 23 rečenice, počinje sa šest definicija. Sfera je definirana kao "čvrsta figura omeđena jednom površinom, tako da su sve ravne linije koje padaju na nju iz jedne točke unutar figure jednake jedna drugoj", tj. slično kao što je krug definiran u "Načelima" (I. knjiga, 15. definicija) ; zanimljivo je primijetiti da sam Euklid u knjizi XI "Početaka" kuglu definira na drugačiji način - kao tijelo nastalo rotacijom polukruga oko fiksnog promjera (knjiga XI, 14. definicija). Nadalje, dana je definicija središta sfere, njezine osi i polova. Pol kruga nacrtanog na sferi definiran je kao. točka na površini kugle takva da su sve linije povučene kroz nju do opsega kruga jednake. Konačno, šesta definicija odnosi se na kružnice na sferi jednako udaljene od njezina središta: prema Teodoziju, to su kružnice takve da su okomice povučene iz središta sfere na njihove ravnine međusobno jednake.

Rečenice 1. knjige sasvim su elementarne: dokazano; posebno, da je svaki presjek sfere ravninom kružnica, da je ravna crta povučena iz središta sfere u središte kružnog presjeka okomita na ravninu tog presjeka, da sfera i ravnina imaju jedna kontaktna točka itd.

Druga knjiga Teodozijevih sfera počinje definicijom dviju kružnica na sferi koje se dodiruju i sadrži 23 rečenice o svojstvima kružnica koje su nagnute jedna prema drugoj.

Treća knjiga sastoji se od 14 rečenica, složenijih od prethodnih, a bavi se sustavima paralelnih i križnih kružnica na sferi. Ovdje je pojašnjena uslužna uloga sfere u odnosu na astronomiju, iako su svi teoremi formulirani i dokazani čisto geometrijski.

Teodozijeva "Sfera" pomno je proučavana iu antici i u srednjem vijeku. Komentirao ju je Papus iz Aleksandrije (3. stoljeće) u 6. knjizi svoje Matematičke zbirke. U VI stoljeću. John Philopon, razmatrajući spise o sferi Euklida, Autolika i Teodozija, primjećuje da potonji daje najopćenitiji apstraktni prikaz predmeta, potpuno apstrahirajući od stvarnih astronomskih objekata. Autolik, po njegovu mišljenju, razmatra posebniji slučaj, jer "čak i ako autor nema na umu neki određeni predmet, onda se zahvaljujući spoju sferne figure i pokreta približava stvarnosti." Najposebnije pitanje obrađeno je u Euklidovim "Fenomenima", budući da su objekti koje proučava astronomija - nebo, sunce, zvijezde, planeti - sasvim stvarni.

Teodozije je prvi preveo "Sferu" na arapski u 9. stoljeću. Kusta ibn Luka al-Baalbaki; njegov prijevod, doveden do 5. rečenice Knjige II, dovršio je Thabit ibn Korra al-Harrani.

Postoje brojni komentari o ovom, kao io drugim Teodozijevim spisima, koje su sastavili istočnjački znanstvenici 13.-15. stoljeća. , među kojima su istaknuti matematičari i astronomi kao što su Nasir ad-Din at-Tusi (1201. - 1274.), Yahya ibn Muhammad ibn Abi Shukr Mukhi ad-Din al-Maghribi (umro oko 1285.), Muhammad ibn Ma'ruf ibn Ahmad Taqi ad- Din (1525/1526-1585) i drugi.

Obrada Teodozijeve kugle, vlasništvo predstavnika poznate znanstvene škole Maraga iz 13. stoljeća. Muhi ad-Din al-Maghribi, istražio je i djelomično na francuski preveo B. Kappa de Vaux. Ova rasprava skreće pozornost na astronomsku terminologiju, koja se koristi u prezentaciji i dokazu Teodozijevih teorema. Tako se ovdje, još jasnije nego u grčkom izvorniku, pojavljuje veza sfere s astronomijom, što objašnjava njezinu važnost za istočnjačku znanost.

U Europi je Teodozijeva Kugla postala poznata u 12. stoljeću, kada su se pojavila dva latinska prijevoda ovog djela s njegove arapske verzije. Izradili su ih ugledni prevoditelji koji su djelovali u Španjolskoj, Gerardo iz Cremone i Platon iz Tivolija. Prijevod potonjeg objavljen je 1518. u Veneciji, zatim ponovno objavljen 1529. u izdanju I. Voegelina (I. Voegelin, umro 1549.), a 1558. - spomenuta knjiga F. Mavrolika.

Grčki tekst "Sfere" prvi put je objavio 1558. J. Pena zajedno s latinskim prijevodom. Ovo je izdanje omogućilo da se razjasni razlika između arapske verzije Teodozijeva djela i izvornika i utvrdi koje su dopune i promjene u dokazu teorema napravili istočnjački znanstvenici. Međutim, grčki rukopis koji je koristio Pena patio je od mnogih nedostataka. Stoga je 1707. u Oxfordu I. Hunt poduzeo novo i poboljšano izdanje, unoseći neke ispravke na druge rukopise. Potom je grčki tekst djela (također s latinskim prijevodom) pretisnut još dvaput: 1862. E. Nice i 1927. I. Geiberg.

Počevši od druge polovice 16. stoljeća počinju izlaziti skraćena i prilagođena izdanja Sfera na latinskom, u kojima se teoremi objašnjavaju pomoću novih matematičkih pojmova i pomoću sferne trigonometrije. Godine 1586. u Rimu je objavljeno izdanje X. Klavija (Ch. Clavius), a u 17.st. slijedilo je nekoliko drugih, uključujući izdanja M. Mersennea (1644.) i I. Barrowa (1675.) simbolizam.

Godine 1826. Kugla je objavljena u njemačkom prijevodu E. Nicea. Drugo njemačko izdanje djela izveo je 1931. A. Chvalina (zajedno s raspravama Autolika). Prvi francuski prijevod "Sfera", D. Henriona, objavljen je 1615., sljedeći, u vlasništvu J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), - 1660. godine; napokon se 1927. pojavio moderni prijevod P. Ver Eeckea.

Radovi mnogih povjesničara matematike (A. Knock, I. Geiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Bjornbo i dr.) posvećeni su proučavanju teksta i sadržaja Teodozijeve Kugle u III. VII stoljeća. a sačuvana u grčkim rukopisima kasnijeg vremena, razmatran je odnos između Teodozijeve "Sfere" i Euklidovih "Fenomena" i drugih djela antičkih autora. Rezultati tih istraživanja omogućili su razjašnjenje niza pitanja vezanih uz povijest matematike i astronomije, kao i biografije Euklida, Autolika, Teodozija i nekih komentatora njihovih djela.

6. Sadržaj grčkih radova o sferi blizak je malom djelu Hipsikla iz Aleksandrije (živio između 200. i 100. pr. Kr.), pod naslovom "O uzdizanju zviježđa duž ekliptike" ("Anaforika"). Hipsikle je najpoznatiji kao autor rasprave o pravilnim poliedrima, uključene u Euklidove Elemente kao knjiga XIV; drugo njegovo djelo, o poligonalnim brojevima, koje nije sačuvano, citirano je u Diofantovoj Aritmetici.

U traktatu "O penjanju zviježđa na ekliptiku", koji se sastoji od šest rečenica, rješava se problem određivanja vremena potrebnog za izlazak ili zalazak svakog znaka zodijaka, koji zauzima 1/12 ekliptike, ili "stupanj", tj. 1/30 dijela ekliptike. Igrala je važnu ulogu u astrološkom razmišljanju i stoga je uživala veliku popularnost u antici iu srednjem vijeku. Problem se može riješiti pomoću sferne trigonometrije, ali Hipsikle, koji još nije imao takva sredstva, riješio ga je približno, koristeći njemu poznate teoreme o poligonalnim brojevima. U ovom djelu prvi put dolazi do podjele opsega kruga na 360 dijelova, što nije bio slučaj kod njegovih prethodnika, a posebno kod Autolika.

Hipsiklova rasprava bila je jedna od "srednjih knjiga" i prevedena je na arapski u 9. stoljeću. Postoji mnogo rukopisa ovog prijevoda, ali je on dugo bio neistražen i nije se precizno utvrdilo da li su ga izvršili Kusta ibn Luka, El-Kindi ili Ishak ibn Hunejn. On je u 12. stoljeću preveo arapsku verziju djela na latinski. Gerardo iz Cremone.

Kritičko izdanje grčkog izvornika i latinskog prijevoda Gerarda iz Cremone izvršio je 1888. K. Manitius. Drugo izdanje, objavljeno 1966., uključuje grčki tekst, skolije i prijevod W. De Falca, arapski tekst i njemački prijevod M. Krausea te uvodni članak O. Neugebauera.

7. Od svih starih spisa o sferi, najveću ulogu u povijesti znanosti odigrala je Menelajeva "Sfera", koji je djelovao u Aleksandriji u 1. st. pr. n. e. te sumirajući sve rezultate koji su u ovoj oblasti postignuti prije njega. U njegovom djelu ne samo da je navedena geometrija na sferi, već je prvi put uveden sferni trokut, sukcesivno su dokazani teoremi koji su poslužili kao osnova sferne trigonometrije i stvorena teorijska osnova za trigonometrijska izračunavanja.

Podaci o životu Menelaja su vrlo rijetki. Poznato je da je 98. godine vršio astronomska promatranja u Rimu. Sfera, njegovo glavno djelo, nije sačuvana u izvornom grčkom jeziku i poznata je samo iz srednjovjekovnih arapskih prijevoda.

Kugla se sastoji od tri knjige i nastala je po uzoru na Euklidove Elemente. Prije svega, uvode se definicije osnovnih pojmova, uključujući pojam sfernog trokuta, koji se ne nalazi u ranijim grčkim djelima. Značajan dio rada posvećen je proučavanju svojstava ove figure.

Pri dokazivanju tvrdnji o svojstvima crta i likova na sferi oslanja se na definicije i teoreme iz Teodozijeve Sfere. U 2. knjizi ti su teoremi, kao i tvrdnje formulirane u astronomskom obliku u Euklidovim Fenomenima i Hipsiklovoj Anaforici, sistematizirani i opremljeni novim rigoroznim dokazima.

Osobito važnu ulogu u povijesti trigonometrije odigrala je 1. rečenica knjige III, poznata kao “Menelajevi teoremi” (kao i “teoreme o potpunom četverokutu”, “pravila šest veličina”, “teoreme o transverzalama). ”). Prema riječima A. Braunmühla, to je bio "temelj cjelokupne sferne trigonometrije Grka".

Menelajev teorem za ravninski slučaj formuliran je na sljedeći način: neka su dani pravci AB, AC, BE i CD koji se međusobno sijeku i tvore lik ACGB (slika 1); tada vrijede relacije:

CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Za sferni slučaj, u teoremu se, kao što je bilo uobičajeno u grčkoj trigonometriji, pojavljuju tetive udvostručenih lukova. Ako je dana figura ACGB (slika 2), koju čine lukovi velikih kružnica na površini sfere, tada vrijede relacije:

akord (2CE) / akord (2AE) = akord (2CG) / akord (2DG) * akord (2DB) / akord (2AB)

akord (2AC) / akord (2AE) = akord (2CD) / akord (2DG) * akord (2GB) / akord (2BE)

Menelaj je također dokazao nekoliko drugih teorema od temeljne važnosti za razvoj sferne trigonometrije. To uključuje takozvano "pravilo četiriju veličina" (2. rečenica knjige III); ako su dana dva sferna trokuta ABC i DEG (slika 3), koji redom imaju jednake (ili zbroj do 180°) kutove A i D, C i G, tada

akord (2AB) / akord (2BC) = akord (2DE) / akord (2EG)

Treća rečenica III knjige "Sfera" Menelaja, koja je kasnije dobila naziv "pravila tangenti", glasi; što ako su dana dva pravokutna sferna trokuta ABC i DEG (sl. 4) za koja

akord (2AB) / akord (2AC) = akord (2ED) / akord (2GD) * akord (2BH) / akord (2ET)

KNJIŽEVNOST

1. Geiberg I.L. Prirodne znanosti i matematika u klasičnoj antici. Prijevod s njem. S.P. Kondratiev, ur. s predgovorom A.P. Juškevič, M-L., ONTI, 1936.

2. Sarton G. Uvažavanje antičke i srednjovjekovne znanosti tijekom renesanse, Philadelphia, 1953.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studienüber Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l"édition critique des traités de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex tradicija Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex tradicija eiusdem. Maurolyci, Sphaericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Teodozije. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Mesana, 1558.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicae synopsis, Parisiis, 1644.

9. Auto1yci. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, willow cum scholiis antiquis o libris manuscriptis edidit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Euklid. Opera omnia. ur. J. L. Heiberg et H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Leipzig, 1916.

11. Tannery P. Recherches sur l "histoire sur l" astronomie ancienne, Pariz, 1893.

12. Carra de Vaux B. Obavijest sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8. sér., t. 17, 1894, 287-295.

13. Teodozije Tripolit. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N. F., Bd 19, No 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco i M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, br. 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936.

Bilješke

Primjerak ovog rijetkog izdanja dostupan je u Knjižnici. U I. Lenjina.

Kopija je dostupna u knjižnici Akademije znanosti SSSR-a.

SFERNA TRIGONOMETRIJA

trigonometrija, matematička disciplina koja proučava odnose između kutova i stranica sfernih trokuta (vidi sferna geometrija). Neka su A, B, C kutovi, a a, b, c suprotne stranice sfernog trokuta ABC (vidi sliku). Kutovi i stranice sfernog trokuta povezani su sljedećim osnovnim formulama S. t.:

cos a cos b cos c + sin b sin c cos A, (2)

cos A - cos B cos C + sin B sin C cos a, (21)

sin a cos B cos b sin c - sin b cos c cos A, (3)

sin A cos b cos B sin C + sin B cos C cos a; (31)

u ovim formulama, stranice a, b, c mjere se odgovarajućim središnjim kutovima, duljine tih stranica su redom aR, bR, cR, gdje je R polumjer kugle. Promjenom oznaka kutova (i stranica) prema pravilu kružne permutacije: A - B - C - A (a - b - c - a), možete napisati druge S. t. formule slične navedenima. Formule sfernih trokuta omogućuju određivanje preostala tri elementa iz bilo koja tri elementa sfernog trokuta (riješiti trokut).

Za pravokutne sferne trokute (A 90 |, a - hipotenuza, b, c - noge), S. t. formule su pojednostavljene, na primjer:

grijeh b grijeh a grijeh V,(1")

cos a cos b cos c, (2")

sin a cos B cos b sin c .(3")

Da biste dobili formule koje povezuju elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemoničko pravilo (Napierovo pravilo): ako katete pravokutnog sfernog trokuta zamijenite njihovim komplementima i rasporedite elemente trokuta (isključujući pravi kut A) oko kruga redom kojim su u trokutu (to jest, kako slijedi: B, a, C, 90 | - b, 90 | - c), tada je kosinus svakog elementa jednak umnožak sinusa nesusjednih elemenata, na primjer,

jer grijeh (90| - c) grijeh (90 | - b)

ili nakon transformacije,

cos a cos b cos c (formula 2").

Pri rješavanju problema prikladne su sljedeće Delambreove formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:

Pri rješavanju mnogih problema sferne astronomije, ovisno o potrebnoj točnosti, često je dovoljno koristiti približne formule: za male sferne trokute (to jest, one čije su stranice male u usporedbi s polumjerom sfere), možete koristiti formule ravninske trigonometrije; za uske sferne trokute (tj. one u kojima je jedna stranica, na primjer a, mala u usporedbi s ostalima), vrijede sljedeće formule:

ili preciznije formule:

S. t. je nastao mnogo ranije od ravne trigonometrije. Svojstva pravokutnih sfernih trokuta, izražena formulama (1")-(3"), i razne slučajeve njihova rješenja poznavali su još grčki znanstvenici Menelaj (1. st.) i Ptolomej (2. st.). Grčki su znanstvenici sveli rješenje kosih sfernih trokuta na rješenje pravokutnih. Azerbajdžanski znanstvenik Nasiraddin Tuei (13. st.) sustavno je ispitivao sve slučajeve rješavanja kosih sfernih trokuta, prvi put naznačivši rješenje u dva najteža slučaja. Osnovne formule za kose sferne trokute pronašli su arapski znanstvenik Abul-Vefa (10. st.) [formula (1)], njemački matematičar I. Regiomontan (sredina 15. st.) [formule poput (2)], a francuski matematičar F. Viet (2. pol. 16. st.) [formule tipa (21)] i L. Euler (Rusija, 18. st.) [formule tipa (3) i (31)]. Euler (1753. i 1779.) dao je cijeli sustav formula za S. T. Neke formule za S. T. prikladne za praksu ustanovili su škotski matematičar J. Napier (kraj 16. - početak 17. st.), engleski matematičar G. 17. st.), ruski astronom. A. I. Leksel (druga polovica 18. st.), francuski astronom J. Delambre (kraj 18. - početak 19. st.) i drugi.

Lit. vidjeti u čl. sferna geometrija.

Velika sovjetska enciklopedija, TSB. 2012

Također pogledajte tumačenja, sinonime, značenja riječi i što je SFERIČNA TRIGONOMETRIJA na ruskom u rječnicima, enciklopedijama i referentnim knjigama:

• SFERNA TRIGONOMETRIJA
  
• SFERNA TRIGONOMETRIJA
  grana matematike koja proučava odnose između stranica i kutova sfernih trokuta (tj. trokuta na površini sfere) nastalih kada ...
• TRIGONOMETRIJA u Velikom enciklopedijskom rječniku:
  (od grčkog trigonon - trokut i ... metrika) grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na ...
• TRIGONOMETRIJA
  (od grč. trigonon - trokuti - metrika), grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene u geometriji. …
• TRIGONOMETRIJA u Enciklopedijskom rječniku Brockhausa i Euphrona.
• TRIGONOMETRIJA u Modernom enciklopedijskom rječniku:
  
• TRIGONOMETRIJA
  (od grčkog trigonon - trokut i ... metar), grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene u geometriji. Odvojite…
• TRIGONOMETRIJA u Enciklopedijskom rječniku:
  i, pl. sada. Grana matematike koja proučava odnos između stranica i kutova trokuta. Trigonometrijski - koji se odnosi na trigonometriju.||Usp. ALGEBRA, ...
• TRIGONOMETRIJA u Enciklopedijskom rječniku:
  , -i, f. Grana matematike koja proučava odnos između stranica i kutova trokuta. II prid. trigonometrijski, -th, ...
• TRIGONOMETRIJA
  TRIGONOMETRIJA (od grč. trigonon - trokut i ... metrika), dio matematike, u kojem se proučava trigonometrija. funkcije i njihove primjene na ...
• SFERIČAN u Velikom ruskom enciklopedijskom rječniku:
  SFERNA TRIGONOMETRIJA, grana matematike u kojoj se proučavaju odnosi između stranica i kutova sfernih predmeta. trokuti (tj. trokuti na površini sfere) formirani od ...
• SFERIČAN u Velikom ruskom enciklopedijskom rječniku:
  SFERNA GEOMETRIJA, grana matematike u kojoj se proučavaju geom. figure na sferi. Razvoj S.g. u starinskom antike je bio povezan sa zadacima ...
• SFERIČAN u Velikom ruskom enciklopedijskom rječniku:
  SFERNA ASTRONOMIJA, grana astronomije koja razvija mat. metode za rješavanje problema vezanih uz proučavanje prividnog položaja i kretanja prostora. tijela (zvijezde, sunce, ...
• SFERIČAN u Velikom ruskom enciklopedijskom rječniku:
  SFERNA ABERACIJA, izobličenje slike u optič. sustava zbog činjenice da svjetlosne zrake iz točkastog izvora koji se nalazi na optičkoj. sjekire...
• TRIGONOMETRIJA* u Enciklopediji Brockhausa i Efrona.
• TRIGONOMETRIJA u potpuno naglašenoj paradigmi prema Zaliznyaku:
  trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, ...
• TRIGONOMETRIJA u Novom rječniku stranih riječi:
  (grč. trigonon triangle + ... metrics) grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na rješavanje problema, gl. arr. geometrijski; …
• TRIGONOMETRIJA u Rječniku stranih izraza:
  [gr. trigonon triangle + ... metrics] grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na rješavanje problema, pogl. arr. geometrijski; t. …
• TRIGONOMETRIJA u Novom objašnjavajućem i derivacijskom rječniku ruskog jezika Efremova:
  
• TRIGONOMETRIJA u Potpunom pravopisnom rječniku ruskog jezika:
  trigonometrija...
• TRIGONOMETRIJA u Pravopisnom rječniku:
  trigonomija ʻetria, ...
• TRIGONOMETRIJA u Rječniku ruskog jezika Ožegov:
  grana matematike koja proučava odnose između stranica i kutova...
• TRIGONOMETRIJA u Dahlovom rječniku:
  grčki matematika trokuta; znanost o izračunavanju da konstruiranjem trokuta. -trikalna izmjera i triangulacija, izmjera terena prema ...
• TRIGONOMETRIJA u Modernom rječniku objašnjenja, TSB:
  (od grčkog trigonon - trokut i ... metrika), grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene na ...
• TRIGONOMETRIJA u Objašnjavajućem rječniku ruskog jezika Ushakov:
  trigonometrija, pl. sada. (od grčkog trigonos - trokut i metreo - mjera) (mat.). Katedra za geometriju o odnosu stranica ...
• TRIGONOMETRIJA u objašnjavajućem rječniku Efremova:
  trigonometrija Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu u rješavanju ...
• TRIGONOMETRIJA u Novom rječniku ruskog jezika Efremova:
  i. Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu u rješavanju ...
• TRIGONOMETRIJA u Velikom modernom objašnjavajućem rječniku ruskog jezika:
  i. Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu u rješavanju ...
• SFERNA GEOMETRIJA u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  geometrija, matematička disciplina koja proučava geometrijske slike koje se nalaze na sferi, kao što planimetrija proučava geometrijske slike koje se nalaze na ravnini. Svaki…
• bonsai u Ilustriranoj enciklopediji cvijeća:
  Bonsai stilovi U prirodi se izgled drveća formira ovisno o mjestu rasta i pod utjecajem prirodnih čimbenika. Prtljažnik ...
• METAK Ilustrirana enciklopedija oružja:
  SFERIČAN - vidi kuglasti metak ...
• PADDUGA u Objašnjavajućem građevinskom i arhitektonskom rječniku:
  - sferna površina koja se nalazi iznad strehe u sobi. Podstava stvara prijelaz iz ravnine zida u površinu...
• SARDELE u Enciklopediji biologije:
  , rod riba. inćun neg. haringa. 8 vrsta, rasprostranjenih u obalnim morskim vodama tropskih i umjerenih zona obiju hemisfera. …
• ČUMAKOV FEDOR IVANOVIČ
  Čumakov (Fjodor Ivanovič) - profesor primijenjene matematike na Moskovskom sveučilištu (1782. - 1837.). Sin kapetana, primljen je u broj ...
• SAVIČ ALEKSEJ NIKOLAJEVIČ u Kratkoj biografskoj enciklopediji:
  Savich (Aleksej Nikolajevič, 1810. - 1883.) - poznati ruski astronom, član Akademije znanosti (od 1862.); diplomirao je 1829.
• ZELENI SEMJON ILJIČ u Kratkoj biografskoj enciklopediji:
  Green (Semyon Ilyich) - admiral (1810. - 1892.). Odgojen je u mornaričkom korpusu. Astronomsko obrazovanje završio je u Jurjevu, pod vodstvom ...
• TROKUT (U GEOMETRIJI) u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  pravocrtan, dio ravnine omeđen s tri odsječka (stranice T.), koji u parovima imaju jedan zajednički kraj (vrhovi T.). T., koja ima...
• SFERIČNI TROKUT u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  trokut, geometrijski lik kojeg tvore lukovi tri velike kružnice koje u parovima povezuju tri bilo koje točke na sferi. O svojstvima S. t. i ...
• SFERA (MAT.) u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  (matematički), zatvorena površina, čije su sve točke jednako udaljene od jedne točke (središte S.). Segment koji povezuje središte S. s bilo kojim njegovim ...
• SUPER ŠMIDT u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  (njemački Super-Schmidt-Spiegel), sustav teleskopa ogledalo-leća u kojem se sferna aberacija konkavnog sfernog zrcala ispravlja složenom kombinacijom Schmidtove korekcijske ploče (vidi ...

Sferna trigonometrija u Enciklopedijskom rječniku:
Sferna trigonometrija je grana matematike koja proučava odnose između stranica i kutova sfernih trokuta (tj. trokuta na površini sfere) koji nastaju kada se sijeku tri velike kružnice. Sferna trigonometrija je usko povezana sa sfernom astronomijom.

Definicija "sferne trigonometrije" prema TSB-u:
Sferna trigonometrija je matematička disciplina koja proučava odnose između kutova i stranica sfernih trokuta (vidi Sferna geometrija). Neka su A, B, C kutovi, a a, b, c suprotne stranice sfernog trokuta ABC (vidi sliku). Kutovi i stranice sfernog trokuta povezani su sljedećim osnovnim formulama S. t.:

grijeh a grijeh A = grijeh b grijeh B = grijeh c grijeh C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

u ovim formulama stranice a, b, c mjere se odgovarajućim središnjim kutovima, duljine tih stranica su redom aR, bR, cR, gdje je R polumjer sfere. Promjena oznaka uglova (i stranica) prema pravilu kružne permutacije:
A → B → C → A (a → b → c → a), mogu se napisati i druge S. t. formule slične navedenima. Formule sfernih trokuta omogućuju određivanje preostala tri elementa iz bilo koja tri elementa sfernog trokuta (riješiti trokut).
Za pravokutne sferne trokute (A \u003d 90 °, a je hipotenuza, b, c su noge), S. t. formule su pojednostavljene, na primjer:

grijeh b \u003d grijeh a grijeh B,	(jedan')
cos a = cos b cos c,	(2')
sin a cos B = cos b sin c.	(3′)

Da biste dobili formule koje povezuju elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemoničko pravilo (Napierovo pravilo): ako katete pravokutnog sfernog trokuta zamijenite njihovim komplementima i rasporedite elemente trokuta (isključujući pravi kut A) oko kruga redom kojim su u trokutu (to jest, kako slijedi: B, a, C, 90° - b, 90° - c), tada je kosinus svakog elementa jednak umnožak sinusa nesusjednih elemenata, na primjer,
cos a \u003d sin (90 ° - c) sin (90 ° - b)
ili nakon transformacije,
cos a = cos b cos c (formula 2′).
Pri rješavanju problema prikladne su sljedeće Delambreove formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:
sin 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2(b+c)

sin 1⁄2a sin 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
Pri rješavanju mnogih problema sferne astronomije, ovisno o potrebnoj točnosti, često je dovoljno koristiti približne formule: za male sferne trokute (to jest, one čije su stranice male u usporedbi s polumjerom sfere), možete koristiti formule ravninske trigonometrije; za uske sferne trokute (tj. one u kojima je jedna stranica, na primjer a, mala u usporedbi s ostalima), vrijede sljedeće formule:

(jedan'")

a cos B ≈ c−b

+

aÍ 2

grijehÍ B tg c

.

(3′″)

S. t. je nastao mnogo ranije od ravne trigonometrije. Svojstva pravokutnih sfernih trokuta, izražena formulama (1)-(3), i razne slučajeve njihova rješenja poznavali su još grčki znanstvenici Menelaj (1. st.) i Ptolomej (2. st.). Grčki su znanstvenici sveli rješenje kosih sfernih trokuta na rješenje pravokutnih. Azerbajdžanski znanstvenik Nasiraddin Tuei (13. st.) sustavno je ispitivao sve slučajeve rješavanja kosih sfernih trokuta, prvi put naznačivši rješenje u dva najteža slučaja. Osnovne formule za kose sferne trokute pronašli su arapski znanstvenik Abul-Vefa (10. st.) [formula (1)], njemački matematičar I. Regiomontan (sredina 15. st.) [formule poput (2)], a francuski matematičar F. Viet (2. pol. 16. st.) [formule tipa (21)] i L. Euler (Rusija, 18. st.) [formule tipa (3) i (31)]. Euler (1753. i 1779.) dao je cijeli sustav formula za S. T. Neke formule za S. T. prikladne za praksu ustanovili su škotski matematičar J. Napier (kraj 16. - početak 17. st.), engleski matematičar G. 17. st.), ruski astronom. A. I. Leksel (druga polovica 18. st.), francuski astronom J. Delambre (kraj 18. - početak 19. st.) i drugi.
Lit. vidjeti u čl. sferna geometrija.
Riža. na čl. Sferna trigonometrija.