Mathcad er et programvareverktøy, et miljø for å utføre ulike matematiske og tekniske beregninger på en datamaskin, utstyrt med et lettlært og brukervennlig grafisk grensesnitt som gir brukeren verktøy for å arbeide med formler, tall, grafer og tekster. Mer enn hundre operatører og logiske funksjoner er tilgjengelige i Mathcad-miljøet, designet for numerisk og symbolsk løsning av matematiske problemer av ulik kompleksitet.

For å automatisere matematiske, tekniske og vitenskapelige beregninger brukes en rekke dataverktøy – fra programmerbare mikrokalkulatorer til superdatamaskiner. Og likevel er slike beregninger for mange en vanskelig sak. Dessuten har bruken av datamaskiner til beregninger introdusert nye vanskeligheter: før du starter beregninger, må brukeren mestre det grunnleggende om algoritmisering, lære ett eller flere programmeringsspråk, samt numeriske beregningsmetoder. Situasjonen har endret seg betydelig etter utgivelsen av spesialiserte programvaresystemer for automatisering av matematiske og tekniske beregninger.

Slike komplekser inkluderer programvarepakker Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive, etc. Mathcad inntar en spesiell posisjon i denne serien.

Mathcad er et integrert system for å løse matematiske, tekniske og vitenskapelige problemer. Den inneholder en tekst- og formeleditor, en kalkulator, vitenskapelige og forretningsgrafiske verktøy, samt en enorm database med referanseinformasjon, både matematisk og teknisk, utformet som en oppslagsbok innebygd i Mathcad, et sett med elektroniske bøker og vanlig "papir". " bøker, inkludert og på russisk

Teksteditoren brukes til å legge inn og redigere tekster. Tekstene er kommentarer og de matematiske uttrykkene som er inkludert i dem utføres ikke. Teksten kan bestå av ord, matematiske symboler, uttrykk og formler.

Formelprosessoren gir et naturlig "flerhistorie" sett med formler i kjent matematisk notasjon (divisjon, multiplikasjon, kvadratrot, integral, sum, etc.). Den siste versjonen av Mathcad støtter fullt ut kyrilliske bokstaver i kommentarer, formler og grafer.

Kalkulatoren gir beregninger ved hjelp av komplekse matematiske formler, har et stort sett med innebygde matematiske funksjoner, lar deg beregne serier, summer, produkter, integraler, deriverte, arbeide med komplekse tall, løse lineære og ikke-lineære ligninger, samt differensialligninger og systemer, minimere og maksimere funksjoner, utføre vektor- og matriseoperasjoner, statistisk analyse, etc. Du kan enkelt endre bitdybden og tallgrunnlaget (binært, oktalt, desimalt og heksadesimalt), så vel som feilen til iterative metoder. Automatisk kontroll av dimensjoner og omberegning i ulike målesystemer (SI, GHS, anglo-amerikanske, samt tilpassede).

Mathcad har innebygde symbolske matematikkverktøy som lar deg løse problemer gjennom dataanalytiske transformasjoner.

GPUen brukes til å lage grafer og diagrammer. Den kombinerer enkel kommunikasjon med brukeren med kraften til forretnings- og vitenskapelig grafikk. Grafikk er fokusert på å løse typiske matematiske problemer. Det er mulig å raskt endre type og størrelse på grafer, legge tekstetiketter på dem og flytte dem til et hvilket som helst sted i dokumentet.

Mathcad er et universelt system, dvs. kan brukes innen alle felt innen vitenskap og teknologi - uansett hvor matematiske metoder brukes. Å skrive kommandoer i Mathcad-systemet på et språk som er svært nær standardspråket for matematiske beregninger forenkler formuleringen og løsningen av problemer.

Mathcad er integrert med alle andre datamaskinscoresystemer.

Mathcad gjør det enkelt å løse problemer som:

legge inn ulike matematiske uttrykk på en datamaskin (for ytterligere beregninger eller lage dokumenter, presentasjoner, nettsider eller elektroniske og vanlige "papir" bøker);

utføre matematiske beregninger (både analytiske og numeriske metoder);

utarbeidelse av grafer (både todimensjonale og tredimensjonale) med resultater av beregninger;

input av innledende data og utdata av resultater til tekstfiler eller filer med databaser i andre formater;

utarbeidelse av arbeidsrapporter i form av trykte dokumenter;

utarbeidelse av websider og publisering av resultater på Internett;

innhenting av forskjellig referanseinformasjon

og mange andre oppgaver.

Siden versjon 14 har Mathcad vært integrert med Pro/ENGINEER (samt med SolidWorks). Mathcad og Pro/ENGINEER-integrasjon er basert på toveiskommunikasjon mellom disse applikasjonene. Brukerne deres kan enkelt koble en hvilken som helst Mathcad-fil til en Pro/ENGINEER-del og sammenstilling ved å bruke Pro/ENGINEERs funksjonsanalysefunksjon.

Mathcad skaper et praktisk datamiljø for et bredt utvalg av matematiske beregninger og dokumentasjon av resultatene av arbeidet innenfor de godkjente standardene. Mathcad lar deg lage bedrifts- og industrisertifiserte beregningsverktøy innen ulike felt av vitenskap og teknologi, og gir én enkelt metodikk for alle organisasjoner som er en del av et selskap eller industri

Den nyeste versjonen av Mathcad støtter 9 språk, gir kraftigere og klarere beregninger.

NEEDHAM (Massachusetts). Den 12. februar 2007 kunngjorde PTC (Nasdaq-listet: PMTC), et CAD/CAM/CAE/PLM-systemutviklingsselskap, utgivelsen av Mathcad 14.0, den siste versjonen av det populære automatiseringssystemet for tekniske beregninger. Siden oppkjøpet av Mathsoft i april 2006, har PTC fokusert sin innsats for ytterligere å utvide den geografiske rekkevidden til Mathcad-teknologien og øke brukerbasen betydelig. Mathcad 14.0 utvider brukerens evner til å løse stadig voksende beregningsproblemer betydelig, forbedrer sammenhengen i beregningsdokumenter gjennom hele produktutviklingsprosessen.

I dagens globale inndeling av produktutviklingsprosessen blir vitenskapelige og tekniske beregninger ekstremt viktige. Med utgivelsen av Mathcad 14.0 gir PTC full Unicode-støtte og vil snart tilby produktet på ni språk. Nytt blant dem vil være språk som italiensk, spansk, koreansk og både kinesisk - tradisjonelle og forenklede. Utvidet språkstøtte i Mathcad 14.0 vil tillate geografisk spredte team å utføre og dokumentere beregninger på sitt lokale språk og som et resultat øke produktiviteten ved å øke hastigheten og nøyaktigheten, samt redusere feil som oppstår ved oversettelse fra ett språk til et annet.

Mathcad 14.0 lar deg også utføre mer komplekse beregninger samtidig som de opprettholder klarheten med de nye funksjonene i WorkSheet (et dokument som åpnes i Mathcad-miljøet), ytterligere elektroniske numeriske evalueringsverktøy og et utvidet tegnsett. Dette vil hjelpe brukere med å utlede formler, vise beregningsprosessen og dokumentere beregningene. Til syvende og sist vil dedikerte tillegg tillate brukere å jobbe med et bredere spekter av tekniske oppgaver.

Mathcad og Pro/ENGINEER-integrasjon er basert på toveiskommunikasjon mellom disse applikasjonene. Brukerne deres kan enkelt koble en hvilken som helst Mathcad-fil til en Pro/ENGINEER-del og sammenstilling ved å bruke Pro/ENGINEER-funksjonsanalysefunksjonen. Grunnverdier beregnet i Mathcad-systemet kan oversettes til parametere og dimensjoner til en CAD-modell for å kontrollere et geometrisk objekt. Parametere fra Pro/ENGINEER-modellen kan også legges inn i Mathcad for påfølgende tekniske beregninger. Når du endrer parametere, lar den gjensidige integrasjonen av de to systemene deg dynamisk oppdatere beregningene og tegningen av objektet. Dessuten kan Mathcad-drevne Pro/ENGINEER-modeller nå valideres ved hjelp av Pro/ENGINEER-simuleringsmoduler som Pro/ENGINEER Mechanica®, Structural And Thermal Simulation, Fatique Advisor Option og Mechanism Dynamics Option.

Hva er nytt i Mathcad 14.0?

Ny tandem av grensesnittoperatører ("To i ett")

Format for tall på diagrammer

Finn/erstatt kommandoendringer

Sammenlign kommando

Nytt i å løse ODE

Nye midler for symbolsk matematikk

Unicode-kodetabellstøtte

Brukergrensesnitt

Brukergrensesnittet betyr et sett med Math CAD grafiske skallverktøy som gir enkel systemkontroll, både fra tastaturet og med musen. Kontroll forstås som bare et sett med nødvendige symboler, formler, tekstkommentarer, etc., og muligheten for fullstendig klargjøring av dokumenter (Work Sheets) og elektroniske bøker i MathCAD-miljøet med deres påfølgende lansering i sanntid. Brukergrensesnittet til systemet er utformet slik at en bruker med grunnleggende ferdigheter i arbeid med Windows-applikasjoner umiddelbart kan begynne å jobbe med MathCAD.

Rediger vindu.

Hovedmeny for systemet.

Den andre linjen i systemvinduet er hovedmenyen. Hensikten med kommandoene er gitt nedenfor:

Fil (Fil) - arbeid med filer, Internett og e-post;

PAGE_BREAK--

Rullegardinmenyen inneholder kommandoer som er standard for Windows-applikasjoner.

Rediger (Redigering) - redigere dokumenter;

Nedtrekksmenyen inneholder også kommandoer som er standard for Windows-applikasjoner, de fleste er kun tilgjengelige hvis ett eller flere områder (tekst, formel, graf osv.) er valgt i dokumentet.

Vis (Oversikt) - endre gjennomgangsmåten;

Verktøylinjer (paneler) – lar deg vise eller skjule verktøylinjene Standard (standard), formatering (formatering), matematikk (matematikk).

Statuslinje – Aktiver eller deaktiver visning av systemstatuslinjen.

Linjal (linjal) - aktiver/deaktiver linjalen.

Regioner (Borders) - Gjør grensene til regioner (tekst, grafikk, formler) synlige.

Zoom (zoom).

Oppdater - Oppdaterer innholdet på skjermen.

Animer (animasjon) - Kommandoen lar deg lage en animasjon.

Avspilling (spiller) - Spill av animasjon som er lagret i en fil med AVI-utvidelsen.

Preferanser (Innstillinger) - En av fanene i popup-vinduet (Generelt) lar deg stille inn noen parametere i programmet som ikke påvirker beregningene, den andre fanen (Internett) brukes til å legge inn informasjon når du jobber sammen med MathCAD -dokumenter via Internett.

Sett inn (Sett inn) - Kommandoene på denne menyen lar deg plassere grafikk, funksjoner, hyperkoblinger, komponenter og bygge inn objekter i MathCAD-dokumentet.

Format - endre formatet på objekter

Ligning - Formatere formler og lage dine egne stiler for å representere data

Result(Result) - Lar deg angi formatet for å presentere resultatene av beregninger. (Se avsnitt 1.4 i denne forelesningen)

Tekst (tekst) - Tekstfragmentformatering (skrifttype, størrelse, stil)

Paragraf (Avsnitt) - Endre formatet til gjeldende avsnitt (innrykk, justering).

Tabs (Tabulering) - Stille inn posisjonene til tabuleringsmarkørene.

Stil (stil) - Formatering av tekstavsnitt.

Egenskaper (Egenskaper) - Fanevisning (skjerm) lar deg angi bakgrunnsfargen for de viktigste tekst- og grafikkområdene; bildet som er satt inn i dokumentet (Sett inn -> Bilde) lar deg omslutte det i en ramme, returnere det til sin opprinnelige størrelse. Vkvadka-beregning (beregning) lar deg aktivere og deaktivere beregningen for den valgte formelen; i sistnevnte tilfelle vises et lite svart rektangel i øvre høyre hjørne av formelområdet og formelen blir en kommentar.

Graf (Graph) - Lar deg endre parametrene for visning av grafer

Separate områder – Lar deg utvide overlappende områder.

Juster områder - Justerer de valgte områdene horisontalt eller vertikalt.

Topptekst/bunntekst (hodetekst og bunntekst) - opprettelse og redigering av topptekst og bunntekst.

Repaganite Now (Renummerering av sider) - Gir en oppdeling av gjeldende dokument til sider.

Matematikk (matematikk) - ledelse av beregningsprosessen; Det er to beregningsmoduser i MathCAD: automatisk og manuell. I automatisk modus blir resultatene av beregningene fullstendig oppdatert når det er noen endring i formelen.

Automatisk beregning - Lar deg bytte beregningsmodus.

Beregn - I manuell beregningsmodus kan du beregne den synlige delen av skjermen på nytt.

Optimalisering (Optimalisering) - Ved å bruke denne kommandoen kan du tvinge MathCAD til å utføre symbolske beregninger før den numeriske evalueringen av uttrykket og, når du finner en mer kompakt form av uttrykket, bruke den. Hvis uttrykket ble optimalisert, vises en liten rød stjerne til høyre for det. Dobbeltklikk på det åpner et vindu som inneholder det optimaliserte resultatet.

Alternativer – lar deg angi beregningsalternativer

Symbolik (Symboler) - utvalg av symbolske prosessoroperasjoner;

Plasseringene til denne menyen er diskutert i detalj i forelesning 6, viet til symbolske beregninger i MathCAD-systemet.

Vindu (Window) - styring av systemvinduer;

Hjelp (?) – arbeid med referansedatabasen om systemet;

Mathcad Help (Hjelp for MathCAD) - inneholder tre faner: Innhold - Hjelp er organisert etter emne; Indeks - emneindeks; Søk - finner ønsket konsept når det legges inn i skjemaet.

Ressurssenter - Informasjonssenter som inneholder en oversikt over MathCAD-databehandlingsevner (Overview and Tutorials), rask hjelp i form av eksempler fra ulike områder av matematikken (Quicksheets og Reference tables).

Dagens tips - Popup-vinduer med nyttige tips (vises når systemet starter).

Open Book - lar deg åpne MathCAD-systemreferansen.

Om Mathcad (Om programmet Mathcad) - informasjon om versjonen av programmet, opphavsrett og bruker.

Hvert element i hovedmenyen kan aktiveres. For å gjøre dette, bare pek på den med markøren - musepilen og trykk på venstre knapp. Du kan også trykke på F10-tasten og bruke høyre og venstre navigasjonstast. Valget fikses deretter ved å trykke på Enter-tasten. Hvis en posisjon på hovedmenyen gjøres aktiv, viser den en rullegardinundermeny med en liste over tilgjengelige og utilgjengelige (men mulige i fremtiden) operasjoner. Å gå gjennom listen over undermenyer og velge ønsket operasjon gjøres på samme måte som beskrevet for hovedmenyen.

Standard verktøylinje.

Den tredje linjen i systemvinduet er okkupert av verktøykassen. Den inneholder flere grupper av kontrollknapper med ikoner, som hver dupliserer en av de viktigste operasjonene i hovedmenyen. Så snart du stopper musepekeren på noen av disse ikonene, vil tekst vises i den gule boksen som forklarer funksjonene til ikonene. Vurder handlingen til knappene for rask systemkontroll.

Filoperasjonsknapper.

Dokumenter til MathCAD-systemet er filer, dvs. navngitte lagringsenheter på magnetiske disker. Filer kan opprettes, lastes ned (åpnes), tas opp og skrives ut på en skriver. Mulige operasjoner med filer presenteres i verktøylinjen av den første gruppen med tre knapper:

Nytt regneark (Opprett) - opprette et nytt dokument med å tømme redigeringsvinduet;

Åpne regneark (Åpne) - laster et tidligere opprettet dokument fra en dialogboks;

Lagre regneark - ta opp gjeldende dokument med navnet.

Utskrift og kontroll av dokumenter.

Skriv ut regneark (Skriv ut) - utskrift av dokumentet på skriveren;

Forhåndsvisning (Vis) - en forhåndsvisning av dokumentet;

Stavekontroll - kontroller stavemåten til dokumentet.

Knapper for redigeringsoperasjoner.

Under utarbeidelsen av dokumenter må de redigeres, dvs. endre og supplere.

Fortsettelse
--PAGE_BREAK--

Cut (Cut) - overføring av den valgte delen av dokumentet til utklippstavlen ved å fjerne denne delen av dokumentet;

Kopier (Kopier) - kopiering av den valgte delen av dokumentet til utklippstavlen mens du lagrer den valgte delen av dokumentet;

Lim inn (Sett inn) - overføring av innholdet på utklippstavlen til redigeringsvinduet på stedet som er angitt av musepekeren;

Angre - avbryt forrige redigeringsoperasjon;

De tre siste operasjonene er relatert til bruken av utklippstavlen. Den er beregnet på midlertidig lagring av data og deres overføring fra en del av dokumentet til en annen, eller for å organisere datautveksling mellom ulike applikasjoner.

Blokker plasseringsknapper.

Dokumenter består av ulike blokker: tekstlige, formelle, grafiske, etc. Blokker blir sett av systemet, tolket og utført. Visningen er fra høyre til venstre og fra bunn til topp.

/>- Align Across (Juster horisontalt) - blokker er justert horisontalt.

/>- Juster ned - blokker er justert vertikalt, fra topp til bunn.

Piktogrammene til disse knappene viser blokkene og de angitte alternativene for deres plassering.

Uttrykksbetjeningsknapper

Formelblokker er ofte beregnede uttrykk eller uttrykk som er en del av brukerdefinerte nye funksjoner. Ikoner brukes til å arbeide med uttrykk.

Følgende grupper med knapper er spesifikke for MathCAD-systemet.

/>Sett inn funksjon - sett inn en funksjon fra listen som vises i dialogboksen;

/>Sett inn enhet (Sett inn enheter) - sett inn måleenheter;

Tilgang til nye funksjoner i MathCAD.

Fra og med versjon MathCAD 7.0 har det dukket opp nye knapper som gir tilgang til nye systemfunksjoner:

/>Komponentveiviser - åpner veiviservinduet, og gir enkel tilgang til alle systemkomponenter;

/>Ran Math Connex (Kjøre Math Connex-systemet) - kjører systemet for å stimulere blokkenheter.

Ressurskontrollknapper.

/>Ressurssenter - gir tilgang til ressurssenteret;

/>Hjelp (Hjelp) - gir tilgang til ressursene til systemets hjelpedatabase.

Formateringspanel.

Den fjerde linjen øverst på skjermen inneholder typiske fontkontroller:

Stil - Bryter for stilvalg;

Font - Bryter for å velge et tegnsett;

Punktstørrelse - Bryter for å velge tegnstørrelser;

Fet - Angi fete tegn;

Italik - Sett kursiv tegn;

Understreking - Angi understrekede tegn;

Venstrejustering - Stille inn venstrejustering;

Senterjustering - Sett justeringen til midten;

Høyrejustering - Stille inn riktig justering.

Inntil settet med dokumentelementer startes, er noen av de beskrevne knappene og andre brukergrensesnittobjekter i passiv tilstand. Spesielt er det ingen etiketter i bytteboksene for formatlinjen. Ikoner og brytere blir aktive så snart det er behov for å bruke dem.

Nederst på skjermen, i tillegg til den horisontale rullelinjen, er det en annen linje - statuslinjen. Den viser serviceinformasjon, korte kommentarer, sidetall osv. Denne informasjonen er nyttig for raskt å vurdere tilstanden til systemet mens du arbeider med det.

Sette matematiske verktøylinjer.

For å legge inn matematiske symboler i MathCAD, brukes praktiske flyttbare settepaneler med tegn. De tjener til å skrive ut blanke - maler av matematiske tegn (tall, tegn på aritmetiske operasjoner, matriser, tegn på integraler, deriverte, etc.). For å vise Math-panelet, utfør Vis -> Verktøylinje -> Math-kommandoen. Innstillingspaneler vises i dokumentredigeringsvinduet når de tilsvarende ikonene er aktivert - den første linjen med systemkontrollikoner. Ved å bruke et felles settepanel kan du vise enten alle panelene samtidig eller bare de som er nødvendige for arbeidet. For å stille inn den nødvendige malen med deres hjelp, er det nok å plassere markøren på ønsket plassering av redigeringsvinduet (rødt kryss på fargeskjermen) og deretter aktivere ikonet for ønsket mal ved å plassere musepekeren på den og trykke på dens venstre knapp.

Mange av funksjonene og operasjonene som settes inn i et dokument ved hjelp av matematiske setteblokker, kan plasseres i et dokument ved hjelp av hurtigtaster. Samtidig blir arbeidet i MathCAD-systemet mer produktivt. Vi anbefaler at du husker hurtigtaster for minst noen av de mest brukte kommandoene.

Flere detaljer om arbeid med tilleggspaneler aktivert av knappene i Math-panelet vil bli beskrevet i de relevante delene.

1. MathCAD arbeidsvindu

· Panel Matte(Fig. 1.4).

Ris. 1.4. Matematikkpanel

Ved å klikke på matematikkverktøylinjeknappen åpnes en ekstra verktøylinje:

2. Elementer av språk MathCAD

De grunnleggende elementene i MathCAD matematiske uttrykk inkluderer operatorer, konstanter, variabler, matriser og funksjoner.

2.1 Operatører

Operatører -- elementer av MathCAD som du kan lage matematiske uttrykk med. Disse inkluderer for eksempel symboler for aritmetiske operasjoner, tegn for beregning av summer, produkter, deriverte, integraler osv.

Operatøren definerer:

a) handlingen som skal utføres i nærvær av visse verdier av operandene;

b) hvor mange, hvor og hvilke operander som skal legges inn i operatøren.

Operand -- nummeret eller uttrykket som operatøren handler på. For eksempel, i uttrykket 5!+3, tallene 5! og 3 er operandene til "+" (pluss) operatoren, og tallet 5 er operanden til faktoren (!).

Enhver operatør i MathCAD kan legges inn på to måter:

ved å trykke på en tast (tastkombinasjon) på tastaturet;

ved hjelp av matematikkpanelet.

Følgende setninger brukes til å tildele eller vise innholdet i minneplasseringen knyttet til en variabel:

Oppdragstegn (skrives inn ved å trykke på tasten : på tastaturet (kolon i det engelske tastaturoppsettet) eller ved å trykke på tilsvarende knapp på panelet Kalkulator );

Denne oppgaven heter lokale. Før denne oppgaven er variabelen ikke definert og kan ikke brukes.

Global oppdragsoperatør. Denne oppgaven kan gjøres hvor som helst i dokumentet. For eksempel, hvis en variabel tildeles en verdi på denne måten helt på slutten av dokumentet, vil den ha samme verdi i begynnelsen av dokumentet.

Omtrentlig likhetsoperatør (x1). Brukes til å løse ligningssystemer. Angis ved å trykke på en tast ; på tastaturet (semikolon i det engelske tastaturoppsettet) eller ved å trykke på tilsvarende knapp på boolsk panel.

En operator (enkle lik) reservert for å gi ut verdien av en konstant eller variabel.

De enkleste beregningene

Beregningsprosessen utføres ved å bruke:

Kalkulatorpaneler, kalkulasjonspaneler og estimeringspaneler.

Merk følgende. Hvis det er nødvendig å dele hele uttrykket i telleren, må det først velges ved å trykke på mellomromstasten på tastaturet eller ved å plassere det i parentes.

2.2 Konstanter

Konstanter -- navngitte objekter som har en verdi som ikke kan endres.

For eksempel = 3,14.

Dimensjonskonstanter er vanlige måleenheter. For eksempel meter, sekunder osv.

For å skrive ned dimensjonskonstanten må du skrive inn tegnet * (multiplisere) etter tallet, velg menypunktet Sett inn ledd Enhet. I målinger kategoriene mest kjent for deg: Lengde - lengde (m, km, cm); Masse -- vekt (g, kg, t); Tid -- tid (min, sek, time).

2.3 Variabler

Variabler er navngitte objekter som har en verdi som kan endres etter hvert som programmet kjører. Variabler kan være numeriske, streng, tegn osv. Variabler tildeles verdier ved å bruke tilordningstegnet (:=).

Merk følgende. MathCAD behandler store og små bokstaver som forskjellige identifikatorer.

Systemvariabler

PÅ MathCAD inneholder en liten gruppe spesielle objekter som ikke kan tilskrives verken til klassen av konstanter eller til klassen av variabler, hvis verdier bestemmes umiddelbart etter at programmet er startet. Det er bedre å telle dem systemvariabler. Dette, for eksempel, TOL - feilen for numeriske beregninger, ORIGIN - den nedre grensen for verdien av indeksindeksen for vektorer, matriser, etc. Om nødvendig kan du angi andre verdier for disse variablene.

Rangerte variabler

Disse variablene har en serie faste verdier, enten heltall eller varierende i et bestemt trinn fra den opprinnelige verdien til den siste.

Et uttrykk brukes til å lage en variabel variabel:

Navn=N begynne ,(N begynne +Trinn).N slutt ,

der Navn er navnet på variabelen;

N begynne -- startverdi;

Step -- det spesifiserte trinnet for å endre variabelen;

N slutt -- sluttverdi.

Rangerte variabler er mye brukt i plotting. For eksempel å plotte en graf for en funksjon f(x) først og fremst må du lage en serie med variabelverdier x-- Det må være en variabel variabel for at dette skal fungere.

Merk følgende. Hvis du ikke spesifiserer et trinn i variabelområdet, vil programmet automatisk ta det lik 1.

Eksempel . Variabel x varierer i området fra -16 til +16 i trinn på 0,1

For å skrive en områdevariabel skriver du:

- variabelnavn ( x);

- oppgavetegn (:=)

- den første verdien av området (-16);

- et komma;

- den andre verdien av området, som er summen av den første verdien og trinnet (-16 + 0,1);

- ellipse ( . ) -- endre variabelen innenfor de gitte grensene (ellipsis legges inn ved å trykke et semikolon i det engelske tastaturoppsettet);

— den siste verdien av området (16).

Som et resultat vil du få: x := -16,-16+0.1.16.

Utgangstabeller

Ethvert uttrykk med rangerte variabler etter likhetstegnet starter utdatatabellen.

Du kan sette inn numeriske verdier i utdatatabellene og korrigere dem.

Variabel med indeks

Variabel med indeks-- er en variabel som er tildelt et sett med urelaterte tall, som hver har sitt eget nummer (indeks).

Indeksen legges inn ved å trykke på venstre firkantet parentes på tastaturet eller ved å bruke knappen x n på panelet Kalkulator.

Du kan bruke enten en konstant eller et uttrykk som en indeks. For å initialisere en variabel med en indeks, må du skrive inn elementene i matrisen og skille dem med komma.

Eksempel. Legge inn indeksvariabler.

Numeriske verdier legges inn i tabellen atskilt med komma;

Utdata av verdien til det første elementet i vektoren S;

Sende ut verdien av nullelementet til vektoren S.

2.4 Matriser

array - en unikt navngitt samling av et begrenset antall numeriske eller tegnelementer, ordnet på en eller annen måte og med spesifikke adresser.

I pakken MathCAD arrays av de to vanligste typene brukes:

endimensjonal (vektorer);

todimensjonale (matriser).

Du kan skrive ut en matrise eller vektormal på en av følgende måter:

velg menyelement Sett inn - Matrise;

trykk på tastekombinasjonen ctrl + M;

trykk på knappen Panel og vektorer og matriser.

Som et resultat vil en dialogboks vises der det nødvendige antallet rader og kolonner er angitt:

Rader-- antall linjer

kolonner-- antall kolonner Hvis en matrise (vektor) må gis et navn, legges først inn navnet på matrisen (vektor), deretter tildelingsoperatoren og deretter matrisemalen.

For eksempel:

Matrise -- en todimensjonal matrise kalt M n , m , bestående av n rader og m kolonner.

Du kan utføre ulike matematiske operasjoner på matriser.

2.5 Funksjoner

Funksjon -- et uttrykk som gjør at noen beregninger utføres med argumenter og dens numeriske verdi bestemmes. Funksjonseksempler: synd(x), tan(x) og så videre.

Funksjoner i MathCAD-pakken kan enten være innebygd eller brukerdefinert. Måter å sette inn en innebygd funksjon:

Velg menyelement Sett inn — Funksjon.

Trykk tastekombinasjon ctrl + E.

Klikk på knappen på verktøylinjen.

Skriv inn navnet på funksjonen på tastaturet.

Brukerfunksjoner brukes vanligvis når det samme uttrykket evalueres flere ganger. Slik angir du en brukerfunksjon:

Skriv inn navnet på funksjonen med den obligatoriske indikasjonen av argumentet i parentes, for eksempel f (x);

Skriv inn oppgaveoperatøren (:=);

Skriv inn et beregnet uttrykk.

Eksempel. f (z) := synd(2 z 2)

3. Tallformatering

I MathCAD kan du endre utdataformatet til tall. Vanligvis gjøres beregninger med en nøyaktighet på 20 sifre, men ikke alle signifikante tall vises. For å endre tallformatet, dobbeltklikk på ønsket numerisk resultat. Vinduet for tallformatering vises, åpent på fanen Antall Format (Tallformat) med følgende formater:

o Generell (Main) -- er standard. Tallene vises i rekkefølge (for eksempel 1,2210 5). Antall tegn på mantissen bestemmes i feltet Eksponentiell Terskel(Eksponentiell notasjonsterskel). Når terskelen overskrides, vises tallet i rekkefølge. Antall sifre etter desimaltegnet endres i feltet Antall av desimal steder.

o Desimal (Desimal) -- Desimalrepresentasjonen av tall med flyttall (for eksempel 12.2316).

o Vitenskapelig (Vitenskapelig) -- Tallene vises kun i rekkefølge.

o Engineering (Engineering) -- tall vises bare i multipler av tre (for eksempel 1,2210 6).

Merk følgende. Hvis du, etter å ha angitt ønsket format i tallformateringsvinduet, velger du knappen OK, formatet vil kun angis for det valgte nummeret. Og hvis du velger knappen Angi som standard, vil formatet bli brukt på alle tallene i dette dokumentet.

Tall rundes automatisk ned til null hvis de er mindre enn den angitte terskelen. Terskelen er satt for hele dokumentet, ikke for et bestemt resultat. For å endre avrundingsterskelen til null, velg menypunktet Formatering - Resultat og i fanen toleranse , i felt Null terskel angi den nødvendige terskelverdien.

4. Arbeid med tekst

Tekstbiter er tekstbiter som brukeren ønsker å se i dokumentet sitt. Dette kan være forklaringer, lenker, kommentarer osv. De legges inn ved hjelp av menypunktet Sett inn — Tekstregion.

Du kan formatere teksten: endre skrifttype, størrelse, stil, justering osv. For å gjøre dette må du velge den og velge de riktige alternativene på skriftpanelet eller i menyen Formatering — Tekst.

5. Arbeid med grafikk

Når man løser mange problemer der en funksjon studeres, blir det ofte nødvendig å plotte grafen, som tydelig vil reflektere funksjonen til funksjonen på et bestemt intervall.

I MathCAD-systemet er det mulig å bygge ulike typer grafer: i kartesiske og polare koordinatsystemer, tredimensjonale grafer, overflater av revolusjonslegemer, polyedre, romlige kurver, vektorfeltgrafer. Vi skal se på hvordan vi bygger noen av dem.

5.1 Plotte 2D-plott

For å bygge en todimensjonal graf av en funksjon, må du:

angi en funksjon

Plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, på det matematiske panelet velger du Graph-knappen (graf) og i panelet som åpnes, X-Y Plot-knappen (todimensjonal graf);

I den viste malen til en todimensjonal graf, som er et tomt rektangel med dataetiketter, skriv inn navnet på variabelen i den sentrale dataetiketten langs abscisseaksen (X-aksen), og skriv inn navnet på funksjonen i stedet for den sentrale dataetiketten langs ordinataksen (Y-aksen) (Fig. 2.1);

Ris. 2.1. 2D-plottmal

klikk utenfor grafmalen -- grafen til funksjonen vil bli plottet.

Argumentområdet består av 3 verdier: initial, andre og siste.

La det være nødvendig å plotte en funksjonsgraf på intervallet [-2,2] med et trinn på 0,2. Variable verdier t er spesifisert som et område som følger:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

hvor: -2 - startverdien til området;

1,8 (-2 + 0,2) -- andre områdeverdi (startverdi pluss trinn);

2 er sluttverdien til området.

Merk følgende. En ellipse angis ved å trykke et semikolon i det engelske tastaturoppsettet.

Eksempel. Plotte en funksjon y = x 2 på intervallet [-5,5] med et trinn på 0,5 (fig. 2.2).

Ris. 2.2. Plotte en funksjon y = x 2

Når du plotter grafer, bør du vurdere følgende:

° Hvis området for argumentverdiene ikke er spesifisert, er grafen som standard bygget i området [-10,10].

° Hvis det er nødvendig å plassere flere grafer i en mal, er navnene på funksjonene angitt atskilt med komma.

° Hvis to funksjoner har forskjellige argumenter, for eksempel f1(x) og f2(y), så er navnene på funksjonene angitt på ordinaten (Y)-aksen, atskilt med komma, og på abscissen (X)-aksen, navn på begge variablene er også atskilt med komma.

° De ekstreme datamerkene på plottmalen tjener til å indikere grenseverdiene for abscissen og ordinatene, det vil si at de setter skalaen til plottet. Hvis du lar disse etikettene stå tomme, vil skalaen stilles inn automatisk. Den automatiske skalaen reflekterer ikke alltid grafen i ønsket form, så grenseverdiene for abscissen og ordinatene må redigeres ved å endre dem manuelt.

Merk. Hvis etter å ha plottet grafen ikke har ønsket form, kan du:

Reduser trinn.

· endre plotteintervallet.

Reduser grenseverdiene for abscisser og ordinater på kartet.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel med et senter i et punkt (2,3) og en radius R = 6.

Ligningen til en sirkel sentrert i et punkt med koordinater ( x 0 ,y 0) og radius R er skrevet som:

Uttrykk fra denne ligningen y:

For å konstruere en sirkel er det derfor nødvendig å sette to funksjoner: øvre og nedre halvsirkler. Argumentområdet beregnes som følger:

- innledende verdi av området = x 0 — R;

- endelig verdi av området = x 0 + R;

- det er bedre å ta steget lik 0,1 (fig. 2.3.).

Ris. 2.3. Konstruksjon av en sirkel

Parametrisk graf for en funksjon

Noen ganger er det mer praktisk i stedet for en linjeligning som relaterer rektangulære koordinater x og y, betrakt de såkalte parametriske linjelikningene, som gir uttrykk for gjeldende x- og y-koordinater som funksjoner av en variabel t(parameter): x(t) og y(t). Når du konstruerer en parametrisk graf, er navnene på funksjonene til ett argument angitt på ordinat- og abscisse-aksene.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel sentrert i et punkt med koordinater (2,3) og radius R= 6. For konstruksjonen brukes den parametriske ligningen til sirkelen

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R synd( t) (Fig. 2.4.).

Ris. 2.4. Konstruksjon av en sirkel

Kartformatering

For å formatere en graf, dobbeltklikk på grafområdet. Dialogboksen Grafformatering åpnes. Fanene i diagramformateringsvinduet er oppført nedenfor:

§ X- Y økser-- formatering av koordinataksene. Ved å merke av de aktuelle boksene kan du:

· Logg Skala- representerer numeriske verdier på aksene i en logaritmisk skala (som standard er numeriske verdier plottet i en lineær skala)

· Nett linjer-- tegne et rutenett med linjer;

· nummerert-- Ordne tallene langs koordinataksene;

· Auto Skala- automatisk valg av numeriske grenseverdier på aksene (hvis denne boksen ikke er merket av, vil de maksimale beregnede verdiene være grense);

· forestilling markør- merking av grafen i form av horisontale eller vertikale stiplede linjer som tilsvarer den angitte verdien på aksen, og verdiene selv vises på slutten av linjene (2 inndataplasser vises på hver akse, der du kan skriv inn numeriske verdier, ikke skriv inn noe, skriv inn ett tall eller bokstavbetegnelser for konstanter);

· Auto Gkvitt-- automatisk valg av antall rutenettlinjer (hvis denne boksen ikke er merket av, må du spesifisere antall linjer i feltet Antall rutenett);

· krysset-- Abscisseaksen går gjennom null på ordinaten;

· Bokset-- x-aksen går langs den nedre kanten av grafen.

§ Spor-- linjeformatering av funksjonsgrafer. For hver graf separat kan du endre:

symbol (Symbol) på diagrammet for nodalpunkter (sirkel, kryss, rektangel, rombe);

linjetype (heltrukken - heltrukket, prikk - stiplet linje, bindestrek - streker, dadot - stiplet linje);

linjefarge (Farge);

Type (tur) av diagrammet (Linjer - linje, Punkter - punkter, Var eller Solidbar - søyler, trinn - trinndiagram, etc.);

linjetykkelse (vekt).

§ Etikett -- tittel i grafområdet. I felt Tittel (Tittel) du kan skrive teksten til tittelen, velge dens plassering - øverst eller nederst i grafen ( Ovenfor -- topp, Under -- på bunnen). Du kan angi, om nødvendig, navnene på argumentet og funksjonen ( Akseetiketter ).

§ Standarder -- ved å bruke denne kategorien kan du gå tilbake til standard kartvisning (Endre til standard), eller bruke endringene du har gjort på diagrammet som standard for alle diagrammer i dette dokumentet (Bruk for standard).

5.2 Bygge polartomter

For å bygge en polar graf av en funksjon, må du:

· angi rekkevidden av argumentverdier;

angi en funksjon

· Plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, på det matematiske panelet velg Graph-knappen (graf) og i panelet som åpnes, Polar Plot-knappen (polar graf);

· I inntastingsfeltene til malen som vises, må du skrive inn vinkelargumentet til funksjonen (nedenfor) og navnet på funksjonen (til venstre).

Eksempel. Konstruksjon av Bernoullis lemniscat: (Fig. 2.6.)

Ris. 2.6. Et eksempel på å bygge en polartomt

5.3 Plotte overflater (3D- eller 3D-plott)

Ved konstruksjon av tredimensjonale grafer brukes panelet kurve(Graf) matematikkpanel. Du kan bygge en tredimensjonal graf ved hjelp av veiviseren, kalt fra hovedmenyen; du kan bygge en graf ved å lage en matrise med verdier av en funksjon av to variabler; du kan bruke den akselererte byggemetoden; du kan kalle spesialfunksjonene CreateMech og CreateSpase, designet for å lage en rekke funksjonsverdier og plott. Vi vil vurdere en akselerert metode for å konstruere en tredimensjonal graf.

Rask grafer

For raskt å bygge en tredimensjonal graf av en funksjon, må du:

angi en funksjon

plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, velg knappen på det matematiske panelet kurve(diagram) og i det åpnede panelet knappen ( overflategraf);

· på det eneste stedet i malen, skriv inn navnet på funksjonen (uten å spesifisere variabler);

· klikk utenfor diagrammalen -- funksjonsgrafen vil bli bygget.

Eksempel. Plotte en funksjon z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (fig. 2.7).

Ris. 2.7. Et eksempel på en Quick Surface Plot

Det bygde diagrammet kan kontrolleres:

° rotasjon av grafen utføres etter å holde musepekeren over den med venstre museknapp nedtrykket;

° skalering av kartet utføres etter at du holder musepekeren over det ved å trykke venstre museknapp og Ctrl-tasten samtidig (hvis du beveger musen, zoomer kartet inn eller ut);

° diagramanimasjon utføres på samme måte, men med Shift-tasten trykket i tillegg. Det er bare nødvendig å begynne å rotere grafen med musen, da vil animasjonen utføres automatisk. For å stoppe rotasjonen, klikk med venstre museknapp inne i grafområdet.

Det er mulig å bygge flere overflater samtidig i en tegning. For å gjøre dette må du angi begge funksjonene og angi navnene på funksjonene på kartmalen atskilt med komma.

Når du plotter raskt, er standardverdiene for begge argumentene mellom -5 og +5 og antall konturlinjer er 20. For å endre disse verdiene må du:

· dobbeltklikk på diagrammet;

· velg fanen Quick Plot Data i det åpne vinduet;

· skriv inn nye verdier i vindusområdet Range1 - for det første argumentet og Range2 - for det andre argumentet (start - startverdi, slutt - sluttverdi);

· i # of Grids-feltet endrer du antall rutenett som dekker overflaten;

· Klikk på OK-knappen.

Eksempel. Plotte en funksjon z(x,y) = -synd ( x 2 + y 2) (Fig. 2.9).

Når du konstruerer denne grafen, er det bedre å velge grensene for endring i verdiene til begge argumentene fra -2 til +2.

Ris. 2.9. Et eksempel på å plotte en funksjonsgraf z(x,y) = -synd ( x 2 + y 2)

foranmatte 3D-grafer

For å formatere grafen, dobbeltklikk på plottområdet - et formateringsvindu med flere faner vises: Utseende, Generell, økser, belysning, Tittel, Bakplan, Spesiell, Avansert, Rask Plott Data.

Formålet med fanen Rask Plott Data ble diskutert ovenfor (23, "https://site").

fanen Utseende lar deg endre utseendet til grafen. Felt Fylle Alternativer lar deg endre fyllingsparametrene, felt linje Alternativ-- linjeparametere, punkt Alternativer-- punkt parametere.

I fanen Generell ( generelt) i gruppen utsikt du kan velge rotasjonsvinklene til den avbildede overflaten rundt alle tre aksene; i en gruppe vise som Du kan endre diagramtypen.

I fanen belysning(belysning) du kan kontrollere belysningen ved å merke av i boksen muliggjøre belysning(slå på lys) og slå på På(Slå på). Ett av 6 mulige lysskjemaer er valgt fra listen belysning ordningen(lysskjema).

6. Måter å løse ligninger på MathCAD

I denne delen vil vi lære hvordan de enkleste ligningene på formen F ( x) = 0. Å løse en likning analytisk betyr å finne alle dens røtter, det vil si slike tall, når vi erstatter dem med den opprinnelige likningen, får vi riktig likhet. Å løse ligningen grafisk betyr å finne skjæringspunktene til grafen til funksjonen med x-aksen.

6. 1 Løse ligninger med funksjonen rot(f(x), x)

For løsninger av en ligning med en ukjent av formen F ( x) = 0 det er en spesiell funksjon

rot(f(x), x) ,

hvor f(x) er et uttrykk lik null;

X-- argument.

Denne funksjonen returnerer, med en gitt presisjon, verdien av en variabel som uttrykket for f(x) er lik 0.

Merk følgendee. Hvis høyre side av ligningen er 0, er det nødvendig å bringe den til normal form (overfør alt til venstre side).

Før du bruker funksjonen rot må gis til argumentet X innledende tilnærming. Hvis det er flere røtter, må du spesifisere din første tilnærming for å finne hver rot.

Merk følgende. Før løsning er det ønskelig å plotte en funksjonsgraf for å sjekke om det er røtter (skjærer grafen okseaksen), og i så fall hvor mange. Den første tilnærmingen kan velges i henhold til grafen nærmere skjæringspunktet.

Eksempel. Løse en ligning ved hjelp av en funksjon rot vist i figur 3.1. Før vi går videre til løsningen i MathCAD-systemet, vil vi i ligningen overføre alt til venstre side. Ligningen vil ha formen: .

Ris. 3.1. Løse en ligning ved hjelp av rotfunksjonen

6. 2 Løse ligninger med funksjonen Polyroots (v).

For å finne alle røttene til et polynom samtidig, bruk funksjonen polyrøtter(v), der v er vektoren av koeffisientene til polynomet, med utgangspunkt i frileddet . Nullkoeffisienter kan ikke utelates. I motsetning til funksjonen rot funksjon Poljerøtter krever ikke en innledende tilnærming.

Eksempel. Løse en ligning ved hjelp av en funksjon polyrøtter vist i figur 3.2.

Ris. 3.2. Løse en ligning ved hjelp av polyroots-funksjonen

6.3 Løse ligninger med funksjonen Finn (x).

Finn-funksjonen fungerer sammen med det gitte nøkkelordet. Design Gitt — Finne

Hvis ligningen er gitt f(x) = 0, så kan det løses som følger ved å bruke blokken Gitt - Finne:

— angi den første tilnærmingen

— skriv inn et tjenesteord

- skriv likningen med tegnet fet er lik

- skriv en finnfunksjon med en ukjent variabel som parameter

Som et resultat, etter likhetstegnet, vil den funnet roten vises.

Hvis det er flere røtter, kan de bli funnet ved å endre den opprinnelige tilnærmingen x0 til en nær den ønskede roten.

Eksempel. Løsningen av ligningen ved hjelp av finnefunksjonen er vist i figur 3.3.

Ris. 3.3. Løse en ligning med finnefunksjonen

Noen ganger blir det nødvendig å markere noen punkter på grafen (for eksempel skjæringspunktene for en funksjon med okseaksen). For dette trenger du:

Spesifiser x-verdien til et gitt punkt (langs Ox-aksen) og verdien av funksjonen på dette punktet (langs Oy-aksen);

dobbeltklikk på grafen og i formateringsvinduet i fanen spor for den tilsvarende linjen, velg graftype - punkter, linjetykkelse - 2 eller 3.

Eksempel. Grafen viser skjæringspunktet mellom funksjonen og x-aksen. Koordinere X dette punktet ble funnet i forrige eksempel: X= 2,742 (roten til ligningen ) (Fig. 3.4).

Ris. 3.4. Graf for en funksjon med et markert skjæringspunkt I grafformateringsvinduet, i fanen spor til spore2 endret: diagramtype - punkter, linjetykkelse - 3, farge - svart.

7. Løse ligningssystemer

7.1 Løse systemer av lineære ligninger

Systemet med lineære ligninger kan løses m matrisemetode (enten gjennom den inverse matrisen eller ved å bruke funksjonen l løse(A, B)) og bruke to funksjoner Finne og funksjoner Minerr.

Matrisemetode

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Løsningen av dette ligningssystemet ved matrisemetoden er vist i figur 4.1.

Ris. 4.1. Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en matrisemetode

Funksjonsbruk l løse(EN, B)

Lløse(A, B) er en innebygd funksjon som returnerer en vektor X for et system av lineære ligninger gitt en matrise av koeffisienter, A, og en vektor med frie ledd, B .

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Måten å løse dette systemet ved å bruke funksjonen lsolve (A, B) er vist i figur 4.2.

Ris. 4.2. Løse et system med lineære ligninger ved å bruke lsolve-funksjonen

Løse et system med lineære ligninger ved bruk av funksjonerog Finne

Med denne metoden legges likninger inn uten bruk av matriser, dvs. i "naturlig form". Først er det nødvendig å indikere de første tilnærmingene til de ukjente variablene. Det kan være et hvilket som helst tall innenfor rammen av definisjonen. Ofte blir de forvekslet med en kolonne med gratis medlemmer.

For å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en beregningsenhet Gitt - Finne, nødvendig:

2) skriv inn et tjenesteord Gitt;

fet er lik();

4) skriv en funksjon Finne,

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Løsningen av dette systemet ved hjelp av en dataenhet Gitt - Finne vist i figur 4.3.

Ris. 4.3. Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Finn-funksjonen

Omtrent sløsning av et system av lineære ligninger

Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en funksjon Minerr lik løsningen som bruker funksjonen Finne(bruker samme algoritme), bare funksjon Finne gir den eksakte løsningen, og Minerr-- omtrentlig. Hvis det, som et resultat av søket, ikke kan oppnås ytterligere avgrensning av gjeldende tilnærming til løsningen, Gruvearbeiderr returnerer denne tilnærmingen. Funksjon Finne i dette tilfellet returnerer en feilmelding.

Du kan velge en annen innledende tilnærming.

· Du kan øke eller redusere beregningsnøyaktigheten. For å gjøre dette, velg fra menyen Matte > Alternativer(Matte - Alternativer), fane bygget- I Variabler(Innebygde variabler). I fanen som åpnes, må du redusere den tillatte beregningsfeilen (Konvergenstoleranse (TOL)). Standard TOL = 0,001.

PÅMerk følgende. Med matriseløsningsmetoden er det nødvendig å omorganisere koeffisientene i henhold til økningen i ukjente X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Løse systemer av ikke-lineære ligninger

Systemer med ikke-lineære ligninger i MathCAD løses ved hjelp av en dataenhet Gitt - Finne.

Design Gitt - Finne bruker en beregningsteknikk basert på å finne en rot nær et innledende tilnærmingspunkt spesifisert av brukeren.

Å løse et ligningssystem ved å bruke blokken Gitt - Finne nødvendig:

1) angi innledende tilnærminger for alle variabler;

2) skriv inn et tjenesteord Gitt;

3) skriv ned ligningssystemet ved å bruke tegnet fet er lik();

4) skriv en funksjon Finne, ved å liste ukjente variabler som funksjonsparametere.

Som et resultat av beregninger vil løsningsvektoren til systemet vises.

Hvis systemet har flere løsninger, bør algoritmen gjentas med andre innledende gjetninger.

Merk. Hvis et system med to ligninger med to ukjente løses, før det løses, er det ønskelig å plotte funksjonsgrafer for å sjekke om systemet har røtter (om grafene til gitte funksjoner krysser hverandre), og i så fall hvor mange. Den første tilnærmingen kan velges i henhold til grafen nærmere skjæringspunktet.

Eksempel. Gitt et ligningssystem

Før vi løser systemet, konstruerer vi grafer over funksjoner: parabler (den første ligningen) og en rett linje (den andre ligningen). Konstruksjonen av en graf av en rett linje og en parabel i ett koordinatsystem er vist i figur 4.5:

Ris. 4.5. Å plotte to funksjoner i samme koordinatsystem En linje og en parabel skjærer hverandre i to punkter, noe som betyr at systemet har to løsninger. I henhold til grafen velger vi de første tilnærmingene til de ukjente x og y for hver løsning. Å finne røttene til ligningssystemet er vist i figur 4.6.

Ris. 4.6. Finne røttene til et system med ikke-lineære ligninger X ) og langs Oy-aksen (verdier på ) separert av kommaer. I diagramformateringsvinduet, i kategorien spor til spore3 og spore4 endre: diagramtype - punkter, linjetykkelse - 3, farge - svart (fig. 4.7).

Ris. 4.7. Funksjonstomter med markerte skjæringspunkter

8 . Nøkkelfunksjoner Eksempler på bruk MathCAD å løse noen matematiske problemer

Denne delen gir eksempler på å løse problemer som krever å løse en likning eller et likningssystem.

8. 1 Finne lokale ytterpunkter av funksjoner

Den nødvendige betingelsen for et ekstremum (maksimum og/eller minimum) av en kontinuerlig funksjon er formulert som følger: ekstremum kan bare finne sted på de punktene der den deriverte enten er lik null eller ikke eksisterer (spesielt blir den uendelig) . For å finne ytterpunktene til en kontinuerlig funksjon, finn først punktene som tilfredsstiller den nødvendige betingelsen, det vil si finn alle de reelle røttene til ligningen.

Hvis en funksjonsgraf er bygget, kan du umiddelbart se - maksimum eller minimum er nådd på et gitt punkt X. Hvis det ikke er noen graf, blir hver av de funnet røttene undersøkt på en av måtene.

1 Med godtgjørelse . FRA utjevne e tegn på den deriverte . Tegnet til den deriverte bestemmes i nærheten av punktet (på punkter som er atskilt fra funksjonens ytterpunkt på forskjellige sider med små avstander). Hvis tegnet til den deriverte endres fra "+" til "-", så har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum. Hvis tegnet endres fra "-" til "+", så har funksjonen på dette tidspunktet et minimum. Hvis tegnet til den deriverte ikke endres, er det ingen ekstremum.

2. s godtgjørelse . PÅ beregninger e sekund derivat . I dette tilfellet beregnes den andre deriverte ved ekstremumpunktet. Hvis den er mindre enn null, har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum, hvis den er større enn null, så et minimum.

Eksempel. Finne ekstrema (minimum/maksimum) for en funksjon.

La oss først bygge en graf av funksjonen (fig. 6.1).

Ris. 6.1. Plotte en funksjon

La oss bestemme ut fra grafen de første tilnærmingene til verdiene X tilsvarende lokale ytterpunkter av funksjonen f(x). La oss finne disse ekstrema ved å løse ligningen. For løsningen bruker vi gitt-finn-blokken (fig. 6.2.).

Ris. 6.2. Finne lokale ekstremer

La oss definere typen ekstremum pervvei, undersøker endringen i tegnet til den deriverte i nærheten av de funnet verdiene (fig. 6.3).

Ris. 6.3. Bestemme typen ekstremum

Det kan sees fra tabellen over verdier for den deriverte og fra grafen at tegnet til den deriverte i nærheten av punktet x 1 endres fra pluss til minus, så funksjonen når sitt maksimum på dette tidspunktet. Og i nærheten av punktet x 2 har tegnet på den deriverte endret seg fra minus til pluss, så på dette tidspunktet når funksjonen et minimum.

La oss definere typen ekstremum sekundvei, beregner tegnet til den andre deriverte (fig. 6.4).

Ris. 6.4. Bestemme typen ekstremum ved å bruke den andre deriverte

Det kan sees på punktet x 1 den andre deriverte er mindre enn null, så punktet X 1 tilsvarer maksimum av funksjonen. Og på punktet x 2 den andrederiverte er større enn null, så punktet X 2 tilsvarer minimum av funksjonen.

8.2 Bestemme arealer av figurer avgrenset av kontinuerlige linjer

Arealet av en krumlinjet trapes avgrenset av en graf for en funksjon f(x) , et segment på okseaksen og to vertikaler X = en og X = b, en < b, bestemmes av formelen: .

Eksempel. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer f(x) = 1 — x 2 og y = 0.

Ris. 6.5. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer f(x) = 1 — x 2 og y = 0

Arealet av figuren innelukket mellom grafene for funksjoner f1(x) og f2(x) og direkte X = en og X = b, beregnes med formelen:

Merk følgende. For å unngå feil ved beregning av arealet, må funksjonsforskjellen tas modulo. Dermed vil området alltid være positivt.

Eksempel. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer og. Løsningen er vist i figur 6.6.

1. Vi bygger en graf over funksjoner.

2. Vi finner skjæringspunktene til funksjoner ved hjelp av rotfunksjonen. Vi vil bestemme de første tilnærmingene fra grafen.

3. Funnet verdier x erstattes i formelen som grensene for integrasjon.

8. 3 Konstruksjon av kurver ved gitte punkter

Konstruksjon av en rett linje som går gjennom to gitte punkter

For å komponere ligningen av en rett linje som går gjennom to punkter A ( x 0,y 0) og B ( x 1,y 1), foreslås følgende algoritme:

hvor en og b er koeffisientene til linjen som vi må finne.

2. Dette systemet er lineært. Den har to ukjente variabler: en og b

Eksempel. Konstruksjon av en rett linje som går gjennom punktene A (-2, -4) og B (5.7).

Vi erstatter de direkte koordinatene til disse punktene i ligningen og får systemet:

Løsningen til dette systemet i MathCAD er vist i figur 6.7.

Ris. 6.7 Systemløsning

Som et resultat av å løse systemet får vi: en = 1.57, b= -0,857. Så ligningen til en rett linje vil se slik ut: y = 1.57x- 0,857. La oss konstruere denne rette linjen (fig. 6.8).

Ris. 6.8. Bygge en rett linje

Konstruksjon av en parabel, passerer gjennom tre gitte punkter

Å konstruere en parabel som går gjennom tre punkter A ( x 0,y 0), B ( x 1,y 1) og C ( x 2,y 2), er algoritmen som følger:

1. Parablen er gitt av ligningen

y = øks 2 + bX + Med, hvor

en, b og Med er koeffisientene til parablen som vi må finne.

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i denne ligningen og får systemet:

2. Dette systemet er lineært. Den har tre ukjente variabler: en, b og Med. Systemet kan løses på en matrisemåte.

3. Vi erstatter de oppnådde koeffisientene i ligningen og bygger en parabel.

Eksempel. Konstruksjon av en parabel som går gjennom punktene A (-1,-4), B (1,-2) og C (3,16).

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i parabelligningen og får systemet:

Løsningen av dette ligningssystemet i MathCAD er vist i figur 6.9.

Ris. 6.9. Løse et ligningssystem

Som et resultat oppnås koeffisientene: en = 2, b = 1, c= -5. Vi får parabelligningen: 2 x 2 +x -5 = y. La oss bygge denne parabelen (fig. 6.10).

Ris. 6.10. Konstruksjon av en parabel

Konstruksjon av en sirkel som går gjennom tre gitte punkter

Å konstruere en sirkel som går gjennom tre punkter A ( x 1,y 1), B ( x 2,y 2) og C ( x 3,y 3), kan du bruke følgende algoritme:

1. Sirkelen er gitt av ligningen

hvor x0, y0 er koordinatene til sentrum av sirkelen;

R er radiusen til sirkelen.

2. Sett inn de gitte koordinatene til punktene i sirkellikningen og få systemet:

Dette systemet er ikke-lineært. Den har tre ukjente variabler: x 0, y 0 og R. Systemet løses ved hjelp av beregningsenheten Gitt - Finne.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel som går gjennom tre punkter A (-2,0), B (6,0) og C (2,4).

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i sirkellikningen og får systemet:

Løsningen til systemet i MathCAD er vist i figur 6.11.

Ris. 6.11. Systemløsning

Som et resultat av å løse systemet ble følgende oppnådd: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Bytt inn de oppnådde koordinatene til sirkelsenteret og radiusen med sirkelligningen. Vi får:. Express herfra y og konstruer en sirkel (fig. 6.12).

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON

Statens utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning

"KAZAN STATE ENERGY UNIVERSITY"

L.R. BELYAEVA, R.S. ZARIPOVA, R.A. ISHMURATOV

GRUNNLEGGENDE OM ARBEID I MATHCAD

Metodiske instruksjoner for praktiske øvelser

Kazan 2012

UDC 621.37 LBC 32.811.3

Anmeldere:

Doktor i fysiske og matematiske vitenskaper, professor ved Kazan State Power Engineering University E.A. Popov;

Kandidat for tekniske vitenskaper, førsteamanuensis ved Kazan National Research Technological University M.Yu. Vasiliev

		Belyaeva L.R.
		Grunnleggende om arbeid i MathCAD. Metodiske instruksjoner for praktiske øvelser
		/ L.R. Belyaeva, R.S. Zaripova, R.A. Ishmuratov - Kazan: Kazan. stat energi un-t, 2012.
		Den første delen av håndboken gir grunnleggende informasjon om
		Mathcad 13 og hvordan jobbe med tekst, formel og grafikk
		redaktører. Inndata av ulike typer data, det grunnleggende om numerisk og
		symbolske beregninger, plotte matematiske funksjoner, triks
		integrasjon og differensiering ved hjelp av MathCAD.
		Den andre delen gir et eksempel på praktisk bruk av programvare
		MathCAD-pakke ved løsning av en designoppgave med hastigheten "Transformasjon
		målesignaler". Nødvendig teoretisk informasjon for
		løsning av regneoppgaven, eksempel på beregning og enkeltoppgaver for
		studenter.
		Metodehåndboken inneholder også kontrollspørsmål vedr
		studert materiell og selvstendige oppgaver for å konsolidere det grunnleggende arbeidet i
		Workshopen er beregnet for studenter på spesialiteten "Informasjon og
		måleutstyr og teknologier" retning 200100 - Instrumentering, og
		samt studenter fra andre spesialiteter og områder av KSUE, studerer
		disipliner "Informatikk" og "Informasjonsteknologier".

© Kazan State Power Engineering University, 2012

Introduksjon

MathCAD er et datamatematikksystem som lar deg utføre en rekke vitenskapelige og tekniske beregninger, alt fra elementær aritmetikk til komplekse implementeringer av numeriske metoder. MathCAD-brukere er studenter, forskere, ingeniører, teknikere.

MathCAD, i motsetning til de fleste andre moderne matematiske applikasjoner, er bygget i henhold til prinsippet

WYSIWYG ("Det du ser er det du får"). Derfor er det veldig enkelt å bruke, spesielt fordi det ikke er nødvendig å først skrive et program som implementerer visse matematiske beregninger, og deretter kjøre det for utførelse. I stedet skriver du bare inn matematiske uttrykk ved hjelp av den innebygde formeleditoren, og får umiddelbart resultatet.

MathCAD 13 inkluderer flere komponenter integrert med hverandre, hvor kombinasjonen skaper et praktisk datamiljø for en rekke matematiske beregninger og samtidig dokumentere resultatene av arbeidet:

− kraftig tekstredigerer som lar deg gå inn, redigere

og formatere både tekst og matematiske uttrykk;

− en dataprosessor som er i stand til å utføre beregninger i henhold til de angitte formlene ved bruk av innebygde numeriske metoder;

− en symbolsk prosessor, som er et kunstig intelligenssystem;

− et stort oppbevaringssted for referanseinformasjon, både matematisk og teknisk, designet som et bibliotek med interaktive e-bøker.

For å jobbe effektivt med MathCAD-editoren er det nok å ha grunnleggende brukerferdigheter. I henhold til problemer i det virkelige liv, må ingeniører løse en eller flere av følgende oppgaver:

− legge inn ulike matematiske uttrykk på en datamaskin (for videre beregninger eller lage dokumenter, presentasjoner, websider eller e-bøker);

− utføre matematiske beregninger;

− utarbeidelse av grafer med resultater av beregninger;

− input av innledende data og utdata av resultater til tekstfiler eller filer med databaser i andre formater;

− utarbeidelse av arbeidsrapporter i form av trykte dokumenter;

− utarbeidelse av websider og publisering av resultater på Internett;

− innhente ulike referanseinformasjon fra matematikkfeltet.

MathCAD 13 takler alle disse oppgavene med hell:

− matematiske uttrykk og tekst legges inn ved hjelp av MathCAD-formeleditoren, som når det gjelder muligheter og brukervennlighet ikke er dårligere, for eksempel formeleditoren innebygd i

− matematiske beregninger gjøres umiddelbart, i samsvar med de angitte formlene;

− grafer av ulike typer brukervalg med rike formateringsalternativer settes inn direkte i dokumenter;

− det er mulig å legge inn og skrive ut data til filer i forskjellige formater;

− dokumenter kan skrives ut direkte i MathCAD i skjemaet som brukeren ser på dataskjermen, eller lagres

i RTF-format for etterfølgende redigering i tekstredigering;

− det er mulig å lagre MathCAD-dokumenter fullt ut i formatet RTF-dokumenter, samt websider i HTML- og XML-formater;

− det er en mulighet for å kombinere brukerutviklede dokumenter til elektroniske bøker;

− symbolske beregninger lar deg utføre analytiske transformasjoner, samt umiddelbart få en rekke matematiske referanseinformasjon.

Den virkelige perlen til MathCAD, tilgjengelig allerede i de første versjonene, var støtten for diskrete variabler, som tillot samtidig å beregne funksjoner for en rekke argumentverdier, noe som gjorde det mulig å bygge tabeller og grafer uten å bruke programmeringsoperatorer. Verktøy for overflateplotting har blitt brakt nesten til perfeksjon, slik at du kan lage kunstverk fra grafer. Komplekse tekniske og teknologiske beregninger i MathCAD-miljøet er mye enklere, klarere og flere ganger raskere enn i andre programmer.

Del 1. TEORETISK INFORMASJON

Kapittel 1. MATHCAD-GRENSESNITT

Grensesnittet til MathCAD ligner det til andre Windows-applikasjoner. Etter oppstart vises MathCAD-arbeidsvinduet på skjermen med hovedmenyen og tre verktøylinjer: Standard (standard), formatering (formatering) og Matte (matematisk).

Menylinjen er plassert helt øverst i MathCAD-vinduet. Den inneholder ni overskrifter, ved å klikke på hver av dem vises

til utseendet til den tilsvarende menyen med en liste over kommandoer:

- Fil (Fil) - kommandoer relatert til opprettelse, åpning, lagring, sending via e-post og utskrift på skriveren av filer med dokumenter;

− Rediger (Redigering) – kommandoer relatert til tekstredigering (kopiere, lime inn, slette fragmenter, etc.);

- View (View) - kommandoer som kontrollerer utseendet til dokumentet i MathCAD-redigeringsvinduet, samt kommandoer som lager animasjonsfiler;

− Insert (Insert) - kommandoer for å sette inn ulike objekter i dokumenter;

− Format (Format) - kommandoer for formatering av tekst, formler, grafer;

− Verktøy (Service) – kommandoer for å administrere beregningsprosessen og tilleggsfunksjoner;

− Symbolikk (Symboler) – kommandoer for symbolske beregninger;

− Window (Window) – kommandoer for å administrere arrangementet av vinduer med ulike dokumenter på skjermen;

− Hjelp – kommandoer for tilgang til kontekstsensitiv hjelpeinformasjon, programversjonsinformasjon og tilgang til ressurser og e-bøker.

For å velge en kommando, må du klikke på menyen som inneholder den og igjen på det tilsvarende menyelementet. Noen kommandoer er ikke i selve menyene, men i undermenyer, som vist i fig. 1.1. For å utføre en slik kommando, for eksempel kommandoen for å kalle opp den symbolske verktøylinjen på skjermen, må du holde musepekeren over elementet Verktøylinjer i rullegardinmenyen Vis og velge Symbolsk fra undermenyen som vises.

Ris. 1.1. Menyoperasjon

I tillegg til toppmenyen, utfører popup-menyer lignende funksjoner (fig. 1.2). De vises når du høyreklikker et sted i dokumentet. Samtidig avhenger sammensetningen av disse menyene av stedet for samtalen deres, derfor kalles de også kontekstmenyer. MathCAD "gjetter", avhengig av konteksten, hvilke operasjoner som kan være nødvendige for øyeblikket, og plasserer de tilsvarende kommandoene på menyen. Derfor er det enklere å bruke kontekstmenyen enn den øverste.

Ris. 1.2. Kontekstmenyen

1.2. Verktøylinjer

Verktøylinjer brukes for rask (ett klikk) utførelse av de mest brukte kommandoene. Alle handlinger som kan utføres ved hjelp av verktøylinjene er også tilgjengelige gjennom

Toppmeny. På fig. 1.3 viser MathCAD-vinduet med fem hovedverktøylinjer plassert rett under menylinjen. Knappene i panelene er gruppert i henhold til den lignende handlingen til kommandoene:

− Standard (Standard) - tjener til å utføre de fleste operasjoner, for eksempel handlinger med filer, redaksjonell redigering, innsetting av objekter, tilgang til hjelpesystemer;

− Formatering (formatering) - tjener til formatering (endre type og størrelse på skrift, justering osv.) tekst og formler;

− Matematikk (Matematikk) - brukes til å sette inn matematiske symboler

og operatører i dokumenter;

- Ressurser (Ressurser) - tjener til å kalle ressursene til MathCAD;

− Kontroller (kontroller) - tjener til å sette inn standard brukergrensesnittkontroller i dokumenter;

− Debug - brukes til å administrere feilsøking av MathCAD-programmer.

Ris. 1.3. Grunnleggende verktøylinjer

Grupper av knapper på verktøylinjer er avgrenset i betydning av vertikale linjer - skilletegn. Når du holder musepekeren over en av knappene, vises et verktøytips ved siden av knappen (fig. 1.4). Sammen med et verktøytips finner du en mer detaljert forklaring av den kommende operasjonen i statuslinjen.

Ris. 1.4. Bruke verktøylinjene Math og Kalkulator

Panelet Math (Matematikk) er ment for en samtale på skjermen til ni flere paneler (fig. 1.5) ved hjelp av hvilke det er en innsetting av matematiske operasjoner i dokumenter. For å vise noen av dem, må du klikke på den tilsvarende knappen på Math-panelet (fig. 1.4).

Ris. 1.5. Matematikkverktøylinjer

Vi lister opp formålet med matematiske paneler:

- Kalkulator (kalkulator) - brukes til å sette inn grunnleggende matematiske operasjoner, fikk navnet på grunn av likheten mellom settet med knapper med knappene på en typisk kalkulator;

− Graph (Graph) - for å sette inn grafer;

− Matrise (matrise) - for å sette inn matriser og matriseoperatorer;

− Evaluering - for å sette inn evalueringskontrolluttalelser;

− Calculus (matematisk analyse) – for innsetting av operatorer for integrasjon, differensiering, summering, etc.;

− Boolske (boolske operatorer) - for å sette inn logiske (boolske) operatorer;

− Programmering (Programmering) - for programmering ved hjelp av MathCAD;

− Gresk (greske tegn) - for å sette inn greske tegn;

− Symbolsk - for å sette inn symbolske operatorer. Det er viktig å merke seg at når du holder musepekeren over mange av de

knapper på matematiske paneler, vises et verktøytips som også inneholder en kombinasjon av "hurtigtaster", som vil føre til en tilsvarende handling.

1.3. Statuslinjen

PÅ nederst i MathCAD-vinduet, under den horisontale rullelinjen, er statuslinjen. Den viser grunnleggende informasjon om redigeringsmodus (fig. 1.6), avgrenset med skilletegn (fra venstre til høyre):

− kontekstsensitivt hint om den kommende handlingen;

− beregningsmodus: automatisk (AUTO) eller manuelt innstilt (Calc F9);

− gjeldende modus for CAP-tastaturoppsettet; − gjeldende tastaturlayoutmodus NUM; − nummeret på siden som markøren er plassert på.

Ris. 1.6. Statuslinjen

Kapittel 2. GRUNNLEGGENDE OM ARBEID I MATHCAD

2.1. Dokumentnavigering

Det er praktisk å se dokumentet opp-ned og høyre-venstre ved å bruke de vertikale og horisontale rullefeltene, flytte glidebryterne deres (i dette tilfellet sikres jevn bevegelse langs dokumentet) eller ved å klikke på en av de to sidene av glidebryteren (i dette tilfellet vil det være hektisk å bevege seg gjennom dokumentet). Du kan også bruke sidevendingstastene for å flytte markøren rundt i dokumentet. Og I alle disse tilfellene endres ikke posisjonen til markøren, men innholdet i dokumentet vises. I tillegg, hvis dokumentet er stort, er det praktisk å se innholdet ved hjelp av menyen

Rediger | Gå til side (Rediger | Gå til side). Når du velger dette elementet, åpnes en dialogboks som lar deg gå til siden med det angitte nummeret.

For å flytte opp og ned og til høyre og venstre gjennom dokumentet, flytte markøren, bør du trykke på de tilsvarende markørtastene. Når du kommer inn i området av regioner med formler og tekst, blir markøren til to inndatalinjer - vertikal og horisontal blå. Når markøren beveger seg lenger innenfor området, flytter inndatalinjene ett tegn i tilsvarende retning. Når du forlater området, blir markøren igjen inngangsmarkøren i form av et rødt kryss. Du kan også flytte markøren ved å klikke på riktig plassering. Hvis du klikker på en tom plass, vil en inndatamarkør vises i den, og hvis du er innenfor regionen, skriv inn linjer.

2.2. Legge inn og redigere formler

MathCAD-formeleditoren lar deg raskt og effektivt legge inn og endre matematiske uttrykk.

La oss liste igjen elementene i grensesnittet til MathCAD-editoren:

− musepeker - spiller den vanlige rollen for Windows-applikasjoner, følger bevegelsene til musen;

− markøren må være i en av tre typer:

– inndatamarkøren er et rødt kryss som markerer et tomt sted i dokumentet hvor du kan skrive inn tekst eller en formel;

– inndatalinjer - horisontale og vertikale blå linjer som fremhever en bestemt del i teksten eller formelen;

– tekstinndatalinje - en vertikal linje, analog med inndatalinjer for tekstområder;

− plassholdere – vises i ufullstendige formler på steder som skal fylles med et symbol eller en operator:

− tegnplassholderen er et svart rektangel;

− operatørplassholderen er en svart rektangulær boks. Du kan skrive inn et matematisk uttrykk i et hvilket som helst tomt rom

MathCAD-dokument. For å gjøre dette må du plassere inndatamarkøren på ønsket sted i dokumentet ved å klikke på den med musen, og angi formelen ved å trykke på tastene. Dette skaper et matematisk område i dokumentet, som er designet for å lagre formler tolket av MathCAD-prosessoren. La oss demonstrere rekkefølgen av handlinger ved å bruke eksemplet med å skrive inn uttrykket x 5 + x (fig. 2.1):

1. Klikk med musen for å markere inngangspunktet.

1. MathCAD arbeidsvindu

· Panel Matte(Fig. 1.4).

Ris. 1.4. Matematikkpanel

Ved å klikke på matematikkverktøylinjeknappen åpnes en ekstra verktøylinje:

2. Elementer av språk MathCAD

De grunnleggende elementene i MathCAD matematiske uttrykk inkluderer operatorer, konstanter, variabler, matriser og funksjoner.

2.1 Operatører

Operatører -- elementer av MathCAD som du kan lage matematiske uttrykk med. Disse inkluderer for eksempel symboler for aritmetiske operasjoner, tegn for beregning av summer, produkter, deriverte, integraler osv.

Operatøren definerer:

a) handlingen som skal utføres i nærvær av visse verdier av operandene;

b) hvor mange, hvor og hvilke operander som skal legges inn i operatøren.

Operand -- nummeret eller uttrykket som operatøren handler på. For eksempel, i uttrykket 5!+3, tallene 5! og 3 er operandene til "+" (pluss) operatoren, og tallet 5 er operanden til faktoren (!).

Enhver operatør i MathCAD kan legges inn på to måter:

ved å trykke på en tast (tastkombinasjon) på tastaturet;

ved hjelp av matematikkpanelet.

Følgende setninger brukes til å tildele eller vise innholdet i minneplasseringen knyttet til en variabel:

Oppdragstegn (skrives inn ved å trykke på tasten : på tastaturet (kolon i det engelske tastaturoppsettet) eller ved å trykke på tilsvarende knapp på panelet Kalkulator );

Denne oppgaven heter lokale. Før denne oppgaven er variabelen ikke definert og kan ikke brukes.

Global oppdragsoperatør. Denne oppgaven kan gjøres hvor som helst i dokumentet. For eksempel, hvis en variabel tildeles en verdi på denne måten helt på slutten av dokumentet, vil den ha samme verdi i begynnelsen av dokumentet.

Omtrentlig likhetsoperatør (x1). Brukes til å løse ligningssystemer. Angis ved å trykke på en tast ; på tastaturet (semikolon i det engelske tastaturoppsettet) eller ved å trykke på tilsvarende knapp på boolsk panel.

En operator (enkle lik) reservert for å gi ut verdien av en konstant eller variabel.

De enkleste beregningene

Beregningsprosessen utføres ved å bruke:

Kalkulatorpaneler, kalkulasjonspaneler og estimeringspaneler.

Merk følgende. Hvis det er nødvendig å dele hele uttrykket i telleren, må det først velges ved å trykke på mellomromstasten på tastaturet eller ved å plassere det i parentes.

2.2 Konstanter

Konstanter -- navngitte objekter som har en verdi som ikke kan endres.

For eksempel = 3,14.

Dimensjonskonstanter er vanlige måleenheter. For eksempel meter, sekunder osv.

For å skrive ned dimensjonskonstanten må du skrive inn tegnet * (multiplisere) etter tallet, velg menypunktet Sett inn ledd Enhet. I målinger kategoriene mest kjent for deg: Lengde - lengde (m, km, cm); Masse -- vekt (g, kg, t); Tid -- tid (min, sek, time).

2.3 Variabler

Variabler er navngitte objekter som har en verdi som kan endres etter hvert som programmet kjører. Variabler kan være numeriske, streng, tegn osv. Variabler tildeles verdier ved å bruke tilordningstegnet (:=).

Merk følgende. MathCAD behandler store og små bokstaver som forskjellige identifikatorer.

Systemvariabler

PÅ MathCAD inneholder en liten gruppe spesielle objekter som ikke kan tilskrives verken til klassen av konstanter eller til klassen av variabler, hvis verdier bestemmes umiddelbart etter at programmet er startet. Det er bedre å telle dem systemvariabler. Dette, for eksempel, TOL - feilen for numeriske beregninger, ORIGIN - den nedre grensen for verdien av indeksindeksen for vektorer, matriser, etc. Om nødvendig kan du angi andre verdier for disse variablene.

Rangerte variabler

Disse variablene har en serie faste verdier, enten heltall eller varierende i et bestemt trinn fra den opprinnelige verdien til den siste.

Et uttrykk brukes til å lage en variabel variabel:

Navn=N begynne ,(N begynne +Trinn)..N slutt ,

der Navn er navnet på variabelen;

N begynne -- startverdi;

Step -- det spesifiserte trinnet for å endre variabelen;

N slutt -- sluttverdi.

Rangerte variabler er mye brukt i plotting. For eksempel å plotte en graf for en funksjon f(x) først og fremst må du lage en serie med variabelverdier x-- Det må være en variabel variabel for at dette skal fungere.

Merk følgende. Hvis du ikke spesifiserer et trinn i variabelområdet, vil programmet automatisk ta det lik 1.

Eksempel . Variabel x varierer i området fra -16 til +16 i trinn på 0,1

For å skrive en områdevariabel skriver du:

Variabelnavn ( x);

Oppdragstegn (:=)

Den første verdien av området (-16);

komma;

Den andre verdien av området, som er summen av den første verdien og trinnet (-16+0,1);

ellipse ( .. ) -- endre variabelen innenfor de gitte grensene (ellipsis legges inn ved å trykke et semikolon i det engelske tastaturoppsettet);

Siste områdeverdi (16).

Som et resultat vil du få: x := -16,-16+0.1..16.

Utgangstabeller

Ethvert uttrykk med rangerte variabler etter likhetstegnet starter utdatatabellen.

Du kan sette inn numeriske verdier i utdatatabellene og korrigere dem.

Variabel med indeks

Variabel med indeks-- er en variabel som er tildelt et sett med urelaterte tall, som hver har sitt eget nummer (indeks).

Indeksen legges inn ved å trykke på venstre firkantet parentes på tastaturet eller ved å bruke knappen x n på panelet Kalkulator.

Du kan bruke enten en konstant eller et uttrykk som en indeks. For å initialisere en variabel med en indeks, må du skrive inn elementene i matrisen og skille dem med komma.

Eksempel. Legge inn indeksvariabler.

Numeriske verdier legges inn i tabellen atskilt med komma;

Utdata av verdien til det første elementet i vektoren S;

Sende ut verdien av nullelementet til vektoren S.

2.4 Matriser

array - en unikt navngitt samling av et begrenset antall numeriske eller tegnelementer, ordnet på en eller annen måte og med spesifikke adresser.

I pakken MathCAD arrays av de to vanligste typene brukes:

endimensjonal (vektorer);

todimensjonale (matriser).

Du kan skrive ut en matrise eller vektormal på en av følgende måter:

velg menyelement Sett inn - Matrise;

trykk på tastekombinasjonen ctrl + M;

trykk på knappen Panel og vektorer og matriser.

Som et resultat vil en dialogboks vises der det nødvendige antallet rader og kolonner er angitt:

Rader-- antall linjer

kolonner-- Antall kolonner

Hvis en matrise (vektor) må gis et navn, legges først inn navnet på matrisen (vektor), deretter tildelingsoperatoren og deretter matrisemalen.

For eksempel:

Matrise -- en todimensjonal matrise kalt M n , m , bestående av n rader og m kolonner.

Du kan utføre ulike matematiske operasjoner på matriser.

2.5 Funksjoner

Funksjon -- et uttrykk som gjør at noen beregninger utføres med argumenter og dens numeriske verdi bestemmes. Funksjonseksempler: synd(x), tan(x) og så videre.

Funksjoner i MathCAD-pakken kan enten være innebygd eller brukerdefinert. Måter å sette inn en innebygd funksjon:

Velg menyelement Sett inn - Funksjon.

Trykk tastekombinasjon ctrl + E.

Klikk på knappen på verktøylinjen.

Skriv inn navnet på funksjonen på tastaturet.

Brukerfunksjoner brukes vanligvis når det samme uttrykket evalueres flere ganger. Slik angir du en brukerfunksjon:

· skriv inn navnet på funksjonen med den obligatoriske indikasjonen av argumentet i parentes, for eksempel f(x);

Skriv inn oppgaveoperatøren (:=);

Skriv inn et beregnet uttrykk.

Eksempel. f (z) := synd(2 z 2)

3. Tallformatering

I MathCAD kan du endre utdataformatet til tall. Vanligvis gjøres beregninger med en nøyaktighet på 20 sifre, men ikke alle signifikante tall vises. For å endre tallformatet, dobbeltklikk på ønsket numerisk resultat. Vinduet for tallformatering vises, åpent på fanen Antall Format (Tallformat) med følgende formater:

o Generell (Main) -- er standard. Tallene vises i rekkefølge (for eksempel 1,2210 5). Antall tegn på mantissen bestemmes i feltet Eksponentiell Terskel(Eksponentiell notasjonsterskel). Når terskelen overskrides, vises tallet i rekkefølge. Antall sifre etter desimaltegnet endres i feltet Antall av desimal steder.

o Desimal (Desimal) -- Desimalrepresentasjonen av tall med flyttall (for eksempel 12.2316).

o Vitenskapelig (Vitenskapelig) -- Tallene vises kun i rekkefølge.

o Engineering (Engineering) -- tall vises bare i multipler av tre (for eksempel 1,2210 6).

Merk følgende. Hvis du, etter å ha angitt ønsket format i tallformateringsvinduet, velger du knappen OK, formatet vil kun angis for det valgte nummeret. Og hvis du velger knappen Angi som standard, vil formatet bli brukt på alle tallene i dette dokumentet.

Tall rundes automatisk ned til null hvis de er mindre enn den angitte terskelen. Terskelen er satt for hele dokumentet, ikke for et bestemt resultat. For å endre avrundingsterskelen til null, velg menypunktet Formatering - Resultat og i fanen toleranse , i felt Null terskel angi den nødvendige terskelverdien.

4. Arbeid med tekst

Tekstbiter er tekstbiter som brukeren ønsker å se i dokumentet sitt. Dette kan være forklaringer, lenker, kommentarer osv. De settes inn ved hjelp av menypunktet Sett inn - Tekstregion.

Du kan formatere teksten: endre font, størrelse, stil, justering osv. For å gjøre dette, velg det og velg de riktige alternativene på fontpanelet eller i menyen Formatering - Tekst.

5. Arbeid med grafikk

Når man løser mange problemer der en funksjon studeres, blir det ofte nødvendig å plotte grafen, som tydelig vil reflektere funksjonen til funksjonen på et bestemt intervall.

I MathCAD-systemet er det mulig å bygge ulike typer grafer: i kartesiske og polare koordinatsystemer, tredimensjonale grafer, overflater av revolusjonslegemer, polyedre, romlige kurver, vektorfeltgrafer. Vi skal se på hvordan vi bygger noen av dem.

5.1 Plotte 2D-plott

For å bygge en todimensjonal graf av en funksjon, må du:

angi en funksjon

Plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, på det matematiske panelet velger du Graph-knappen (graf) og i panelet som åpnes, X-Y Plot-knappen (todimensjonal graf);

I den viste malen til en todimensjonal graf, som er et tomt rektangel med dataetiketter, skriv inn navnet på variabelen i den sentrale dataetiketten langs abscisseaksen (X-aksen), og skriv inn navnet på funksjonen i stedet for den sentrale dataetiketten langs ordinataksen (Y-aksen) (Fig. 2.1);

Ris. 2.1. 2D-plottmal

klikk utenfor grafmalen -- grafen til funksjonen vil bli plottet.

Argumentområdet består av 3 verdier: initial, andre og siste.

La det være nødvendig å plotte en funksjonsgraf på intervallet [-2,2] med et trinn på 0,2. Variable verdier t er spesifisert som et område som følger:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

hvor: -2 - startverdien til området;

1,8 (-2 + 0,2) -- andre områdeverdi (startverdi pluss trinn);

2 er sluttverdien til området.

Merk følgende. En ellipse angis ved å trykke et semikolon i det engelske tastaturoppsettet.

Eksempel. Plotte en funksjon y = x 2 på intervallet [-5,5] med et trinn på 0,5 (fig. 2.2).

Ris. 2.2. Plotte en funksjon y = x 2

Når du plotter grafer, bør du vurdere følgende:

° Hvis området for argumentverdiene ikke er spesifisert, er grafen som standard bygget i området [-10,10].

° Hvis det er nødvendig å plassere flere grafer i en mal, er navnene på funksjonene angitt atskilt med komma.

° Hvis to funksjoner har forskjellige argumenter, for eksempel f1(x) og f2(y), så er navnene på funksjonene angitt på ordinaten (Y)-aksen, atskilt med komma, og på abscissen (X)-aksen, navn på begge variablene er også atskilt med komma.

° Endeetikettene til dataene på kartmalen brukes til å indikere grenseverdiene for abscissen og ordinaten, dvs. de setter skalaen til grafen. Hvis du lar disse etikettene stå tomme, vil skalaen stilles inn automatisk. Den automatiske skalaen reflekterer ikke alltid grafen i ønsket form, så grenseverdiene for abscissen og ordinatene må redigeres ved å endre dem manuelt.

Merk. Hvis etter å ha plottet grafen ikke har ønsket form, kan du:

Reduser trinn.

· endre plotteintervallet.

Reduser grenseverdiene for abscisser og ordinater på kartet.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel med et senter i et punkt (2,3) og en radius R = 6.

Ligningen til en sirkel sentrert i et punkt med koordinater ( x 0 ,y 0) og radius R er skrevet som:

Uttrykk fra denne ligningen y:

For å konstruere en sirkel er det derfor nødvendig å sette to funksjoner: øvre og nedre halvsirkler. Argumentområdet beregnes som følger:

Startverdi for område = x 0 - R;

Sluttverdi for område = x 0 + R;

Det er bedre å ta steget lik 0,1 (fig. 2.3.).

Ris. 2.3. Konstruksjon av en sirkel

Parametrisk graf for en funksjon

Noen ganger er det mer praktisk i stedet for en linjeligning som relaterer rektangulære koordinater x og y, betrakt de såkalte parametriske linjelikningene, som gir uttrykk for gjeldende x- og y-koordinater som funksjoner av en variabel t(parameter): x(t) og y(t). Når du konstruerer en parametrisk graf, er navnene på funksjonene til ett argument angitt på ordinat- og abscisse-aksene.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel sentrert i et punkt med koordinater (2,3) og radius R= 6. For konstruksjonen brukes den parametriske ligningen til sirkelen

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R synd( t) (Fig. 2.4.).

Fig.2.4. Konstruksjon av en sirkel

Kartformatering

For å formatere en graf, dobbeltklikk på grafområdet. Dialogboksen Grafformatering åpnes. Fanene i diagramformateringsvinduet er oppført nedenfor:

§ X- Y økser-- formatering av koordinataksene. Ved å merke av de aktuelle boksene kan du:

· Logg Skala- representerer numeriske verdier på aksene i en logaritmisk skala (som standard er numeriske verdier plottet i en lineær skala)

· Nett linjer-- tegne et rutenett med linjer;

· nummerert-- Ordne tallene langs koordinataksene;

· Auto Skala- automatisk valg av numeriske grenseverdier på aksene (hvis denne boksen ikke er merket av, vil de maksimale beregnede verdiene være grense);

· forestilling markør- merking av grafen i form av horisontale eller vertikale stiplede linjer som tilsvarer den angitte verdien på aksen, og verdiene selv vises på slutten av linjene (2 inndataplasser vises på hver akse, der du kan skriv inn numeriske verdier, ikke skriv inn noe, skriv inn ett tall eller bokstavbetegnelser for konstanter);

· Auto Gkvitt-- automatisk valg av antall rutenettlinjer (hvis denne boksen ikke er merket av, må du spesifisere antall linjer i feltet Antall rutenett);

· krysset-- Abscisseaksen går gjennom null på ordinaten;

· Bokset-- x-aksen går langs den nedre kanten av grafen.

§ Spor-- linjeformatering av funksjonsgrafer. For hver graf separat kan du endre:

symbol (Symbol) på diagrammet for nodalpunkter (sirkel, kryss, rektangel, rombe);

linjetype (heltrukken - heltrukket, prikk - stiplet linje, bindestrek - streker, dadot - stiplet linje);

linjefarge (Farge);

Type (tur) av diagrammet (Linjer - linje, Punkter - punkter, Var eller Solidbar - søyler, trinn - trinndiagram, etc.);

linjetykkelse (vekt).

§ Etikett -- tittel i grafområdet. I felt Tittel (Tittel) du kan skrive teksten til tittelen, velge dens plassering - øverst eller nederst i grafen ( Ovenfor -- topp, Under -- på bunnen). Du kan angi, om nødvendig, navnene på argumentet og funksjonen ( Akseetiketter ).

§ Standarder -- ved å bruke denne kategorien kan du gå tilbake til standard kartvisning (Endre til standard), eller bruke endringene du har gjort på diagrammet som standard for alle diagrammer i dette dokumentet (Bruk for standard).

5.2 Bygge polartomter

For å bygge en polar graf av en funksjon, må du:

· angi rekkevidden av argumentverdier;

angi en funksjon

· Plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, på det matematiske panelet velg Graph-knappen (graf) og i panelet som åpnes, Polar Plot-knappen (polar graf);

· I inntastingsfeltene til malen som vises, må du skrive inn vinkelargumentet til funksjonen (nedenfor) og navnet på funksjonen (til venstre).

Eksempel. Konstruksjon av Bernoullis lemniscat: (Fig. 2.6.)

Fig.2.6. Et eksempel på å bygge en polartomt

5.3 Plotte overflater (3D- eller 3D-plott)

Ved konstruksjon av tredimensjonale grafer brukes panelet kurve(Graf) matematikkpanel. Du kan bygge en tredimensjonal graf ved hjelp av veiviseren, kalt fra hovedmenyen; du kan bygge en graf ved å lage en matrise med verdier av en funksjon av to variabler; du kan bruke den akselererte byggemetoden; du kan kalle spesialfunksjonene CreateMech og CreateSpase, designet for å lage en rekke funksjonsverdier og plott. Vi vil vurdere en akselerert metode for å konstruere en tredimensjonal graf.

Rask grafer

For raskt å bygge en tredimensjonal graf av en funksjon, må du:

angi en funksjon

plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, velg knappen på det matematiske panelet kurve(diagram) og i det åpnede panelet knappen ( overflategraf);

· på det eneste stedet i malen, skriv inn navnet på funksjonen (uten å spesifisere variabler);

· klikk utenfor diagrammalen -- funksjonsgrafen vil bli bygget.

Eksempel. Plotte en funksjon z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (fig. 2.7).

Ris. 2.7. Et eksempel på en Quick Surface Plot

Det bygde diagrammet kan kontrolleres:

° rotasjon av grafen utføres etter å holde musepekeren over den med venstre museknapp nedtrykket;

° skalering av kartet utføres etter at du holder musepekeren over det ved å trykke venstre museknapp og Ctrl-tasten samtidig (hvis du beveger musen, zoomer kartet inn eller ut);

° diagramanimasjon utføres på samme måte, men med Shift-tasten trykket i tillegg. Det er bare nødvendig å begynne å rotere grafen med musen, da vil animasjonen utføres automatisk. For å stoppe rotasjonen, klikk med venstre museknapp inne i grafområdet.

Det er mulig å bygge flere overflater samtidig i en tegning. For å gjøre dette må du angi begge funksjonene og angi navnene på funksjonene på kartmalen atskilt med komma.

Når du plotter raskt, er standardverdiene for begge argumentene mellom -5 og +5 og antall konturlinjer er 20. For å endre disse verdiene må du:

· dobbeltklikk på diagrammet;

· velg fanen Quick Plot Data i det åpne vinduet;

· skriv inn nye verdier i vindusområdet Range1 - for det første argumentet og Range2 - for det andre argumentet (start - startverdi, slutt - sluttverdi);

· i # of Grids-feltet endrer du antall rutenett som dekker overflaten;

· Klikk på OK-knappen.

Eksempel. Plotte en funksjon z(x,y) = -synd( x 2 + y 2) (Fig. 2.9).

Når du konstruerer denne grafen, er det bedre å velge grensene for endring i verdiene til begge argumentene fra -2 til +2.

Ris. 2.9. Et eksempel på å plotte en funksjonsgraf z(x,y) = -synd( x 2 + y 2)

foranmatte 3D-grafer

For å formatere grafen, dobbeltklikk på plottområdet - et formateringsvindu med flere faner vises: Utseende, Generell, økser, belysning, Tittel, Bakplan, Spesiell, Avansert, Rask Plott Data.

Formålet med fanen Rask Plott Data har vært diskutert ovenfor.

fanen Utseende lar deg endre utseendet til grafen. Felt Fylle Alternativer lar deg endre fyllingsparametrene, felt linje Alternativ-- linjeparametere, punkt Alternativer-- punkt parametere.

I fanen Generell ( generelt) i gruppen utsikt du kan velge rotasjonsvinklene til den avbildede overflaten rundt alle tre aksene; i en gruppe vise som Du kan endre diagramtypen.

I fanen belysning(belysning) du kan kontrollere belysningen ved å merke av i boksen muliggjøre belysning(slå på lys) og slå på På(Slå på). Ett av 6 mulige lysskjemaer er valgt fra listen belysning ordningen(lysskjema).

6. Måter å løse ligninger på MathCAD

I denne delen vil vi lære hvordan de enkleste ligningene på formen F( x) = 0. Å løse en ligning analytisk betyr å finne alle dens røtter, dvs. slike tall, når vi erstatter dem i den opprinnelige ligningen, får vi riktig likhet. Å løse ligningen grafisk betyr å finne skjæringspunktene til grafen til funksjonen med x-aksen.

6. 1 Løse ligninger ved hjelp av funksjonen root(f(x),x)

For løsninger av en ligning med en ukjent av formen F( x) = 0 det er en spesiell funksjon

rot(f(x), x) ,

hvor f(x) er et uttrykk lik null;

X-- argument.

Denne funksjonen returnerer, med en gitt presisjon, verdien av en variabel som uttrykket for f(x) er lik 0.

Merk følgendee. Hvis høyre side av ligningen er 0, er det nødvendig å bringe den til normal form (overfør alt til venstre side).

Før du bruker funksjonen rot må gis til argumentet X innledende tilnærming. Hvis det er flere røtter, må du spesifisere din første tilnærming for å finne hver rot.

Merk følgende. Før løsning er det ønskelig å plotte en funksjonsgraf for å sjekke om det er røtter (skjærer grafen okseaksen), og i så fall hvor mange. Den første tilnærmingen kan velges i henhold til grafen nærmere skjæringspunktet.

Eksempel. Løse en ligning ved hjelp av en funksjon rot vist i figur 3.1. Før vi går videre til løsningen i MathCAD-systemet, vil vi i ligningen overføre alt til venstre side. Ligningen vil ha formen: .

Ris. 3.1. Løse en ligning ved hjelp av rotfunksjonen

6. 2 Løse ligninger med Polyroots(v)-funksjonen

For å finne alle røttene til et polynom samtidig, bruk funksjonen polyrøtter(v), der v er vektoren av koeffisientene til polynomet, med utgangspunkt i frileddet . Nullkoeffisienter kan ikke utelates. I motsetning til funksjonen rot funksjon Poljerøtter krever ikke en innledende tilnærming.

Eksempel. Løse en ligning ved hjelp av en funksjon polyrøtter vist i figur 3.2.

Ris. 3.2. Løse en ligning ved hjelp av polyroots-funksjonen

6.3 Løse ligninger med Finn(x)

Finn-funksjonen fungerer sammen med det gitte nøkkelordet. Design Gitt - Finne bruker en beregningsteknikk basert på å finne en rot nær et innledende tilnærmingspunkt spesifisert av brukeren.

Hvis ligningen er gitt f(x) = 0, så kan det løses som følger ved å bruke blokken Gitt - Finne:

Angi innledende tilnærming

Skriv inn et tjenesteord

Skriv ligningen med tegnet fet er lik

Skriv en finnfunksjon med en ukjent variabel som parameter

Som et resultat, etter likhetstegnet, vil den funnet roten vises.

Hvis det er flere røtter, kan de bli funnet ved å endre den opprinnelige tilnærmingen x0 til en nær den ønskede roten.

Eksempel. Løsningen av ligningen ved hjelp av finnefunksjonen er vist i figur 3.3.

Ris. 3.3. Løse en ligning med finnefunksjonen

Noen ganger blir det nødvendig å markere noen punkter på grafen (for eksempel skjæringspunktene for en funksjon med okseaksen). For dette trenger du:

Spesifiser x-verdien til et gitt punkt (langs Ox-aksen) og verdien av funksjonen på dette punktet (langs Oy-aksen);

dobbeltklikk på grafen og i formateringsvinduet i fanen spor for den tilsvarende linjen, velg graftype - punkter, linjetykkelse - 2 eller 3.

Eksempel. Grafen viser skjæringspunktet mellom funksjonen og x-aksen. Koordinere X dette punktet ble funnet i forrige eksempel: X= 2,742 (roten til ligningen ) (Fig. 3.4).

Ris. 3.4. Graf over en funksjon med et markert skjæringspunkt

I diagramformateringsvinduet, i kategorien spor til spore2 endret: diagramtype - punkter, linjetykkelse - 3, farge - svart.

7. Løse ligningssystemer

7.1 Løse systemer av lineære ligninger

Systemet med lineære ligninger kan løses m matrisemetode (enten gjennom den inverse matrisen eller ved å bruke funksjonen l løse(A,B)) og bruke to funksjoner Finne og funksjoner Minerr.

Matrisemetode

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Løsningen av dette ligningssystemet ved matrisemetoden er vist i figur 4.1.

Ris. 4.1. Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en matrisemetode

Funksjonsbruk l løse(EN, B)

Lløse(A,B) er en innebygd funksjon som returnerer en vektor X for et system av lineære ligninger gitt en matrise av koeffisientene A og en vektor med frie ledd B .

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Måten å løse dette systemet ved å bruke lsolve(A,B)-funksjonen er vist i figur 4.2.

Ris. 4.2. Løse et system med lineære ligninger ved å bruke lsolve-funksjonen

Løse et system med lineære ligninger ved bruk av funksjonerog Finne

Med denne metoden legges likninger inn uten bruk av matriser, dvs. i "naturlig form". Først er det nødvendig å indikere de første tilnærmingene til de ukjente variablene. Det kan være et hvilket som helst tall innenfor rammen av definisjonen. Ofte blir de forvekslet med en kolonne med gratis medlemmer.

For å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en beregningsenhet Gitt - Finne, nødvendig:

2) skriv inn et tjenesteord Gitt;

fet er lik();

4) skriv en funksjon Finne,

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Løsningen av dette systemet ved hjelp av en dataenhet Gitt - Finne vist i figur 4.3.

Ris. 4.3. Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Finn-funksjonen

Omtrent sløsning av et system av lineære ligninger

Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en funksjon Minerr lik løsningen som bruker funksjonen Finne(bruker samme algoritme), bare funksjon Finne gir den eksakte løsningen, og Minerr-- omtrentlig. Hvis det, som et resultat av søket, ikke kan oppnås ytterligere avgrensning av gjeldende tilnærming til løsningen, Gruvearbeiderr returnerer denne tilnærmingen. Funksjon Finne i dette tilfellet returnerer en feilmelding.

Du kan velge en annen innledende tilnærming.

· Du kan øke eller redusere beregningsnøyaktigheten. For å gjøre dette, velg fra menyen Matte > Alternativer(Matte - Alternativer), fane bygget- I Variabler(Innebygde variabler). I fanen som åpnes, må du redusere den tillatte beregningsfeilen (Konvergenstoleranse (TOL)). Standard TOL = 0,001.

PÅMerk følgende. Med matriseløsningsmetoden er det nødvendig å omorganisere koeffisientene i henhold til økningen i ukjente X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Løse systemer av ikke-lineære ligninger

Systemer med ikke-lineære ligninger i MathCAD løses ved hjelp av en dataenhet Gitt - Finne.

Design Gitt - Finne bruker en beregningsteknikk basert på å finne en rot nær et innledende tilnærmingspunkt spesifisert av brukeren.

Å løse et ligningssystem ved å bruke blokken Gitt - Finne nødvendig:

1) angi innledende tilnærminger for alle variabler;

2) skriv inn et tjenesteord Gitt;

3) skriv ned ligningssystemet ved å bruke tegnet fet er lik();

4) skriv en funksjon Finne, ved å liste ukjente variabler som funksjonsparametere.

Som et resultat av beregninger vil løsningsvektoren til systemet vises.

Hvis systemet har flere løsninger, bør algoritmen gjentas med andre innledende gjetninger.

Merk. Hvis et system med to ligninger med to ukjente løses, før det løses, er det ønskelig å plotte funksjonsgrafer for å sjekke om systemet har røtter (om grafene til gitte funksjoner krysser hverandre), og i så fall hvor mange. Den første tilnærmingen kan velges i henhold til grafen nærmere skjæringspunktet.

Eksempel. Gitt et ligningssystem

Før vi løser systemet, konstruerer vi grafer over funksjoner: parabler (den første ligningen) og en rett linje (den andre ligningen). Konstruksjonen av en graf av en rett linje og en parabel i ett koordinatsystem er vist i figur 4.5:

Ris. 4.5. Plotte to funksjoner i samme koordinatsystem

Linjen og parabelen skjærer hverandre i to punkter, noe som betyr at systemet har to løsninger. I henhold til grafen velger vi de første tilnærmingene til de ukjente x og y for hver løsning. Å finne røttene til ligningssystemet er vist i figur 4.6.

Ris. 4.6. Finne røttene til et system med ikke-lineære ligninger

For å markere skjæringspunktene for parabelen og den rette linjen på grafen, introduserer vi koordinatene til punktene som ble funnet når vi løser systemet langs okseaksen (verdier) X ) og langs Oy-aksen (verdier på ) separert av kommaer. I diagramformateringsvinduet, i kategorien spor til spore3 og spore4 endre: diagramtype - punkter, linjetykkelse - 3, farge - svart (fig. 4.7).

Ris. 4.7. Funksjonstomter med markerte skjæringspunkter

8 . Nøkkelfunksjoner Eksempler på bruk MathCAD å løse noen matematiske problemer

Denne delen gir eksempler på å løse problemer som krever å løse en likning eller et likningssystem.

8. 1 Finne lokale ytterpunkter av funksjoner

Den nødvendige betingelsen for et ekstremum (maksimum og/eller minimum) av en kontinuerlig funksjon er formulert som følger: ekstremum kan bare finne sted på de punktene der den deriverte enten er lik null eller ikke eksisterer (spesielt blir den uendelig) . For å finne ytterpunktene til en kontinuerlig funksjon, finn først punktene som tilfredsstiller den nødvendige betingelsen, det vil si finn alle de reelle røttene til ligningen.

Hvis en funksjonsgraf er bygget, kan du umiddelbart se - maksimum eller minimum er nådd på et gitt punkt X. Hvis det ikke er noen graf, blir hver av de funnet røttene undersøkt på en av måtene.

1 Med godtgjørelse . FRA utjevne e tegn på den deriverte . Tegnet til den deriverte bestemmes i nærheten av punktet (på punkter som er atskilt fra funksjonens ytterpunkt på forskjellige sider med små avstander). Hvis tegnet til den deriverte endres fra "+" til "-", så har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum. Hvis tegnet endres fra "-" til "+", så har funksjonen på dette tidspunktet et minimum. Hvis tegnet til den deriverte ikke endres, er det ingen ekstremum.

2. s godtgjørelse . PÅ beregninger e sekund derivat . I dette tilfellet beregnes den andre deriverte ved ekstremumpunktet. Hvis den er mindre enn null, har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum, hvis den er større enn null, så et minimum.

Eksempel. Finne ekstrema (minimum/maksimum) for en funksjon.

La oss først bygge en graf av funksjonen (fig. 6.1).

Ris. 6.1. Plotte en funksjon

La oss bestemme ut fra grafen de første tilnærmingene til verdiene X tilsvarende lokale ytterpunkter av funksjonen f(x). La oss finne disse ekstrema ved å løse ligningen. For å løse bruker vi gitt-finn-blokken (fig. 6.2.).

Ris. 6.2. Finne lokale ekstremer

La oss definere typen ekstremum pervvei, undersøker endringen i tegnet til den deriverte i nærheten av de funnet verdiene (fig. 6.3).

Ris. 6.3. Bestemme typen ekstremum

Det kan sees fra tabellen over verdier for den deriverte og fra grafen at tegnet til den deriverte i nærheten av punktet x 1 endres fra pluss til minus, så funksjonen når sitt maksimum på dette tidspunktet. Og i nærheten av punktet x 2 har tegnet på den deriverte endret seg fra minus til pluss, så på dette tidspunktet når funksjonen et minimum.

La oss definere typen ekstremum sekundvei, beregner tegnet til den andre deriverte (fig. 6.4).

Ris. 6.4. Bestemme typen ekstremum ved å bruke den andre deriverte

Det kan sees på punktet x 1 den andre deriverte er mindre enn null, så punktet X 1 tilsvarer maksimum av funksjonen. Og på punktet x 2 den andrederiverte er større enn null, så punktet X 2 tilsvarer minimum av funksjonen.

8.2 Bestemme arealer av figurer avgrenset av kontinuerlige linjer

Arealet av en krumlinjet trapes avgrenset av en graf for en funksjon f(x) , et segment på okseaksen og to vertikaler X = en og X = b, en < b, bestemmes av formelen: .

Eksempel. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer f(x) = 1 - x 2 og y = 0.

Ris. 6.5. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer f(x) = 1 - x 2 og y = 0

Arealet av figuren innelukket mellom grafene for funksjoner f1(x) og f2(x) og direkte X = en og X = b, beregnes med formelen:

Merk følgende. For å unngå feil ved beregning av arealet, må funksjonsforskjellen tas modulo. Dermed vil området alltid være positivt.

Eksempel. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer og. Løsningen er vist i figur 6.6.

1. Vi bygger en graf over funksjoner.

2. Vi finner skjæringspunktene til funksjoner ved hjelp av rotfunksjonen. Vi vil bestemme de første tilnærmingene fra grafen.

3. Funnet verdier x erstattes i formelen som grensene for integrasjon.

8. 3 Konstruksjon av kurver ved gitte punkter

Konstruksjon av en rett linje som går gjennom to gitte punkter

Å skrive ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter A( x 0,y 0) og B( x 1,y 1), foreslås følgende algoritme:

hvor en og b er koeffisientene til linjen som vi må finne.

2. Dette systemet er lineært. Den har to ukjente variabler: en og b

Eksempel. Konstruksjon av en rett linje som går gjennom punktene A(-2,-4) og B(5,7).

Vi erstatter de direkte koordinatene til disse punktene i ligningen og får systemet:

Løsningen til dette systemet i MathCAD er vist i figur 6.7.

Ris. 6.7 Systemløsning

Som et resultat av å løse systemet får vi: en = 1.57, b= -0,857. Så ligningen til en rett linje vil se slik ut: y = 1.57x- 0,857. La oss konstruere denne rette linjen (fig. 6.8).

Ris. 6.8. Bygge en rett linje

Konstruksjon av en parabel, passerer gjennom tre gitte punkter

Å konstruere en parabel som går gjennom tre punkter A( x 0,y 0), B( x 1,y 1) og C( x 2,y 2), er algoritmen som følger:

1. Parablen er gitt av ligningen

y = øks 2 + bX + Med, hvor

en, b og Med er koeffisientene til parablen som vi må finne.

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i denne ligningen og får systemet:

2. Dette systemet er lineært. Den har tre ukjente variabler: en, b og Med. Systemet kan løses på en matrisemåte.

3. Vi erstatter de oppnådde koeffisientene i ligningen og bygger en parabel.

Eksempel. Konstruksjon av en parabel som går gjennom punktene A(-1,-4), B(1,-2) og C(3,16).

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i parabelligningen og får systemet:

Løsningen av dette ligningssystemet i MathCAD er vist i figur 6.9.

Ris. 6.9. Løse et ligningssystem

Som et resultat oppnås koeffisientene: en = 2, b = 1, c= -5. Vi får parabelligningen: 2 x 2 +x -5 = y. La oss bygge denne parabelen (fig. 6.10).

Ris. 6.10. Konstruksjon av en parabel

Konstruksjon av en sirkel som går gjennom tre gitte punkter

Å konstruere en sirkel som går gjennom tre punkter A( x 1,y 1), B( x 2,y 2) og C( x 3,y 3), kan du bruke følgende algoritme:

1. Sirkelen er gitt av ligningen

hvor x0,y0 er koordinatene til sentrum av sirkelen;

R er radiusen til sirkelen.

2. Sett inn de gitte koordinatene i sirkellikningen...........

Send ditt gode arbeid i kunnskapsbasen er enkelt. Bruk skjemaet nedenfor

Studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være deg veldig takknemlig.

1. Arbeidsvindu MathCAD

· Panel Matte(Fig. 1.4).

Ris. 1.4. Matematikkpanel

Ved å klikke på matematikkverktøylinjeknappen åpnes en ekstra verktøylinje:

2. Elementer av språk MathCAD

De grunnleggende elementene i MathCAD matematiske uttrykk inkluderer operatorer, konstanter, variabler, matriser og funksjoner.

2.1 Operatører

Operatører -- elementer av MathCAD som du kan lage matematiske uttrykk med. Disse inkluderer for eksempel symboler for aritmetiske operasjoner, tegn for beregning av summer, produkter, deriverte, integraler osv.

Operatøren definerer:

a) handlingen som skal utføres i nærvær av visse verdier av operandene;

b) hvor mange, hvor og hvilke operander som skal legges inn i operatøren.

Operand -- nummeret eller uttrykket som operatøren handler på. For eksempel, i uttrykket 5!+3, tallene 5! og 3 er operandene til "+" (pluss) operatoren, og tallet 5 er operanden til faktoren (!).

Enhver operatør i MathCAD kan legges inn på to måter:

ved å trykke på en tast (tastkombinasjon) på tastaturet;

ved hjelp av matematikkpanelet.

Følgende setninger brukes til å tildele eller vise innholdet i minneplasseringen knyttet til en variabel:

-- tildelingstegn (skrives inn ved å trykke på tasten : på tastaturet (kolon i det engelske tastaturoppsettet) eller ved å trykke på tilsvarende knapp på panelet Kalkulator );

Denne oppgaven heter lokale. Før denne oppgaven er variabelen ikke definert og kan ikke brukes.

-- global oppdragsoperatør. Denne oppgaven kan gjøres hvor som helst i dokumentet. For eksempel, hvis en variabel tildeles en verdi på denne måten helt på slutten av dokumentet, vil den ha samme verdi i begynnelsen av dokumentet.

-- omtrentlig likhetsoperatør (x1). Brukes til å løse ligningssystemer. Angis ved å trykke på en tast ; på tastaturet (semikolon i det engelske tastaturoppsettet) eller ved å trykke på tilsvarende knapp på boolsk panel.

= -- operator (enkle lik) reservert for å gi ut verdien av en konstant eller variabel.

De enkleste beregningene

Beregningsprosessen utføres ved å bruke:

Kalkulatorpaneler, kalkulasjonspaneler og estimeringspaneler.

Merk følgende. Hvis det er nødvendig å dele hele uttrykket i telleren, må det først velges ved å trykke på mellomromstasten på tastaturet eller ved å plassere det i parentes.

2.2 Konstanter

Konstanter -- navngitte objekter som har en verdi som ikke kan endres.

For eksempel = 3,14.

Dimensjonskonstanter er vanlige måleenheter. For eksempel meter, sekunder osv.

For å skrive ned dimensjonskonstanten må du skrive inn tegnet * (multiplisere) etter tallet, velg menypunktet Sett inn ledd Enhet. I målinger kategoriene mest kjent for deg: Lengde - lengde (m, km, cm); Masse -- vekt (g, kg, t); Tid -- tid (min, sek, time).

2.3 Variabler

Variabler er navngitte objekter som har en verdi som kan endres etter hvert som programmet kjører. Variabler kan være numeriske, streng, tegn osv. Variabler tildeles verdier ved å bruke tilordningstegnet (:=).

Merk følgende. MathCAD behandler store og små bokstaver som forskjellige identifikatorer.

Systemvariabler

PÅ MathCAD inneholder en liten gruppe spesielle objekter som ikke kan tilskrives verken til klassen av konstanter eller til klassen av variabler, hvis verdier bestemmes umiddelbart etter at programmet er startet. Det er bedre å telle dem systemvariabler. Dette, for eksempel, TOL - feilen for numeriske beregninger, ORIGIN - den nedre grensen for verdien av indeksindeksen for vektorer, matriser, etc. Om nødvendig kan du angi andre verdier for disse variablene.

Rangerte variabler

Disse variablene har en serie faste verdier, enten heltall eller varierende i et bestemt trinn fra den opprinnelige verdien til den siste.

Et uttrykk brukes til å lage en variabel variabel:

Navn=N begynne,(N begynne+Trinn)..N slutt,

der Navn er navnet på variabelen;

N begynne -- startverdi;

Step -- det spesifiserte trinnet for å endre variabelen;

N slutt -- sluttverdi.

Rangerte variabler er mye brukt i plotting. For eksempel å plotte en graf for en funksjon f(x) først og fremst må du lage en serie med variabelverdier x-- Det må være en variabel variabel for at dette skal fungere.

Merk følgende. Hvis trinnet ikke er spesifisert i området til variabelen, da gram vil automatisk ta det lik 1.

Eksempel . Variabel x varierer i området fra -16 til +16 i trinn på 0,1

For å skrive en områdevariabel skriver du:

Variabelnavn ( x);

Oppdragstegn (:=)

Den første verdien av området (-16);

komma;

Den andre verdien av området, som er summen av den første verdien og trinnet (-16+0,1);

ellipse ( .. ) -- endre variabelen innenfor de gitte grensene (ellipsis legges inn ved å trykke et semikolon i det engelske tastaturoppsettet);

Siste områdeverdi (16).

Som et resultat vil du få: x := -16,-16+0.1..16.

Utgangstabeller

Ethvert uttrykk med rangerte variabler etter likhetstegnet starter utdatatabellen.

Du kan sette inn numeriske verdier i utdatatabellene og korrigere dem.

Variabel med indeks

Variabel med indeks-- er en variabel som er tildelt et sett med urelaterte tall, som hver har sitt eget nummer (indeks).

Indeksen legges inn ved å trykke på venstre firkantet parentes på tastaturet eller ved å bruke knappen x n på panelet Kalkulator.

Du kan bruke enten en konstant eller et uttrykk som en indeks. For å initialisere en variabel med en indeks, må du skrive inn elementene i matrisen og skille dem med komma.

Eksempel. Legge inn indeksvariabler.

Numeriske verdier legges inn i tabellen atskilt med komma;

Utdata av verdien til det første elementet i vektoren S;

Sende ut verdien av nullelementet til vektoren S.

2.4 Matriser

array -- en unikt navngitt samling av et begrenset antall numeriske eller tegnelementer, ordnet på en eller annen måte og med spesifikke adresser.

I pakken MathCAD arrays av de to vanligste typene brukes:

endimensjonal (vektorer);

todimensjonale (matriser).

Du kan skrive ut en matrise eller vektormal på en av følgende måter:

velg menyelement Sett inn - Matrise;

trykk på tastekombinasjonen ctrl+ M;

trykk på knappen Panel og vektorer og matriser.

Som et resultat vil en dialogboks vises der det nødvendige antallet rader og kolonner er angitt:

Rader-- antall linjer

kolonner-- Antall kolonner

Hvis en matrise (vektor) må gis et navn, legges først inn navnet på matrisen (vektor), deretter tildelingsoperatoren og deretter matrisemalen.

For eksempel:

Matrise -- en todimensjonal matrise kalt M n , m , bestående av n rader og m kolonner.

Du kan utføre ulike matematiske operasjoner på matriser.

2.5 Funksjoner

Funksjon -- et uttrykk som gjør at noen beregninger utføres med argumenter og dens numeriske verdi bestemmes. Funksjonseksempler: synd(x), tan(x) og så videre.

Funksjoner i MathCAD-pakken kan enten være innebygd eller brukerdefinert. Måter å sette inn en innebygd funksjon:

Velg menyelement Sett inn- Funksjon.

Trykk tastekombinasjon ctrl+ E.

Klikk på knappen på verktøylinjen.

Skriv inn navnet på funksjonen på tastaturet.

Brukerfunksjoner brukes vanligvis når det samme uttrykket evalueres flere ganger. Slik angir du en brukerfunksjon:

· skriv inn navnet på funksjonen med den obligatoriske indikasjonen av argumentet i parentes, for eksempel f(x);

Skriv inn oppgaveoperatøren (:=);

Skriv inn et beregnet uttrykk.

Eksempel. f (z) := synd(2 z 2)

3. Tallformatering

I MathCAD kan du endre utdataformatet til tall. Vanligvis gjøres beregninger med en nøyaktighet på 20 sifre, men ikke alle signifikante tall vises. For å endre tallformatet, dobbeltklikk på ønsket numerisk resultat. Vinduet for tallformatering vises, åpent på fanen Antall Format (Tallformat) med følgende formater:

o Generell (Main) -- er standard. Tallene vises i rekkefølge (for eksempel 1,2210 5). Antall tegn på mantissen bestemmes i feltet Eksponentiell Terskel(Eksponentiell notasjonsterskel). Når terskelen overskrides, vises tallet i rekkefølge. Antall sifre etter desimaltegnet endres i feltet Antall av desimal steder.

o Desimal (Desimal) -- Desimalrepresentasjonen av tall med flyttall (for eksempel 12.2316).

o Vitenskapelig (Vitenskapelig) -- Tallene vises kun i rekkefølge.

o Engineering (Engineering) -- tall vises bare i multipler av tre (for eksempel 1,2210 6).

Merk følgende. Hvis du, etter å ha angitt ønsket format i tallformateringsvinduet, velger du knappen OK, formatet vil kun angis for det valgte nummeret. Og hvis du velger knappen Angi som standard, vil formatet bli brukt på alle tallene i dette dokumentet.

Tall rundes automatisk ned til null hvis de er mindre enn den angitte terskelen. Terskelen er satt for hele dokumentet, ikke for et bestemt resultat. For å endre avrundingsterskelen til null, velg menypunktet Formatering - Resultat og i fanen toleranse , i felt Null terskel angi den nødvendige terskelverdien.

4 . Arbeid med tekst

Tekstbiter er tekstbiter som brukeren ønsker å se i dokumentet sitt. Dette kan være forklaringer, lenker, kommentarer osv. De settes inn ved hjelp av menypunktet Sett inn - Tekstregion.

Du kan formatere teksten: endre font, størrelse, stil, justering osv. For å gjøre dette, velg det og velg de riktige alternativene på fontpanelet eller i menyen Formatering - Tekst.

5. Arbeid med grafikk

Når man løser mange problemer der en funksjon studeres, blir det ofte nødvendig å plotte grafen, som tydelig vil reflektere funksjonen til funksjonen på et bestemt intervall.

I MathCAD-systemet er det mulig å bygge ulike typer grafer: i kartesiske og polare koordinatsystemer, tredimensjonale grafer, overflater av revolusjonslegemer, polyedre, romlige kurver, vektorfeltgrafer. Vi skal se på hvordan vi bygger noen av dem.

5.1 Konstruksjon av todimensjonale grafer

For å bygge en todimensjonal graf av en funksjon, må du:

angi en funksjon

Plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, på det matematiske panelet velger du Graph-knappen (graf) og i panelet som åpnes, X-Y Plot-knappen (todimensjonal graf);

I den viste malen til en todimensjonal graf, som er et tomt rektangel med dataetiketter, skriv inn navnet på variabelen i den sentrale dataetiketten langs abscisseaksen (X-aksen), og skriv inn navnet på funksjonen i stedet for den sentrale dataetiketten langs ordinataksen (Y-aksen) (fig. 2.1 );\

Ris. 2.1. 2D-plottmal

klikk utenfor grafmalen -- grafen til funksjonen vil bli plottet.

Argumentområdet består av 3 verdier: initial, andre og siste.

La det være nødvendig å plotte en funksjonsgraf på intervallet [-2,2] med et trinn på 0,2. Variable verdier t er spesifisert som et område som følger:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

hvor: -2 - startverdien til området;

-1,8 (-2 + 0,2) -- andre områdeverdi (startverdi pluss økning);

2 -- sluttverdi for området.

Merk følgende. En ellipse angis ved å trykke et semikolon i det engelske tastaturoppsettet.

Eksempel. Plotte en funksjon y = x 2 på intervallet [-5,5] med et trinn på 0,5 (fig. 2.2).

Ris. 2.2. Plotte en funksjon y = x 2

Når du plotter grafer, bør du vurdere følgende:

° Hvis området for argumentverdiene ikke er spesifisert, er grafen som standard bygget i området [-10,10].

° Hvis det er nødvendig å plassere flere grafer i en mal, er navnene på funksjonene angitt atskilt med komma.

° Hvis to funksjoner har forskjellige argumenter, for eksempel f1(x) og f2(y), så er navnene på funksjonene angitt på ordinaten (Y)-aksen, atskilt med komma, og på abscissen (X)-aksen, navn på begge variablene er også atskilt med komma.

° Endeetikettene til dataene på kartmalen brukes til å indikere grenseverdiene for abscissen og ordinaten, dvs. de setter skalaen til grafen. Hvis du lar disse etikettene stå tomme, vil skalaen stilles inn automatisk. Den automatiske skalaen reflekterer ikke alltid grafen i ønsket form, så grenseverdiene for abscissen og ordinatene må redigeres ved å endre dem manuelt.

Merk. Hvis etter å ha plottet grafen ikke har ønsket form, kan du:

Reduser trinn.

· endre plotteintervallet.

Reduser grenseverdiene for abscisser og ordinater på kartet.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel med et senter i et punkt (2,3) og en radius R = 6.

Ligningen til en sirkel sentrert i et punkt med koordinater ( x 0 ,y 0) og radius R er skrevet som:

Uttrykk fra denne ligningen y:

For å konstruere en sirkel er det derfor nødvendig å sette to funksjoner: øvre og nedre halvsirkler. Argumentområdet beregnes som følger:

Startverdi for område = x 0 - R;

Sluttverdi for område = x 0 + R;

Det er bedre å ta steget lik 0,1 (fig. 2.3.).

Ris. 2.3. Konstruksjon av en sirkel

Parametrisk graf for en funksjon

Noen ganger er det mer praktisk i stedet for en linjeligning som relaterer rektangulære koordinater x og y, betrakt de såkalte parametriske linjelikningene, som gir uttrykk for gjeldende x- og y-koordinater som funksjoner av en variabel t(parameter): x(t) og y(t). Når du konstruerer en parametrisk graf, er navnene på funksjonene til ett argument angitt på ordinat- og abscisse-aksene.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel sentrert i et punkt med koordinater (2,3) og radius R= 6. For konstruksjonen brukes den parametriske ligningen til sirkelen

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R synd( t) (Fig. 2.4.).

Fig.2.4. Konstruksjon av en sirkel

Kartformatering

For å formatere en graf, dobbeltklikk på grafområdet. Dialogboksen Grafformatering åpnes. Fanene i diagramformateringsvinduet er oppført nedenfor:

§ X- Yøkser--formatering av koordinatakser. Ved å merke av de aktuelle boksene kan du:

· LoggSkala--representerer numeriske verdier på aksene på en logaritmisk skala (som standard er numeriske verdier plottet på en lineær skala)

· Nettlinjer-- bruk et rutenett med linjer;

· nummerert--ordne tallene langs koordinataksene;

· AutoSkala- automatisk valg av grense numeriske verdier på aksene (hvis denne boksen ikke er merket av, vil de maksimale beregnede verdiene være grense);

· forestillingmarkør- merking av grafen i form av horisontale eller vertikale stiplede linjer som tilsvarer den angitte verdien på aksen, og verdiene selv vises på slutten av linjene (2 inndataplasser vises på hver akse, der du kan skriv inn numeriske verdier, ikke skriv inn noe, skriv inn ett tall eller bokstavbetegnelser for konstanter);

· AutoGkvitt-- automatisk valg av antall rutenettlinjer (hvis denne boksen ikke er merket av, må du spesifisere antall linjer i feltet Antall rutenett);

· krysset- abscisseaksen går gjennom null av ordinaten;

· Bokset-- x-aksen går langs den nedre kanten av grafen.

§ Spor-- linjeformatering av funksjonsgrafer. For hver graf separat kan du endre:

symbol (Symbol) på diagrammet for nodalpunkter (sirkel, kryss, rektangel, rombe);

linjetype (heltrukken - heltrukket, prikk - stiplet linje, bindestrek - streker, dadot - stiplet linje);

linjefarge (Farge);

Type (tur) av diagrammet (Linjer - linje, Punkter - punkter, Var eller Solidbar - søyler, trinn - trinndiagram, etc.);

linjetykkelse (vekt).

§ Etikett -- tittel i grafområdet. I felt Tittel (Tittel) du kan skrive teksten til tittelen, velge dens plassering - øverst eller nederst i grafen ( Ovenfor -- topp, Under -- på bunnen). Du kan angi, om nødvendig, navnene på argumentet og funksjonen ( Akseetiketter ).

§ Standarder -- ved å bruke denne kategorien kan du gå tilbake til standard kartvisning (Endre til standard), eller bruke endringene du har gjort på diagrammet som standard for alle diagrammer i dette dokumentet (Bruk for standard).

5. 2 Bygge polartomter

For å bygge en polar graf av en funksjon, må du:

· angi rekkevidden av argumentverdier;

angi en funksjon

· Plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, på det matematiske panelet velg Graph-knappen (graf) og i panelet som åpnes, Polar Plot-knappen (polar graf);

· I inntastingsfeltene til malen som vises, må du skrive inn vinkelargumentet til funksjonen (nedenfor) og navnet på funksjonen (til venstre).

Eksempel. Konstruksjon av Bernoullis lemniscat: (Fig. 2.6.)

Fig.2.6. Et eksempel på å bygge en polartomt

5. 3 Overflateplotting (3D eller 3 D - grafer)

Ved konstruksjon av tredimensjonale grafer brukes panelet kurve(Graf) matematikkpanel. Du kan bygge en tredimensjonal graf ved hjelp av veiviseren, kalt fra hovedmenyen; du kan bygge en graf ved å lage en matrise med verdier av en funksjon av to variabler; du kan bruke den akselererte byggemetoden; du kan kalle spesialfunksjonene CreateMech og CreateSpase, designet for å lage en rekke funksjonsverdier og plott. Vi vil vurdere en akselerert metode for å konstruere en tredimensjonal graf.

Rask grafer

For raskt å bygge en tredimensjonal graf av en funksjon, må du:

angi en funksjon

plasser markøren på stedet der grafen skal bygges, velg knappen på det matematiske panelet kurve(diagram) og i det åpnede panelet knappen ( overflategraf);

· på det eneste stedet i malen, skriv inn navnet på funksjonen (uten å spesifisere variabler);

· klikk utenfor diagrammalen -- funksjonsgrafen vil bli bygget.

Eksempel. Plotte en funksjon z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (fig. 2.7).

Ris. 2.7. Et eksempel på en Quick Surface Plot

Det bygde diagrammet kan kontrolleres:

° rotasjon av grafen utføres etter å holde musepekeren over den med venstre museknapp nedtrykket;

° skalering av kartet utføres etter at du holder musepekeren over det ved å trykke venstre museknapp og Ctrl-tasten samtidig (hvis du beveger musen, zoomer kartet inn eller ut);

° diagramanimasjon utføres på samme måte, men med Shift-tasten trykket i tillegg. Det er bare nødvendig å begynne å rotere grafen med musen, da vil animasjonen utføres automatisk. For å stoppe rotasjonen, klikk med venstre museknapp inne i grafområdet.

Det er mulig å bygge flere overflater samtidig i en tegning. For å gjøre dette må du angi begge funksjonene og angi navnene på funksjonene på kartmalen atskilt med komma.

Når du plotter raskt, er standardverdiene for begge argumentene mellom -5 og +5 og antall konturlinjer er 20. For å endre disse verdiene må du:

· dobbeltklikk på diagrammet;

· velg fanen Quick Plot Data i det åpne vinduet;

· skriv inn nye verdier i vindusområdet Range1 - for det første argumentet og Range2 - for det andre argumentet (start - startverdi, slutt - sluttverdi);

· i # of Grids-feltet endrer du antall rutenett som dekker overflaten;

· Klikk på OK-knappen.

Eksempel. Plotte en funksjon z(x,y) = -synd( x 2 + y 2) (Fig. 2.9).

Når du konstruerer denne grafen, er det bedre å velge grensene for endring i verdiene til begge argumentene fra -2 til +2.

Ris. 2.9. Et eksempel på å plotte en funksjonsgraf z(x,y) = -synd( x 2 + y 2)

foranmatte 3D-grafer

For å formatere grafen, dobbeltklikk på plottområdet - et formateringsvindu med flere faner vises: Utseende,Generell,økser,belysning,Tittel,Bakplan,Spesiell, Avansert, RaskPlottData.

Formålet med fanen RaskPlottData har vært diskutert ovenfor.

fanen Utseende lar deg endre utseendet til grafen. Felt Fylle Alternativer lar deg endre fyllingsparametrene, felt linje Alternativ-- linjeparametere, punkt Alternativer-- punkt parametere.

I fanen Generell ( generelt) i gruppen utsikt du kan velge rotasjonsvinklene til den avbildede overflaten rundt alle tre aksene; i en gruppe visesom Du kan endre diagramtypen.

I fanen belysning(belysning) du kan kontrollere belysningen ved å merke av i boksen muliggjørebelysning(slå på lys) og slå på På(Slå på). Ett av 6 mulige lysskjemaer er valgt fra listen belysningordningen(lysskjema).

6. Måter å løse ligninger på MathCAD

I denne delen vil vi lære hvordan de enkleste ligningene på formen F( x) = 0. Å løse en ligning analytisk betyr å finne alle dens røtter, dvs. slike tall, når vi erstatter dem i den opprinnelige ligningen, får vi riktig likhet. Å løse ligningen grafisk betyr å finne skjæringspunktene til grafen til funksjonen med x-aksen.

6. 1 Løse ligninger ved hjelp av f funksjoner og rot ( f ( x ), x )

For løsninger av en ligning med en ukjent av formen F( x) = 0 det er en spesiell funksjon

rot(f(x), x) ,

hvor f(x) er et uttrykk lik null;

X-- argument.

Denne funksjonen returnerer, med en gitt presisjon, verdien av en variabel som uttrykket for f(x) er lik 0.

Merk følgendee. Hvis høyre side av ligningen er 0, er det nødvendig å bringe den til normal form (overfør alt til venstre side).

Før du bruker funksjonen rot må gis til argumentet X innledende tilnærming. Hvis det er flere røtter, må du spesifisere din første tilnærming for å finne hver rot.

Merk følgende. Før løsning er det ønskelig å plotte en funksjonsgraf for å sjekke om det er røtter (skjærer grafen okseaksen), og i så fall hvor mange. Den første tilnærmingen kan velges i henhold til grafen nærmere skjæringspunktet.

Eksempel. Løse en ligning ved hjelp av en funksjon rot vist i figur 3.1. Før vi går videre til løsningen i MathCAD-systemet, vil vi i ligningen overføre alt til venstre side. Ligningen vil ha formen: .

Ris. 3.1. Løse en ligning ved hjelp av rotfunksjonen

6. 2 Løse ligninger ved hjelp av f funksjoner og polyrøtter ( v )

For å finne alle røttene til et polynom samtidig, bruk funksjonen polyrøtter(v), der v er vektoren av koeffisientene til polynomet, med utgangspunkt i frileddet . Nullkoeffisienter kan ikke utelates I motsetning til funksjonen rot funksjon Poljerøtter krever ikke en innledende tilnærming.

Eksempel. Løse en ligning ved hjelp av en funksjon polyrøtter vist i figur 3.2.

Ris. 3.2. Løse en ligning ved hjelp av polyroots-funksjonen

6. 3 Løse ligninger ved hjelp av ffunksjonerogFinne(x)

Finn-funksjonen fungerer sammen med det gitte nøkkelordet. Design Gitt-Finne

Hvis ligningen er gitt f(x) = 0, så kan det løses som følger ved å bruke blokken Gitt - Finne:

Angi innledende tilnærming

Skriv inn et tjenesteord

Skriv ligningen med tegnet fet er lik

Skriv en finnfunksjon med en ukjent variabel som parameter

Som et resultat, etter likhetstegnet, vil den funnet roten vises.

Hvis det er flere røtter, kan de bli funnet ved å endre den opprinnelige tilnærmingen x0 til en nær den ønskede roten.

Eksempel. Løsningen av ligningen ved hjelp av finnefunksjonen er vist i figur 3.3.

Ris. 3.3. Løse en ligning med finnefunksjonen

Noen ganger blir det nødvendig å markere noen punkter på grafen (for eksempel skjæringspunktene for en funksjon med okseaksen). For dette trenger du:

Spesifiser x-verdien til et gitt punkt (langs Ox-aksen) og verdien av funksjonen på dette punktet (langs Oy-aksen);

dobbeltklikk på grafen og i formateringsvinduet i fanen spor for den tilsvarende linjen, velg graftype - punkter, linjetykkelse - 2 eller 3.

Eksempel. Grafen viser skjæringspunktet mellom funksjonen og x-aksen. Koordinere X dette punktet ble funnet i forrige eksempel: X= 2,742 (roten til ligningen ) (Fig. 3.4).

Ris. 3.4. Graf over en funksjon med et markert skjæringspunkt

I diagramformateringsvinduet, i kategorien spor til spore2 endret: diagramtype - punkter, linjetykkelse - 3, farge - svart.

7. Løse ligningssystemer

7. 1 Løse systemer av lineære ligninger

Systemet med lineære ligninger kan løses m matrisemetode (enten gjennom den inverse matrisen eller ved å bruke funksjonen l løse(A,B)) og bruke to funksjoner Finne og funksjoner Minerr.

Matrisemetode

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Løsningen av dette ligningssystemet ved matrisemetoden er vist i figur 4.1.

Ris. 4.1. Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en matrisemetode

Funksjonsbrukl løse(EN, B)

Lløse(A,B) er en innebygd funksjon som returnerer en vektor X for et system av lineære ligninger gitt en matrise av koeffisientene A og en vektor med frie ledd B .

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Måten å løse dette systemet ved å bruke lsolve(A,B)-funksjonen er vist i figur 4.2.

Ris. 4.2. Løse et system med lineære ligninger ved å bruke lsolve-funksjonen

Løse et system med lineære ligningerved bruk avfunksjonerogFinne

Med denne metoden legges likninger inn uten bruk av matriser, dvs. i "naturlig form". Først er det nødvendig å indikere de første tilnærmingene til de ukjente variablene. Det kan være et hvilket som helst tall innenfor rammen av definisjonen. Ofte blir de forvekslet med en kolonne med gratis medlemmer.

For å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en beregningsenhet Gitt - Finne, nødvendig:

2) skriv inn et tjenesteord Gitt;

fet er lik();

4) skriv en funksjon Finne,

Eksempel. Ligningssystemet er gitt:

Løsningen av dette systemet ved hjelp av en dataenhet Gitt - Finne vist i figur 4.3.

Ris. 4.3. Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Finn-funksjonen

Omtrent sløsning av et system av lineære ligninger

Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av en funksjon Minerr lik løsningen som bruker funksjonen Finne(bruker samme algoritme), bare funksjon Finne gir den eksakte løsningen, og Minerr-- omtrentlig. Hvis det, som et resultat av søket, ikke kan oppnås ytterligere avgrensning av gjeldende tilnærming til løsningen, Gruvearbeiderr returnerer denne tilnærmingen. Funksjon Finne i dette tilfellet returnerer en feilmelding.

Du kan velge en annen innledende tilnærming.

· Du kan øke eller redusere beregningsnøyaktigheten. For å gjøre dette, velg fra menyen Matte > Alternativer(Matte - Alternativer), fane bygget- IVariabler(Innebygde variabler). I fanen som åpnes, må du redusere den tillatte beregningsfeilen (Konvergenstoleranse (TOL)). Standard TOL = 0,001.

PÅMerk følgende. Med matriseløsningsmetoden er det nødvendig å omorganisere koeffisientene i henhold til økningen i ukjente X 1, X 2, X 3, X 4.

7. 2 Løse systemer av ikke-lineære ligninger

Systemer med ikke-lineære ligninger i MathCAD løses ved hjelp av en dataenhet Gitt - Finne.

Design Gitt - Finne bruker en beregningsteknikk basert på å finne en rot nær et innledende tilnærmingspunkt spesifisert av brukeren.

Å løse et ligningssystem ved å bruke blokken Gitt - Finne nødvendig:

1) angi innledende tilnærminger for alle variabler;

2) skriv inn et tjenesteord Gitt;

3) skriv ned ligningssystemet ved å bruke tegnet fet er lik();

4) skriv en funksjon Finne, ved å liste ukjente variabler som funksjonsparametere.

Som et resultat av beregninger vil løsningsvektoren til systemet vises.

Hvis systemet har flere løsninger, bør algoritmen gjentas med andre innledende gjetninger.

Merk. Hvis et system med to ligninger med to ukjente løses, før det løses, er det ønskelig å plotte funksjonsgrafer for å sjekke om systemet har røtter (om grafene til gitte funksjoner krysser hverandre), og i så fall hvor mange. Den første tilnærmingen kan velges i henhold til grafen nærmere skjæringspunktet.

Eksempel. Gitt et ligningssystem

Før vi løser systemet, konstruerer vi grafer over funksjoner: parabler (den første ligningen) og en rett linje (den andre ligningen). Konstruksjonen av en graf av en rett linje og en parabel i ett koordinatsystem er vist i figur 4.5:

Ris. 4.5. Plotte to funksjoner i samme koordinatsystem

Linjen og parabelen skjærer hverandre i to punkter, noe som betyr at systemet har to løsninger. I henhold til grafen velger vi de første tilnærmingene til de ukjente x og y for hver løsning. Å finne røttene til ligningssystemet er vist i figur 4.6.

Ris. 4.6. Finne røttene til et system med ikke-lineære ligninger

For å markere skjæringspunktene for parabelen og den rette linjen på grafen, introduserer vi koordinatene til punktene som ble funnet når vi løser systemet langs okseaksen (verdier) X ) og langs Oy-aksen (verdier på ) separert av kommaer. I diagramformateringsvinduet, i kategorien spor til spore3 og spore4 endre: diagramtype - punkter, linjetykkelse - 3, farge - svart (fig. 4.7).

Ris. 4.7. Funksjonstomter med markerte skjæringspunkter

8 . Nøkkelfunksjoner Eksempler på bruk MathCAD å løse noen matematiske problemer

Denne delen gir eksempler på å løse problemer som krever å løse en likning eller et likningssystem.

8. 1 Finne lokale ytterpunkter av funksjoner

Den nødvendige betingelsen for et ekstremum (maksimum og/eller minimum) av en kontinuerlig funksjon er formulert som følger: ekstremum kan bare finne sted på de punktene der den deriverte enten er lik null eller ikke eksisterer (spesielt blir den uendelig) . For å finne ytterpunktene til en kontinuerlig funksjon, finn først punktene som tilfredsstiller den nødvendige betingelsen, det vil si finn alle de reelle røttene til ligningen.

Hvis en funksjonsgraf er bygget, kan du umiddelbart se - maksimum eller minimum er nådd på et gitt punkt X. Hvis det ikke er noen graf, blir hver av de funnet røttene undersøkt på en av måtene.

1 Med godtgjørelse . FRA utjevne e tegn på den deriverte . Tegnet på den deriverte av punktets nabolag bestemmes (ved punkter som er atskilt fra funksjonens ytterpunkt på forskjellige sider med små avstander). Hvis tegnet til den deriverte endres fra "+" til "-", så har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum. Hvis tegnet endres fra "-" til "+", så har funksjonen på dette tidspunktet et minimum. Hvis tegnet til den deriverte ikke endres, er det ingen ekstremum.

2. s godtgjørelse . PÅ beregninger e sekund derivat . I dette tilfellet beregnes den andre deriverte ved ekstremumpunktet. Hvis den er mindre enn null, har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum, hvis den er større enn null, så et minimum.

Eksempel. Finne ekstrema (minimum/maksimum) for en funksjon.

La oss først bygge en graf av funksjonen (fig. 6.1).

Ris. 6.1. Plotte en funksjon

La oss bestemme ut fra grafen de første tilnærmingene til verdiene X tilsvarende lokale ytterpunkter av funksjonen f(x). La oss finne disse ekstrema ved å løse ligningen. For å løse bruker vi gitt-finn-blokken (fig. 6.2.).

Ris. 6.2. Finne lokale ekstremer

La oss definere typen ekstremum pervvei, undersøker endringen i tegnet til den deriverte i nærheten av de funnet verdiene (fig. 6.3).

Ris. 6.3. Bestemme typen ekstremum

Det kan sees fra tabellen over verdier for den deriverte og fra grafen at tegnet til den deriverte i nærheten av punktet x 1 endres fra pluss til minus, så funksjonen når sitt maksimum på dette tidspunktet. Og i nærheten av punktet x 2 har tegnet på den deriverte endret seg fra minus til pluss, så på dette tidspunktet når funksjonen et minimum.

La oss definere typen ekstremum sekundvei, beregner tegnet til den andre deriverte (fig. 6.4).

Ris. 6.4. Bestemme typen ekstremum ved å bruke den andre deriverte

Det kan sees på punktet x 1 den andre deriverte er mindre enn null, så punktet X 1 tilsvarer maksimum av funksjonen. Og på punktet x 2 den andrederiverte er større enn null, så punktet X 2 tilsvarer minimum av funksjonen.

8.2 Bestemme arealer av figurer avgrenset av kontinuerlige linjer

Arealet av en krumlinjet trapes avgrenset av en graf for en funksjon f(x) , et segment på okseaksen og to vertikaler X = en og X = b, en < b, bestemmes av formelen: .

Eksempel. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer f(x) = 1 - x 2 og y = 0.

Ris. 6.5. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer f(x) = 1 - x 2 og y = 0

Arealet av figuren innelukket mellom grafene for funksjoner f1(x) og f2(x) og direkte X = en og X = b, beregnes med formelen:

Merk følgende. For å unngå feil ved beregning av arealet, må funksjonsforskjellen tas modulo. Dermed vil området alltid være positivt.

Eksempel. Finne arealet til en figur avgrenset av linjer og. Løsningen er vist i figur 6.6.

1. Vi bygger en graf over funksjoner.

2. Vi finner skjæringspunktene til funksjoner ved hjelp av rotfunksjonen. Vi vil bestemme de første tilnærmingene fra grafen.

3. Funnet verdier x erstattes i formelen som grensene for integrasjon.

8. 3 Konstruksjon av kurver ved gitte punkter

Konstruksjon av en rett linje som går gjennom to gitte punkter

Å skrive ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter A( x 0,y 0) og B( x 1,y 1), foreslås følgende algoritme:

1. Den rette linjen er gitt av ligningen y = øks + b,

hvor en og b er koeffisientene til linjen som vi må finne.

2. Dette systemet er lineært. Den har to ukjente variabler: en og b

Eksempel. Konstruksjon av en rett linje som går gjennom punktene A(-2,-4) og B(5,7).

Vi erstatter de direkte koordinatene til disse punktene i ligningen og får systemet:

Løsningen til dette systemet i MathCAD er vist i figur 6.7.

Ris. 6.7 Systemløsning

Som et resultat av å løse systemet får vi: en = 1.57, b= -0,857. Så ligningen til en rett linje vil se slik ut: y = 1.57x- 0,857. La oss konstruere denne rette linjen (fig. 6.8).

Ris. 6.8. Bygge en rett linje

Konstruksjon av en parabel, passerer gjennom tre gitte punkter

Å konstruere en parabel som går gjennom tre punkter A( x 0,y 0), B( x 1,y 1) og C( x 2,y 2), er algoritmen som følger:

1. Parablen er gitt av ligningen

y = øks 2 + bX + Med, hvor

en, b og Med er koeffisientene til parablen som vi må finne.

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i denne ligningen og får systemet:

.

2. Dette systemet er lineært. Den har tre ukjente variabler: en, b og Med. Systemet kan løses på en matrisemåte.

3. Vi erstatter de oppnådde koeffisientene i ligningen og bygger en parabel.

Eksempel. Konstruksjon av en parabel som går gjennom punktene A(-1,-4), B(1,-2) og C(3,16).

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i parabelligningen og får systemet:

Løsningen av dette ligningssystemet i MathCAD er vist i figur 6.9.

Ris. 6.9. Løse et ligningssystem

Som et resultat oppnås koeffisientene: en = 2, b = 1, c= -5. Vi får parabelligningen: 2 x 2 +x -5 = y. La oss bygge denne parabelen (fig. 6.10).

Ris. 6.10. Konstruksjon av en parabel

Konstruksjon av en sirkel som går gjennom tre gitte punkter

Å konstruere en sirkel som går gjennom tre punkter A( x 1,y 1), B( x 2,y 2) og C( x 3,y 3), kan du bruke følgende algoritme:

1. Sirkelen er gitt av ligningen

,

hvor x0,y0 er koordinatene til sentrum av sirkelen;

R er radiusen til sirkelen.

2. Sett inn de gitte koordinatene til punktene i sirkellikningen og få systemet:

.

Dette systemet er ikke-lineært. Den har tre ukjente variabler: x 0, y 0 og R. Systemet løses ved hjelp av beregningsenheten Gitt - Finne.

Eksempel. Konstruksjon av en sirkel som går gjennom tre punkter A(-2.0), B(6.0) og C(2.4).

Vi erstatter de gitte koordinatene til punktene i sirkellikningen og får systemet:

Løsningen til systemet i MathCAD er vist i figur 6.11.

Ris. 6.11. Systemløsning

Som et resultat av å løse systemet ble følgende oppnådd: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Bytt inn de oppnådde koordinatene til sirkelsenteret og radiusen med sirkelligningen. Vi får: . Express herfra y og konstruer en sirkel (fig. 6.12).

Ris. 6.12. Konstruksjon av en sirkel

Lignende dokumenter

Bruke rangerte variabler i Mathcad-programvarepakken. Oppretting av matriser uten bruk av matrisemaler, beskrivelse av operatorer for arbeid med vektorer og matriser. Løse systemer av lineære og ikke-lineære ligninger ved hjelp av Mathcad-funksjoner.

kontrollarbeid, lagt til 03.06.2011


Generell visning av MathCad-vinduet, verktøylinjemenyen til programmet som studeres. MathCad-dokument, dets generelle egenskaper og redigeringsmetoder. Separasjon av områder og kontekstmeny, uttrykk. Definisjon av diskrete argumenter, variabler og konstanter.

presentasjon, lagt til 29.09.2013


Konseptet med matematisk modell og modellering. Generell informasjon om MathCad-systemet. Strukturell analyse av problemet i MathCAD. Modus for kontinuerlige symbolske transformasjoner. Optimalisering av numeriske faner gjennom symbolske konverteringer. Beregning av støttereaksjonen.

semesteroppgave, lagt til 03.06.2014


Formål og sammensetning av MathCAD-systemet. Hovedobjektene for inngangsspråket og implementeringsspråket. Kjennetegn på brukergrensesnittelementer, sette opp sammensetningen av verktøylinjer. Problemer med lineær algebra og løsning av differensialligninger i MathCAD.

forelesningskurs, lagt til 13.11.2010


Generell informasjon om Mathcad-systemet. Mathcad programvindu og verktøylinjer. Beregning av algebraiske funksjoner. Interpolering av funksjoner med kubiske splines. Beregning av kvadratroten. Analyse av numerisk differensiering og integrasjon.

semesteroppgave, lagt til 25.12.2014


Studerer strukturen til arbeidsdokumentet MathCad - et program designet for å automatisere matematiske beregninger. Arbeid med variabler, funksjoner og matriser. Anvendelse av MathCad for plotting, løsning av ligninger og symbolske beregninger.

presentasjon, lagt til 03.07.2013


Konseptet med en matematisk modell, egenskaper og klassifisering. Kjennetegn på elementene i Mathcad-systemet. Algoritmisk analyse av problemet: beskrivelse av den matematiske modellen, grafisk skjema for algoritmen. Implementering av grunnmodell og beskrivelse av MathCAD-studier.

sammendrag, lagt til 20.03.2014


Mathcad og dets grunnleggende konsepter. Egenskaper og funksjoner til systemet i matriseregning. De enkleste operasjonene med matriser. Løse systemer av lineære algebraiske ligninger. Egenvektorer. Kolesky nedbrytning. Elementær teori om lineære operatorer.

semesteroppgave, lagt til 25.11.2014


Hovedelementene i MathCAD-systemet, en oversikt over dets evner. Systemgrensesnitt, dokumentkonstruksjonskonsept. Datatyper, systeminndataspråk. Klassifisering av standardfunksjoner. Grafiske muligheter til MathCAD-systemet. Løsning av systemligninger.

forelesningskurs, lagt til 03.01.2015


Introduksjon til Windows-tekstredigerere. Sette opp Microsoft Word-editoren. Utvikling av MS Excel-dokument. Oppretting av websider i miljøet til MS Word. Bygge rammer. Administrere fontalternativer. Plotte i den matematiske pakken MathCad.