Як?
Приклади рішень

Якщо десь немає чогось, значить, десь щось є

Продовжуємо вивчення розділу «Функції та графіки», а наступна станція нашої подорожі – . Активне обговорення даного поняттяпочалося у статті про безлічі і продовжилося на першому уроці про графіки функційде я розглянув елементарні функції, і, зокрема, їх області визначення. Тому чайникам рекомендую почати з азів теми, оскільки я не знову зупинятимуся на деяких базових моментах.

Передбачається, що читач знає область визначення наступних функцій: лінійної, квадратичної, кубічної функції, багаточленів, експонентів, синус, косинус. Вони визначені на (Багато всіх дійсних чисел). За тангенси, арксинуси, так і бути, прощаю =) – рідкісні графіки запам'ятовуються далеко не відразу.

Область визначення - начебто річ проста, і виникає закономірне питання, про що ж буде стаття? на даному уроція розгляну поширені завдання на знаходження області визначення функції. Крім того, ми повторимо нерівності з однією змінною, навички вирішення яких будуть потрібні і в інших завданнях вищої математики. Матеріал, до речі, весь шкільний, тож буде корисним не лише студентам, а й учням. Інформація, звичайно, не претендує на енциклопедичність, але тут не надумані «мертві» приклади, а смажені каштани, які взяті зі справжніх практичних робіт.

Почнемо з експрес-врубу у тему. Коротко про головне: йдеться про функцію однієї змінної. Її область визначення – це безліч значень «ікс», для яких існуютьзначення «Ігреків». Розглянемо умовний приклад:

Область визначення цієї функції є об'єднання проміжків:
(Для тих, хто забув: – значок об'єднання). Іншими словами, якщо взяти будь-яке значення «ікс» з інтервалу або з , або з , то для кожного такого «ікс» існуватиме значення «ігрок».

Грубо кажучи, де область визначення там є графік функції. А ось напівінтервал і точка «це» не входять до області визначення та графіка там немає.

Як знайти область визначення функції? Багато хто пам'ятає дитячу лічилку: «камінь, ножиці, папір», та даному випадкуїї можна сміливо перефразувати: «корінь, дріб та логарифм». Таким чином, якщо вам на життєвому шляхузустрічається дріб, корінь або логарифм, то слід відразу ж дуже насторожитися! Набагато рідше зустрічаються тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, і ми теж поговоримо. Але спочатку замальовки з життя мурах:

Область визначення функції, в якій є дріб

Припустимо, дана функція, що містить певний дріб. Як ви знаєте, на нуль ділити не можна: тому ті значення «ікс», які перетворюють знаменник на нуль – не входять у область визначення цієї функції.

Не зупинятимусь на самих простих функціяхначебто і т.п., оскільки всі чудово бачать точки, які не входять до їхньої області визначення. Розглянемо більш змістовні дроби:

Приклад 1

Знайти область визначення функції

Рішення: у чисельнику нічого особливого немає, а ось знаменник повинен бути ненульовим Давайте прирівняємо його до нуля і спробуємо знайти погані точки:

Отримане рівняння має два корені: . Дані значення не входять у область визначення функції. Справді, підставте чи функцію і побачите, що знаменник звертається в нуль.

Відповідь: область визначення:

Запис читається так: «область визначення – всі дійсні числа за винятком множини, що складається зі значень ». Нагадую, що значок зворотного слеша в математиці позначає логічне віднімання, а фігурні дужки – безліч. Відповідь можна рівносильно записати у вигляді об'єднання трьохінтервалів:

Кому як до вподоби.

У точках функція терпить нескінченні розриви, А прямі, задані рівняннями є вертикальними асимптотамидля графіка цієї функції. Втім, це вже трохи інша тема, і далі я на цьому не особливо загострюватиму увагу.

Приклад 2

Знайти область визначення функції

Завдання, по суті, усне і багато хто з вас практично відразу знайдуть область визначення. Відповідь наприкінці уроку.

Чи завжди дріб буде «нехорошим»? Ні. Наприклад, функція визначена по всій числовій осі. Яке значення «ікс» ми не взяли, знаменник не звернеться в нуль, більше, буде завжди позитивний: . Отже, область визначення цієї функции: .

Усі функції на кшталт визначені та безперервніна .

Трохи складніша ситуація, коли знаменник окупував квадратний тричлен:

Приклад 3

Знайти область визначення функції

Рішення: спробуємо знайти точки, в яких знаменник звертається в нуль Для цього вирішимо квадратне рівняння:

Дискримінант вийшов негативним, а отже, дійсних коренів немає, і наша функція визначена на всій числовій осі.

Відповідь: область визначення:

Приклад 4

Знайти область визначення функції

Це приклад для самостійного рішення. Рішення та відповідь наприкінці уроку. Раджу не лінуватися з простими завданнями, оскільки до подальших прикладів накопичиться непорозуміння.

Область визначення функції з коренем

Функція з квадратним коренем визначена лише за тих значеннях «ікс», коли підкорене вираз невід'ємно: . Якщо корінь розташувався у знаменнику , то умова явно посилюється: . Аналогічні викладки справедливі для будь-якого кореня позитивного парного ступеня: , Щоправда, корінь вже 4-го ступеня в дослідженнях функційне пригадую.

Приклад 5

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути невід'ємним:

Перед тим, як продовжити рішення, нагадаю основні правила роботи з нерівностями, відомі ще зі школи.

Звертаю особливу увагу! Зараз розглядаються нерівності з однією змінною– тобто для нас існує лише одна розмірність по осі. Будь ласка, не плутайте з нерівностями двох змінних, де геометрично задіяна вся координатна площина. Однак є й приємні збіги! Отже, для нерівності рівносильні такі перетворення:

1) Доданки можна переносити з частини до частини, змінюючи у них (доданків) знаки.

2) Обидві частини нерівності можна помножити на позитивне число.

3) Якщо обидві частини нерівності помножити на негативнечисло, то необхідно змінити знак самої нерівності. Наприклад, якщо було "більше", то стане "менше"; якщо було «менше чи одно», то стане «більше чи одно».

У нерівності перенесемо «трійку» в праву частинузі зміною знака (правило №1):

Помножимо обидві частини нерівності на –1 (правило №3):

Помножимо обидві частини нерівності (правило №2):

Відповідь: область визначення:

Відповідь також можна записати еквівалентною фразою: "функція визначена при".
Геометрично область визначення зображується штрихуванням відповідних інтервалів на осі абсцис. В даному випадку:

Ще раз нагадую геометричний змістобласті визначення – графік функції існує тільки на заштрихованій ділянці та відсутня при .

Найчастіше годиться чисто аналітичне перебування області визначення, але коли функція сильно заморочена, слід креслити вісь і робити позначки.

Приклад 6

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення.

Коли під квадратним коренем знаходиться квадратний двочлен або тричлен, ситуація трохи ускладнюється, і зараз докладно розберемо техніку рішення:

Приклад 7

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути суворо позитивним, тобто нам необхідно вирішити нерівність. На першому кроці намагаємося розкласти квадратний тричлен на множники:

Дискримінант позитивний, шукаємо коріння:

Таким чином, парабола перетинає вісь абсцис у двох точках, а це означає, що частина параболи розташована нижче осі (нерівність), а частина параболи – вище осі (потрібна нам нерівність).

Оскільки коефіцієнт , то гілки параболи дивляться нагору. З вищесказаного випливає, що на інтервалах виконано нерівність (гілки параболи йдуть вгору на нескінченність), а вершина параболи розташована на проміжку нижче осі абсцис, що відповідає нерівності:

! Примітка: якщо вам не до кінця зрозумілі пояснення, будь ласка, накресліть другу вісь та параболу цілком! Доцільно повернутися до статті та методики Гарячі формули шкільного курсу математики.

Зверніть увагу, що самі точки виколоти (не входять у рішення), оскільки нерівність у нас сувора.

Відповідь: область визначення:

Взагалі, багато нерівностей (у тому числі розглянуте) вирішуються універсальним методом інтервалів, відомим знову ж таки з шкільної програми. Але у випадках квадратних дво-і тричленів, на мій погляд, набагато зручніше і швидше проаналізувати розташування параболи щодо осі. А основний спосіб – метод інтервалів ми детально розберемо у статті Нулі функції. Інтервали знакостійності.

Приклад 8

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. У зразку докладно закоментована логіка міркувань + другий спосіб розв'язання та ще одне важливе перетворення нерівності, без знання якої студент кульгатиме на одну ногу…, …хмм… на рахунок ноги, мабуть, погарячкував, скоріше – на один палець. Великий палець.

Чи може функція з квадратним коренем бути визначена на всій числовій прямій? Звісно. Знайомі обличчя: . Або аналогічна сума з експонентою: . Дійсно, для будь-яких значення «ікс» і «ка»: тому подАвно і .

А ось менш очевидний приклад: . Тут дискримінант негативний (парабола не перетинає вісь абсцис), причому гілки параболи спрямовані вгору, отже, і область визначення: .

Питання протилежне: чи може область визначення функції бути порожній? Так, і відразу напрошується примітивний приклад , де підкорене вираз негативно за будь-якого значення «ікс», і область визначення: (значок порожньої множини). Така функція не визначена взагалі (зрозуміло, графік також ілюзорний).

З непарним корінням і т.д. все набагато краще - тут підкорене вираз може бути і негативним. Наприклад, функція визначена на всій числовій прямій. Однак у функції єдина точка все ж таки не входить в область визначення, оскільки звертають знаменник у нуль. З тієї ж причини для функції виключаються точки.

Область визначення функції з логарифмом

Третя поширена функція – логарифм. Як зразок я малюватиму натуральний логарифм, який трапляється приблизно 99 прикладах з 100. Якщо деяка функція містить логарифм , то її область визначення повинні входити ті значення «ікс», які задовольняють нерівності . Якщо логарифм перебуває у знаменнику: , то додатковонакладається умова (оскільки ).

Приклад 9

Знайти область визначення функції

Рішення: відповідно до сказаного вище складемо і вирішимо систему:

Графічне рішеннядля чайників:

Відповідь: область визначення:

Зупинюся ще на одному технічному моменті - адже в мене не вказаний масштаб і не проставлені поділу по осі. Виникає питання: як виконувати подібні креслення у зошиті на картатому папері? Чи відміряти відстань між точками за клітинами строго за масштабом? Канонічніше і суворіше, звичайно, масштабувати, але цілком припустимо і схематичний креслення, що принципово відображає ситуацію.

Приклад 10

Знайти область визначення функції

Для вирішення задачі можна використовувати метод попереднього параграфа – проаналізувати, як парабола розташована щодо осі абсцис. Відповідь наприкінці уроку.

Як бачите, у царстві логарифмів все дуже схоже на ситуацію із квадратним коренем: функція (квадратний тричлен із Прикладу №7) визначено на інтервалах , а функція (Квадратний двочлен з Прімера №6) на інтервалі . Незручно вже й говорити, функції типу визначені на всій числовій прямій.

Корисна інформація : цікава типова функція , вона визначена на всій числовій прямій крім точки . Відповідно до властивості логарифму , «двійку» можна винести множником за межі логарифму, але щоб функція не змінилася, «ікс» необхідно укласти під знак модуля: . Ось вам і ще одне « практичне застосуваннямодуля =). Так необхідно чинити в більшості випадків, коли ви знесете парнуступінь, наприклад: . Якщо підстава ступеня свідомо позитивно, наприклад, , то знаку модуля відпадає необхідність і досить обійтися круглими дужками: .

Щоб не повторюватися, давайте ускладнимо завдання:

Приклад 11

Знайти область визначення функції

Рішення: у цій функції у нас присутній і корінь та логарифм.

Підкорене вираз має бути неотрицательным: , а вираз під знаком логарифму – суворо позитивним: . Таким чином, необхідно вирішити систему:

Багато хто з вас чудово знає або інтуїтивно здогадується, що рішення системи має задовольняти кожномуумовою.

Досліджуючи розташування параболи щодо осі, приходимо до висновку, що нерівності задовольняє інтервал (синя штрихування):

Нерівності, очевидно, відповідає «червоний» напівінтервал.

Оскільки обидві умови мають виконуватися одночасно, то рішенням системи є перетин даних інтервалів. « Спільні інтереси»Дотримані на напівінтервалі.

Відповідь: область визначення:

Типова нерівність, як демонструвалося в Прикладі №8, неважко вирішити і аналітично.

Знайдена область визначення не зміниться для схожих функцій, наприклад, для або . Також можна додати якісь безперервні функції, наприклад: , або так: , і навіть так: . Як кажуть, корінь та логарифм – річ уперта. Єдине, якщо одну з функцій «скинути» в знаменник, то область визначення зміниться (хоча в загальному випадкуце не завжди справедливо). Ну а в теорії матана з приводу цього словесного… ой… існують теореми.

Приклад 12

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Використання креслення цілком доречно, тому що функція не найпростіша.

Ще кілька прикладів для закріплення матеріалу:

Приклад 13

Знайти область визначення функції

Рішення: складемо і вирішимо систему:

Усі дії вже розібрано під час статті. Зобразимо на числовий прямий інтервал, що відповідає нерівності і, згідно з другою умовою, виключимо дві точки:

Значення виявилося взагалі не при справах.

Відповідь: область визначення

Невеликий математичний каламбур на варіацію 13 прикладу:

Приклад 14

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Хто пропустив, той у прольоті;-)

Завершальний розділ уроку присвячений більш рідкісним, але також «робочим» функціям:

Області визначення функцій
з тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Якщо в деяку функцію входить, то з її області визначення виключаютьсякрапки , де Z- безліч цілих чисел. Зокрема, як зазначалося у статті Графіки та властивості елементарних функцій, у функції виколоти наступні значення:

Тобто область визначення тангенсу: .

Вбиватись сильно не будемо:

Приклад 15

Знайти область визначення функції

Рішення: у разі і область визначення не увійдуть такі точки:

Скинемо «двійку» лівої частини у знаменник правої частини:

В результаті :

Відповідь: область визначення: .

У принципі, відповідь можна записати і як об'єднання нескінченної кількості інтервалів, але конструкція вийде дуже громіздкою:

Аналітичне рішення повністю узгоджується з геометричним перетворенням графіка: якщо аргумент функції помножити на 2, її графік стиснеться до осі вдвічі. Зауважте, як у функції уполовинувся період, і точки розривупочастішали вдвічі. Тахікардія.

Схожа історіяіз котангенсом. Якщо деяку функцію входить , то її області визначення виключаються точки . Зокрема, для функції автоматичної черги розстрілюємо такі значення:

Іншими словами:

Для початку навчимося знаходити область визначення суми функцій. Зрозуміло, що така функція має сенс всім таких значень змінної, коли він мають сенс всі функції, складові суму. Тому не викликає сумнівів справедливість наступного твердження:

Якщо функція f - це сума n функцій f 1 , f 2 , …, f n , тобто, функція f визначається формулою y = f 1 (x) + f 2 (x) + ... + f n (x) , то областю визначення функції f є перетин областей визначення функцій f 1, f 2, …, f n. Запишемо це як.

Давайте умовимося і далі використовувати записи, подібні до останньої, під якими розумітимемо , записаних усередині фігурної дужки, або одночасне виконання будь-яких умов. Це зручно і досить природно перегукується із змістом систем.

приклад.

Дана функція y=x 7 +x+5+tgx і треба знайти її область визначення.

Рішення.

Функція f представлена ​​сумою чотирьох функцій: f 1 - статечної функції з показником 7, f 2 - статечної функції з показником 1, f 3 - постійної функціїта f 4 - функції тангенс.

Подивившись у таблицю областей визначення основних елементарних функцій, знаходимо, що D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , а областю визначення тангенсу є безліч всіх дійсних чисел, крім чисел .

Область визначення функції f – це перетин областей визначення функцій f 1, f 2, f 3 та f 4 . Досить очевидно, що це безліч всіх дійсних чисел, за винятком чисел .

Відповідь:

безліч усіх дійсних чисел, крім .

Переходимо до знаходження галузі визначення добутку функцій. Для цього випадку має місце аналогічне правило:

Якщо функція f - це добуток n функцій f 1, f 2, …, f n, тобто, функція f задається формулою y = f 1 (x) · f 2 (x) · ... · f n (x)то область визначення функції f є перетин областей визначення функцій f 1 , f 2 , ..., f n . Отже, .

Воно й зрозуміло, у зазначеній області визначено всі функції твору, отже, і сама функція f .

приклад.

Y=3·arctgx·lnx .

Рішення.

Структуру правої частини формули, що задає функцію, можна розглядати так f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , де f 1 - це постійна функція, f 2 - це функція арктангенс, а f 3 - логарифмічна функціяз основою e.

Нам відомо, що D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) та D(f 3)=(0, +∞) . Тоді .

Відповідь:

областю визначення функції y=3·arctgx·lnx є безліч всіх дійсних позитивних чисел.

Окремо зупинимося знаходженні області визначення функції, заданої формулою y=C·f(x) , де З – деяке дійсне число. Легко показати, що область визначення цієї функції область визначення функції f збігаються. Справді, функція y=C·f(x) – це добуток постійної функції та функції f . Області визначення постійної функції є безліч всіх дійсних чисел, а область визначення функції f є D(f) . Тоді область визначення функції y=Cf(x) є , Що і потрібно показати.

Отже, області визначення функцій y = f (x) і y = C · f (x) , де С - деяке дійсне число, збігаються. Наприклад, область визначення кореня є , стає ясно, що D(f) - це безліч всіх x з області визначення функції f 2 для яких f 2 (x) входить в область визначення функції f 1 .

Таким чином, область визначення складної функції y=f 1 (f 2 (x)) - це перетин двох множин: множини всіх таких x , що x∈D(f 2) , і множини всіх таких x , для яких f 2 (x)∈D(f 1) . Тобто, у прийнятих нами позначеннях (Це насправді система нерівностей).

Давайте розглянемо рішення кількох прикладів. У процесі ми не будемо докладно описувати, оскільки це виходить за рамки цієї статті.

приклад.

Знайти область визначення функції y=lnx2.

Рішення.

Вихідну функцію можна у вигляді y=f 1 (f 2 (x)) , де f 1 – логарифм з основою e , а f 2 – статечна функціяз показником 2 .

Звернувшись до відомим областямвизначення основних елементарних функцій, маємо D(f 1)=(0, +∞) та D(f 2)=(−∞, +∞) .

Тоді

Так ми знайшли необхідну область визначення функції, їй є безліч всіх дійсних чисел, крім нуля.

Відповідь:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

приклад.

Яка область визначення функції ?

Рішення.

Ця функціяскладна, її можна розглядати як y=f 1 (f 2 (x)) , де f 1 – статечна функція з показником, а f 2 – функція арксинус, і нам потрібно знайти її область визначення.

Подивимося, що відомо: D(f 1)=(0, +∞) і D(f 2)=[−1, 1] . Залишається знайти перетин множин таких значень x , що x∈D(f 2) і f 2 (x)∈D(f 1) :

Щоб arcsinx>0 пригадаємо властивості функції арксинус. Арксинус зростає по всій області визначення [−1, 1] і звертається в нуль при x=0 , отже, arcsinx>0 для будь-якого x з проміжку (0, 1] .

Повернемося до системи:

Таким чином, потрібна область визначення функції є напівінтервалом (0, 1] .

Відповідь:

(0, 1] .

Тепер давайте перейдемо до складних функцій загального вигляду y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Область визначення функції f у разі перебуває як .

приклад.

Знайти область визначення функції .

Рішення.

Задану складну функцію можна розписати як y = f 1 (f 2 (f 3 (x))), де f 1 - sin , f 2 - функція корінь четвертого ступеня, f 3 - lg.

Нам відомо, що D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= включає значення -2 та 2, але не включає значення 10.

Побудуйте графік квадратичні функції. Графік такої функції є параболою, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Так як парабола зростає або зменшується по всій осі Х, то областю визначення квадратичної функції є всі дійсні числа. Іншими словами, областю визначення такої функції є множина R (R позначає всі дійсні числа).

• Для кращого з'ясування поняття функції виберіть будь-яке значення "х", підставте його у функцію та знайдіть значення "у". Пара значень «х» і «у» є крапкою з координатами (х,у), яка лежить на графіку функції.
• Нанесіть цю точку на площину координат і виконайте описаний процес з іншим значенням «х».
• Завдавши на площину координат кілька точок, ви отримаєте загальне уявленняпро форму графіка функції.

Якщо функція містить дріб, прирівняйте його знаменник до нуля.Пам'ятайте, що ділити на нуль не можна. Тому, прирівнявши знаменник до нуля, ви знайдете значення «х», які входять у область визначення функції.

• Наприклад, знайдіть область визначення функції f(x) = (x + 1) / (x - 1).
• Тут знаменник: (х – 1).
• Прирівняйте знаменник до нуля і знайдіть "х": х - 1 = 0; х = 1.
• Запишіть область визначення функції. Область визначення не включає 1, тобто включає всі дійсні числа за винятком 1. Таким чином область визначення функції: (-∞,1) U (1,∞).
• Запис (-∞,1) U (1,∞) читається так: множина всіх дійсних чисел за винятком 1. Символ нескінченності ∞ означає всі дійсні числа. У нашому прикладі всі дійсні числа, які більше 1 і менше 1 включені в область визначення.

Якщо функція містить квадратний корінь, то підкорене вираз має бути більшим або дорівнює нулю.Пам'ятайте, що квадратний корінь із негативних чисел не витягується. Тому будь-яке значення «х», у якому підкорене вираз стає негативним, потрібно виключити з області визначення функції.

• Наприклад, знайдіть область визначення функції f(x) = √(x + 3).
• Підкорене вираз: (х + 3).
• Підкорене вираз має бути більшим або рівним нулю: (х + 3) ≥ 0.
• Знайдіть "х": х ≥ -3.
• Область визначення цієї функції включає множину всіх дійсних чисел, які більші або рівні -3. Таким чином область визначення: [-3,∞).

Частина 2

Знаходження області значень квадратичної функції

1. Переконайтеся, що вам дано квадратичну функцію.Квадратична функція має вигляд: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. Графік такої функції є параболою, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Існують різні методизнаходження області значень квадратичної функції.

   • Найпростіший спосіб знайти область значень функції, що містить корінь або дріб, це побудувати графік такої функції за допомогою графічного калькулятора.

2. Знайдіть координату "х" вершини графіка функції.У разі квадратичної функції знайдіть координату «х» вершини параболи. Пам'ятайте, що квадратична функція має вигляд: ax 2 + bx + c. Для обчислення координати "х" скористайтеся наступним рівнянням: х = -b/2a. Це рівняння є похідною від основної квадратичної функції та описує дотичну, кутовий коефіцієнтякої дорівнює нулю (дотична до вершини параболи паралельна осі Х).

   • Наприклад, знайдіть область значень функції 3x2+6x-2.
   • Обчисліть координату "х" вершини параболи: х = -b/2a = -6/(2 * 3) = -1

3. Знайдіть координату "у" вершини графіка функції.Для цього в функцію підставте знайдену координату "х". Шукана координата«у» є граничним значенням області значень функції.

   • Обчисліть координату "у": y = 3x 2 + 6x - 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
   • Координати вершини параболи цієї функції: (-1,-5).

4. Визначте напрямок параболи, підставивши у функцію принаймні одне значення «х».Виберіть будь-яке інше значення "х" і підставте його у функцію, щоб обчислити відповідне значення "у". Якщо знайдене значення «у» більше за координату «у» вершини параболи, то парабола спрямована вгору. Якщо знайдене значення «у» менше координати «у» вершини параболи, то парабола спрямована вниз.

   • Підставте у функцію х = -2: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Координати точки, що лежить на параболі: (-2,-2).
   • Знайдені координати свідчать, що гілки параболи спрямовані вгору. Таким чином, область значень функції включає всі значення у, які більше або рівні -5.
   • Область значень цієї функції: [-5, ∞)

5. Область значень функції записується аналогічно області визначення функції. Квадратна скобказастосовується у тому випадку, коли значення входить у область значень функції; якщо значення не входить у область значень, використовується кругла дужка. Якщо функція має кілька несуміжних областей значень, між ними ставиться символ «U».

   • Наприклад, область значень [-2,10) U (10,2] включає значення -2 та 2, але не включає значення 10.
   • З символом нескінченності ∞ завжди використовуються круглі дужки.

У математиці є невелика кількість елементарних функцій, область визначення яких обмежена. Всі інші "складні" функції - це лише їх поєднання та комбінації.

1. Дробова функція – обмеження на знаменник.

2. Корінь парного ступеня – обмеження на підкорене вираз.

3. Логарифми - обмеження на підставу логарифму та підлогарифмічний вираз.

3. Тригонометричні tg(x) та ctg(x) - обмеження на аргумент.

Для тангенсу:

4. Зворотні тригонометричні функції.

Арксинус	Арккосінус	Арктангенс, Арккотангенс

Далі вирішуються такі приклади на тему "Область визначення функцій".

Приклад 1

Приклад 2

Приклад 3

Приклад 4

Приклад 5

Приклад 6

Приклад 7

Приклад 8

Приклад 9

Приклад 10

Приклад 11

Приклад 12

Приклад 13

Приклад 14

Приклад 15

Приклад 16

Приклад знаходження області визначення функції №1

Знаходження області визначення будь-якої лінійної функції, тобто. функції першого ступеня:

y = 2x + 3 - рівняння задає пряму на площині.

Подивимося уважно на функцію і подумаємо, які числові значення ми зможемо підставити в рівняння замість змінної х?

Спробуємо підставити значення x = 0

Так як y = 2 · 0 + 3 = 3 - отримали числове значення, отже функція існує при взятому значенні змінноїх = 0.

Спробуємо підставити значення x = 10

так як y = 2 · 10 + 3 = 23 - функція існує при взятому значенні змінної х = 10.

Спробуємо підставити значення x=-10

оскільки y = 2 · (-10) + 3 = -17 - функція існує при взятому значенні змінної х = -10.

Рівняння задає пряму лінію на плоcкости, а пряма немає ні початку ні кінця, отже вона є будь-яких значень х.

Зауважимо, що які б числові значення ми не підставляли задану функцію замість х, завжди отримаємо числове значення змінної y.

Отже, функція існує для будь-якого значення x ∈ R або запишемо так: D(f) = R

Форми запису відповіді: D(f)=R або D(f)=(-∞:+∞)або x∈R або x∈(-∞:+∞)

Зробимо висновок:

Для будь-якої функції виду y = ax + b областю визначення є множина дійсних чисел.

Приклад знаходження області визначення функції №2

Задано функцію виду:

y = 10/(x + 5) - рівняння гіперболи

Маючи справу з дробовою функцією, пригадаємо, що на нуль ділити не можна. Отже функція буде існувати для всіх значень х, які не

звертають знаменник у нуль. Спробуємо підставити будь-які довільні значення x.

При х = 0 маємо y = 10/(0 + 5) = 2 – функція існує.

При х = 10 маємо y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- Функція існує.

При x = -5 маємо y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функція у цій точці немає.

Тобто. якщо задана функціядробова, необхідно знаменник прирівняти нулю і знайти таку точку, в якій функція не існує.

У нашому випадку:

x + 5 = 0 → x = -5 - у цій точці задана функція немає.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Для наочності зобразимо графічно:

На графіці також бачимо, що гіпербола максимально близько наближається до прямої х = -5 але самого значення -5 не досягає.

Бачимо, що задана функція існує у всіх точках дійсної осі, крім точки x = -5

Форми запису відповіді: D(f)=R(-5)або D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) або x ∈ R\(-5)або x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Якщо задана функція дробова, наявність знаменника накладає умова нерівності нулю знаменника.

Приклад знаходження області визначення функції №3

Розглянемо приклад знаходження області визначення функції з коренем парного ступеня:

Так як квадратний корінь ми можемо витягти лише з невід'ємного числа, отже, функція під коренем - невід'ємна.

2х - 8 ≥ 0

Вирішимо просту нерівність:

2х - 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4

Ця функція існує тільки при знайдених значеннях х ≥ 4 або D(f)=)