Подивимося тепер, чи справді хвильове рівнянняописує основні властивості звукових хвильу середовищі. Насамперед ми хочемо вивести, що звукове коливання, або обурення, рухається з постійною швидкістю. Крім того, нам потрібно довести, що два різні коливання можуть вільно проходити один через одного, тобто принцип суперпозиції. Ми хочемо ще довести, що звук може поширюватися праворуч і ліворуч. Всі ці властивості повинні утримуватися в одному рівні.

Раніше ми відзначали, що будь-яке обурення, що має вигляд плоскої хвилі і рухається з постійною швидкістю, записується у вигляді f(x—vt). Подивимося тепер, чи є f(x— vt) розв'язанням хвильового рівняння. Вираховуючи дχ/дх,отримуємо похідну функції d χ / dx= f`(x—vt). Диференціюючи ще раз, знаходимо

Диференціюючи цю функцію χ по t, отримуємо значення - v, помножене на похідну, або d χ / dt = —vf`(x — vt); друга похідна за часом дає

Очевидно, що f (х — vt) задовольняє хвильовому рівнянню, якщо v одно cs.
Таким чином, із законів механіки ми отримуємо, що будь-яке звукове обурення поширюється зі швидкістю cs і крім того,

тим самим ми пов'язали швидкість звукових хвиль із властивостямисередовища.

Легко побачити, що звукова хвиля може поширюватися і в напрямку негативних х,тобто звукове обурення виду χ(х, t)=g(x+vt) також задовольняє хвильове рівняння. Єдина відмінність цієї хвилі від тієї, яка поширювалася зліва направо, полягає у знаку v,але знак d 2 χ / dt 2не залежить від вибору x+vtабо х—vt,тому що в цю похідну входить тільки v 2 .Звідси випливає, що рішення рівняння описує хвилі, що біжать у будь-якому напрямку зі швидкістю cs.


Особливий інтерес представляє питання суперпозиції рішень. Припустимо, ми знайшли одне рішення, скажімо χ 1 . Це означає, що друга похідна χ 1 . по хдорівнює другий похідний χ 1 по t,помноженої на 1/с2s. І нехай є друге рішення χ 2 що володіє тією ж властивістю. Складемо ці два рішення, тоді виходить

Тепер ми хочемо переконатися, що χ(х,t)теж уявляє якусь хвилю, тобто. χ теж задовольняє хвильове рівняння. Це дуже просто довести, оскільки

Звідси слідує що d 2 χ/dx 2 = (1/c 2 s)d 2χ ldt 2 ,отже, справедливість принципу суперпозиції перевірена. Саме існування принципу суперпозиції пов'язане з тим, що хвильове рівняння лінійнопо χ .


Тепер природно було б очікувати, що пласка світлова хвиля, що поширюється вздовж осі хі поляризована так, що електричне поле спрямоване по осі у, теж задовольняє хвильове рівняння

де з- швидкість світла. Хвильове рівняння для світлової хвилі є одним із наслідків рівнянь Максвелла. Рівняння електродинаміки призводять до хвильового рівняння для світла так само, як рівняння механіки призводять до хвильового рівняння для звуку.

Хвилі. Рівняння хвилі

Крім вже розглянутих нами рухів, майже у всіх галузях фізики зустрічається ще один тип руху – хвилі. Відмінною особливістюцього руху, що робить його унікальним, і те, що у хвилі поширюються не самі частки речовини, а зміни у стані (обурення).

Обурення, що поширюються у просторі з часом, називаються хвилями . Хвилі бувають механічні та електромагнітні.

Пружні хвилі- це обурення пружного середовища, що поширюються.

Обурення пружного середовища – це відхилення частинок цього середовища від положення рівноваги. Обурення виникають у результаті деформації середовища у якомусь її місці.

Сукупність усіх точок, куди дійшла хвиля Наразічасу, утворює поверхню, звану фронтом хвилі .

За формою фронту хвилі поділяються на сферичні та плоскі. Напрям поширення фронту хвилі визначаєтьсяперпендикуляром до фронту хвилі, що називається променем . Для сферичної хвилі промені являють собою пучок, що радіально розходиться. Для плоскої хвилі промені-пучок паралельних прямих.

У будь-якій механічній хвилі одночасно існують два види руху: коливання частинок середовища та поширення обурення.

Хвиля, в якій коливання частинок середовища та поширення обурення відбуваються в одному напрямку, називається поздовжній (Мал.7.2 а).

Хвиля, в якій частинки середовища коливаються перпендикулярно до напряму поширення збурень, називається поперечної (Рис. 7.2 б).

У поздовжній хвилі обурення є стиснення (або розрідження) середовища, а в поперечній - зміщення (зсуву) одних шарів середовища щодо інших. Поздовжні хвилі можуть поширюватися в усіх середовищах (і в рідких, і в твердих, і газоподібних), а поперечні - тільки в твердих.

Кожна хвиля розповсюджується з деякою швидкістю . Під швидкістю хвилі υ розуміють швидкість поширення обурення.Швидкість хвилі визначається властивостями середовища, в якому ця хвиля поширюється. У твердих тілах швидкість поздовжніх хвиль більша за швидкість поперечних.

Довжиною хвиліλ називається відстань, на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливання в її джерелі. Оскільки швидкість хвилі – величина стала (для цього середовища), то пройденою хвилею відстань дорівнює добутку швидкості тимчасово її поширення. Таким чином, довжина хвилі

З рівняння (7.1) випливає, що частинки, відокремлені один від одного інтервалом λ, коливаються в однаковій фазі. Тоді можна дати таке визначення довжини хвилі: довжина хвилі є відстань між двома найближчими точками, що коливаються в однаковій фазі.

Виведемо рівняння плоскої хвилі, що дозволяє визначити усунення будь-якої точки хвилі в будь-який момент часу. Нехай хвиля поширюється вздовж променя джерела з деякою швидкістю υ.

Джерело збуджує прості гармонійні коливання, і зміщення будь-якої точки хвилі в будь-який момент часу визначаєcz рівнянням

S = Asinωt (7.2)

Тоді точка середовища, віддалена джерела хвилі з відривом х, також здійснюватиме гармонійні коливання, але із запізненням за часом на величину , тобто. на час, необхідне поширення коливань від джерела до цієї точки. Зміщення точки, що коливається, щодо положення рівноваги в будь-який момент часу буде описуватися співвідношенням

(7. 3)

Це і є рівняння плоскої хвилі. Ця хвиля, характеризується наступними параметрами:

· S - зміщення від положення рівноваги точки пружного середовища, до якого дійшло коливання;

· ω - циклічна частота коливань, що генеруються джерелом, з якої коливаються і точки середовища;

· υ – швидкість поширення хвилі (фазова швидкість);

· х - відстань до тієї точки середовища, куди дійшло коливання і зміщення якої дорівнює S;

· t - час відраховується від початку коливань;

Вводячи у вираз (7. 3) довжину хвилі λ, рівняння плоскої хвилі можна записати так:

(7. 4)

де називається хвильовим числом (кількість хвиль, що припадають на одиницю довжини).

Хвильове рівняння

Рівняння плоскої хвилі (7. 5) – одне з можливих рішеньзагального диференціального рівняння з окремими похідними, що описує процес поширення обурення в середовищі. Таке рівняння називається хвильовим . У рівняння (7.5) входять змінні t і x, тобто. усунення періодично змінюється й у часі та просторі S = f(x, t). Хвильове рівняння можна отримати, якщо продиференціювати (7. 5) двічі по t:

І двічі по х

Підставляючи перше рівняння в друге, отримуємо рівняння плоскої хвилі, що біжить, уздовж осі X:

(7. 6)

Рівняння (7.6) називають хвильовим, і для загального випадку, коли усунення є функцією чотирьох змінних, воно має вигляд

(7.7)

, де -оператор Лапласа

§ 7.3 Енергія хвилі. Вектор Умова.

При поширенні серед плоскої хвилі

(7.8)

відбувається перенесення енергії. Подумки виділимо елементарний обсяг ∆V, настільки малий, що швидкість руху та деформацію у всіх його точках можна вважати однаковими та рівними відповідно

Виділений обсяг має кінетичну енергію

(7.10)

m=ρ∆V - маса речовини обсягом ∆V, ρ - щільність середовища].

(7.11)

Підставляючи в (7.10) значення , отримуємо

(7.12)

Максимуми кінетичної енергії припадають на ті точки середовища, які проходять положення рівноваги в даний момент часу (S = 0), в ці моменти коливальний рух точок середовища характеризується найбільшою швидкістю.

Розглянутий обсяг ∆V має також потенційну енергію пружної деформації.

[Е – модуль Юнга; - Відносне подовження або стиснення].

Враховуючи формулу (7.8) та вираз для похідної, знаходимо, що потенціальна енергіядорівнює

(7.13)

Аналіз виразів (7.12) та (7.13) показує, що максимуми потенційної та кінетичної енергіїзбігаються. Слід зазначити, що це є характерною особливістюбіг хвиль. Щоб визначити повну енергіюобсягу ∆V, потрібно взяти суму потенційної та кінетичної енергій:

Розділивши цю енергію на обсяг, в якому вона міститься, отримаємо густину енергії:

(7.15)

З виразу (7.15) випливає, що густина енергії є функцією координати х, тобто в різних точкахпростору вона має різні значення. Максимального значеннящільність енергії досягає у тих точках простору, де зсув дорівнює нулю (S = 0). Середня щільністьенергії у кожній точці середовища дорівнює

(7.16)

оскільки середнє значення

Таким чином, середовище, в якому поширюється хвиля, має додатковий запас енергії, яка доставляється від джерела коливань в різні областісередовища.

Перенесення енергії у хвилях кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Цей вектор для пружних хвильназивають вектором Умова (на ім'я російського вченого Н. А. Умова). Напрямок вектора Умова збігається з напрямом перенесення енергії, яке модуль дорівнює енергії, що переноситься хвилею за одиницю часу крізь одиничний майданчик, розташовану перпендикулярно напрямку поширення хвилі.

Механізм утворення механічних хвиль у пружному середовищі.

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

1. Механізм утворення механічних хвиль у пружному середовищі. Поздовжні та поперечні хвилі. Хвильове рівняння та його рішення. Гармонічні хвилі та його характеристики.

2. Фазова швидкість та дисперсія хвиль. Хвильовий пакет та групова швидкість.

3. Поняття про когерентність. Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.

4. Ефект Доплера для звукових хвиль.

Якщо в будь-якому місці пружного середовища (твердого, рідкого або газоподібного) порушити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання поширюватиметься в середовищі від частинки до частинки з деякою швидкістю. Процес поширення коливань у просторі називається хвилею. Геометричне місцеточок, до яких доходять коливання на час t називається фронтом хвилі (хвильовим фронтом).Залежно від форми фронту хвиля може бути сферичною, плоскою та ін.

Хвиля називається поздовжньою, Якщо напрям зміщення частинок середовища збігається з напрямом поширення хвилі.

Поздовжня хвиля поширюється у твердих, рідких та газоподібних середовищах.

Хвиля називається поперечною, якщо зміщення частинок середовища перпендикулярно до напряму поширення хвилі. Поперечна механічна хвиляпоширюється тільки на твердих тілах(у середовищах, що мають опір зсуву, тому в рідинах і газах така хвиля поширитися не може).

Рівняння, що дозволяє визначити зміщення(х, t) будь-якої точки середовища з координатою х у будь-який момент часу t називається рівнянням хвилі.

Наприклад, рівняння плоскої хвилі, тобто. хвилі, що поширюється в одному напрямку, наприклад у напрямку осі х, має вигляд

Введемо величину, яка називається хвильовим числом.

Якщо помножити хвильове число на одиничний векторнапрями поширення хвилі , то вийде вектор, званий хвильовим вектором

За допомогою оператора Лапласа (лапласіана) це рівняння можна записати коротше

(Рішенням цього рівняння є рівняння хвилі (28-1), (28-2).)

Визначення 1

Якщо хвиля поширюється в однорідному середовищі, її рух в загальному випадкуописують хвильовим рівнянням (диференціальним рівнянняму приватних похідних):

\[\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial x ^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial y^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial z^2)\ right)\left(1\right)\]

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

де $v$ -- фазова швидкість хвилі $\triangle =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2)+\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ -- оператор Лапласа. Рішенням рівняння (1,2) служить рівняння будь-якої хвилі, дані рівняння задовольняють, наприклад, плоска і сферична хвилі.

Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі $X$, то рівняння (1) представляється як:

Примітка 1

Якщо фізична величинапоширюється як хвиля, вона обов'язково задовольняє хвильовому рівнянню. Справедливо зворотне твердження: якщо яка - чи величина підпорядковується хвильовому рівнянню, вона поширюється як хвиля. Швидкість поширення хвилі дорівнюватиме квадратного кореняз коефіцієнта, що стоїть за сумою просторових похідних (у цьому вигляді записи).

Хвильове рівняння відіграє дуже велику роль у фізиці.

Рішення хвильового рівняння для плоскої хвилі

Запишемо загальне рішеннярівняння (2), для світлової хвилі, що поширюється у вакуумі у разі, якщо s скалярна функціязалежить тільки від однієї з декартових змінних, наприклад $ z $, тобто $ s = s (z, t) $, що означає, функція $ s $ має постійне значення в точках площині, яка перпендикулярна до осі Z $. Хвильове рівняння (1) у цьому випадку набуде вигляду:

де швидкість поширення світла у вакуумі дорівнює $c$.

Загальним рішенням рівняння (4) за заданих умов буде вираз:

де $s_1\left(z+ct\right)$- функція, що описує хвилю довільної форми, яка переміщується зі швидкістю $c$ у негативному напрямку по відношенню до напрямку $осі Z$, $s_2\left(z-ct\right)$ - функція описує хвилю довільної форми, яка переміщується зі швидкістю $c$ у позитивному напрямку по по відношенню до напрямку $осі Z$. Слід зазначити, що у процесі руху значення $s_1$ і $s_2$ у будь-якій точці хвилі та її форма хвилі незмінні.

Виходить, що хвиля, яку описує суперпозиція двох хвиль (відповідно до формули (5)). Причому ці складові хвилі рухаються у протилежних напрямках. У цьому випадку вже не можна говорити про швидкість або напрямок хвилі. В самому простому випадкувиходить стояча хвиля. У випадку необхідно розглядати складне електромагнітне поле.

Хвильове рівняння та система рівнянь Максвелла

Хвильові рівняння для коливань векторів напруженості електричного поляі вектор магнітної індукції магнітного полялегко отримати з системи рівнянь Максвелла в диференційної форми. Запишемо систему рівнянь Максвелла для речовини, в якій немає вільних зарядівта струмів провідності:

Застосуємо операцію $rot$ до рівняння (7):

У виразі (10) можна змінити порядок диференціювання у правій частині виразу, оскільки просторові координати та час - незалежні змінні, отже, маємо:

Візьмемо до уваги те, що рівняння (6), замінимо $rot\overrightarrow(B)$ у виразі (11) на праву частинуформули (6), маємо:

Знаючи, що $rotrot\overrightarrow(E)=graddiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$, і використовуючи $div\overrightarrow(E)=0$, отримуємо:

Аналогічно можна отримати хвильове рівняння для вектор магнітної індукції. Воно має вигляд:

У виразах (13) і (14) фазова швидкість поширення хвилі $(v)$ дорівнює:

Приклад 1

Завдання:Отримайте загальне рішення хвильового рівняння $\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2 ) = 0 (1.1) $ плоскої світлової хвилі.

Рішення:

Введемо незалежні змінні види для функції $s$:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1.2\right).\]

У такому разі приватна похідна $\frac(\partial s)(\partial z)$ дорівнює:

\[\frac(\partial s)(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial z)+\frac(\partial s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1.3 \right).\]

Приватна похідна $\frac(\partial s)(\partial t)$ дорівнює:

\[\frac(\partial s)(\partial t)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial t)+\frac(\partial s)( \partial \eta)\frac(\partial \eta)(\partial t)=-c\frac(\partial s)(\partial \xi)+c\frac(\partial s)(\partial \eta)\ to \frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=-\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta) \left(1.4\right).\]

Віднімемо почленно вираз (1.4) з виразу (1.3), маємо:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \xi) \left(1.5\right).\]

Почленное складання виразів (1.4) і (1.3) дає:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \left(1.6\right).\]

Знайдемо добуток лівих частин виразів (1.5) та (1.6) та врахуємо результати, записані у правих частинах цих виразів:

\[\left(\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)\left(\frac(\partial s) )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(с^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\left(1.7\right).

Якщо проінтегрувати вираз (1.7) по $\xi$, то отримаємо функцію, яка не залежить від цієї змінної, і може залежати тільки від $\eta$, що означає, що вона є довільною функцією$\Psi(\eta)$. У цьому випадку рівняння (1.7) набуде вигляду:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]

Проведемо інтегрування (1.8) по $\eta $ маємо:

де $s_1 \ left (з \ right) $ - первісна, $ s_2 \ left (\xi \ right) $ - Постійна інтегрування. Причому функції $s_1$ і $s_2$ - довільні. Враховуючи вирази (1.2), загальне рішення рівняння (1.1) можна записати як:

Відповідь:$s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

Приклад 2

Завдання:Визначте із хвильового рівняння, чому дорівнює фазова швидкість поширення плоскої світлової хвилі.

Рішення:

Порівнюючи хвильове рівняння, наприклад, для вектора напруженості, отримане з рівнянь Максвелла:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) = 0 (2.1) \]

з хвильовим рівнянням:

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

дозволяє зробити висновок про те, що швидкість поширення хвилі $(v)$ дорівнює:

Але тут слід зазначити, що поняття швидкості електромагнітної хвилі має певний сенс лише з хвилями простої конфігурації, під такі хвилі підходить, наприклад, категорія плоских хвиль. Так $v$ не буде швидкістю поширення хвилі у разі похідного розв'язання хвильового рівняння, до складу яких входять, наприклад, стоячі хвилі.

Відповідь:$v=\frac(с)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$

Одним із найбільш поширених в інженерній практиці рівнянь з приватними похідними другого порядку є хвильове рівняння, що описує різні видиколивань. Оскільки коливання – процес нестаціонарний, то однією з незалежних змінних є час t. Крім того, незалежними змінними у рівнянні є також просторові координати х, у,z. Залежно від кількості розрізняють одновимірне, двовимірне і тривимірне хвильові рівняння.

Одновимірне хвильове рівняння- Рівняння, що описує поздовжні коливання стрижня, перерізи якого здійснюють плоскопаралельні коливальні рухи, а також поперечні коливання тонкого стрижня (струни) та інші завдання. Двовимірне хвильове рівняннявикористовують для дослідження коливань тонкої пластини(Мембрани). Тривимірне хвильове рівнянняописує поширення хвиль у просторі (наприклад, звукових хвиль у рідині, пружних хвиль у суцільному середовищі тощо).

Розглянемо одновимірне хвильове рівняння, яке можна записати у вигляді

Для поперечних коливань струни потрібна функція U(x, t) визначає положення струни в момент t. В цьому випадку а 2 = Т/ρ,де Т -натяг струни, ρ - її лінійна (погонна) густина. Коливання передбачаються малими, тобто. амплітуда мала порівняно з довжиною струни. Крім того, рівняння (2.63) записано для випадку вільних коливань. В разі вимушених коливаньу правій частині рівняння додають деяку функцію f(x, t), що характеризує зовнішні впливи, при цьому опір середовища коливального процесуне враховується.

Найпростішим завданнямдля рівняння (2.63) є завдання Коші: початковий моментчасу задаються дві умови (кількість умов дорівнює порядку вхідної в рівняння похідної за t):

Ці умови описують початкову формуструни та швидкість її точок.

На практиці частіше доводиться вирішувати не завдання Коші для нескінченної струни, а змішане завдання для обмеженої струни деякої довжини. l. І тут задають граничні умови її кінцях. Зокрема, при закріплених кінцях їх зсуву дорівнюють нулю, і граничні умови мають вигляд

Розглянемо деякі різницеві схеми на вирішення завдання (2.63)-(2.65). Найпростішою є явна тришарова схема типу хрест (шаблон показано на рис. 2.21). Замінимо в рівнянні (2.63) другі похідні функції, що шукається Uпо tі хїх звичайно різницевими співвідношеннями за допомогою значень сіткової функції у вузлах сітки :

Мал. 2.21. Шаблон явної схеми

Звідси можна знайти явний вираз значення сіткової функції на ( j + 1)-му шарі:

Тут, як зазвичай у тришарових схемах, для визначення невідомих значеньна ( j + 1)-ом шарі потрібно знати рішення на j-ом і ( j- 1)-ом шарах. Тому почати рахунок за формулами (2.66) можна лише для другого шару, а рішення на нульовому та першому шарах мають бути відомі. Їх знаходять з допомогою початкових умов (2.64). На нульовому шарі маємо

Для отримання рішення на першому шарі скористаємося другою початковою умовою (2.64). Похідну замінимо кінцево-різницевою апроксимацією. У найпростішому випадку вважають

(2.68)

З цього співвідношення можна знайти значення сіткової функції першому часовому шарі:

Зазначимо, що апроксимація початкової умовиу вигляді (2.68) погіршує апроксимацію вихідної диференційного завдання: похибка апроксимації стає порядку , тобто . першого порядку за τ, хоча сама схема (2.66) має другий порядок апроксимації по hі τ. Положення можна виправити, якщо замість (2.69) взяти точніше уявлення:

(2.70)

Замість треба взяти. А вираз для другої похідної можна знайти з використанням вихідного рівняння (2.63) та першої початкової умови (2.64). Отримаємо

Тоді (2.70) набуде вигляду:

Різнисна схема (2.66) з урахуванням (2.71) має похибку апроксимації порядку

За розв'язання змішаної завдання з граничними умовами виду (2.65), тобто. коли кінцях аналізованого відрізка задані значення самої функції, другий порядок апроксимації зберігається. В цьому випадку для зручності крайні вузли сітки розташовують у граничних точках ( х0=0, XI = l). Однак граничні умови можуть задаватися і для похідної.

Наприклад, у разі вільних поздовжніх коливаньстрижня на його незакріпленому кінці задається умова

Якщо цю умову записати в різницевому вигляді з першим порядком апроксимації, то похибка апроксимації схеми буде . Тому для збереження другого порядку даної схеми hнеобхідно граничну умову (2.72) апроксимувати з другим порядком.

Розглянута різницева схема (2.66) розв'язання задачі (2.63) – (2.65) умовно стійка. Необхідне та достатня умовастійкості:

Отже, при виконанні цієї умови та з урахуванням апроксимації схема (2.66) сходить до вихідне завданнязі швидкістю O(h2 + τ 2 ). Дана схема часто використовується в практичних розрахунках. Вона забезпечує прийнятну точність отримання рішення U(x, t), яке має безперервні похідні четвертого порядку.

Мал. 2.22. Алгоритм розв'язання хвильового рівняння

Алгоритм розв'язання задачі (2.63)-(2.65) за допомогою даної явної різницевої схеми наведено на рис. 2.22. Тут представлений найпростіший варіантколи всі значення сіткової функції, що утворюють двовимірний масив, у міру обчислення зберігаються в пам'яті комп'ютера, а після вирішення завдання виводяться результати. Можна було б передбачити зберігання рішення лише на трьох шарах, що заощадило б пам'ять. Результати у разі можна виводити у процесі рахунки (див. рис. 2.13).

Існують і інші різницеві схеми розв'язання хвильового рівняння. Зокрема, іноді зручніше використовувати неявні схеми, щоб позбавитися обмежень на величину кроку, що накладаються умовою (2.73). Ці схеми зазвичай абсолютно стійкі, однак алгоритм розв'язання задачі та програма для комп'ютера ускладнюються.

Побудуємо найпростішу неявну схему. Другу похідну за tу рівнянні (2.63) апроксимуємо, як і раніше, за триточковим шаблоном за допомогою значень сіткової функції на шарах j- 1, j, j + 1. Похідну до хзамінюємо напівсумою її апроксимації на ( j + 1)-ом та ( j- 1)-ом шарах (рис. 2.23):

Мал. 2.23. Шаблон неявної схеми

З цього співвідношення можна отримати систему рівнянь щодо невідомих значень сіткової функції на ( j+ 1)-му шарі:

Отримана неявна схема стійка і сходиться зі швидкістю. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь(2.74) можна, зокрема, вирішувати шляхом прогонки. До цієї системи слід додати різницеві початкові та граничні умови. Так, вирази (2.67), (2.69) або (2.71) можуть бути використані для обчислення значень сіткової функції на нульовому та першому шарах за часом.

При двох або трьох незалежних просторових змінних хвильові рівняння набувають вигляду

Для них також можуть бути побудовані схеми різниці за аналогією з одновимірним хвильовим рівнянням. Різниця полягає в тому, що потрібно апроксимувати похідні за двома або трьома просторовими змінними, що, природно, ускладнює алгоритм і вимагає значно більших обсягів пам'яті та часу рахунку. Докладніше двовимірні завдання будуть розглянуті нижче для рівняння теплопровідності.