Khoảnh khắc bình thường thứ hai là gì? Những khoảnh khắc ban đầu và trung tâm

3.4. Khoảnh khắc biến ngẫu nhiên.

Ở trên chúng ta đã làm quen với các đặc tính toàn diện của SV: hàm phân phối và chuỗi phân phối cho SV rời rạc, hàm phân phối và mật độ xác suất cho SV liên tục. Những đặc điểm tương đương theo cặp này về mặt nội dung thông tin là chức năng và mô tả đầy đủ SV từ quan điểm xác suất. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống thực tế, việc mô tả đặc điểm của một biến ngẫu nhiên một cách toàn diện là không thể hoặc không cần thiết. Thường thì chỉ cần chỉ định một hoặc nhiều số các tham số ở một mức độ nào đó mô tả các đặc điểm chính của phân bố và đôi khi việc tìm ra các đặc điểm đầy đủ, mặc dù mong muốn, lại quá khó về mặt toán học và hoạt động với các tham số số, chúng tôi bị giới hạn ở một mô tả gần đúng nhưng đơn giản hơn. Các tham số số đã chỉ định được gọi là đặc điểm số các biến ngẫu nhiên và đóng vai trò chính trong việc ứng dụng lý thuyết xác suất vào các lĩnh vực khoa học và công nghệ khác nhau, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán và cho phép trình bày kết quả của lời giải dưới dạng đơn giản và trực quan.

Các đặc tính số được sử dụng phổ biến nhất có thể được chia thành hai loại: đặc điểm mô men và vị trí. Có một số loại khoảnh khắc, trong đó có hai loại được sử dụng phổ biến nhất là: sơ cấp và trung ương. Các loại khoảnh khắc khác, ví dụ: khoảnh khắc tuyệt đối, khoảnh khắc giai thừa, chúng tôi không xem xét. Để tránh sử dụng khái quát hóa tích phân - còn gọi là tích phân Stieltjes, chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa về mô men riêng biệt cho các SV liên tục và rời rạc.

Các định nghĩa. 1. Khoảnh khắc bắt đầuk-SV rời rạc thứ tựđược gọi là số lượng

Ở đâu f(x) là mật độ xác suất của một SV nhất định.

3. Khoảnh khắc trung tâmk-SV rời rạc thứ tựđược gọi là số lượng

Trong trường hợp một số SV đang được xem xét cùng một lúc, để tránh hiểu lầm, nên chỉ ra danh tính của thời điểm đó; chúng tôi sẽ thực hiện việc này bằng cách chỉ ra ký hiệu của SV tương ứng trong ngoặc, ví dụ: , v.v. Không nên nhầm lẫn ký hiệu này với ký hiệu hàm và chữ cái trong ngoặc đơn không được nhầm lẫn với đối số hàm. Tổng và tích phân ở vế phải của đẳng thức (3.4.1 - 3.4.4) có thể hội tụ hoặc phân kỳ tùy theo giá trị k và phân phối cụ thể. Trong trường hợp đầu tiên họ nói rằng thời điểm này không tồn tại hoặc phân kỳ, trong lần thứ hai - cái gì khoảnh khắc tồn tại hoặc hội tụ. Nếu là SV rời rạc số cuối cùng giá trị cuối cùng ( N tất nhiên rồi), thì mọi khoảnh khắc của nó đều có trật tự hữu hạn k hiện hữu. Ở vô cùng N, bắt đầu từ một số k và đối với các bậc cao hơn, các khoảnh khắc của SV rời rạc (cả ban đầu và trung tâm) có thể không tồn tại. Các mô men của một SV liên tục, như có thể thấy từ các định nghĩa, được biểu thị bằng các tích phân không đúng, có thể phân kỳ bắt đầu từ một giá trị nhất định. k và cho các mệnh lệnh cao hơn (đồng thời ban đầu và trung tâm). Khoảnh khắc thứ tự không luôn hội tụ.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn trước tiên những khoảnh khắc đầu tiên và sau đó là những khoảnh khắc trung tâm. Theo quan điểm toán học, thời điểm ban đầu k-thứ tự là “trung bình có trọng số” k-thứ của giá trị SV; trong trường hợp SV rời rạc, trọng số là xác suất của các giá trị; trong trường hợp SV liên tục, hàm trọng số là mật độ xác suất. Các phép toán loại này được sử dụng rộng rãi trong cơ học để mô tả sự phân bố khối lượng (mômen tĩnh, mô men quán tính, v.v.); Sự tương tự phát sinh trong vấn đề này sẽ được thảo luận dưới đây.

Để hiểu rõ hơn về những khoảnh khắc ban đầu, chúng ta xem xét chúng một cách riêng biệt k. Trong lý thuyết xác suất, các khoảnh khắc ở bậc thấp hơn là quan trọng nhất, tức là ở mức nhỏ. k, do đó cần xem xét theo thứ tự tăng dần giá trị k. Momen ban đầu bậc 0 bằng

1, đối với SV rời rạc;

=1, đối với SV liên tục,

những thứ kia. đối với bất kỳ SV nào, nó bằng cùng một giá trị - một và do đó không mang bất kỳ thông tin nào về các thuộc tính thống kê của SV.

Khoảnh khắc ban đầu bậc nhất (hoặc khoảnh khắc ban đầu thứ nhất) bằng

Đối với SV rời rạc;

, đối với SV liên tục.

Điểm này là đặc tính số quan trọng nhất của bất kỳ SV nào, vì có một số lý do liên quan đến nhau. Thứ nhất, theo định lý Chebyshev (xem phần 7.4), với số lượng thử nghiệm không giới hạn trên SV, giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát có xu hướng (theo một nghĩa nào đó), do đó, đối với bất kỳ SV nào, đây là một số đặc trưng xung quanh đó các giá trị của nó được nhóm lại theo kinh nghiệm. Thứ hai, đối với một CV liên tục, nó bằng số X- tọa độ trọng tâm của hình thang cong được hình thành bởi đường cong f(x) (một thuộc tính tương tự xảy ra đối với một SV rời rạc), do đó thời điểm này có thể được gọi là “trọng tâm của sự phân bố”. Thứ ba, mômen này có các tính chất toán học đáng chú ý sẽ trở nên rõ ràng trong suốt khóa học, do đó giá trị của nó được đưa vào các biểu thức mômen trung tâm (xem (3.4.3) và (3.4.4)).

Tầm quan trọng của thời điểm này đối với các vấn đề lý thuyết và thực tiễn của lý thuyết xác suất cũng như các tính chất toán học đáng chú ý của nó đã dẫn đến thực tế là ngoài tên gọi và ký hiệu “thời điểm ban đầu đầu tiên”, các ký hiệu và tên gọi khác ít nhiều cũng được sử dụng trong tài liệu. thuận tiện và phản ánh các thuộc tính đã đề cập. Những cái tên phổ biến nhất là: gia trị được ki vọng, giá trị trung bình, và ký hiệu: tôi, M[X], . Chúng ta thường sử dụng thuật ngữ “kỳ vọng toán học” và ký hiệu tôi; nếu có nhiều SV, chúng tôi sẽ sử dụng chỉ số dưới cho biết quyền sở hữu kỳ vọng toán học, Ví dụ, tôi x , tôi y vân vân.

Mômen ban đầu bậc hai (hoặc mômen ban đầu thứ hai) bằng

Đối với SV rời rạc;

, đối với SV liên tục;

đôi khi nó được gọi là bình phương trung bình của biến ngẫu nhiên và được chỉ định M.

Mômen ban đầu bậc ba (hoặc mômen ban đầu thứ ba) bằng

Đối với SV rời rạc;

, đối với SV liên tục

đôi khi nó được gọi là khối trung bình của một biến ngẫu nhiên và được chỉ định M[X 3 ].

Không có ích gì khi tiếp tục liệt kê những điểm ban đầu. Chúng ta hãy tập trung vào việc giải thích quan trọng về những khoảnh khắc trật tự k>1. Hãy cùng với SV X còn có SV nữa Y, Và Y=X k (k=2, 3, ...). Sự bình đẳng này có nghĩa là các biến ngẫu nhiên X Và Yđược kết nối một cách xác định theo nghĩa là khi SV Xđảm nhận giá trị x, ĐB Yđảm nhận giá trị y=x k(trong tương lai, mối liên hệ này của SV sẽ được xem xét chi tiết hơn). Khi đó, theo (3.4.1) và (3.4.2)

=tôi y , k=2, 3, ...,

I E. k Momen ban đầu thứ của SV bằng kỳ vọng toán học k-thứ lũy thừa của biến ngẫu nhiên này. Ví dụ, mômen ban đầu thứ ba của chiều dài cạnh của một khối ngẫu nhiên bằng với kỳ vọng toán học về thể tích của khối đó. Khả năng hiểu các khoảnh khắc như những kỳ vọng toán học nhất định là một khía cạnh khác về tầm quan trọng của khái niệm kỳ vọng toán học.

Hãy chuyển sang xem xét các điểm trung tâm. Vì, như sẽ trở nên rõ ràng dưới đây, các khoảnh khắc trung tâm được thể hiện rõ ràng thông qua các khoảnh khắc ban đầu và ngược lại, nên câu hỏi đặt ra là tại sao lại cần đến những khoảnh khắc trung tâm và tại sao những khoảnh khắc ban đầu lại không đủ. Hãy xem xét SV X(liên tục hoặc rời rạc) và một SV Y khác, liên quan đến SV Y đầu tiên như Y=X+a, Ở đâu Một 0 - không ngẫu nhiên số thực. Mỗi giá trị x biến ngẫu nhiên X tương ứng với giá trị y=x+a biến ngẫu nhiên Y, do đó việc phân phối SV Y sẽ có hình dạng giống nhau (được biểu thị bằng đa giác phân bố trong trường hợp rời rạc hoặc mật độ xác suất trong trường hợp liên tục) như phân bố SV X, nhưng dịch chuyển dọc theo trục x một lượng Một. Do đó, những khoảnh khắc đầu tiên của SV Y sẽ khác với những khoảnh khắc tương ứng của SV X. Ví dụ, dễ dàng nhận thấy tôi y =m x +a(một lúc nữa bậc caođược kết nối bởi các mối quan hệ phức tạp hơn). Vì vậy chúng tôi đã thiết lập được điều đó những khoảnh khắc ban đầu không bất biến đối với sự dịch chuyển của toàn bộ phân phối. Bạn sẽ thu được kết quả tương tự nếu bạn không dịch chuyển phân bố mà thay đổi phần đầu của trục x theo chiều ngang một lượng - Một, I E. Kết luận tương đương cũng có giá trị: các mômen ban đầu không bất biến đối với sự dịch chuyển theo phương ngang của điểm bắt đầu trục x.

Các khoảnh khắc trung tâm, nhằm mô tả các tính chất của phân bố không phụ thuộc vào độ dịch chuyển của chúng nói chung, không gặp phải nhược điểm này. Thật vậy, như có thể thấy từ (3.4.3) và (3.4.4), khi tổng thể phân bố dịch chuyển một lượng Một, hoặc, điều tương tự là dịch chuyển phần đầu của trục x một lượng - Một, tất cả các giá trị x, với cùng xác suất (trong trường hợp rời rạc) hoặc cùng mật độ xác suất (trong trường hợp liên tục), sẽ thay đổi một lượng Một, nhưng số lượng sẽ thay đổi một lượng như nhau tôi, do đó giá trị của dấu ngoặc đơn ở vế phải của các đẳng thức sẽ không thay đổi. Như vậy, các mômen trung tâm là bất biến đối với sự dịch chuyển của phân bố nói chung, hoặc tương tự đối với sự dịch chuyển theo chiều ngang của điểm bắt đầu của trục x. Những khoảnh khắc này được gọi là “trung tâm” vào những ngày mà khoảnh khắc ban đầu đầu tiên được gọi là “trung tâm”. Thật hữu ích khi lưu ý rằng thời điểm trung tâm của SV X có thể hiểu là thời điểm ban đầu tương ứng của SV X 0 bằng

X 0 =X-m x .

ĐB X 0 được gọi là trung tâm(so với SV X) và phép toán dẫn đến nó, tức là trừ đi kỳ vọng toán học của nó khỏi một biến ngẫu nhiên, được gọi là định tâm. Như chúng ta sẽ thấy sau, khái niệm này và thao tác này sẽ hữu ích trong suốt khóa học. Lưu ý rằng thời điểm trung tâm của trật tự k>1 có thể được coi là kỳ vọng toán học (trung bình) k- bậc thứ của SV trung tâm: .

Chúng ta hãy xem xét riêng những khoảnh khắc trung tâm của các cấp độ thấp hơn. Mômen trung tâm bậc 0 bằng

, đối với SV rời rạc;

, đối với SV liên tục;

tức là đối với bất kỳ SV nào và không mang bất kỳ thông tin nào về các thuộc tính thống kê của SV này.

Mô men trung tâm bậc nhất (hoặc mômen trung tâm thứ nhất) bằng

đối với SV rời rạc;

đối với CB liên tục; tức là đối với bất kỳ SV nào và không mang bất kỳ thông tin nào về các thuộc tính thống kê của SV này.

Mômen trung tâm bậc hai (hoặc mô men trung tâm thứ hai) bằng

, đối với SV rời rạc;

, đối với SV liên tục.

Như sẽ được làm rõ dưới đây, điểm này là một trong những điểm quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất, vì nó được sử dụng như một đặc tính của thước đo độ phân tán (hoặc độ phân tán) của các giá trị SV, do đó nó thường được gọi là sự phân tán và được chỉ định D X. Lưu ý rằng đây có thể được hiểu là bình phương trung bình của SV ở giữa.

Momen trung tâm bậc ba (moment trung tâm bậc ba) bằng

Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra bởi luật phân phối:

Gia trị được ki vọng bằng:

Chúng tôi thấy rằng nó còn nhiều hơn nữa. Điều này có thể được giải thích là do giá trị x= –150, khác nhiều so với các giá trị khác, tăng mạnh khi bình phương; xác suất của giá trị này là thấp (0,02). Như vậy, việc chuyển từ M(X)ĐẾN M(X 2) giúp có thể tính đến tốt hơn ảnh hưởng đến kỳ vọng toán học của các giá trị như vậy của một biến ngẫu nhiên có kích thước lớn giá trị tuyệt đối nhưng khả năng xuất hiện của chúng là thấp. Tất nhiên, nếu đại lượng có nhiều giá trị lớn và khó xảy ra thì việc chuyển đổi sang đại lượng X 2, và thậm chí còn hơn thế nữa với số lượng , v.v., sẽ cho phép chúng tôi "tăng cường vai trò" hơn nữa của những giá trị lớn nhưng khó có thể xảy ra này. Đó là lý do tại sao nên xem xét kỳ vọng toán học của tổng thể mức độ tích cực biến ngẫu nhiên, không chỉ rời rạc mà còn liên tục.

Định nghĩa 6.10. Momen ban đầu bậc thứ của một biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của đại lượng:

Đặc biệt:

Sử dụng những điểm này, công thức tính phương sai có thể được viết khác

Ngoài mô men của biến ngẫu nhiên, nên xem xét mômen sai lệch.

Định nghĩa 6.11. Mômen trung tâm bậc thứ của một biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của đại lượng đó.

(6.23)

Đặc biệt,

Mối quan hệ kết nối những khoảnh khắc ban đầu và trung tâm có thể dễ dàng được rút ra. Vì vậy, so sánh (6.22) và (6.24), chúng ta nhận được:

Chứng minh các quan hệ sau không khó:

Tương tự:

Những khoảnh khắc bậc cao hiếm khi được sử dụng. Khi xác định mômen trung tâm, độ lệch của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học (tâm) của nó được sử dụng. Đó là lý do tại sao khoảnh khắc được gọi là trung tâm.

Khi xác định các khoảnh khắc ban đầu, độ lệch của một biến ngẫu nhiên cũng được sử dụng, nhưng không phải so với kỳ vọng toán học mà so với điểm có trục hoành bằng 0, là gốc tọa độ. Đó là lý do tại sao khoảnh khắc được gọi là ban đầu.

Trong trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục, mômen ban đầu bậc 1 được tính theo công thức:

(6.27)

Momen trung tâm bậc thứ của biến ngẫu nhiên liên tục được tính theo công thức:

(6.28)

Giả sử rằng sự phân bố của biến ngẫu nhiên là đối xứng với kỳ vọng toán học. Khi đó mọi mô men tâm bậc lẻ đều bằng 0. Điều này có thể được giải thích là do đối với mỗi giá trị dương số lượng X-M(X) có (do tính đối xứng của sự phân bố so với M(X)) bằng nó về giá trị tuyệt đối câu khẳng định giá trị này và xác suất của chúng sẽ bằng nhau.

Nếu mômen trung tâm của một bậc lẻ không bằng 0 thì điều này cho thấy sự phân bố không đối xứng và mômen càng lớn thì độ bất đối xứng càng lớn. Vì vậy, điều hợp lý nhất là lấy một số khoảnh khắc trung tâm kỳ lạ làm đặc điểm của sự bất cân xứng về phân phối. Vì mômen trung tâm bậc một luôn bằng 0 nên nên sử dụng mômen trung tâm bậc ba cho mục đích này.

Định nghĩa 6.12. Hệ số bất đối xứng là đại lượng:

Nếu hệ số bất đối xứng âm thì điều này cho thấy ảnh hưởng lớn đến giá trị độ lệch tiêu cực. Trong trường hợp này, đường cong phân phối (Hình 6.1 MỘT) phẳng hơn ở bên trái của . Nếu hệ số dương, nghĩa là ảnh hưởng của độ lệch dương chiếm ưu thế, thì đường cong phân phối sẽ phẳng hơn ở bên phải.

Như đã biết, mômen trung tâm thứ hai (phương sai) dùng để mô tả sự phân tán các giá trị của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó. Nếu thời điểm này đối với một số biến ngẫu nhiên đủ lớn, tức là Nếu độ phân tán lớn thì đường cong phân phối tương ứng sẽ phẳng hơn đường cong phân phối của một biến ngẫu nhiên có mô men bậc hai nhỏ hơn. Tuy nhiên, thời điểm này không thể phục vụ mục đích này do thực tế là đối với bất kỳ sự phân phối nào .

Trong trường hợp này, mô men trung tâm bậc bốn được sử dụng.

Định nghĩa 6.13. Kurtosis là số lượng:

Đối với luật phân phối chuẩn phổ biến nhất trong tự nhiên, tỷ lệ này là . Vì vậy, dư thừa được cho bởi công thức(6.28) dùng để so sánh phân phối này với phân phối chuẩn (Hình 6.1 b).

Để mô tả các đặc tính khác nhau của các biến ngẫu nhiên, mômen ban đầu và mômen trung tâm được sử dụng.

Khoảnh khắc bắt đầuk-đơn hàng đầu tiên của biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng toán học của lũy thừa thứ k của biến này:

α K = M.

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

C

X = X – M[X]

biến ngẫu nhiên có tâm là độ lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó:

Chúng ta hãy đồng ý phân biệt một r.v trung tâm. biểu tượng 0 ở trên cùng.

Khoảnh khắc trung tâmS-thứ tự là kỳ vọng toán học của lũy thừa S của biến ngẫu nhiên tập trung

 S = M [(X – m x) S ].

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

 S = (x i – m x) S p i .

Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục

.

Tính chất mômen của biến ngẫu nhiên

thời điểm ban đầu của bậc một bằng với kỳ vọng toán học (theo định nghĩa):

α 1 = M = m x .

mômen trung tâm của bậc đầu tiên luôn bằng 0 (chúng tôi sẽ chứng minh điều đó bằng ví dụ về r.v. rời rạc):

 1 = M [(X – m x) 1 ] = (x tôi – m x) p tôi = x tôi p tôi – m x p i = m x –m x p tôi =mx –mx = 0.

Mômen trung tâm bậc hai đặc trưng cho sự phân tán của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó.

Momen tâm bậc hai được gọi là sự phân tán Với. V. và được ký hiệu là D[X] hoặc D x

Phương sai có thứ nguyên bằng bình phương của biến ngẫu nhiên.

Trung bình độ lệch chuẩn σ x = √D x.

σ x - giống như D x, đặc trưng cho sự phân tán của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó nhưng lại có thứ nguyên của một biến ngẫu nhiên.

thời điểm ban đầu thứ hai α 2 đặc trưng cho mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó, cũng như độ dịch chuyển của biến ngẫu nhiên trên trục số

Mối quan hệ giữa khoảnh khắc ban đầu thứ nhất và thứ hai với độ phân tán (sử dụng ví dụ về r.v. liên tục):

mômen trung tâm thứ ba đặc trưng cho mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học, cũng như mức độ bất đối xứng của phân bố biến ngẫu nhiên.

f(x trung bình) > f(-x trung bình)

Đối với luật phân bố đối xứng m 3 = 0.

Để chỉ mô tả mức độ bất đối xứng, cái gọi là hệ số bất đối xứng được sử dụng

Đối với luật phân bố đối xứng Sk = 0

mômen trung tâm thứ tư đặc trưng cho mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học, cũng như mức độ đạt đỉnh của quy luật phân phối.

Tầm quan trọng đặc biệt để mô tả sự phân bố của một biến ngẫu nhiên là các đặc tính số được gọi là mômen ban đầu và mômen trung tâm.

Khoảnh khắc bắt đầu k-thứ tự αk(X) biến ngẫu nhiên X k- lũy thừa của đại lượng này, tức là

αk(X) = M(Xk) (6.8)

Công thức (6.8), do định nghĩa kỳ vọng toán học đối với các biến ngẫu nhiên khác nhau, nên có dạng riêng, cụ thể là đối với biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị hữu hạn

cho một biến ngẫu nhiên liên tục

, (6.10)

Ở đâu f(x) - mật độ phân bố của một biến ngẫu nhiên X.

Tích phân không đúng trong công thức (6.10) biến thành tích phân xác định trong một khoảng hữu hạn, nếu các giá trị của biến ngẫu nhiên liên tục chỉ tồn tại trong khoảng này.

Một trong những cái đã được giới thiệu trước đó đặc điểm số– kỳ vọng toán học – không gì khác hơn là thời điểm ban đầu của bậc một, hay như người ta nói, thời điểm ban đầu đầu tiên:

M(X) = α 1 (X).

Trong đoạn trước, khái niệm biến ngẫu nhiên tập trung đã được giới thiệu HM(X). Nếu đại lượng này được coi là đại lượng chính thì những khoảnh khắc ban đầu cũng có thể được tìm thấy cho nó. Đối với bản thân độ lớn X những khoảnh khắc này sẽ được gọi là trung tâm.

Khoảnh khắc trung tâm k-thứ tự μ k(X) biến ngẫu nhiên X gọi là kỳ vọng toán học k-thứ lũy thừa của biến ngẫu nhiên ở giữa, tức là

μ k(X) = M[(HM(X))k] (6.11)

Nói cách khác, điểm trung tâm k-thứ tự là kỳ vọng toán học k mức độ sai lệch thứ

Khoảnh khắc trung tâm k bậc thứ của biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị hữu hạn được tìm theo công thức:

, (6.12)

cho một biến ngẫu nhiên liên tục sử dụng công thức:

(6.13)

Trong tương lai, khi đã rõ chúng ta đang nói đến loại biến ngẫu nhiên nào, chúng ta sẽ không viết nó dưới dạng ký hiệu của thời điểm ban đầu và thời điểm trung tâm, tức là. thay vì αk(X) Và μ k(X) chúng ta sẽ chỉ viết αk Và μ k .

Rõ ràng là mômen trung tâm của bậc một bằng 0, vì đây không gì khác hơn là kỳ vọng toán học về độ lệch, bằng 0 theo những gì đã được chứng minh trước đó, tức là. .

Không khó hiểu rằng mômen trung tâm bậc hai của một biến ngẫu nhiên X trùng với phương sai của cùng một biến ngẫu nhiên, tức là

Ngoài ra, còn có các công thức sau nối thời điểm ban đầu và thời điểm trung tâm:

Vì vậy, các khoảnh khắc của bậc một và bậc hai (kỳ vọng và độ phân tán toán học) đặc trưng cho các đặc điểm quan trọng nhất của phân bố: vị trí của nó và mức độ phân tán của các giá trị. Để biết thêm miêu tả cụ thể phân phối là thời điểm của các đơn đặt hàng cao hơn. Hãy thể hiện nó.

Giả sử rằng sự phân bố của một biến ngẫu nhiên là đối xứng với kỳ vọng toán học của nó. Khi đó tất cả các khoảnh khắc trung tâm bậc lẻ, nếu chúng tồn tại, đều bằng 0. Điều này được giải thích bởi thực tế là, do tính đối xứng của phân bố, với mỗi giá trị dương của đại lượng X − M(X) có một giá trị âm có độ lớn bằng nó và xác suất của các giá trị này là bằng nhau. Do đó, tổng trong công thức (6.12) bao gồm một số cặp số hạng có độ lớn bằng nhau nhưng khác nhau về dấu, chúng triệt tiêu lẫn nhau khi tính tổng. Vì vậy, toàn bộ số tiền, tức là. mômen trung tâm của bất kỳ biến ngẫu nhiên rời rạc bậc lẻ nào đều bằng không. Tương tự, mômen trung tâm của bất kỳ bậc lẻ nào của một biến ngẫu nhiên liên tục đều bằng 0, cũng như tích phân trong giới hạn đối xứng của hàm lẻ.

Điều tự nhiên là giả định rằng nếu mômen trung tâm của một bậc lẻ khác 0 thì bản thân phân bố sẽ không đối xứng với kỳ vọng toán học của nó. Hơn nữa, mômen trung tâm càng khác 0 thì sự bất đối xứng trong phân bố càng lớn. Chúng ta hãy lấy mômen trung tâm của cấp lẻ nhỏ nhất làm đặc tính của sự bất đối xứng. Vì mômen trung tâm bậc một bằng 0 đối với các biến ngẫu nhiên có phân phối bất kỳ nên tốt hơn nên sử dụng mômen trung tâm bậc ba cho mục đích này. Tuy nhiên, khoảnh khắc này có kích thước bằng một khối lập phương biến ngẫu nhiên. Để loại bỏ nhược điểm này và chuyển sang biến ngẫu nhiên không thứ nguyên, hãy chia giá trị mômen trung tâm cho lập phương độ lệch chuẩn.

hệ số bất đối xứng BẰNG hoặc đơn giản sự bất đối xứngđược gọi là tỷ số của mômen trung tâm bậc ba với lập phương của độ lệch chuẩn, tức là

Đôi khi sự bất đối xứng được gọi là "độ lệch" và được chỉ định Sk cái gì đến từ từ tiếng anh xiên - "xiên".

Nếu hệ số bất đối xứng âm thì giá trị của nó bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi các số hạng âm (độ lệch) và phân phối sẽ có bất đối xứng trái và đồ thị phân phối (đường cong) phẳng hơn ở bên trái kỳ vọng toán học. Nếu hệ số dương thì bất đối xứng đúng, và đường cong phẳng hơn ở bên phải kỳ vọng toán học (Hình 6.1).

Như đã chỉ ra, để mô tả sự phân tán các giá trị của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó, mômen trung tâm thứ hai được sử dụng, tức là. sự phân tán. Nếu thời điểm này có tầm quan trọng lớn giá trị số, khi đó biến ngẫu nhiên này có độ phân tán giá trị lớn và đường cong phân phối tương ứng có hình dạng phẳng hơn đường cong mà mômen trung tâm thứ hai có giá trị nhỏ hơn. Do đó, ở một mức độ nào đó, mômen trung tâm thứ hai đặc trưng cho đường cong phân phối “đỉnh phẳng” hoặc “đỉnh nhọn”. Tuy nhiên, đặc điểm này không thuận tiện lắm. Mômen trung tâm bậc hai có chiều bằng bình phương chiều của biến ngẫu nhiên. Nếu chúng ta cố gắng thu được một đại lượng không thứ nguyên bằng cách chia giá trị mômen cho bình phương độ lệch chuẩn, thì đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên nào, chúng ta sẽ thu được: . Vì vậy, hệ số này không thể là bất kỳ đặc điểm nào của sự phân bố của một biến ngẫu nhiên. Nó giống nhau cho tất cả các bản phân phối. Trong trường hợp này, mô men trung tâm bậc bốn có thể được sử dụng.

Thặng dư Ek là đại lượng được xác định theo công thức

(6.15)

Kurtosis chủ yếu được sử dụng cho các biến ngẫu nhiên liên tục và dùng để mô tả cái gọi là “độ dốc” của đường cong phân phối, hay nói cách khác, như đã đề cập, để mô tả đường cong phân phối “đỉnh phẳng” hoặc “đỉnh nhọn”. Đường cong phân phối tham chiếu được coi là đường cong phân phối bình thường(điều này sẽ được thảo luận chi tiết trong chương tiếp theo). Đối với biến ngẫu nhiên được phân phối trên luật thông thường, đẳng thức giữ nguyên. Do đó, độ nhọn tính theo công thức (6.15) dùng để so sánh phân bố này với phân bố chuẩn, trong đó độ nhọn bằng 0.

Nếu đạt được hệ số nhọn dương cho một biến ngẫu nhiên nào đó thì đường cong phân phối của giá trị này đạt đỉnh cao hơn đường cong phân phối chuẩn. Nếu độ nhọn âm thì đường cong có đỉnh phẳng hơn so với đường cong phân phối chuẩn (Hình 6.2).

Bây giờ chúng ta chuyển sang các loại luật phân phối cụ thể cho các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.

Khoảnh khắc trung tâm được gọi là khoảnh khắc phân phối, khi tính toán độ lệch của các tùy chọn so với giá trị trung bình số học của một chuỗi nhất định được lấy làm giá trị ban đầu.

1. Tính mô men tâm bậc nhất bằng công thức:

2. Tính mô men tâm bậc hai bằng công thức:

giá trị của khoảng giữa ở đâu;

Đây là mức trung bình có trọng số;

Fi là số lượng các giá trị.

3. Tính mô men tâm bậc ba bằng công thức:

giá trị của khoảng giữa ở đâu; - đây là giá trị trung bình có trọng số; - số fi của các giá trị.

4. Tính mô men tâm bậc 4 bằng công thức:

giá trị của khoảng giữa ở đâu; - đây là giá trị trung bình có trọng số; - số fi của các giá trị.

Tính toán cho bảng 3.2

Tính toán cho bảng 3.4

1. Tính mô men tâm bậc nhất bằng công thức (7.1):

2. Tính mô men tâm bậc hai bằng công thức (7.2):

3. Tính mô men tâm bậc ba bằng công thức (7.3):

4. Tính mô men tâm bậc 4 bằng công thức (7.4):

Tính toán cho bảng 3.6

1. Tính mô men tâm bậc nhất bằng công thức (7.1):

2. Tính mô men tâm bậc hai bằng công thức (7.2):

3. Tính mô men tâm bậc ba bằng công thức (7.3):

4. Tính mô men tâm bậc 4 bằng công thức (7.4):

Moment bậc 1, 2, 3, 4 được tính cho 3 bài toán. Trong đó cần có mô men bậc ba để tính toán sự bất đối xứng và mô men bậc bốn là cần thiết để tính toán độ nhọn.

TÍNH TOÁN PHÂN PHỐI BẤT ĐỐI XỨNG

Trong thực hành thống kê, có nhiều cách phân phối khác nhau. Có các loại đường cong phân phối sau:

· Đường cong một đỉnh: đối xứng, bất đối xứng vừa phải và cực kỳ bất đối xứng;

· Đường cong đa đỉnh.

Các quần thể đồng nhất, như một quy luật, được đặc trưng bởi sự phân bố một đỉnh. Multivertex cho thấy tính không đồng nhất của dân số đang được nghiên cứu. Sự xuất hiện của hai hoặc nhiều đỉnh khiến cần phải nhóm lại dữ liệu để xác định các nhóm đồng nhất hơn.

Tìm hiểu tổng quan phân phối liên quan đến việc đánh giá tính đồng nhất của nó, cũng như tính toán các chỉ số về sự bất đối xứng và độ nhọn. Đối với phân phối đối xứng, tần số của hai tùy chọn bất kỳ nằm ở hai bên của trung tâm phân phối đều bằng nhau. Giá trị trung bình, mốt và trung vị được tính cho các phân bố như vậy cũng bằng nhau.

Trong một nghiên cứu so sánh về sự bất đối xứng của một số phân bố với các đơn vị đo lường khác nhau, nó được tính toán chỉ số tương đối sự bất đối xứng():

trung bình có trọng số ở đâu; Mo-thời trang; - độ phân tán theo trọng số bình phương trung bình gốc; Tôi-trung bình.

Giá trị của nó có thể dương hoặc âm. Trong trường hợp đầu tiên Chúng ta đang nói về về sự bất đối xứng bên phải, và trong phần thứ hai - về sự bất đối xứng bên trái.

Với sự bất đối xứng bên phải Mo>Me >x. Được sử dụng rộng rãi nhất (như một chỉ báo về sự bất đối xứng) là tỷ lệ của mômen trung tâm bậc ba với độ lệch chuẩn của một chuỗi lập phương đã cho:

đâu là khoảnh khắc trung tâm bậc ba; - độ lệch chuẩn lập phương.

Việc sử dụng chỉ báo này giúp xác định không chỉ mức độ bất đối xứng mà còn kiểm tra sự hiện diện của nó trong dân số. Người ta thường chấp nhận rằng độ lệch lớn hơn 0,5 (bất kể dấu nào) được coi là đáng kể; nếu nó nhỏ hơn 0,25 thì không đáng kể.

Việc đánh giá tính trọng yếu được dựa trên mức trung bình lỗi vuông, hệ số bất đối xứng (), phụ thuộc vào số lượng quan sát (n) và được tính theo công thức:

trong đó n là số lượng quan sát.

Trong trường hợp này, sự bất đối xứng là đáng kể và sự phân bố của đặc điểm trong tổng thể là không đối xứng. Mặt khác, sự bất đối xứng là không đáng kể và sự hiện diện của nó có thể do các trường hợp ngẫu nhiên gây ra.

Tính toán cho bảng 3.2 Phân nhóm dân số theo trung bình hàng tháng tiền lương, chà xát.

Bên trái, sự bất đối xứng đáng kể.

Tính toán cho bảng 3.4 Nhóm các cửa hàng theo doanh thu bán lẻ, triệu rúp.

1. Hãy xác định sự bất đối xứng bằng công thức (7.5):

Bên phải, bất đối xứng đáng kể.

Tính toán cho bảng 3.6 Phân nhóm các tổ chức vận tải theo doanh thu vận chuyển hàng hóa sử dụng chung(triệu t.km)

1. Hãy xác định sự bất đối xứng bằng công thức (7.5):

Bên phải, hơi bất đối xứng.

TÍNH TOÁN KURTESS PHÂN PHỐI

Đối với phân bố đối xứng, chỉ số kurtosis () có thể được tính:

đâu là khoảnh khắc trung tâm bậc bốn; - độ lệch chuẩn lũy thừa bậc bốn.

Tính toán cho bảng 3.2 Phân nhóm dân số theo mức lương trung bình hàng tháng, chà.

Tính toán cho bảng 3.4 Nhóm các cửa hàng theo doanh thu bán lẻ, triệu rúp.

Hãy tính chỉ số kurtosis bằng công thức (7.7)

Phân phối đỉnh điểm.

Tính toán cho bảng 3.6 Phân nhóm các tổ chức vận tải theo doanh thu vận chuyển hàng hóa của phương tiện giao thông công cộng (triệu tấn km)

Hãy tính chỉ số kurtosis bằng công thức (7.7)

Phân phối đỉnh phẳng.

ĐÁNH GIÁ SỰ ĐỒNG ĐỒNG CỦA DÂN SỐ

Đánh giá tính đồng nhất cho bảng 3.2 Phân nhóm dân số theo mức lương trung bình hàng tháng, chà.

Cần lưu ý rằng mặc dù các chỉ số bất đối xứng và độ nhọn chỉ mô tả trực tiếp hình thức phân bố của đặc điểm trong tổng thể đang được nghiên cứu, định nghĩa của chúng không chỉ có ý nghĩa mô tả. Độ lệch và độ nhọn thường cung cấp hướng dẫn cụ thể cho nghiên cứu sâu hơn xã hội - hiện tượng kinh tế. Kết quả thu được cho thấy sự hiện diện của sự bất đối xứng có ý nghĩa về độ lớn và bản chất âm; cần lưu ý rằng sự bất đối xứng là về bên trái. Ngoài ra, dân số có sự phân bố đỉnh phẳng.

Đánh giá tính đồng nhất cho bảng 3.4 Nhóm các cửa hàng theo doanh thu bán lẻ, triệu rúp.

Kết quả thu được cho thấy sự hiện diện của sự bất đối xứng có ý nghĩa về độ lớn và tính chất dương; cần lưu ý rằng sự bất đối xứng là về bên phải. Và dân số cũng có sự phân bố đỉnh nhọn.

Đánh giá tính đồng nhất cho bảng 3.6 Phân nhóm các tổ chức vận tải theo doanh thu vận chuyển hàng hóa của phương tiện giao thông công cộng (triệu tấn km)

Kết quả thu được cho thấy sự hiện diện của sự bất đối xứng có độ lớn không đáng kể và có tính chất dương; cần lưu ý rằng sự bất đối xứng là về bên phải. Ngoài ra, dân số có sự phân bố đỉnh phẳng.