Phương trình có nghĩa là gì. Phương trình

Một phương trình là gì?

Tất nhiên, những người bước những bước đầu tiên vào đại số, yêu cầu trình bày tài liệu có trật tự nhất. Do đó, trong bài viết về phương trình là gì, chúng tôi sẽ không chỉ đưa ra định nghĩa mà còn đưa ra nhiều cách phân loại phương trình với các ví dụ.

Phương trình là gì: khái niệm chung

Vì vậy, một phương trình là một loại bình đẳng với một ẩn số, được ký hiệu bằng một chữ cái Latinh. Hơn nữa, giá trị số của chữ cái này, cho phép bạn nhận được đẳng thức chính xác, được gọi là căn của phương trình. Bạn có thể đọc thêm về điều này trong bài viết của chúng tôi, nhưng chúng tôi sẽ tiếp tục nói về chính các phương trình. Các đối số của phương trình (hoặc các biến) là ẩn số, và nghiệm của phương trình là việc tìm ra tất cả các nghiệm nguyên của nó hoặc không có nghiệm nguyên.

Các loại phương trình

Các phương trình được chia thành hai nhóm lớn: đại số và siêu nghiệm.

Phương trình đại số là phương trình trong đó chỉ các phép toán đại số được sử dụng để tìm căn của phương trình - 4 số học, cũng như nâng lên thành lũy thừa và rút ra căn tự nhiên.
Một phương trình được gọi là siêu nghiệm, trong đó các hàm phi đại số được sử dụng để tìm nghiệm nguyên: ví dụ, lượng giác, logarit và các hàm khác.

Trong số các phương trình đại số, cũng có:

số nguyên - với cả hai phần bao gồm các biểu thức đại số nguyên liên quan đến ẩn số;
fractional - chứa các biểu thức đại số nguyên ở tử số và mẫu số;
vô tỉ - biểu thức đại số ở đây dưới dấu của căn.

Cũng lưu ý rằng các phương trình phân số và vô tỷ có thể được rút gọn để giải toàn bộ phương trình.

Các phương trình siêu nghiệm được chia nhỏ thành:

mũ - đây là những phương trình có chứa một biến trong số mũ. Chúng được giải bằng cách chuyển tới một cơ số hoặc số mũ, lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc, tính thừa và theo một số cách khác;
logarit - phương trình với logarit, nghĩa là, những phương trình như vậy trong đó ẩn số nằm bên trong chính logarit. Việc giải các phương trình như vậy là rất khó (không giống như hầu hết các phương trình đại số), vì điều này đòi hỏi một nền tảng toán học vững chắc. Điều quan trọng nhất ở đây là chuyển từ phương trình có logarit sang phương trình không có chúng, nghĩa là đơn giản hóa phương trình (phương pháp loại bỏ logarit này được gọi là chiết áp). Tất nhiên, chỉ có thể xác định phương trình logarit nếu chúng có các cơ số giống hệt nhau và không có hệ số;
lượng giác - đây là những phương trình với các biến dưới dấu hiệu của các hàm lượng giác. Giải pháp của họ yêu cầu một sự thành thạo ban đầu về các hàm lượng giác;
phương trình hỗn hợp là phương trình phân biệt với các phần thuộc các loại khác nhau (ví dụ, với các phần của parabol và elliptic hoặc elliptic và hyperbol, v.v.).

Đối với việc phân loại theo số ẩn số, mọi thứ ở đây rất đơn giản: chúng phân biệt giữa các phương trình với ẩn số một, hai, ba, v.v. Cũng có một cách phân loại khác, đó là dựa trên mức độ nằm ở phía bên trái của đa thức. Dựa trên cơ sở này, người ta phân biệt được phương trình tuyến tính, bậc hai và bậc ba. Phương trình tuyến tính cũng có thể được gọi là phương trình bậc 1, bậc hai - bậc 2 và bậc ba, tương ứng. Bây giờ chúng ta đưa ra các ví dụ về phương trình của một nhóm cụ thể.

Ví dụ về các loại phương trình

Ví dụ về phương trình đại số:

ax + b = 0
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0
(a không bằng 0)

Ví dụ về phương trình siêu nghiệm:

cos x = x lg x = x − 5 2 x = lgx + x 5 +40

Ví dụ về phương trình số nguyên:

(2 + x) 2 = (2 + x) (55x-4) (x2-12x + 10) 4 = (3x + 10) 4 (4x2 + 3x-10) 2 = 9x4

Ví dụ về phương trình phân số:

15x + - = 5x - 17x

Một ví dụ về phương trình vô tỉ:

√2kf (x) = g (x)

Ví dụ về phương trình tuyến tính:

2x + 7 = 0 x - 3 = 2 - 4x 2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Ví dụ về phương trình bậc hai:

x 2 + 5x − 7 = 0 3x 2 + 5x − 7 = 0 11x 2 −7x + 3 = 0

Ví dụ về phương trình bậc ba:

x 3 -9x 2 -46x + 120 = 0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Ví dụ về phương trình mũ:

5 x + 2 \ u003d 125 3 x 2 x \ u003d 8 x + 3 3 2 x + 4 3 x -5 \ u003d 0

Ví dụ về phương trình logarit:

log 2 x = 3 log 3 x = -1

Ví dụ về phương trình lượng giác:

3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3) sinx + cos 2 x + tg 3 x = ctg 4 x

Ví dụ về phương trình hỗn hợp:

log x (log 9 (4⋅3 x −3)) = 1 | 5x − 8 | + | 2⋅5x + 3 | = 13

Cần phải nói thêm rằng nhiều phương pháp được sử dụng để giải các loại phương trình khác nhau. Để giải được hầu hết mọi phương trình, bạn sẽ cần kiến thức không chỉ về đại số mà còn cả lượng giác, và thường là kiến thức rất sâu.

THIẾT BỊ
Phương trình là một quan hệ toán học biểu thị sự bằng nhau của hai biểu thức đại số. Nếu đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào có thể chấp nhận được của các ẩn số có trong nó, thì nó được gọi là đồng nhất; ví dụ, một quan hệ như (x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) giữ cho mọi giá trị của x. Để biểu thị danh tính, thường thay vì dấu bằng thông thường = họ viết dấu є, được đọc là "giống nhau". Định danh được sử dụng trong đại số khi viết nhân tử của đa thức (như trong ví dụ trên). Chúng cũng xuất hiện trong lượng giác với các tỷ lệ như sin2x + cos2x = 1, và trong trường hợp chung, chúng biểu thị mối quan hệ chính thức giữa hai biểu thức toán học dường như khác nhau. Nếu một phương trình chứa biến x chỉ chứa các giá trị nhất định của x chứ không phải cho tất cả các giá trị của x, như trong trường hợp đồng nhất, thì có thể hữu ích khi xác định các giá trị đó của x mà phương trình là hợp lệ. Các giá trị như vậy của x được gọi là nghiệm của phương trình. Ví dụ, số 5 là căn của phương trình 2x + 7 = 17. Phương trình là công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán thực tế. Ngôn ngữ chính xác của toán học giúp nó có thể diễn đạt một cách đơn giản các sự kiện và mối quan hệ mà khi được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, có vẻ khó hiểu và phức tạp. Các đại lượng chưa biết, được biểu thị trong bài toán bằng các ký hiệu, ví dụ x, có thể được tìm thấy bằng cách xây dựng bài toán bằng ngôn ngữ toán học dưới dạng phương trình. Các phương pháp giải phương trình chủ yếu là chủ đề của nhánh toán học đó được gọi là lý thuyết về phương trình.
CÁC LOẠI THIẾT BỊ
Phương trình đại số. Phương trình có dạng fn = 0, trong đó fn là một đa thức trong một hoặc nhiều biến, được gọi là phương trình đại số. Đa thức là một biểu thức có dạng fn = a0 xiyj ... vk + a1 xlym ... vn + ј + asxpyq ... vr, trong đó x, y, ..., v là các biến và i, j, ..., r - số mũ (số nguyên không âm). Đa thức một biến được viết như sau: f (x) = a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an hoặc trong trường hợp cụ thể là 3x4 - x3 + 2x2 + 4x - 1. An phương trình đại số với một ẩn số là bất phương trình có dạng f (x) = 0. Nếu a0 bằng 0 thì n được gọi là hoành độ của phương trình. Ví dụ, 2x + 3 = 0 là một phương trình bậc nhất; phương trình bậc nhất được gọi là tuyến tính vì đồ thị của hàm số y \ u003d ax + b trông giống như một đường thẳng. Phương trình bậc hai được gọi là bậc hai, và phương trình bậc ba được gọi là bậc ba. Các phương trình ở bậc cao hơn có tên tương tự.
Phương trình siêu nghiệm. Các phương trình chứa các hàm siêu việt, chẳng hạn như hàm logarit, hàm mũ hoặc hàm lượng giác, được gọi là siêu việt. Các phương trình sau đây là một ví dụ:

Trong đó lg là logarit cơ số 10.
Phương trình vi phân. Vì vậy, được gọi là phương trình chứa một hoặc nhiều hàm và các đạo hàm hoặc vi phân của chúng. Phương trình vi phân đã được chứng minh là một phương tiện đặc biệt có giá trị để xây dựng chính xác các quy luật tự nhiên.
Tích phân phương trình. Các phương trình chứa một hàm chưa biết dưới dấu tích phân, ví dụ, f (s) = tK (s, t) f (t) dt, trong đó f (s) và K (s, t) được cho và f (t) là được tìm thấy.
Phương trình diophantine. Phương trình Diophantine là một phương trình đại số chứa hai ẩn số trở lên với hệ số nguyên, nghiệm của chúng được tìm ở dạng số nguyên hoặc số hữu tỉ. Chẳng hạn, phương trình 3x - 5y = 1 có nghiệm là x = 7, y = 4; Nói chung, nghiệm của nó là các số nguyên có dạng x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
GIẢI PHÁP CỔNG ĐẠI SỐ
Đối với tất cả các dạng phương trình được liệt kê ở trên, không có phương pháp giải chung nào. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, đặc biệt là đối với các phương trình đại số thuộc một loại nào đó, có một lý thuyết khá đầy đủ về nghiệm của chúng.
Các phương trình tuyến tính. Những phương trình đơn giản này được giải bằng cách rút gọn chúng thành một phương trình tương đương thể hiện trực tiếp giá trị của ẩn số. Ví dụ, phương trình x + 2 = 7 có thể được rút gọn thành phương trình tương đương x = 5 bằng cách trừ đi số 2 ở vế phải và vế trái. Các bước liên quan đến việc rút gọn một phương trình đơn giản như x + 2 = 7 thành một phương trình tương đương dựa trên việc sử dụng bốn tiên đề. 1. Nếu tăng các giá trị bằng nhau lên cùng một số thì kết quả sẽ bằng nhau. 2. Nếu cùng một số bị trừ đi các giá trị bằng nhau thì kết quả sẽ bằng nhau. 3. Nếu các giá trị bằng nhau được nhân với cùng một số, thì kết quả sẽ bằng nhau. 4. Nếu các giá trị bằng nhau được chia cho cùng một số, thì kết quả sẽ bằng nhau. Ví dụ, để giải phương trình 2x + 5 = 15, chúng ta sử dụng Tiên đề 2 và trừ số 5 ở vế phải và vế trái, thu được phương trình tương đương 2x = 10. Sau đó, chúng ta sử dụng Tiên đề 4 và chia cả hai vế của kết quả. phương trình bằng 2, do đó, phương trình ban đầu sẽ được rút gọn về dạng x = 5, là nghiệm mong muốn.
Phương trình bậc hai. Có thể nhận được nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát ax2 + bx + c = 0 bằng cách sử dụng công thức

Do đó, có hai giải pháp, trong một trường hợp cụ thể có thể trùng hợp.
Các phương trình đại số khác. Các công thức tường minh, tương tự như công thức giải phương trình bậc hai, chỉ có thể viết cho phương trình bậc ba và bậc bốn. Nhưng ngay cả những công thức này cũng phức tạp và không phải lúc nào cũng giúp bạn dễ dàng tìm ra gốc rễ. Đối với các phương trình bậc năm hoặc cao hơn, đối với chúng, như N. Abel đã chứng minh vào năm 1824, không thể chỉ ra một công thức tổng quát có thể biểu thị nghiệm nguyên của phương trình thông qua các hệ số của nó bằng cách sử dụng các căn. Trong một số trường hợp đặc biệt, có thể dễ dàng giải các phương trình có bậc cao hơn bằng cách phân tích vế trái của chúng, tức là bao thanh toán nó ra. Ví dụ, phương trình x3 + 1 = 0 có thể được viết dưới dạng thừa số (x + 1) (x2 - x + 1) = 0. Ta tìm nghiệm bằng cách đặt mỗi thừa số bằng 0: Như vậy, nghiệm nguyên là x = -1,
Hệ phương trình tuyến tính. Hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số có thể được viết dưới dạng

Giải pháp của một hệ thống như vậy được tìm thấy bằng cách sử dụng các yếu tố quyết định

Nó có ý nghĩa nếu

>
>>">

>">
và
khác 0. Trong trường hợp này, không có nghiệm cho phương trình; các phương trình không nhất quán. Một ví dụ số của tình huống như vậy là hệ thống
">
Nếu D = 0 thì có thể xảy ra hai trường hợp. (1) Ít nhất một trong các yếu tố quyết định
và
khác 0. Trong trường hợp này, không có nghiệm cho phương trình; các phương trình không nhất quán. Một ví dụ số của tình huống như vậy là hệ thống

(2) Cả hai định thức đều bằng không. Trong trường hợp này, phương trình thứ hai chỉ đơn giản là bội số của phương trình thứ nhất và có vô số nghiệm. Lý thuyết tổng quát xét m phương trình tuyến tính với n biến:

Nếu m = n và ma trận (aij) không phải là số ít, thì nghiệm là duy nhất và có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng quy tắc Cramer:

trong đó Aji là phần bù đại số của phần tử aij trong ma trận (aij). Tổng quát hơn, có các định lý sau đây. Gọi r là hạng của ma trận (aij), s là hạng của ma trận giáp (aij; bi), nhận được từ aij bằng cách thêm vào một cột số bi. Khi đó: (1) nếu r = s thì có n - r nghiệm độc lập tuyến tính; (2) nếu r Xem thêmĐẠI SỐ HỌC.

Từ điển bách khoa Collier. - Xã hội cởi mở. 2000 .

Xem "EQUATIONS" là gì trong các từ điển khác:

Một phương trình đẳng thức có dạng hoặc, trong đó f và g là các hàm (nói chung là vectơ) của một hoặc nhiều đối số, cũng như bài toán tìm các giá trị như vậy của các đối số để đạt được đẳng thức này. Các giá trị có thể có \ u200b \ u200bof đối số có thể ... ... Wikipedia

phương trình- giải phương trình vi phân giải ... Khả năng tương thích bằng lời nói của các tên không khách quan

Các phương trình Euler-Lagrange (trong vật lý học còn có các phương trình Euler Lagrange hoặc các phương trình Lagrange) là các công thức cơ bản của phép tính biến thiên, được sử dụng để tìm điểm đứng yên và điểm cực trị của hàm. Đặc biệt, những ... ... Wikipedia

Cơ học liên tục Phương tiện liên tục Cơ học cổ điển ... Wikipedia

- (eng. RANS (Reynolds lấy trung bình của Navier Stokes)) Phương trình Navier Stokes (phương trình chuyển động của chất lỏng nhớt) được tính trung bình trên Reynolds. Dùng để mô tả dòng chảy hỗn loạn. Phương pháp tính trung bình Reynolds là thay thế ngẫu nhiên ... ... Wikipedia

Phương trình Euler Lagrange là công thức cơ bản của phép tính các biến thể, được sử dụng để tìm cực trị của hàm. Đặc biệt, các phương trình này được sử dụng rộng rãi trong các bài toán tối ưu hóa, và cùng với nguyên tắc hoạt động, ... ... Wikipedia

Phương trình Proca là sự tổng quát của các phương trình Maxwell, được thiết kế để mô tả các hạt có khối lượng lớn với spin 1. Phương trình Proca thường được viết ở dạng trong đó trường điện từ phản đối xứng tensor ... Wikipedia

Các nghiệm nguyên của phương trình không thay đổi nếu bất kỳ số hạng nào được chuyển từ phần này sang phần khác, đồng thời thay đổi dấu của nó. 3x - 8 \ u003d x - 14 3x - x \ u003d x \ u003d -6 x \ u003d -3

Phương trình chứa một biến dưới dấu của lôgarit được gọi là phương trình lôgarit. Nghiệm của một phương trình logarit có dạng dựa trên thực tế là phương trình đó tương đương với phương trình f (x) = g (x) trong các điều kiện bổ sung f (x) Theo định nghĩa của một logarit,

0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D> 0 thì phương trình có hai p D> 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D = 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất: Nếu D> 0 thì phương trình có hai p" class="link_thumb"> 23 !} Phương trình bậc hai có một ẩn số là phương trình có dạng Phân biệt của phương trình bậc hai là một hợp số Nếu D> 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D> 0, thì phương trình có hai nghiệm: 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D \ u003d 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D \ u003e 0 thì phương trình có hai p "> 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D \ u003d 0, thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D> 0 thì phương trình có hai nghiệm: "> 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D> 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D> 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất. phương trình có hai p "title =" (! LANG: Phương trình bậc hai với một ẩn số là phương trình có dạng Phân biệt của phương trình bậc hai là một hợp số Nếu D> 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D> 0 thì phương trình có hai p"> title="Phương trình bậc hai có một ẩn số là phương trình có dạng Phân biệt của phương trình bậc hai là một hợp số Nếu D> 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: Nếu D> 0, thì phương trình có hai p"> !}

Một phương trình lượng giác có dạng tất cả các phần tử của chúng có cùng hoành độ đối với sin và côsin được gọi là thuần nhất. Một phương trình thuần nhất có thể dễ dàng được rút gọn thành một phương trình nếu tất cả các số hạng của nó đều chia hết cho. Hơn nữa, nếu, thì phép chia như vậy sẽ không dẫn đến mất nghiệm, vì giá trị không thỏa mãn phương trình. Nếu, thì nó được lấy ra khỏi dấu ngoặc.

Một phương trình có dạng tương đương với một phương trình trong đó Phương pháp thường được sử dụng nhất là tất cả các số hạng của phương trình ở vế phải được chuyển sang vế trái; sau đó vế trái của phương trình được chia thành thừa số, đồng thời áp dụng các công thức khai triển hàm số lượng giác thành tích, công thức hạ bậc, công thức chuyển tích của hàm số lượng giác thành hệ thức.

Phương trình vô tỉ Phương trình chứa một dấu của căn bậc hai -B-Nâng cả hai phần của phương trình lên một lũy thừa. Khi cả hai vế của phương trình đều được nâng lên thành lũy thừa, sẽ thu được một phương trình không tương đương với phương trình ban đầu. Loại bỏ các gốc ngoại lai giúp kiểm tra trực tiếp các gốc thu được trong phương trình ban đầu, tức là Các gốc lần lượt được thay thế vào phương trình ban đầu và kiểm tra xem đẳng thức số có đúng không.

Bằng không của tích (thương) của hai biểu thức. Tích của hai biểu thức bằng 0 nếu ít nhất một trong các biểu thức bằng 0, còn biểu thức kia có nghĩa. Về mặt hình thức, điều này được viết như sau: Kí hiệu chính thức của thương của hai biểu thức bằng 0:

Phương trình chứa hai (ba) dấu của căn bậc hai Bình phương cả hai vế của phương trình. Đầu tiên, phương trình phải được biến đổi sao cho một phần có các nghiệm nguyên, và một phần khác - phần còn lại có các số hạng của phương trình ban đầu. Điều này được thực hiện nếu có hai gốc trong phương trình. Nếu có ba trong số chúng, thì hai trong số chúng được để lại trong một phần của phương trình, và phần ba được chuyển sang phần kia. Khi đó cả hai vế của phương trình đều được bình phương và thực hiện các phép biến đổi cần thiết. Hơn nữa, tất cả các số hạng của phương trình không chứa căn một lần nữa được chuyển sang một vế của phương trình, và căn còn lại (bây giờ nó là một!) Sang vế kia. Phương trình kết quả lại được bình phương và kết quả là phương trình không chứa gốc.

Phương trình chứa căn bậc ba trở lên. Khi giải phương trình có chứa căn bậc ba, có thể hữu ích khi sử dụng các phép đồng dạng sau: Giải phương trình: Giải: Nâng cả hai vế của phương trình này lên lũy thừa bậc ba và sử dụng đồng dạng trên: Lưu ý rằng biểu thức trong ngoặc bằng 1, theo sau từ các phương trình ban đầu. Tính đến điều này và đưa các thuật ngữ tương tự vào, chúng ta nhận được: Hãy mở dấu ngoặc, đưa ra các số hạng tương tự và giải phương trình bậc hai. Các gốc của nó là x = 5 và x = -25 / 2. Nếu chúng ta giả sử (theo định nghĩa) rằng căn bậc lẻ cũng có thể được rút ra từ các số âm, thì cả hai số thu được đều là nghiệm của phương trình ban đầu. Trả lời: 5, -25 / 2

Phương trình có tham số Với giá trị nào của a thì phương trình có hai nghiệm, trong đó lớn hơn 1 và nghiệm kia nhỏ hơn? Giải pháp: Hãy xem xét một hàm số: và xây dựng một bản phác thảo của đồ thị của nó. Khi a = 0, hàm số trở nên tuyến tính và không thể có hai giao điểm với trục Ox (nghiệm nguyên của phương trình y = 0). Với a> 0, đồ thị của hàm số là một parabol, các nhánh của chúng hướng lên trên. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của các gốc sao cho a trong trường hợp này là điều kiện duy nhất: Nếu a 0, đồ thị của hàm số là một parabol, các nhánh của chúng hướng lên trên. Điều kiện cần và đủ để tồn tại các gốc sao cho a trong trường hợp này là điều kiện duy nhất: Nếu a ">

Cách giải hệ phương trình bằng đồ thị Một hệ phương trình bao gồm hai hoặc nhiều phương trình đại số. Nghiệm của một hệ thống là một tập hợp các giá trị của các biến, khi thay thế, biến mỗi phương trình của hệ thống thành một dạng số hoặc chữ cái. Để giải quyết một hệ thống có nghĩa là tìm tất cả các giải pháp của nó hoặc chứng minh rằng không có giải pháp nào.

Phương pháp giải hệ phương trình bằng đồ thị Phương pháp giải hệ phương trình bằng đồ thị như sau: Xây dựng đồ thị của từng phương trình của hệ; Các giao điểm của các đồ thị được xác định; Câu trả lời được ghi lại: tọa độ của các giao điểm của các đồ thị được vẽ. Phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình trong hầu hết các trường hợp không đưa ra lời giải chính xác của hệ, nhưng nó có thể hữu ích cho việc minh họa trực quan lý luận.

Tương đương của phương trình Các phương trình tương đương (tương đương) được gọi là nếu tất cả các nghiệm của phương trình thứ nhất là nghiệm của phương trình thứ hai và tất cả các nghiệm của phương trình thứ hai là nghiệm của phương trình thứ nhất. Các phép biến đổi tương đương của một phương trình là các phép biến đổi dẫn đến một phương trình tương đương: 1) Cộng đồng thời một số bất kỳ vào cả hai phần của phương trình (cụ thể là chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác với dấu thay đổi) 2) Phép nhân ( và phép chia) của cả hai phần của phương trình đồng thời cho bất kỳ số nào khác 0. Ngoài ra, đối với phương trình trong miền số thực: 3) Nâng cả hai phần của phương trình lên lũy thừa bất kỳ 4) Nâng cả hai phần của phương trình, miễn là chúng không âm, thành lũy thừa chẵn

phương trình mũ. Một phương trình mũ là một phương trình trong đó ẩn số chỉ được bao gồm trong các số mũ ở cơ số không đổi. Một phương trình mũ ở dạng tương đương với một phương trình. Có hai phương pháp chính để giải phương trình mũ: 1) đưa phương trình về dạng, sau đó về dạng; 2) giới thiệu một biến mới. Ví dụ: Hãy giải phương trình:

Danh sách tài liệu tham khảo được sử dụng: D.I.Averyanov - "Cuốn sách tham khảo lớn cho ứng viên vào các trường đại học" 1998. V.K. Egerev - "Tuyển tập các vấn đề toán học dành cho ứng viên vào các trường đại học, do M.I. Skanavi chủ biên." 1997 Yu.N.Makarychev - “Đại số. Các chương bổ sung vào sách giáo khoa. lớp 8." 2003 Yu.N.Makarychev - “Đại số. Các chương bổ sung vào sách giáo khoa. Lớp 9." 2003

Bài thuyết trình được chuẩn bị bởi: Shmanova Victoria Deeva Alexandra, lớp 11, MOU "Trường Trung học Cơ sở 1", Shumikha, 2007. thông tin chi tiết qua điện thoại

Phương trình là một trong những chủ đề khó thành thạo nhất, nhưng chúng đủ mạnh để giải quyết hầu hết các vấn đề.

Với sự trợ giúp của các phương trình, các quá trình khác nhau xảy ra trong tự nhiên được mô tả. Phương trình được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học khác: trong kinh tế, vật lý, sinh học và hóa học.

Trong bài học này, chúng ta sẽ cố gắng hiểu bản chất của các phương trình đơn giản nhất, học cách biểu diễn ẩn số và giải một số phương trình. Khi bạn học các tài liệu mới, các phương trình sẽ trở nên phức tạp hơn, vì vậy việc hiểu các kiến thức cơ bản là rất quan trọng.

Kỹ năng sơ bộ Nội dung bài học

Một phương trình là gì?

Phương trình là một đẳng thức có chứa một biến có giá trị mà bạn muốn tìm. Giá trị này phải sao cho khi thay nó vào phương trình ban đầu, thì sẽ thu được đẳng thức số đúng.

Ví dụ, biểu thức 2 + 2 = 4 là một đẳng thức. Khi tính vế trái, ta nhận được đẳng thức số đúng là 4 = 4.

Nhưng bình đẳng 2 + x= 4 là một phương trình vì nó chứa một biến x, giá trị của ai có thể được tìm thấy. Giá trị phải sao cho khi thay giá trị này vào phương trình ban đầu, thì sẽ thu được đẳng thức số đúng.

Nói cách khác, chúng ta cần tìm một giá trị mà dấu bằng sẽ biện minh cho vị trí của nó - cạnh trái phải bằng cạnh phải.

Phương trình 2+ x= 4 là sơ cấp. Giá trị biến x bằng số 2. Mọi giá trị khác sẽ không bằng

Số 2 được cho là nguồn gốc hoặc nghiệm của phương trình 2 + x = 4

Nguồn gốc hoặc nghiệm của phương trình là giá trị của biến mà tại đó phương trình trở thành một đẳng thức số thực.

Có thể có một số rễ hoặc không có rễ nào cả. giải phương trình có nghĩa là tìm ra gốc rễ của nó hoặc để chứng minh rằng không có gốc rễ.

Biến trong phương trình còn được gọi là không xác định. Bạn có thể tự do gọi nó bất cứ điều gì bạn thích. Đây là những từ đồng nghĩa.

Ghi chú. Cụm từ "giải phương trình" tự nó nói lên điều đó. Để giải một phương trình có nghĩa là "cân bằng" một phương trình — làm cho nó cân bằng sao cho bên trái bằng bên phải.

Thể hiện một trong những điều khoản khác

Theo truyền thống, việc nghiên cứu các phương trình bắt đầu bằng việc học cách diễn đạt một số có trong đẳng thức dưới dạng một số khác. Chúng ta đừng phá vỡ truyền thống này và hãy làm như vậy.

Hãy xem xét biểu thức sau:

8 + 2

Biểu thức này là tổng của các số 8 và 2. Giá trị của biểu thức này là 10

8 + 2 = 10

Chúng tôi có sự bình đẳng. Bây giờ bạn có thể biểu thị bất kỳ số nào từ đẳng thức này dưới dạng các số khác có trong cùng đẳng thức. Ví dụ, hãy diễn đạt số 2.

Để diễn đạt số 2, bạn cần đặt câu hỏi: “cần phải làm gì với số 10 và số 8 để được số 2.”. Rõ ràng là để có được số 2, bạn cần phải trừ số 8 với số 10.

Vì vậy chúng tôi làm. Chúng ta viết ra số 2 và thông qua dấu bằng, chúng ta nói rằng để có được số 2 này, chúng ta đã trừ số 8 cho số 10:

2 = 10 − 8

Chúng tôi biểu diễn số 2 từ phương trình 8 + 2 = 10. Như bạn có thể thấy từ ví dụ, không có gì phức tạp về điều này.

Khi giải phương trình, đặc biệt là khi biểu thị một số dưới dạng số khác, ta có thể thay dấu bằng bằng từ " có" . Điều này phải được thực hiện trong tinh thần, và không phải trong chính biểu thức.

Vì vậy, biểu diễn số 2 từ đẳng thức 8 + 2 = 10, ta có đẳng thức 2 = 10 - 8. Phương trình này có thể được đọc như sau:

2 có 10 − 8

Đó là, dấu hiệu = được thay thế bằng từ "là". Hơn nữa, đẳng thức 2 = 10 - 8 có thể được dịch từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ chính thức của con người. Sau đó, nó có thể được đọc như thế này:

Số 2 có sự khác biệt giữa 10 và 8

Số 2 có sự khác biệt giữa số 10 và số 8.

Nhưng chúng ta sẽ tự giới hạn việc thay thế dấu bằng bằng từ “là”, và không phải lúc nào chúng ta cũng làm điều này. Các biểu thức cơ bản có thể được hiểu mà không cần dịch ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ của con người.

Hãy trả lại phương trình kết quả 2 = 10 - 8 về trạng thái ban đầu:

8 + 2 = 10

Lần này hãy biểu diễn số 8. Với các số còn lại ta phải làm như thế nào để được số 8? Đúng rồi bạn cần trừ số 2 cho số 10.

8 = 10 − 2

Hãy trả lại phương trình kết quả 8 = 10 - 2 về trạng thái ban đầu:

8 + 2 = 10

Lần này chúng ta sẽ thể hiện số 10. Nhưng hóa ra số mười không cần phải được thể hiện, vì nó đã được thể hiện rồi. Chỉ cần hoán đổi phần bên trái và bên phải là đủ, sau đó chúng tôi nhận được những gì chúng tôi cần:

10 = 8 + 2

Ví dụ 2. Xét đẳng thức 8 - 2 = 6

Ta biểu thị số 8 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 8, phải thêm hai số còn lại:

8 = 6 + 2

Hãy trả lại phương trình kết quả 8 = 6 + 2 về trạng thái ban đầu:

8 − 2 = 6

Chúng ta biểu thị số 2 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 2, chúng ta cần lấy 6 trừ đi 8

2 = 8 − 6

Ví dụ 3. Xét phương trình 3 × 2 = 6

Biểu thị số 3. Để biểu thị số 3, bạn cần chia 6 cho 2

Hãy trả lại bình đẳng kết quả về trạng thái ban đầu của nó:

3 x 2 = 6

Hãy biểu diễn số 2 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 2, bạn cần chia 3 cho 6

Ví dụ 4. Hãy xem xét sự bình đẳng

Chúng ta biểu thị số 15 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 15, bạn cần nhân các số 3 và 5

15 = 3 x 5

Hãy trả lại phương trình kết quả 15 = 3 × 5 về trạng thái ban đầu:

Chúng ta biểu thị số 5 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 5, bạn cần chia 15 cho 3

Quy tắc tìm ẩn số

Hãy xem xét một số quy tắc để tìm ẩn số. Có lẽ chúng đã quen thuộc với bạn, nhưng bạn không cần phải lặp lại chúng một lần nữa. Trong tương lai, chúng có thể bị lãng quên, vì chúng ta sẽ học cách giải các phương trình mà không áp dụng các quy tắc này.

Hãy quay lại ví dụ đầu tiên, mà chúng ta đã xem xét trong chủ đề trước, trong đó trong phương trình 8 + 2 = 10, nó được yêu cầu để biểu thị số 2.

Trong phương trình 8 + 2 = 10, các số 8 và 2 là các số hạng, và số 10 là tổng.

Để thể hiện số 2, chúng tôi đã làm như sau:

2 = 10 − 8

Tức là, trừ 8 với tổng của 10.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 8 + 2 = 10, thay vì số 2, có một biến x

8 + x = 10

Trong trường hợp này, phương trình 8 + 2 = 10 trở thành phương trình 8 + x= 10 và biến x thuật ngữ không xác định

Nhiệm vụ của chúng ta là tìm số hạng chưa biết này, nghĩa là giải phương trình 8 + x= 10. Để tìm thuật ngữ không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số hạng chưa biết, lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

Về cơ bản, đó là những gì chúng tôi đã làm khi chúng tôi biểu thị hai trong phương trình 8 + 2 = 10. Để biểu thị số hạng 2, chúng tôi lấy tổng 10 trừ đi một số hạng 8 khác

2 = 10 − 8

Và bây giờ để tìm thuật ngữ chưa biết x, chúng ta phải lấy tổng 10 trừ số hạng 8 đã biết:

x = 10 − 8

Nếu bạn tính vế phải của đẳng thức kết quả, thì bạn có thể tìm ra biến đó bằng x

x = 2

Chúng tôi đã giải quyết phương trình. Giá trị biến x bằng 2. Để kiểm tra giá trị của một biến x gửi đến phương trình ban đầu 8 + x= 10 và thay thế cho x. Bạn nên làm điều này với bất kỳ phương trình đã giải nào, vì bạn không thể chắc chắn rằng phương trình được giải một cách chính xác:

Kết quả là

Quy tắc tương tự sẽ được áp dụng nếu số hạng chưa biết là số 8 đầu tiên.

x + 2 = 10

Trong phương trình này x là số hạng chưa biết, 2 là số hạng đã biết, 10 là tổng. Để tìm thuật ngữ không xác định x, bạn cần lấy tổng 10 trừ số hạng 2 đã biết

x = 10 − 2

x = 8

Hãy quay lại ví dụ thứ hai từ chủ đề trước, trong đó trong phương trình 8 - 2 = 6, yêu cầu biểu thị số 8.

Trong phương trình 8 - 2 = 6, số 8 là số dư, số 2 là số phụ, số 6 là hiệu

Để thể hiện số 8, chúng tôi đã làm như sau:

8 = 6 + 2

Tức là cộng hiệu số của 6 và số bị trừ 2.

Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 8 - 2 = 6, thay vì số 8, có một biến x

x − 2 = 6

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận vai trò của cái gọi là minuend không xác định

Để tìm giá trị tối thiểu không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm giá trị minuend không xác định, bạn cần phải thêm subtrahend vào sự khác biệt.

Đó là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 8 trong phương trình 8 - 2 = 6. Để thể hiện minuend 8, chúng tôi đã thêm subtrahend 2 với hiệu số của 6.

Và bây giờ, để tìm ra điểm tối thiểu không xác định x, chúng ta phải thêm chuỗi con 2 vào sự khác biệt 6

x = 6 + 2

Nếu bạn tính vế bên phải, thì bạn có thể tìm ra biến đó bằng x

x = 8

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 8 - 2 = 6, thay vì số 2, có một biến x

8 − x = 6

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò giao dịch con không xác định

Để tìm chuỗi con không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm giá trị con chưa biết, bạn cần trừ đi phần chênh lệch với giá trị nhỏ nhất.

Đây là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 2 trong phương trình 8 - 2 = 6. Để biểu thị số 2, chúng ta lấy hiệu số 8 trừ đi hiệu số 6.

Và bây giờ, để tìm chuỗi phụ không xác định x, bạn phải lấy lại hiệu số 6 trừ đi 8 trừ đi một lần nữa

x = 8 − 6

Tính vế phải và tìm giá trị x

x = 2

Hãy quay trở lại ví dụ thứ ba từ chủ đề trước, trong đó trong phương trình 3 × 2 = 6, chúng ta đã cố gắng biểu thị số 3.

Trong phương trình 3 × 2 = 6, số 3 là cấp số nhân, số 2 là cấp số nhân, số 6 là tích

Để thể hiện số 3, chúng tôi đã làm như sau:

Tức là, chia tích của 6 cho thừa số 2.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 3 × 2 = 6, thay vì số 3, có một biến x

x× 2 = 6

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò nhân và không xác định.

Để tìm số nhân chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm bội số chưa biết, bạn cần chia tích cho thừa số.

Đó là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 3 từ phương trình 3 × 2 = 6. Chúng tôi chia tích của 6 cho hệ số 2.

Và bây giờ để tìm số nhân chưa biết x, bạn cần chia tích của 6 cho hệ số 2.

Phép tính vế phải cho phép chúng ta tìm giá trị của biến x

x = 3

Quy tắc tương tự cũng được áp dụng nếu biến xđược đặt thay vì số nhân, không phải là cấp số nhân. Hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 3 × 2 = 6, thay vì số 2, có một biến x.

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò hệ số không xác định. Để tìm một thừa số chưa biết, điều tương tự được cung cấp như để tìm một cấp số nhân chưa biết, cụ thể là chia tích cho một thừa số đã biết:

Để tìm thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho cấp số nhân.

Đó là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 2 từ phương trình 3 × 2 = 6. Sau đó, để được số 2, chúng ta chia tích của 6 cho nhân và 3.

Và bây giờ để tìm ra nhân tố chưa biết x chúng tôi chia tích của 6 cho nhân của 3.

Tính vế phải của phương trình cho phép bạn tìm ra x bằng

x = 2

Số nhân và cấp số nhân với nhau được gọi là thừa số. Vì các quy tắc để tìm một cấp số nhân và một thừa số là giống nhau, chúng ta có thể xây dựng một quy tắc chung để tìm một thừa số chưa biết:

Để tìm hệ số chưa biết, bạn cần chia sản phẩm cho hệ số đã biết.

Ví dụ, hãy giải phương trình 9 × x= 18. Biến đổi x là một yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích 18 cho thừa số 9 đã biết

Hãy giải phương trình x× 3 = 27. Biến đổi x là một yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích 27 cho thừa số 3 đã biết

Hãy quay trở lại ví dụ thứ tư từ chủ đề trước, trong đó đẳng thức bắt buộc phải biểu thị số 15. Trong đẳng thức này, số 15 là số bị chia, số 5 là số chia, số 3 là thương.

Để thể hiện số 15, chúng tôi đã làm như sau:

15 = 3 x 5

Nghĩa là, nhân thương của 3 với ước của 5.

Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức, thay vì số 15, có một biến x

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò cổ tức không xác định.

Để tìm cổ tức không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân thương với số chia.

Đó là những gì chúng tôi đã làm khi thể hiện số 15 từ đẳng thức. Để biểu thị số 15, chúng ta đã nhân thương của 3 với ước của 5.

Và bây giờ, để tìm cổ tức không xác định x, bạn cần nhân thương của 3 với ước của 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức, thay vì số 5, có một biến x .

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò ước số không xác định.

Để tìm ước số chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Đó là những gì chúng tôi đã làm khi thể hiện số 5 từ đẳng thức. Để biểu thị số 5, chúng ta chia số bị chia 15 cho thương 3.

Và bây giờ để tìm ước số chưa biết x, bạn cần chia số cổ tức 15 cho thương số 3

Hãy để chúng tôi tính vế phải của đẳng thức kết quả. Vì vậy, chúng tôi tìm hiểu những gì biến bằng x .

x = 5

Vì vậy, để tìm ẩn số, chúng tôi đã nghiên cứu các quy tắc sau:

Để tìm số hạng chưa biết, bạn cần lấy tổng trừ số hạng đã biết;
Để tìm giá trị nhỏ nhất không xác định, bạn cần thêm giá trị con vào phần chênh lệch;
Để tìm giá trị con chưa biết, bạn cần trừ đi phần chênh lệch với giá trị nhỏ nhất;
Để tìm bội chưa biết, bạn cần chia tích cho thừa số;
Để tìm thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho cấp số nhân;
Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân thương với số chia;
Để tìm một số chia chưa biết, bạn cần chia số bị chia cho thương.

Các thành phần

Các thành phần mà chúng ta sẽ gọi là các số và biến có trong đẳng thức

Vì vậy, các thành phần của phép cộng là điều kiện và Tổng

Các thành phần trừ là minuend, số bị trừ và Sự khác biệt

Các thành phần của phép nhân là nhân và, hệ số và công việc

Các thành phần của phép chia là số bị chia, số bị chia và thương số.

Tùy thuộc vào thành phần mà chúng ta đang xử lý, các quy tắc tương ứng để tìm ẩn số sẽ được áp dụng. Chúng tôi đã nghiên cứu các quy tắc này trong chủ đề trước. Khi giải các phương trình, bạn nên biết các quy tắc này thuộc lòng.

ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 45+ x = 60

45 - kỳ hạn, x là số hạng chưa biết, 60 là tổng. Chúng tôi đang đối phó với các thành phần bổ sung. Chúng tôi nhắc lại rằng để tìm số hạng chưa biết, bạn cần lấy tổng trừ số hạng đã biết:

x = 60 − 45

Tính vế phải, nhận giá trị x bằng 15

x = 15

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 45 + x= 60 bằng 15.

Thông thường, thuật ngữ chưa biết phải được rút gọn thành một dạng mà nó có thể được diễn đạt.

Ví dụ 2. giải phương trình

Ở đây, không giống như ví dụ trước, thuật ngữ chưa biết không thể được biểu thị ngay lập tức, vì nó chứa hệ số 2. Nhiệm vụ của chúng ta là đưa phương trình này về dạng mà nó có thể biểu diễn x

Trong ví dụ này, chúng ta đang xử lý các thành phần của phép cộng - các số hạng và tổng. 2 x là số hạng thứ nhất, 4 là số hạng thứ hai, 8 là tổng.

Trong trường hợp này, thuật ngữ 2 x chứa một biến x. Sau khi tìm giá trị của biến x kỳ 2 x sẽ có một hình thức khác. Do đó, thuật ngữ 2 x hoàn toàn có thể được thực hiện cho các thuật ngữ không xác định:

Bây giờ chúng ta áp dụng quy tắc để tìm số hạng chưa biết. Lấy tổng trừ số hạng đã biết:

Hãy tính vế phải của phương trình kết quả:

Chúng tôi có một phương trình mới. Bây giờ chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân: số nhân và số nhân, và tích. 2 - số nhân, x- số nhân, 4 - sản phẩm

Đồng thời, biến x không chỉ là một yếu tố, mà còn là một yếu tố không xác định

Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích cho bội số và:

Tính vế phải, lấy giá trị của biến x

Để kiểm tra gốc được tìm thấy, hãy gửi nó đến phương trình ban đầu và thay thế x

Ví dụ 3. giải phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56

Thể hiện điều chưa biết x nó bị cấm. Trước tiên, bạn cần đưa phương trình này về dạng mà nó có thể được biểu diễn.

Chúng tôi trình bày ở phía bên trái của phương trình này:

Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. 28 - hệ số, x- số nhân, 56 - sản phẩm. Trong đó x là một yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho bội số và:

Từ đây x là 2

Phương trình tương đương

Trong ví dụ trước, khi giải phương trình 3x + 9x + 16x = 56 , chúng tôi đã đưa ra các điều khoản giống như ở bên trái của phương trình. Kết quả là một phương trình mới 28 x= 56. phương trình cũ 3x + 9x + 16x = 56 và kết quả là phương trình mới 28 x= 56 đã gọi phương trình tương đương bởi vì gốc rễ của chúng giống nhau.

Các phương trình được cho là tương đương nếu gốc của chúng giống nhau.

Hãy cùng kiểm tra nào. Đối với phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 chúng tôi tìm thấy căn bằng 2. Thay căn này trước vào phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 , và sau đó vào Công thức 28 x= 56, là kết quả của việc rút gọn các số hạng tương tự ở bên trái của phương trình trước đó. Chúng ta phải có được các số bằng nhau chính xác

Theo thứ tự của các hoạt động, phép nhân được thực hiện đầu tiên:

Thay căn số 2 vào phương trình thứ hai 28 x= 56

Chúng ta thấy rằng cả hai phương trình đều có cùng một nghiệm. Vì vậy, các phương trình 3x+ 9x+ 16x= 6 và 28 x= 56 thực sự là tương đương.

Để giải phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 chúng tôi đã sử dụng một trong những điều khoản - giảm lượt thích. Phép biến đổi đồng dạng đúng của phương trình cho phép chúng ta thu được một phương trình tương đương 28 x= 56, dễ giải hơn.

Trong số các phép biến đổi giống hệt nhau, hiện tại chúng ta chỉ có thể rút gọn phân số, đưa các số hạng giống nhau, lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc và cũng có thể mở ngoặc. Có những biến đổi khác mà bạn nên biết. Nhưng đối với một ý tưởng tổng quát về các phép biến đổi đồng dạng của phương trình, các chủ đề chúng ta đã nghiên cứu là khá đủ.

Hãy xem xét một số phép biến đổi cho phép chúng ta thu được một phương trình tương đương

Nếu bạn thêm cùng một số vào cả hai vế của phương trình, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho.

và tương tự:

Nếu lấy cùng một số bị trừ cho cả hai vế của phương trình, thì sẽ thu được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Nói cách khác, nghiệm nguyên của phương trình không thay đổi nếu cùng một số được thêm vào (hoặc trừ cả hai vế của) phương trình.

ví dụ 1. giải phương trình

Trừ số 10 cho cả hai vế của phương trình

Có phương trình 5 x= 10. Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm hệ số chưa biết x, bạn cần chia tích của 10 cho thừa số 5 đã biết.

và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 2

Chúng tôi đã có số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Giải phương trình chúng ta đã trừ số 10 ở cả hai vế của phương trình. Kết quả là một phương trình tương đương. Gốc của phương trình này, giống như các phương trình cũng bằng 2

Ví dụ 2. Giải phương trình 4 ( x+ 3) = 16

Trừ số 12 cho cả hai vế của phương trình

Bên trái sẽ là 4 x và ở bên phải số 4

Có phương trình 4 x= 4. Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm hệ số chưa biết x, bạn cần chia tích 4 cho hệ số 4 đã biết

Hãy quay lại phương trình ban đầu 4 ( x+ 3) = 16 và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 1

Chúng tôi đã có số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Giải phương trình 4 ( x+ 3) = 16 ta đã trừ số 12 ở cả hai vế của phương trình. Kết quả là, chúng tôi thu được một phương trình tương đương 4 x= 4. Căn của phương trình này, cũng như phương trình 4 ( x+ 3) = 16 cũng bằng 1

Ví dụ 3. giải phương trình

Hãy mở rộng dấu ngoặc ở bên trái của phương trình:

Hãy thêm số 8 vào cả hai vế của phương trình

Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong cả hai phần của phương trình:

Bên trái sẽ là 2 x và ở bên phải số 9

Trong phương trình kết quả 2 x= 9 chúng ta biểu thị thuật ngữ chưa biết x

Quay lại phương trình ban đầu và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 4,5

Chúng tôi đã có số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Giải phương trình chúng tôi đã thêm số 8 vào cả hai vế của phương trình. Kết quả là chúng tôi nhận được một phương trình tương đương. Gốc của phương trình này, giống như các phương trình cũng bằng 4,5

Quy tắc tiếp theo, cho phép bạn nhận được một phương trình tương đương, như sau

Nếu trong phương trình, chúng ta chuyển số hạng từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, thì chúng ta nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho.

Nghĩa là, nghiệm nguyên của phương trình sẽ không thay đổi nếu chúng ta chuyển số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình bằng cách thay đổi dấu của nó. Tính chất này là một trong những tính chất quan trọng nhất và là một trong những tính chất thường được sử dụng trong việc giải phương trình.

Hãy xem xét phương trình sau:

Căn của phương trình này là 2. Thay thế thay vì x gốc này và kiểm tra xem có đúng bằng số không

Nó chỉ ra sự bình đẳng đúng. Vì vậy, số 2 thực sự là căn của phương trình.

Bây giờ chúng ta hãy thử nghiệm với các số hạng của phương trình này, chuyển chúng từ phần này sang phần khác, thay đổi các dấu hiệu.

Ví dụ, thuật ngữ 3 x nằm ở phía bên trái của phương trình. Hãy di chuyển nó sang phía bên phải, thay đổi dấu hiệu thành ngược lại:

Nó bật ra phương trình 12 = 9x − 3x . ở bên phải của phương trình này:

x là một yếu tố chưa biết. Hãy tìm yếu tố đã biết này:

Từ đây x= 2. Như bạn có thể thấy, nghiệm nguyên của phương trình không thay đổi. Vậy phương trình 12 + 3 x = 9x và 12 = 9x − 3x là tương đương.

Trên thực tế, phép biến đổi này là một phương pháp đơn giản hóa của phép biến đổi trước đó, trong đó cùng một số được cộng (hoặc trừ) cho cả hai vế của phương trình.

Chúng tôi đã nói rằng trong phương trình 12 + 3 x = 9x kỳ 3 xđã được di chuyển sang phía bên phải bằng cách thay đổi dấu hiệu. Trong thực tế, điều sau đây đã xảy ra: số hạng 3 bị trừ khỏi cả hai vế của phương trình x

Sau đó, các số hạng tương tự được đưa ra ở phía bên trái và phương trình thu được 12 = 9x − 3x. Sau đó, các số hạng tương tự lại được đưa ra, nhưng ở vế phải, và phương trình 12 = 6 đã thu được x.

Nhưng cái gọi là "chuyển giao" thuận tiện hơn cho các phương trình như vậy, đó là lý do tại sao nó trở nên phổ biến như vậy. Khi giải phương trình, chúng ta sẽ thường sử dụng phép biến đổi cụ thể này.

Các phương trình 12 + 3 cũng tương đương x= 9x và 3x - 9x= −12 . Lần này trong phương trình 12 + 3 x= 9x thuật ngữ 12 được chuyển sang phía bên phải và thuật ngữ 9 x Qua bên trái. Không nên quên rằng các dấu hiệu của các điều khoản này đã được thay đổi trong quá trình chuyển nhượng

Quy tắc tiếp theo, cho phép bạn nhận được một phương trình tương đương, như sau:

Nếu cả hai phần của phương trình được nhân hoặc chia với cùng một số không bằng 0, thì sẽ thu được một phương trình tương đương với phần đã cho.

Nói cách khác, nghiệm nguyên của phương trình không thay đổi nếu nhân hoặc chia cả hai vế với cùng một số. Hành động này thường được sử dụng khi bạn cần giải một phương trình có chứa biểu thức phân số.

Đầu tiên, hãy xem xét các ví dụ trong đó cả hai vế của phương trình sẽ được nhân với cùng một số.

ví dụ 1. giải phương trình

Khi giải phương trình có chứa biểu thức phân số, thông thường đầu tiên là đơn giản hóa phương trình này.

Trong trường hợp này, chúng ta đang giải quyết một phương trình như vậy. Để đơn giản hóa phương trình này, cả hai vế có thể được nhân với 8:

Chúng tôi nhớ rằng đối với, bạn cần nhân tử số của một phân số đã cho với số này. Chúng ta có hai phân số và mỗi phân số được nhân với số 8. Nhiệm vụ của chúng ta là nhân tử số của các phân số với số 8 này

Bây giờ điều thú vị nhất xảy ra. Tử số và mẫu số của cả hai phân số đều chứa thừa số là 8, có thể giảm đi 8. Điều này sẽ cho phép chúng ta loại bỏ biểu thức phân số:

Kết quả là, phương trình đơn giản nhất vẫn là

Chà, thật dễ đoán rằng nghiệm nguyên của phương trình này là 4

x giá trị tìm thấy 4

Nó chỉ ra sự bình đẳng số đúng. Vì vậy, phương trình là đúng.

Khi giải phương trình này, chúng tôi nhân cả hai phần của nó với 8. Kết quả là chúng tôi có phương trình. Căn của phương trình này, giống như các phương trình, là 4. Vì vậy, các phương trình này là tương đương.

Số nhân mà cả hai phần của phương trình được nhân với nhau thường được viết trước một phần của phương trình, chứ không phải sau nó. Vì vậy, khi giải phương trình, chúng tôi nhân cả hai phần với hệ số 8 và được kết quả sau:

Từ điều này, căn của phương trình không thay đổi, nhưng nếu chúng ta làm điều này khi còn ở trường, chúng ta sẽ được nhận xét, vì trong đại số, thông thường là viết thừa số trước biểu thức mà nó được nhân. Do đó, nhân cả hai vế của phương trình với hệ số 8 được mong muốn viết lại như sau:

Ví dụ 2. giải phương trình

Ở bên trái, hệ số 15 có thể giảm đi 15 và ở bên phải, hệ số 15 và 5 có thể giảm đi 5

Hãy mở dấu ngoặc ở bên phải của phương trình:

Hãy di chuyển thuật ngữ x từ vế trái của phương trình sang vế phải bằng cách đổi dấu. Và số hạng 15 từ vế phải của phương trình sẽ được chuyển sang vế trái, một lần nữa đổi dấu:

Chúng tôi đưa ra các điều khoản tương tự trong cả hai phần, chúng tôi nhận được

Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Biến đổi x

Quay lại phương trình ban đầu và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 5

Nó chỉ ra sự bình đẳng số đúng. Vì vậy, phương trình là đúng. Khi giải phương trình này, chúng ta nhân cả hai vế với 15. Hơn nữa, thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng tôi thu được phương trình 10 = 2 x. Gốc của phương trình này, giống như các phương trình bằng 5. Vì vậy, các phương trình này là tương đương.

Ví dụ 3. giải phương trình

Ở phía bên trái, có thể giảm đi hai bộ ba, và phía bên phải sẽ bằng 18

Phương trình đơn giản nhất vẫn còn. Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Biến đổi x là một yếu tố chưa biết. Hãy tìm yếu tố đã biết này:

Hãy quay lại phương trình ban đầu và thay thế x giá trị tìm thấy 9

Nó chỉ ra sự bình đẳng số đúng. Vì vậy, phương trình là đúng.

Ví dụ 4. giải phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình với 6

Mở dấu ngoặc ở bên trái của phương trình. Ở phía bên phải, thừa số 6 có thể được nâng lên thành tử số:

Chúng tôi giảm trong cả hai phần của phương trình những gì có thể được giảm:

Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Chúng tôi sử dụng chuyển nhượng các điều khoản. Các điều khoản chứa điều không xác định x, chúng tôi nhóm ở bên trái của phương trình và các số hạng không có ẩn số - ở bên phải:

Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong cả hai phần:

Bây giờ chúng ta hãy tìm giá trị của biến x. Để làm điều này, chúng tôi chia tích 28 cho hệ số 7 đã biết

Từ đây x= 4.

Quay lại phương trình ban đầu và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 4

Nó chỉ ra sự bình đẳng số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Ví dụ 5. giải phương trình

Hãy mở dấu ngoặc trong cả hai phần của phương trình nếu có thể:

Nhân cả hai vế của phương trình với 15

Hãy mở dấu ngoặc trong cả hai phần của phương trình:

Hãy rút gọn trong cả hai phần của phương trình, những gì có thể được rút gọn:

Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Hãy mở ngoặc nếu có thể:

Chúng tôi sử dụng chuyển nhượng các điều khoản. Các số hạng chứa ẩn số được nhóm ở bên trái của phương trình và các số hạng không có ẩn số được nhóm ở bên phải. Đừng quên rằng trong quá trình chuyển nhượng, các điều khoản thay đổi dấu hiệu của chúng thành ngược lại:

Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong cả hai phần của phương trình:

Hãy tìm giá trị x

Trong câu trả lời kết quả, bạn có thể chọn toàn bộ:

Hãy quay lại phương trình ban đầu và thay thế x giá trị tìm thấy

Nó chỉ ra là một cách diễn đạt khá rườm rà. Hãy sử dụng các biến. Chúng tôi đặt phía bên trái của đẳng thức trong một biến Một, và vế phải của đẳng thức thành một biến B

Nhiệm vụ của chúng ta là đảm bảo rằng cạnh trái bằng với mặt phải. Nói cách khác, chứng minh đẳng thức A = B

Tìm giá trị của biểu thức trong biến A.

Giá trị biến NHƯNG bằng nhau. Bây giờ chúng ta hãy tìm giá trị của biến B. Đó là, giá trị của mặt phải của sự bình đẳng của chúng ta. Nếu nó bằng thì phương trình sẽ được giải đúng

Chúng ta thấy rằng giá trị của biến B, cũng như giá trị của biến A là. Điều này có nghĩa là bên trái bằng với bên phải. Từ đó chúng tôi kết luận rằng phương trình đã được giải đúng.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng không nhân cả hai vế của phương trình với cùng một số mà là chia.

Xem xét phương trình 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Chúng ta giải nó theo cách thông thường: chúng ta nhóm các số hạng có chứa ẩn số ở bên trái của phương trình và các số hạng không có ẩn số ở bên phải. Hơn nữa, thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau đã biết, chúng tôi tìm thấy giá trị x

Thay thế giá trị tìm được 2 thay vì x vào phương trình ban đầu:

Bây giờ chúng ta hãy thử tách tất cả các số hạng của phương trình 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 bằng một số nào đó. Chúng tôi lưu ý rằng tất cả các số hạng của phương trình này đều có một thừa số chung là 2. Chúng tôi chia mỗi số hạng cho nó:

Hãy giảm bớt trong mỗi thuật ngữ:

Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Chúng tôi giải phương trình này bằng cách sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau đã biết:

Chúng tôi đã có gốc 2. Vì vậy, các phương trình 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 và 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 là tương đương.

Chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số cho phép bạn giải phóng ẩn số khỏi hệ số. Trong ví dụ trước, khi chúng ta có phương trình 7 x= 14, chúng ta cần chia tích 14 cho thừa số đã biết 7. Nhưng nếu chúng ta giải phóng ẩn số khỏi hệ số 7 ở vế trái, thì ngay lập tức tìm được căn. Để làm điều này, chỉ cần chia cả hai phần cho 7

Chúng tôi cũng sẽ sử dụng phương pháp này thường xuyên.

Nhân với trừ một

Nếu cả hai vế của phương trình được nhân với trừ một, thì một phương trình tương đương với một phương trình đã cho sẽ thu được.

Quy tắc này tuân theo thực tế là khi nhân (hoặc chia) cả hai phần của phương trình với cùng một số, nghiệm của phương trình này không thay đổi. Điều này có nghĩa là căn sẽ không thay đổi nếu cả hai phần của nó đều được nhân với −1.

Quy tắc này cho phép bạn thay đổi dấu hiệu của tất cả các thành phần có trong phương trình. Nó dùng để làm gì? Một lần nữa, để có được một phương trình tương đương dễ giải hơn.

Xét phương trình. Căn thức của phương trình này là gì?

Hãy thêm số 5 vào cả hai vế của phương trình

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Và bây giờ chúng ta hãy nhớ về. Vế trái của phương trình là gì. Đây là tích của trừ một và biến x

Đó là, dấu trừ ở phía trước của biến x không tham chiếu đến chính biến x, nhưng đến đơn vị, chúng tôi không thấy, vì theo thói quen không ghi hệ số 1. Điều này có nghĩa là phương trình thực sự trông giống như sau:

Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm X, bạn cần chia tích −5 cho thừa số −1 đã biết.

hoặc chia cả hai vế của phương trình cho −1, điều này thậm chí còn dễ dàng hơn

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 5. Để kiểm tra, chúng tôi thay thế nó vào phương trình ban đầu. Đừng quên rằng trong phương trình ban đầu, số trừ đứng trước biến xđề cập đến một đơn vị vô hình

Nó chỉ ra sự bình đẳng số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Bây giờ chúng ta hãy thử nhân cả hai vế của phương trình với trừ một:

Sau khi mở ngoặc, biểu thức được hình thành ở phía bên trái và phía bên phải sẽ bằng 10

Căn của phương trình này, giống như phương trình, là 5

Vậy các phương trình là tương đương.

Ví dụ 2. giải phương trình

Trong phương trình này, tất cả các thành phần đều âm. Sẽ thuận tiện hơn khi làm việc với các thành phần dương hơn là với các thành phần âm, vì vậy chúng ta hãy thay đổi dấu hiệu của tất cả các thành phần có trong phương trình. Để làm điều này, hãy nhân cả hai vế của phương trình này với −1.

Rõ ràng là sau khi nhân với −1, bất kỳ số nào sẽ đổi dấu thành ngược lại. Do đó, quy trình nhân với −1 và mở ngoặc không được mô tả chi tiết, nhưng các thành phần của phương trình có dấu đối nghịch được viết ra ngay lập tức.

Vì vậy, phép nhân một phương trình với −1 có thể được viết chi tiết như sau:

hoặc bạn chỉ có thể thay đổi các dấu hiệu của tất cả các thành phần:

Nó sẽ giống nhau, nhưng sự khác biệt là chúng tôi sẽ tiết kiệm thời gian cho chính mình.

Vì vậy, nhân cả hai vế của phương trình với −1, ta được phương trình. Hãy giải phương trình này. Trừ số 4 cho cả hai phần và chia cả hai phần cho 3

Khi tìm thấy giá trị gốc, biến thường được viết ở bên trái và giá trị của nó ở bên phải, chúng ta đã làm như vậy.

Ví dụ 3. giải phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình với −1. Sau đó, tất cả các thành phần sẽ thay đổi các dấu hiệu của chúng thành ngược lại:

Trừ 2 cho cả hai vế của phương trình kết quả x và thêm các điều khoản tương tự:

Chúng tôi thêm sự thống nhất cho cả hai phần của phương trình và đưa ra các thuật ngữ như:

Bằng không

Gần đây, chúng ta đã học được rằng nếu trong một phương trình, chúng ta chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác bằng cách thay đổi dấu của nó, chúng ta sẽ nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho.

Và điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chuyển từ bộ phận này sang bộ phận khác không phải một thuật ngữ mà là tất cả các điều khoản? Đúng vậy, trong phần mà tất cả các điều khoản được lấy từ đó, số không sẽ vẫn còn. Nói cách khác, sẽ không còn gì cả.

Hãy lấy phương trình làm ví dụ. Chúng tôi giải phương trình này, như thường lệ - chúng tôi nhóm các số hạng chứa ẩn số trong một phần và để các số hạng không chứa ẩn số trong phần còn lại. Hơn nữa, thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau đã biết, chúng tôi tìm thấy giá trị của biến x

Bây giờ chúng ta hãy thử giải phương trình tương tự bằng cách cho tất cả các thành phần của nó bằng không. Để làm điều này, chúng tôi chuyển tất cả các điều khoản từ bên phải sang bên trái, thay đổi các dấu hiệu:

Dưới đây là các điều khoản tương tự ở phía bên trái:

Hãy cộng 77 vào cả hai phần và chia cả hai phần cho 7

Một thay thế cho các quy tắc tìm ẩn số

Rõ ràng, biết về các phép biến đổi đồng dạng của các phương trình, người ta không thể không ghi nhớ các quy tắc tìm ẩn số.

Ví dụ, để tìm ẩn số trong phương trình, chúng tôi chia tích 10 cho thừa số 2 đã biết

Nhưng nếu trong phương trình cả hai phần đều chia hết cho 2 thì ngay lập tức tìm được căn. Ở vế trái của phương trình, thừa số 2 ở tử số và thừa số 2 ở mẫu số sẽ giảm đi 2. Và vế phải sẽ bằng 5

Chúng tôi đã giải các phương trình có dạng bằng cách biểu thị số hạng chưa biết:

Nhưng bạn có thể sử dụng các phép biến đổi tương tự mà chúng ta đã nghiên cứu ngày hôm nay. Trong phương trình, số hạng 4 có thể được chuyển sang vế phải bằng cách đổi dấu:

Ở phía bên trái của phương trình, hai deuces sẽ được giảm bớt. Bên phải sẽ bằng 2. Do đó.

Hoặc bạn có thể trừ 4 cho cả hai vế của phương trình. Sau đó, bạn sẽ nhận được kết quả sau:

Trong trường hợp phương trình có dạng, sẽ thuận tiện hơn khi chia tích cho một thừa số đã biết. Hãy so sánh cả hai giải pháp:

Giải pháp đầu tiên ngắn hơn và gọn gàng hơn nhiều. Giải pháp thứ hai có thể được rút ngắn đáng kể nếu bạn thực hiện việc phân chia trong đầu.

Tuy nhiên, bạn cần phải biết cả hai phương pháp và chỉ sau đó sử dụng một trong những cách bạn thích nhất.

Khi có nhiều rễ

Một phương trình có thể có nhiều nghiệm. Ví dụ phương trình x(x + 9) = 0 có hai nghiệm là 0 và −9.

Trong phương trình x(x + 9) = 0 nó là cần thiết để tìm một giá trị như vậy x mà phía bên trái sẽ bằng không. Vế trái của phương trình này chứa các biểu thức x và (x + 9), đó là các yếu tố. Từ định luật sản phẩm, chúng ta biết rằng tích bằng 0 nếu ít nhất một trong các yếu tố bằng 0 (thừa số thứ nhất hoặc thứ hai).

Đó là, trong phương trình x(x + 9) = 0 bình đẳng sẽ đạt được nếu x sẽ bằng 0 hoặc (x + 9) sẽ bằng không.

x= 0 hoặc x + 9 = 0

Cho cả hai biểu thức này bằng 0, chúng ta có thể tìm thấy nghiệm nguyên của phương trình x(x + 9) = 0. Gốc đầu tiên, như có thể thấy từ ví dụ, được tìm thấy ngay lập tức. Để tìm căn bậc hai, bạn cần giải phương trình sơ cấp x+ 9 = 0. Dễ dàng đoán rằng nghiệm nguyên của phương trình này là −9. Kiểm tra cho thấy rằng gốc là chính xác:

−9 + 9 = 0

Ví dụ 2. giải phương trình

Phương trình này có hai nghiệm: 1 và 2. Vế trái của phương trình là tích của biểu thức ( x- 1) và ( x- 2). Và tích bằng 0 nếu ít nhất một trong các yếu tố bằng 0 (hoặc thừa số ( x- 1) hoặc hệ số ( x − 2) ).

Chúng ta hãy tìm nó x theo đó các biểu thức ( x- 1) hoặc ( x- 2) biến mất:

Chúng tôi thay thế các giá trị tìm được lần lượt vào phương trình ban đầu và đảm bảo rằng với các giá trị này, vế trái bằng 0:

Khi có vô số rễ

Một phương trình có thể có vô số nghiệm nguyên. Tức là, bằng cách thay một số bất kỳ vào một phương trình như vậy, chúng ta sẽ có được đẳng thức số đúng.

ví dụ 1. giải phương trình

Căn của phương trình này là một số bất kỳ. Nếu bạn mở dấu ngoặc ở bên trái của phương trình và mang theo các số hạng giống như vậy, thì bạn nhận được đẳng thức 14 \ u003d 14. Sự bình đẳng này sẽ đạt được cho bất kỳ x

Ví dụ 2. giải phương trình

Căn của phương trình này là một số bất kỳ. Nếu bạn mở dấu ngoặc ở phía bên trái của phương trình, bạn sẽ nhận được đẳng thức 10x + 12 = 10x + 12. Sự bình đẳng này sẽ đạt được cho bất kỳ x

Khi không có rễ

Nó cũng xảy ra rằng phương trình không có nghiệm nào cả, nghĩa là nó không có nghiệm. Ví dụ, phương trình không có nghiệm nguyên, vì với bất kỳ giá trị nào x, vế trái của phương trình sẽ không bằng vế phải. Ví dụ, hãy để. Khi đó phương trình sẽ có dạng sau

Ví dụ 2. giải phương trình

Hãy mở rộng dấu ngoặc ở bên trái của phương trình:

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Ta thấy rằng mặt trái không bằng mặt phải. Và vì vậy nó sẽ có giá trị bất kỳ y. Ví dụ, hãy y = 3 .

Phương trình chữ cái

Một phương trình không chỉ có thể chứa các số với các biến mà còn có thể chứa các chữ cái.

Ví dụ, công thức để tìm tốc độ là một phương trình chữ:

Phương trình này mô tả tốc độ của vật trong chuyển động có gia tốc đều.

Một kỹ năng hữu ích là khả năng diễn đạt bất kỳ thành phần nào có trong một phương trình chữ cái. Ví dụ, để xác định khoảng cách từ một phương trình, bạn cần biểu thị biến S .

Nhân cả hai vế của phương trình với t

Các biến ở bên phải t Giảm bằng t

Trong phương trình kết quả, phần bên trái và bên phải được hoán đổi cho nhau:

Chúng ta đã có được công thức tìm khoảng cách mà chúng ta đã nghiên cứu trước đó.

Hãy thử xác định thời gian từ phương trình. Để làm được điều này, bạn cần diễn đạt biến t .

Nhân cả hai vế của phương trình với t

Các biến ở bên phải t Giảm bằng t và viết lại những gì chúng tôi còn lại:

Trong phương trình kết quả v × t = s chia cả hai phần thành v

Các biến bên trái v Giảm bằng v và viết lại những gì chúng tôi còn lại:

Chúng ta đã có được công thức xác định thời gian mà chúng ta đã nghiên cứu trước đó.

Giả sử vận tốc của tàu là 50 km / h

v= 50 km / giờ

Và khoảng cách là 100 km

S= 100 km

Sau đó, bức thư sẽ có dạng sau

Từ phương trình này, bạn có thể tìm ra thời gian. Để làm được điều này, bạn cần có khả năng thể hiện biến t. Bạn có thể sử dụng quy tắc để tìm một ước số chưa biết bằng cách chia số bị chia cho thương số và do đó xác định giá trị của biến t

hoặc bạn có thể sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau. Đầu tiên nhân cả hai vế của phương trình với t

Sau đó chia cả hai phần cho 50

Ví dụ 2 x

Trừ cả hai vế của phương trình một

Chia cả hai vế của phương trình cho b

a + bx = c, sau đó chúng tôi sẽ có một giải pháp được thực hiện sẵn. Nó sẽ đủ để thay thế các giá trị cần thiết vào đó. Những giá trị đó sẽ được thay thế cho các chữ cái a, b, c gọi là thông số. Và các phương trình có dạng a + bx = c gọi là phương trình với các tham số. Tùy thuộc vào các thông số, gốc sẽ thay đổi.

Giải phương trình 2 + 4 x= 10. Nó trông giống như một phương trình theo nghĩa đen a + bx = c. Thay vì thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta có thể sử dụng một giải pháp làm sẵn. Hãy so sánh cả hai giải pháp:

Chúng ta thấy rằng giải pháp thứ hai đơn giản và ngắn gọn hơn nhiều.

Đối với các giải pháp hoàn thành, bạn cần phải đưa ra một nhận xét nhỏ. Tham số b không được bằng 0 (b ≠ 0), vì không được phép chia cho số 0.

Ví dụ 3. Cho một phương trình chữ. Biểu thị từ phương trình này x

Hãy mở dấu ngoặc trong cả hai phần của phương trình

Chúng tôi sử dụng chuyển nhượng các điều khoản. Các tham số có chứa một biến x, chúng tôi nhóm ở bên trái của phương trình và các tham số không có biến này - ở bên phải.

Ở phía bên trái, chúng tôi lấy ra yếu tố x

Chia cả hai phần thành một biểu thức a-b

Ở phía bên trái, tử số và mẫu số có thể được giảm bớt bằng a-b. Vì vậy, biến cuối cùng được biểu thị x

Bây giờ, nếu chúng ta bắt gặp một phương trình có dạng a (x - c) = b (x + d), sau đó chúng tôi sẽ có một giải pháp được thực hiện sẵn. Nó sẽ đủ để thay thế các giá trị cần thiết vào đó.

Giả sử chúng ta được đưa ra một phương trình 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Nó trông giống như một phương trình a (x - c) = b (x + d). Chúng tôi giải quyết nó theo hai cách: sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau và sử dụng một giải pháp có sẵn:

Để thuận tiện, chúng tôi trích xuất từ phương trình 4(x - 3) = 2(x+ 4) giá trị tham số một, b, c, d . Điều này sẽ cho phép chúng tôi không mắc sai lầm khi thay người:

Như trong ví dụ trước, mẫu số ở đây không được bằng 0 ( a - b ≠ 0). Nếu chúng ta bắt gặp một phương trình có dạng a (x - c) = b (x + d) trong đó các thông số một và b giống nhau, chúng ta có thể nói mà không cần giải rằng phương trình này không có nghiệm nguyên, vì hiệu của các số giống nhau bằng không.

Ví dụ, phương trình 2 (x - 3) = 2 (x + 4) là một phương trình có dạng a (x - c) = b (x + d). Trong phương trình 2 (x - 3) = 2 (x + 4) tùy chọn một và b như nhau. Nếu chúng ta bắt đầu giải nó, thì chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng vế trái sẽ không bằng vế phải:

Ví dụ 4. Cho một phương trình chữ. Biểu thị từ phương trình này x

Ta đưa vế trái của phương trình về một mẫu số chung:

Nhân cả hai bên với một

Ở bên trái x lấy nó ra khỏi dấu ngoặc

Chúng tôi chia cả hai phần cho biểu thức (1 - một)

Phương trình tuyến tính với một ẩn số

Các phương trình xét trong bài học này được gọi là phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số.

Nếu phương trình đã cho ở bậc nhất, không chứa phép chia cho ẩn số và cũng không chứa nghiệm nguyên của ẩn số, thì nó có thể được gọi là tuyến tính. Chúng tôi vẫn chưa học bằng cấp và gốc rễ, vì vậy để không làm phức tạp cuộc sống của chúng tôi, chúng tôi sẽ hiểu từ “tuyến tính” là “đơn giản”.

Hầu hết các phương trình được giải trong bài học này đều được rút gọn thành phương trình đơn giản nhất, trong đó tích phải chia cho một thừa số đã biết. Ví dụ, phương trình 2 ( x+ 3) = 16. Hãy giải quyết nó.

Hãy mở dấu ngoặc ở bên trái của phương trình, chúng ta nhận được 2 x+ 6 = 16. Hãy dời số hạng 6 sang vế phải bằng cách đổi dấu. Sau đó, chúng tôi nhận được 2 x= 16 - 6. Tính vế phải, ta được 2 x= 10. Để tìm x, chúng tôi chia sản phẩm 10 cho hệ số đã biết là 2. Do đó x = 5.

Phương trình 2 ( x+ 3) = 16 là tuyến tính. Nó rút gọn thành phương trình 2 x= 10, để tìm gốc mà cần phải chia tích cho một hệ số đã biết. Phương trình đơn giản này được gọi là phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số ở dạng chính tắc. Từ "canonical" đồng nghĩa với các từ "đơn giản" hoặc "bình thường".

Phương trình tuyến tính bậc nhất với một ẩn số ở dạng chính tắc được gọi là phương trình có dạng ax = b.

Phương trình 2 của chúng tôi x= 10 là một phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số ở dạng chính tắc. Phương trình này có bậc một, một ẩn số, nó không chứa phép chia cho ẩn số và không chứa nghiệm nguyên của ẩn số, và nó được trình bày ở dạng chính tắc, nghĩa là, ở dạng đơn giản nhất, dễ dàng xác định được giá trị x. Thay vì các tham số một và b Phương trình của chúng ta chứa các số 2 và 10. Nhưng một phương trình tương tự có thể chứa các số khác: dương, âm hoặc bằng không.

Nếu trong một phương trình tuyến tính một= 0 và b= 0 thì phương trình có vô số nghiệm. Thật vậy, nếu một là 0 và b bằng 0, thì phương trình tuyến tính cây rìu= b có dạng 0 x= 0. Đối với bất kỳ giá trị nào x mặt trái sẽ bằng mặt phải.

Nếu trong một phương trình tuyến tính một= 0 và b≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. Thật vậy, nếu một là 0 và b bằng một số khác 0, chẳng hạn như số 5, thì phương trình ax = b có dạng 0 x= 5. Phía bên trái sẽ là số 0 và phía bên phải là năm. Và số 0 không bằng năm.

Nếu trong một phương trình tuyến tính một≠ 0, và b bằng một số bất kỳ thì phương trình có một nghiệm nguyên. Nó được xác định bằng cách chia tham số b mỗi thông số một

Thật vậy, nếu một bằng một số khác 0, chẳng hạn như số 3, và b bằng một số nào đó, giả sử là số 6, thì phương trình sẽ có dạng.
Từ đây.

Có một dạng khác để viết một phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số. Nó trông như thế này: rìu - b= 0. Đây là phương trình tương tự như ax = b

Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm Vkontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới

Trong quá trình học toán ở trường, lần đầu tiên đứa trẻ nghe thấy thuật ngữ "phương trình". Đó là gì, chúng ta cùng thử tìm hiểu nhé. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét các dạng và phương pháp giải.

Toán học. Phương trình

Để bắt đầu, chúng tôi đề xuất giải quyết chính khái niệm, nó là gì? Như nhiều sách giáo khoa toán đã nói, một phương trình là một số biểu thức mà giữa đó luôn có một dấu bằng. Các biểu thức này chứa các chữ cái, cái gọi là biến, giá trị của chúng phải được tìm thấy.

Đây là một thuộc tính hệ thống thay đổi giá trị của nó. Một ví dụ điển hình về các biến là:

nhiệt độ không khí;
chiều cao của trẻ;
trọng lượng và như vậy.

Trong toán học, chúng được ký hiệu bằng các chữ cái, ví dụ, x, a, b, c ... Thông thường nhiệm vụ trong toán học như sau: tìm giá trị của phương trình. Điều này có nghĩa là bạn cần tìm giá trị của các biến này.

Đẳng cấp

Phương trình (nó là gì, chúng ta đã thảo luận trong đoạn trước) có thể ở dạng sau:

tuyến tính;
Quảng trường;
hình khối;
đại số;
siêu việt.

Để làm quen chi tiết hơn với tất cả các loại, chúng tôi sẽ xem xét từng loại riêng biệt.

Phương trình đường thẳng

Đây là kiểu đầu tiên mà học sinh được làm quen. Chúng được giải quyết khá nhanh chóng và dễ dàng. Vì vậy, một phương trình tuyến tính là gì? Đây là biểu thức có dạng: ax = s. Nó không rõ ràng lắm, vì vậy chúng ta hãy đưa ra một vài ví dụ: 2x = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

Hãy xem xét các ví dụ về phương trình. Để làm được điều này, một mặt chúng ta cần thu thập tất cả dữ liệu đã biết và mặt khác là dữ liệu chưa biết: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Các quy tắc cơ bản của toán học đã được sử dụng ở đây: a * c = e, từ đây c = e / a; a = đ / s. Để hoàn thành nghiệm của phương trình, chúng ta thực hiện một hành động (trong trường hợp của chúng ta là phép chia) x = 13; x = 8; x = 5. Đây là các ví dụ về phép nhân, bây giờ chúng ta hãy xem xét phép trừ và phép cộng: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Ta chuyển dữ liệu đã biết theo một hướng: x = 9-3; x = 20/10. Ta thực hiện thao tác cuối cùng: x = 6; x = 2.

Các biến thể của phương trình tuyến tính cũng có thể xảy ra, trong đó nhiều hơn một biến được sử dụng: 2x-2y = 4. Để giải, cần phải thêm 2y vào mỗi phần, ta được 2x-2y + 2y \ u003d 4-2y, như chúng ta nhận thấy, ở vế trái của dấu bằng -2y và + 2y bị giảm đi, trong khi chúng ta có: 2x \ u003d 4 -2u. Bước cuối cùng chia mỗi phần cho hai, ta được đáp số: x bằng hai trừ y.

Các vấn đề với phương trình được tìm thấy ngay cả trên giấy papyri của Ahmes. Đây là một trong những bài toán: số và phần thứ tư của nó cộng lại là 15. Để giải nó, chúng ta viết phương trình sau: x cộng với một phần tư của x bằng mười lăm. Ta xem thêm một ví dụ nữa là kết quả của lời giải ta được đáp số: x = 12. Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết theo một cách khác, cụ thể là người Ai Cập hay người ta gọi nó theo cách khác là phương pháp giả định. Giấy cói sử dụng giải pháp sau: lấy bốn và phần thứ tư của nó, tức là một. Tổng cộng họ cho năm, bây giờ phải chia mười lăm cho tổng, ta được ba, với hành động cuối cùng ta nhân ba với bốn. Chúng tôi nhận được câu trả lời: 12. Tại sao chúng tôi chia mười lăm cho năm trong giải pháp? Vì vậy, chúng tôi tìm ra bao nhiêu lần mười lăm, nghĩa là, kết quả mà chúng tôi cần nhận được nhỏ hơn năm. Vào thời Trung cổ, các vấn đề được giải quyết theo cách này, nó được gọi là phương pháp vị trí sai.

Phương trình bậc hai

Ngoài những ví dụ đã thảo luận trước đó, còn có những ví dụ khác. Những gì chính xác? Một phương trình bậc hai là gì? Chúng trông giống như ax 2 + bx + c = 0. Để giải quyết chúng, bạn cần làm quen với một số khái niệm và quy tắc.

Đầu tiên, bạn cần tìm số phân biệt bằng công thức: b 2 -4ac. Có ba giải pháp khả thi:

số phân biệt lớn hơn 0;
nhỏ hơn 0;
bằng không.

Trong lựa chọn đầu tiên, chúng ta có thể nhận được một câu trả lời từ hai căn, được tìm thấy bằng công thức: -b + - căn của số phân biệt chia cho hệ số thứ nhất nhân đôi, nghĩa là, 2a.

Trong trường hợp thứ hai, phương trình không có nghiệm. Trong trường hợp thứ ba, căn được tìm thấy bằng công thức: -b / 2a.

Hãy xem xét một ví dụ về phương trình bậc hai để làm quen chi tiết hơn: ba x bình phương trừ mười bốn x trừ năm bằng không. Để bắt đầu, như đã viết trước đó, chúng ta đang tìm số phân biệt, trong trường hợp của chúng ta là 256. Lưu ý rằng số kết quả lớn hơn 0, do đó, chúng ta sẽ nhận được một câu trả lời bao gồm hai căn. Chúng tôi thay thế phân biệt kết quả vào công thức tìm nghiệm nguyên. Kết quả là, ta có: x bằng năm và trừ đi một phần ba.

Các trường hợp đặc biệt trong phương trình bậc hai

Đây là những ví dụ trong đó một số giá trị bằng 0 (a, b hoặc c) và có thể nhiều hơn một.

Ví dụ, chúng ta hãy lấy phương trình sau, là một bậc hai: hai x bình phương bằng không, ở đây chúng ta thấy rằng b và c bằng không. Hãy thử giải nó, đối với điều này, chúng ta chia cả hai phần của phương trình cho hai, chúng ta có: x 2 \ u003d 0. Kết quả là, chúng tôi nhận được x = 0.

Một trường hợp khác là 16x 2 -9 = 0. Ở đây chỉ có b = 0. Chúng ta giải phương trình, chuyển hệ số tự do sang vế phải: 16x 2 \ u003d 9, bây giờ chúng ta chia mỗi phần cho mười sáu: x 2 \ u003d chín mười sáu. Vì chúng ta có x bình phương nên căn của 9/16 có thể là số âm hoặc số dương. Chúng ta viết câu trả lời như sau: x bằng cộng / trừ ba phần tư.

Một câu trả lời như vậy cũng có thể xảy ra, vì phương trình không có nghiệm nguyên nào cả. Hãy xem ví dụ này: 5x 2 + 80 = 0, ở đây b = 0. Để giải phần miễn phí, hãy ném nó sang phía bên phải, sau những hành động này, chúng ta nhận được: 5x 2 \ u003d -80, bây giờ chúng ta chia mỗi phần cho năm: x 2 \ u003d trừ đi mười sáu. Nếu bất kỳ số nào là bình phương, thì chúng ta sẽ không nhận được giá trị âm. Do đó, câu trả lời của chúng ta có vẻ như thế này: phương trình không có nghiệm nguyên.

Khai triển tam thức

Phép gán cho phương trình bậc hai cũng có thể nghe theo cách khác: thừa số hóa một tam thức bình phương. Điều này có thể được thực hiện bằng công thức sau: a (x-x 1) (x-x 2). Đối với điều này, cũng như trong một phiên bản khác của nhiệm vụ, cần phải tìm ra yếu tố phân biệt.

Xét ví dụ sau: 3x 2 -14x-5, nhân tử của tam thức. Chúng ta tìm số phân biệt, sử dụng công thức mà chúng ta đã biết, nó trở thành 256. Chúng ta ngay lập tức nhận thấy rằng 256 lớn hơn 0, do đó, phương trình sẽ có hai nghiệm. Chúng tôi tìm thấy chúng, như trong đoạn trước, chúng tôi có: x \ u003d năm và trừ một phần ba. Hãy sử dụng công thức phân thức thành nhân tử: 3 (x-5) (x + 1/3). Trong ngoặc thứ hai, chúng ta có một dấu bằng, vì công thức chứa một dấu trừ và căn cũng là âm, sử dụng kiến thức toán học sơ cấp, trong tổng chúng ta có một dấu cộng. Để đơn giản hóa, chúng ta nhân số hạng đầu tiên và số hạng thứ ba của phương trình để loại phân số: (x-5) (x + 1).

Phương trình bậc hai

Trong phần này, chúng ta sẽ học cách giải các phương trình phức tạp hơn. Hãy bắt đầu ngay với một ví dụ:

(x 2 - 2x) 2 - 2 (x 2 - 2x) - 3 = 0. Ta có thể nhận thấy các phần tử lặp: (x 2 - 2x), nên thuận tiện cho chúng ta thay nó bằng một biến khác để có lời giải, và sau đó giải phương trình bậc hai thông thường, ngay lập tức chúng ta lưu ý rằng trong một nhiệm vụ như vậy chúng ta sẽ nhận được bốn nghiệm nguyên, điều này không làm bạn sợ hãi. Ta biểu thị sự lặp lại của biến a. Ta được: a 2 -2a-3 = 0. Bước tiếp theo của chúng ta là tìm phân biệt của phương trình mới. Chúng ta nhận được 16, chúng ta tìm thấy hai gốc: trừ một và ba. Chúng tôi nhớ rằng chúng tôi đã thực hiện thay thế, chúng tôi thay thế các giá trị này, kết quả là chúng tôi có các phương trình: x 2 - 2x \ u003d -1; x 2 - 2x = 3. Chúng ta giải chúng trong câu trả lời đầu tiên: x bằng một, trong câu thứ hai: x bằng trừ một và ba. Chúng tôi viết câu trả lời như sau: cộng / trừ một và ba. Theo quy luật, câu trả lời được viết theo thứ tự tăng dần.

Phương trình khối

Hãy xem xét một lựa chọn khả thi khác. Hãy nói về phương trình bậc ba. Chúng có dạng: ax 3 + b x 2 + cx + d = 0. Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về phương trình dưới đây, nhưng trước tiên là một chút lý thuyết. Chúng có thể có ba căn, cũng có một công thức để tìm phân biệt cho một phương trình bậc ba.

Hãy xem xét một ví dụ: 3x 3 + 4x 2 + 2x = 0. Làm thế nào để giải quyết nó? Để làm điều này, chúng ta chỉ cần lấy x ra khỏi dấu ngoặc: x (3x 2 + 4x + 2) = 0. Tất cả những gì còn lại chúng ta phải làm là tính nghiệm nguyên của phương trình trong ngoặc. Số phân biệt của phương trình bậc hai trong ngoặc nhỏ hơn 0 nên biểu thức có căn là: x = 0.

Đại số học. Phương trình

Hãy chuyển sang phần tiếp theo. Bây giờ chúng ta xem xét ngắn gọn các phương trình đại số. Một trong những nhiệm vụ như sau: phân tích nhân tử 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Cách thuận tiện nhất là nhóm sau: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Lưu ý rằng chúng ta đã biểu diễn 8x2 từ biểu thức đầu tiên dưới dạng tổng của 3x2 và 5x2. Bây giờ chúng ta lấy ra từ mỗi dấu ngoặc nhân tử chung 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Ta thấy rằng ta có nhân tử chung: x bình phương cộng với một, ta lấy nó ra khỏi ngoặc: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Việc mở rộng thêm là không thể, vì cả hai phương trình đều có phân biệt âm.

Phương trình siêu nghiệm

Chúng tôi đề xuất xử lý loại sau. Đây là những phương trình có chứa các hàm siêu việt, cụ thể là logarit, lượng giác hoặc hàm mũ. Ví dụ: 6sin 2 x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3, v.v. Làm thế nào chúng được giải quyết, bạn sẽ học được từ khóa học lượng giác.

Hàm số

Bước cuối cùng là xem xét khái niệm phương trình của một hàm. Không giống như các tùy chọn trước, loại này không được giải quyết, nhưng một đồ thị được xây dựng trên đó. Để làm được điều này, phương trình cần được phân tích tốt, tìm tất cả các điểm cần thiết để xây dựng, tính toán các điểm tối thiểu và tối đa.