Cách học giải bất phương trình vô tỉ. Bất bình đẳng phi lý

T.D. Ivanova

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT KHOẢN TRÍCH THEO LƯƠNG

CDO và NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBC 22. 1Y72

Tổng hợp bởi T.D. Ivanova

Người phản biện: Baisheva M.I.– Ứng viên Khoa học Sư phạm, Phó Giáo sư Bộ môn

Khoa Toán học Giải tích

Viện Toán học và Tin học Yakutsk

đại học tiểu bang

Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ: Hướng dẫn phương pháp

M 34 dành cho học sinh lớp 9-11 / comp. Ivanova T.D. từ Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): TsDO NIT SRPTL, 2007, - 56 tr.

Sách hướng dẫn này được gửi đến các học sinh trung học của một trường trung học, cũng như những học sinh vào các trường đại học như một hướng dẫn phương pháp để giải các bất đẳng thức vô tỉ. Sách hướng dẫn phân tích chi tiết các phương pháp chính để giải các bất phương trình vô tỉ, đưa ra các ví dụ về giải các bất phương trình vô tỉ với các tham số và cũng đưa ra các ví dụ cho một giải pháp độc lập. Giáo viên có thể sử dụng hướng dẫn như vật liệu giáo khoa vì làm việc độc lập, với sự lặp lại tổng quan của chủ đề "Bất đẳng thức vô tỉ".

Tài liệu phản ánh kinh nghiệm của giáo viên trong việc nghiên cứu chuyên đề “Bất đẳng thức vô tỉ” với học sinh.

Nhiệm vụ lấy từ vật liệu kỳ thi tuyển sinh, báo và tạp chí phương pháp luận, sách giáo khoa, một danh sách được đưa ra ở cuối sách hướng dẫn

UDC 511 (O75.3)

BBC 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, biên soạn, 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Lời nói đầu 5

Giới thiệu 6

Phần I. Các ví dụ về giải bất phương trình vô tỉ đơn giản nhất 7

Phần II. Bất đẳng thức dạng
> g (x), g (x), g (x) 9

Mục III. Bất đẳng thức của dạng
;
;

;
13

Mục IV. Các bất đẳng thức chứa một số gốc chẵn 16

Phần V. Phương pháp thay thế (giới thiệu một biến mới) 20

Mục VI. Các bất đẳng thức có dạng f (x)
0; f (x) 0;

Mục VII. Bất đẳng thức của dạng
25

Mục VIII. Sử dụng các biến đổi triệt để

trong bất đẳng thức phi lý 26

Mục IX. Phương pháp đồ thị của bất phương trình vô tỉ 27

Phần X. Bất bình đẳng loại hỗn hợp 31

Mục XI. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm 41

Phần XII. Phương pháp thay thế hàm 43

Mục XIII. Ví dụ về giải bất phương trình trực tiếp

phương pháp khoảng 45

Mục XIV. Các ví dụ về giải bất phương trình vô tỷ với tham số 46

Văn học 56

KIỂM TRA LẠI

Sách hướng dẫn này dành cho học sinh từ lớp 10-11. Như thực tế cho thấy, học sinh, sinh viên, những người nộp đơn gặp những khó khăn đặc biệt trong việc giải các bất bình đẳng vô lý. Điều này là do thực tế là trong toán học trường học Phần này được coi là không đầy đủ, các phương pháp khác nhau để giải các bất đẳng thức như vậy không được xem xét rộng rãi hơn. Ngoài ra, giáo viên nhà trường cảm thấy thiếu tài liệu về phương pháp luận, điều này thể hiện ở một số lượng tài liệu vấn đề hạn chế với chỉ dẫn của nhiều cách tiếp cận, phương pháp giải.

Sách hướng dẫn xem xét các phương pháp giải các bất phương trình vô tỉ. Ivanova T.D. Ở đầu mỗi phần giới thiệu cho học sinh ý tưởng chính của phương pháp, sau đó các ví dụ được hiển thị kèm theo lời giải thích và các nhiệm vụ được đề xuất cho các giải pháp độc lập.

Trình biên dịch sử dụng các phương pháp "ngoạn mục" nhất để giải các bất đẳng thức vô tỷ xảy ra khi nhập cao hơn thiết lập chế độ giáo dục với yêu cầu ngày càng cao về kiến ​​thức của học sinh.

Học sinh, sau khi đọc sách hướng dẫn này, có thể có được kinh nghiệm và kỹ năng vô giá trong việc giải các bất đẳng thức vô tỉ phức tạp. Tôi tin rằng sách hướng dẫn này cũng sẽ hữu ích cho các giáo viên toán học làm việc trong các lớp chuyên biệt, cũng như những người phát triển các khóa học tự chọn.

Ứng viên Khoa học Sư phạm, Phó Giáo sư, Bộ môn Toán Phân tích, Khoa Toán học, Viện Toán học và Tin học, Đại học Bang Yakut

Baisheva M.I.

LỜI TỰA

Sách hướng dẫn này được gửi đến các học sinh trung học của một trường trung học, cũng như những học sinh đang bước vào các trường đại học như một hướng dẫn phương pháp để giải các bất đẳng thức vô tỉ. Sách hướng dẫn phân tích chi tiết các phương pháp chính để giải các bất phương trình vô tỉ, đưa ra các mẫu ví dụ để giải các bất phương trình vô tỉ, đưa ra các ví dụ về cách giải các bất phương trình vô tỉ với tham số và cũng đưa ra các ví dụ cho một giải pháp độc lập, một số câu trả lời và hướng dẫn ngắn được đưa ra.

Khi phân tích các ví dụ, giải các bất phương trình một cách độc lập, người ta cho rằng học sinh có khả năng giải các bất phương trình tuyến tính, bình phương và các bất phương trình khác, sở hữu nhiều phương pháp giải bất phương trình, đặc biệt là phương pháp khoảng. Nó được đề xuất để giải quyết bất bình đẳng theo một số cách.

Giáo viên có thể sử dụng sổ tay này như một tài liệu giảng dạy cho các công việc độc lập, với sự lặp lại tổng quan của chủ đề “Bất đẳng thức vô tỉ”.

Tài liệu phản ánh kinh nghiệm của giáo viên trong việc nghiên cứu chuyên đề “Bất đẳng thức vô tỉ” với học sinh.

Các nhiệm vụ được lựa chọn từ các tài liệu của các kỳ thi tuyển sinh vào các cơ sở giáo dục đại học, các tờ báo và tạp chí toán học có phương pháp "Đầu tháng 9", "Toán học ở trường", "Lượng tử", sách giáo khoa, một danh sách được đưa ra ở cuối sách hướng dẫn. .

GIỚI THIỆU

Vô tỉ là những bất đẳng thức trong đó các biến hoặc một hàm của một biến được nhập dưới dấu căn.

Phương pháp tiêu chuẩn chính để giải các bất đẳng thức vô tỷ là nâng liên tiếp cả hai phần của bất đẳng thức lên thành lũy thừa để loại bỏ tận gốc. Nhưng hoạt động này thường dẫn đến sự xuất hiện của các rễ ngoại lai hoặc thậm chí làm mất các rễ, tức là dẫn đến sự bất bình đẳng không tương đương với cái ban đầu. Do đó, cần phải theo dõi cẩn thận tính tương đương của các phép biến đổi và chỉ xem xét các giá trị của biến mà bất đẳng thức có ý nghĩa:

nếu căn bậc chẵn, thì biểu thức căn phải không âm và giá trị của căn cũng phải là một số không âm.

nếu căn bậc là số lẻ thì biểu thức căn có thể nhận bất kỳ số thực nào và dấu của căn trùng với dấu của biểu thức căn.

dựng lên mức độ đồng đều cả hai phần của sự bất bình đẳng chỉ có thể thực hiện được sau khi chắc chắn rằng chúng không âm;

Việc nâng cả hai vế của một bất đẳng thức lên cùng một lũy thừa luôn là một phép biến đổi tương đương.

ChươngTôi. Các ví dụ về giải các bất đẳng thức vô tỉ đơn giản nhất

Các ví dụ 1- 6:

Dung dịch:

1. a)
.

b)
.

2. a)

b)

3. a)
.

b)
.

4. a)

b)

5. a)
.

b)

6. a)
.

b)
.

7.

8. a)
.

b)

9. a)
.

b)

11.

12. Tìm số nguyên nhỏ nhất giá trị dương x thỏa mãn bất đẳng thức

13. a) Tìm trung điểm của khoảng nghiệm của bất phương trình

b) Tìm trung bình cộng của tất cả các giá trị nguyên của x để bất phương trình có nghiệm là 4

14. Tìm nghiệm âm nhỏ nhất của bất phương trình

15. a)
;

b)

Mục II. Các bất đẳng thức có dạng> g (x), g (x),g (x)

Tương tự, như trong việc giải các ví dụ 1-4, chúng ta tranh luận khi giải các bất đẳng thức thuộc loại được chỉ ra.

Ví dụ 7 : Giải quyết bất bình đẳng
> X + 1

Dung dịch: Các bất đẳng thức OHS: X-3. Đối với bên tay phải, có hai trường hợp có thể xảy ra:

một) X + 10 (phần bên phải không âm) hoặc b) X + 1

Hãy xem xét a) Nếu X+10, tức là X- 1, thì cả hai phần của bất đẳng thức đều không âm. Hãy bình phương cả hai bên: X + 3 >X+ 2X+ 1. Chúng tôi nhận được bất bình đẳng bình phương X+ X – 2 x x - 1, chúng tôi nhận được -1

Hãy xem xét b) Nếu X+1 x x -3

Kết hợp các nghiệm của trường hợp a) -1 và b) X-3, ghi câu trả lời: X
.

Thật tiện lợi để viết tất cả các đối số trong việc giải Ví dụ 7 như sau:

Bất đẳng thức ban đầu tương đương với tập hợp các hệ bất đẳng thức
.

X

Câu trả lời: .

Suy luận khi giải các bất phương trình dạng

1.> g(x); 2. g(x); 3. g(x); 4. g(x) có thể được viết ngắn gọn như các sơ đồ sau:

TÔI. > g(x)

2. g(x)

3. g(x)

4. g(x)
.

Ví dụ 8 :
X.

Dung dịch: Bất đẳng thức ban đầu tương đương với hệ

x> 0

Câu trả lời: X
.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

b)

b)
.

b)

b)

20. a)
x

b)

21. a)

TẠI bài học này chúng tôi coi là lời giải của bất phương trình vô tỷ, cho các ví dụ khác nhau.

Chủ đề: Phương trình và bất phương trình. Hệ phương trình và bất phương trình

Bài học:Bất bình đẳng phi lý

Khi giải các bất đẳng thức vô tỷ, thường phải nâng cả hai phần của bất đẳng thức lên một lũy thừa nhất định, đây là một thao tác khá có trách nhiệm. Nhắc lại các tính năng.

Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể bình phương nếu cả hai đều không âm, chỉ khi đó chúng ta mới nhận được từ sự bất bình đẳng đúng bất đẳng thức đúng.

Cả hai phần của bất đẳng thức có thể được lập phương trong mọi trường hợp, nếu bất đẳng thức ban đầu là đúng, thì khi lập phương, chúng ta sẽ có được bất đẳng thức đúng.

Hãy xem xét một bất đẳng thức có dạng:

Biểu thức gốc phải không âm. Hàm có thể nhận bất kỳ giá trị nào, có hai trường hợp cần xem xét.

Trong trường hợp đầu tiên, cả hai phần của bất đẳng thức đều không âm, chúng ta có quyền bình phương. Trong trường hợp thứ hai, bên phải là âm, và chúng ta không có quyền bình phương. Trong trường hợp này, cần phải xem xét ý nghĩa của bất đẳng thức: ở đây là biểu thức dương ( Căn bậc hai) lớn hơn một biểu thức âm, có nghĩa là bất đẳng thức luôn giữ nguyên.

Vì vậy, chúng tôi có sơ đồ giải pháp sau:

Trong hệ thứ nhất, chúng ta không bảo vệ biểu thức căn một cách riêng biệt, vì nếu bất đẳng thức thứ hai của hệ được thỏa mãn thì biểu thức căn phải tự động dương.

Ví dụ 1 - giải bất phương trình:

Theo sơ đồ, chúng ta chuyển đến một tập hợp tương đương của hai hệ bất phương trình:

Hãy minh họa:

Cơm. 1 - minh họa giải pháp của ví dụ 1

Như chúng ta có thể thấy, khi loại bỏ sự bất hợp lý, ví dụ, khi bình phương, chúng ta sẽ có được một tập hợp các hệ thống. Đôi khi cấu trúc phức tạp này có thể được đơn giản hóa. Trong tập hợp kết quả, chúng ta có quyền đơn giản hóa hệ thống đầu tiên và thu được một tập hợp tương đương:

Như tự tập thể dục nó là cần thiết để chứng minh sự tương đương của các tập hợp này.

Hãy xem xét một bất đẳng thức có dạng:

Tương tự với bất đẳng thức trước, chúng ta xét hai trường hợp:

Trong trường hợp đầu tiên, cả hai phần của bất đẳng thức đều không âm, chúng ta có quyền bình phương. Trong trường hợp thứ hai, bên phải là âm, và chúng ta không có quyền bình phương. Trong trường hợp này, cần nhìn vào ý nghĩa của bất đẳng thức: ở đây biểu thức dương (căn bậc hai) nhỏ hơn biểu thức âm, nghĩa là bất đẳng thức mâu thuẫn. Hệ thống thứ hai không cần phải xem xét.

Chúng tôi có một hệ thống tương đương:

Đôi khi một bất bình đẳng vô lý có thể được giải quyết phương pháp đồ họa. Phương pháp nàyđược áp dụng khi các đồ thị tương ứng có thể được xây dựng khá dễ dàng và các giao điểm của chúng có thể được tìm thấy.

Ví dụ 2 - giải các bất đẳng thức bằng đồ thị:

một)

b)

Chúng tôi đã giải quyết bất đẳng thức đầu tiên và chúng tôi biết câu trả lời.

Để giải các bất phương trình bằng đồ thị, bạn cần vẽ đồ thị của hàm số ở phía bên trái và đồ thị của hàm số ở phía bên phải.

Cơm. 2. Đồ thị của hàm và

Để xây dựng đồ thị của hàm số, cần chuyển parabol thành parabol (phản chiếu về trục y), dịch đường cong thu được sang phải 7 đơn vị. Biểu đồ xác nhận rằng chức năng nhất định giảm đơn điệu trên miền định nghĩa của nó.

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng và dễ vẽ. Giao điểm với trục y là (0; -1).

Chức năng đầu tiên là giảm đơn điệu, chức năng thứ hai là tăng đơn điệu. Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì là nghiệm duy nhất, ta dễ dàng đoán được từ đồ thị:.

Khi giá trị của đối số ít gốc hơn, parabol nằm trên đường thẳng. Khi giá trị của đối số nằm trong khoảng từ 3 đến 7, đường thẳng này sẽ vượt qua hình parabol.

Chúng tôi có một câu trả lời:

phương pháp hiệu quả nghiệm của bất phương trình vô tỷ là phương pháp của khoảng.

Ví dụ 3 - giải các bất phương trình bằng phương pháp khoảng:

một)

b)

theo phương pháp khoảng, cần tạm rời xa bất đẳng thức. Để làm điều này, hãy chuyển mọi thứ trong bất đẳng thức đã cho sang bên trái (lấy số 0 ở bên phải) và giới thiệu một hàm bằng với vế trái:

Bây giờ chúng ta cần nghiên cứu hàm kết quả.

ODZ:

Chúng tôi đã giải phương trình này bằng đồ thị, vì vậy chúng tôi không tập trung vào việc xác định gốc.

Bây giờ cần phải chọn các khoảng không đổi của dấu và xác định dấu của hàm trên mỗi khoảng:

Cơm. 3. Khoảng không đổi ví dụ 3

Nhắc lại rằng để xác định dấu hiệu trên khoảng cần lấy điểm kiểm tra và thay vào hàm số, dấu kết quả sẽ được hàm số giữ lại trên toàn bộ khoảng.

Hãy kiểm tra giá trị tại điểm biên:

Câu trả lời rõ ràng là:

Hãy xem xét các loại bất đẳng thức sau:

Đầu tiên, hãy viết ODZ:

Rễ tồn tại, chúng không âm, chúng ta có thể vuông cả hai phần. Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi có một hệ thống tương đương:

Hệ thống kết quả có thể được đơn giản hóa. Khi các bất đẳng thức thứ hai và thứ ba được thỏa mãn, bất đẳng thức đầu tiên sẽ tự động đúng. Chúng ta có::

Ví dụ 4 - giải bất phương trình:

Chúng tôi hành động theo kế hoạch - chúng tôi có được một hệ thống tương đương.

Bất kỳ bất đẳng thức nào, bao gồm một hàm dưới gốc, được gọi là không hợp lý. Có hai dạng bất bình đẳng như vậy:

Trong trường hợp đầu tiên, gốc ít chức năng hơn g (x), trong giây - hơn thế nữa. Nếu g (x) - không thay đổi, sự bất bình đẳng đơn giản hóa đáng kể. Xin lưu ý rằng bề ngoài các bất đẳng thức này rất giống nhau, nhưng các phương án giải của chúng về cơ bản là khác nhau.

Hôm nay chúng ta sẽ học cách giải các bất phương trình vô tỉ loại 1 - đơn giản và dễ hiểu nhất. Dấu hiệu bất bình đẳng có thể nghiêm ngặt hoặc không nghiêm ngặt. Tuyên bố sau đây đúng với họ:

Định lý. Bất đẳng thức vô tỷ có dạng

Tương đương với hệ bất phương trình:

Không yếu? Hãy xem hệ thống như vậy đến từ đâu:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - mọi thứ đều rõ ràng ở đây. Đây là bình phương bất đẳng thức ban đầu;
2. f (x) ≥ 0 là ODZ của căn. Hãy để tôi nhắc bạn: căn bậc hai số học chỉ tồn tại từ không tiêu cực những con số;
3. g (x) ≥ 0 là khoảng của căn. Bằng cách bình phương bất bình đẳng, chúng tôi đốt cháy khuyết điểm. Kết quả là, rễ phụ có thể xuất hiện. Bất đẳng thức g (x) ≥ 0 cắt chúng.

Nhiều học sinh “đi theo chu kỳ” về bất phương trình bậc nhất của hệ: f (x) ≤ g 2 (x) - và hoàn toàn quên mất hai bất phương trình còn lại. Kết quả có thể đoán trước được: quyết định sai, mất điểm.

Vì các bất đẳng thức không hợp lý là đủ chủ đề khó Chúng ta hãy xem xét 4 ví dụ. Từ sơ cấp đến thực sự phức tạp. Tất cả các nhiệm vụ được thực hiện từ các kỳ thi đầu vào của Đại học Tổng hợp Moscow. M. V. Lomonosov.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Một nhiệm vụ. Giải bất phương trình:

Chúng tôi có một cổ điển bất bình đẳng phi lý: f (x) = 2x + 3; g (x) = 2 là một hằng số. Chúng ta có:

Chỉ còn lại hai trong ba bất phương trình vào cuối lời giải. Vì bất đẳng thức 2 ≥ 0 luôn giữ nguyên. Hãy giao điểm các bất đẳng thức còn lại:

Vì vậy, x ∈ [−1,5; 0,5]. Tất cả các điểm được tô bóng bởi vì bất bình đẳng không nghiêm ngặt.

Một nhiệm vụ. Giải bất phương trình:

Chúng tôi áp dụng định lý:

Chúng tôi giải quyết bất đẳng thức đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi sẽ mở hình vuông của sự khác biệt. Chúng ta có:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Bây giờ chúng ta hãy giải quyết bất đẳng thức thứ hai. Có nữa tam thức vuông:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1] ∪∪∪∪)